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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA PME 2100 – MECÂNICA A 2a LISTA DE EXERCÍCIOS 2003
LISTA DE EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES AO LIVRO TEXTO (FRANÇA & MATSUMURA)
**********************PROBLEMAS DE ATRITO ******************* a g F
a a
2a h
a 2a
O
(1) Aplica-se uma força F horizontal num sólido homogêneo de massa m, conforme mostrado na figura. O coeficiente de atrito entre o sólido e o solo é µ. Pede-se: a) O diagrama de corpo livre do sólido. b) A força F máxima para que não ocorra escorregamento e nem pivotamento em torno do ponto O. c) A relação entre a, µ e h para que a eminência de escorregamento e pivotamento em torno do ponto O aconteçam simultaneamente.
2) O disco representado na figura é mantido em equilíbrio sob a ação das duas barras iguais, submetidas a forças horizontais, iguais, aplicadas em A e B. O disco é homogêneo, tem peso P e raio r. As barras têm peso desprezível. O coeficiente de atrito entre as barras e o disco é µ. Conhecendo também o ângulo α e a distância a, demonstrar que existem, em geral, um valor máximo e um valor mínimo de Q, compatíveis com o equilíbrio na posição indicada, e calcular esses valores. Resp.:
Q min =
Pr 1 o 2a senα + µ cos α
Q max =
Pr 1 o 2a senα − µ cos α
3) Sabendo que o coeficiente de atrito entre a barra e o disco vale µ = 0,5, determine em função de P os valores máximo e mínimo de Q, compatíveis com o equilíbrio do sistema. Resp.: Qmin = 2P/9; Qmax = 2P/3
1
4) O sistema representado é constituído por duas barras de pesos desprezíveis e por dois blocos retangulares iguais, cada um de peso P. Entre os blocos e entre o bloco inferior e o solo o coeficiente de atrito é µ = 0,25. A barra inclinada está articulada no bloco superior conforme a figura. Determine, em função de P, o valor máximo de Q ainda mantendo o sistema em equilíbrio. Resp.: Q = 3P/13
**********************CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO ******************* r 5) Seja A um ponto de uma figura plana em movimento plano e rA o seu vetor de posição. Pede-se mostrar que: r r r r r r a) o vetor posição rC do centro instantâneo de rotação C é dado por: rC = rA + (ω ∧ v A ) / ω 2 , onde ω é o
vetor de rotação da figura; r r r r b) a aceleração do centro instantâneo de rotação C será nula se, para um ponto A: a A = ( ω& v A ) ω + (ω ∧ v A ) 6) Mostre que se dois pontos P e Q de um mesmo corpo rígido têm, em um dado instante, a mesma velocidade, então: r (i) (P-Q) é paralelo ao vetor de rotação ω ou; (ii) o corpo realiza, neste instante, um ato de movimento translatório puro. 7) O disco de centro A e raio R rola sem escorregar sobre um plano horizontal com velocidade angular constante ω . A barra CD de comprimento L é articulada em C e D. A luva em D pode deslizar ao longo da guia vertical. Na condição indicada na figura ( φ = 45°), pede-se: r a) determinar a velocidade vetorial do ponto C, v C , e o Centro Instantâneo de Rotação, I, da barra CD, indicando-o graficamente; r b) o vetor de rotação Ω da barra CD; r c) a velocidade do ponto D, v D ; r d) a aceleração do ponto C, a C . D j L ω
φ= 4 5 ο C
A
R
o B
i
r r r r r r r r 2Rω r Resp: a) v c = −ωR ( i + j) b) Ω = − k c) v D = −2ωRj d) a C = ω 2 Ri L r 8) No mecanismo plano da figura, a barra EF é paralela ao eixo x e tem velocidade constante −v i . A barra AB é articulada em A, não havendo escorregamento entre o disco e as barras EF e AB nos seus pontos de contato D e C. Pede-se determinar em função de v, R e θ: a) O centro instantâneo de rotação I do disco, assim como o vetor (I - O); r r b) v O e o vetor de rotação do disco ω d ; r r c) v C e o vetor de rotação da barra AB ω b ; r d) a O (aceleração do ponto O); r e) a D supondo que D pertença à barra EF.
