Curso De Mecânica A - Usp - Gabarito 1 Reof 2012

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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP. Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886 Departamento de Engenharia Mecânica QUESTÃO 1 (3,0 pontos). A placa não plana ABCDE, de peso desprezível, é construída mediante soldagem das placas ABC e ABE à placa quadrada BCDE, de lado l conforme ilustrado na figura. O comprimento da aresta AB é l e a placa está sujeita ao sistema de forças indicado. Pede-se: (a) determinar a resultante do sistema de forças e o momento resultante em relação ao pólo B; (0,5 + 0,5 ponto) (b) determinar o momento resultante do sistema de forças em relação à aresta BC; (0,5 ponto) (c) verificar se o sistema é redutível a uma única força; (0,5 ponto) (d) determinar o momento mínimo do sistema de forças; (1,0 ponto) QUESTÃO 2 (3,5 pontos). Conforme indicado na figura, a estrutura constituída por 6 barras de peso desprezível, articuladas em A, B, C, D e E, está sujeita a uma carga externa aplicada em C, por meio de um cabo inextensível passante sobre uma polia articulada em O, de raio R e peso desprezível. Admitindo-se que seja µ o coeficiente de atrito entre o chão e o suporte ao qual a articulação A está fixada, pede-se: (a) as reações em O e a força no cabo; (0,5 ponto) (b) as reações em A e em E; (1,0 ponto) (c) o valor mínimo do coeficiente de atrito para que não ocorra escorregamento do apoio A. (0,5 ponto) (d) as forças nas barras AB, BC, DB, AD, CE. (1,5 ponto) QUESTÃO 3 (3,5 pontos). A placa retangular ABCD e lados l e 2 l está vinculada a uma articulação A, a um anel m D e à barra CE, por meio da articulação C, conforme se indica na figura. A placa e a barra, ambas têm peso P. No ponto B da r placa atua uma força Pj . Pede-se: (a) desenhar os diagramas de corpo livre da placa ABCD e da barra CE; (1,0 ponto) (b) determinar as reações na articulação A e no anel D; (1,5 ponto) (c) determinar as forças atuantes na barra CE. (1,0 ponto) r F l C D l l r k r j r i B E r F A r 2F r F O 45° l B P C l 45° D A E r P B 45° r k r i A C r j l 2l D 45° E ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP. Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886 Departamento de Engenharia Mecânica QUESTÃO 1. RESOLUÇÃO A resultante do sistema de forças dado, é: r  2 r 2r 2 r 2r i +F k = −F i + Fj + F  − 1 k   2 2 2  2  r r r r R = 2 Fj − Fj − Fk − F O momento resultante em relação ao pólo B, é: r r r r r  r   2 r 2 r  2 r 2 r  2 r 2 r M B = (E − B ) ∧  − F i + 2 Fj + Fk = li ∧  − Fi + 2 Fj + Fk = 2 Flk − Flj = Fl − j + 2k   2      2 2 2    2   2  Resposta (a) O momento resultante do sistema de forças em relação ao eixo BC, é: r r 2 M BC = M B ⋅ j = − Fl 2 Resposta (b) O invariante escalar do sistema de forças dado, é: r  r r r   2 r    2  2 r 2r 2 I = M B ⋅ R = Fl − j + 2k  ⋅  − F i + Fj + F  − 1k  = F 2 l − + 2 =  − 2 F 2l ≠ 0  2          2       2  2   2  r r Sendo R ≠ 0 mas I ≠ 0 conslui-se que o sistema de forças dado não é redutível a uma única força. Resposta (c) O momento mínimo do sistema de forças dado, é: r M min  r  2   2  r 2r i + Fj + F  − 2  F 2 l − F − 1 k  r r r       2 M ⋅R r I ⋅R  2   2   l 2 −4 r  = Br 2 