Curso De Mecânica A - Usp - Gabarito Rec 2010

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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231 CEP 05508-970, São Paulo, SP Telefone: (0xx11) 3091-5337 Fax: (0xx11) 3813-1886 Departamento de Engenharia Mecânica PME 2100 – MECÂNICA A – Recuperação – 08 de fevereiro de 2011 Duração da Prova: 100 minutos (não é permitido o uso de calculadoras) QUESTÃO 1 (3,5 pontos): Considere a placa homogênea, quadrada, de lados a e peso P, articulada em A, suspensa pelo fio LM e articulada às barras EB e CH, de pesos desprezíveis, conforme indicado na figura. Admitindo-se que o sistema esteja em equilíbrio, pede-se: (a) os diagramas de corpo livre da placa ABCD e das barras EB e CH; (b) as equações de equilíbrio da placa ABCD; (c) as reações em A. z M  k g 45º A D L B E a  i  j y a/2 C H x z L QUESTÃO 2 (3,5 pontos): No mecanismo mostrado na figura, os pontos O e D são fixos, e o suporte OD possui vetor   y de rotação 1  1 k (constante) em relação a um referencial A fixo no solo. As faces planas do disco de centro C e raio R são P R perpendiculares ao eixo de simetria radial da barra AC. O disco O x e a barra AC formam um único sólido que possui vetor de  v C  rotação 2  2i (  2 constante) em relação ao suporte OD, e   ω1 o ponto C possui velocidade v  vi (v constante) em relação ao suporte OD. O sistema de coordenadas Oxyz é fixo no ω2 suporte OD e o vetor ( P  C ) é paralelo ao eixo Oy, no instante mostrado na figura. Considerando o suporte OD como D referencial móvel, e o instante mostrado na figura, determine:    a) as velocidades relativa ( vP, rel ), de arrastamento ( v P,arr ) e absoluta ( vP, abs ) do ponto P.    b) as acelerações relativa ( aP, rel ), de arrastamento ( aP, arr ) e absoluta ( aP, abs ) do ponto P.   c) o vetor de rotação absoluto (  D,abs ) e o vetor aceleração angular absoluto (  D,abs ) do disco de centro C. QUESTÃO 3 (3,0 pontos): Um binário de momento M é aplicado a um cilindro homogêneo de raio R e massa m. O coeficiente de atrito entre o cilindro e a superfície é μ e aceleração da gravidade é g. Considerando que o cilindro parte do repouso, determine a aceleração angular do cilindro  para os seguintes casos: a) o cilindro rola e escorrega; b) o cilindro rola sem escorregar. M R G C g JG  mR 2 2 ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231 CEP 05508-970, São Paulo, SP Telefone: (0xx11) 3091-5337 Fax: (0xx11) 3813-1886 Departamento de Engenharia Mecânica QUESTÃO 1 (3,5 pontos): Considere a placa homogênea, quadrada, de lados a e peso P, articulada em A, suspensa pelo fio LM e articulada às barras EB e CH, de pesos desprezíveis, conforme indicado na figura. Admitindo-se que o sistema esteja em equilíbrio, pede-se: (1,0) (a) os diagramas de corpo livre da placa ABCD e das barras EB e CH; (1,5) (b) as equações de equilíbrio da placa ABCD; (1,0) (c) as reações em A. z M  k g 45º A  j y D L B E a  i Solução: a) Os diagramas de corpo livre são esquematizados abaixo: a/2 C H x ZA XA (0,5) FLM YA A FCH D C FEB (0,25*) H FEB FCH B E FCH P (0,25*) FEB C B b) Aplicando-se as equações de equilíbrio da Estática, tem-se:   R  0 , logo: 2 0 2 Rx: X A  FLM Ry: FEB  YA  0 (0,25*) (1) (0,25*) (2) * valor arredondado para a primeira casa decimal, com a soma correspondente ao valor do item 2  P  FCH  Z A  FLM 0 (0,25*) R z: (3) 2   M A  0 , logo:    B  A  FEB j  G  A   Pk  C  A  FCH k  L  A  FLM     2    i k  0 2    a      a  a    2     ai  FEB j   i  j    Pk  ai  aj  FCH k   i  aj   FLM i k 0 2  2 2 2  Desenvolvendo-se a equação vetorial acima, resultam as três equações escalares abaixo:    a 2 P  aFLM 0 2 2 MAx: aFCH  MAy: a a 2 P  