2
B
r j
C R
θ
O
V
A
r i
D E
F
r r r r r R r v cos θ r sen θ r v (sen θ i + cos θ j) j b) v O = − k c) v C = − v i ; ωd = − 1 + cos θ R 1 + cos θ cosθ 1 + cosθ 2 3 2 r r r r r r v sen θ v sen θ ωb = k d) a O = − i e) a D = 0 3 R cos θ(1 + cos θ) R cos θ(cos θ + 1)
Resp:a) I − O =
r r 9) I) Um ponto material P descreve uma trajetória elíptica, cujo vetor de posição é P - O = a cosω t i + b senω t j , sendo O um ponto fixo. Pede-se demonstrar que a aceleração é dirigida para o ponto O e é proporcional à distância de P a O.
II) A e B são dois pontos genéricos de um sólido em movimento qualquer. Demonstrar que: a) d(B-A)/dt é ortogonal a (B-A); b) a projeção das velocidades de B e A sobre a reta AB são iguais; r r c) a diferença de velocidades ( v B − v A ) é um vetor ortogonal a (B-A). 10) A barra AB é articulada em A e o ponto B escorrega sobre o plano; o disco de centro O e raio R rola sem escorregar sobre o plano, com velocidade angular ω = θ& constante. Pede-se determinar: a) graficamente o C.I.R. do disco e o da barra; b) a relação entre os ângulos ϕ e θ ; r c) o vetor rotação Ω da barra; d) a velocidade vetorial do ponto B; e) a aceleração vetorial do ponto A; f) os valores de θ para os quais a barra tem um ato de movimento de translação. r r r Obs: utilize os versores ( i , j, k ) indicados.
θ
ω
A
L B
R
φ
O
r j
r i
r Rω sen θ r r r k d) v = (ωR (1 + cos θ) + Ωl sen ϕ) i Resp: b) l sen ϕ = R (1 + cos θ) c) Ω = l cos ϕ r r r e) a = −ω R (sen θ i + cos θ j) f) θ = 0 ou θ = π B
2
A
3
11) Os discos da figura formam um corpo rígido, o qual gira sem escorregar sobre o trilho EF. A barra AB tem comprimento r√2 e tem sua extremidade B arrastada sobre o trilho EF. Sabendo que o ponto O tem velocidade escalar v, aceleração escalar a, e que o conjunto se desloca na direção de Ox no sentido crescente, determinar, em função de r, R, v e a: r a) a velocidade angular ω do disco; r b) a aceleração do ponto C ( a C ); r c) a velocidade do ponto A ( v A ); r d) a velocidade do ponto B ( v B ); r f) o vetor de rotação de AB ( ω AB ).
y
r
R
A
O
B
C
x F
E
r r r r vR r vr r r v r Rr Rr j c) v A = vi + v j d) v B = v 1 + i e) ω AB = 2 k Resp: a) ω = − k b) a = r r r r r 2
C
12)Um disco de raio r e centro O rola, sem escorregar, com velocidade angular ω constante, conforme indica a figura. A barra AB tem comprimento l e está presa, em B, numa sapata deslizante e, em A, num pino a uma distância a do centro do disco. Pedem-se em função de ω, a, l, r, e α: r a) a velocidade do ponto A ( v A ); b) o CIR da barra AB; r c) a velocidade angular da barra AB ( ω AB ); r d) a velocidade do ponto B ( v B ). α
A a
O r
B
l ω
r j r i
r r r r r r+a r+a r l cos α j k d) v B = ω Resp: a) v A = ω( r + a ) i c) ω AB = ω r−a r−a r r r r r r 13) Os pontos A(1,2), B(2,1) e C(-1,1) pertencem a um mesmo sólido. Sabendo que v A = i - 2 j e que v B = 3 i + m j , pedem-se: a) o valor de m. r b) a velocidade do ponto C ( v C ).
