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Coordenadas polares
Um m´etodo importante de representa¸c˜ao de pontos num plano consiste no uso de coordenadas polares. Para introduzir um sistema de coordenadas polares no plano, partimos de um ponto fixo O (chamado origem ou p´ olo) e uma semi-recta orientada (chamada eixo polar) com extremidade O. Neste sistema a cada ponto P do plano podemos associar as coordenadas polares (r , θ) onde:
M´etodos Matem´aticos I Coordenadas polares 2006/2007
r ´e a distˆancia de O (P´ olo ou origem) a P.
θ ´e o ˆangulo orientado, no sentido contr´ario ao dos ponteiros ˙ do rel´ ogio, desde o eixo at´e `a semi-recta OP.
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Rela¸c˜ao entre coordenadas polares e coordenadas cartesianas
Nota: r pode ser negativo. Neste caso, mede-se r unidades na ˙ semi-recta com extremidade O e sentido oposto a OP Como se sabe, quando consideramos o sistema de coordenadas cartesianas,(x, y ), no plano, cada ponto tem representa¸c˜ao u ´nica. Usando o sistema de coordenadas polares isto n˜ao acontece. P = (r , θ) = (−r , θ + π) = (r , θ + 2kπ),
Veremos, a seguir, qual a rela¸c˜ao entre as coordenadas polares e as coordenadas cartesianas. Deste modo, obteremos um processo para passar de coordenadas polares a coordenadas cartesianas e vice-versa.
para k ∈ Z
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Curvas em coordenadas polares
Uma curva pode ser representada em coordenadas cartesianas ou em coordenadas polares, como veremos nesta sec¸c˜ao. Embora uma curva possa ser representada por estes dois sistemas de coordenadas, um dos sistemas poder´a ser mais adequado que o outro em determinadas situa¸c˜oes.
Sendo (x, y ) as coordenadas cartesianas e (r , θ) as coordenadas polares de um mesmo ponto P, tem-se x = r cos θ e y = r sin θ y r 2 = x 2 + y 2 e tan θ = , com x = 0 x
Ao conjunto de pontos (r , θ) do plano que verificam a equa¸c˜ao F (r , θ) = 0 chama-se curva em coordenadas polares.
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A t´ıtulo ilustrativo mostramos alguns gr´aficos especiais com a respectiva equa¸c˜ao na forma polar.
Vejamos quais s˜ao as equa¸c˜oes polares de algumas rectas e circunferˆencias.
Rectas verticais: r cos θ = a ou r = a sec θ
Rectas horizontais: r sin θ = a ou r = acosecθ
Rectas que passam pela origem: θ = θ0
Circunferˆencia centrada na origem: r = a (raio=|a|)
Circunferˆencia centrada no eixo Ox e tangente ao eixo Oy : r = 2a cos θ
Circunferˆencia centrada no eixo Oy e tangente ao eixo Ox: r = 2a sin θ
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