Construção De Automóveis

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Uma Introdução à modelagem quaseestática de veículos automotores de rodas Publicação interna do GRANTE Departamento de Engenharia Mecânica da UFSC Autores: Longuinho da Costa Machado Leal – [email protected] Edison da Rosa – [email protected] Lauro Cesar Nicolazzi – [email protected] Florianópolis, abril de 2008 Sumário 1 Pneus 1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Partes constituintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Carcaça . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Banda de rodagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Resistência ao rolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Comentários iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Perdas no pneu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Perdas no solo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Perdas no contato pneu-solo . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5 Coeficiente de resistência ao rolamento . . . . . . . . . . . 1.4 Aderência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Deriva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Coeficiente de atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Carga sobre a roda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Pressão do pneu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.4 Relação altura/largura do pneu . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.5 Tipos de construção do pneu . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.6 Estado da banda de rodagem . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.7 Influência do camber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Capacidade de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Capacidade de carga de pneus de automóveis e caminhões 1.6.2 Pneus de veículos fora de estrada . . . . . . . . . . . . . . 1.6.3 Capacidade de carga de pneus agrícolas . . . . . . . . . . . 1.7 Designação de pneus de automóveis . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 Tamanho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.2 Séries de pneus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.3 Capacidade de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.4 Velocidade limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 2 7 9 9 9 10 10 11 15 21 22 24 27 27 28 28 29 29 29 31 34 34 34 35 36 37 1.7.5 Tipo de carcaça . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Designação de outros pneus . . . . . . . . . . . . 1.8.1 Pneus de camionetas, caminhões e ônibus . 1.8.2 Tratores agrícolas e industriais . . . . . . . 1.8.3 Pneus para veículos fora de estrada . . . . 2 Forças e acelerações em um veículo em 2.1 Resistências ao movimento . . . . . . . 2.2 Resistência mecânica . . . . . . . . . . 2.3 Resistência ao aclive . . . . . . . . . . 2.4 Resistência de inércia . . . . . . . . . . 2.4.1 Massas em translação . . . . . . 2.4.2 Massas em rotação . . . . . . . 2.4.3 Superposição dos efeitos . . . . 2.5 Resistência ao rolamento . . . . . . . . 2.6 Forças aerodinâmicas . . . . . . . . . . 2.6.1 Resistência aerodinâmica . . . . 2.6.2 2.6.3 2.6.4 2.6.5 2.6.6 2.6.7 2.7 Forças 2.7.1 2.7.2 operação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 39 39 39 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 43 44 45 47 47 48 51 52 54 55 Desprendimento da camada limite e turbulência . . . . . Cálculo da resistência aerodinâmica . . . . . . . . . . . . Área da seção transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . Pressão dinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coeficiente de resistência aerodinâmica . . . . . . . . . . Coeficientes de penetração aerodinâmica de alguns carros de sustentação e centrípeta . . . . . . . . . . . . . . . . . Forças de sustentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Força centrípeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 57 58 60 61 63 64 64 65 . . . . . . . . 67 67 67 70 71 73 74 75 76 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Transmissão de força pneu pista: Modelo quase estático 3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Posição do centro de gravidade . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Carga nos eixos de um veículo parado em aclive . . . . . . 3.4 Carga nos eixos com o veículo em movimento . . . . . . . 3.5 Força motriz máxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Aclives máximos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Acelerações máximas . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Escorregamento e tombamento em curva . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Mecânica da frenagem e freios 4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 A importância dos freios para o setor automotivo . . . . . . . . 4.3 Sistema de freio: definições básicas e princípio de funcionamento 4.4 Manutenção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Manutenção corretiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Manutenção preventiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Manutenção preditiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Carga nos eixos com o veículo em frenagem . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Freios na dianteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Freios na traseira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.3 Freios nas quatro rodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Desaceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Caso 1 - Freio na dianteira apenas . . . . . . . . . . . . . 4.6.2 Caso 2 - Freio na traseira apenas . . . . . . . . . . . . . 4.6.3 Caso 3 - Freio nas quatro rodas . . . . . . . . . . . . . . 4.6.4 Parâmetros de frenagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Desempenho de frenagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 Balanço de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.1 Freiadas moderadas de longa duração . . . . . . . . . . . 4.8.2 Freiada de emergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9 Tipos de freios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10 Problemas com freios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.1 Fading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.2 Aquecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.3 Ruído . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.4 Ecologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Balanço de potências 5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Potência gerada no motor . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Velocidade do veículo em função da rotação do motor 5.4 Potência consumida pelas resistências ao movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 84 85 86 88 88 89 90 90 92 92 93 93 93 94 94 94 96 98 99 102 104 105 105 106 106 107 . . . . 119 119 120 120 124 6 Diagramas de desempenho 127 6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6.2 Diagrama de potência líquida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6.3 Possibilidade de vencer aclives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 3 6.4 Possibilidade de aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.5 Tempo para mudar a velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.6 Critérios para obtenção das relações de transmissão . . . . . . . . . . . . . . 133 7 Princípios de carrocerias aerodinâmicas 7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Formas de baixa resistência aerodinâmica 7.3 Princípio de Jaray (Forma J) . . . . . . 7.4 Pricípio de Kamm (Forma K) . . . . . . 7.5 Estudos de Lay . . . . . . . . . . . . . . 7.6 Meios de diminuir a resistência do ar . . 7.6.1 Sucção da camada limite . . . . . 7.6.2 Palhetas direcionais . . . . . . . . 7.6.3 Cantos auxiliares . . . . . . . . . 7.7 Distribuição de pressão . . . . . . . . . . 7.8 Forças de sustentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 141 142 144 145 147 148 148 148 148 149 151 8 Estabilidade direcional 158 8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 8.2 Estabilidade em retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 8.2.1 Forças e momentos sobre o veículo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 8.2.2 Influência do comportamento do pneu na estabilidade . . . . . . . . . 162 8.3 Comportamento do veículo em reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 8.3.1 Força perturbadora transitória agindo no CG . . . . . . . . . . . . . 165 8.4 Defições básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 8.5 Força lateral permanente agindo sobre o CG . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 8.6 Veículos sujeitos a ventos laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 8.6.1 Força do vento agindo no centro de gravidade . . . . . . . . . . . . . 170 8.6.2 Força do vento agindo na frente do centro de gravidade . . . . . . . . 170 8.6.3 Força do vento agindo atrás do centro de gravidade . . . . . . . . . . 171 8.7 Manutenção da direção primitiva através do volante . . . . . . . . . . . . . 173 8.8 Considerações adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 8.9 Estabilidade em curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 8.9.1 Geometria da direção e centro da curva . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 8.9.2 Comportamento do veículo em curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 8.10 Influência da posição do eixo de tração na estabilidade direcional de um veículo180 8.11 Disposição dos elementos mecânicos no veículo . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 8.11.1 Concepção convencional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 4 8.11.2 Tração dianteira, motor longitudinal ou transversal . . . . . . . . . . 182 8.11.3 Motor traseiro longitudinal ou transversal . . . . . . . . . . . . . . . 183 8.12 Influência da disposição dos elementos mecânicos no comportamento do veículo184 8.12.1 Concepção convencional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 8.12.2 Concepção com tração dianteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 8.12.3 Concepção com motor traseiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 8.12.4 Outras concepções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 8.13 Comportamento das concepções com carregamento total . . . . . . . . . . . 187 8.13.1 Concepção convencional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 8.13.2 Concepção com tração dianteira. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 8.13.3 Concepção com motor traseiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 8.13.4 Concepção com motor central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 8.13.5 Concepção transaxle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 8.14 Comparação de diferentes concepções em testes de pista . . . . . . . . . . . . 189 8.14.1 Teste em pista circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 8.14.2 Sensibilidade a ventos laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 8.14.3 Verificação da dirigibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 8.14.4 Teste de ultrapassagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 8.14.5 Aquaplanagem em curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 8.14.6 Aquaplanagem em reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 8.14.7 Conclusões dos ensaios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 9 Sistema de direção 195 9.1 Geometria da direção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 9.1.1 Esterçamento e raio de retorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 9.2 Ângulos da direção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 9.3 Camber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 9.4 Inclinação do pino mestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 9.5 Convergência das rodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 9.5.1 Eixo não motriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 9.5.2 Eixo motriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 9.5.3 Raio de rolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 9.5.4 Correção do comportamento em curvas com a variação da convergência 208 9.6 Caster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 10 Suspensões planas 211 10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 10.2 Centro de gravidade das massas suspensas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 5 10.3 Centro e eixo de rolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Comportamento do veículo em curva com molas lineares . . . . . 10.5 Transferência de carga das rodas internas para as externas . . . . 10.5.1 Ação do momento M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.2 Ação das parcelas da força centrífuga das massas suspensas 10.5.3 Ação do estabilizador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.4 Ação da força centrífuga das massas não suspensas . . . . 10.6 Carga dinâmica nas rodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6.1 Superposição das parcelas de transferência de carga . . . . 10.6.2 Considerações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7 Ângulo de rolamento da carroceria . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7.1 Momentos de rolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7.2 Momentos de reação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7.3 Ângulo de rolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7.4 Possibilidades de melhorar o comportamento em curvas . 10.8 Exemplo de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Modelos dinâmicos 11.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Definição de algumas variáveis básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Deflexão dos pneus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.1 Deflexão dos pneus para eixos com suspensões independentes . . . 11.3.2 Deflexão nos pneus para suspensões de eixo rígido . . . . . . . . . 11.4 Deflexão das molas das suspensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.1 Deflexão das molas para suspensões independentes . . . . . . . . . 11.4.2 Deflexão das molas para suspensões de eixos rígidos . . . . . . . . 11.5 Modelos com dois graus de liberdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.1 Modelo para bounce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.2 Determinação de alguns parâmetros da suspensão . . . . . . . . . 11.5.3 Massas não suspensas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6 Modelos com sete graus de liberdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6.1 Veículos com dois eixos rígidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6.2 Veículos com suspensão independente na dianteira e eixo rígido traseira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6.3 Veículos com suspensão independente na dianteira e na traseira . 11.6.4 Modelo para arfagem e bounce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.7 Unificação dos modelos desenvolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.7.1 Modelo de excitação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . na . . . . . . . . . . 214 217 219 219 224 224 227 228 228 230 230 231 234 234 235 236 248 248 249 250 250 251 253 254 255 258 258 264 267 271 271 283 293 302 302 304 Capítulo 1 Pneus 1.1 Introdução Nos primórdios da indústria automobilística, os pneus tinham seção quase circular, pois eram, praticamente, um tubo de borracha reforçada montada sobre a roda. Com o tempo, as exigências sobre os pneus aumentaram, devido às maiores potências e velocidades atingidas pelos veículos. Características como alta capacidade de carga, elevada estabilidade lateral quando submetidos a forças transversais, máxima aderência em pisos secos e molhados, conforto e durabilidade são requisitos importantes para um bom desempenho dos pneus. Os fabricantes procuram soluções de compromisso onde essas características são combinadas de modo a satisfazer convenientemente as diferentes formas de utilização de seus produtos, porém a custas da redução do desempenho do pneu para cada tipo de pista. Os pneus com perfis mais baixos, por exemplo, permitem obter melhor performance em alta velocidade e maior capacidade de carga. Com flancos mais curtos, sua flexibilidade vertical e lateral fica reduzida impedindo que se deformem muito sob carga, o que é favorável para uma boa estabilidade direcional, principalmente em curvas feitas em alta velocidade. Essa menor flexibilidade, por outro lado, torna os pneus mais "duros", consequentemente menos confortáveis. Adicionalmente, como o pneu não se deforma tanto, a zona de contato fica mais curta, tornando mais crítico o desenho da banda de rodagem a fim de obter ranhuras que possam garantir, em situações de pista molhada, um escoamento adequado da água evitando a aquaplanagem. Para se ter um entendimento de como um pneu funciona, e conseqüentemente quantificar o seu desempenho, é necessário conhecer as suas características construtivas e os fenômenos associados ao seu funcionamento. 1.2 Partes constituintes Todos os pneus, que utilizam a pressão do ar armazenado no seu interior para suportar carga, são de constituição bastante semelhante, apresentando como elementos principais a carcaça, que forma a estrututa suportante do pneu, e a banda de rodagem, que entra em 1 Capítulo 1 - Pneus 2 Figura 1.1: Disposição dos cordéis da lona de uma carcaça de pneu diagonal. contato com o solo transmitindo esforços longitudinais de tração e frenagem e absorvendo esforços transversais ocasionados pela ação do vento ou por forças de inércia em curvas e pistas inclinadas lateralmente. 1.2.1 Carcaça A carcaça deve suportar, com pequenas deformações, a pressão do ar com que o pneu é inflado. Ela é formada por um conjunto de lonas impregnadas com borracha e vulcanizadas de forma a constituir uma única peça. As lonas são compostas por tecidos de cordéis de fibras de materiais tais como: rayon, kevlar, nylon, polyester, fibra-de-vidro e aço. No passado foram usadas fibras naturais, como algodão e linho. Em cada lona, os fios são paralelos, havendo aproximadamente um fio por milímetro. Antes de serem cortadas no tamanho adequado para a montagem da carcaça, as lonas são impregnadas com borracha, o que impede um contato direto entre elas quando da deformação do pneu e elimina o atrito entre os fios. Na montagem da carcaça, as lonas são cortadas e seus extremos são enlaçados e enrolados em torno de dois anéis de arame de aço, formando um cilindro, como mostrado na Figura 1.1. Montadas todas as lonas, os anéis são aproximados e ar sob pressão é injetado no cilindro, fazendo com que o conjunto de lonas adquira a forma toroidal, próxima a do pneu. Nesta etapa, é montada a banda de rodagem e o conjunto passa para a vulcanização. Dependendo do ângulo de inclinação dos cordéis das lonas, obtem-se pneus com características bastante distintas, tanto em conforto como em desempenho sob carga, já que esse ângulo afeta a altura do pneu e, consequentemente, a sua rigidez radial. O ângulo dos cordéis das lonas é medido a partir do plano médio do pneu e denotado pela letra grega ϕ, e é mostrado na Figura 1.1. Existem diversos tipos construtivos de pneus, dependendo de como é formada a carcaça. 