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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. CEP 05508-900, São Paulo, SP. Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886
Departamento de Engenharia Mecânica PME 2100 – MECÂNICA A – Segunda Prova – 30 de outubro de 2009 Duração da Prova: 120 minutos (não é permitido uso de calculadoras)
1ª Questão (3,5 pontos) No sistema mostrado na figura, a polia de centro fixo A tem raio R e a polia de centro fixo B tem raio 2R. Estas polias estão em contato com uma correia, sendo que o mesmo ocorre sem escorregamento. Sabe-se que o vetor de rotação r r da polia com centro A é ω1 = ω1k , constante. Os contatos do disco rígido de centro C com a correia (em Q) e com a superfície fixa (em P) também ocorrem sem escorregamento. O raio do disco vale 2R e o centro C do mesmo está articulado a uma barra dobrada em forma de L, na qual a distância EC e CD valem 4R. Sabendo que o movimento do ponto D ocorre sempre na vertical, pede-se:
E
y
D
P θ C
x A
2R Q
ω1
B
a) Calcular o vetor de rotação da polia com centro B; r b) Calcular a velocidade VC do centro do disco e sua velocidade angular; r c) Calcular a aceleração aQDisco do ponto Q pertencente ao disco e r a aceleração aQCorreia do ponto Q pertencente à correia; d) Determinar graficamente a posição do CIR da barra em L; r e) Calcular a velocidade VE do ponto E.
2ª Questão (3,5 pontos) A placa RSTW gira r em torno do eixo RW com vetor de rotação ω 2 de módulo constante. Sustentado por mancais solidários à placa em C e D, o eixo CED possui r vetor de rotação ω1 de módulo constante em relação a placa. A barra EH é soldada ao eixo CED e sustenta, em H, um tubo paralelo ao eixo CED. No interior do tubo o êmbolo F de um cilindro hidráulico desloca-se com velocidade de módulo V, constante em relação ao tubo. Determinar, para o instante mostrado na figura e representando os vetores na base vetorial solidária a placa RSTW:
y a
F V
H W
ω2
M
T E
C
D
ω1 R
r a) O vetor rotação absoluta Ω da peça CDEH; r& b) O vetor aceleração rotacional absoluta Ω da peça CDEH; c) O vetor velocidade absoluta do ponto F do êmbolo; d) O vetor aceleração absoluta do ponto F do êmbolo; r Dados: ME = 5a ; E H = 3a ; ( F − H ) = a i
z
S
x
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3ª Questão (3,0 pontos) O prisma de inclinação β da figura desloca-se sobre r uma superfície fixa com velocidade W constante. A barra A B está articulada no ponto A que se desloca r sobre uma guia para a esquerda com velocidade V constante. Determinar a velocidade do ponto B da barra que se apóia sobre o prisma no instante em que ela faz o ângulo α com a vertical.
A
→ V
α → W
y
G
β
B
x
4ª Questão Opcional (1,0 ponto) Em um dado instante t um sólido movimenta-se de modo a que três de seus pontos - P1, P2 e P3, apresentem a mesma velocidade. Supondo que esses pontos não estejam alinhados, determine qual é o tipo de movimento realizado pelo sólido no instante dado, justificando.
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Departamento de Engenharia Mecânica Resolução da 1ª Questão (3,5 pontos) Na polia de centro A: r r r r r r r v A′ = v A + ω1 ∧ (A′ − A ) = 0 + ω1k ∧ R j = −ω1R i Na polia de centro B: r r r r r r r v B′ = v B + ω2 ∧ (B′ − B) = 0 + ω2 k ∧ 2R j = −2ω2 R i r r v B′ = v A′ r r r ω r ω − 2ω2 R i = −ω1R i ⇒ ω 2 = 1 ⇒ ω2 = 1 k (0,5) 2 2
(
E
y
θ C
x
)
r r r r r r v Q = v P + ω Disco ∧ (Q − P ) = 0 + ω D k ∧ − 4R j r r v Q = 4ω Disco R i r r v Q = v A′ r r r ω r ω 4ω Disco R i = −ω1 R i ⇒ ω Disco = − 1 ⇒ ω Disco = − 1 k 4 4 r ω r r r r r v C = v Q + ω Disco ∧ (C − Q ) = −ω1 R i − 1 k ∧ 2R j ⇒ 4
