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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica PME 2100 – MECÂNICA A – Primeira Prova – 11 de setembro de 2007 1ª Questão (3,0 pontos) Sobre a placa quadrada ABCD, de centro em O e lado 2a, representada na figura, age o sistema S1 formado pelas forças r r r ( F , A) , ( − F , C ) e ( P, O ) . Nessas condições: a) Calcular a resultante do sistema de forças S1; b) Calcular o momento do sistema S1 em relação ao polo O; c) Determinar um pólo para o qual o momento de S1 seja nulo; d) Construir um sistema de forças S2 equivalente a S1, aplicando sua resultante em C.
y A
r F
B
r P
O
x
r −F
D
C
r r r r a) F = Fi e P = P.( 2 / 2).(i + j ) r r r r r R1 = ∑ Fi − Fi + P.( 2 / 2).(i + j ) = P.( 2 / 2).(i + j )
(0,5)
r r r r b) M O ,S 1 = ( A − O ) ∧ F + (C − O ) ∧ (− F ) = −2a.F .k
(0,5)
[
]
r r r r c) M E ,S 1 = 0 = M O ,S 1 + (O − E ) ∧ R1 onde: E = ( xE , y E , z E ) e O = (a, a,0) ⇒ (O − E ) = ((a − xE ), (a − y E ), (− z E ) )
r r r i j k r r r r r r r M E ,S 1 = 0 = −2a.F .k + ( a − x E ) (a − y E ) (− z E ) = −2a.F .k + P.( 2 / 2). z E i − z E j + (− x E + y E )k P. 2 / 2 P. 2 / 2 0
[
]
z E = 0 e (- x E + y E ).P. 2 / 2 − 2a.F = 0 representa a reta no plano (0,x,y) que passa pelo ponto z E = 0 ; x E = 0 y E = 2 a 2. ( F / P ) A reta é paralela à diagonal BD.
r r r r uma força ( R2 , C ) → R2 = R1 = P.( 2 / 2).(i + j ) r e um binário M bin de modo que:
c) S2 é um sistema composto por: r r r M O , S 2 = M bin + (C − O )^ R2
(1,0)
;
(C − O) = (a,−a,0) e r r r M O , S 2 = M O , S 1 = −2a.F .k r M bin
r r r i j k r r r r = −2a.F .k − (C − O )^ R = −2a.F .k + − a +a 0 = (−2.F − P 2 ).a.k P. 2 / 2 P. 2 / 2 0
(1,0)
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z
B’ C’
B 2L
g
45o
L
O
C
L
D
3L/2 2L/3
x
A
L/4
y L/4
E
2ª Questão (3,5 pontos) Uma placa homogênea, com densidade superficial ρ (kg/m2) está dobrada em forma de uma cantoneira (ACBODE) conforme indicado na figura. A cantoneira está articulada no ponto A, vinculada a um anel em O, presa em B a uma barra biarticulada e suspensa em C por um fio. O fio suporta uma carga de massa m (kg) por meio de uma polia de peso desprezível, que se encontra em um plano vertical paralelo ao plano Oxz. Pede-se determinar: a) As coordenadas do baricentro da porção horizontal da cantoneira; b) O diagrama de corpo livre da cantoneira; c) As forças que atuam no fio e na barra, bem como as reações vinculares nos pontos A e O; d) A relação entre m e ρ para que a força na barra seja nula.
