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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 1ª LISTA DE EXERCÍCIOS - PME 2100 - MECÂNICA A SISTEMA DE FORÇAS E ESTÁTICA 2003 (revisada em AGO/03)
LISTA DE EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES AO LIVRO TEXTO (FRANÇA & MATSUMURA)
r r r F1 = i + j aplicada no ponto O ( 0,0,0) ; r r r F2 = i + k aplicada no ponto A (1,0,1) ; r r r F3 = j − k aplicada no ponto B (0,11 , );
1) Dado o sistema de forças:
a) determinar a resultante e o momento em relação ao ponto O; b) verificar se o sistema é redutível a uma única força;
2) Uma força
r F
r
é aplicada na borda de uma placa circular de raio "a", como indicado na figura. Pedem-se:
a) determinar o sistema equivalente a F , constituído por uma única força aplicada em D e um binário; b) o valor de θ para que o momento em relação a D seja máximo.
y B a θ
O
A
D
x
Problema 2. Resp: b)
tgθ = 2 2
3) A figura mostra uma placa triangular de peso P. Sobre a placa age a força
r r r r −2aP i − bPj + 3mak binário de momento M = . Pede-se: 3 r a) determinar a resultante R ; r b) determinar o momento M B ;
r r r r F = m i + nj + Pk aplicada no ponto B e um
c) mostrar que o sistema é redutível a uma única força; d) justificar porque a placa, sob a ação do carregamento descrito, pode permanecer em equilíbrio estático vinculada apenas por um anel de eixo perpendicular ao plano da placa; e) determine o lugar geométrico dos pontos da placa nos quais o anel pode ser posicionado.
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z
a
A b
B
G
y
C x
P Problema 3.
Resp: b)
r r M B = amk
4) Dado um sistema de forças a sua resultante Justificar.
r r R pode ser paralela ao momento M O calculado em relação a um pólo O?
r r r r P = −2 pk e aresta "a". Sobre o cubo agem as forças F1 = 3pk aplicada no r r r r r r r ponto H e F2 = − pi − 2 pj aplicada no ponto O, e um binário de momento M = −3api + 4apj + apk . Pede-se: r a) determinar a resultante R ; r b) determinar o momento M O ; 5) A figura mostra um cubo homogêneo de peso
c) verificar se é possível reduzir o sistema a uma única força, justificando.
z D A
C B
H
O
y
E x
F Problema 5.
6) A placa dobrada em "L" indicada na figura está sujeita às forças
r r F1 = p i , O ;
r r b) determinar o momento M O ; pede-se:
a) determinar a resultante R ;
c) verificar se é possível reduzir o sistema a uma única força, justificando;
(
)
r r F2 = 2pj , A ;
(
)
r r F3 = 2 pk , B ,
(
)
3
z
4a A
F y 3a 5a
F
B
O
F x
Problema 6. Resp: b)
r r r M O = 2api − 10apj
c) não é possível.
r r r r M = M i e uma força F = Fj , A . Pede-se determinar as reações externas
7) A barra ABCDEFG mostrada na figura é vinculada em C por um anel pequeno, em E por uma articulação e em F por um apoio simples. Aplicam-se à barra um momento
(
)
utilizando o sistema de coordenadas indicado.
A
F z
a
y
C
D
2a
B
a E
a
a
a
G
x M
F
Problema 7.
Resp:
X E = ZE = 0
YC = −2F
M − aF 2a
ZF = −ZC =
YE = F
8) A roda dentada C, de raio "10a" e o pinhão D de raio "a" foram montados na árvore horizontal AB. As demais dimensões estão indicadas na figura. A força aplicada em C é horizontal e vale P. A força aplicada em D é vertical e vale Q. Pede-se: a) determinar a relação entre P e Q para que haja equilíbrio; b) as reações nos mancais (anéis) A e B em função de P, na condição de equilíbrio. a
z
8a a
P Q
C 10a
D A
B
y
a
x
Problema 8. Resp: a)
P=Q
10
b)
XA = − P 10
XB = −9P 10
ZB = − P
ZA = −9P
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9) A barra ABCDEG mostrada na figura é vinculada em A por um apoio simples, em B por uma articulação e em E por um r r r anel pequeno. Aplicam-se à barra as forças P j − P k , G e − P i , C conforme indicado na figura. Pede-se determinar as reações externas utilizando o sistema de coordenadas indicado.
