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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica
Primeira Prova de Mecânica A – PME 2100 – 28/08/2012 Tempo de prova: 110 minutos (não é permitido o uso de dispositivos eletrônicos) r r r r r r 1º Questão (3,0 pontos) Considere o sistema de forças ( Fi , Pi ) dado por F1 = F i , F2 = F j + F k e r r F3 = F k . As forças estão aplicadas nos pontos: P1 (a,0, a) , P2 (0, a, a) e P3 (0,0, a ) respectivamente. Pede-se: a) Calcular a resultante do sistema de forças, o momento em z relação ao pólo O (0, 0, 0); b) Verificar se o sistema é redutível a uma única força. H Justificar; c) Calcular o momento em relação ao pólo D (0, a, a); a/2 B d) Determinar o lugar geométrico dos pontos E onde o momento do sistema de forças é mínimo; D
a/2
a
I C
2º Questão (3,5 pontos) A placa plana e homogênea ABCDEA, de peso P, está vinculada no anel A (eixo vertical) e nas extremidades B, D e E das barras BH, DI, DF e EF. Ao r ponto C da placa aplica-se uma força 2 Pj conforme indicado na figura. O ponto F tem coordenadas (a,a,0) e as barras BH, DI, DF EF têm peso desprezível. Nessas condições, pede-se:
A E
a/2
y
x a
(a) Calcular a posição do baricentro da placa ABCDEA; (b) Desenhar o diagrama de corpo livre da placa ABCDEA; (c) Determinar as reações no anel e as forças nas barras BH, DI, EF e DF.
F a
3º Questão (3,5 pontos) Na figura a peça ACD e as barras AB e BC não têm peso. Em A atua um apoio simples bilateral e em B uma articulação. O fio da polia é ideal e a polia não tem peso. Pede-se: a) O diagrama de corpo livre do conjunto (barras, peça, polia e fio); b) As reações externas em A e B; c) O diagrama de corpo livre da polia, da peça ADC e das barras BC e AB; d) A força atuante na barra BC e indicar se é de tração ou compressão
a/2
2P
D A
0.5a
C a
a 2a
P
Av. Prof. Mello Moraes, 2231 – 05508-900 – São Paulo – SP – BRASIL TEL.: 55 11 3091-5355/5561/5570 – FAX: 55 11 3813 1886
B
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Resolução da 1º questão (3,0 pontos)
r r r r r r r r Considere o sistema de forças ( Fi , Pi ) dados por F1 = F i , F2 = F j + F k e F3 = F k . As forças estão aplicadas nos pontos: P1 (a,0, a) , P2 (0, a, a) e P3 (0,0, a ) respectivamente. Pede-se: a) Calcular a resultante do sistema de forças, o momento em relação ao pólo O (0, 0, 0); r r r r r R = ∑ Fi = F i + F j + 2 F k ; ; r r r r r r M O = ∑ ( Pi − O) ∧ Fi = (a i + a k ) ∧ F i = Fa j ;
(0,5) (0,5)
b) Verificar se o sistema é redutível a uma única força. Justificar; r r r r r r I = M O ⋅ R = ( Fa j ) ⋅ ( F i + F j + 2 F k ) = F 2 a ; como I≠0 o sistema não pode ser redutível a uma única força;
(0,5)
c) Calcular o momento em relação ao pólo D (0, a, a); Utilizando a formula de mudança de pólo: r r r r r r r r r r r M D = M O + (O − D ) ∧ R = Fa j + (−a j − a k ) ∧ F (i + j + 2 k ) = Fa (−i + k )
(0,5)
d) Determinar o lugar geométrico dos pontos E onde o momento do sistema de forças é mínimo; Utilizando a formula do eixo central onde o momento é mínimo:
r r r r r r r r r r ( F i + F j + 2 F k ) ∧ ( Fa j ) r a(k − 2 i ) r r R ∧ MO ( E − O) = + λ R = + λ R = + λ F ( i + j + 2 k ) r2 6F 2 6 R para ∀ λ ∈ ℜ.
