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CONTROLE DIGITAL Introdução. Sistemas de tempo discreto, ou sistemas de dados amostrados, são sistemas dinâmicos em que uma ou mais variáveis podem mudar apenas em instantes discretos de tempo. Estes instantes, que denotaremos por kT ou tk (k=0,1,2,...) podem especificar o instante em que é feita alguma medida física ou o instante em que é lida a memória de um computador digital, etc. O intervalo de tempo entre dois instantes discretos é considerado suficientemente pequeno, de tal forma que os dados para os tempos entre estes instantes discretos podem ser aproximados por interpolação simples. Sistemas de tempo discreto diferem dos de tempo contínuo, em que os sinais para um sistema de tempo discreto estão na forma amostrada. Sistemas de tempo discreto ocorrem na prática quando as medidas necessárias para o controle são obtidas de forma intermitente, ou um controlador de larga escala ou computador é multiplexado no tempo entre vários processos de tal forma que um sinal de controle é mandado para cada processo apenas periodicamente ou quando um computador digital é usado para fazer as computações necessárias para controle. Muitos sistemas de controle industrial modernos são sistemas de tempo discreto uma vez que invariavelmente incluem alguns elementos cujas entradas e/ou saídas são discretas no tempo. Ás vezes, entretanto, a operação de amostragem, ou discretização, pode ser inteiramente fictícia e introduzida apenas para simplificar a análise de um sistema de controle que na realidade contém apenas elementos contínuos. Sistemas discretos. Na maioria de sistemas que são estudados em sistemas de controle e automação industrial, o tempo é importante e os sinais relacionados com estes são funções do tempo. Estas funções do tempo podem ser discretas ou contínuas, isto é, estarem definidas para um número contável de pontos no eixo dos tempos ou para intervalos com infinitos pontos. O índice da bolsa do RJ (média dos índices de cotação das diferentes ações da bolsa) é um sinal discreto, pois para cada dia tem-se um índice. I(k) = *8,3; 7,2; 5,0; … + A temperatura de um forno medida com termopar é um sistema contínuo, pois para cada instante 𝑡 ∈ ,0, ∞) tem-se um dado valor de temperatura. Os sistemas associados a sinais discretos são chamados de Sistemas Discretos e os associados a sinais contínuos de Sistemas Contínuos. Muitas vezes, na prática, sobretudo nos sistemas de controle, trabalha-se com combinação de sinais e/ou sistemas contínuos e discretos. Então para poder analisar matematicamente estas combinações, faz-se necessário amostrar os sinais contínuos de forma tal a construir seqüências que os representam. Este processo é realizado colhendo amostras do sinal contínuo em determinados instantes. O sinal obtido é dito sinal amostrado. Em geral este processo é feito usando um intervalo T entre amostras de valor constante. Este valor é chamado de amostragem e sua inversa 1/T de freqüência de amostragem.
CONVERSOR A/D Amostra sinais analógicos ocorre em intervalos de tempo regulares, a cada T segundos. Pode ser considerado como uma chave que é fechada a cada T segundos por um intervalo de tempo Δt. f(t) é sinal analógico. f*(t) é sinal digital.
Qualquer que seja a forma da função de tempo contínuo, a saída digital é uma seqüência de impulsos. Cada impulso na seqüência é um impulso unitário multiplicado pelo valor de f(t) naquele instante de tempo. Uma função f*(t) que descreve a seqüência de pulsos para uma função f(t) com período de amostragem T pode ser escrita como:
𝑓 ∗ (𝑡) = 𝑓(0)(𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜 𝑒𝑚 𝑡 = 0) + 𝑓(𝑇)(𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜 𝑒𝑚 𝑡 = 𝑇) + 𝑓(2𝑇)(𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜 𝑒𝑚 𝑡 = 2𝑇) + ⋯ + 𝑓(𝑘𝑇)(𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜 𝑒𝑚 𝑡 = 𝑘𝑇)
Quando o processo de amostragem é feito para obter uma representação discreta de um sinal contínuo, deve se considerar quanta informação de sinal é “perdida” nesse processo. De forma intuitiva, pode-se afirmar que quanto mais próximas no tempo sejam as amostras, menos informação será perdida. Por outro lado, a utilização de freqüências de amostragem muito altas eleva o custo computacional e produz problemas de identificação.
