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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP. Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886
Departamento de Engenharia Mecânica
MECÂNICA A – PME 2100 - Segunda Prova – 16 de maio de 2002 Duração da Prova: 100 minutos (não é permitido uso de calculadoras) seminário ou exercício em classe ou lista de exercícios (1,0 ponto) 1ª Questão (3,0 pontos) Foram medidas as velocidades dos pontos A, B e C da estrutura em forma de tronco de pirâmide esquematizada na figura ao lado. As velocidades medidas num instante ÿ ÿ ÿ de movimento foram: VB = 4Vi − Vj , ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ V A = 2Vi − (V / 2) j − 6Vk e VC = 0 . Pede-se:
a) verificar se as velocidades dos pontos A e B respeitam a condição de corpo rígido da estrutura. b) determinar as componentes do vetor velocidade ÿ ÿ ÿ ÿ angular da estrutura ω = ω x i + ω y j + ω z k
ÿ VB
Z B
ÿ k ÿ i
A
a
ÿ j
o
X
a
a
C a
a
ÿ VA
Y
3a
2ª Questão (3,0 pontos)
A biela AB de comprimento L e articulada em A, liga o disco de centro em O com o pistão articulado em B. O disco gira a uma velocidade angular ω constante e o pistão desliza sobre a guia na direção X. Pede-se determinar:
Y
A L
R
ϕ
θ
o
a) graficamente centro instantâneo de rotação da biela AB b) a relação entre os ângulos ϕ e θ c) a velocidade angular Ω da biela AB d) a velocidade e aceleração do ponto B.
X ω
B
3ª Questão (3,0 pontos)
O disco de raio R gira em torno do eixo vertical com aceleração angular ω conforme mostrado na figura. A barra PC de comprimento L e articulada no disco em C, gira com velocidade constante Ω. Expressando nas coordenadas Oijk solidárias ao disco, pede-se determinar: a) velocidades relativa e absoluta dos pontos C e P b) a aceleração absoluta do ponto C c) a aceleração relativa e absoluta do ponto P
ω
z
ω
R x
P
ÿ ÿ k O j ÿ i
L Ω C
y
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Departamento de Engenharia Mecânica
MECÂNICA A – PME 2100 - Segunda Prova – 16 de maio de 2002 Duração da Prova: 100 minutos (não é permitido uso de calculadoras) seminário ou exercício em classe ou lista de exercícios (1,0 ponto)
Resolução da Prova
ÿ i ÿ j
1ª Questão (3,0 pontos)
Foram medidas as velocidades dos pontos A, B e C da estrutura em forma de tronco de pirâmide esquematizada na figura ao lado. As velocidades medidas num instante ÿ ÿ ÿ de movimento foram: VB = 4Vi − Vj , ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ V A = 2Vi − (V / 2) j − 6Vk e VC = 0 . Pede-se: a) verificar se as velocidades dos pontos A e B respeitam a condição de corpo rígido da estrutura. b) Determinar as componentes do vetor velocidade ÿ ÿ ÿ ÿ angular da estrutura ω = ω x i + ω y j + ω z k
ÿ VB
Z B
ÿ k a
ÿ i
A
ÿ j
o
X
a
a
C a
ÿ VA
ÿ k
a
3a
Resolução:
a) Verificação da propriedade fundamental de corpo rígido: ÿ ÿ V A ⋅ ( A − B) = VB ⋅ ( A − B) ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ V A = 2Vi − (V / 2) j − 6Vk VB = 4Vi − Vj ( A − B ) = 3ai − ak ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ 6Va + 6Va = 12Va [2Vi − (V / 2) j − 6Vk ] ⋅ (3ai − ak ) = (4Vi − Vj ) ⋅ (3ai − ak ) Portanto as velocidades respeitam a condição de corpo rígido da estrutura.
(1,0 ponto)
b) Vetor velocidade angular:
ÿ ÿ ÿ VA = VC + ω ∧ ( A − C ) ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ 2Vi − (V / 2) j − 6Vk = 0 + (ω x i + ω y j + ω z k ) ∧ (3ai + ak ) ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ 2Vi − (V / 2) j − 6Vk = −ω x aj − ω y 3ak + ω y ai + ω z 3aj ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ω y = 2V / a 2Vi = ω y ai (V / 2) j = −ω x aj + ω z 3aj − 6Vk = ω y 3ak ÿ ÿ ÿ VB = VC + ω ∧ ( B − C ) ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ 4Vi − Vj = 0 + (ω x i + ω y j + ω z k ) ∧ 2ak 4Vi − Vj = −ω x 2aj + ω y 2ai ω x = V /(2a) substituindo em
ÿ ÿ ÿ (V / 2) j = −ω x aj + ω z 3aj
ωz = 0
(2,0 pontos)
Y
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2ª Questão (3,0 pontos)
CIR
A biela AB de comprimento L e articulada em A, liga o disco de centro em O com o pistão articulado em B. O disco gira a uma velocidade angular ω constante e o pistão desliza sobre a guia na direção X. Pede-se determinar:
Y
A L
R
a) graficamente centro instantâneo de rotação da biela AB b) a relação entre os ângulos ϕ e θ c) a velocidade angular Ω da biela AB d) a velocidade e aceleração do ponto B.