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(1,0)
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Resolução da 2º questão (3,5 pontos)
Adotando-se o sistema de eixos EXY indicado na figura e considerando-se os baricentros G1 do quadrado ABDE e G2 do triângulo BCD, a ordenada Y do baricentro G da placa homogênea ABCDEA é dada por:
D
B
a/6
G2 C
a a2 1 a a − a − 2 4 3 2 7 YG = = a 18 a2 2 a − 4
a/2
Y X E
A
Relativamente ao sistema de eixos Axyz do enunciado do problema, a peça ABCDEA está contida no plano xz e apresenta um eixo Cz de simetria vertical. Logo, a posição do baricentro G da placa no sistema Axyz é dada por: a 7a G = ,0, 2 18 Resposta (a) (1,0)
As barras BH, ID, EF e DF, de peso desprezível, estão em equilíbrio sob a ação de duas forças aplicadas em suas extremidades. Logo, essas forças são iguais, opostas e têm mesma linha de ação. Os diagramas de corpo livre das barras BH, ID, EF e DF são apresentados na figura abaixo:
a
G1
2
a/2 a
FDF
D
FID FBH H
D
FID I FEF
B
E
FBH
Utilizando-se os diagramas de corpo livre das barras e aplicando-se o Princípio de Ação e Reação, constrói-se o diagrama de corpo livre da placa ABCDEA indicado na proxima figura.
F
F
FEF
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FDF
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z FBH B FID
D
Resposta (b)
(1,0)
C FDF G
2P A YA
XA P
E FEF
x
y
Para que a placa ABCDEA esteja em equilíbrio, é necessário que: 2 r 2 r r j − FDF k =0 2 2 r r r r r 2 r 2 r r M A = (E − A) ∧ FEF j + (G − A) ∧ − Pk + (C − A) ∧ 2 Pj + (D − A) ∧ FID i + FDF j − FDF k =0 2 2 r a r a r r r r a r 7a r r r 2 r 2 r r ⇒ ai ∧ FEF j + i + k ∧ − Pk + i + k ∧ 2 Pj + ai + ak ∧ FID i + FDF j − FDF k =0 18 2 2 2 2 2 r a r r r r 2 r 2 r 2r r ⇒ aFEF k + Pj + aFDF k + aPk − aPi + aFDF j + aFID j − aFDF i =0 2 2 2 2 r
r
r
r
r
r
r
r
R = FID i + FEF j + FBH k + 2 Pj + X A i + Y A j − Pk + FDF
(
(
)
(1)
)
(
)
(2)
Das equações vetoriais (1) e (2) resultam as 6 equações escalares abaixo: FID + X A = 0
(3)
FEF + 2 P + Y A + FDF FBH − P − FDF
2 =0 2
2 =0 2
2 =0 2 a 2 P + aFDF + aFID = 0 2 2 2 aFEF + aFDF + aPk = 0 2
− aP − aFDF
(4) (5) (6) (7) (8) (0,5)
Resolvendo-se o sistema de equações (3) a (8), obtêm-se: Av. Prof. Mello Moraes, 2231 – 05508-900 – São Paulo – SP – BRASIL TEL.: 55 11 3091-5355/5561/5570 – FAX: 55 11 3813 1886
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anel A: barra BH: barra DI:
r r Pr R A = − i − Pj 2 FBH = 0 P FID = (tração) 2 FEF = 0
barra EF: barra DF: FDF = − P 2 (compressão) Os diagramas de corpo livre das barras e da placa, após a resolução do sistema de equações, são apresentados nas figuras abaixo:
P 2
D
B
P 2 H
P 2
D
P 2
D
I
P 2
força zero
C G
B
E
A
força zero
P 2
P E F
F
P 2
Resposta (c)
2P
(1,0)
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P
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica Resolução da 3ª questão. (3,5 pontos)
O diagrama de corpo livre do conjunto (barras+peça ACD+polia+fio) é apresentado na figura abaixo. D A
C
XA
XB
P
B
Resposta (a)
YB
(0,5)
Aplicando-se as equações de equilíbrio do conjunto ilustrado na figura acima, obtém-se: −X A − X B = 0
(1)
YB − P = 0
(2)
a P 2a + + X A ⋅ 2a = 0 2
(3)
Resolvendo-se o sistema de equações 1 a 3, obtêm-se: XA =−
5P 4
Resposta (b)
XB =
5P 4
YB = P
(1,0)
Os diagramas de corpo livre da polia, das barras AB e BC e da peça ADC são apresentados na figura abaixo:
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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica T
T
D
YC C XC
XC
C
YC
A
XA
FAB
FBC
P
FAB FBC A C
B
Resposta (c)
FBC
B FAB
(1,0)
Aplicando-se as equações de equilíbrio à polia, obtêm-se: P
a a −T = 0 ⇒ T = P 2 2
−X C +T = 0 ⇒ X C = P YC − P = 0 ⇒ YC = P
Aplicando-se a equação de equilíbrio à peça ADC, segundo o eixo horizontal, obtém-se: P − P − FBC
2 2 5P 5 2 − X A = 0 ⇒ − FBC − = 0 ⇒ FBC = P (compressão) 2 2 4 4
Resposta (d)
(1,0)
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