Figura 1: Sinal amostrado Quantização. A inclusão de um computador em um sistema analógico produz sinais em forma digital (normalmente como números binários) em parte do sistema. O sistema então toma a forma de uma combinação mista digital-analógica. A introdução de um computador digital em um sistema de controle requer o uso de conversores digital-analógico e analógico-digital. A conversão de um sinal analógico para o correspondente sinal digital (número binário) é uma aproximação porque o sinal analógico pode assumir um número infinito de valores, ao passo que a variedade de diferentes números que podem ser formados por um conjunto finito de dígitos é limitada. Este processo de aproximação é chamado de quantização. O processo de quantização (conversão de um sinal em forma analógica para um em forma digital) pode ser ilustrado através da curva característica da Figura abaixo. A gama de amplitudes de entrada é dividida em um número finito de intervalos disjuntos hi que não são necessariamente iguais. Todas as amplitudes caindo dentro de cada intervalo são equacionadas a um valor único dentro do intervalo. Este valor único é a aproximação digital para as amplitudes do sinal de entrada analógico. Portanto, se x é a entrada analógica, a saída digital é dada por y=Q(x), onde Q é a função de quantização.
Figura 2: Sinal quantizado
A operação de sistemas de controle digital envolve quantização tanto em amplitude quanto em tempo.
Sinal contínuo no tempo e em amplitude
Sinal contínuo no tempo e discreto em amplitude
Sinal discreto no tempo e contínuo em amplitude
Sinal discreto no tempo e discreto em amplitude
Sistema numérico binário. O sistema numérico mais simples que usa notação posicional é o sistema numérico binário. Como o próprio nome diz, um sistema binário contém apenas dois elementos ou estados. Num sistema numérico isto é expresso como uma base dois, usando os dígitos 0 e 1. Esses dois dígitos têm o mesmo valor básico de 0 e 1 do sistema numérico decimal. Devido a sua simplicidade, microprocessadores usam o sistema binário de numeração para manipular dados. Dados binários são representados por dígitos binários chamados "bits". O termo "bit" é derivado da contração de "binary digit". Microprocessadores operam com grupos de "bits" os quais são chamados de palavras. O número binário 1 1 1 0 1 1 0 1 contém oito "bits".
Notação Posicional. Tal qual no sistema numérico decimal, cada posição de "bit" (dígito) de um número binário tem um peso particular o qual determina a magnitude daquele número. O peso de cada posição é determinado por alguma potência da base do sistema numérico.
Potências de 2 0
2 =
110
25 =
3210
21 =
210
26 =
6410
2
7
2 =
410
2 =
12810
23 =
810
28 =
25610
4
2 =
1610
9
2 =
51210
Para calcular o valor total do número, considere os "bits" específicos e os pesos de suas posições (a tabela abaixo mostra uma lista condensada das potências de 2). Por exemplo, o número binário 110101 pode ser escrito com notação posicional como segue: (1x25)+(1x24)+(0x23)+(1x22)+(0x21)+(1x20)
Para determinar o valor decimal ao número binário 1101012, multiplique cada "bit" por seu peso posicional e some os resultados. (1x32)+(1x16)+(0x8)+(1x4)+(0x2)+(1x1) = 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 5310
O "bit" mais a direita, chamado o bit menos significativo ou (LSB) tem o menor peso inteiro de 2 = 1. 0
O "bit" mais a esquerda é o bit mais significativo ou (MSB) pois ele comporta o maior peso na determinação do valor do número neste caso, ele tem um peso de 25 = 32. ENGENHARIA ELETRÔNICA OU ELETRO-ELETRÔNICA – eletronorte – Engenheiro de Automação e Controle/Engenheiro de Manutenção Eletrônica – NCE/UFRJ – 2006 Letra D
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS PLENO ELETRÔNICA – petrobras – maio 2006 – fundação cesgranrio Tensão (V) Valor binário -4 0000 -3.5 0001 -3 0010 -2.5 0011 -2 0100 -1.5 0101 -1 0110 -0.5 0111 0 1000 0.5 1001 1 1010 1.5 1011 2 1100 2.5 1101 3 1110 3.5 1111 101001100010 Como 10 amostras percorreu 01 ciclo da senóide, 250 amostras (que durou 01 segundo) percorrerá 25 ciclos. Ou seja, a freqüência é de 25 ciclos/s (Hz) Letra B
SISTEMAS DE CONTROLE DIGITAL Podem executar duas funções: 1) SUPERVISÃO (externa à malha de realimentação): sincronismo de tarefas, monitoração de valores fora da faixa de parâmetros e a seqüência de interrupção em condições seguras de operação. 2) CONTROLE (interna à malha de realimentação): executa métodos de compensação implementados com controladores digitais. VANTAGENS DO USO DE CONTROLADORES DIGITAIS: 1) Variações na lei de controle de um controlador analógico requerem variações de hardware, enquanto que no controlador digital podem ser obtidas por mudanças no software. 2) Redução do custo. 3) Alta imunidade à ruído.
