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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica
PME 2100 – Mecânica A (reoferecimento 2012) - P2 - 18/5/2012. Duração: 100 minutos Prof. Dr. Flavius Portella Ribas Martins e Prof. Dr. Flávio Celso Trigo QUESTÃO 1 (3,5 pontos): Na figura ao lado, o sistema de coordenadas OXYZ possui orientação fixa em relação a um referencial inercial. Por outro lado, o sistema de coordenadas Axyz é solidário ao disco de centro O e raio R que gira com velocidade angular constante r r Y ω1 = ω1 J em torno de um eixo vertical OY, por O. No instante y r B ω mostrado, o tubo AB (comprimento L e diâmetro desprezível), 1 articulado ao disco por um pino A, gira com velocidade angular r r r j J θ de módulo constante ω2 k em relação ao eixo Az. Para a posição X r r rO r θ I k A i indicada na figura determinar, em função de R, L, ω1 , ω2 e θ, e K expressando as grandezas vetoriais utilizando os versores do r ω2 sistema Axyz: r Z z (a) o vetor rotação instantânea Ω (absoluta) do tubo AB;
x
r&
(b) o vetor aceleração instantânea Ω (absoluta) do tubo AB; (c) a velocidade absoluta do ponto B; (d) a aceleração absoluta do ponto B. QUESTÃO 2 (3,5 pontos): Considere o mecanismo da figura ao lado, em que um disco de raio R rola com escorregamento no contato com r r um plano fixo. A velocidade angular do disco é ω = − (V / 2 R ) k , e a r r velocidade de seu centro A, V A = V i , ambas constantes. O ponto B do disco está articulado a uma barra BC de comprimento L e cuja extremidade C está articulada a um bloco que pode se mover apenas na direção vertical. Nessas condições, pedem-se:
C L
θ, ω
(a) a velocidade do ponto C e velocidade angular da barra BC; (b) a aceleração do ponto B; (c) o CIR do disco de centro A (graficamente e analiticamente).
A
B R
QUESTÃO 3 (3,0 pontos): Uma peça rígida é formada pelas barras AB, EO e OM, sendo sustentada por mancais em A e B. No instante mostrado, é conhecido o módulo da velocidade angular, ω (constante), e sua orientação espacial, conforme a figura. No mesmo instante, a luva F desliza em relação à barra OM com velocidade de módulo constante V. São conhecidas todas as dimensões indicadas. Utilizando o sistema de coordenadas Oxyz solidário à peça pedem-se, para este instante:
z
r i
r
ω
y
A E
r k
r
(a) expressar o vetor velocidade angular, ω , em função dos parâmetros fornecidos; (b) as velocidades absoluta, relativa e de arrastamento de F; (c) as acelerações relativa, de arrastamento e de Coriolis de F.