(
) (
)
P
G
a
P A
E y
2a P
C
B
D
x a
a
Problema 9. Resp:
X B = 7P 2
X E = − 5P 2 YB = 2 P
YE = −3P Z A = − 5 P 4 Z B = 9P 4
10) A figura mostra o cubo homogêneo ABCDEFHI de peso P e lados "2a", mantido em equilíbrio estático através de uma articulação em E, do anel pequeno em H e do fio em D, que forma 450 em relação à reta que passa por AD. Sabendo que os fios e polia, admitidos sem peso, estão no plano que contém a face ABCD e dadas as forças
r
r
conforme indicado na figura, pede-se, utilizando o sistema de coordenadas indicado: a) a força de tração T no fio DK; b) as reações externas em E, H, J e K. z H E Q
J
A
D
45º
G y
F B S
fio
I
P
K C
x
Problema 10.
Resp:
ZJ =
XE = − Q −
(
)
P 2
P 2 + 1 + S 2
P ZE = P 2 YE = −Q − S − 2
ZH = − S
XH = Q + S +
P 2
r
(P, G) ; ( Q, A) e (S, B)
YJ = S +
P 2
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11) A figura mostra a placa homogênea horizontal ABCD de peso P e lados "2a" e "4a" mantida em equilíbrio estático através de uma articulação em D, de três barras de peso desprezível e do fio em C. Sabendo-se que os fios e as polias, admitidos sem peso, estão no plano Ozy e o bloco tem peso
(2 2P ) , pede-se determinar as forças nas barras, indicando se são de tração ou
de compressão, e na articulação D. z G a
H 45º
C
B
F a E
J
y
a 2a A
D
4a
2 2P
x
Problema 11. Resp:
FGB = P 2 compressão; FEA = P 2 tração; XD = ZD = − P 2
YD = − P
12) Um sistema de elevação de cargas é acionado através de um mecanismo que gira a polia de centro N, conforme indicado na figura. As barras ABC, CDE e AE, as polias e o fio têm pesos desprezíveis. Para a situação de equilíbrio indicada, a carga 3P está em repouso. Pede-se: a) o diagrama de corpo livre das polias; b) as reações em A e E; c) as forças que agem nas barras ABC, CDE e AE. M 0,75L
L
R N
r C
B
A
D
O 3P
Problema 12.
L
E
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13) A barra homogênea AB de peso P, engastada à parede com um ângulo α, tem comprimento livre (descontando a parte engastada) "b". Conforme indicado na figura ela sustenta um cilindro de peso Q, cujo contato E com a barra dista "a" do ponto A na parede. Considere o cilindro simplesmente apoiado na barra e na parede, isto é, despreze atritos. Faça os diagramas de corpo livre e calcule as reações no engastamento.
B
E α
A b
a
Problema 13. Resp:
(
) ( )
M A = Q a sen α + P 2 b sen α
X A = − Q cot α
YA = P + Q
r
14) Na estrutura em forma de T, de peso desprezível, tem-se uma articulação em A, apoio simples em B (plano de apoio Bxz) e um anel pequeno em D. Os esforços ativos são
r
( Qj, C) e o binário M i . Pede-se:
a) o diagrama de corpo livre da estrutura; b) as reações externas; c) um esquema da estrutura com os esforços ativos e as reações. y
C
L
B
A
Q
L
L
M
D
z
L
x E
Problema 14.