a) Seja G2 o baricentro da porção horizontal da cantoneira:
2L y G2
L 2L/3 L/4
3L/2
L/4
x Por causa da simetria da figura em relação ao eixo vertical, resulta que: YG2 = L. Utilizando-se, a seguir, a propriedade associativa do baricentro obtém-se: 2L ⋅ L ⋅ X G2 =
L ⎛ 2 L 3L ⎞ ⎛ L 1 2 L ⎞ + ⎜− ⋅ ⎟⋅⎜ + ⋅ ⎟ 2 ⎝ 3 2 ⎠ ⎝3 2 3 ⎠ L = 3 ⎛ 2 L 3L ⎞ 2L ⋅ L + ⎜ − ⋅ ⎟ ⎝ 3 2 ⎠
Portanto, a posição do baricentro da aba horizontal da cantoneira, relativamente à origem O do sistema de referência escolhido, é dada por:
r
(G2 − O ) = L i 3
r + Lj
(1,0)
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b) Diagrama de corpo livre da cantoneira: z
RB
C
G1 X
O
P1 G2 ZO
x
45°
T
B
A
Y
P2
y
X ZA
(1,0)
c) Diagrama de corpo livre da polia:
T
C’ m
Do equilíbrio da polia, deduz-se que: T = mg r ⎛ 2r 2 r⎞ i+ k ⎟⎟ Logo T = mg ⎜⎜ − 2 2 ⎝ ⎠ Por outro lado, a barra BB’ está em equilíbrio sob a ação de apenas duas forças aplicadas em suas extremidades. Logo, essas forças têm mesma linha de ação, mesmo módulo e sentidos opostos, ou seja: r r RB = RB i
O anel em O resiste apenas a forças nas direções x e z. Logo: r r r RO = X Oi + ZOk
A articulação em A resiste a forças nas direções x, y e z. Logo: r r r r R A = X A i + YA j + Z A k
Os pesos das porções vertical e horizontal da cantoneira são equivalentes a forças concentradas aplicadas em seus baricentros G1 e G2, respectivamente, que são dadas por:
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r r r r 2 L 3L ⎞ r ⎛ ⋅ ⎟ ρgk = − L2 ρgk P1 = −2 ρgL2 k e P2 = −⎜ 2 L2 − 3 2 ⎠ ⎝
Para facilitar os próximos cálculos, montamos a tabela a seguir: Força r − 2 ρgL2 k
r P1 ,G 1
Ponto de aplicação r Lr Lj + k 2 r r L i + Lj 3
r − ρgL2 k
r P2 ,G 2
⎛ 2r 2 r⎞ mg ⎜⎜ − i+ k ⎟⎟ 2 2 ⎝ ⎠ r r r X A i + YA j + Z A k r r X Oi + ZOk r RB i
r T,C r RA , A r RO , O r RB , B
r r 2 Lj + Lk
r 2 Lj r 0 r Lk
Finalmente, aplicamos as equações de equilíbrio da Estática: r
∑F
i
r =0 e
r
∑M
Oi
r =0
Igualando a resultante a zero, obtemos: r r r r r r r r r 2r 2 r − 2 ρgL2 k − ρgL2 k − mg i + mg k + X A i + Y A j + Z A k + X O i + Z O k + RB i = 0 2 2
de onde resultam as equações:
⎧ 2 ⎪ X A + X O + RB = mg 2 ⎪ YA = 0 (I) ⎨ ⎪ 2 2 ⎪Z A + Z O = 3ρgL − mg 2 ⎩ Igualando a zero a resultante dos momentos em relação ao pólo O, obtemos:
(
)
(
) (
)