3 Capítulo 1 - Pneus Figura 1.2: Disposição dos cordéis das lonas em pneus radiais a, diagonais b e diagonais cintados c. Figura 1.3: - Seções transversais dos pneus diagonal a e radial b. A divisão mais freqüente é a de pneus com estrutura radial, Figura 1.2 - a, e pneus com estrutura diagonal Figura 1.2 - b. Além destes dois tipos, existe o pneu diagonal cintado, que é mostrado na Figura 1.2-c, mas que está caindo em desuso. Na Figura 1.3 são mostradas as seções transversais dos pneus diagonal e radial. Nos pneus diagonais, a carcaça é formada por lonas cruzadas com igual ângulo, o qual influi na sua capacidade de carga e no seu limite de velocidade; como valores comumente encontrados tem-se: ϕ = 35o − 38o - pneus normais; ϕ = 30o − 34o - pneus para uso esportivo; ϕ < 26o - pneus de corrida. O valor do ângulo influi na forma da seção do pneu quando inflado, devido aos esforços de tração que atuam sobre os cordéis. Na Figura 1.4 é mostrada a variação da altura do pneu, para uma mesma largura do aro e diversos ângulos da disposição dos cordéis das lonas 4 Capítulo 1 - Pneus Figura 1.4: Altura do pneu em função do ângulo ϕ. da carcaça. Verifica-se, ainda nessa figura, que a altura do pneu também varia de acordo com o ângulo de inclinação dos cordéis das lonas da carcaça. Nos pneus radiais, Figuras 1.2-a e 1.3-b, a carcaça é formada por umas poucas lonas com ϕ variando entre 85o e 90o , ou seja, com os cordéis tendo uma orientação essencialmente radial. Acima dessas lonas radiais, aparece a cinta do pneu, constituída por um conjunto de lonas situadas exatamente sob a banda de rodagem, não se estendendo pelos flancos do pneu. A cinta funciona como um reforço para a banda de rodagem, tornando-a bem mais rígida tangencialmente mas com boa flexibilidade no sentido radial. Os cordéis da cinta formam um ângulo ϕ pequeno, em geral entre 0o e 30o . Esta maior rigidez lateral do pneu radial na zona de contato com o solo permite a absorção de grandes esforços laterais com deformações menores do que os diagonais, o que é importante na estabilidade direcional do veículo. Para não perder esta vantagem, os pneus radiais são construídos com seção baixa. A tendência dos fabricantes de adotar perfis mais baixos para todos os tipos de carcaça é justificada pelas seguintes vantagens: • melhor transmissão de forças de tração; • alta absorção de forças laterais; • baixa resistência ao rolamento e • maior capacidade de carga para igual volume de ar. Existem diferentes possibilidades de construção da cinta, dependendo do fabricante e do uso do pneu. Na tabela 1.1, são mostradas diversas composições de lonas utilizadas na construção de pneus radiais. 5 Capítulo 1 - Pneus Tabela 1.1: Tipos de carcaça para vários fabricantes de pneus. Fabricante e tipo Tamanho Lonas da Cinta Lonas da Carcaça Continental TS 771 165 SR 13 2 de rayon e 2 de aço 2 de rayon Dunlop SP Sport 165 HR-13 6 de rayon 2 de rayon Goodyear G800 165 SR-13 6 de rayon 2 de rayon Goodyear Polyester GT 6,60-15 2 de aço e 2 de polyester 2 de polyester Michelin XAS 165 HR-13 2 de aço 2 de rayon 2 de rayon Michelin XWX 215/70-VR-15 2 de de aço e 2 nylon 1 nylon Pirelli CF 67 165-SR 13 7 de rayon 2 de rayon Pirelli HS CN12 215/70-VR 15 2 de nylon e 5 de rayon 2 de rayon Firestone Steel Belt 175R-13 1 de rayon e 2 de aço 1 lona rayon Firestone Steel radial GR 70-15 2 de aço 2 de polyester 2 de polyester Zona de contato Zona de escorregamento Figura 1.5: Efeito da contração do pneu na região de atrito. Nos pneus, as lonas sofrem um leve deslocamento entre si durante o contato do pneu com o solo. Isto é resultado das distensões e contrações locais que elas sofrem para acomodar as distorções causadas pela mudança de forma do pneu ao entrar na zona de contato. Como conseqüência, a área de contato fica sensivelmente comprimida no seu ponto médio, reduzindo a área livre das ranhuras da banda de rodagem, como se pode observar na Figura 1.5. Estas deformações da banda ocasionam um movimento relativo entre a borracha e o piso, provocando um aquecimento adicional do pneu pelo atrito e, também, seu desgaste. No lado direito inferior desta mesma figura, pode-se observar uma região achurada conhecida como zona de escorregamento. Esta zona é a região do contato do pneu com o solo em que a borracha escorrega sobre o piso. O escorregamento da borracha desta zona causa o ruído característico de pneu cantando. Nos pneus com carcaça radial, este movimento é praticamente impossível, já que a cinta, na zona de contato com o solo, não permite deformações transversais apreciáveis. A quase ausência deste movimento relativo nos pneus radiais se traduz em menor desgaste, quando comparados com os diagonais. Quanto à transmissão de choques e vibrações do piso para o veículo, o pneu com carcaça Capítulo 1 - Pneus 6 Figura 1.6: Comportamento da rigidez do pneu com a velocidade, para carcaças diagonal e radial. radial é mais desconfortável do que o pneu diagonal, pela quase ausência do amortecimento interno originado pelo movimento relativo das lonas. Isso é verdadeiro para velocidades até cerca de cem quilômetros horários. A partir dessa velocidade, a situação se altera e o pneu radial torna-se mais confortável do que aquele com construção diagonal. Essa diferença de comportamento está ligada ao efeito da força centrípeta sobre o pneu em altas velocidades. No pneu diagonal, a estrutura da carcaça permite que ocorra um aumento do diâmetro pela ação da força centrífuga que, em um determinado tipo de pneu, chega a ser da ordem de quatro por cento a cerca de cento quarenta e cinco quilômetros por hora para alguns tipos de pneus. Com o aumento do diâmetro, as lonas nos flancos do pneu assumem uma posição mais íngreme, reduzindo sua flexibilidade radial e ocasionando um rolamento mais duro e, portanto, menos confortável. Com os radiais têxteis ocorre, também, um aumento da rigidez com a velocidade, embora bem menor do que o verificado nos diagonais. Os pneus radiais metálicos são quase insensíveis à velocidade. A presença da cinta metálica impede, quase que totalmente, o aumento do diâmetro e a sua rigidez radial não é significativamente afetada pela velocidade. Na Figura 1.6 é apresentada uma comparação qualitativa da rigidez de pneus diagonais e radiais em função da velocidade de deslocamento do veículo. A seguir, são apresentadas vantagens e desvantagens dos pneus radiais em relação aos diagonais. Vantagens: 1. Maior durabilidade; Capítulo 1 - Pneus 7 2. Menor resistência ao rolamento; 3. Maior conforto em altas velocidades; 4. Melhor absorção de forças laterais; 5. Maior estabilidade direcional e 6. Menor sensibilidade à aquaplanagem. Desvantagens: 1. Menos confortável em baixas velocidade e 2. Maior custo. 1.2.2 Banda de rodagem Toda transmissão de forças do pneu para o solo, sejam longitudinais ou transversais, é feita pelo atrito existente na zona de contato da banda de rodagem com o solo. Procura-se obter o máximo possível de aderência nas mais diversas condições de piso, seja ele de asfalto, concreto, pedra, terra, limpo ou contaminado, seco ou molhado. Essa aderência depende do composto do pneu e do tipo de pista, sendo a influência destes elementos na aderência discutidos a seguir. O comportamento da banda de rodagem depende do composto da borracha utilizada e do desenho das ranhuras, já que ambos afetam a aderência no piso. Em pista seca, o máximo de aderência é obtido com um pneu totalmente liso, visto que este coloca em contato com o solo o máximo possível de borracha. A menor presença de água, porém, torna esse pneu extremamente perigoso, conforme pode ser visto na Figura 1.7. Nela é apresentado o comportamento do coeficiente de atrito em função da velocidade de deslocamento e do estado da pista, para um pneu liso, sem ranhuras, e outro com 100% das ranhuras intactas; uma situação intermediária é mostrada no caso 4, onde os sulcos da banda têm apenas quatro milímetros de profundidade.. Com chuva e em piso liso, o desenho da banda de rodagem do pneu é vital, pois somente através das suas ranhuras é possível escoar a água existente sobre o piso de forma a permitir o contato pneu/pista. Em piso rugoso, algum efeito de auto drenagem se verifica e a banda de rodagem não precisa ser tão eficiente no escoamento da água. De um modo geral, o desenho da banda de rodagem deve possibilitar duas funções: a primeira é propiciar uma drenagem adequada e a segunda uma pega na superfície do piso, principalmente com pisos irregulares. Quanto à pega do pneu, a banda de rodagem deve possuir uma quantidade de arestas razoavelmente bem definidas de modo a se amoldar nas irregularidades do piso e prover um meio mecânico para transmissão de força, adicionalmente às forças de atrito. Estas bordas devem ser transversais para uma carga de tração e frenagem e longitudinais para curvas. Como muitas manobras são efetuadas tanto acelerando como freando em curvas, são adotadas ranhuras diagonais que melhor absorvem os esforços resultantes. Capítulo 1 - Pneus 8 Figura 1.7: Coeficiente de atrito em função da velocidade, para diferentes estados da pista e da banda de rodagem. Quando a pista está molhada, é necessário drenar o filme de água existente entre a borracha e a pista, de forma que se consiga contato. A drenagem da água é feita tanto por ranhuras longitudinais como transversais; na região mais central do contato, entretanto, a água só pode ser eficientemente drenada por ranhuras longitudinais. As ranhuras devem permitir um fluxo de água o mais livre possível, pois o tempo disponível para evacuá-la é muito pequeno. Na Figura 1.17 é mostrada a influência da água no contato pneu/pista. Se o volume de água a ser drenado for maior do que aquele que o pneu pode drenar, ocorre a aquaplanagem, que é o efeito de flutuação do pneu sobre o filme de água residual que as ranhuras não conseguem drenar. Sua ocorrência depende da velocidade de deslocamento do veículo, do tipo de carcaça usado e do desenho da banda de rodagem. De forma geral, pode-se afirmar que, para o mesmo filme de água, os pneus com carcaça diagonal estão sujeitos a aquaplanagem em velocidades mais baixas do que os radiais, devido à contração da banda de rodagem no local de contato pista/pneu (ver Figura 1.5). Relativamente ao desenho da banda, há uma série de fatores conflitantes para se chegar à melhor configuração, como ruído, absorção de cargas de frenagem e aceleração e boa drenagem da água. Hoje em dia, os fabricantes de pneus desenvolveram modelos matemáticos com solução numérica, de forma que, com o auxílio de computadores, conseguem chegar ao desenho que melhor satisfaça estes quesitos conflitantes. O resultado desse trabalho pode ser observado nos pneus disponíveis no mercado, com "biscoitos"assimétricos distribuídos de forma aparentemente aleatória. 9 Capítulo 1 - Pneus Figura 1.8: Ensaio de compressão em um pneu. 1.3 1.3.1 Resistência ao rolamento Comentários iniciais Para manter um pneu girando sobre o solo, é necessário dispender uma certa quantidade de energia, consumida pelos diversos tipos de perdas que ocorrem. Estas perdas dão origem à resistência ao rolamento do pneu e são provenientes principalmente de duas fontes dissipadoras. Uma é o próprio pneu e a outra é o solo onde o veículo trafega. Fica mais claro o estudo da resistência ao rolamento quando se considera separadamente as influências do pneu e do solo. 1.3.2 Perdas no pneu Quando um pneu está rodando sobre um solo idealmente rígido, a totalidade das perdas ocorrem no pneu. Para entender o porque destas perdas e como afetam a resistência ao rolamento, faz-se um teste estático de compressão em um pneu, medindo-se a força aplicada e a deformação radial. Traçando-se as curvas de carga e descarga, tem-se algo parecido ao ilustrado na Figura 1.8. Como o pneu não é perfeitamente elástico, apresenta um amortecimento interno e apenas parte do trabalho é recuperado ao ser descarregado. O atrito interno é provocado pela deformação do pneu na zona de contato. Esta deformação faz com que as lonas da carcaça movam-se entre si e este movimento, embora pequeno, solicita, por cisalhamento, a borracha que separa as lonas consumindo energia. A banda de rodagem também é deformada e, ficando sujeita a solicitações mecânicas, contribui com uma parcela do consumo de energia. Assim, as curvas de carga e descarga formam um laço de histerese e a área contida neste laço representa a energia consumida no ciclo e corresponde ao trabalho dissipado pelo atrito interno na forma de calor. A forma do laço de histerese, ou seja a área englobada pelo laço, depende do tipo de carcaça usada e do composto da borracha da banda. Como exemplo, em competições automobilísticas é comum o uso de pneus com banda de rodagem de alta histerese. Este tipo de composto permite que o pneu tenha grande aderência, porém, devido à grande geração de calor, o seu desgaste é elevadíssimo. 10 Capítulo 1 - Pneus Figura 1.9: Modelo de interação pneu pista. 1.3.3 Perdas no solo Considerando, agora, o pneu rígido e o solo deformável, todas as perdas que levam a um consumo de energia ocorrem no solo. Em seu movimento o pneu deixa um sulco no terreno deformável, conforme mostrado na Figura 1.9. Para manter esse movimento, é necessário que atue na roda uma força de mesmo sentido e que compense a resistência ao avanço R que o solo impõe. Na mesma figura, observa-se que a carga Fr suportada pela roda fica equilibrada pela reação do solo, mas essas forças não são colineares, ou seja, existe um momento resistente Fr. s que deve ser equilibrado para manutenção do movimento do pneu. O momento necessário para esse equilíbrio deve ser aplicado no eixo da roda e tem como valor o produto da resistência ao avanço R e o raio da roda ra . Do equilíbrio de momento em relação ao ponto C, tem-se: ra (1.1) s e, como valor da resistência ao avanço, ou parcela da resistência ao rolamento devido à deformação do solo: Fr = R s (1.2) ra Pela observação da equação acima, pode-se dizer que quanto maior for a profundidade do sulco maior será o valor de ”s” e, conseqüentemente, maior a resistência ao rolamento do veículo oferecida pela deformação do solo. R = Fr 1.3.4 Perdas no contato pneu-solo Outra causa da resistência ao rolamento é o escorregamento que ocorre na superfície de contato do pneu com o solo. A Figura 1.10 ilustra a deformação na periferia do pneu ao entrar na zona de contato. O arco ”B” deve assumir um tamanho menor, o da corda ”C”, causando um escorregamento tangencial e originando forças de compressão nos dois bordos que limitam longitudinalmente a zona de contato. Pelo efeito do atrito entre a borracha da banda de rodagem e o solo, este escorregamento consome energia. 11 Capítulo 1 - Pneus Figura 1.10: Perdas por retificação do arco. Na seção transversal, se a banda for curva como mostrado no corte da Figura 1.10, ocorre o mesmo efeito, com um escorregamento na direção transversal e compressão das bordas laterais da banda de rodagem na zona de contato. Para uma banda de rodagem cilíndrica, o que implica numa região de contato com o solo aproximadamente retangular, o escorregamento transversal é quase nulo. Para pneus de construção radial, a presença da cinta estabiliza a banda de rodagem e reduz grande parte deste efeito de deformação da banda, diminuindo o escorregamento e a perda de energia. 1.3.5 Coeficiente de resistência ao rolamento A resistência ao rolamento quando se consideram todos os efeitos mencionados anteriormente, ou seja, a força que deve ser fornecida para manter o movimento é proporcional à carga normal que age sobre a roda. Esta proporcionalidade pode ser expressa de forma empírica como: Qr = f G (1.3) onde: Qr - resistência ao rolamento [N] f - coeficiente de resistência ao rolamento G - força normal da roda sobre o solo [N] Verifica-se experimentalmente que o coeficiente de resistência ao rolamento varia com a velocidade, pressão de enchimento, carga radial, tipo de pneu e de solo, temperatura e outras variáveis de menor importância. Sem considerar todos esses efeitos, na tabela 2.2, conforme referência [2], é dada uma orientação geral do coeficiente de resistência ao rolamento para vários tipos de terreno. Pode-se observar que os primeiros cinco tipos de solo são praticamente rígidos, enquanto que os outros são deformáveis. 12 Capítulo 1 - Pneus Tabela 1.2: Coeficientes de atrito de rolamento. Tipo de solo f Asfalto liso 0, 010 Asfalto rugoso 0, 011 Cimento rugoso 0, 014 Paralelepípedo 0, 020 Pedras irregulares 0, 032 Pedra britada compacta 0, 045 Pedra britada solta 0, 080 Terra batida 0, 060 Areia solta 0, 100 ∼ 0, 300 Grama 0.045 ∼ 0.100 Barro 0, 100 ∼ 0, 400 Neve profunda 0, 075 ∼ 0, 300 Figura 1.11: Comportamento de f em função da profundidade do sulco. Na Figura 1.10 é mostrada a influência do solo, ou seja, da profundidade do sulco, no valor do coeficiente de resistência ao rolamento (os parâmetros são mostrados na Figura 1.9). Em ensaios, [2], verifica-se que a resistência ao rolamento do pneu cresce com a velocidade, como mostrado na Figura 2.10 para diferentes pressões de enchimento do pneu. . Nesta figura se pode observar que, a partir de uma dada velocidade, as curvas se inclinam acentuadamente, aumentando ”f ”. Isto se deve à formação de ondas na banda de rodagem ocasionadas pela ressonância. Nesta situação, ”f ”, bem como o nível de vibração e ruído, crescem bruscamente. Se o efeito permanecer, o pneu fica em pouco tempo destruído. O modo de deformação do pneu durante a ressonância está mostrado na Figura 2.11. Para pneus de série em condições normais de uso, uma orientação para o coeficiente de resistência ao rolamento, considerando o efeito velocidade, é dada por: Capítulo 1 - Pneus 13 Figura 1.12: Variação do coeficiente de atrito de rolamento com a pressão, para um pneu diagonal. Figura 1.13: Ressonância do pneu devido ao rolamento em alta velocidade. 14 Capítulo 1 - Pneus Tabela 1.3: Coeficientes a e b em função do tipo de pneu. a b Pneus normais 0, 0150 0, 052 Pneus de alta histerese 0, 0258 0, 052 v 2 ) 100 As constantes a e b são dadas na tabela 2.3, sendo v em [m/s]. f = a + b( (1.4) Outra orientação para o coeficiente de resistência ao rolamento é fornecida em Reimpell [2]. Aqui é considerada a influência do tipo de pneu, da carga que age sobre ele, da pressão de enchimento e da velocidade do veículo. Wiegner, [2], propôs o que chamou de coeficiente de resistência ao rolamento de referência ”fo ”, válido para determinados valores, também de referência, de carga normal e de pressão: fo = ao + a1 v + a2 v 2 (1.5) onde: v = velocidade do veículo em m/s ao , a1 e a2 são dados na tabela 1.4. Quando a carga radial que atua no pneu, ou sua pressão, for diferente do valor de referência apresentado na tabela 1.4, o coeficiente de resistência ao rolamento, para a condição real, deve ser corrigido pelas expressões: - Pneu Diagonal ou Radial Textil f = fo (1, 5 − 0, 5 Fro ) Fr (1.6) p ) po (1.7) Fro ) Fr (1.8) p ) po (1.9) f = fo (1, 5 − 0, 5 - Pneu Radial Metálico f = fo (1, 3 − 0, 3 f = fo (1, 3 − 0, 3 Exemplo: Qual o valor do coeficiente de resistência ao rolamento para um pneu 155 SR 15 submetido a uma carga radial de 4 kN e com uma pressão de 2, 2 atm? 15 Capítulo 1 - Pneus Tabela 1.4: Valores das constantes ao , a1 e a2 . 