14) Na figura está representado o esquema de uma guilhotina. A lâmina móvel L da guilhotina é acionada pelas alavancas AOB e BD. É conhecida a velocidade angular ω da alavanca AOB e as seguintes dimensões: OB = L; O1D = 8L; BD = 6L. Determinar: a) o Centro Instantâneo de Rotação (CIR) da alavanca BD; r b) o vetor velocidade do ponto B ( v B ); r c) o vetor de rotação da alavanca BD ( ω BD );
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r d) o vetor velocidade do ponto D ( v D ); r e) a velocidade angular da lâmina móvel L ( ω L ).
L
B
O1
A
O ω
r j
D
r i
r
Resp.: c) ωBD =
ω r 10
k
r
e) ωL =
ω r 10
k
15) São dadas num determinado instante as posições dos pontos A(0,2,1), B(0,3,1), C(1,3,1) e D(0,3,2) e as velocidades r r r r r r r r r v A = j e v D = 2 i + k . Considere duas situações para a velocidade de C: v C = i e v C = − i . Pede-se: a) verificar se A, C e D podem pertencer a um mesmo sólido; considere as duas situações do ponto C e justifique a resposta; b) determinar a velocidade de B para que A, B, C e D pertençam ao mesmo sólido; r c) determinar o vetor rotação Ω desse sólido. r 16) O chassi do tanque de guerra indicado (esquematizado pela barra AB), move-se com velocidade − vi ( v > 0, cte) . A roda de centro B e raio r é ligada à anterior por uma esteira, não havendo escorregamento entre a esteira e as rodas. r r r Determinar por suas componentes na base ( i , j, k ) : r r r a) as velocidades v1 , v 2 , v 3 dos pontos P1, P2 e P3 indicados; r b) o vetor de rotação ω B da roda de centro B; r c) a aceleração do ponto P indicado; (P-A) paralelo a i ; d) a distância ao ponto A do CIR da roda de centro A. (Obs.: Todas as perguntas se referem ao movimento das rodas em relação ao solo).
ωΑ
r j
P2 Β r
R A
r i
P3
P P1
r r r r r r r r r v Rω A r 2 k c) a P = Rω A i d) IA = Resp: a) v1 = −( v + Rω A ) i ; v 2 = ( − v + Rω A ) i ; v 3 = v1 b) ω B = − r ωA
5
17) Os discos de raios r, centros A e B rolam sem escorregar, externa e internamente à circunferência fixa de centro O e rr raio R. O movimento se dá no plano do sistema móvel Oi j indicado. Dado o vetor de rotação do disco de centro A: r r r r r r r r ω A = ω A k , (ω A , cte. k = i ∧ j) , determinar por suas componentes na base ( i , j , k ) : r a) o vetor de rotação Ω da barra AB que esta articulada aos centros dos discos; r b) o vetor de rotação ω B do disco de centro B; r c) a aceleração a M do ponto médio M do segmento AB.
A
ω
A
B x Ο
y
r rω A r k a) Ω = R+r
Resp:
2 r r 2ω A r R − r c) a M = − i + R+r 2( R + r )
r r R−r b) ω B = − ωAk R+r
r j
18) A haste rígida OA gira com velocidade angular constante ω, movimentando o disco A que rola sem escorregar sobre o disco de centro O, que é fixo. Determine: a) o CIR da barra OA e do disco A; b) a velocidade do ponto A; r c) o vetor de rotação Ω do disco A; d) a velocidade e aceleração do ponto B. B
u
R Α ω
τ
Ο 2R
r r r r Resp: b) v A = 3Rω τ c) Ω = 3ω k r r r a B = −3Rω 2 u − 9 Rω 2 τ
r r r d) v B = 3Rω ( τ − u) ;
19) No sistema da figura os dois discos (O,r) e (O,R) são unidos entre si por um eixo em O, mas podem girar independentemente um do outro, sem atrito, em torno do eixo comum. O disco menor (O,r) rola sem escorregar sobre o plano horizontal com velocidade angular ω constante. A barra AC apóia-se no disco (O,R) e não há escorregamento no r r r contato. Pedem-se em função de ω, r, R e ϕ usando os versores ( i , j , k ) : a) a posição do CIR do disco (O,R) b) a velocidade angular Ω do disco (O,R) c) a velocidade angular ω B da barra AC e) a aceleração do ponto B da barra.
