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PME2100 - MECÂNICA A 2 LISTA DE EXERCÍCIOS - CINEMÁTICA 2009 a
LISTA DE EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES AO LIVRO TEXTO (Cap. 6 e 7) (FRANÇA, L. N. F.; MATSUMURA, A. Z. Mecânica Geral. Ed. Edgard Blücher, 2ª ed., 2004)
1) Os pontos A(1,2), B(2,1) e C(−1,1) pertencem a um mesmo sólido. Sabendo que r r r r r r v A = i − 2 j e que v B = 3i + m j , pedem-se: a) O valor de m. r b) A velocidade v C do ponto C. Respostas:
a) m = 0
r r r b) VC = 3i − 6 j
2) São dadas num determinado instante as posições dos pontos A(0,2,1), B(0,3,1), r r r r r C(1,3,1) e D(0,3,2) e as velocidades v A = j e v D = 2i + k . Considere duas situações para r r r r a velocidade de C: v C = i e v C = −i . Pede-se: a) Verificar se A, C e D podem pertencer a um mesmo sólido; considere as duas situações do ponto C e justifique a resposta. b) Determinar a velocidade de B para que A, B, C e D pertençam ao mesmo sólido; r c) Determinar o vetor rotação Ω desse sólido. Respostas:
r r V = i a) sim C
r r r r b) VB = i + j + k
r r r r c) Ω = i + j − k
3) A e B são dois pontos genéricos de um sólido em movimento qualquer. Demonstrar que: a)
d (B − A) é ortogonal a (B − A) . dt
b) A projeção das velocidades de B e A sobre a reta AB são iguais. r r c) A diferença de velocidades (v B − v A ) é um vetor ortogonal a (B − A) . 4) Mostre que se dois pontos P e Q de um mesmo corpo rígido têm, em um dado instante, a mesma velocidade, então: r i) (P − Q ) é paralelo ao vetor de rotação ω ou ii) O corpo realiza, neste instante, um ato de movimento translatório puro.
1
r 5) Seja A um ponto de uma figura plana em movimento plano e rA o seu vetor de posição. Pede-se mostrar que: r a) O vetor de posição rC do centro instantâneo de rotação C é dado por r r r r r rC = rA + (ω ∧ v A ) / ω 2 , onde ω é o vetor de rotação da figura. b) A aceleração do centro instantâneo de rotação C será nula se, para um ponto A: r r r r a A = (ω& v A ) / ω + (ω ∧ v A ) 6) O chassi de um tanque de guerra (localizado entre as rodas A e B da figura) translada r com velocidade v i (v > 0, constante). A roda de centro B e raio r é ligada à anterior por uma esteira, não havendo escorregamento entre a esteira e as rodas. Não havendo escorregamento entre a esteira e o solo inclinado por onde anda o tanque, determinar por r r r suas componentes na base i , j , k : r r r a) As velocidades v1 , v 2 , v3 dos pontos P1, P2 e P3 indicados. r r b) Os vetores de rotação ω A e ω B das r P2 j r roda de centro A e B, ωA R respectivamente. r B i c) A aceleração do ponto P indicado; (P A r P - A) paralelo a i . P3 d) Trace a distribuição de velocidades do pontos do segmento de reta que P1 vai de P1 a P2 .Obs.: todas as perguntas se referem ao movimento das rodas em relação ao solo.