2 Carga Fro [kN] Pressão po [atm] ao 10 a1 105 a2 106 1,330 -10,32 2,337 1,90 1,385 - 4,369 2,181 1,70 1,612 -3,533 3,009 3,9 1,70 1,611 -3,601 3,778 3,7 1,70 1,837 -6,741 3,830 Pneu Tipo de pneu 155-15 X Radial - Fios de aço 4,0 1,65 155 - SR -15 Radial - Fios testeis 4,0 6.45/165-14 Diagonal super baixo 4,0 6.00/15L Daigonal perfil baixo 5.60/15 Diagonal super balão Fo nte: R eim p e ll, p p . 1 9 4 -19 6 , AT Z 7 5 , 19 7 3 , N - 1 1 , p p . 4 0 7 -4 0 9 ( W ieg n e r-Pe ter). Nessas condições, o coeficiente de resistência ao rolamento deve ser corrigido quanto à pressão, pois esta é diferente da pressão de referência. Na velocidade de 100 km/h, ou seja 27, 77 m/s, o valor de fo será: fo = 0, 0143 e o valor do coeficiente de resistência ao rolamento, para a pressão de operação de 2, 2 atm, é: f = 0, 0143(0, 921) = 0, 0132 Se a carga radial é diferente da de referência, o valor de "f "deve ser novamente corrigido pela expressão 1.6. 1.4 Aderência A possibilidade de transmissão de esforços entre o pneu e a pista, esforços esses que ocorrem durante os processos de frenagem e aceleração ou quando da absorção de forças laterais, como a força centrípeta em curvas, depende do atrito disponível no contato, também chamado aderência entre pneu e pista. A aderência pode ser atribuída, principalmente, a duas diferentes formas de interação entre a borracha e o piso: adesão molecular, que depende dos materiais em contato, e deformação da borracha em contato com as irregularidades do solo, que propicia uma interpenetração entre ambas, ou endentamento da borracha com o piso, e uma conseqüente transmissão por forma. A resistência da borracha à ruptura, bem como a sua resistência à abrasão, são fatores limitantes da aderência. O efeito limitante da aderência por estes dois últimos fatores, em determinadas situações, define a aderência do pneu, visto que a região da banda de rodagem que mantem contato com o solo pode ser arrancada quando solicitada. Para que um pneu possa transmitir uma força longitudinal através da superfície de contato com a pista, como uma força de tração, é necessário que ocorra um certo movimento relativo entre pneu e pista; a velocidade tangencial do pneu tracionante é maior que a velocidade do próprio veículo. É exatamente devido a esses movimentos relativos, bem como a deformação da sua estrutura, que os pneus flexíveis conseguem transferir cargas muito maiores ao solo que os pneus rígidos ou maciços. 16 Capítulo 1 - Pneus Figura 1.14: Variação do coeficiente de atrito com o escorregamento. Os pneus, devido a sua flexibilidade e ao mecanismo de aderência, escorregam em relação ao solo quando na transmissão de força para a pista. O escorregamento é definido como segue: Na tração e= vt − v vt (1.10) e= v − vt v (1.11) Na frenagem onde: e - Escorregamento; v - Velocidade de translação do veículo vt - Velocidade tangencial da roda. Em termos de espaço percorrido pela periferia do pneu st e pelo veículo sr , tem-se o escorregamento na tração, em percentagem, dado por: ¶ µ sr 100(%) e= 1− st onde: sr - Comprimento de arco do pneu; st - Distância percorrida pelo veículo. A regra geral é que quanto maior a força a ser transmitida, ou quanto mais irregular ou molhada a pista, tanto maior o escorregamento. No desenvolvimento que segue, estes aspectos são tratados de maneira mais detalhada. Na Figura 1.14, [2], é ilustrado um comportamento característico do coeficiente de atrito pneu/pista em função do escorregamento. 17 Capítulo 1 - Pneus Figura 1.15: Coeficientes de aderência para pneus em alguns tipos de pista em variadas condições. O máximo valor do coeficiente de atrito, em pista seca, ocorre para escorregamento variando entre 11 e 20%, dependendo do tipo de pneu utilizado. Esse valor máximo é denominado coeficiente de aderência, e é denotado por μa . Dele decorre o máximo valor da força de tração e de frenagem possível de transmitir nos eixos do veículo, dadas respectivamente por: (1.12) FmI = μa (RI − ∆G) FmII = μa (RII + ∆G) (1.13) Ff I = μa (RI + ∆G) (1.14) Ff II = μa (RII − ∆G) (1.15) e onde ∆G representa a transferência de carga entre os eixos durante a aceleração ou a frenagem (conforme visto no curso Análise Dinâmica). Uma maior aceleração ou frenagem ocasiona um maior escorregamento, com diminuição do coeficiente de atrito e da capacidade de transmissão de força. Com 100% de escorregamento, o que ocorre durante a frenagem com rodas bloqueadas ou aceleração com rodas deslizando e veículo parado, o valor do coeficiente de atrito é denominado coeficiente de escorregamento e denotado por μe . De maneira geral, o valor de μe é 15 a 30% menor do que μa , dependendo das condições da pista. Vários fatores influem no valor do coeficiente de atrito entre pneu e pista. Dentre eles, os principais são: estado da pista, tipo de pneu, velocidade do veículo e estado da banda de rodagem. Na Figura 1.15 se mostra a variação do coeficiente de aderência em função do escorregamento, para diferentes tipos de pista e considerando um determinado tipo de pneu. Nesta figura é apresentado o coeficiente de aderência μa em função do escorregamento para diferentes tipos de pista e pneu com relação H/B ≥ 0, 82, com 80 a 90% da profundidade dos sulcos e velocidade aproximada de 60 km/h. Capítulo 1 - Pneus 18 Figura 1.16: Coeficiente de escorregamento para um pneu bloqueado em diversas condições da pista. O coeficiente de atrito pneu/pista é, também, dependente da velocidade do veículo. Na Figura 1.16 se mostra a variação do coeficiente de escorregamento com a velocidade, em diferentes pistas. Segundo Reimpell, [2], os ensaios foram feitos com um pneu diagonal, com profundidade dos sulcos entre 80 e 90%. A temperatura do gelo era, aproximadamente, 0◦ . Na Figura 1.16, observa-se que, em pista seca e velocidades baixas, o coeficiente de escorregamento μe , pode chegar a 1, 25. Esse valor pode ser explicado pela redução, nessas velocidades, do raio do pneu, que passa do dinâmico para o estático, com uma conseqüente maior superfície de contato e, portanto, uma maior área onde o endentamento comentado anteriormente ocorre. O estado da banda de rodagem afeta significativamente o coeficiente de atrito pneu/pista. Ainda na Figura 1.7, pode ser verificado que, em pista seca, um pneu liso apresenta um maior coeficiente de escorregamento do que um pneu com sulcos profundos. Em pista molhada, entretanto, ocorre o contrário. Essa situação ocorre porque com pista seca e pneu liso, ou "careca", a área para transmissão por forma é maior, enquanto que, com pista molhada, facilmente ocorreria aquaplanagem, com perda de contato pneu/pista. Pneus com sulcos, neste caso, drenam a água permitindo que o contato seja mantido. Na Figura 1.17, divulgada pela Dunlop, é mostrado o surgimento da aquaplanagem em um pneu sem perfil, bem como o comportamento da aderência com presença da água em função da velocidade. Nesta figura, o coeficiente de aderência para, aproximadamente, 100km/h é de somente μa = 0, 1, o que praticamente impossibilita a transmissão de força entre pneu e pista. Se fosse necessário frear, o veículo continuaria se deslocando com a velocidade quase inalterada; forças laterais não seriam absorvidas pelos pneus e qualquer tentativa de mudança de direção, através do volante, seria infrutífera. Vale salientar que, observando o comportamento do coeficiente de atrito, mesmo para pneus com sulcos, existe uma velocidade no qual ocorrerá a aquaplanagem, ou seja, o fenômeno da hidroplanagem sempre irá ocorrer, só depende da velocidade. Capítulo 1 - Pneus 19 Figura 1.17: Comportamento de um pneu sem perfil, em diferentes velocidades, em uma pista com uma lamina de água. Tabela 1.5: Coeficientes de atrito para automóveis em vários tipos de pista. Tipo de pista μa Asfalto 0, 6 a 0, 95 Pedra britada 0, 5 a 0, 65 Terra seca 0, 5 a 0, 70 Terra úmida 0, 5 a 0, 60 Areia 0, 2 a 0, 3 Neve 0, 30 a 0, 35 Na Figura 1.18, [2], é mostrado o comportamento do coeficiente de aderência imediatamente após o início de uma chuva. A queda abrupta desse coeficiente se deve à mistura da água com a poeira, ou outro contaminante qualquer existente sobre a pista, ocasionando uma ação lubrificante. Em seguida, a água da chuva lava essa mistura e o coeficiente de aderência volta a crescer. Finalmente, na tabela 1.5 estão indicados valores esperados para o coeficiente de aderência para pisos distintos bem como para diferentes condições destes pisos. Em um solo rígido, como concreto ou asfalto, todo o escorregamento é devido à deformação do pneu; em solos pouco rígidos, sua deformação é preponderante e a interpenetração entre o pneu e a pista é decisiva para a tração. Quando da transmissão de força para o piso, a parte do solo situada dentro dos sulcos do pneu escorrega em relação ao restante do solo Capítulo 1 - Pneus 20 Figura 1.18: Variação do coeficiente de aderência com o tempo durante uma chuva fraca. Tabela 1.6: Coeficientes de atrito para pistas em diversos estados. Coeficientes de atrito μa para as condições Tipo de piso Seca Molhada Contaminada Congelada Cimento 0, 85 0, 75 0, 50 0, 11 Asfalto 0, 85 0, 60 0, 30 0, 10 Paralelepípedos 0, 70 0, 65 0, 35 0, 08 Calçamento de pedras irregulares 0, 80 0, 55 0, 30 0, 08 Capítulo 1 - Pneus 21 e a aderência fica limitada, praticamente, pela resistência ao cisalhamento do solo. Neste caso, o pneu deve possuir uma banda de rodagem com desenhos de sulcos profundos para poder utilizar a máxima capacidade de tração disponível. 1.5 Deriva As forças laterais, bem como seus momentos, sejam elas devidas à ação do vento ou forças de inércia que ocorrem em curvas ou inclinações da pista, não teriam influência alguma no movimento de um veículo dotado de pneus lateralmente rígidos, desde que o valor destas forças não ultrapassasse o limite imposto pelo atrito, quando, então, haveria o escorregamento total na direção da resultante. Os pneus, porém, são corpos elásticos, que se deformam quando submetidos a forças laterais, e seu comportamento sob a ação dessas forças não é o mesmo que o de corpos rígidos nas mesmas condições de carregamento. Quando o veículo está parado, a região de contato do pneu com o solo é aproximadamente retangular. Com a roda do veículo girando, uma dada superfície de referência marcada no pneu, com a forma da superfície de contato pneu/pista, sofre um deslocamento ao penetrar na zona de contato devido à deformação ocasionada pela força lateral ”S”, como está mostrado na Figura 1.19. No contato, a superfície de referência fica deformada, mostrada em tom cinza na figura, e a roda se desloca com um ângulo α em relação à direção primitiva, como mostrado na figura. Ainda nesta mesma figura é mostrada a vista de topo de um pneu deformado pelo peso próprio com e sem a ação de uma carga transversal. O ângulo formado pelo plano médio do pneu e a direção de deslocamento do pneu seguida após a aplicação da força ”S”, é denominado ângulo de deriva sendo, grafado pela letra grega α. Um pneu que rola sobre uma pista, portanto, somente pode suportar uma força lateral se seu plano médio se deslocar com um determinado ângulo em relação à direção do movimento. Quanto maior o valor dessa força perturbadora, tanto maior o ângulo de deriva, ou seja, existe uma relação direta entre força e ângulo. A força externa é equilibrada por uma força de atrito S, igual e contrária, que surge na superfície de contato pneu-pista. Como se mostra na Figura 1.20, a distribuição de pressão normal à pista não é uniforme na zona de contato e, pela ação da força lateral, ocorrem escorregamentos nos pontos onde essa pressão é baixa. Nesta figura, a área da distribuição de reações é subdividida nas Zonas I e II. Na Zona I o pneu tem aderência elevada com o solo e não escorrega significativamente, enquanto que a Zona II é a região onde acontece o escorregamento. Como a distribuição das reações à força lateral é não uniforme, o ponto de atuação da resultante dessas se situa atrás do centro de contato do pneu com a roda no solo, criando um momento que levará a roda a se alinhar com direção real do deslocamento (trajetória final do deslocamento). Este momento é denominado de torque de auto alinhamento do pneu. Como pode ser observado na Figura 1.20, a distância t entre o ponto de aplicação da resultante da distribuição de reação no solo, C, e o centro teórico do contato pneu solo, H, é o braço de alavanca do momento de auto alinhamento Mt . Esta distância está associada com a 22 Capítulo 1 - Pneus Figura 1.19: Deriva de um pneu. zona de escorregamento mostrada na Figura 1.5. Quanto maior esta zona de escorregamento menor é a distância t e maior é o ângulo de deriva. Isto significa que a medida que se aproxima do limite de aderência do pneu o torque de auto alinhamento se reduz, podendo até a mudar de sentido. A situação limite, onde o momento muda de sentido, é raramente atingida pelos condutores normais de automóveis porém, em competições, é praticado de maneira bastante intensa, já que o ângulo de deriva pode atingindo valores bastante grandes exige uma forma de condução altamente especializada e arriscada. Na figura 1.21 é mostrado, para um tipo de pneu (Taborek [3]), o comportamento da força de atrito em função do momento de auto alinhamento. É interessante observar que a força de atrito aumenta continuamente até a de limite de aderência imposta pelo coeficiente de atrito de escorregamento, enquanto que o momento de auto alinhamento aumenta até um valor máximo e, em seguida, se reduz e atinge valores negativos perto do limite de aderência do pneu. Isto se deve a alteração da distância t mostrada na Figura 1.20. A reação lateral do pneu depende de uma série de variáveis que devem ser analisadas para prosseguir no estudo da deriva, como será feito nos itens que seguem. 1.5.1 Coeficiente de atrito O estado da pista de rolamento influi no valor da força lateral que pode ³ ser absorvida ´ S pelo pneu. Na Figura 1.22 se mostram as curvas do coeficiente de atrito lateral μs = Q em função do ângulo de deriva, para um pneu diagonal com noventa por cento de profundidade do perfil. Verifica-se que, com asfalto liso, dificilmente se consegue μs > 0, 8, mesmo com deriva elevada. Já com asfalto rugoso pode-se obter μs > 1 com maiores ângulos de deriva. Capítulo 1 - Pneus 23 Figura 1.20: Distribuição de pressão na região de contato pneu/solo. Figura 1.21: Comportamento da força de atrito em curva com o momento de auto alinhamento do pneu. Capítulo 1 - Pneus 24 Figura 1.22: Variação do coeficiente de atrito com ângulo de deriva. Figura 1.23: Variação do coeficiente de atrito, com o ângulo de deriva, para pista úmida. No caso de pista molhada, o coeficiente de atrito depende da espessura do filme de água, conforme é mostrado na Figura 1.23; observa-se que o máximo valor de μs já é atingido com α ' 8◦ . 1.5.2 Carga sobre a roda No estudo dos pneus submetidos a forças laterais, são usados dois tipos de diagramas, como mostrado na Figura 1.24. O primeiro é a representação gráfica de S = f (Q), com o ângulo de deriva como parâmetro, e o segundo a representação de S = f (α), com a carga normal como parâmetro. O primeiro é mais usado no estudo do comportamento dos pneus. Na figura S = f (α), observa-se que para pequenos valores de α a variação de ”S” é praticamente linear. Nesta zona não ocorre, praticamente, escorregamento na superfície de contato. Com o aumento da força lateral, mantendo a mesma carga normal sobre o pneu, aumenta a zona de escorregamento resultando numa maior curvatura no gráfico, até que a curva passa a ser horizontal. A este valor máximo de ”S” corresponde o valor do coeficiente de aderência lateral. Em um veículo se deslocando em linha reta e sob a ação de cargas transversais, o ângulo 25 Capítulo 1 - Pneus Figura 1.24: Diagramas de comportamento dos pneus em termos de Q, S e α. de deriva pode atingir valores de três graus, dificilmente ultrapassando cinco graus . Em curvas feitas em alta velocidade, podem ocorrer ângulos de deriva da ordem de dez a quinze graus, dependendo do tipo de piso e pneu. O gráfico S = f (Q) mostra que com o aumento de ”Q” aumenta também o valor de S, mas não proporcionalmente. Esse comportamento pode ser melhor entendido com a análise que segue. Sejam os pneus de um eixo submetidos a uma carga radial ”Q” e uma variação ∆Q de carga radial em função da transferência de caraga das rodas do mesmo eixo. Desta forma a carga normal ao solo de um pneu é expressada, genericamente, por: Q ± ∆Q (1.16) Assim, para a roda externa à curva, a carga radial sobre o pneu e respectiva carga transversal são: (1.17) Q + ∆Q → S + ∆S1 e para o pneu interno à curva, tem-se: Q − ∆Q → S − ∆S2 (1.18) Com o auxílio da Figura 1.25, observa-se que: ∆S1 < ∆S2 (1.19) Esta não proporcionalidade de S com Q é de grande importância para o entendimento do comportamento de um veículo sujeito à ação de forças perturbadoras laterais, conforme será visto no capítulo referente a estabilidade direcional. Na Figura 1.26 se mostra que um pneu pouco carregado admite maiores velocidades em curva que um pneu carregado até seu limite de capacidade de carga. Para melhorar o comportamento em curvas, o uso de pneus com maior capacidade de carga, ou seja sobre dimensionados, é recomendável. Porém, a adoção de pneus com maior capacidade de carga, pode causar as seguintes desvantagens: Capítulo 1 - Pneus Figura 1.25: Variação de S em função de Q para um mesmo ângulo de deriva. Figura 1.26: Pneus com capacidades de carga diferentes, com mesma deriva. 26 27 Capítulo 1 - Pneus Figura 1.27: Característica S = f (Q) com diferentes pressões do pneu e igual ângulo de deriva. Tabela 1.7: Variação da rigidez do pneu com a pressão. Pressão Carga transversal [N] por grau de deriva 0, 8 P 250 0, 9 P 280 1, 0 P 312 1, 1 P 340 1, 2 P 365 Obs.: P é a pressão recomendada para o pneu 6.60 − 14 • - maior preço • - perigo de contato com o paralama ou estrutura, quando girado pelo volante ou durante o trabalho da suspensão. 1.5.3 Pressão do pneu Com o aumento da pressão do pneu, aumenta a tensão nos fios das lonas, o que torna o pneu mais rígido lateralmente. Para uma mesma carga normal, um aumento na pressão ocasiona uma maior capacidade de absorção de força lateral, para um mesmo ângulo de deriva, como está representado na Figura 1.27. Ou, dito de outra forma, para uma mesma carga normal e uma mesma força lateral, o aumento da pressão ocasiona um ângulo de deriva menor. Para ilustrar a influência da pressão de inflagem na capacidade dos pneus em absorver cargas transversais, na Tabela 1.7 é apresentada a variação da rigidez com a pressão para um dado tipo de pneu. 1.5.4 Relação altura/largura do pneu Experiências realizadas com pneus de diferentes seções transversais mostram que aqueles cuja relação altura/largura é menor são lateralmente mais rígidos, ou seja, deformam-se Capítulo 1 - Pneus 28 Figura 1.28: Influência do tipo de construção do pneu na absorção de forças laterais. menos quando submetidos a uma mesma força lateral. Aros mais largos propiciam, também, uma melhoria na absorção de forças laterais. Em geral, a largura dos aros é de setenta a setenta e cinco por cento da largura do pneu, não devendo ultrapassar oitenta por cento, de maneira a evitar solicitações muito grandes nos flancos e ombros do pneu. O uso de um aro mais largo ocasiona um correspondente aumento da largura efetiva do pneu, resultando em uma relação H/B mais favorável à absorção de forças laterais; mas isso implica, também, no aumento do volume interno da câmara de ar. De um modo aproximado, pode-se dizer que meia polegada de aumento na largura do aro requer um aumento de duas lbf/in2 na pressão do pneu para mantê-lo com a mesma rigidez. 