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Departamento de Matem´atica - Universidade de Coimbra Crit´ erios de convergˆ encia para s´ eries num´ ericas Resultados
Teste de Divergˆ encia
Coment´ arios Se lim an = 0, nada se pode n→+∞
Se lim an n˜ao existe ou lim an 6= 0 n→+∞ n→+∞ ∞ X ent˜ao an ´e divergente.
concluir acerca da natureza da ∞ X s´erie an .
n=1
Teste do integral
Se f ´e cont´ınua, decrescente e n˜ao negativa em [a, +∞[, R +∞ ent˜ao o integral impr´oprio a f (x)dx e a s´erie ∞ X f (n) tˆem a mesma natureza. n∈N,n≥a ∞ X
Se Primeiro Teste de Compara¸ c˜ ao
an e
n=1 ∞ X
a) se
b) se Se
n=1 ∞ X
∞ X
bn converge ent˜ao
∞ X
an converge;
an diverge ent˜ao ∞ X
n=1
n=1
an e
∞ X
bn diverge.
n=1
bn s˜ao s.t.p.
= L ∈ R+ ao 0 ∪ {+∞} ent˜
a) se L ∈ R+ ambas as s´eries tˆem a mesma natureza; ∞ ∞ X X b) se L = 0 e bn converge ent˜ao an converge; n=1
c) se L = +∞ e
∞ X
n=1 ∞ X
bn diverge ent˜ao
n=1
Este crit´erio ´e mais f´ acil de aplicar que o Primeiro Teste de Compara¸ca˜o, mas ainda ´e preciso encontrar uma s´erie de compara¸ca˜o.
an diverge.
n=1
Se an ≥ 0, para todo o n, (an ) ´e decrescente e lim an = 0 n→+∞ ∞ ∞ X X n n+1 ent˜ao as s´eries (−1) an e (−1) an s˜ao convergentes. n=1
Teste da Raz˜ ao
Aplicar o crit´erio quando os outros falham.
n=1
an n→+∞ bn
Teste de Leibnitz
Aplicar o crit´erio quando ´e f´acil integrar f (x).
bn s˜ao s.t.n.n. e an ≤ bn , para todo o n,
n=1
n=1 ∞ X
e lim Segundo Teste de Compara¸ c˜ ao
n=1
O teste ´e v´ alido apenas para um determinado tipo de s´eries.
n=1
Se an 6= 0, para todo o n, | = L ∈ R+ ao e lim |a|an+1 0 ∪ {+∞} ent˜ n| n→+∞ ∞ X a) se 0 ≤ L < 1 ent˜ao a s´erie an converge absolutamente; n=1
b) se L > 1 ou L = +∞ ent˜ ao a s´erie
∞ X
Aplicar este teste quando an envolve factoriais ou potˆencias.
an ´e divergente;
n=1
c) se L = 1, o teste ´e inconclusivo. p n Se lim |an | = L ∈ R+ ao 0 ∪ {+∞} ent˜ n→+∞ ∞ X a) se 0 ≤ L < 1 ent˜ao a s´erie an ´e absolutamente convergente; Teste da Raiz
n=1
b) se L > 1 ou L = +∞ ent˜ ao a s´erie
∞ X n=1
c) se L = 1, o teste ´e inconclusivo.
an ´e divergente;
Aplicar este teste quando an envolve potˆencias.