Resp:
X A = ZA = YD = ZD = 0
YB = −2 Q −
M l
YA = Q +
M l
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r
15) O sistema mostrado na figura é constituído pela barra AD e pela placa triangular BCD, ambas de peso desprezível. O sistema é vinculado por articulações em A e D e por apoios simples em B e C. Aplicam-se à placa a força
r
( Q, E) e à barra o
momento M ortogonal ao plano da figura. Pede-se: a) o diagrama de corpo livre de cada elemento; b) as reações externas ao sistema; c) a relação entre
r r Q e M para que a reação em C seja nula. C
D
E
Q
M
A
L
L/2 B
L
L
Problema 15.
16) Uma caixa de peso P é mantida sobre o plano inclinado ABD por um fio CP e pela força horizontal H, paralela ao eixo Oz. A caixa é apoiada sobre rodízios de maneira que a reação de apoio é unicamente normal ao plano inclinado. Dados BC = 2L; BD = BO = 3L; AO = 4L e PD = 4L. Pede-se: a) diagrama de corpo livre da caixa; b) a tração no fio; c) a força horizontal H. y C D B P
H
O z
x A
Problema 16. Resp: b)
r r r r T = 0,72P −0,51i + 0,71 j + 0,48k
(
)
8
17) A placa de peso P da figura é articulada no ponto A e tem um orifício circular de centro B e raio "r". Para as dimensões indicadas, pede-se a força Q necessária para manter a placa na posição indicada.
y
g
2R
R
R
x B r
A Q
Problema 17.
Resp:
πr 2 Q = P1 − 2 2 2 4 R + π R − r
(
)
r
18) O pedal mostrado na figura é constituído por elementos rigidamente ligados: o eixo AEB, a haste DG e a alavanca CED. O
(F, Cr) o sistema é r
pedal é sustentado por uma articulação em A e por uma anel pequeno em B. Quando se aplica a força equilibrado pela força
r
(T, G)
r
(F, C) , onde
vertical. Aplica-se ao ponto C a força
r r F = −2P i + Pj − 5Pk . Usando o
r
sistema de coordenadas indicado, pede-se: a) o valor da força T ; b) as reações nos vínculos A e B. k
k
D
D≡G
a 30°
G
T
T A
5P
2a
2P 5P
2a
E
C
C A≡ B≡E
B
i i
2P
P
4a j
k a D
G
B
C A
2a
2a
Problema 18.
2a
9
19) O avião mostrado voa com velocidade horizontal constante. Sua distribuição de massa é simétrica em relação ao plano Oxz. As forças atuantes no avião estão representadas na figura. Conhecidas as forças de sustentação (L) atuantes nas asas principais, a força de arrasto aerodinâmico (D) e o peso próprio (P), pede-se: a) a força de empuxo (E) de cada turbina; b) a coordenada "x" do centro de massa e a força de sustentação aerodinâmica (F) de cada asa posterior. z F
E C
F
x
v
g
E P
F
D a
O
L
z
O
x
y
E
L
P
L x
2d
b
Problema 19.
Resp:
E = D2
x=
− D( a + c) + b( P − 2 L) P
F=
P −L 2
20) O arame da figura tem peso especifico γ e área de seção transversal S. O trecho reto AB tem comprimento L e forma um ângulo reto com o plano que contém o trecho BCD de raio R. Pede-se o ângulo que o trecho AB forma com a vertical na posição de equilíbrio estático. A
L θ B R
C
Problema 20.
2 πR 2 Resp: θ = arctg 2 L + 2 πRL 2
D
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21) Uma haste semicircular de raio "r" e massa "m" é sustentada por um anel A. Um corpo de massa "m" e dimensões desprezíveis é ligado à haste no ponto C. Pede-se: a) o baricentro da haste e do conjunto; b) θ = θ(α); c) o valor de θ quando α = 90º.
A
θ
r α
B
C
Problema 21.