6
rr 20) O sistema indicado move-se no plano Oi j . A barra OA gira em torno de O, de maneira que ϕ=ωt (ω>0, cte). No r ponto A as barras estão ligadas por uma articulação. A extremidade B percorre um trecho do eixo Oj . Pedem-se: a) a posição do CIR da barra AB; r r b) a velocidade de B ( v B ) e a velocidade de A ( v A ); r c) o vetor de rotação Ω da barra AB; r d) a velocidade v M , do ponto médio de AB, M; r e) os valores máximo e mínimo de v M , indicando para quais valores de ϕ eles ocorrem. π Obs. i) Admitir que o sistema possibilita 0 ≤ ϕ ≤ . 2 r r r ii) Os vetores pedidos devem ser expressos na base ( i , j, k ) . iii) Os escalares pedidos devem ser expressos em função da variável ϕ.
r r r r r Resp: b) v B = 2lω cos ϕ j ; v A = lω ( − sen ϕ i + cos ϕ j) r r r r r r lω c) Ω = −ω k ( − sen ϕ i + 3 cos ϕ j) d) v M = e) v M 2
má x
=
r 3 lω ; v M 2
mín
=
1 lω 2
21) Os discos indicados (de raios R e r) movem-se num plano, rolando sem escorregar sobre a horizontal fixa. Num r r r r r certo instante o vetor de rotação do disco de centro O1 é Ω = Ωk , (Ω > 0, k = i ∧ j). Nesse instante a barra AB, cujas extremidades são articuladas a dois pontos na periferia dos discos, ocupa a posição indicada, na qual A, B e O2 estão r r r alinhados . Pedem-se nesse instante , em função das constantes. R, r e Ω, expressando os vetores na base ( i , j, k ): r r a) as velocidades v A e v B dos pontos A e B; 7
r b) o vetor de rotação ω do disco de centro O2.
r j
A 60o
r i
O1
B R r
O2
r r r r r r r Rr Resp: a) v B = − RΩ( 3 i + 3 j) ; v A = − RΩ( 3 i + j) ; b) ω = 2Ω k r
22) A extremidade A da barra AB move-se com velocidade horizontal v constante, conforme indicado na figura. Pedese: a) as coordenadas do CIR em relação ao sistema de coordenadas dado; b) a velocidade angular da barra AB; c) o vetor velocidade do ponto B. y
B lx
v
θ
h
x
A
r 23) No sistema da figura a barra AB move-se com velocidade − vi de módulo constante. Não ocorre escorregamento r r r no ponto K entre o disco de raio r e a barra OC. Utilizando a base ( u, τ, k) , pede-se: a) determinar graficamente o CIR do disco; r b) o vetor de rotação Ω do disco; r c) o vetor de rotação ω da barra OC; r& d) o vetor aceleração angular Ω do disco; r e) os vetores aceleração a K dos pontos K do disco e da barra. r j r i r τ O
C
K
r u
A
ϕ
r
8
B v
24) O mecanismo plano de quatro barras é constituído por barras com dimensões: AB = CD = L e AD = BC = 2L. As barras estão articuladas em A, B, C, D conforme a figura. O disco de raio r e centro G rola sem escorregar sobre a barra BC com velocidade angular ω . O ângulo entre as barras AB e AD segue a Lei horária θ = Ω t ( Ω = constante). O ponto E de contato está situado na metade da barra BC e o ponto F está na periferia do disco e na vertical definida pelos pontos E e G. Pedem-se: r a) a velocidade do ponto E ( v E ); r b) a velocidade do ponto F ( v F ); c) as coordenadas do centro instantâneo de rotação para o circulo quando θ = 45° ; d) a aceleração do ponto E pertencente ao disco. F ω R
G
C
B E
r j
θ
A
r i
D
r r r r r r Resp: a) v E = LΩ( − sen θ i + cos θ j) b) v F = − ( LΩ sen θ + 2 rω ) i + LΩ cos θ j r r 2 r Ω 2 Ω L 1 + 2 − , L 1 − d) a E = − LΩ 2 cos θ i − ( LΩ 2 sen θ − rω 2 ) j c) ω 2 ω 2
25) Na figura os discos concêntricos são solidários. A barra AB move-se horizontalmente com velocidade constante v. Não há escorregamento em D. Um fio, flexível e inextensível, é enrolado no disco menor e sua extremidade E tem velocidade absoluta igual a 2v como mostrado na figura. Adotando como referencial móvel a barra AB e utilizando os
r r r
versores ( i , j , k ) , pede-se: a) a velocidade relativa (vD,rel) e absoluta (vD,abs) do ponto D; r b) o vetor de rotação absoluta ( ω ) dos discos; c) o CIR ods discos; d) as acelerações relativa, de arrastamento, de Coriolis e absoluta do ponto D do disco.