R = r 2 = = R 2 − 6 2   r r r   R R  − F 2 i + Fj + F  2 − 1  k   2    2     ( ( ) ) Resposta (d) QUESTÃO 2. RESOLUÇÃO Aplicando-se as equações de equilíbrio ao diagrama de corpo livre da polia, obtêm-se: O HO T .R − P ⋅ R = 0 ⇒ T = P (1) 2 2 −T + HO = 0 ⇒ HO = P 2 2  2  2 − P −T + VO = 0 ⇒ VO = P + 1   2  2  T (2) VO P (3) Resposta (a) Aplicando-se as equações de equilíbrio à treliça ABCDE, obtêm-se: P l B 45° C M Az = 0 ⇒ FCE l 45° HA A VA D E FCE 2 2l = 0 ⇒ FCE = 0 2 ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP. Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886 Departamento de Engenharia Mecânica 2 2 2 − FCE = 0 ⇒ H A = −P 2 2 2 2 2 2 VA + P + FCE = 0 ⇒ VA = −P 2 2 2 HA + P Portanto, as reações em A e em E são: r 2r 2 r R A = −P i −P j 2 2 r r RE = 0 Resposta (b) Para que não haja escorregamento do apoio A, é necessário que: 2 2 ≤ µP ⇒ µ ≥1 2 2 H A ≤ µV A ⇒ P Resposta (c) As equações de equilíbrio do nó C fornecem: P B 45° FBC C FCD 2 2 = 0 ⇒ FBC = P 2 2 2 2 +P = 0 ⇒ FCD = P 2 2 − FBC + P − FCD P 2 2 C P (tração) 2 2 P 2 2 C (tração) P 2 2 D As equações de equilíbrio do nó B fornecem: FBC B P FBD FAB 2 2 P B B (tração) FBC + FBD − FAB − FBD 2 2 2 2 = 0 ⇒ FBD = − FBC = −P = −P 2 2 2 2 (compressão) D A P 2 2 2 = 0 ⇒ FAB = − FBD =P 2 2 2 2 2 P As equações de equilíbrio do nó A fornecem: 2 P 2 A P 2 2 P 2 2 FAD − P FAD 2 2 = 0 ⇒ FAD = P 2 2 A P Resposta (d) 2 2 D (tração) P 2 2 ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP. Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886 Departamento de Engenharia Mecânica QUESTÃO 3. RESOLUÇÃO Os diagramas de corpo livre da placa ABCD e da barra CE são esboçados nas figuras abaixo: r P ZC B C ZA 45° A XA P XC G YA P XC ZC C plano xz ZD E XE ZE XD D OBS.: A barra está em equilíbrio sob a ação de 3 forças; logo, elas são coplanares e, no caso, pertencem ao plano xz. Resposta (a) As condições de equilíbrio aplicadas à barra CE fornecem: XC − X E = 0 −Z C + Z E − P = 0 (1) (2) l 2 l 2 l 2 + ZC ⋅ + P⋅ = 0 ⇒ −2 X C + 2Z C + P = 0 2 2 4 − XC ⋅ (3) O equilíbrio da placa ABCD fornece as seguintes equações: X A + XC + XD = 0 Y A + P = 0 ⇒ YA = − P Z A + ZC + Z D − P = 0 (4) (5) (6) ( ) l 2 − P ⋅ l + Z C ⋅ 2l + Z D ⋅ 2l = 0 ⇒ 4 Z C + 4 Z D − P 2 + 2 = 0 2 l 2 l 2 l 2 − P⋅ + XC ⋅ + ZC ⋅ = 0 ⇒ 2 X C + 2Z C − P = 0 4 2 2 l 2 − P⋅ − X C ⋅ 2l − Z D ⋅ 2l = 0 ⇒ 4 X C + 4 X D − P 2 = 0 2 − P⋅ (7) (8) (9) Somando-se (3) e (8), obtém-se: ZC = 0 (10) Substituindo-se (10) em (3), resulta: XC = P 2 (11) Substituindo-se (10) em (7), resulta: ZD = P ⋅ 2+ 2 4 Substituindo-se (11) em (9), resulta: (12) ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP. Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886 Departamento de Engenharia Mecânica XD = P⋅ 2 4 (13) Substituindo-se (10) em (2) resulta: ZE = P (14) Substituindo-se (11) em (1), resulta: XE = P 2 (15) Substituindo-se (11) e (12) em (6), resulta: ZA = P − P⋅ 2+ 2 2− 2 = P⋅ 4 4 (16) Substituindo-se (11) e (13) em (4), resulta: XA = − P 2 2+ 2 −P = −P ⋅ 2 4 4 (17) As forças atuantes ativas e reativas na placa ABCD e na barra CE são apresentadas nas figuras abaixo. r P B 2− 2 P 4 45° A P 2+ 2 4 C P 2 P P P 2 G E P 2 plano xz P P P C 2+ 2 4 P 2D 4 Respostas (b) e (c)