r j
V
r j
3a
O
r i
B
a
Av. Prof. Mello Moraes – 2231 – 05508-900 – São Paulo – SP – BRASIL TEL.: 55 11 3091-5355/5561/5570 –
x
4a
F
r V M
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RESOLUÇÃO DA PROVA QUESTÃO 1. Identificando os movimentos - relativo: barra em relação ao disco; - arrastamento: disco em relação a um referencial fixo; tem-se: (a) 0,5 pontos e (b) 0,5 + 0,5 pontos r r r r r Ω = ωr + ωa = ω2 k + ω1 j r r r r& r r r r r Ω = ω& r + ω& a + ωa ∧ ωr = 0 + 0 + ω1 j ∧ ω 2 k r& r Ω = ω1ω 2i
(c) 1 ponto
r r r v B = v B ,r + v B ,a r r r r r r r vB ,r = v A,r + ω2 k ∧ ( B − A) = 0 + ω2 k ∧ L(cosθi + sinθj ) r r r vB ,r = ω2 L(− sinθi + cosθj ) r r r r r r vB ,a = vO + ω1 j ∧ ( B − O) = ω1 j ∧ ( R + L cosθ )i + L sinθj r r vB ,a = −ω1 ( R + L cosθ )k r r r r vB = ω2 L(− sinθi + cosθj ) − ω1 ( R + L cosθ )k
[
]
(d) 1 ponto r r r r a B = a B , r + a B , a + a B, C r r r r r aB , r = a A, r + ω& 2 ∧ ( B − A) + ω2 ∧ [ω2 ∧ ( B − A)] r r r r r r r r r aB , r = 0 + 0 + ω2 k ∧ ω2 k ∧ L(cosθi + sin θj ) = ω22 L(− cosθi − sin θj ) r r r r r aB , a = a A, a + ω&1 ∧ ( B − A) + ω1 ∧ [ω1 ∧ ( B − A)] r r r r r r r r aB , a = −ω12 Ri + 0 + ω1 j ∧ ω1 j ∧ L(cosθi + sin θj ) = −ω12 ( R + L cosθ )i r r r r r r r aB ,C = 2ω1 j ∧ vB, r = 2ω1 j ∧ ω2 L(− sin θi + cosθj ) = 2ω1ω2 L sin θk
[
]
[
]
QUESTÃO 2. (a) 1,5 pontos r r r r r r r r vC = v B + ω BC ∧ (C − B ) ⇒ vC j = v B + ω BC k ∧ L(cosθi + sin θj ) r V r r r 1r r r r v B = v A + ω ∧ ( B − A) = Vi − k ∧ ( − Ri ) = V (i + j ) 2R 2 r r 1r r r ∴ vC j = V (i + j ) + Lω BC (cosθj − sin θi ) 2 r r V V r i : 0 = V − Lω BC sin θ ⇒ ω BC = ⇒ ω BC = k L sin θ L sin θ r r V V 1 r 1 j : vC = + L cosθ ⇒ vC = V + j 2 L sin θ 2 tan θ
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(b) 1 ponto r r V r V r r r r r r r a B = a A + ω& ∧ (B − A) + ω ∧ [ω ∧ (B − A)] = 0 + 0 + − k ∧ − k ∧ ( − Rj ) 2R 2R 2 r r V aB = i 4R
(c) 1 ponto A
r vA r Vi
V
r V r r r r = vCIR + ω ∧ ( A − CIR ) = 0 + − k ∧ ( A − CIR ) j 2R r r V = ( A − CIR ) i ⇒ ( A − CIR ) = 2 R ∴ ( A − CIR ) = 2 Rj 2R
2R
V/2 CIR
QUESTÃO 3. (a) 0,5 pontos De acordo com a figura, r
1 5
r
r
ω = ω (3 j − 4 k )
(b) 1 rpontor r
v F = v F , r + v F ,a r r vF ,r = Vi ;
[
r r 1 r r r r r r vF ,a = vE + ω ∧ ( F − E ) = 0 + ω (3 j − 4k ) ∧ ai − 3aj 5 r r r r ωa v F ,a = − 12i + 4 j + 3k 5
(
]
)
(c) 1,5 pontos r r r r a F = aF ,r + aF ,a + aF ,C r r a F ,r = 0 r r r r r a F ,a = a E + ω& ∧ ( F − E ) + ω ∧ [ω ∧ ( F − E )] r 1 r r r 1 r r r r r a F ,a = 0 + 0 + ω (3 j − 4k ) ∧ ω (3 j − 4k ) ∧ (ai − 3aj ) 5 5 2 r r r r r r r r r 1 ωa ω a a F ,a = ω (3 j − 4k ) ∧ − 12i + 4 j + 3k = − 25i + 48 j + 36k 5 25 5 r r r r r r 1 a F ,C = 2ω ∧ vF ,r = 2 ω (3 j − 4k ) ∧ Vi 5 r r r 2ωV a F ,C = (−4 j − 3k ) 5
(
)
[
]
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