(
)
Respostas:
r r r r r r v = 2 v i v = 0 a) 1 ; 2 ; v3 = 0
r
b)
ωA = −
r Rω A r v r k e ωB = − k R r
r
r
2 c) a P = Rω A i
2
7) O disco de centro A e raio R rola sem escorregar sobre um plano horizontal com velocidade angular constante ω. A barra CD de comprimento L é articulada em C e D. A luva em D pode deslizar ao longo da guia vertical. Na condição indicada na figura (φ = 45o), pede-se: r a) Determinar a velocidade vetorial vC do ponto C, e o centro instantâneo de rotação I, da barra CD, indicando graficamente. r b) O vetor de rotação Ω , da barra CD. r c) A velocidade v D do ponto D. r d) A aceleração aC do ponto C.
r j
D
r i
L
ω C
A R
φ = 45o
O
B
Respostas: r 2 Rω r Ω=− k L b)
r r r v = − ω R ( i + j) C a)
r r 2 = ω a R i C d)
r r = − 2 ω v R j D c)
8) Os discos da figura formam um corpo rígido, o qual gira sem escorregar sobre o trilho EF. A barra AB tem comprimento r 2 e tem sua extremidade B arrastada sobre o trilho EF. Sabendo que o ponto O tem velocidade escalar v, aceleração escalar a, e que o r conjunto se desloca na direção de i , determinar, em função de r, R, v e a: a) b) c) d) e)
r
O vetor de rotação ω do disco. r A aceleração a C do ponto C. r A velocidade v A do ponto A. r A velocidade v B do ponto B. r O vetor de rotação ω AB da barra AB.
r j r i B
A
O R
r C
F
E
Resposta: r
a)
vr r
ω=− k
r v2 r aC = j r b)
r r Rr v A = vi + v j r c)
r R r v B = v 1 + i r d)
r
e)
ω AB =
vR r k r2
3
ϕ
rr
9) O sistema indicado move-se no plano Oi j . A barra OA gira em torno de O, de maneira que ϕ = ωt (ω > 0, constante). No ponto A as rbarras estão ligadas por uma articulação. A extremidade B percorre um trecho do eixo Oj . Pedem-se: a) A posição do CIR da barra AB. r r B b) A velocidade v B de B e a velocidade v A de A. r c) O vetor de rotação Ω da barra AB. l r d) A velocidade v M , do ponto médio M da barra AB. r e) Os valores máximo e mínimo de v M , A r indicando para quais valores de ϕ eles j ocorrem. l π ϕ Obs. i)Admitir que o sistema possibilita 0 ≤ ϕ ≤ . r 2 i O r r r ii) Os vetores pedidos devem ser expressos na base (i , j ,k ) . iii)Os escalares pedidos devem ser expressos em função da variável ϕ. r r r r r v = 2 l ω cos ϕ j v = l ω ( − sen ϕ i + cos ϕ j) B A Resposta: b) ; r r r r r lω 3 d) v M = ( − sen ϕ i + 3 cos ϕ j ) e) v M máx = lω ; vM 2 2
10) A extremidade A da barra AB move-se y com velocidade horizontal v constante, conforme indicado na figura. Pede-se: a) As coordenadas do CIR em relação ao sistema de coordenadas dado. b) A velocidade angular v da barra AB. A c) O vetor velocidade do ponto B. h r v sin 2 (θ ) r y CIR = ω=− k 2 sin (θ ) h Respostas: a) b) r vl sin 3 (θ ) r vl sin 2 (θ ) cos(θ ) r j c) VB = i − v + h h
mín
r r Ω = − ω k c) 1 = lω 2
B l
θ
h x
4
11) Na figura está representado o esquema de uma guilhotina. A lâmina móvel L da guilhotina é acionada pelas alavancas AOB e BD. É conhecida a velocidade angular ω da alavanca AOB e as seguintes dimensões: OB = l; O1D = 8l, BD = 6l. L B
O1
r j
A O
r i D
ω
Determinar: a) O Centro Instantâneo de Rotação (CIR) da alavanca BD. r b) O vetor velocidade v B do ponto B. r c) O vetor de rotação ω BD da alavanca BD. r d) O vetor velocidade v D do ponto D. r e) O vetor de rotação ω L da lâmina móvel L.