1.5.5 Tipos de construção do pneu A variável com maior influência na deriva é o ângulo que os fios das lonas formam com o plano médio do pneu. Quanto menor o ângulo dos fios, tanto maior a parcela da periferia do pneu que colabora na absorção da força lateral. No pneu radial, devido a presença da cinta, praticamente toda a periferia colabora nessa absorção. Na Figura 1.28 se tem a variação da relação S/Q em função de α, para diferentes tipos de construção de carcaça. Para igual relação S/Q, o ângulo de deriva no pneu radial é bem menor, evitando grandes interferências no volante para corrigir a direção quando o veículo fica submetido à ação de forças laterais. 1.5.6 Estado da banda de rodagem Do estado da banda de rodagem depende o valor da força lateral S, conforme mostram as pesquisas realizadas em tambores rotativos no Instituto para automóveis da Universidade Capítulo 1 - Pneus 29 Figura 1.29: Comportamento de um pneu, sob ação de cargas transversais, para vários estados da banda de rodagem. de Stuttgart e sintetizadas na Figura 1.29, [2]. As verificações foram feitas com pneus novos (perfil completo) e pneus gastos, bem como com o tambor seco e molhado. Com tambor seco, a reação lateral do pneu sem perfil é, aproximadamente, 15% maior do que a do pneu novo, enquanto que, com tambor molhado, a curva do pneu liso fica 20 a 30% abaixo da do pneu novo. Aqui também é comprovada a importância de pneus perfilados em estrada molhada, pela expulsão da água da superfície de contato. Em pisos secos, a menor flexibilidade dos sulcos mais rasos em pneus desgastados contribui para uma menor deformação e, portanto, um menor ângulo de deriva para uma determinada força lateral. 1.5.7 Influência do camber Devido ao camber, o peso do veículo deforma o pneu de forma assimétrica e a superfície de contato pneu/pista fica submetida a uma força lateral S 0 . Com a aplicação de uma força lateral externa, primeiramente ela deve vencer a deformação correspondente a S 0 para, somente então, deformar o pneu no outro sentido. Com γ = 0, uma força S causa o ângulo α. Com γ < 0, deve-se ter S + S 0 para o mesmo ângulo de deriva e, com γ > 0, S − S 0 , como pode ser visualizado na Figura 1.30. 1.6 1.6.1 Capacidade de carga Capacidade de carga de pneus de automóveis e caminhões A capacidade de carga define qual a força radial que pode atuar, com segurança, sem que o pneu seja danificado. No caso de pneus de automóveis e caminhões, a capacidade de Capítulo 1 - Pneus 30 Figura 1.30: Influência do camber na absorção de forças laterais. Figura 1.31: Resistência da borracha em função da temperatura. carga é limitada pela geração de calor no pneu. Isso porque o calor gerado com o movimento aumenta a temperatura da borracha e, como a sua desvulcanização ocorre com temperaturas entre 120 e 150o C, o aquecimento do pneu é crítico para a sua durabilidade. Na Figura 1.31 é mostrado o comportamento da tensão de resistência da borracha em função da temperatura. O calor gerado depende, dentre um número bastante grande de variáveis, da carga sobre o pneu, de sua pressão e da velocidade do veículo. A carga e a pressão influem sobre a maior ou menor deformação que o pneu sofre; com maior carga, a pressão deve ser também maior de modo a diminuir a deformação do pneu. A velocidade influi sobre a freqüência com que o pneu é solicitado, o que afeta a capacidade de dissipação do calor gerado internamente. A carga máxima que um dado pneu pode suportar está limitada pela pressão que ele admite, sendo que esta pressão não deve ser excedida sob risco de colapso da sua carcaça. Para possibilitar uma maior pressão é necessário um pneu com maior número de lonas, de 31 Capítulo 1 - Pneus Tabela 1.8: Capacidade de carga de pneus. PR 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 CC A B C D E F G H J L M N Tabela 1.9: Capacidade de carga de pneus, segundo as recomendações da ABPA (Associação Brasileira de Pneus e Aros). Índice Carga [kgf ]−[N ] Índice Carga [kgf ]−[N ] 60 250 − 2450 71 345 − 3384 61 257 − 2521 72 355 − 3482 62 265 − 2600 73 365 − 3581 63 272 − 2668 74 375 − 3678 64 280 − 2747 75 387 − 3796 65 290 − 2845 76 400 − 3924 66 300 − 2943 77 412 − 4042 67 307 − 3012 78 425 − 4169 68 315 − 3090 79 437 − 4287 69 325 − 3188 80 450 − 4414 70 335 − 3286 81 462 − 4532 modo a dar maior resistência à carcaça. Uma carcaça com maior número de lonas não implica, necessariamente, numa maior capacidade de carga, como é mostrado a seguir. Um pneu com 4 lonas e outro com 6 lonas possuem a mesma capacidade de carga quando inflados na mesma pressão; o pneu com 6 lonas, entretanto, admite uma pressão superior e, ficando mais rígido pelo efeito da maior pressão, se deforma menos, o que acarreta uma geração menor de calor. Pode-se dizer que a capacidade de carga fica indiretamente definida ou limitada pelo número de lonas. A tabela 1.8 fornece duas formas de representar a capacidade de carga de um pneu: em termos do número de lonas, Ply Rating, ou, então, por um código de letras. Onde: PR - Play Rating ou capacidade de carga em lonas. CC - Capacidade de carga. Deve ser salientado que este é um número nominal de lonas, não necessariamente o número de lonas usado na construção da carcaça. Hoje, há a normalização da ANBT para especificação da capacidade de carga dos pneus de camionetes e automóveis, a qual, para alguns pneus, está mostrada na Tabela 1.9. 1.6.2 Pneus de veículos fora de estrada Para máquinas e equipamentos que trabalham fora de estrada, existe uma grande influência da velocidade de deslocamento do veículo sobre a capacidade de carga dos pneus, 32 Capítulo 1 - Pneus pois, devido ao tamanho do pneu, é necessária uma banda de rodagem com grande espessura o que ocasiona uma maior resistência à troca de calor e, conseqüentemente, um maior aquecimento. Além deste efeito, a velocidade em que a operação de carregamento é realizada é também importante, pois uma velocidade de carregamento grande implica em um fator de impacto elevado, o que pode causar uma uma carga dinâmica que supere a capacidade estática do pneu e ocasionar a sua destruição. Para que estes efeitos possam ser considerados, é definida uma capacidade de carga estática, Ce , importante nas operações de carga e descarga, e adotado um fator de correção devido à velocidade, Kv , para se chegar à capacidade de carga dinâmica, Cd . A capacidade de carga estática depende das dimensões do pneu bem como da pressão com que ele é inflado. A máxima capacidade de carga fica limitada pela maior pressão que o pneu admite. Esta pressão máxima depende da resistência da carcaça, ou seja, do número de lonas nominal. A capacidade de carga estática, para o veículo imóvel, pode ser estimada com boa aproximação por: Ce = K B D1,5 (1.20) Onde: K = 165 kN para pressões até 4 atm, ou K = 170 kN para pressões até 60 lbf/in2 , onde Ce - capacidade de carga estática; D - diâmetro externo do pneu; B - largura nominal do pneu. Para outras pressões, a capacidade de carga estática pode ser estimada multiplicando-se a expressão anterior por Rp0,59 , em que Rp é a relação de pressões. É importante a determinação da capacidade de carga estática porque o carregamento destes veículos sempre é realizado com procedimento dinâmico, o que causa uma sobrecarga bastante elevada por um intervalo bastante pequeno. A capacidade de carga sofre uma redução acentuada quando o veículo está em movimento devido ao aquecimento do pneu e aos impactos ocasionados pelas irregularidades do piso; assim, a determinação da capacidade de carga dinâmica é fundamental. Na Figura 1.32 é ilustrada a redução da capacidade de carga em função da velocidade, segundo dados de vários fabricantes. A forma de calcular a capacidade de carga dinâmica é dada, de forma aproximada, pela seguinte equação: Cd = kv Ce onde: kv - fator de carga dinâmica, obtido na Figura 1.32; Ce - capacidade de carga estática. (1.21) 33 Capítulo 1 - Pneus kv 1,0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0 10 20 30 40 50 v [km/h] Figura 1.32: Redução da capacidade de carga em função da velocidade. No caso de rodado dual, a capacidade de carga fica um pouco reduzida pela impossibilidade de uma repartição perfeita de carga entre os pneus. Exemplo: O pneu 18.00 − 25 com 32 lonas admite até 5, 6 atm (80 lbf /in2 ); determinar a sua capacidade de carga na velocidade de 50 km/h. Dados: B = 18” d = 25” (diˆ ametro do aro) H/B = 0, 96 H = 17, 3” D = 25” + 34, 6” = 59, 6” = 1513 mm Para a pressão de 4 atm tem-se a capacidade de carga estática: Ce = 140 kN Utilizando-se 5, 6 atm de pressão: 5, 6 0,59 = 171 kN. ) 4 que é a capacidade de carga estática desse pneu na pressão de trabalho. Para 50 km/h, obtem-se da Figura 1.22 Kv = 0, 45, como valor médio, logo: Ce = 140 ( Cd = 77, 0 kN. que é sua capacidade de carga dinâmica. Como se pode notar, a capacidade de carga dinâmica é bem menor do que a estática. 34 Capítulo 1 - Pneus Tabela 1.10: Pressões de pneus para máuinas agrícolas. Tipo de uso Pressão Pneus dianteiros 24 − 52 lbf/in2 Pneus traseiros 12 − 28 lbf/in2 , 0, 85 − 2, 0 atm Pneus para implementos 20 − 52 lbf/in2 , 1, 4 − 3, 7 atm 1.6.3 Capacidade de carga de pneus agrícolas Estes pneus são utilizados com pressões relativamente baixas, de modo a permitir um contato suficientemente grande com o solo, geralmente macio. A faixa usual da pressão de inflagem está mostrada na tabela 1.10. A capacidade de carga dinâmica, Cd , para velocidades máximas de 32 km/h e pressão de 20 lbf /m2 , pode ser estimada pela expressão: Cd = 29 B D1,3 (1.22) Onde as dimensões da largura B e do diâmetro externo D são dadas em metros e Cd em kN. Para outras pressões, tem-se: Rc = RP0,59 (1.23) Onde RP e Rc são relações de pressões e de capacidade de carga, respectivamente. 1.7 Designação de pneus de automóveis A designação de um pneu informa sobre o seu tamanho, capacidade de carga, limite de velocidade e forma construtiva da sua carcaça. A seguir, será apresentada a forma de especificação destas grandezas para pneus comerciais. 1.7.1 Tamanho A designação deve ser tomada como definição das dimensões nominais, não como medida exata do pneu. A designação de tamanho é composta de dois grupos de valores. O primeiro grupo corresponde à largura nominal do pneu ou à largura nominal complementada pela razão percentual entre a altura da seção e a largura. O segundo grupo representa o tamanho do diâmetro interno, ou o diâmetro do aro de montagem. A largura B e o diâmetro de montagem d são as dimensões principais para identificação do pneu e normalmente estão colocados da seguinte forma BB − dd Onde: (1.24) 35 Capítulo 1 - Pneus Figura 1.33: Dimensões características de um pneu. BB - largura nominal dd - diâmetro interno nominal Quanto ao aro do pneu, recomenda-se que sua largura fique entre 70 e 75% da largura nominal do pneu para que os flancos e ombros deste não trabalhem fora das especificações de projeto. 1.7.2 Séries de pneus No caso de pneus para automóveis tem-se várias séries, onde as dimensões da seção são proporcionais e a relação H/B é aproximadamente constante. Dentro de cada série, a seqüência de larguras nominais do pneu segue um padrão que permite identificar a que série pertence o pneu, como por exemplo: • Pneu super balão (1948) H/B = 0, 95 → série 95 Aros - 10; 12; 13; 14; 15 ... Largura - 4.80; 5.20; 5.60; 5.90; 6.40... Obs.: Dimensões em polegadas. • - Pneu de perfil baixo (1959) H/B = 0, 88 → série 88 Aros - 12; 13; 14; 15 ... Largura - 5.00; 5.50; 6.00; 6.50... Obs.: Dimensões em polegadas. • - Pneu de perfil super baixo (1964) 36 Capítulo 1 - Pneus H/B = 0, 82 → Série 82 Aros - 13; 14; 15 Largura - 6.15/155; 6.45/165; 6.95/175... Obs.: Dimensões dos aros em polegadas e a das larguras polegadas/milímetros. • - Pneus das séries 80/ 70/ 65/ 60/ 55/ 50... Estes pneus começaram a ser introduzidos no mercado em 1967. O número da série indica a relação H/B em percentagem. Assim, um pneu da série 70 possui H/B = 0, 70, aproximadamente. O número indicativo da série a que o pneu pertence aparece logo após o número que especifica a largura, separado por uma barra. Exemplos: Caso 1 : Pneu 6.50 − 13 A partir dos números que especificam as dimensões dos pneus, tem-se: Largura nominal do pneu..................B = 6, 5” Diâmetro do aro................................ d = 13” Relação altura/largura do pneu.... H/B = 0, 88. Com estes resultados pode-se calcular o diâmetro externo do pneu da maneira que segue: D = 2( 0, 88)( 6, 5) + 13 D = 24, 44” = 620 mm. Caso 2 : Pneu 215/70 − 15 A partir dos números tem-se que: Largura nominal do pneu........... B = 215 mm Diâmetro do aro.......................... d = 15” Relação altura/largura............. H/B = 0, 70 Diâmetro externo........................ D = 682 mm. 1.7.3 Capacidade de carga A especificação da capacidade de carga de pneus de automóveis é feita de acordo com a Tabela 1.9. A definição da capacidade de carga do pneu, é localizada logo após o número de define o diâmetro do aro do pneu. Um exemplo da definição da especificação da capacidade de carga é mostrado no Caso 2, apresentado no final do item 1.7.5. Capítulo 1 - Pneus 37 Tabela 1.11: Limites de velocidade [km/h], segundo a nomenclatura mais antiga para pneus montados em aros com pelo menos 13 polegadas. Pressão Marca Velocidades limites 150 Diagonal S 180 H 200 S 180 S(M+S) 160 S (M+S) ref 150 Radial H 210 H (M+S) 200 V 210 Z > 240 1.7.4 Velocidade limite Todo pneu possui uma velocidade máxima a que pode resistir sem sofrer danos. A marca que indica a velocidade limite situa-se entre os dois grupos de números de designação do tamanho. Os limites de velocidade são representados por um traço horizontal ou as letras S, H ou V, como mostrado na Tabela 1.11, e determinam a velocidade máxima que pode ser desenvolvida pelo veículo sem causar dano aos pneus. Os símbolos ”(M+S)” signicam lama e neve (mud and snow) e ”ref” reforçado. Atualmente, tanto no Brasil como na maioria dos países fabricantes de componentes automotivos, a nomenclatura apresentada na Tabela 1.11 esta caindo em desuso. Em substituição é adota a nomenclatura mostrada na Tabela 1.12, normalizada pela ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas http://www.abnt.org.br/), onde se tem a equivalência entre as marcas impressas nos flancos dos pneus e as correspondentes velocidades limites. A definição da velocidade na carcaça do pneu é localizada logo após o índice de especificação da capacidade de carga do pneu. Informações adicionais a respeito de normas, ensaios, eventos e especificações técnicas podem ser encontradas junto Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial, INMETRO (http://www.inmetro.gov.br), uma autarquia Federal vinculada ao Ministério do Desenvolvimento, Indústria e Comércio Exterior bem como com a Associação Latinoamericana de Pneus e Aros, ALAPA (http://www.alapa.com.br). Capítulo 1 - Pneus 38 Tabela 1.12: Equivalência entre a velocidade [km/h] e as marcas no pneu pela nomenclatura normalizada pela ABNT. Símbolo Velocidade limite P 150 Q 160 R 170 S 180 T 190 U 200 H 210 V 240 W 270 Y 300 1.7.5 Tipo de carcaça Essa informação também está contida na designação dos pneus e está localizada entre os dois grupos de números que especificam o tamanho. As marcas que aparecem são as seguintes: - : Pneu diagonal R : Pneu radial B : Pneu diagonal cintado Exemplos: Determinar as características gerais dos seguintes pneus: Caso 1 : 215/65 V R 15 Este pneu segue a nomenclatura antiga. Largura nominal .................- 215 mm Diâmetro do aro .................- 15 polegadas Relação altura/largura ....... - 0, 65 Diâmetro externo ................- 15(25, 4) + 2(0, 65)215 = 660, 5 mm Tipo da carcaça ..................- Radial Velocidade limite ................- Marca V significa velocidade limite de 210 km/h. Caso 2 : 175/70 R 13 82 Q Esse pneu segue a nomenclatura moderna de especificação de pneus. Largura nominal ................- 175 mm Diâmetro do aro ................- 13 polegadas Relação altura/largura....... - 0, 70 Diâmetro externo ...............- 13(25, 4) + 2(0, 7)175 = 575, 2 mm Tipo da carcaça .................- Radial Capacidade de carga .......- O número 82 significa uma carga nominal de 4660 N (Tabela 1.9) 39 Capítulo 1 - Pneus Tabela 1.13: Classificação para rodas motrizes. Símbolo Rodas motrizes R1 Agricultura R2 Culturas de cana e arroz R3 Uso industrial e areia R4 Uso industrial Velocidade limite ...............- A letra Q significa velocidade máxima de 160 km/h (Tabela 1.12) 1.8 1.8.1 Designação de outros pneus Pneus de camionetas, caminhões e ônibus Os pneus para uso normal em ônibus, camionetas e caminhões, apresentam uma designação mais simples do que a de automóveis, pois as dimensões são sempre expressas em polegadas, apenas com indicação suplementar para o caso de pneus radiais. Exemplos: Caso 1 : Pneu 6.50 − 16 Largura ....................- 6, 5 polegadas Diâmetro do aro......- 16 polegadas Tipo da carcaça......- Diagonal Caso 2 : Pneu 9.00 R 20 Largura ....................- 9 polegadas Diâmetro do aro......- 20 polegadas Tipo de carcaça......- Radial 1.8.2 Tratores agrícolas e industriais Os pneus para estes equipamentos operam em condições bastante adversas de terreno. De modo a possibilitar uma rápida identificação do tipo de trabalho para o qual o pneu é adequado, eles são classificados de acordo com o código mostrado nas tabelas 1.13 e 1.14. Nesses tipos de pneus, existe uma diferença quanto à forma de designar os tamanhos para os eixos dianteiro e traseiro: • para o eixo dianteiro (somente direcional) as dimensões dos pneus são especificadas por dois grupos de números, BB dd (largura do pneu e diâmetro do aro), seguidos do código de serviço a que se prestam. 40 Capítulo 1 - Pneus Tabela 1.14: Símbolo F1 F2 F3 I1 I2 I3 I6 Classificação para rodas direcionais. Rodas direcionais Ranhura única Agricultura geral Ranhuras múltiplas Implementos agrícolas, ranhurados Implementos, tração moderada Implemento motriz Implemento de banda lisa • para o eixo traseiro as dimensões dos pneus também são especificadas por dois grupos de números, porém o primeiro grupo contém a especificação da largura do aro "a” além da largura nominal do pneu e do diâmetro do aro BB/a − dd (largura nominal do pneu/ largura do aro e diâmetro do aro). É importante salientar que estes pneus não são recomendados para serem usados com velocidades superiores a 32km/h. Exemplos: Caso 1 : Pneu 7.50 − 18(F 2) Largura..................................- 7, 5 polegadas Diâmetro do aro...................- 18 polegadas Código de serviço................- F 2 - Agricultura geral Posicionamento....................