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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica PMC 2100 – MECÂNICA A Segunda Prova – 03 de novembro de 2000 GABARITO r r (3,0 pontos) Questão 1 - O vagonete da figura tem velocidade v i e aceleração a i , e é sustentado por três discos de raio r. O disco B está em contato com o chão e o vagonete. Todos os discos rodam sem escorregar sobre as r respectivas superfícies de contato. Determinar: v a) O CIR dos discos A, B e C. r b) Os vetores de rotação dos discos a A, B e C. c) Os vetores acelerações angulares r C B j dos discos A, B e C. A r d) As acelerações dos pontos A, B e i C, que são os centros geométricos dos discos A, B e C. Solução: Disco A 0,75
Disco B D
a)
A
B CIR
0,75
b)
c)
E C
CIR
CIR
r r vA = v i r r r ⇒ r v A = ω A k × r j = −ω A r i
r r vD = v i r r r ⇒ r v D = ω B k × 2 r j = −ω B 2 r i
r r vE = v i r r r ⇒ r v E = ω C k × r j = −ω C r i
r v r ωA =− k r
r v r ωB = − k 2r
r vr ωC = − k r
r v r ωB = − k ⇒ 2r r a r ω& B = − k 2r r r v r vr r vB = ω B k × r j = ri = i ⇒ 2r 2 r ar aB = i 2
r vr ωC = − k ⇒ r r ar ω& C = − k r r r v C = 0 (constante ) ⇒ r r aC = 0
r vr ωA = − k ⇒ r r ar ω& A = − k r r r 0,75 d) vA = v i ⇒ r r aA = ai 0,75
Disco C
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica (3,5 pontos) Questão 2 - O disco A de raio R gira em torno do eixo vertical y e a barra B de comprimento 2L está conectada ao disco por meio de um eixo horizontal que gira junto com o disco. A barra B gira em torno desse eixo r com velocidade angular relativa ao disco igual a − Ω i , constante. r y Na posição da figura o disco tem velocidade angular − ω j ω& P – extremidade r A e aceleração angular ω& j . Expressando as respostas na base superior da barra B ω C – centro da barra B do sistema de coordenadas Oxyz, solidário ao disco, pede-se para calcular: r r P j z k O a) A velocidade absoluta do ponto C, a velocidade r R relativa do ponto P e a velocidade absoluta do ponto P. i C
b) A aceleração absoluta do ponto C.
L
c)
Ω
d) A aceleração absoluta do ponto P.
L
B
A aceleração relativa do ponto P.
x
Solução: 1,5
a)
r r r r v P, rel = vC ,rel + Ω × rP / C r r r r v P, rel = 0 − Ω i × L j r r v P, rel = −Ω L k
r r r r v C = v O + ω × rC / O r r r r vC = 0 − ω j × R i r r vC = ω R k
r r r r v P, ar = vC + ω × rP / C r r r r v P, ar = ω R k − ω j × L j r r v P, ar = ω R k
r r r v P = v P, rel + v P, ar r r r v P = −Ω L k + ω R k r r v P = (ω R − Ω L) k 0,5
b)
r r r r r r r a C = aO + ω& × rC / O + ω × (ω × rC / O ) r r r r r r r a C = 0 + ω& j × R i − ω j × − ω j × R i r r r a C = −ω& R k − ω 2 R i
(
1,0
d)
c) 0,5
)
(
r r r r r r r a P ,ar = aC + ω& × rP / C + ω × (ω × rP / C ) r r r r r r r r a P ,ar = −ω& R k − ω 2 R i + ω& j × L j − ω j × − ω j × L j r r r a P ,ar = −ω& R k − ω 2 R i
(
r r r r a P = a P, rel + a P, ar + a P, cor r r r r r a P = − Ω 2 L j + − ω& R k − ω 2 R i + 2ω Ω L i r r r r a P = 2ω Ω L − ω 2 R i − Ω 2 L j − ω& R k
( (
) (
)
) (
(
r& r r r r r r a P ,rel = a C , rel + Ω × rP / C + Ω × Ω × rP / C rel r r r r r r r a P ,rel = 0 + 0 × L j − Ω i × − Ω i × L j r r a P ,rel = −Ω 2 L j
)
)
r r r a P ,cor = 2ω × v P, rel r r r a P ,cor = −2ω j × −ΩL k r r a P ,cor = 2ω Ω L i
)
)
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica (3,5 pontos) Questão 3 - A barra COD gira com velocidade angular ω constante ao redor do eixo z que passa por O. A extremidade B da barra AB desliza sobre o braço OD com velocidade s& constante. Pede-se para determinar, r r r expressando os vetores na base i , j , k , e em função de s& , l, ω e θ : y
a) C
A
b) As acelerações relativa, de arrastamento e absoluta do ponto B.
x
ω l
c)
D θ
r j
O
As velocidades relativa, de arrastamento e absoluta do ponto B.
B
r i
A velocidade relativa do ponto A, a velocidade angular relativa da barra AB ( θ& ) e a velocidade absoluta do ponto A.
d) A velocidade angular absoluta da barra AB.
s Solução: 1,0
a)
1,0
b)
r r v B, rel = s& i
r r a B , rel = s&& i r r a B , rel = 0
r aB r aB 1,0
r r r r v B, ar = vO + ω × rB / O r r r r r r v B, ar = 0 + ω k × s i = ω k × (l sen θ )i r r v B, ar = ω l sen θ j
r r r v B = v B, rel + v B ,ar r r r v B = s& i + ω l sen θ j
r r r r r r r a B ,ar = aO + ω& × rB / O + ω × (ω × rB / O ) r r r r r r r a B ,ar = 0 + 0 × l sen θ i + ω k × ω k × l sen θ i r r 2 a B ,ar = −ω l sen θ i r r r r r r = a B, rel + a B, ar + a B ,cor = 0 + − ω 2 l sen θ i + 2ω s& j r r = −ω 2 l sen θ i + 2ω s& j
(
() (
c)
) (
(
)
)
r r r r r r r v A, rel = v B, rel + θ& × rA / B = s& i + θ& k × l − sen θ i + cosθ j
)
r r r r s& v A, rel = s& i − θ& l sen θ j − θ& l cos θ i θ& = l cosθ ⇒ r r v A, rel = v A, rel j v & & A ,rel = −θ l sen θ = − s tgθ r r v A, rel = − s& tgθ j d) 0,5
r r r r r ω AB = ω rel + ω ar = θ& k + ω k = r s& r ω AB = + ω k l cosθ
r s& r k +ω k l cos θ
r r r a B ,cor = 2ω × v B, rel r r r a B ,cor = 2ω k × s& i r r a B ,cor = 2ω s& j
r r r r v A, ar = vO + ω × rA / O r r r r v A, ar = 0 + ω k × l cos θ j r r v A, ar = −ω l cosθ i
r r r v A = v A, ar + v A, rel r r r v A = −ω l cosθ i − s& tgθ j
Obs.: no item (c) podemos calcular θ& também por:
s = l sen θ ⇒ s& = l (cos θ )θ& θ& =
s& l cosθ