DIAGRAMA DE BLOCOS DE UM SISTEMA DE CONTROLE DIGITAL PROCESSO DE CONTROLE DIGITAL 1) Clock no controlador fornece um pulso a cada T segundos. 2) Para cada instante de tempo, o conversor A/D recebe um pulso e amostra o sinal de erro. 3) O sinal de erro, que varia de forma contínua, é convertido pelo conversor A/D em um sinal digital. 4) O erro é amostrado a cada T segundos. 5) O controlador aplica a lei de controle, de acordo com o software. 6) A saída é convertida em um sinal analógico por um conversor D/A e é utilizado para atuar na variável da planta.
PROCESSO DE RECONSTRUÇÃO CONVERSOR D/A: converte o sinal codificado em binário, em algum instante do tempo, em um impulso cuja amplitude está relacionada com o código binário. A entrada, que era uma seqüência de sinais codificados em binário, torna-se uma seqüência de impulsos. O tempo entre dois impulsos sucessivos é igual ao período de amostragem T. RECONSTRUTOR DE ORDEM ZERO = ZERO ORDER HOLD: a seqüência de impulsos é convertida em um sinal analógico com forma de degraus que se mantêm constantes durante o intervalo T. Função de transferência: Ghoz(s) = (1 – e-Ts) / s
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS PLENO – ELÉTRICA – PETROBRAS – DEZEMBRO 2005 – FUNDAÇÃO CESGRANRIO
Letra D
TRANSFORMADA Z Conceito. Ferramenta matemática utilizada para o estudo dos sistemas de tempo discreto no domínio da freqüência, que possibilita uma grande simplificação na análise dos sinais e posterior representação dos sistemas digitais. Substituição: esT = z (variável complexa para operação com sistemas discretos) Processo de transformação: a) O sinal é necessariamente conhecido nos instantes de amostragem e ignorado ou irrelevante fora dos mesmos teremos uma sucessão de impulsos. b) Calcula-se a transformada de Laplace F*(s) da sucessão de impulsos. c) Faz-se a substituição de variável esT = z, que resulta numa série de potências em z-1. Esta função resultante é a transformada Z do sinal, para a qual usa-se a notação: Z [ F(s) ] ou Z [ F*(s) ] d) Função descrevendo uma seqüência de impulsos: f*(t) = f(0)(impulso em t=0) + f(1T)(impulso em t=1T) + f(2T)(impulso em t=2T) + ... + f(kT)(impulso em t=kT) e) Aplicando-se a transformada de Laplace: de um impulso em t=0 1 de um impulso em t=T e-Ts de um impulso em t=2T e-2Ts de um impulso em t=kT e-kTs Assim: £ { f*(t) } = F*(s) = f(0).1 + f(T).e-Ts + f(2T).e-2Ts +...