j i
3r
E C r
v
A
D
9
2v B
r r r r 3v r r Resp.: a) v D = − vi; v D, rel = 0 b) ω = - k 4r
c) (I - D) =
4r r j 3
r r r r 27 v 2 r r r d) a D, arr = 0; a D, cor = 0; a D = a D, rel = j 16r 26) A figura mostra um sistema de captação de energia eólica composto por um rotor horizontal acionado por uma hélica de 3 pás e raio R. A carcaça do rotor AB pode girar em torno do eixo vertical Oz. Uma rajada de vento imprime
& (t ) e provoca um movimento de rotação do conjunto em torno de Oz dado por θ&(t ) . Em rotação à hélice dada por Φ r r r
& ,Φ && , θ&, θ&& e dos parâmetros geométricos, pede-se, expressando os resultados na base móvel (i , j , k ) , função de Φ, Φ solidária à carcaça AB: a) o vetor de rotação absoluto da hélice ω e a velocidade vB do ponto B; b) a velocidade vetorial do ponto P da pá nº 1, situado em sua linha central a uma distância r de B; c) a aceleração vetorial do ponto P; d) a aceleração de Coriolis do ponto Q, na extremidade da pá.
d)
r
r
r
ω = φ&j + θ&k r r & &R sen φj a G = −2θφ
Resp.: a)
r r r r b) v = −(θ&a + φ&r sen φ ) i + (θ&r cos φ ) j − (θ&r cos φ )k P
r r& c) a P = v P
z
A
B
O
& (t) Φ
r x
a
Φ(t)
y
P Q
QB=R 27) A plataforma circular mostrada na figura tem velocidade angular ω constante. A barra AO e o disco de raio a e centro A giram com a plataforma, permanecendo sempre no plano Oyz do sistema de coordenadas (O, x, y, z) de
r r r
versosres (i , j , k ) solidário à plataforma. O ângulo ϕ0 é constante. Pede-se em função de θ , θ&, θ&& e demais dados do problema: a) os vetores velcidade relativa, de arrastamento e absoluta do ponto B, pertencente à periferia do disco;
10
b) os vetores aceleração relativa, arrastamento e absoluta do mesmo ponto B.
z
A l
a B θ , θ&, θ&&
ϕ0
y
ω
x r r r r = θ&a (cosθj + senθk ) v B, arr = -(lcosϕ 0 + a senθ )ωi
r
Resp.: a) v B, rel r r r b) a = (−θ& a sen θ + θ&&a cos θ ) j + (+θ& a cos θ + θ&&a sen θ )k 2
B, rel
r a B, arr
r = −ω 2 ( l cosϕ 0 + a senθ ) j
2
r r a B, cor = −2ωθ&a cosθi
28) No guindaste ilustrado na figura, a velocidade de içamento do peso A é V, constante. A cabine e a lança AO do guindaste giram com velocidade angular ω, constante, em torno de um eixo vertical passando por O. Supondo AB sempre vertical e sendo a cabine o referencial móvel e o solo o referencial fixo, pede-se, usando a) a velocidade absoluta do ponto A, supondo α constante; b) a aceleração absoluta do ponto A, supondo α constante; c) a velocidade absoluta do ponto A, supondo α& = Ω constante.
