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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica PME 2100 – MECÂNICA A – Segunda Prova – 27 de outubro de 2006 Duração da Prova: 100 minutos (não é permitido o uso de calculadoras)
1ª Questão (3,0 pontos) O disco de raio R gira em torno de seu centro fixo O, com velocidade angular ω constante. A barra está articulada ao disco em A. No ponto B existe um cursor pivotado que envolve a barra. Para o instante representado na figura: a) determine, graficamente, o centro instantâneo de rotação da barra; b) calcule a velocidade e a aceleração vetoriais do ponto A; r c) determine o vetor de rotação Ω da barra.
B
ω
R
r j
O
A
r i 3R
Solução: a) Notar que, devido ao cursor, a velocidade do ponto da barra em B é na direção do eixo da barra. Considerando a direção da velocidade do ponto A, observa-se que o ponto C é o CIR da barra. (1,0)
r vB
B
r vA
. R
b C
O
D
a
3R d
b) Cálculo da velocidade do ponto A: r r r r r r r r r v A = vO + ω ∧ ( A − O ) ⇒ v A = 0 + ω k ∧ R i ⇒ vA = ω R j (0,5) Cálculo da aceleração do ponto A: r r r r r r r r r r r r a A = aO + ω& ∧ ( A − O ) + ω ∧ (ω ∧ ( A − O )) ⇒ a A = 0 + 0 ∧ R i + ω k ∧ ω k ∧ R i r r a A = −ω 2 R i (0,5)
(
c) O ponto A também pertence à barra, e usando o CIR temos: v A = Ω d = ω R , onde d = a + 3 R a R R = ⇒ a = , logo: R 3R 3 r r 3 3 R Ω + 3R = ω R ⇒ Ω = ω , e, observando a figura, Ω = ω k (1,0) 10 10 3
Pela semelhança entre os triângulos ABD e BCD, temos que
)
A
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2ª Questão (3,0 pontos) Dois discos de raio R rolam sem escorregar. A velocidade angular ω 1 do disco de centro A é conhecida e constante. Sabendo que a barra AB tem comprimento L, para o instante representado na figura: a) calcule a velocidade do ponto A; b) determine graficamente o CIR da barra AB; r c) calcule o vetor de rotação ω AB da barra AB; r d) calcule o vetor de rotação ω 2 do disco de centro O;
r j r i
ωω 11
L
R
R
B
O
A
D
E
Solução: a) Cálculo da velocidade do ponto A: r r r r r r r r r v A = vE + ω1 ∧ ( A − E ) ⇒ v A = 0 + ω1 k ∧ R j ⇒ v A = − ω1 R i (0,5) C
b) Notar que os pontos A e B pertencem aos discos com centro em A e O, respectivamente. Sendo assim, a velocidade desses pontos deve ser como indicado na figura, já que os discos rolam sem escorregar. Traçando as perpendiculares às velocidades dos pontos A e B, observa-se que o ponto C é o CIR da barra. (0,5)
r VB
L
B
O
o
D
r VA
45
A L
c) Para a barra: r r r r r r v A = vC + ω AB ∧ ( A − C ) , onde vC = 0 e ( A − C ) = − Lj r r r − ω1 R r ⇒ −ω1 R i = ωAB L i ⇒ ω AB = k (1,0) L d) Para a barra: r r r r r r r r v B = vC + ω AB ∧ ( B − C ) , onde ( B − C ) = − Lj − Li ⇒ vB = −ω1 Ri + ω1Rj (0,5) Para o disco com centro em O: r r r r r r r v B = v D + ω2 ∧ (B − D ) , onde v D = 0 e ( B − D ) = Ri + Rj r r r r r r ⇒ −ω1 R i + ω1 R j = −ω2 R i + ω2 R j ⇒ ω2 = ω1 ⇒ ω2 = ω1k
(0,5)
E
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3ª Questão (4,0 pontos) No mecanismo mostrado na figura, o ponto O é fixo, e a barra OD, de comprimento L, possui vetor de r r rotação ω 1= ω 1k (constante) em relação a um referencial fixo. O
z
L
r
r
disco de centro A e raio R possui vetor de rotação ω 2= ω 2 k e r r vetor aceleração angular α 2 = α 2 k em relação à barra OD. O
ω2
A R
r r ponto A possui velocidade v = v k (constante) em relação à barra
y
OD. O sistema de coordenadas Oxyz é fixo na barra OD e o vetor ( P − A) é paralelo ao eixo Oy. Considerando a barra OD como referencial móvel, determine, para o instante da figura,
P
O
x ω1
a) as velocidades relativa, de arrastamento e absoluta do ponto P; b) as acelerações relativa, de arrastamento e absoluta do ponto P; c) o vetor de rotação absoluto e o vetor aceleração angular absoluto do disco de centro A.
v
Solução: r r r r r a) Velocidade relativa do ponto P: v Prel = v Arel + ω2 ∧ ( P − A) , onde v Arel = vk r r r ⇒ vPrel = ω 2 Ri + vk (0,5) Velocidade de arrastamento do ponto P: r r r Definindo ( A − D ) = zk , e observando que zk // ω1 , r r r r r r r r r r r v PArr = vOArr + ω1 ∧ (P − O ) , onde vOArr = 0 e ( P − O) = Li − Rj + z k ⇒ v PArr = ω1Ri + ω1Lj (0,5) r r r r r r r Velocidade absoluta do ponto P: v PAbs = vPArr + vPrel ⇒ v PAbs = (ω1 + ω2 )Ri + ω1Lj + vk (0,5) r r r r r b) Aceleração relativa do ponto P: a Prel = a Arel + ω& 2 ∧ ( P − A) + ω2 ∧ (ω2 ∧ (P − A)) , r r r r r r r onde a Arel = 0 e ω& 2 = α 2k ⇒ a Prel = α 2 Ri + ω22 Rj (0,5) Aceleração de arrastamento do ponto P: r r r r r r r r r a PArr = aOArr + ω&1 ∧ ( P − O) + ω1 ∧ (ω1 ∧ (P − O )) , onde aO Arr = 0 e ω& 1 = 0 r r r ⇒ aPArr = −ω12 Li + ω12Rj (0,5) Aceleração absoluta do ponto P: r r r r r r r r r r r a PAbs = aPArr + aPrel + aPCor , onde a PCor = 2ω Arr ∧ VPrel = 2ω1k ∧ ω2 Ri + vk = 2ω1ω 2Rj r r r ⇒ aPAbs = α 2 R − ω12 L i + ω12 R + ω22R + 2ω1ω2 R j (0,5)
(
) (
)
(
)
c) Vetor de rotação absoluto do disco com centro em A: r r r r r ω Abs = ω rel + ωArr ⇒ ω Abs = (ω1 + ω2 )k (0,5) Vetor aceleração angular absoluto do disco com centro em A: r r r r r r r r r r r ω& Abs = ω& rel + ω& Arr + ωR , onde ω R = ω Arr ∧ ωrel = 0 ⇒ ω& Abs = ω& rel = α 2 k (0,5)