ϕ o
θ X
ω
B
Resolução: ÿ ÿ ÿ a) CIR – intersecção perpendicular a V B = V B i e V A ou seja (A-O)
(0,5 ponto)
ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ VA = VO + ω ∧ ( A − O) V A = 0 + ω k ∧ R (cos ϕ i + sen ϕ j ) V A = Rω (cos ϕ j − sen ϕ i )
b) no triângulo OAB tem-se: R sen ϕ = L sen(−θ ) c) derivando: Rϕ cos ϕ = − Lθ cosθ
R sen ϕ = − L sen θ
Rω cos ϕ = − LΩ cos θ
Ω=−
Rω cos ϕ L cos θ
(0,5 ponto) (1,0 ponto)
ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ d) VB = VA + Ω ∧ ( B − A) VB = Rω (cos ϕ j − sen ϕ i ) + Ωk ∧ ( L cos θ i − L sen θ j ) ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ VB = Rω cos ϕ j − Rω sen ϕ i + ΩL cos θ j + ΩL sen θ i ÿ ÿ ÿ VB = (ΩL sen θ − Rω sen ϕ )i + (ΩL cos θ + Rω cos ϕ ) j ÿ ÿ ÿ Rω cos ϕ VB = (ΩL sen θ − Rω sen ϕ )i + (− L cos θ + Rω cos ϕ ) j L cos θ
ÿ ÿ VB = (ΩL sen θ − Rω sen ϕ )i
(0,5 ponto)
derivando em relação ao tempo: ÿ ÿ aB = (ΩL sen θ + ΩLθ cosθ − Rωϕ cos ϕ )i ÿ ÿ aB = ( LΩ sen θ + LΩ 2 cosθ − Rω 2 cos ϕ )i
(0,5 ponto)
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Departamento de Engenharia Mecânica
3ª Questão (3,0 pontos)
O disco de raio R gira em torno do eixo vertical com aceleração angular ω conforme mostrado na figura. A barra PC de comprimento L e articulada no disco em C, gira com velocidade constante Ω. Expressando nas coordenadas Oijk solidárias ao disco, pede-se determinar: a) velocidades relativa e absoluta dos pontos C e P b) a aceleração absoluta do ponto C c) a aceleração relativa e absoluta do ponto P
ω
z
ω
R
P
ÿ ÿ k O j ÿ i
x
L Ω C
y
Resolução:
a) velocidade absoluta de C , relativa e absoluta do ponto P ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ VC = VO + ω ∧ (C − O) VC = 0 + ω k ∧ R j
ÿ ÿ ÿ VP ,rel = VC ,rel + Ω ∧ ( P − C ) ÿ ÿ ÿ VP ,arr = VC ,arr + ω ∧ ( P − C ) ÿ ÿ ÿ VP = VP ,rel + VP ,arr
ÿ ÿ ÿ VP ,rel = 0 + Ω j ∧ L k ÿ ÿ ÿ ÿ VP ,arr = −ωR i + ω k ∧ L k
b) a aceleração absoluta do ponto C: ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ aC = aO + ω ∧ (C − O) + ω ∧ [ω ∧ (C − O)] ÿ ÿ ÿ aC = −ωR i − ω 2 R j
ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ aP ,cor = 2 ω arr ∧ VP , rel aP ,cor = 2 ω k ∧ ΩL i ÿ ÿ ÿ ÿ a P = a P ,rel + a P ,arr + a P ,cor
(0,5 ponto)
ÿ ÿ VP , rel = ΩL i ÿ ÿ VP ,arr = −ωR i ÿ ÿ VP ,arr = (ΩL − ωR) i (0,5 ponto)
ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ aC = 0 + ω k ∧ R j + ω k ∧ [ω k ∧ R j ]
c) a aceleração relativa e absoluta do ponto P: ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ aP ,rel = aC , rel + Ω ∧ ( P − C ) + Ω ∧ [Ω ∧ ( P − C )]
ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ aP ,arr = aC + ω ∧ ( P − C ) + ω ∧ [ω ∧ ( P − C )] ÿ ÿ ÿ aP ,arr = −ωR i − ω 2 R j
ÿ ÿ VC = −ωR i
(0,5 ponto)
ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ aP ,rel = 0 + 0 j ∧ L k + Ω j ∧ [Ω j ∧ L k ] ÿ ÿ aP ,rel = −Ω 2 L k (0,5 ponto) ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ aP ,arr = −ωR i − ω 2 R j + ω k ∧ L k + ω k ∧ [ω k ∧ L k ] ÿ ÿ aP ,cor = 2 ωΩL j
(0,5 ponto)
ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ a P = (−Ω 2 L k ) + (−ωR i − ω 2 R j ) + (2ωΩL j ) ÿ ÿ ÿ ÿ a P = −ωR i + (2ωΩL − ω 2 R) j − Ω 2 L k
(0,5 ponto)