- Roda direcional. Caso 2 : Pneu 16.9/14 − 30(R1) Largura nominal do pneu.... - 16, 9 polegadas Largura do aro......................- 14 polegadas Diâmetro do aro...................- 30 polegadas Código de serviço................- R1- Agricultura Posicionamento....................- Roda motriz. 1.8.3 Pneus para veículos fora de estrada Assim como no caso de tratores agrícolas, os pneus para veículos fora de estrada são classificados segundo o tipo de serviço recomendado. Devido à grande variedade de condições de serviço, existem diversos desenhos de confecção da banda de rodagem, porém, para cada tipo de serviço, existe uma relativa padronização entre os vários fabricantes de pneus. Em função disto, eles são classificados de acordo com a tabela 1.15. Cada tipo de serviço possui uma subdivisão que indica as características do piso a que o pneu é adequado, o que, por sua vez, implica na construção da banda de rodagem com 41 Capítulo 1 - Pneus Tabela 1.15: Tipos de serviço para pneus fora de estrada. T ip o s d e S erv iç os (S A E J 5 7 1 ) Fu n ç ã o C a ra c terística E (E a rth m ove s) Tra n sp o rte d e te rra , a reia e m in é rio . R esistên c ia a o c a lo r, a co rtes, d esga ste e ru p tu ra p or im p a cto . G (G rad es) M o to n ivela d o ra s. Tra çã o e d irig ib ilid a d e (v < 4 0 k m / h ). L (L o a d e r) C a rre g a d eira s R esistên c ia a o d esg a ste e a c o rte s (v < 8 k m / h ). L S (L o g - S k id d er) Tra to res fl o resta is Tra çã o , fl u tu a ç ão e resistê n cia a c o rte s. C (C o m p a cto r) C o m p ac ta çã o R esistente a o ó le o , a c o rtes e a o d esga ste (v < 8 k m / h ). Tabela 1.16: Subdivisão Subdivisão E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 G1 G2 G3 G4 L2 L3 L4 L5 C1 C2 LS2 dos tipos de serviço de pneus fora de estrada. Aplicação Direcionais Tração Para pedras Banda espessa, para pedras Resistente ao calor Extra resistente ao calor Flutuação Direcionais Tração Para pedras Banda espessa, para pedras Tração Para pedras Banda espessa, para pedras Banda extra espessa, para pedras Banda lisa Ranhura Intermediário (uso geral) Capítulo 1 - Pneus 42 desenhos, reforços e volume de borracha distintos de uma para outra classificação, como mostra a tabela 1.16. Para esses tipos de pneus, tem-se três séries de largura: Convencional - série 96- a caracterização desta série é feita através do número que especifica a largura, sempre inteiro e expresso em polegadas. Pneus Base Larga - série 83 - a caracterização desta série também é feita através do número que especifica a largura, que, neste caso, é sempre expresso em frações de polegadas. Pneus de perfil baixo - série 65 - a caracterização desta série é feita pelo número 65, que sempre antecede a largura nominal do pneu. Observação: quando os quatro tipos acima forem seguidos da letra S, a banda é lisa (ex.: L4S). Exemplos: Caso 1: Pneu 18.00 − 25. Como a largura é expressa por um número inteiro, este pneu é da série 96 e possui as seguintes características: Largura nominal.........................B = 18 polegadas Série........................................H/B = 0, 96 Diâmetro do aro.........................d = 25 polegadas Diâmetro externo do pneu........D = 60 polegadas. Caso 2: Pneu 33.25 − 35 Como a largura é expressa por um número fracionário, esse pneu é da série 83 e possui as seguintes características: Largura nominal.........................B = 33, 25 polegadas Série........................................H/B = 0, 83 Diâmetro do aro.........................d = 35 polegadas Diâmetro externo do pneu........D = 90 polegadas. Caso 3: Pneu 65/35 − 33 Como a largura é antecedida pelo número 65, este pneu é da série 65 e possui as seguintes características: Largura nominal.........................B = 35 polegadas Série........................................H/B = 0, 65 Diâmetro do aro.........................d = 33 polegadas Diâmetro externo do pneu........D = 78, 5 polegadas. Capítulo 2 Forças e acelerações em um veículo em operação 2.1 Resistências ao movimento Nesta primeira parte do estudo das forças que agem sobre um veículo se deslocando, o interesse é naquelas que se opõem ao seu movimento e determinam o nível de potência necessário para manter esse movimento. A força resistente total deve ser equilibrada pela força transmitida por atrito ao solo, através das rodas motrizes, proveniente da potência gerada pelo motor. Para que se tenha idéia de como o veículo se comportará nas diversas situações de uso, é necessário que se conheça o nível de potência que o motor possui, a cada rotação, para várias posições do acelerador. Dispondo de curvas características do motor, como as mostradas na Figura 2.1, bem como da curva de consumo específico, é possível estimar, com boa precisão, o comportamento do veículo em termos de acelerações possíveis, consumo, velocidade final, bem como o seu desempenho em ultrapassagens e em aclives para as mais diversas situações de carga e terreno. Para tanto, é de fundamental importância o levantamento da potência líquida do motor em testes de dinamômetro, bem como a determinação da potência gasta para manter a condição de deslocamento do veículo. Figura 2.1: Curva de potência de um motor para diferentes níveis de carga. 43 Capítulo 2 - Forças e acelerações em um veículo em operação 44 Figura 2.2: Elementos da transmissão de potência do motor às rodas. As resistências que se opõem do movimento, para todos tipos de veículos, são: • - Resistência mecânica; • - Resistência de aclive; • - Resistência de inércia; • - Resistência de rolamento; • - Resistência aerodinâmica. Cada parcela citada será apresentada detalhadamente nos itens que se seguirão. 2.2 Resistência mecânica A potência gerada no motor deve ser levada às rodas motrizes para que o veículo possa efetivamente fazer uso dela. Neste percurso, mostrado na Figura 2.2, existem vários elementos mecânicos sujeitos ao atrito que irão consumir parte dela. A resistência mecânica é considerada como toda e qualquer perda que ocorra entre o volante do motor e os mancais das rodas motrizes. Neste valor estão incluídas perdas na caixa de câmbio, no eixo cardam, no diferencial, nos mancais e em outros pontos. Uma maneira bastante simples de considerar as perdas é pelo uso do conceito do rendimento da transmissão de força, desde o motor até o eixo das rodas, aplicando a seguinte equação empírica: Pc = Pe η m (2.1) onde: Pc - Potência no cubo; Pe - Potência efetiva no motor; η m - Rendimento mecânico da transmissão. Como a potência efetiva do motor é a soma das potências no cubo e a perdida na transmissão, pode-se escrever que: Capítulo 2 - Forças e acelerações em um veículo em operação 45 Figura 2.3: Comportamento do rendimento da transmissâo com a carga. Pm = (1 − η m ) Pe (2.2) onde: Pm - Potência consumida na transmissão (perda mecânica). Em geral, as perdas podem ser decompostas em uma parte que é, independentemente da carga transmitida, proveniente em grande parte do movimento do óleo lubrificante e outra devido ao atrito propriamente dito que varia, aproximadamente, de uma forma linear com a carga. Em cargas leves há predominância das perdas do lubrificante, as quais diminuem com o aumento da carga, como se mostra na Figura 2.3. Pela forma da curva de rendimento torna-se flagrante que não é interessante que o sistema opere com carga inferior à carga nominal, pois o rendimento sofre uma drástica redução. O rendimento mecânico da transmissão de automóveis está, em geral, na faixa de 0, 84 a 0, 93, variando conforme as soluções construtivas que foram adotadas e com a marcha que está sendo utilizada. Para alguns tipos de câmbios, onde há uma marcha direta e não ocorre transmissão de força através das engrenagens da caixa de câmbio, tem-se, nesta marcha, o maior o rendimento da transmissão. A partir da curva de potência do motor, é possível obter-se a curva de potência do veículo na roda, em função da velocidade, conhecendo-se as relações de transmissão e o raio da roda de tração. O resultado deste procedimento está representado na Figura 2.4. 2.3 Resistência ao aclive Um veículo ao subir um aclive apenas parte do seu peso é absorvido pelo solo, na forma de força normal, e o restante do peso fica agindo sobre o CG na forma de uma componente Capítulo 2 - Forças e acelerações em um veículo em operação 46 Figura 2.4: Potência bruta disponível, no cubo da roda, em cada marcha. Figura 2.5: Veículo percorrendo uma rampa. paralela ao piso, tendendo a fazer o veículo descer o aclive, como mostrado na Figura 2.5. Esta componente do peso é a resistência de aclive, ou seja é a força que deve ser vencida para que o equilíbrio estático seja mantido. Deste modo a resistência de aclive, Qs , é obtida por: Qs = G sen α (2.3) Na literatura especializada é usual referir-se a um aclive pela percentagem de quanto se sobe em relação à horizontal e não pelo ângulo de inclinação da pista. A seguir é mostrada a relação entre estas grandezas com um exemplo de aplicação. Na Figura 2.6 é mostrado um aclive de 40 %, ou seja, de a = 0, 4. Pela análise da figura tem-se que: a = tg α (2.4) Capítulo 2 - Forças e acelerações em um veículo em operação 47 Figura 2.6: Definição do aclive a = 0, 4 (40%). Sendo a = 0, 40, pode-se calcular a partir desta última equação a inclinação do aclive em graus. α = 21, 8o Para um aclive de 20 % tem-se a = 0, 2 e logo α = 11, 31o . Um aclive de 100 % corresponde a um ângulo de 45o . Se em lugar de aclive houver um declive então o ângulo que entra na equação (2.3) é negativo e o seu resultado também será negativo, ou seja, haverá uma força que facilitará o movimento do veículo. 2.4 Resistência de inércia Segundo Newton, um corpo para ter o seu estado de movimento (em repouso ou em movimento retilíneo uniforme) alterado é necessário aplicar uma força. Para um automóvel, que é um conjunto de inércias em translação e rotação, no cálculo da força a ser aplicada para variar a velocidade deve ser levado em conta, além das massas em translação, as inércias rotativas. Isto porque as inércias rotativas são submetidas a acelerações angulares proporcionais a linear e, em função das relações de transmissão da caixa e do diferencial, podem ser responsáveis por uma grande parcela de consumo de força (consequentemente potência) durante a aceleração de um automóvel . Assim a abordagem será subdividida em duas parcelas, uma devido as massas em translação e outra devida as massas em rotação. No final, o efeito das duas parcelas será somado e corresponderá a resistência total de aceleração. 2.4.1 Massas em translação Sabe-se da dinâmica que para acelerar uma massa "m" de uma quantidade "a" é necessário aplicar uma força, mostrada na Figura 2.7, dada por: F = ma (2.5) 48 Capítulo 2 - Forças e acelerações em um veículo em operação Figura 2.7: Inércia de translação de um veículo. Esta força, que deve ser colocada a disposição do veículo pelo motor, corresponde a resistência de inércia de translação dada por Q0I = m a (2.6) Esta força de inércia de translação corresponde a primeira parcela da resistência de inércia. 2.4.2 Massas em rotação Para causar uma aceleração angular, α [rad/s2 ], em uma inércia rotacional, J [kg/m2 ], é necessário aplicar-se um momento dado por: M =Jα (2.7) onde: α - é a aceleração angular. J - inércia de rotação, proporcional a massa e a geometria da peça girante. No caso de veículos que possuam caixas de redução de rotações, tem-se diferentes inércias girando a velocidades diferentes e a equação acima não pode ser aplicada diretamente. Para contornar este problema se divide as inércias rotativas nos três grupos, representadas na Figura 2.8, que seguem: Jr - Inércias das rodas e agregados tais como: rodas dianteiras, traseiras, parte do diferencial do lado das rodas, dos discos e tambores de freio e dos cubos de roda. Jt - Inércia da transmissão. Parte do diferencial do lado da caixa mais eixo cardam e juntas, bem como a parte acionada da caixa. Jm - Inércia do motor. Motor e acessórios, volante, embreagem e parte acionante da caixa de marchas. Para obter a força de equivalente a de inércia no ponto de contato com o solo, é necessário dividir o momento dado pela equação (2.7) pelo raio dinâmico do pneu como segue: Q00I = ou M rd (2.8) 49 Capítulo 2 - Forças e acelerações em um veículo em operação Figura 2.8: Inércias rotativas de um veículo. Jα (2.9) rd A relação entre a aceleração angular e linear, de uma roda no ponto de contato com o solo é dada por: Q00I = a = α rd (2.10) onde: a - aceleração linear; rd - raio dinâmico do pneu (ver página 124 deste texto); α - aceleração angular. Assim, pode-se escrever: a (2.11) rd Substituindo-se esta aceleração na expressão do torque, consegue-se relacionar a resistência de inércia rotativa com a aceleração linear como segue: α= Q00I = Ja rd2 (2.12) O problema, que surge, é devido ao fato de que as rodas não estão girando com a velocidade das inércias Jt e Jm , e uma soma direta destas grandezas não pode ser usada para o cálculo da inércia total J. Supondo-se uma inércia unida a um eixo que através de uma redução i transmite movimento para outro, Figura 2.9, pode-se achar uma inércia equivalente neste último e resolver o problema acima descrito. Capítulo 2 - Forças e acelerações em um veículo em operação 50 Figura 2.9: Transformação de inércia. Para obter-se a inércia equivalente, J 0 , no outro eixo, deve-se respeitar a lei da conservação de energia, ou seja, a energia cinética deve ser a mesma em um e no outro caso. Assim, temse: 1 1 J ω21 = J 0 ω22 2 2 (2.13) onde: J - inércia real; ω 1 - velocidade angular da inércia J; J 0 - inércia equivalente; ω 2 - velocidade angular da inércia equivalente. Como: ω1 = iω 2 (2.14) J(iω2 )2 = J 0 ω 22 (2.15) J 0 = i2 J (2.16) e assim: com as devidas simplificações, tem-se: onde i é a relação de transmissão. Deste modo se pode calcular uma inércia equivalente a do motor e da transmissão, nas rodas, considerando a j´´ esima relação de transmissão da caixa de câmbio (icj ) e do diferencial (id ), como segue: J 0 = i2d (Jt + i2cj Jm ) (2.17) 51 Capítulo 2 - Forças e acelerações em um veículo em operação A inércia rotativa total nas rodas, para um veículo como o mostrado na Figura 2.8, é dada pela soma das parcelas do motor, da caixa e das rodas como segue J = Jr + i2d (Jt + i2cj Jm ) (2.18) Vals salientar que esta equação serve para análise de qualquer sistema que possua massas girando com velocidades diferentes, tal como o mostrado na Figura 2.8. 2.4.3 Superposição dos efeitos A resistência total da aceleração é então dada pela soma das inércias de translação e da de rotação, como segue QI = Q0I + Q00I (2.19) ou QI = m a(1 + J ). m rd2 (2.20) Para facilitar o manuseio desta expressão, escreve-se: QI = m a(1 + δ) (2.21) onde: δ= J m rd2 (2.22) é a inércia de translação equivalente a de rotação. Na Tabela 2.1 estão listados momentos de massa para alguns pneus de uso normal, porém, para maior precisão se recomenda a determinação experimental destes valores. A inércia equivalente, δ, representa o acréscimo da massa do veículo devido a necessidade de acelerar as inércias rotativas. Em primeira marcha pode chegar a 50%, da massa total do veículo, diminuindo para aproximadamente 5% nas marchas mais elevadas. Uma boa estimativa de δ, para o anteprojeto de um automóvel, é dada por: δ = 0, 004 + 0, 05i2cj , (2.23) δ = 0, 15 + 0, 001(ic id )2 . (2.24) e para o caso de tratores Capítulo 2 - Forças e acelerações em um veículo em operação 52 Tabela 2.1: Momentos de inércia de massa para alguns pneus. Pneu J [kg m2 ] 6.00 − 12 1, 00 6.00S − 13 1, 33 6.40 − 13 1, 64 155SR − 13 1, 76 165S − 13 1, 55 165SR − 13 1, 33 7.00 − 14 2, 23 165S − 14 1, 52 165SR − 14 1, 55 175S − 14 2, 35 175HR − 14 1, 97 185H − 14 3, 12 DR 70HR − 14 2, 30 5.60 − 15 1, 63 6.00 − 15L 1, 81 185/70 V R − 15 2, 03 2.5 Resistência ao rolamento A resistência ao rolamento é devida as perdas no par paneu pista. A mesma pode ser calculada aproximadamente pela expressão empírica que segue Qr = f G cosα, (2.25) onde: f - coeficiente de atrito de rolamento; G - peso do veículo; α - é a inclinação da pista. Na Tabela 2.2 são dadas algumas orientações para os valores do coeficiente de rolamento, onde os primeiros cinco tipos de piso são praticamente rígidos, enquanto que os outros deformáveis. Verifica-se experimentalmente que o coeficiente de resistência de rolamento varia com a velocidade, pressão de inflagem, carga radial e tipo de pneu, além do tipo do piso, temperatura e outras variáveis de menor importância. Vale salientar que os valores apresentados na Tabela 2.2 são apenas uma orientação geral do coeficiente de resistência ao rolamento para vários tipos de terrenos e que, para desenvolvimentos mais precisos, é necessário levantar estes dados experimentalmente. Para mostrar que a resistência de rolamento é variável, na Figura 2.10 é mostrado o comportamento do coeficiente de atrito de rolamento com a velocidade, para diferentes pressões que o pneu está inflado. Capítulo 2 - Forças e acelerações em um veículo em operação 53 Tabela 2.2: Coeficientes de atrito de rolamento. Tipo de piso Valor de ”f ” Asfalto liso 0, 010 Asfalto rugoso 0, 011 Cimento rugoso 0, 014 Paralelepípedo 0, 020 Pedras irregulares 0, 032 Pedra britada compacta 0, 045 Pedra britada solta 0, 080 Terra batida 0, 060 Areia solta 0, 100 a 0, 300 Grama 0.045 a 0.100 Barro 0, 100 a 0, 400 Neve profunda 0, 075 a 0, 300 Figura 2.10: Variação do coeficiente de atrito de rolamento com a pressão, para um pneu diagonal. Capítulo 2 - Forças e acelerações em um veículo em operação 54 Figura 2.11: Ressonância do pneu devido ao rolamento sobre a pista. Tabela 2.3: Coeficientes a e b em função do tipo de pneu. a b Pneus normais 0, 0150 0, 052 Pneus de alta histerese 0, 0258 0, 052 Pode-se observar que a partir de uma dada velocidade as curvas se inclinam acentuadamente, aumentando o coeficiente de atrito de rolamento "f ". Isto acontece pelo fato de formarem-se ondas na banda de rodagem, devido a ressonância. Nesta situação o coeficiente de atrito de rolamento, "f ", bem como o nível de vibrações e ruído crescem bruscamente. Se o efeito permanecer, o pneu fica em pouco tempo destruído. O modo de deformação do pneu durante a ressonância está mostrado na Figura 2.11. Para pneus de série, em condições normais de uso, uma orientação para o coeficiente de resistência de rolamento, considerando o efeito velocidade, é dada por: v 2 ) 100 As constantes a e b são dadas na Tabela 2.3, sendo v em [m/s]. f = a + b( 2.6 (2.26) Forças aerodinâmicas Um corpo movendo-se no ar, devido a distribuição de pressão sobre a sua superfície livre, fica submetido a uma força resultante. Esta força resultante pode ser decomposta nas seguintes componentes: • Força na direção axial do corpo, conhecida como força de arraste ou resistência aerodinâmica; Capítulo 2 - Forças e acelerações em um veículo em operação 55 • Força na direção vertical, denominada de força de sustentação; • Força transversal horizontal à direção do deslocamento do corpo, denominado de efeito de ventos laterais. A primeira preocupação dos construtores foi justamente com o problema da resistência aerodinâmica, já que esta afeta sensivelmente a potência consumida pelo veículo. Embora os primeiros estudos detalhados tenham sido iniciados em 1920, até o dia de hoje a maioria dos carros possuem uma forma que leva a um desperdício de potência da ordem de 30 %. Os efeitos das forças de sustentação influenciam a aderência de cada pneu e, portanto, o comportamento direcional do veículo sob a ação de forcas laterais bem como a potência que pode ser transmitida pelas rodas e a capacidade de frenagem. Por isso a sua análise também é muito importante no projeto de veículos de grande desempenho. A última componente de força devido a aerodinâmica, em função do bom desempenho que a maioria dos veículos comerciais hoje apresentam, é considerada em estudos de estabilidade direcional. Esta componente de força não será considerada nos modelos aqui desenvolvidos. 