Transcript
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP. Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886
Departamento de Engenharia Mecânica PME 2100 – MECÂNICA A – 2a Prova – 21 de outubro de 2008 Duração da Prova: 110 minutos (não é permitido uso de calculadoras)
1ª Questão (3,5 pontos)
Os discos de raio R1 e R2 rolam sem escorregar e estão sempre em contato com a superfície mostrada na figura. A barra CD está articulada ao centro da barra AB, de forma que permanece sempre paralela ao versor j . Sabendo que o vetor de rotação do disco com centro em A (de raio R1) vale ω1 k , constante, determine: (a) A velocidade v A do ponto A. (b) O centro instantâneo de rotação da barra AB. (c) O vetor de rotação ω AB da barra AB e o vetor de rotação ω2 do disco com centro em B. (d) A velocidade v D do ponto D.
A
l1
R1
θ
C
l2
B
j
R2
i
D
2ª Questão (3,0 pontos) Considere o mecanismo mostrado na figura. A barra BC está articulada em C. A barra AB está articulada à barra BC no ponto B e possui um rasgo por onde pode deslizar sobre o pino fixo D. O vetor de rotação da barra BC é
1=ω1 k
, com ω1 constante. No instante mostrado na figura, determine:
(a) O CIR da barra AB, usando o ω1 D j A B C método gráfico. (b) O vetor de rotação 2 da barra AB i e a velocidade v A do ponto A. R L L (c) A aceleração a B do ponto B. Em um instante posterior ao mostrado na figura, onde o vetor de rotação 2 da barra AB é nulo, determine: (d) O ângulo ϕ formado entre o segmento AB e a horizontal. Desenhe o mecanismo nesta posição.
3ª Questão (3,5 pontos)
A barra CP está articulada em C ao disco com centro em O, como indicado na figura. No instante considerado, a barra gira com vetor de rotação constante ω = θ i e o disco gira com vetor de rotação
constante Ω . A distância entre os pontos O e C vale R. Usando a base i j k , solidária ao disco, e considerando o disco como referencial móvel, determinar: (a) O vetor de rotação absoluto e a aceleração angular da barra CP. (b) As velocidades relativa, de arrastamento e absoluta do ponto P. (c) As acelerações relativa, de arrastamento e absoluta do ponto P.
z Ω
L O
P
R
θ
C x
y
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP. Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886
Departamento de Engenharia Mecânica 1ª Questão (3,5 pontos)
Os discos de raio R1 e R2 rolam sem escorregar e estão sempre em contato com a superfície mostrada na figura. A barra CD está articulada ao centro da barra AB, de forma que permanece sempre paralela ao versor j . Sabendo que o vetor de rotação do disco com centro em A (de raio R1) vale ω1 k , constante, determine: (a) A velocidade v A do ponto A. (b) O centro instantâneo de rotação da barra AB. (c) O vetor de rotação ω AB da barra AB e o vetor de rotação ω2 do disco com centro em B. (d) A velocidade v D do ponto D.
v A = −ω1R 1 i
(
− ω1R 1 i = −ω AB L 1senθ i
ω AB
ωR = 1 1 k L 1senθ
ω AB =
j i
D
vA
(0,5)
CIR da barra AB (0,5)
VB
− ω 2 R 2 j = −ω1R 1 cot θ j
)
v B = −ω1R 1 cot θ j
(0,5)
R1 cot θ R2
ω 2 = ω1
ω 2 = ω1
Barra CD sempre vertical è em translação è v D = v C (0,5) v D = v C = v A + ω AB ∧ (C − A ) = −ω1R 1 i +
(
l2
R2
ω1R 1 L 1senθ
(
vD = −
C
B
)
v B = ω AB ∧ (B − CIR AB ) = ω AB k ∧ − L 1 cos θ i v B = −ω 2 R 2 j
R1
θ
(0,5)
v A = ω AB ∧ (A − CIR AB ) = ω AB k ∧ L 1senθ j
A
l1
ω1R 1 i + cot θ j 2
)
(0,5)
(
ω1R 1 L k ∧ 1 − cos θ i − senθ j L 1senθ 2
)
R1 cot θk (0,5) R2
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP. Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886
Departamento de Engenharia Mecânica 2ª Questão (3,0 pontos)
Considere o mecanismo mostrado na figura. A barra BC está articulada em C. A barra AB está articulada à barra BC no ponto B e possui um rasgo por onde pode deslizar sobre o pino fixo D. O vetor de rotação da barra BC é
1=ω1 k
, com ω1 constante. No instante mostrado na figura, determine:
(a) O CIR da barra AB, usando o ω1 D j A B C método gráfico. (b) O vetor de rotação 2 da barra AB i e a velocidade v A do ponto A. R L L (c) A aceleração a B do ponto B. Em um instante posterior ao mostrado na figura, onde o vetor de rotação 2 da barra AB é nulo, determine: (d) O ângulo ϕ formado entre o segmento AB e a horizontal. Desenhe o mecanismo nesta posição. Como na posição indicada a velocidade de B é perpendicular (1,0) à barra AB e a velocidade do ponto da barra que coincide CIR da barra AB ≡ D com o pino deveria ter a direção da própria barra, pois esta desliza sobre o pino, a única condição que não D A B C viola a propriedade fundamental de corpo rígido da barra é que a velocidade do ponto da barra que coincide com o pino, na posição mostrada na figura, deve ser nula e assim este é CIR da barra.