D
P
A
ω1
2R Q
B
(0,5)
r ωRr v C = − 1 i (0,5) 2
r r = 0 trecho reto da correia está em translação uniforme a correia Q r r r ωRr v C = − 1 i (constante) a C = 0 2 r r& r ω r = 0 ω Disco = − 1 k (constante) ω Disco 4
(0,5)
CIR
D
r r r r r aQDisco = aC + ω& Disco ∧ (Q − C ) + ω Disco ∧ [ω Disco ∧ (Q − C )] r r Disco r r ω12 r aQ = 0+0+ k ∧ (2 Ri ) 16 2 r r ωR a QDisco = 1 j (0,5) 8
C
r r r r r vC = 0 + ω Barra ∧ (C − CIR ) = ω Barra k ∧ (− 4 Rsenθj ) = 4 Rω Barra senθi r ω1 ω Rr ⇒ − 1 i = 4 Rω Barra senθi ⇒ ω Barra = − (0,5) 8senθ 2 r r r ω r ω1 r ω r ωR r r r v E = vC + ω Barra ∧ (E − C ) = − 1 Ri − k ∧ 4 R (− senθi + cos θj ) = − 1 Ri + 1 (cos θi + senθj ) 2 8senθ 2 2 senθ r r ω R cos θ r v E = 1 − 1 i + j (0,5) 2 senθ
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Resolução da 2ª Questão y
Utilizando composição de movimento, sendo a placa o referencial móvel: r r r Ω = ωarr + ωrel r r r Ω = ω2 k + ω1 i (0,5) r& r r& r r & +ω Ω=ω arr rel + ωarr ∧ ω rel r r& r r r& r r Ω = 0 + 0 + ω 2 k ∧ ω1 i ⇒ Ω = ω1ω2 j
a
M
T E
C
Utilizando composição de movimento, sendo a peça CEDH o referencial móvel:
z
R
r r r v F = v F,arr + v F,rel r r r r r r r r r r r v F,arr = v M + Ω ∧ (F − M ) = 0 + ω1 i + ω2 k ∧ 6a i + 3a j = 3aω1k + 6aω2 j − 3aω2 i r r v F,rel = v i r r r r v F = (v − 3aω2 )i + 6aω2 j + 3aω1k (1,0)
[
]
)
r& r r r r a F,arr = a M + Ω ∧ (F − M ) + Ω ∧ Ω ∧ (F − M ) r r r r r r r r r r r a F,arr = 0 + ω1ω2 j ∧ 6a i + 3a j + ω1 i + ω2 k ∧ ω1 i + ω2 k ∧ 6a i + 3a j r r r r r r r a F,arr = −6aω1ω2 k + ω1 i + ω2 k ∧ 3aω1k + 6aω2 j − 3aω2 i r r r r r r a F,arr = −6aω1ω2 k + − 3aω12 j + 6aω1ω2 k − 6aω22 i − 3aω22 j r r r a F,arr = −6aω22 i − 3a (ω12 + ω22 ) j r r a F,rel = 0 r r r r r a F,cor = 2 ω1 i + ω2 k ∧ v i = 2ω2 v j
( ( (
(
) ( ) [(
) [(
)
r r r a F = −6aω22 i + (2ω2 v − 3aω12 − 3aω22 ) j
(1,0)
D
ω1
(1,0)
) (
V
W
ω2
(
F
H
) ( )] )
)]
S
x
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Resolução da 3ª Questão (3,0 pontos) Utilizando composição de movimentos, adotando o prisma como referencial móvel: r r r v B = v B,arr + v B,rel
(
r r r r v B = W i + v rel − cos β i + senβ j
)
α
(1,0)
(1)
Aplicando a propriedade fundamental do corpo rígido na barra:
→ W
y
r r v A ⋅ (B − A) = v B ⋅ (B − A)
[
A
→ V
G
x
)]
(
r r r r r r r r − v i ⋅ (senα i − cos α j ) = W i + v rel − cos β i + senβ j ⋅ (senα i − cos α j) − vsenα = Wsenα + v rel (− cos β senα − senβ cos α ) ⇒ v rel =
(W + v )senα sen (α + β)
(1,0)
Substituindo em (1): r (W + v )senα r r r vB = W i + − cos β i + senβ j sen (α + β)
(
)
r W cos αsenβ − vsenα cos β r (W + v )senαsenβ r vB = i+ j sen (α + β ) sen (α + β )
(1,0)
B β
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Resolução da 4ª Questão Opcional (1,0 ponto) Em um dado instante t um sólido movimenta-se de modo a que três de seus pontos - P1, P2 e P3, apresentem a mesma velocidade. Supondo que esses pontos não estejam alinhados, determine qual é o tipo de movimento realizado pelo sólido no instante dado, justificando.
r r r r v P1 = v P 2 = v P 3 = v r r r r r v P1 = v P 2 + ω ∧ (P1 − P 2 ) ⇒ ω ∧ (P1 − P 2 ) = 0 r r r r r v P1 = v P 3 + ω ∧ (P1 − P3) ⇒ ω ∧ (P1 − P3) = 0 r r r r r v P 2 = v P 3 + ω ∧ (P 2 − P3) ⇒ ω ∧ (P 2 − P3) = 0 Então: r r ω=0 ou r ω // (P1 − P 2) // (P1 − P3) // (P 2 − P3) , o que não é verdadeiro já que P1, P2 e P3 não estão alinhados.
r r Sendo assim, ω = 0 e o sólido está em ato de movimento de translação.