y
B
ω
h b A
v
α x
O
r r r r r vA = vj + -ωbcosαk b) a A = −ω 2b cosαi r r r r c) vA = −α&b sen αi + (α&b cosα + v ) j − ωb cosαk
Resp.: a)
11
r r r (i , j , k ) :
29) Um caminhão de bombeiros avança com velocidade vc constante. Ao mesmo tempo, sua escada gira em torno de
& . Um homem sobe a escada com um eixo normal ao plano da figura e que passa por O, com velocidade angular Ψ velocidade relativa a esta v = s& . São dados s(t) e Ψ(t). (portanto também conhecidos dos dados: a)
Sendo a escada o referencial móvel, vr, va, v, do homem, usando os versores
b) Idem, usando os versores
r r r (u , τ , k ) ;
& ,Ψ && ). Obter em função v, v& , Ψ
r r r (i , j , k ) ;
v, v&
s u
τ O
j
c)
ψ , ψ& , ψ&&
vc i
Também para o homem, e sendo a escada ainda o referencial móvel, ar, aa, a, usando os versores
r
r
r
Resp.: b) v ar = v c cosψu + (ψ&s − vC senψ )τ
c)
r r r (u , τ , k ) .
r r r a = (v& - ψ& 2 s) u + (ψ&&s + 2ψ&v )τ
30) O triedro (Oxyz) gira em torno de Oz, fixo, com velocidade angular ω1. O plano AOB gira em torno do eixo Oy com velocidade angular ω2, relativas ao triedro (Oxyz). O ângulo θ entre as barras AO e OB é constante. Na posição mostrada na figura, em que o plano AOB coincide com o planio Ozy, pede-se, utilizando como referencial móvel o triedro (Oxyz): a) as velocidades vetoriais relativa, de arrastamento e absoluta do ponto B; b) as acelerações vetoriais relativa, de arrastamento, complementar (Coriolis) e absoluta de B.
z ω1 ω& 1
B l
θ
O
A
y
ω 2 , ω& 2
x r r v abs = (ω 2 sen θ − ω1 cosθ ) li r r r = (ω& 2 senθ − ω& 1 cosθ ) li + (2ω1ω 2 senθ − ω12 cosθ ) lj − ω 22l senθk
Resp.: a) b)
r a abs
31) O mecanismo da figura consiste de uma barra AO que gira em torno da extremidade O com velocidade angular ω constante. A extremidade A é presa por um pino no cursor (ver figura) que pode deslizar internamente ao garfo DB, articulado em D. Usando como referencial móvel o garfo DB, determine em função da ω, l, a, s para θ=90º: a) a velocidade absoluta do ponto A; b) a velocidade relativa e de arrastamento do ponto A;
12
c)
a velocidade angular Ω do garfo DB.
B
O
r j
a
A
l
θ ω
r i
s
D
Resp.: b)
ar r r l2 r vA, rel = −ωl i v A, arr = −ω j s s
r ω .l 2 r c) Ω = - 2 k s
32) No mecanismo da figura a barra OC apresenta movimento de rotação em torno de O, com velocidade angular ω, constante. O anel A escorrega sobre a barra OC e a barra AB, articulada no anel, tem liberdade de movimento apenas na vertical. Pede-se calcular a velocidade relativa de A com respeito à barra OC.
ω r j
r i
C
A
ϕ
O B
l
Resp.:
ωl sen ϕ r r vA, rel = i cos2 ϕ
EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES Beer & Johnston (Cap. 15)
14, 18, 34, 38, 46, 48, 52, 54, 62, 72, 80, 84, 94, 102, 106, 110, 114, 120, 122, 134, 152, 182, 190, 194, 196, 200, 208.
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