(
v B = ω 2 ∧ (B − D )
ω1R j = ω 2 k ∧ − L i
v A = ω 2 ∧ (A − D ) = −ω1
R k ∧ Li L
( )
)
ω 2 = −ω1
v A = −ω1R j
[
]
R L
[
]
a B = −ω12 R i
R R+L
(0,5)
(0,5)
v B = v D . Sabendo conforme acima que v B ⊥ CB e que v D // BA , graficamente: B
ϕ = arcsen
R k L
(0,5)
a B = a C + ω1 ∧ (B − C ) + ω12 k ∧ k ∧ (B − C ) = 0 + 0 + ω12 k ∧ k ∧ R i Quando ω 2 = 0
ω 2 = −ω1
R
(0,5) C
ϕ R+L
D A
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP. Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886
Departamento de Engenharia Mecânica 3ª Questão (3,5 pontos)
z
A barra CP está articulada em C ao disco com centro em O, como indicado na figura. No instante considerado, a barra gira com vetor de rotação constante ω = θ i e o disco gira com
Ω
vetor de rotação constante Ω . A distância entre os pontos O e C vale R. Usando a base i j k , solidária ao disco, e considerando o disco como referencial móvel, determinar: (a) O vetor de rotação absoluto e a aceleração angular da barra CP. (b) As velocidades relativa, de arrastamento e absoluta do ponto P. (c) As acelerações relativa, de arrastamento e absoluta do ponto P.
ω abs = ω arr + ω rel
ω abs = Ωk + θ i
O
P
R
y
x
ω abs = Ωθ j
(
v P , rel = v C ,rel + ω rel ∧ (P − C ) = 0 + θ i ∧ L cos θ j + senθk
[
)
v
(0,5) P , rel
v P ,arr = v O ,arr + ω arr ∧ (P − O ) = 0 + Ωk ∧ (R + L cos θ) j + (Lsenθ)k
(
(
= θ L − sen θ j + cos θ k
]
v P = −Ω(R + L cos θ)i + θL − senθ j + cos θk
) (
)
a P ,rel = −θ 2 L cos θ j + senθk
a P ,arr = a O ,rel + ω arr ∧ (P − O ) + ω arr ∧ [ω arr ∧ (P − O )]
a P ,arr = −Ω 2 (R + L cos θ) j (0,5)
(
a P = a P ,arr + a P ,rel + a P ,cor
)
a P ,cor = 2ΩθLsenθ i
(
) (0,5)
v P ,arr = −Ω(R + L cos θ)i (0,5)
a P ,rel = a C,rel + ω rel ∧ (P − C ) + ω rel ∧ [ω rel ∧ (P − C )]
a P ,cor = 2ω arr ∧ v P ,rel = 2Ωk ∧ θL − senθ j + cos θk
θ
C
(0,5)
ω abs = ω arr + ω rel + ω arr ∧ ω rel = 0 + 0 + Ωk ∧ θ i
v P = v P ,arr + v P ,rel
L
(0,5)
(0,5)
)
a P = 2ΩθLsenθ i − Ω 2 (R + L cos θ) + θ 2 L cos θ j − θ 2 Lsenθk
