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Curiosidades da Aritmética: Calendários e Potências
Quem visita o blog regularmente ou assina o Feed do “Matemática na Veia” sabe que pode encontrar aqui muito mais do que a simples matemática do dia-a-dia. Como estamos tratando do tema “Potências” ou “Potenciação”, como queiram, hoje vamos ver algumas curiosidades relacionadas às potenciações e mais alguns segredinhos escondidos nas entrelinhas dos cálculos aritméticos.
Em primeiro lugar, observe atentamente a seguinte operação com as potências. 2 5 × 9 2 = 2592
É muito interessante, pois os números das bases e expoentes das potências que estão sendo multiplicadas são os mesmos dos resultados na mesma ordem posicional. Existem milhares destas coincidências na matemática, ou melhor, em matemática, coincidências realmente não existem, mas sim, características particulares de cada operação embasadas em lemas e demonstrações criteriosas. Neste caso de multiplicação de potências de números naturais. Vamos ver um exemplo mais elaborado, que além de interessante pode ser usado em vários ramos da matemática.
Vamos usar um exemplo bastante interessante já tratado aqui no blog.
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O quadrado mágico do calendário.
Vamos supor que eu lhe peça para escolher nove dias quaisquer de um determinado mês. Podemos usar como exemplo o mês de junho de 2010. Veja que temos nove dias destacados no calendário abaixo:
Mês de Junho de 2010.
Agora vou lhe perguntar qual é a menor data, ou seja, o número de menor valor encontrado entre as nove datas que você escolheu. (É claro, supondo que você tenha escolhido o quadrado 1,2,3,8,9,10,15,16,17 do exemplo dado).No exemplo temos que Terça-Feira, o dia 1º é a menor data, pois corresponde ao número um. Agora vem o truque que é muito legal.
Vou descobrir o total da soma de todos os valores que estão neste quadrado supostamente escolhido por você. Neste momento você faz cara de espanto dizendo – Não acredito! Sem mostrar para você, faço minhas contas que na verdade são muito fáceis. Veja abaixo: Pego o menor valor que você já me disse. 1, e somo com 8. Que dá o valor 9. Multiplico o valor encontrado por 9 que dá 81.
(1+8).9 =81 . Vamos conferir? (1+2+3)+(8+9+10)+(15+16+17) = 81 6+27+48=81. Confere!
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É fácil e muito divertido testar estes truques da matemática. Vamos ver outro fato interessante com calendários e potências.
No livro Aritmética Recreativa do escritor espanhol Yakov I. Perelman, encontramos muitos destes truques, e um me chamou a atenção por tratar exatamente de calendários e potências. Na verdade é mais uma característica daquelas que citei no começo do artigo.
O Número 365. É impressionante, principalmente porque ele representa o total de dias do ano. Além disso, a divisão deste número por módulo 7 dá resto 1. Por ser um resto tão insignificante, esta propriedade do número 365 adquire grande significado para nosso calendário com sete dias na semana. Outra propriedade interessante do número 365 que está intimamente relacionada ao nosso calendário é:
365= 10.10+11.11+12.12 .
É fácil notar que o número 365 é igual a soma dos quadrados dos valores que representam os 3 últimos meses consecutivos, ou seja, 102+112122= 100+121+114=365 . Também podemos notar que a soma de 132+142=365. Podemos encontrar esta propriedade destacada na tela intitulada "problema difícil" do pintor Bogdánov-Bielsky.
Quadro do pintor BOGDANOV-BELSKY
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Figura 2. Vinheta do famoso quadro do artista Nikolai Petrovich BOGDANOV-BELSKY (1868-1945)., intitulado “Um Problema Difícil” Fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/Nikolay_Bogdanov-Belsky Descrição: Professor com seus alunos, onde os 11 pupilos tentam resolver o problema dado pelo professor no quadro negro.
O resultado desta operação é igual a 2. Bom, espero que tenham gostado e até a próxima!
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