aFCH  FLM 0 2 2 2 MAz: aFEB  aFLM   2 0 2 (0,25*) (4) (0,25*) (5) (0,25*) (6) c) Comparando a equação (4) com a equação (5), obtém-se: FLM  0 Usando esses resultados na equação (1) obtemos: XA 0 e FCH  P 2 (1/3*) FEB  0 Usando esses resultados nas equações (2) e (6) obtemos: Usando esses resultados na equação (3) obtemos:  P ZA  2 (1/3*) e YA  0 (1/3*) ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231 CEP 05508-970, São Paulo, SP Telefone: (0xx11) 3091-5337 Fax: (0xx11) 3813-1886 Departamento de Engenharia Mecânica z QUESTÃO 2 (3,5 pontos): No mecanismo mostrado na figura, os pontos O e D são fixos, e o suporte OD possui vetor   de rotação 1  1 k (constante) em relação a um referencial y fixo no solo. As faces planas do disco de centro C e raio R são A perpendiculares ao eixo de simetria radial da barra AC. O disco P R O e a barra AC formam um único sólido que possui vetor de x   v C rotação 2  2i (  2 constante) em relação ao suporte OD, e   o ponto C possui velocidade v  vi (v constante) em relação ω1 ao suporte OD. O sistema de coordenadas Oxyz é fixo no ω2 suporte OD e o vetor ( P  C ) é paralelo ao eixo Oy, no instante mostrado na figura. Considerando o suporte OD como D referencial móvel, e o instante mostrado na figura, determine:    (1,5) a) as velocidades relativa ( vP, rel ), de arrastamento ( v P,arr ) e absoluta ( vP, abs ) do ponto P.    (1,5) b) as acelerações relativa ( aP, rel ), de arrastamento ( aP, arr ) e absoluta ( aP, abs ) do ponto P. L   (0,5) c) o vetor de rotação absoluto (  D,abs ) e o vetor aceleração angular absoluto (  D,abs ) do disco de centro C. Solução: a) Para o sólido formado pela barra AC e o disco       vP,rel  vC ,rel  rel  P  C   vi  2i  Rj     vP ,rel  vi  2 Rk        vP,arr  vO,arr  arr  P  O  0  1k  Li  Rj    (0,5)    vP,arr  1Ri  1Lj  (0,5)     vP,abs  v  1R i  1Lj  2 Rk (0,5)        vP,abs  vP,rel  vP,arr  vi  2 Rk   1Ri  1Lj   b)              aP,rel  aC ,rel   rel  P  C   rel  rel  P  C   0  0  Rj  2i  2i  Rj   aP ,rel  22 Rj (0,5)      aP, arr  aO, arr   arr rel             P  O   arr  arr  P  O  0  0  Li  Rj  1k  1k  Li  Rj      aP,arr  1k  1Lj  1Ri      aP,arr  12 Li  12 Rj        aP,Cor  2arr  vP,rel  21k  vi  2 Rk      (0,5)   aP ,Cor  21vj         aP,abs  aP,rel  aP,arr  aP,Cor  22 Rj   12 Li  12 Rj   21vj    aP,abs  12 Li  21v  22 R  12 R  j (0,5) c)      D,abs  D,rel  D,arr  2  1      D,abs   D,rel     D,abs  2i  1k (0,3)              0  0       k   i  D , arr D , Re s D , arr D , rel 1 2 rel    D,abs  12 j (0,2) ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231 CEP 05508-970, São Paulo, SP Telefone: (0xx11) 3091-5337 Fax: (0xx11) 3813-1886 Departamento de Engenharia Mecânica QUESTÃO 3 (3,0 pontos): Um binário de momento M é aplicado a um cilindro homogêneo de raio R e massa m. O coeficiente de atrito entre o cilindro e a superfície é μ e aceleração da gravidade é g. Considerando que o cilindro parte do repouso, determine a aceleração angular do cilindro  para os seguintes casos: (1,5) a) o cilindro rola e escorrega; (1,5) b) o cilindro rola sem escorregar. M R G g JG  mR 2 2 C Solução Diagrama de corpo livre do disco: M mg N Fat a) Rola e escorrega Teorema do Momento Angular com pólo em G  H G  M GExt (0,5) J G  M  Fat R Como há escorregamento: Fat  N (0,5) Pelo Teorema do Movimento do Baricentro, na direção vertical (nessa direção a aceleração do baricentro é nula): N  mg  0  N  mg Portanto: 2M  mgR  mR 2   M  mgR    (0,5) 2 mR 2 b) Rola sem escorregar Teorema do Momento Angular com pólo em C   vC  0   H C  M CExt  J C  M (0,5) Pelo Teorema dos Eixos Paralelos: 3 J C  J G  mR 2  mR 2 (0,5) 2 Portanto: 3 mR 2  M 2 2 M   (0,5) 3 mR 2