2.6.1 Resistência aerodinâmica Nos automóveis a resistência aerodinâmica provém de três fontes distintas, que são: Resistência de forma - Ocorre devido a geometria da carroceria. Um corpo, ao se deslocar no ar, como mostrado na Figura 2.12, produz um turbilhonamento na sua parte posterior. Esse turbilhonamento depende especialmente da forma do corpo e é tanto maior quanto maior a velocidade de deslocamento. Na Figura 2.12 estão representados os fluxos em torno de uma placa plana e de um fuso, sendo que na primeira coluna o fluxo é de baixíssima velocidade e na segunda o fluxo é de grande velocidade. Apenas em baixíssimas velocidades a turbulência não ocorre de forma tão significativa, como pode ser visualizado na figura. Dependendo da forma do corpo é possível evitar o descolamento da camada limite, o que impede a formação de turbulência, até valores de velocidades bastante elevados. Porém, a partir de uma determinada velocidade que depende da pressão e temperatura do meio, a ocorrência da turbulência é inevitável. Assim é correto afirmar-se que quanto maior a área transversal em que ocorre turbulência maior é a resistência aerodinâmica. Resistência de atrito - Ocorre devido a viscosidade existem perdas por atrito do ar com a superfície externa do veículo. Em geral, a resistência de atrito do ar com a superfície do veículo, é relativamente pequena, para os carros atuais. Apenas em formas bastante aerodinâmicas é que o atrito do ar passa a ser sensível. Nesses casos, como em aviões ou veículos para recordes de velocidade, o acabamento superficial é de suma importância, exigindo-se assim uma superfície polida, pois a existência de rugosidades na superfície de atrito com o ar reduz a velocidade máxima do veículo. Perdas por correntes de ar - Ocorre devido ao ar que penetra no veículo, para refrigeração do motor e ventilação. Capítulo 2 - Forças e acelerações em um veículo em operação 56 Figura 2.12: Escoamento sobre uma placa plana. O ar perde parte de sua velocidade ao entrar no veículo e, assim, ao sair deve ser acelerado, consumindo portanto potência do veículo. As perdas por efeito de circulação do ar dentro do veículo, seja no motor ou no habitáculo, contribuem com 1 a 10% da resistência total, dependendo do veículo. 2.6.2 Desprendimento da camada limite e turbulência Como foi descrito anteriormente o descolamento da camada limite está intimamente ligado com a geometria do corpo que atravessa um fluido. Para um melhor entendimento do fenômeno é necessária uma melhor descrição do mecanismo do desprendimento da camada limite, como a que segue. No corpo ilustrado na Figura 2.13, o ar para passar de A para B adquire maior velocidade, pois diminui a seção de fluxo. Com o aumento da velocidade, a pressão estática do ar diminui e assim, neste trecho, o ar flui sem qualquer problema, pois vai de uma zona de alta pressão para uma zona de baixa pressão. O problema agora é no trecho BD, no qual o fluído começa a deixar o veículo. Devido a aceleração sofrida no primeiro trecho, as moléculas da camada limite também ganham energia, devido à viscosidade do fluído. No entanto, na parte posterior do corpo há um aumento na seção de fluxo de ar e, assim, uma redução da velocidade. Esta redução de velocidade produz uma desaceleração da camada limite, ou seja um aumento na pressão estática, e um gradiente de pressão adversa ao movimento das partículas. Como as moléculas da camada limite são as que possuem menor energia, elas sentem primeiro o efeito deste gradiente de pressão adversa e em um dado ponto do contorno do corpo, a pressão alcança um valor que força o fluxo a voltar em direção a zona de baixa pressão. A quantidade de ar que retorna aumenta, até a separação da camada limite e, na zona em que o fluxo é reverso, formam-se turbilhões que agitam todo escoamento. A zona de turbulência formada na parte traseira do corpo pelo deslocamento da camada limite, é denominada de esteira. Quanto mais rapidamente reduzir-se a seção do corpo maior o gradiente de pressão ad- 57 Capítulo 2 - Forças e acelerações em um veículo em operação Figura 2.13: Escoamento do ar em torno de um corpo. Figura 2.14: Formação da esteira em um corpo com variação brusca de seção. versa, o que facilita a separação da camada limite. Cantos vivos produzem uma variação brusca de seção e, desta forma, originam sempre uma separação da camada limite, com forte turbulência na esteira. Por outro lado, o escoamento em torno de um corpo cuja seção diminui progressivamente tem um gradiente de pressões bastante suave, de modo que o fluxo permanece em contato com a superfície até quase o seu final. Devido ao pequeno gradiente de pressões, a camada limite se descola quase que somente no final do corpo e a energia que recebe das camadas de ar mais externas, é suficiente para evitar grandes turbulências. Com isso, pode-se afirmar que a resistência do ar é pequena para formas com variação suave de geometria. Porém se a velocidade aumentar significativamente e a forma do corpo não se alterar também ocorrerá grande turbulência. Isso é devido ao fato que a forma aerodinâmica ótima de um corpo depende da sua velocidade no meio. 2.6.3 Cálculo da resistência aerodinâmica A resistência aerodinâmica é dada, considerando os três efeitos conjuntamente, por: Qa = q Cx A (2.27) 58 Capítulo 2 - Forças e acelerações em um veículo em operação onde: q - pressão dinâmica; Cx - coeficiente de resistência aerodinâmica (em geral determinado em testes com modelos em escalas reduzidas ou em tamanho natural); A - área projetada da seção transversal do veículo. Essa expressão é uma relação empírica bastante utilizada em mecânica dos fluidos, para a determinação experimental do coeficiente de resistência de forma e de atrito de corpos das mais variadas geometrias. A pressão dinâmica que é função da velocidade relativa entre o veículo e o ar, da temperatura e da pressão atmosférica, pode ser calculada por: 1 q = ρ v2 2 (2.28) onde: ρ = 1, 22557 [kg/m3 ] (massa específica do ar a 15o C e 760 mm Hg) v = velocidade relativa do vento [m/s] Para outras condições de temperatura e pressão a massa específica do ar pode ser obtida, com boa precisão, através da expressão que segue: ρ = 0, 4647 p [kg/m3 ] T (2.29) sendo: p - a pressão atmosférica em mm de Hg T - a temperatura absoluta K. A resistência aerodinâmica, conforme visto, depende da área da seção transversal, da pressão dinâmica e do coeficiente de resistência. A seguir, cada uma destas variáveis será analisada de forma mais detalhada. 2.6.4 Área da seção transversal No estudo da resistência aerodinâmica, tem-se interesse na maior área projetada da seção transversal do veículo na direção do movimento. Uma maneira de se obter esta área é a partir dos desenhos do projeto da carroceria do veículo, quando disponíveis. Outro é o método experimental que faz uso da projeção da área sobre uma parede vertical, ou sobre uma película fotográfica, como é descrito a seguir. Também é possível a utilização de métodos de medição direta através máquinas de medição de coordenadas. Desses procedimentos o mais preciso é o de projetar a sombra do veículo sobre um anteparo. Na Figura 2.15 está mostrado o caso em que um holofote de 150 W com 250 mm de diâmetro projeta um feixe de luz através de um diafragma com 40 mm de diâmetro, resultando em uma sombra bastante nítida sobre o anteparo. Assim, traçando-se o contorno, é possível determinar a área projetada da maior seção transversal do corpo. Para permitir um perfeito alinhamento, do automóvel, são colocadas duas varetas sobre o plano longitudinal de simetria, sendo que a superposição das sombras das varetas garante o alinhamento. O feixe de luz do holofote é colocado na altura do eixo das rodas. De modo a possibilitar uma medida com boa precisão da área projetada, a distância "d", entre o automóvel e o holofote, Capítulo 2 - Forças e acelerações em um veículo em operação 59 Figura 2.15: Determinação da área da seção transversal por projeção da sombra do veículo. deve ser de cinqüenta a oitenta metros. Apesar dessa distância ser grande há uma pequena ampliação da sombra projetada e a maneira de considerar este efeito é apresentada a seguir. A partir da Figura 2.15, a dimensão projetada a ’, em relação a dimensão real, é: a a0 = c+d d (2.30) a0 d2 . a= c+d (2.31) e assim: Portanto A= A1 d2 (c + d)2 (2.32) onde: A - Área projetada do veículo A1 - Área da sombra no anteparo Atualmente o foco de luz do holofote é substituído por um feixe de raios laser, o que aumenta bastante a precisão da medição da área, pois não há penumbra apreciável para este tipo de luz. O último método utilizado, cujo tratamento das distorções pela ampliação da imagem é idêntico ao descrito anteriormente, é o do levantamento fotográfico do veículo. Como no caso anterior deve haver uma distância mínima entre o veículo e a câmara, da ordem de 50 a 80 m, para evitar distorções excessivas. É conveniente fazer a fotografia com uma câmara equipada com teleobjetiva e ampliá-la posteriormente ou então fazer slides. 60 Capítulo 2 - Forças e acelerações em um veículo em operação h1 Tubo estático de Pitot h2 B A Fluxo h1 - mede a pressão dinâmica h 2 - mede a pressão estática Figura 2.16: Medição das pressões dinânica e estática. 2.6.5 Pressão dinâmica A pressão dinâmica pode ser definida como a pressão que o ar exerce sobre uma superfície disposta transversalmente as linhas de fluxo (ver Figura 2.16). Quando a velocidade do fluxo de ar cai a zero em um ponto, devido a um obstáculo, neste faz-se sentir a pressão dinâmica na sua plenitude. A pressão dinâmica é justamente a energia cinética contida em uma unidade de volume de ar em movimento totalmente transformada em energia potencial, ou seja em pressão. A energia cinética de uma determinada quantidade de ar é dada por: 1 Ec = m v 2 2 (2.33) 1 Ec = Ep = ρ V v 2 2 (2.34) ou onde: ρ - massa específica; v - velocidade do fluido; V - volume. A pressão dinâmica é obtida pela divisão da equação (2.34) pelo volume, ou seja: 1 q = ρ v2 2 (2.35) Em um automóvel, a pressão dinâmica produz-se em diversas zonas, como se mostra na Figura 2.18. A principal é na dianteira, 1, onde as linhas de fluxo se separam e a velocidade cai a zero. Outra ocorre no parabrisas, 2, mas não com pressão dinâmica total, já que os mesmos são inclinados em relação a vertical. Outras saliências, como espelho retrovisor, 3, calhas de água, maçanetas e etc, são áreas de represamento do ar que devem ser evitadas, ou pelo menos projetadas de maneira a reduzir os seus efeitos danosos para a aerodinâmica. 61 Capítulo 2 - Forças e acelerações em um veículo em operação Linhas de fluxo Fuso Pressão dinâmica Solo Pressão estática P + + - x Figura 2.17: Distribuição de pressão em um corpo. Figura 2.18: Locais onde a pressão dinâmica é predominante. Além da pressão dinâmica existe a pressão estática, da qual vale a pena relembrar a definição. A pressão estática pode ser definida como a pressão em uma superfície paralela à linha de fluxo, ou seja, é a pressão que o ar exerce pelo deslocamento sobre uma parede (ver Figura 2.16). 2.6.6 Coeficiente de resistência aerodinâmica O coeficiente de penetração aerodinâmica Cx , serve de medida para a aerodinâmica de um corpo e é determinado experimentalmente. Em seu valor estão considerados a influência de forma, do acabamento superficial e do fluxo necessário para refrigeração do motor e ventilação do interior do carro. Quanto menor o seu valor, tanto menor a resistência do ar. O valor do coeficiente aerodinâmico é independente da área da seção transversal do corpo que se desloca no fluído, no entanto, a área deve permanecer tão pequena quanto possível, já que o seu produto com o coeficiente de resistência aerodinâmica resulta no que poderia chamar-se de área efetiva quanto à resistência aerodinâmica do corpo. 62 Capítulo 2 - Forças e acelerações em um veículo em operação A determinação de Cx pode ser feita através do estudo em túneis de vento, seja com modelo reduzido ou mesmo com automóveis em tamanho real. Outra possibilidade é um teste em pista com o veículo. Na confecção dos modelos em escala reduzida, para testes em túnel de vento, algumas recomendações básicas devem ser seguidas: -Para medidas precisas é necessário considerar o ar de refrigeração e ventilação. Em situações extremas de precisão, o ventilador do radiador pode ser acionado por um motor elétrico, já que a influência apesar de pequena varia de 3 a 10%. -As rodas do modelo, em geral, não giram. Os desvios, na medida, são pequenos no caso das rodas serem protegidas por paralamas. Para carros de corrida as rodas, que ficam girando livremente contra o fluxo de ar, ocasionam grande resistência quando comparadas com o aquelas que ficam protegidas por paralamas. No caso das rodas desprotegidas, é interessante o acionamento destas através de motores elétricos, de modo a não distorcer os resultados. -É necessário usar o maior número possível de detalhes mecanicamente semelhantes ao do carro real, como palhetas do limpador do parabrisas, maçanetas, calhas de chuva, etc. A parte inferior do chassi também apresenta importância, pois o modelo com a parte de baixo lisa, apresenta Cx inferior ao real. De modo que as medidas feitas em modelos possam ser transportadas para um caso real, é necessário haver similaridade mecânica entre os fluxos real e do túnel de vento. Esta similaridade é garantida quando o número de Reynolds para os dois fluxos for igual. Da mecânica dos fluidos, o número de Reynolds é dado por: QII e a distância do CG ao eixo traseiro é maior do que ao eixo dianteiro, aII > aI , de modo que QI /QII = aII /aI . Pela ação da força transversal, surgem as reações laterais dos pneus, com SI > SII , e os ângulos de deriva nos eixos, αI > αII ; o veículo tende a se desviar da direção primitiva percorrendo uma trajetória curvilínea. Dois efeitos se superpõem, então, ao ocasionado pela força transitória. O primeiro se deve a não proporcionalidade da reação lateral do pneu com a carga normal nele atuante - ver ítem 1.5.2. Devido a essa característica, no eixo mais carregado, a reação lateral cresce relativamente menos que o crescimento da carga normal, enquanto que, no eixo menos carregado, essa proporcionalidade é maior. Desse modo, surgirá, em relação ao centro de gravidade, um momento das reações laterais, chamado momento de reação do solo ou, mais simplificadamente, momento do solo. Sua expressão, neste caso, é Mr = SII aII − SI aI e o seu sentido é anti horário, ou seja, ele tende a aumentar o giro do veículo ocasionado pela força transitória. O segundo é ocasionado pelo surgimento de uma força centrífuga quando o veículo percorre a trajetória curvilínea e que é de sentido oposto ao da força transitória S. Com o Capítulo 8 - Estabilidade direcional. Figura 8.8: Força lateral transitória agindo no CG. 166 167 Capítulo 8 - Estabilidade direcional. desaparecimento de S, permanece a força centrífuga que age como uma força perturbadora em sentido contrário, funcionando como força restauradora. Logo, as reações laterais dos pneus mudam também de sentido tendendo a trazer o veículo para a direção primitiva; o movimento passa a ser semelhante a uma senóide amortecida, como mostra a figura 8.8 b). Analisando o comportamento mostrado nesta figura, pode-se afirmar que, um veículo com maior carga na dianteira é estável em relação a forças laterais transitórias atuantes no seu CG, pois, logo após a perturbação, surgem forças e momentos que tendem a restaurar sua trajetória original. Este caso corresponde à primeira situação mostrada na figura 8.2. Veículo com carga maior na traseira Aqui QI < QII , aI > aII , SII > SI e αII > αI ; deste modo, o veículo irá percorrer uma trajetória curvilínea no sentido contrário ao da força perturbadora, tendendo à direção desta última. Este comportamento é mostrado na figura 8.8 c). A força centrífuga que surge na trajetória curvilínea tem o mesmo sentido de S ; assim, mesmo que cesse a perturbação transitória, o veículo continuará se afastando da trajetória primitiva. O momento do solo, que neste caso vale Mr = SI aI − SII aII contribui para esse afastamento e, a menos que se atue sobre o volante, o veículo se afastará sempre mais da trajetória original. Deste modo, um veículo com CG deslocado para trás não é estável em relação a forças laterais transitórias agindo no CG, porque, mesmo com o seu desaparecimento, surgem forças e momentos que continuam a desviá-lo de sua trajetória. Este caso corresponde à segunda situação da figura 8.2. 8.4 Defições básicas Um veículo é considerado estável em relação ao solo se, ao atuar uma força perturbadora externa no seu CG, os pneus deformam-se de maneira que: αI ≥ αII . (8.10) No caso da igualdade, a força centrífuga inexiste e, no outro, se opõe à força perturbadora, tendendo a levar o veículo de volta à direção primitiva. Um veículo é considerado instável em relação ao solo se: αI < αII . (8.11) Neste caso, a força centrífuga colabora na retirada do veículo de sua direção primitiva, sendo necessárias correções bruscas no volante para manter a trajetória escolhida. Em um veículo com pneus iguais e instável em relação ao solo, caso a diferença de deriva do eixo traseiro e dianteiro não seja demasiada, pode-se diminuir esta instabilidade, Capítulo 8 - Estabilidade direcional. 168 ou mesmo eliminá-la, aumentando a pressão dos pneus traseiros, ou seja, tornando-os mais rígidos lateralmente. O mesmo efeito é obtido pela utilização de pneus com diferentes tipos de construção e tamanho na frente e atrás do veículo. Esta técnica é bastante utilizada em carros de corrida, pois a necessidade de transmitir grande potência para o solo exige uma distribuição de carga com parcela bem maior no eixo traseiro, que é o eixo motriz, a fim de se obter elevada força de atrito. No entanto, a maior carga na traseira aumenta a instabilidade e, para compensála, utilizam-se, nas rodas motoras, pneus de maiores dimensões do que os usados nas rodas dianteiras, já que pneus maiores apresentam maior rigidez lateral que os menores. Outras maneiras de alterar o comportamento do veículo, através dos mecanismos de direção e de suspensão, serão vistos nos capítulos 9 e 10. 