(
Resp: baricentro da haste: G = −2 R ; −R π
)
2 + sen α π b) θ = arctg 2 + cos α
22) Os elementos da estrutura mostrada têm peso desprezível. dados AF=FB=2L; BG=6L; CG=5L; r=2L; BE=10L; DB=4L e sabendo-se que A é um apoio simples e B, C e E são articulações, pede-se: a) as reações externas; b) o diagrama de corpo livre de cada elemento; c) as forças na polia; d) a tração na polia; e) as forças que agem nas barras AC e DE; f) a representação final de forças na estrutura. A F D
E B
Q
G
C
Problema 22. Resp:
X A = − X C = − 4Q 5
YC = Q
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23) No sistema em equilíbrio estático mostrado na figura, todos os elementos têm pesos desprezíveis à exceção da barra homogênea AB de peso 2P. As polias têm mesmo raio. Usando o sistema de coordenadas e as dimensões indicadas e com Q conhecida, pede-se: a) as reações em O e nos vínculos A e B; b) as forças nas barras CB, CD e AD; c) as forças na barra AB. Obs: quando pertinente indique se as forças são de tração ou compressão. D
O
y
a
A
B
a
x
C
2P a/2
a/2 Q
Problema 23. Resp:
(
FCD = Q
)
2 −1
FAD = 0
24) A treliça mostrada na figura, de peso desprezível e dimensões indicadas, está sujeita à força Q horizontal e está vinculada por articulações em A e B. Calcule as reações externas e as forças em todas as barras, indicando se são de tração ou de compressão. E
Q
F
L C
D
L B
A
L
Problema 24. Resp:
FAC = 2Q (tração);
FBD = −Q
FBC = − 2Q
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25) O sistema de barras AF, DB e DF, de pesos desprezíveis, está unido pelas articulações D, E e F. O sistema é vinculado externamente pela articulação A e pelo apoio simples B. Aplica-se a força vertical P na barra DF, distante "b" da articulação D. Pede-se: a) o diagrama de corpo livre de cada barra; b) as reações externas; c) as forças internas em E; d) a distância "b" para minimizar o esforço em E. Resp: b = a 2 b F
D P a E
B A a Q
Problema 25.
r F como mostrado na figura, pede-se determinar
26) A placa quadrada ABCD, homogênea de peso Q, está presa em A por um anel pequeno e articulada em B e D. A barra DE está articulada em E. O raio da polia é "r". Sendo aplicada ao sistema a força as forças de reação em A, B e D. z a y
B α
A x
C a/2 D
a/2
P
F E
Problema 26.
27) Determinar a resultante do sistema de forças mostrado na figura e o seu momento em relação ao ponto C. Verificar se o sistema é redutível a uma única força. Em caso positivo, determinar as intersecções da linha de ação da resultante com as barras CD e AC. 3F
10F
A
M=10Fh
B
C
1,5h D h
2h
Problema 27.
F
13 y C
28) A estrutura é formada pelas barras AC, BD e CE, de peso desprezível. A polia e o fio, ideais, também têm peso desprezível. O fio sustenta um bloco de peso P. a) Desenhe o diagrama de corpo livre da polia e o diagrama de corpo livre da estrutura formada pelas barras.
2a B
b) Determine as reações dos vínculos em A e E. c) Determine todas as forças que atuam nas barras AC, BD e CE. D
2a
a A
E
P
x
2a
2a
29) A barra ABCDEH tem massa desprezível e está submetida ao seguinte sistema de forças:
(Frr , C ) (Fr , H ) (F , D ) 1
z
2 3
r
r r F1 = + Q j r r r F2 = −Q j + Q k r r r F3 = +Q i + Q j
a) Determine a resultante R , do sistema de forças.
r
b) Calcule o momento M A , do sistema de forças em relação ao pólo A.
B
Q
Q
a
2a C
c) Verifique se o sistema é redutível a uma única força.
Q
2a
A D 2a Q a
y H
Q
d) Determine o sistema de forças que, se aplicado na barra, em adição ao sistema de forças original, equilibraria a barra. Este novo sistema de forçasr deve ser composto por um binário de momento r M e uma força F aplicada em B.
2a
x E
PROBLEMAS SUPLEMENTARES BEER&JOHNSTON Capítulo Exercício 2 48, 52, 94, 96 3 64, 66, 80, 90, 92, 94 4 10, 12, 18, 22, 34, 40, 82, 108, 113 5 6, 30, 106, 118 6 52, 54, 58, 74, 78