r ω r r r r r r ω BD = k 10 Resp.: b) V B = ωl j c) d) V D = 0,48ωli + 0,64ωlj
r
e)
ωL =
ω r 10
k
12) No mecanismo plano da figura, a barra EF é paralela ao eixo x e tem velocidade r constante − vi . A barra AB é articulada em A, não havendo escorregamento entre o disco e as barras EF e AB nos seus pontos de contato D e C. Pede-se determinar em função de v, R e θ: r a) O centro instantâneo de rotação I do disco, assim como (I − O). r r j B b) vO e o vetor de rotação ω d do disco. r r C c) vC e o vetor de rotação ω b da barra AB. r r i d) A aceleração aO do ponto O. θ R O A r e) a D , supondo que D pertença à barra EF. v
E
F
D
Respostas:
r r r R r v v cos θ r b) vO = − ωd = − j i; k R(1 + cos θ ) cos θ 1 + cos θ r r r r r v sen 2 θ v sen θ sen θi + cos θj c) vC = − ; ωb = − k 1 + cos θ R cos θ (1 + cos θ ) 2 3 r r r r v sen θ d) a O = − e) a E = 0 i ; 3 R cos θ (1 + cos θ )
a) I − O =
(
)
5
13) A barra AB é articulada em A e o ponto B escorrega sobre o plano; o disco de centro O e raio R rola sem escorregar sobre o plano, com velocidade angular ω = θ& constante. Pede-se determinar: a) Graficamente o CIR do disco e o da barra. b) A relação entre os ângulos ϕ e θ. r θ r j c) O vetor de rotação Ω da barra. ω A d) A velocidade vetorial do ponto r B. i L O e) A aceleração vetorial do ponto R A. ϕ B f)Os valores de θ para os quais a barra tem um ato de movimento de translação. r r r Obs.: utilize os versores i , j e k indicados. r Rωsenθ r Ω=− k r r L cos ϕ Resp.: b) L sen ϕ = R(1 + cos θ ) c) d) v B = [ωR(1 + cos θ ) + ΩLsenϕ ]i r r r e) a A = −ω 2 R(sen θi + cos θj ) f) θ = 0 ou θ = π 14) Um disco de raio R e centro O rola, sem escorregar, com velocidade angular ω constante, conforme indica a figura. A barra AB tem comprimento L e está presa, em B, numa sapata deslizante e, em A, num pino a uma distância a do centro do disco. Pedemse, em função de ω, a, L, e R, para a posição mostrada na figura: r a) A velocidade v A do ponto A. B b) O CIR da barra AB. ω r α c) O vetor de rotação ω AB da barra AB. r A L r j d) A velocidade v B do ponto B. a r i
r r Resp.: a) v A = ω (R + a )i
r
R + ar k R−a
ω AB = ω
c)
O
R
r r R+a 2 2 vB = ω L L − ( R − a) j R−a d)
6
15) No sistema da figura os dois discos (O, r) e (O, R) são unidos entre si por um eixo em O, mas podem girar independentemente um do outro, sem atrito, em torno do eixo comum. O disco menor (O, r) rola sem escorregar sobre o plano horizontal com velocidade angular ω constante. A barra AC apóia-se no disco (O, R) e não há escorregamento no contato. Pedem-se em função de ω, r, R e ϕ usando os versores r r r i , j, k : a) A posição do CIR do disco (O, R). b) A velocidade angular Ω do disco (O, R). c) A velocidade angular ωb da barra AC. r d) A aceleração a B do ponto B da barra.