+ f(kT).e-kTs f) Fazendo z = eTs podemos simplificar e escrever como: s = (1/T) . ln z Ou ainda: F*(s) s=(1/T)lnz = k=0 k= f(kT) z-k F(z) = F*(s) s=(1/T)lnz = f(0).z-0 + f(T).z-1 + f(2T).z-2 +..+ f(kT).z-k onde: s = número complexo; z = número complexo também
Propriedades básicas da Transformada z: 1) A multiplicação da função no tempo por uma constante resulta na multiplicação da transformada Z pela mesma constante: k.f(t) k.F(z) 2) A adição de duas funções no tempo resulta na adição de duas transformadas Z separadas: [f1(t) + f2(t)] [F1(z) + F2(z)] 3) O teorema do valor final dá o valor que será alcançado pela função de tempo amostrado, isto é, o valor em regime permanente: lim f(t)t = lim (z-1).F(z)z 1 4) O teorema do valor inicial dá o valor que a função no tempo tem quando (t = 0): lim f(t)t 0 = lim F(z)z
5) Se a função no tempo é deslocada por um intervalo kT, então a transformada Z da função é multiplicada por z-k : Z[f(t - kT)] = z-k F(z)
ENGENHEIRO DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR (ELETRÔNICA) – Termoaçu – fundação cesgranrio – maio 2008 𝑋(𝑧) = 1 + 𝑧 −2 + 𝑧 −4 + ⋯ 𝑧 −2 𝑋(𝑧) = 𝑧 −2 + 𝑧 −4 + ⋯ 𝑋(𝑧) − 𝑧 −2 𝑋(𝑧) = 1 1 𝑧2 𝑋(𝑧) = = 1 − 𝑧 −2 𝑧 2 − 1 Letra C
Resolução de Equações de diferença A resolução de equações à diferença pelo método da Transformada Z é muito útil, tal como a solução de equações diferenciais por Transformadas de Laplace. Essencialmente, usando o método da Transformada Z, podemos transformar equações de diferenças em equações algébricas em z. A seguir usaremos a notação simplificada x(k) para denotar x(kT). Transformada z de x(k+1). A transformada z de x(k+1) é dada por: Z[x(k+1)]=zX(z)-zx(0)
onde X(z)=Z[x(k)]. Note que se x(0)=0, então Z[x(k+1)]=zX(z) De uma forma geral, Z[x(k+m)]=zmX(z)-zmx(0) -zm-1x(1) -zm-2x(2) -zm-3x(3)-... -zx(m-1) Exemplo. Resolver a equação de diferenças usando o método da transformada z (𝑘 + 2) + 3 (𝑘 + 1) + 2 (𝑘) = 0
