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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica PMC 2100 – MECÂNICA A Segunda Prova – 26 de outubro de 2001 – Duração: 100 minutos (Não é permitido o uso de calculadoras) x
Questão 1 (3,0 pontos) A plataforma esquematizada na figura foi instrumentada nos pontos A, B e C com a finalidade de registrar seu movimento. A velocidader desses num vale: r pontos r instante r r r r v A = −6v i + vk v B = 3vk v C = − vk Pede-se: r r a) Verificar que as velocidades v A e vB respeitam a condição de corpo rígido da plataforma. b) Determinar o vetor velocidade angular da plataforma r r r r ω = ωx i + ωy j + ωz k
B VB y a a
A
VC
C
z
a
VA
a
a/2 a/2 3a
a) Propriedade fundamental do C.R.: r r v A ⋅ (A − B ) = v B ⋅ (A − B) r r r r r r r − 6 v i + vk ⋅ − a i + 3ak = 3vk ⋅ − a i + 3ak
(
)(
)
6av + 3av = 9av ⇒
b)
9av = 9av
⇒
(
)
Ok! As vels. de A e B respeitam a condição de C.R. da plataforma.
r r r v A = v B + ω ∧ (A − B) r r r r r r r r − 6 v i + vk = 3vk + ω x i + ω y j + ω z k ∧ − a i + 3ak r r r r r r − 6 v i − 2vk = −3aω x j + aω y k + 3aω y i − aω z j
(
⇒
ωy = −
2v a
) (
;
− 3ω x = ω z
r r r v B = v C + ω ∧ (B − C ) r r r 2v r r r 3vk = − vk + ω x i − j − ω x k ∧ 2a i a r r r 4 vk = 4 vk − 6aω x j ⇒
ωx = 0
⇒
ωz = 0
r 2v r j ω=− a
)
a
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2 (4,0 pontos) rQuestão r O sistema indicado move-se no plano Oi j . A barra OA gira em torno de O, de maneira que φ=ωt (ω>0, cte.). No ponto A, as barras estão ligadas por uma articulação. A extremidade B percorre um trecho do r r r r eixo Oj . Pede-se, expressando os vetores na base i j k : a) A posição do CIR da barra AB. r r b) A velocidade de B ( v B ) e a velocidade de A ( v A ). r c) O vetor de rotação ( Ω ) da barra AB. r d) A velocidade v M do ponto médio de AB, M Perpendicular à vel. de B
B
L L y
φ
O
B
A
CIRAB
M φ
φ
A
Perpendicular à vel. de A
φ y
φ
O
x
Para B e CIRAB:
Para A e O:
(
r r r r v A = ωk ∧ L cos φ i + L sen φ j
(
r r r v A = ωL − sen φ i + cos φ j
)
(
r r r v B = −ωk ∧ − 2L cos φ i
)
⇒
Para A e CIRAB:
(
)
r r r r v A = Ωk ∧ − L cos φ i − L sen φ j r r r r ωL − sen φ i + cos φ j = ΩL sen φ i − cos φ j ⇒ ω = −Ω
(
r r ⇒ Ω = −ωk
)
(
)
r r v B = 2ωL cos φ j
Para M e B:
)
(
)
r L r r r r v M = v B − ωk ∧ cos φ i − sen φ j 2 r r ωL r r ωL cos φ j − sen φ i v M = 2ωL cos φ j − 2 2 r r r ωL vM = − sen φ i + 3 cos φ j 2
(
)
x
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica Questão 3 (3,0 pontos) A plataforma circular mostrada na figura tem velocidade angular ω constante. A barra OA e o disco de raio a e centro A giram com a plataforma, permanecendo sempre no plano Oyz do sistema de coordenadas (O,x,y,z) de r r r versores ( i j k ) solidário à plataforma. O ângulo ϕo é constante. Pede-se, em função de θ ,θ&,θ&& e demais dados do problema: a) Os vetores velocidade relativa, de arrastamento e absoluta do ponto B, pertencente à periferia do disco. b) Os vetores aceleração relativa, de arrastamento e absoluta do mesmo ponto B. c) O vetor rotação absoluta Ω do disco.
(
r r r r v B,rel = θ& i ∧ a sen θ j − cos θk
)
A
ϕo
O
θ ,θ&,θ&&
y
x
(
r r r v B,rel = θ& a cos θ j + sen θk
⇒
L
z ω
[
r r r r v B,arr = ωk ∧ (L cos ϕ 0 + a sen θ) j + (L sen ϕ 0 + a cos θ)k
)
]
r r v B,arr = −ω(L cos ϕ 0 + a sen θ) i r r r v B = v B,rel + v B,arr
(
r r r r v B = −ω(L cos ϕ 0 + a sen θ)i + θ& a cos θ j + sen θk
⇒
(
[
)
(
r r r r r r r r a B,rel = &θ& i ∧ a sen θ j − cos θk + θ& 2 i ∧ i ∧ a sen θ j − cos θk
(
)
(
r r r r r a B,rel = &θ&a cos θ j + sen θk + θ& 2 a − sen θ j + cos θk
{ [
)
)]
)
r r r r r a B,arr = ω 2 k ∧ k ∧ (L cos ϕ 0 + a sen θ) j + (L sen ϕ 0 + a cos θ)k
]}
r r a B,arr = −ω 2 (L cos ϕ 0 + a sen θ) j
(
r r r r r r a B,cor = 2ωk ∧ v B,rel = 2ωk ∧ θ& a cos θ j + sen θk
)
r r ⇒ a B,cor = −2ωθ& a cos θ i
r r r r a B = a B,rel + a B,arr + a B,cor ⇒ r r r r a B = −2ωθ& a cos θ i + &θ&a cos θ − θ& 2 a sen θ − ω 2 (L cos ϕ 0 + a sen θ) j + &θ&a sen θ + θ& 2 a cos θ k
[
r r r Ω = ωarr + ω rel
⇒
] (
r r r Ω = ωk + θ& i
a B
)