(
C
r j
B
ω
r i
O r
R
ϕ
)
A
Respostas:
r ωr cos ϕ r r ωr sin 2 ϕ r R r (CIR − O ) = j k Ω= k ωB = − cos ϕ R cos ϕ + r R a) b) c) r (ωr ) 2 sin 3 ϕ R + r cos ϕ r cos ϕ [r cos ϕ + R ] r j d) a B = i − 1 + − R cos ϕ + r R cos ϕ + r R cos ϕ + r
16) Os discos indicados (de raios R e r) movem-se num plano, rolando sem escorregar sobre a horizontal fixa. Num certo instante o vetor de rotação do disco de centro O1 é r r r r r Ω = Ωk , (Ω > 0, k = i ∧ j ). Nesse instante a barra AB, cujas extremidades são articuladas a dois pontos na periferia dos discos, ocupa a posição indicada, na qual A, B e O2 estão alinhados. Pedem-se nesse instante , em função das constantes. R, r e Ω, expressando os r r r vetores na base (i , j , k ) : r
A
o
O1
60
R
r
a) As velocidades v A e v B dos pontos A e B. r b) O vetor de rotação ω do disco de centro O2
r j r i B
O2 r
Respostas: r r r a) v B = − RΩ( 3 i + 3 j ) ;
r r r v A = − RΩ( 3 i + j ) r R r b) ω = 2Ω k r
7
ωA
A
17) Os discos de raios r, centros A e B rolam sem escorregar, externa e internamente à circunferência fixa de centro O e raio R. O movimento se dá no plano do sistema rr móvel O i j indicado. Dado o vetor de rotação do disco de r r r r r centro A: ω A = ω A k , (ωA, constante, k = i ∧ j ), determinar r r r por suas componentes na base i , j , k : r a) O vetor de rotação Ω da barra AB que está articulada aos centros dos discos. r b) O vetor de rotação ω B do disco de centro B. r c) A aceleração a M do ponto médio M do segmento AB.
(
y
x
B O
Respostas:
r r r Ω = − ω A k R+r a) r
c) a M = −
r r b) v A = 3Rω τ r r c) Ω = 3ω k r r r r r r d) v B = 3Rω (τ − u ) ; a B = −3Rω 2 u − 9 Rω 2 τ
r R−r ω A k R+r
r
b) ω B = −
r 2 ω A2 r R − r i + 2(R + r ) R+r
18) A haste rígida OA gira com velocidade angular constante ω, movimentando o disco de centro A que rola sem escorregar sobre o disco de centro O, que é fixo. Determine: a) O CIR da barra OA e do disco de centro A. r b) A velocidade v A do ponto A. r c) O vetor de rotação Ω do disco de centro A. r r d) A velocidade v B e a aceleração a B do ponto B. Respostas:
)
r j
r u B
R A
ω
r
τ
2R O
8
r
19) No sistema da figura a barra AB move-se com velocidade − vi de módulo constante. Não ocorre escorregamento no ponto K entre o disco de raio r e a barra OC. Utilizando a r r r r base (u , τ , k ) , fixa em relação à barra OC, pede-se: j a) Determinar graficamente o CIR do disco. r r C r i b) O vetor de rotação Ω do disco. τ r r c) O vetor de rotação ω da barra OC. K u r& d) O vetor aceleração angular Ω do ϕ B A O disco. r r e) Os vetores aceleração a K dos pontos K do disco e da barra OC. Respostas: r& v 2 sin 3 ϕ r r r v Ω= k r r ω − cos ϕk r cos ϕ r a) (CIR − A) = r tan ϕu + rτ b) c)
d)
2 cos 2 ϕ + 1 r r r v 2 a K , B = sin ϕ − tan u τ ϕ 2 r cos ϕ
r r v 2 sin 3 ϕ r aK , D = − u + cos 2 ϕτ r cos ϕ
20) O mecanismo plano de quatro barras é constituído por barras com dimensões: AB = CD = L e AD = BC = 2L. As barras estão articuladas em A, B, C, D conforme a figura. O disco de raio r e centro G rola sem escorregar sobre a barra BC com velocidade angular constante ω . O ângulo entre as barras AB e AD segue a lei horária θ =Ω t ( Ω = constante). O ponto E de contato está situado na metade da barra BC e o ponto F está na periferia do disco e F r ω na vertical definida pelos pontos E e G. Pedemj r se: r G a) a velocidade do ponto E ( v E ); r B C r i b) a velocidade do ponto F ( v F ); E c) as coordenadas do centro instantâneo de θ rotação para o disco quando θ =45° ; A D d) a aceleração do ponto E pertencente ao disco. r