(0) = 0,
(1) = 1
Tomando a transformada z em ambos os lados desta equação de diferenças, obtemos: 𝑧 2 𝑋(𝑧) − 𝑧 2 (0) − 𝑧 (1) + 3𝑧𝑋(𝑧) − 3𝑧 (0) + 2𝑋(𝑧) = 0 Substituindo os dados iniciais e simplificando, temos: 𝑋(𝑧) =
𝑧 𝑧 𝑧 𝑧 = = − 𝑧 2 + 3𝑧 + 2 (𝑧 + 1)(𝑧 + 2) 𝑧 + 1 𝑧 + 2
Notando que 𝑍(𝑎 ) =
𝑧 𝑧−𝑎
temos: 𝑍,(−1) - =
𝑧 , 𝑧−1
𝑍,(−2) - =
𝑧 𝑧−2
Portanto (𝑘) = (−1) − (−2)
(𝑘 = 0,1,2, … )
ENGENHARIA ELETRÔNICA OU ELETRO-ELETRÔNICA – eletronorte – Engenheiro de Automação e Controle/Engenheiro de Manutenção Eletrônica – NCE/UFRJ – 2006 𝑢(𝑘) = (𝑘) + 𝑎𝑦(𝑘) (𝑘 + 1) = −𝑐𝑢(𝑘) + 𝑏𝑦(𝑘) Tem-se que: 𝑢(𝑘 + 1) = (𝑘 + 1) + 𝑎𝑦(𝑘 + 1) 𝑢(𝑘 + 1) = −𝑐𝑢(𝑘) + 𝑏𝑦(𝑘) + 𝑎𝑦(𝑘 + 1) 𝑢(𝑘 + 1) + 𝑐𝑢(𝑘) = 𝑏𝑦(𝑘) + 𝑎𝑦(𝑘 + 1) 𝑧𝑈(𝑧) + 𝑐𝑈(𝑧) = 𝑏𝑌(𝑧) + 𝑎𝑧𝑌(𝑧) Logo: 𝑈(𝑧) = Letra A
𝑎𝑧 + 𝑏 𝑌(𝑧) 𝑧+𝑐
Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior – Eletrônica – UnB/CESPE – PETROBRAS 2007 107C 108C 109E 110E
116C 117E 118E 119C 𝑈(𝑧) =
𝑏0 𝑧 + 𝑏1 𝐸(𝑧) 𝑧 + 𝑎1
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR ELETRÔNICA – CESGRANRIO – PETROBRAS - 2010
Solução: Freqüência natural do sistema 𝜔𝑛 = 50 𝑟𝑑/𝑠 Período natural: 2𝜋 𝜔𝑛 = 2𝜋𝑓𝑛 = 𝑇𝑛 2𝜋 𝑟𝑑 = 𝑇𝑛 𝑠 2𝜋 6,28 6.280 𝑇𝑛 = = 𝑠= 𝑚𝑠 50 50 50 Condição 1: 𝑇𝑛 6.280 𝑇𝑎 < = 𝑚𝑠 = 62,8 𝑚𝑠 2 100 Condição 2: 𝑇𝑛 6.280 𝑇𝑎 > = 𝑚𝑠 = 25 𝑚𝑠 5 250
Letra A
5𝑧 2 − 7𝑧 (𝑧 − 2)(𝑧 − 1) 𝐴𝑧 𝐵𝑧 𝑋(𝑧) = + 𝑧−2 𝑧−1 2 𝐴𝑧 − 𝐴𝑧 + 𝐵𝑧 2 − 2𝐵𝑧 = 5𝑧 2 − 7𝑧 𝐴+𝐵 =5 { ⟹𝐴=3 𝐵=2 𝐴 + 2𝐵 = 7 𝑧 𝑧 𝑋(𝑧) = 3 +2 𝑧−2 𝑧−1 (𝑘𝑇) = ,3 ∙ (2)𝑛 + 2 ∙ (1)𝑛 -𝑢(𝑘𝑇) 𝑋(𝑧) =
Letra D
5𝑋(𝑧) + 3𝑧 −1 𝑋(𝑧) + 2𝑧 −2 𝑋(𝑧) = 𝑋1 (𝑧) −3𝑧 −1 𝑌(𝑧) − 8𝑧 −2 𝑌(𝑧) + 𝑋1 (𝑧) = 𝑌(𝑧) 𝑌(𝑧) + 3𝑧 −1 𝑌(𝑧) + 8𝑧 −2 𝑌(𝑧) = 5𝑋(𝑧) + 3𝑧 −1 𝑋(𝑧) + 2𝑧 −2 𝑋(𝑧) 𝑌(𝑧) 5 + 3𝑧 −1 + 2𝑧 −2 = 𝑋(𝑧) 1 + 3𝑧 −1 + 8𝑧 −2 𝑌(𝑧) 5𝑧 2 + 3𝑧 + 2 = 2 𝑋(𝑧) 𝑧 + 3𝑧 + 8 Letra E.
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR ELETRÔNICA – CESGRANRIO – PETROBRAS - 2011
Solução:
𝜋 4 𝜋 1 25𝜋𝑇 = ⇒ 𝑇 = 𝑠 = 10𝑚𝑠 4 100 𝜔𝑇 =
Letra B
Solução:
Letra D
Solução: 𝜔𝑛 = 8 𝑟𝑑/𝑠 2𝜉𝜔𝑛 = 8 ⇒ 𝜉 = 0,5 𝜋 𝜙= 3 𝜋 − 𝜋⁄3 2𝜋⁄3 𝜋 𝜋√3 𝑇𝑅 𝜋√3 𝑇𝑅 = = = = 𝑠⇒ = 𝑠 2 18 10 180 6√3 1 8√3⁄4 8√1 − .2/ Letra B
Solução:
Letra A