8.5 Força lateral permanente agindo sobre o CG Pode-se considerar, este caso, como uma extrapolação do caso anterior. CG no centro do veículo Pela ação de S , surgem as reações SI e SII . Os ângulos de deriva crescem até que a força lateral e suas reações nos pneus se equilibrem. Como, neste caso, SI = SII , ter-se-á αI = αII . O veículo percorrerá, então, uma trajetória inclinada em relação à primitiva, mas com seu eixo longitudinal paralelo à posição anteriormente ocupada, como mostra a figura 8.9 a). CG deslocado para a frente Com S, tem-se SI > SII e αI > αII , e o veículo percorre uma trajetória curva. A força centrífuga se opõe à ação de S e, embora o veículo se afaste cada vez mais da direção primitiva, o faz de forma suave, figura 8.9 b). O momento do solo colabora com o giro. CG deslocado para a traseira Sob a ação de S, SII > SI e αII > αI . O veículo tende a se afastar mais rapidamente da direção primitiva, já que a força centrífuga se soma à força perturbadora e colabora no desvio. O momento do solo, aqui também, contribui para aumentar o desvio. Este caso está representado na figura 8.9 c). 8.6 Veículos sujeitos a ventos laterais Conforme visto anteriormente, a força lateral N, resultante da ação do vento, age sobre um ponto, chamado centro de pressão, que não coincide com o centro de gravidade, como mostra a figura 8.4. Esta excentricidade provoca um momento em relação a este centro, dado por: Capítulo 8 - Estabilidade direcional. Figura 8.9: Força lateral perturbadora permanente agindo no CG. 169 170 Capítulo 8 - Estabilidade direcional. Mz = N e. A esse momento poderá se somar, ou se opor, o momento do solo visto nos ítens anteriores. Suas ações conjuntas afetarão o comportamento de veículos submetidos a ventos laterais. 8.6.1 Força do vento agindo no centro de gravidade Esta situação é semelhante à de uma força permanente agindo no CG apresentada no ítem 8.5, pois Mz = 0 e N = S. Centro de gravidade no centro da distância entre eixos do veículo O veículo se desloca obliquamente à direção original, mas com o eixo longitudinal paralelo a sua posição primitiva; situação semelhante à representada pela figura 8.9 a). Este caso é possível somente provendo o veículo com asas traseiras verticais - ou estabilizadores - de grande dimensões. Centro de gravidade na dianteira do veículo A força do vento ocasiona as reações dos pneus SI > SII e, consequentemente, αI > αII . O veículo gira afastando-se da direção do vento, figura 8.10 a), fazendo com que S cresça. O momento do solo colabora com esse giro. Com a trajetória curvilínea, surge uma força centrífuga que se opõe à ação do vento. Esta situação é possível na prática, sendo que o giro pode ser corrigido com relativa facilidade através do volante, já que os momentos são pequenos. Centro de gravidade na traseira do veículo A força do vento origina SII > SI e αII > αI e faz com que o veículo percorra uma trajetória curva para a direção em que o vento atua. O momento de reação dos pneus, ou momento do solo, colabora nesse giro. A força do vento diminui, tendendo a anular-se. A força centrífuga, entretanto, continua atuando no mesmo sentido da força do vento e o veículo continua o giro, como mostra a figura 8.10 b). Esta situação é difícil de ocorrer pois exigiria a utilização de asas traseiras verticais de grandes dimensões. 8.6.2 Força do vento agindo na frente do centro de gravidade Centro de gravidade no centro do veículo Aqui Mr = 0 e Mz = N e 6= 0; o veículo, sob a ação deste momento, gira, afastando-se da direção do vento, o que ocasiona o aumento da força transversal S ≡ N com o giro. A força centrífuga se opõe à força lateral perturbadora, figura 8.11 a). Este é um caso comum; somente com pequenos momentos devido ao vento será fácil corrigir a trajetória através de atuação no volante. Capítulo 8 - Estabilidade direcional. 171 Figura 8.10: Força lateral perturbadora devido ao vento agindo no CG Centro de gravidade na dianteira do veículo Aqui, Mr 6= 0 e Mz 6= 0, agindo no mesmo sentido, figura 8.11 b). O veículo percorre uma trajetória curvilínea, afastando-se da direção do vento e fazendo com que a força perturbadora aumente. A força centrífuga se opõe a sua ação. Este caso é praticamente possível de ocorrer e o giro pode ser facilmente corrigido por atuação no volante; o momento devido ao vento é pequeno por ser pequena a distância do centro de pressão ao centro de gravidade. Centro de gravidade na traseira do veículo Nesta situação, Mr 6= 0 e Mz 6= 0, mas agem em sentido contrário. Como Mz > Mr , por ser grande a distância entre o centro de pressão e o CG, o momento resultante sobre o veículo é Mz − Mr , figura 8.11 c). Pela ação desse momento, o veículo gira afastando-se da direção do vento, o que faz com que a força perturbadora aumente. A força centrífuga age no sentido de reduzir essa força. Esta situação é fácil de ocorrer e, pelo elevado valor do momento causado pelo vento, a correção através do volante da direção é difícil de ser feita. 8.6.3 Força do vento agindo atrás do centro de gravidade Centro de gravidade no centro do veículo Para esta situação, Mr = 0 e Mz 6= 0, figura 8.12 a). Capítulo 8 - Estabilidade direcional. Figura 8.11: Força lateral perturbadora devida ao vento agindo na frente do CG. 172 Capítulo 8 - Estabilidade direcional. 173 O veículo gira para a direção do vento, o que causa a diminuição da sua força. A força centrífuga age no sentido de aumentar a força perturbadora. Este é um caso difícil de ocorrer na prática, sendo possível somente com o uso de grandes asas traseiras verticais. Centro de gravidade na traseira do veículo Nestas condições, Mr 6= 0 e Mz 6= 0, tendo o mesmo sentido, figura 8.12 d). Pela ação conjunta desses momentos, o veículo gira para a direção do vento, causando uma redução do seu efeito. A força centrífuga aumenta a força perturbadora. Este caso não ocorre praticamente. Centro de gravidade na dianteira do veículo Dependendo da distância do centro de pressão ao centro de gravidade do veículo, podem ocorrer diferentes situações: a) centro de pressão pouco atrás do CG e de modo que Mz e Mr equilibrem-se, figura 8.12 b). Com a igualdade desses momentos e sua ação em sentido contrário, o momento resultante será nulo, ou seja, o veículo não girará em torno de seu eixo vertical. Pela atuação da força do vento, entretanto, haverá um deslocamento lateral do veículo paralelamente à direção primitiva. Caso praticamente possível e ambicionado. b) centro de pressão atrás do CG, de modo que Mz seja levemente superior a Mr , figura 8.12 c). Nessas condições, o veículo, em um primeiro instante, gira na direção do vento, reduzindo sua ação até que haja igualdade entre os momentos; como eles agem em sentidos opostos, se equilibrarão. O veículo, então, se manterá na trajetória primitiva, com seu eixo longitudinal adotando uma posição um pouco inclinada em relação à posição anterior à perturbação. Este é o caso ambicionado de estabilidade total, não havendo necessidade de correção através do volante. Esta condição é possível de ser conseguida com a utilização de pequenas asas verticais, precisamente dimensionadas, na traseira do veículo. O resumo das situações em que o veículo está submetido a ventos laterais está mostrado na tabela 8.2. 8.7 Manutenção da direção primitiva através do volante A direção primitiva pode ser mantida, em qualquer dos casos anteriores, através de ação sobre o volante da direção, de maneira a criar um momento sobre o veículo para corrigir sua Capítulo 8 - Estabilidade direcional. Figura 8.12: Força lateral perturbadora devida ao vento agindo atrás do CG. 174 175 Capítulo 8 - Estabilidade direcional. Tabela 8.2: Resumo do comportamento de veículos submetidos a ventos laterais. Atuação da força do vento No CG Na frente do CG Atrás do CG No centro Só ocorre com o uso de grandes asas traseiras. Ocorrência comum; fácil de corrigir com o volante somente com Mz pequeno. Caso difícil de ocorrer; possível apenas com o uso de grandes asas traseiras verticais. Posição do CG Na traseira Caso difícil de ocorrer pois exige grandes asas traseiras verticais Fácil de ocorrer, porém difícil de corrigir com o volante por Mz ser grande. Praticamente impossível para a concepção dos veículos atuais. Na frente Possível de ocorrer; fácil correção com o volante pois os momentos são pequenos. Fácil de ocorrer; a correção com o volante é simples pois Mz é pequeno. Ideal e possível de ocorrer (Mz >Mr ). Estabilidade total. Não é necessária correção com o volante, porém exige asas traseiras verticais. trajetória. Como se conclui da análise das diferentes situações anteriores, a ação sobre o volante depende da distribuição de carga sobre os eixos e a ação necessária para corrigir a trajetória de um veículo com carga igualmente distribuida sobre seus eixos ou com maior carga no eixo dianteiro é diferente e menos crítica do que a necessária para corrigir um veículo com maior carga na traseira. 8.8 Considerações adicionais Com velocidade inferiores a oitenta quilômetros horários, não há necessidade de preocupação com problemas de estabilidade. Para velocidades maiores, entretanto, é importante que o projetista do veículo observe características construtivas que tornem o veículo mais estável direcionalmente, ou seja, que diminuam o desvio de curso quando forças perturbadoras ocorrem. Com essas medidas, o trabalho do motorista para manter o veículo na trajetória desejada será facilitado. • O centro de gravidade do veículo deve ficar no centro da distância entre eixos, ou deslocado para a frente. Essas distribuições do peso tornam o veículo estável em relação ao solo. • As rodas traseiras devem possuir pneus mais rígidos lateralmente, quaisquer que sejam suas cargas, de forma a garantir que αI > αII . (8.12) 176 Capítulo 8 - Estabilidade direcional. Figura 8.13: Geometria ideal da direção. • O ponto de atuação da força do vento deve estar tão próximo quanto possível do CG (menor Mz ). Neste particular, as carrocerias baseadas na forma de Kamm trouxeram uma melhoria quando comparadas com carrocerias cuja popa vai decrescendo gradativamente. Com aquela forma, o centro de pressão desloca-se para trás, aproximando-se do CG. É interessante salientar que para veículos esportivos esses conceitos também valem, embora nem sempre sejam seguidos por seus projetistas. 8.9 8.9.1 Estabilidade em curvas Geometria da direção e centro da curva Para realizar uma curva sem que haja escorregamento das rodas, a geometria da direção deve ser executada de maneira que, para qualquer giro da direção, os prolongamentos dos eixos das rodas diretoras cortem-se no prolongamento do eixo das rodas traseiras, como mostra a figura 8.13. As relações obtidas pela inspeção dessa figura permitem determinar o raio geométrico da curva: l . (8.13) β Ao percorrer a curva com velocidade, surgem, devido à força centrífuga, ângulos de deriva nos pneus dianteiros e traseiros. Essa deriva ocasiona uma mudança do centro da curva ρg = 177 Capítulo 8 - Estabilidade direcional. Figura 8.14: Geometria da direção, considerando a deriva de cada roda. de M para Mi . Esse novo centro é chamado de centro instantâneo do movimento e está representado na figura 8.14; para encontrá-lo, traçam-se retas perpendiculares às direções dadas pelos ângulos de deriva. O ponto de cruzamento destas retas é o centro instantâneo da curva Mi . O raio real da curva é calculado, com algumas simplificações e para pequenos ângulos de deriva, caso comum em rodovias, a partir da análise da figura 8.14. O ângulo de esterçamento médio e os ângulos médios de deriva dos eixos dianteiro e traseiro são: β= β1 + β2 2 (8.14) αI1 + αI2 2 αII1 + αII2 αII = 2 A distância entre eixos, considerando os ângulos médios, é dada por αI = R + S = ρr . αII + ρr (β − αI ) = l (8.15) (8.16) (8.17) e o raio real da curva dado por ρr = l β − (αI − αII ) . (8.18) Capítulo 8 - Estabilidade direcional. 178 Os índices 1 e 2 se referem às rodas externa e interna, respectivamente, enquanto os índices I e II aos eixos dianteiro e traseiro. A posição do centro real da curva difere do seu centro geométrico tanto mais quanto maior a diferença entre os ângulos de deriva dos eixos dianteiro e traseiro, como se pode concluir da equação 8.18. 8.9.2 Comportamento do veículo em curvas O comportamento de um veículo em curvas depende, essencialmente, da distribuição da carga em seus eixos. De acordo com esse comportamento, os veículos em curva são classificados como: • neutros • subesterçantes ou subdirecionais • sobresterçantes ou sobredirecionais. Centro de gravidade situado no centro Neste caso, pela ação da força centrífuga, os ângulos de deriva nos dois eixos serão iguais, ou seja , αI − αII = 0 na equação 8.18. Esta situação está representada na figura 8.15 a). Como as reações dos pneus são iguais, o momento do solo será nulo, ou seja, Mr = 0. Consequentemente, o raio real da curva é igual ao raio teórico ou geométrico. O ângulo de giro do volante da direção β, necessário para executar uma curva em baixa velocidade, é, aproximadamente, igual ao necessário para realizar a mesma curva com velocidade média ou alta. Na figura 8.16, a curva desejada é a de número 1 e será percorrida por este veículo. O veículo possuidor destas características é classificado como neutro ou estável em curvas. Centro de gravidade na frente Conforme foi visto, este tipo de veículo, quando submetido a uma força lateral, sofre deformações nos pneus de modo que a deriva no eixo dianteiro é maior que a deriva no eixo traseiro, ou seja, αI − αII > 0 na equação 8.18. A figura 8.15 b) ilustra este caso. Desse modo, a curva que o veículo realmente percorre tem um raio maior do que a curva real, o que significa que ele "sairá de dianteira"nesta curva. O momento do solo, devido às reações laterais dos pneus, aumenta essa tendência. Na figura 8.16, a curva realmente percorrida será a 3; para mantê-lo na trajetória desejada 1, será necessário um giro adicional ∆β no volante, no mesmo sentido de β. Um veículo com este comportamento é classificado como subesterçante ou subdirecional; ele é, também, considerado estável em curvas porque, por tender a abrir na curva, necessitará de um aumento no giro das rodas, pela atuação no volante, no mesmo sentido dado para realizá-la. Isso poderá ser feito tranquilamente, sem sobressaltos. Capítulo 8 - Estabilidade direcional. 179 Figura 8.15: Comportamento de veículos em curva, com características de neuto, subesterçante e sobresterçante. Capítulo 8 - Estabilidade direcional. 180 Figura 8.16: Trajetórias reais de curva de um veículo neutro "1", subesterçante "3"e sobresterçante "2". Centro de gravidade atrás Nestas condições, pela ação da força lateral perturbadora, o ângulo de deriva no eixo dianteiro é menor do que no traseiro, ou eja, αI − αII < 0 na equação 8.18. A figura 8.15 c) representa este caso. Como consequência, haverá uma redução do raio da curva que o veículo realmente irá percorrer, ou seja, ele tenderá a "sair de traseira"na curva real. O momento do solo, também aqui, aumenta essa tendência. Na figura 8.16, o veículo tenderá a percorrer a curva real 2; para mantê-lo em 1, será necessário um giro ∆β, no sentido contrário ao de β. Com esse comportamento, um veículo é classificado como sobresterçante ou sobredirecional e é considerado instável em curvas. Isto porque, em velocidades médias ou altas, o veículo tende a fechar a curva e o ângulo de giro do volante da direção, para vencê-la, deve ser menor do aquele necessário para executar a mesma curva em baixa velocidade. Desse modo, será necessário girar o volante no sentido contrário ao inicialmente dado para manter o veículo na curva; isto pode surpreender motoristas menos experimentados. Em veículos esportivos, o comportamento sobredirecional pode ser considerado interessante por tornar o veículo mais "dócil"em curvas, enquanto que o subdirecional, por oferecer uma certa "resistência"para realizá-la, já que exige um aumento no giro do volante, seria considerado "indócil". Como, entretanto, para a maioria dos motoristas, que não pode ser caracterizada como esportiva, um comportamento sobredirecional é mais difícil de controlar, parece mais sensato classificar como dócil aquele veículo que, ao percorrer uma curva com velocidade crescente, exige uma atuação no volante sempre no mesmo sentido. 8.10 Influência da posição do eixo de tração na estabilidade direcional de um veículo Em um veículo com tração dianteira, ocorre equilíbrio estável entre as forças de tração e a força de inércia, enquanto que nos veículos com tração traseira esta situação favorável não ocorre, como mostra a figura 8.17. Este fato justifica a tendência, cada vez maior, de Capítulo 8 - Estabilidade direcional. 181 Figura 8.17: Influência da tração na estabilidade direcional de um veículo. utilização de tração dianteira nos veículos modernos de passeio, apesar de sua desvantagem, em relação à tração traseira, quanto à capacidade de transferência da força de tração ao solo. 8.11 Disposição dos elementos mecânicos no veículo Os elementos mecânicos de um veículo podem ser dispostos de várias maneiras, dando origem a diferentes concepções construtivas que influem significativamente na sua estabilidade direcional. 8.11.1 Concepção convencional A concepção convencional pode ser definida como aquela em que a disposição do motor é dianteira e a tração é traseira , como está ilustrado na f igura 8.18. As vantagens desta concepção são: - distribuição razoável de peso; - eixo dianteiro de construção mais simples; - boa carga nas rodas diretoras; - possibilidade de usar um motor de grande comprimento; - manutenção simples devido à posição do motor; - desgaste mais uniforme dos pneus: maior frenagem na dianteira, tração na traseira; - alavanca de câmbio simples; - porta malas grande; - boa refrigeração, já que tem radiador dianteiro - o ventilador pode ser comutável; Capítulo 8 - Estabilidade direcional. 182 Figura 8.18: Disposição de elementos mecânicos na concepção convencional. - rendimento bom na marcha direta, já que não há interferência de engrenagens na transmissão de força; - silencioso simples, com comprimento longo; - boa estabilidade em retas (estável em relação ao solo); - baixa sensibilidade a ventos laterais (menor braço de ação da força do vento em relação ao CG); - boa solução para deslocamento do motor acima de dois litros. Suas desvantagens são: - túnel no piso para eixo cardam e caixa; - necessidade de eixo cardam, em geral longo e com mancais intermediários; - direção pesada, com exigência de maior relação de transmissão, ou de ser assistida, já que o motor está sobre as rodas dianteiras; - eixo traseiro pouco carregado - arranque dificultado em pista molhada e rodas traseiras com possibilidade de patinar em curvas fechadas; - eixo traseiro mais caro - suporta o diferencial; - devido à transferência de carga, perigo de bloqueio das rodas traseiras na frenagem recomendável uso de sistema antibloqueio (ABS); - tendência fortemente subesterçante - pode ser diminuída com estabilizadores; - com efeito da tração em curvas, pode alterar o comportamento, passando a ser sobresterçante; - dificuldade de aumentar a distancia entre eixos, pois as rodas motrizes ficariam pouco carregadas. 8.11.2 Tração dianteira, motor longitudinal ou transversal Esta concepção é caracterizada por ter o motor colocado à frente do eixo dianteiro e a tração também ser dianteira, como mostra a figura 8.19. É a concepção mais utilizada no momento. As vantagens dela são: - maior estabilidade direcional, pois o veículo é puxado; - baixa sensibilidade a ventos laterais (pequena distância do centro de pressão ao CG); - distribuição razoável de peso; - fluxo curto das forças de tração; Capítulo 8 - Estabilidade direcional. 