Resp:
r
r
r
r
r
a) v E = LΩ(− sen θ i + cos θ j ) b) v F = −( LΩ sen θ + 2rω ) i + LΩ cos θ j
2 Ω 2 Ω 2 L1 + 2 − ω , 2 L1 − ω
c)
r
r
r
d) a E = − LΩ 2 cos θ i − ( LΩ 2 sen θ − rω 2 ) j
9
v
21) Na figura os discos concêntricos são solidários. A barra AB move-se horizontalmente com velocidade constante v. Não há escorregamento em D. Um fio, flexível e inextensível, é enrolado no disco menor e sua extremidade E tem velocidade absoluta igual a 2v como mostrado na figura. Adotando como referencial móvel a barra AB e r r r utilizando os versores (i , j , k ) , pede-se: a) A velocidade relativa (vD,rel) e absoluta (vD,abs) do r j ponto D. E 2v b) O vetor de rotação 3r r r r absoluta ( ω ) dos discos. C i c) O CIR dos discos. d) As acelerações relativa, de v D A B arrastamento, de Coriolis e absoluta do ponto D do disco. Resposta: a)
r r r r v D = −vi ; v D, rel = 0 r
r r
r r
r 3v r ω=- k 4r b) r
d) a D, arr = 0; a D, cor = 0; a D = a D, rel =
c)
(I − D ) = 4 r 3
r j
27v r j 16r 2
22) No guindaste ilustrado na figura, a velocidade de içamento do peso A é v, constante. A cabine e a lança BO do guindaste giram com velocidade angular ω, constante, em torno de um eixo vertical passando por O. Supondo AB sempre vertical e sendo a cabine o r r r referencial móvel e o solo o referencial fixo, pede-se, usando (i , j , k ) : a) A velocidade absoluta do y B ponto A, supondo α constante. ω b) A aceleração absoluta do h v ponto A, supondo α constante. A α c) A velocidade absoluta do x O ponto A, supondo α& = Ω constante. b Respostas: r r r v = v j − ω b cos α k a) A r
r
b) a A = −ω 2 b cos αi r r r r c) v A = −Ωb sen αi + (Ωb cos α + v)j − ωb cos αk
10
23) A plataforma circular mostrada na figura tem velocidade angular ω constante. A barra AO e o disco de raio a e centro A giram com a plataforma, permanecendo sempre r r r no plano Oyz do sistema de coordenadas (O, x, y, z) de versores (i , j , k ) solidário à plataforma. O ângulo ϕ0 é constante. Pede-se em função de θ , θ&, θ&& e demais dados do problema: z A a a) os vetores velocidade relativa, de B arrastamento e absoluta do ponto B, l ϕ0 pertencente à periferia do disco; θ ,θ&,θ&& b) os vetores aceleração relativa, O y arrastamento e absoluta do mesmo x ponto B. Resp.: a) b)
ω r r r & v B, rel = θa( cos θj + sen θk )
r r v B, arr = -(l cos ϕ 0 + a sen θ)ωi
r r r a B, rel = ( − θ& 2 a sen θ + θ&&a cos θ)j + (θ& 2 a cos θ + θ&&a sen θ)k
r r r r a B, arr = −ω 2 (l cos ϕ 0 + a sen θ)j a B, cor = −2ωθ&a cos θi
24) Um caminhão de bombeiros avança com velocidade vC constante. Ao mesmo tempo, sua escada gira em torno de um eixo normal ao plano da figura e que passa por O, com velocidade angular Ψ& . Um homem sobe a escada com velocidade relativa a esta v = s& . São dados s(t) e ψ(t), portanto também conhecidos v, v&, Ψ&, Ψ&& Obter em função dos dados: a) Sendo a escada o referencial móvel, vrel, varr, v, v& v, do homem, usando os r r r s versores (i , j , k ) . r b) Idem, usando os versores r u τ r r r (u , τ , k ) . ψ ,ψ& ,ψ&& c) Também para o homem, e O sendo a escada ainda o r referencial móvel, arel, aarr, j r a, usando os versores vC i r r r (u , τ , k ) .