r ⎛ L r r⎞ r r r r r ⎛ 2r 2 r⎞ ⎛ r L r⎞ 2 2 i+ k ⎟⎟ + Lk ∧ RB i + ⎜ Lj + k ⎟ ∧ − 2 ρgL k + ⎜ i + Lj ⎟ ∧ − ρgL k + 2 Lj + Lk ∧ mg ⎜⎜ − 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝3 ⎠ ⎝ 2 r r r r r 2 Lj ∧ X A i + Y A j + Z A k = 0
(
)
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica Desenvolvendo a equação acima, resulta: ⎧2 LZ A + L 2mg − 3ρgL3 = 0 ⎪ 2 ρgL3 ⎪ =0 mg + ⎨ LRB − L 2 3 ⎪ ⎪⎩ − 2 LX A + 2 Lmg = 0 Portanto, obtém-se: 3L2 2 − mg 2 2 2 XA = mg 2 2 L2 RB = mg − ρg 2 3
Z A = ρg
Substituindo-se (II) em (I) obtém-se: L2 2 X O = ρg − mg 3 2 3L2 Z O = ρg 2
Portanto, as reações vinculares, são: r r ⎛ 3L2 ⎞r 2 2 RA = mgi + ⎜⎜ ρg mg ⎟⎟k − 2 2 2 ⎠ ⎝ r ⎛ 2 L2 ⎞ r RB = ⎜⎜ mg − ρg ⎟⎟i 3⎠ ⎝ 2 r ⎞r ⎛ L2 2 3L2 r RO = ⎜⎜ ρg − mg ⎟⎟i + ρg k 3 2 2 ⎠ ⎝ A força de tração no fio é:
r ⎛ 2r 2 r⎞ T = mg ⎜⎜ − i+ k⎟ 2 ⎟⎠ ⎝ 2
(II)
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica A força atuante na barra BB’, a partir do ponto B, é dada por: r r ⎛ L2 ⎞r 2 FBB ' = − RB = ⎜⎜ ρg − mg ⎟⎟i 3 2 ⎠ ⎝
(1,0)
d) Para que FBB’ seja nula deve-se ter, portanto:
ρ
L2 2 g− mg = 0 3 2
ou seja:
ρ=
3 2 m 2 L2
(0,5)
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Q a/2
a/2
3ª Questão (3,5 pontos) A estrutura da figura é formada por quatro barras bi-articuladas com pesos desprezíveis e está submetida a uma força vertical Q. Pede-se calcular: a) As reações vinculares em A e D ; b) As forças que atuam nas barras, indicando se são forças de tração ou de compressão.
B A a/2
C y
a/2
x D
Diagrama de corpo livre: Q VA Ax
VB HA
A
HA
A
HB
B
HB B
FAC Ay
VB
VA
FAC A
B
C
FAC
FBC FAC
FCD FCD C
FCD
Dx
FCD D Dy
FBC FBC
D
FBC
C
C
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica Equações de equilíbrio:
•
⎧ ⎪ ∑ Fx = 0 ⇒ H A − H B = 0 ⎪ Barra AB : ⎨ ∑ Fy = 0 ⇒ VA + VB − Q = 0 ⎪ a ⎪∑ M Az = 0 ⇒ −Q + VB a = 0 2 ⎩
•
⎧ 2 =0 ⎪⎪∑ Fx = 0 ⇒ Ax + H A + FAC 2 Nó A: ⎨ 2 ⎪ F = 0 ⇒ A −V − F =0 ∑ y y A AC ⎪⎩ 2
•
⎧ 2 =0 ⎪⎪∑ Fx = 0 ⇒ − H B − FBC 2 Nó B: ⎨ 2 ⎪ F = 0 ⇒ −V − F =0 ∑ y B BC ⎪⎩ 2
•
⎧ F =0 Nó C: ⎨ AC ⎩ FBC = FCD
•
⎧ 2 =0 ⎪⎪ ∑ Fx = 0 ⇒ Dx + FCD 2 Nó D: ⎨ 2 ⎪ F =0⇒ D +F =0 y CD ⎪⎩∑ y 2
Reações vinculares: Ax = −
Q Q ; Ay = ; 2 2
Dx =
Q 2
e
Dy =
Q 2
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica Q
A
Q/2
B
Q/2
C
D
Q/2
Q/2
Forças nas barras: HA =
(2,0)
Q Q ; HB = ; 2 2
FAC = 0 ; FBC = −Q
VA = 2 2
Q Q ; VB = ; 2 2
e FCD = −Q
2 2
Q
Q/2
A
B
Q/2
Q/2
Q/2
Q 2 2 B
A
Q 2 2
C
C
Q 2 2 C
Q 2 2
D
(1,5)