Respostas: r r r r r r a) v rel = v cosψ i + v senψ j v arr = (vC − ψ& s senψ ) i + ψ& s cosψ j r r r r r b) v arr=v c cos ψu + (ψ& s − vC sen ψ)τ v rel = v u r r r c) a=(v&-ψ& 2 s)u + (ψ&&s + 2ψ& v)τ
11
25) O triedro (Oxyz) gira em torno de Oz, fixo, com velocidade angular ω1. O plano AOB gira em torno do eixo Oy com velocidade angular ω2, relativa ao triedro (Oxyz). O ângulo θ entre as barras AO e OB é constante. Na posição mostrada na figura, em que o plano AOB coincide com o plano Ozy, pede-se, utilizando como referencial móvel o triedro (Oxyz): a) As velocidades vetoriais relativa, de z B arrastamento e absoluta do ponto B. b) As acelerações vetoriais relativa, de l arrastamento, complementar (Coriolis) e ω1 , ω& 1 θ absoluta de B. A O
r r Resp.: a) v abs = (ω2 sen θ − ω1 cos θ)li
y x
b)
r r r r a abs = (ω& 2 sen θ − ω& 1 cos θ)li + ( 2ω1ω2 sen θ − ω12 cos θ)l j − ω22 l sen θk
ω 2 , ω& 2
26) A figura mostra um sistema de captação de energia eólica composto por um rotor horizontal acionado por uma hélice de 3 pás e raio R. A carcaça do rotor AB pode girar em torno do eixo vertical Oz. Uma rajada de vento imprime rotação à hélice dada por ϕ& (t ) e provoca um movimento de rotação do conjunto em torno de Oz dado por θ&(t ) . Em função de ϕ , ϕ& , ϕ&&, θ&, θ&& e dos parâmetros geométricos, pede-se, expressando os resultados r r r z na base móvel (i , j , k ) , solidária à carcaça AB: θ& a) o vetor de rotação r absoluto da hélice ω A r e a velocidade v B do R ponto B; b) a velocidade vetorial O do ponto P da pá nº 1, ϕ& situado em sua linha B a x r central a uma ϕ distância r de B; c) a aceleração vetorial do ponto P; P d) a aceleração de Coriolis do ponto Q, na extremidade da pá. Q
Respostas: r r r r r a) ω = φ& j +θ& k ; v B = − aθ& i r r r r b) v P = − θ& a + φ& r sen φ i + θ& r cos φ j − (φ& r cos φ) k
(
) (
)
12
y
27) O mecanismo da figura consiste de uma barra AO que gira em torno da extremidade O com velocidade angular ω constante. A extremidade A é presa por um pino no cursor (ver figura) que pode deslizar internamente ao garfo DB, articulado em D. Usando como referencial móvel o garfo DB, determine em função de ω, l, a e s para θ = 90º: a) A velocidade absoluta do ponto A. b) A velocidade relativa e de arrastamento do ponto A. c) A velocidade angular Ω do garfo DB. r ar v A, rel = −ωl i s ; Resp.: b)
r l2 r v A, arr = −ω j s
B A
θ
l
O
r j
ω
r i s
a
D
r ω.l 2 r Ω=− 2 k s c)
28) No mecanismo da figura a barra OC apresenta movimento de rotação em torno de O, com velocidade angular ω constante. O anel A escorrega sobre a barra OC e a barra AB, articulada no anel, tem liberdade de movimento apenas na vertical. Pede-se calcular a velocidade relativa de A com respeito à barra C OC. A
Resp.:
r ωl sen ϕ r v A, rel = i cos 2 ϕ
ω
r j
r i O
ϕ
l
B
13