183 Figura 8.19: Veículo com tração dianteira convencional. - maior carga sobre as rodas diretoras e motoras - boa capacidade de tração, que, entretanto, diminui nas arrancadas pela transferência de carga para o eixo traseiro; - acesso fácil ao motor. - possibilidade de maior distância entre eixos, logo, maior conforto; - eixo traseiro simples (pode ser rígido); - porta malas grande; - piso plano; - boa refrigeração - o radiador fica perto do motor; - alavanca de câmbio simples; - silencioso simples, com comprimento longo; - boa estabilidade em retas e curvas; - possibilidade de colocar os discos de freio dianteiros junto ao diferencial e, com isso, diminuir as massas não suspensas (ver suspensões), além de poder usá-los com maiores dimensões; - solução conveniente para cilindrada até dois litros. Suas desvantagens são: - arranque dificultado em pista molhada e em aclives; - eixos dianteiros caros, necessitando de juntas homocinéticas; - direção pesada devido à maior carga no eixo dianteiro; - raio mínimo de curva dificilmente inferior a cinco metros; - a suspensão do motor deve absorver todo o torque de arranque; - comprimento do motor limitado; - distribuição desfavorável das forças de frenagem - capacidade de frenagem bem maior do eixo dianteiro e risco de bloqueio das rodas traseiras (recomendável uso de sistema ABS); - desgaste menos uniforme dos pneus - sensivelmente maior nos pneus do eixo dianteiro; - possibilidade da tração influenciar na direção; - desbalanceamento das rodas dianteiras mais sensível. 8.11.3 Motor traseiro longitudinal ou transversal Essa classificação é para aqueles veículos onde a tração é traseira e o motor está colocado atrás do eixo traseiro, como mostra a figura 8.20. Poucos veículos, e na maioria esportivos, ainda usam esta concepção. Suas vantagens são: Capítulo 8 - Estabilidade direcional. 184 Figura 8.20: Veículo com motor traseiro. - fluxo das forças de tração curto; - direção leve; - eixo dianteiro de construção simples; - distribuição mais conveniente das forças de frenagem - devido à maior carga no eixo traseiro e à transferência de carga para o eixo dianteiro em uma freada, a capacidade de frenagem dos dois eixos é semelhante e pode ser melhor aproveitada; - boa capacidade de tração pela concentração de massa sobre o eixo motor - melhorada em arrancadas e aclives pela transferência de carga; - inexistência de túneis no piso do veículo; - solução economicamente conveniente para veículos até 1, 2 litros de deslocamento, exceção feita para veículos esportivos; As desvantagens desta concepção são: - sensibilidade maior a ventos laterais - grande distância do centro de pressão ao CG; - rodas dianteiras pouco carregadas; - tanque de gasolina difícil de dispor; - porta malas limitado; - sistema de acionamento do câmbio complicado; - desgaste não uniforme dos pneus; - a suspensão do motor suporta todo o torque de arranque; - difícil amortecimento de ruídos; - maior consumo de potência na refrigeração do motor; - o motor pode se deslocar para a frente em caso de batidas; - silencioso difícil de projetar, pois o percurso dos gases é muito curto. 8.12 Influência da disposição dos elementos mecânicos no comportamento do veículo A disposição dos elementos mecânicos no veículo afeta não apenas a distribuição de pesos nos eixos dianteiro e traseiro e, em conseqüência, a sua estabilidade, como visto nos ítens anteriores, mas também a sua dirigibilidade ou maneabilidade. Este efeito se deve a um maior ou menor momento de inércia polar do veículo, ou seja, uma maior ou menor resistência para sofrer acelerações angulares em torno do eixo vertical que passa pelo centro de gravidade e, consequentemente, para mudar a sua trajetória de deslocamento. Capítulo 8 - Estabilidade direcional. 185 Quanto mais distanciadas desse eixo vertical estão massas como a do motor, maior a inércia ao giro. Por outro lado, um veículo com esse tipo de massa concentrada próximo a esse eixo, ou seja, com baixo momento de inércia, caso sofra um momento de rotação perturbador como, por exemplo, o ocasionado por forças desbalanceadas durante uma frenagem brusca, pode rodopiar com mais facilidade - ver testes de pista a seguir. 8.12.1 Concepção convencional A posição do centro de gravidade é favorável em relação à estabilidade direcional. Um veículo com essa concepção apresenta boa estabilidade em retas, sendo considerado estável em relação ao solo. Com o CG deslocado para frente, diminui o braço de ação da força do vento, baixando sua sensibilidade a ventos laterais. Em curvas, apresenta tendência subesterçante, ou seja, estável; se essa tendência for exagerada, pode ser diminuida com estabilizadores - ver suspensões. Como a tração é traseira, pode influenciar na estabilidade em curvas, com o veículo passando o sobresterçante, ou seja, instável. Isto ocorre porque um pneu já submetido a uma força longitudinal, seja de tração ou de frenagem, apresenta um maior ângulo de deriva, sob ação de uma força lateral, do que quando a força longitudinal inexistir. Além disso, com o motor na frente e o eixo traseiro com diferencial, o momento de inércia polar é alto. Isso faz com que o veículo não apresente grande sensibilidade a forças perturbadoras que causem um giro em relação ao seu eixo vertical. Diminui, por outro lado, sua maneabilidade, pois reage mais lentamente à atuação no volante pelo condutor. 8.12.2 Concepção com tração dianteira Esta concepção apresenta centro de gravidade deslocado para frente. É estável em retas e tem pequena sensibilidade a ventos laterais, já que a distância do centro de pressão ao CG é diminuída. Em curvas, sua tendência é subesterçante, ou seja, estável. Com tração, essa tendência aumenta. Cuidados no projeto da suspensão - ver capítulo 10 - podem diminuí-la, se exagerada. A utilização de motor/caixa/diferencial na frente faz com que o momento de inércia em relação ao eixo vertical do veículo também seja elevado. Com isso, sua sensibilidade a momentos perturbadores é pequena, mas sua maneabilidade fica diminuida. O emprego de motores transversais, além de baratear o sistema de transmissão de forças, pois elimina o par de engrenagens cônicas do diferencial (essa distribuição permite obter a redução final com engrenagens cilíndricas), permite melhorar sua maneabilidade por reduzir o momento polar de inércia. 8.12.3 Concepção com motor traseiro Com a posição do centro de gravidade deslocado para trás, essa concepção tem o eixo dianteiro pouco e o traseiro muito carregado, apresentando comportamento instável em retas. Devido ao grande braço de ação da força do vento, é muito sensível a ventos laterais. Capítulo 8 - Estabilidade direcional. 186 Em curvas, apresenta tendência fortemente sobresterçante, ou seja, instável. Um projeto adequado da suspensão (ver capítulo 10) e a utilização de pressão maior nos pneus traseiros podem reduzir essa tendência. O momento de inércia polar pode ser considerado alto; entretanto, como o CG está deslocado para trás, a distância entre ele e o centro de pressão é grande e o veículo fica mais sensível a forças perturbadoras laterais, como rajadas de vento. Sua maneabilidade é baixa. Também neste caso, o uso de motores traseiros transversais pode trazer vantagens econômicas e de comportamento. 8.12.4 Outras concepções Além da análise anterior, do comportamento das três concepções mais comuns em carros de passeio, serão feitas, a seguir, algumas considerações sobre concepções encontradas em veículos esportivos. Concepção com motor central - tração traseira Essa concepção está representada na figura 8.21 a). A posição central do centro de gravidade garante uma estabilidade direcional em retas. A sensibilidade a ventos laterais é maior do que as com CG na frente e menor do que aquelas com esse centro deslocado para atrás. Em curvas, poderá apresentar um comportamento neutro, que tenderá a sobresterçante com a tração, o que é apreciado em um veículo esportivo. Como o momento de inércia em relação ao eixo vertical é pequeno, devido à concentração de massas no centro do carro, sua capacidade de absorção de momentos perturbadores, sem que ocorram giros da carrroceria, é pequena. Sua maneabilidade, por outro lado, é muito boa, reagindo prontamente à ações no volante. Nela, além disso, a capacidade de tração, devido à alta carga no eixo traseiro, é, também, muito boa. A posição central do CG, garantindo bom carregamento do eixo traseiro, e a transferência de carga para o eixo dianteiro durante a frenagem, fazem com que a distribuiçlão das forças de frenagem seja boa. Essas características justificam o uso bastante comum dessa concepção em carros esportivos. Concepção transaxle A concepção transaxle é mostrada na figura 8.21 b). É usada em alguns carros esportivos. A distribuição das massas, com motor dianteiro entre eixos e caixa e diferencial traseiros, fazem com que o centro de gravidade fique mais centralizado. Apresenta, assim, estabilidade em relação ao solo, com sensibilidade média a ventos laterais. Em curvas, tenderá a um comportamento neutro, passando a sobresterçante com a tração. Capítulo 8 - Estabilidade direcional. 187 Figura 8.21: Disposição de elementos mecânicos em carros esportivos. A distribuição das massas e sua posição em relação ao eixo vertical, fazem com que o momento polar de inércia seja médio. Sua sensibilidade a momentos perturbadores situa-se entre as apresentadas por carros de passeio e a concepçãp com motor central, vista no ítem anterior. Sua maneabilidade é boa. Com o deslocamento da caixa de câmbio e diferencial para o eixo traseiro, tem-se uma carga média sobre ele, que melhora com a aceleração pela transferência de carga, resultando em uma boa capacidade de tração. A distribuição de pesos permite utilizar melhor o eixo traseiro na frenagem, principalmente se for previsto um sistema antibloqueio das rodas. 8.13 Comportamento das concepções com carregamento total Neste ítem, é feita uma análise das concepções apresentadas anteriormente considerando o veículo com carga máxima e lotação total. Nessas condições, podem ocorrer mudanças importantes nos seus comportamentos porque a variação do carregamento modifica a posição do centro de gravidade, bem como a inércia rotacional, o que poderá implicar em alteração da estabilidade direcional do veículo, tanto em retas como em curvas, e da sua maneabilidade. 8.13.1 Concepção convencional Nesta nova situação, tem-se uma alteração bastante sensível da posição do centro de gravidade, que será deslocado para trás, e o veículo poderá mudar o seu comportamento estável em retas e em curvas. Em curvas, poderá passar de subesterçante para sobresterçante Capítulo 8 - Estabilidade direcional. 188 e, consequentemente, mais difícil de ser conduzido. Geralmente, alteram-se as pressões dos pneus, principalmente elevando a dos traseiros, a fim de manter o comportamento original do veículo. Como o momento polar continua elevado, a sensibilidade a perturbações externas, que tendam a girar o veículo em relação a seu eixo vertical, continua baixa. A maneabilidade fica reduzida. Aumenta sua capacidade de tração, pois, devido à nova posição do centro de gravidade, tem-se um acréscimo da carga normal sobre o eixo traseiro. A capacidade de frenagem pode ser melhorada pela redistribuição de carga, porém, para que essa potencialidade seja utilizada, é necessário nova regulagem nos freios, ou, o que é mais prático, usar sistema antibloqueio das rodas. 8.13.2 Concepção com tração dianteira. Aqui também, devido à posição traseira do porta malas, o comportamento fica bastante modificado, pois o centro de gravidade é deslocado para trás, afetando sua estabilidade direcional. O aumento da pressão dos pneus, com um valor mais elevado para os do eixo traseiro, pode manter as condições favoráveis existentes antes do aumento de carga. O momento polar continua elevado e a sensibilidade a perturbações externas se mantém pequena. A maneabilidade fica menor. A capacidade de tração não melhora; embora o veículo fique mais pesado, não há modificação sensível na carga do eixo motriz. A capacidade de frenagem com a nova posição do centro de gravidade poderá aumentar, pois haverá um acréscimo de carga sobre o eixo traseiro. Porém, este aumento da potencialidade de frenagem só será aproveitado com a utilização de freios com controle de bloqueio. 8.13.3 Concepção com motor traseiro Como o porta malas, nesta concepção, é dianteiro, haverá um deslocamento do CG para frente. A capacidade dele, entretanto, é limitada pelo espaço necessário para as rodas diretoras, sistema de direção e suspensão. Com isso, a estabilidade direcional desta concepção, tanto em retas como em curvas, tenderá a melhorar um pouco, embora continue instável, principalmente em curvas; este comportamento poderá se agravar com a tração. O momento polar aumentará e a sensibilidade a perturbações externas continuará baixa. A maneabilidade, que era baixa, ficará mais reduzida. Como uma parcela do novo carregamento se apoiará no eixo traseiro, sua capacidade de tração aumentará. A capacidade de frenagem praticamente não é alterada; haverá um maior aumento de carga no eixo dianteiro, já dimensionado para exercer uma maior força de frenagem, e a situação do eixo traseiro não se modificará significativamente. Capítulo 8 - Estabilidade direcional. 8.13.4 189 Concepção com motor central Como, nesta concepção, usam-se porta malas dianteiro e traseiro, quase não haverá mudança da posição do centro de gravidade, porém ocorrerá uma sensível mudança no momento de inércia, com diminuição de sua maneabilidade; o veículo fica menos dócil. A estabilidade direcional fica pouco afetada. A capacidade de tração melhorará, com o aumento da carga sobre o eixo traseiro. A capacidade de frenagem continua boa, pois ocorrem apenas pequenas variações na distribuição das forças de frenagem. 8.13.5 Concepção transaxle O carregamento do veículo fará com que seu centro de gravidade se desloque para trás, podendo ocasionar uma leve alteração no seu comportamento. Em retas, provavelmente continuará estável; em curvas poderá passar de subesterçante para levemente sobresterçante, o que não preocupa em veículos esportivos. O momento polar aumentará um pouco, tornando o veículo menos sensível a perturbações mas, por outro lado, um pouco menos dócil. A capacidade de tração melhorará com o aumento de carga no eixo traseiro, que é o motriz. A capacidade de frenagem modifica pouco, continuando a ser boa. 8.14 Comparação de diferentes concepções em testes de pista A revista Auto Motor und Sport de junho de 1972, apresenta os resultados de uma série de testes realizados com quatro veículos de diferentes concepções. O objetivo desses testes era verificar seu comportamento em várias situações que podem ocorrer nas pistas. Embora os veículos representativos de cada uma das concepções analisadas possam, até mesmo, não mais existir ou ser fabricados, a validade dos resultados persiste, já que novos modelos são projetados dentro dessas mesmas concepções. Na ocasião, os quatro veículos comerciais utilizados nos testes foram: • Representando a concepção convencional Veículo: BMW 1802 Distribuição de peso: 54, 5% - 45, 5% Potência: 90 cv (DIN) Peso: 1030 kgf (DIN) Pneus 165 SR 13 • Representando a concepção com tração dianteira Capítulo 8 - Estabilidade direcional. 190 Tabela 8.3: Resultados dos ensaios de veículos de várias concepções em pista. Pistas Tipo de teste Objetivos e Veículos analisados resultados V1 V2 V3 V4 P1 T1 1 52, 1 51, 0 50, 0 51, 3 P1 T2 2 2, 85 2, 94 4, 02 2, 90 P1 T3 3: distância 1 55, 1 54, 0 53, 1 56, 2 distância 2 105, 4 107, 5 101, 4 108, 0 P2 T4 4 96, 1 94, 5 93, 0 98, 0 P3 T5 5: velocidade 1 8, 25 9, 5 8, 7 10, 6 velocidade 2 5, 0 3, 0 6, 0 6, 6 P4 T6 6 30 90 550 900 Veículo: Audi 100 Distribuição de peso: 60% - 40% Potência: 85 cv (DIN) Peso: 1050 kgf (DIN) Pneus 165 SR 14 • Representando a concepção com motor traseiro Veículo: VW 411 E Distribuição de peso: 42, 5% - 57, 5% Potência: 80 cv (DIN) Peso: 1080 kgf (DIN) Pneus 155 SR 15 • Representando a concepção com motor central Veículo: VW Porsche 914 Distribuição de peso: 47, 5% - 52, 5% Potência: 80 cv (DIN) Peso: 900 kgf (DIN) Pneus 155 SR 15 Todos os veículos estavam equipados com pneus Michelin ZX. Procurou-se, com os testes, verificar se o comportamento dos veículos seria o esperado e até que ponto as medidas construtivas utilizadas por seus projetistas permitiram compensar as desvantagens inerentes a cada concepção. Os resultados dos ensaios em pista estão mostrados na tabela 8.3. A convenção nela usada foi a seguinte. Para as pistas: P1 - pista da Daimler Benz; Capítulo 8 - Estabilidade direcional. 191 P2 - pista de Hokenheim; P3 - pista da Porsche; P4 - pista da Pirelli. Para os tipos de teste: T1 - ensaio em pista circular (Φ = 65 m) molhada; T2 - veículo submetido a vento lateral; T3 - teste de slalon; T4 - teste de ultrapassagem; T5 - aquaplanagem em curva; T6 - aquaplanagem em reta. Para os objetivos e resultados: 1- teste em pista circular para verificar a tendência dos veículos e, também, qual a velocidade máxima, em quilômetros horários, de realização do teste em cada caso; 2 - Teste de sensibilidade a ventos laterais, sendo o resultado o desvio lateral dado em metros; 3 - Teste para verificação da maneabilidade, sendo a distância entre os obstáculos, 1 e 2, dezoito e trinta e seis metros, respectivamente (o resultado é apresentado em quilômetros por hora); 4 - Teste para verificar o comportamento com o giro brusco da direção, sendo o resultado dado em quilômetros por hora; 5 - Teste para verificar o desvio em curva molhada, para as velocidades, 1 e 2, de oitenta e noventa quilômetros horários, respectivamente (o resultado apresentado é o desvio em metros); 6 - Teste para verificar o efeito da aquaplanagem durante freadas, sendo o resultado apresentado em graus. Para os veículos: V1 - Audi 100; V2 - BMW 1802; V3 - VW 411 E; V4 - VW Porsche 914. 8.14.1 Teste em pista circular O piso era composto de dois trechos, um com cobertura asfáltica e o outro com pedras. O comportamento dos veículos, nestas condições de pista, foi: Audi - nenhum problema ocorreu; a correção na direção consistiu apenas em um giro, no volante, um pouco maior do que o necessário, devido à tendência subesterçante inerente a esta concepção. BMW - inicialmente neutro, após e próximo à velocidade crítica passa a ser sobresterçante. VW 411 e Porsche 914 - no início subesterçantes, após a velocidade crítica, fortemente sobresterçantes, exigindo giro do volante em sentido contrário ao da curva. Capítulo 8 - Estabilidade direcional. 192 Figura 8.22: Pista para teste de ultrapassagem. 8.14.2 Sensibilidade a ventos laterais O teste foi feito medindo-se o desvio dos veículos quando submetidos a um vento lateral inclinado, resultante da composição da velocidade de deslocamento do veículo, de 100 km/h, e da velocidade de um vento normal à sua trajetória, de 90 km/h, originado por ventiladores colocados na lateral da pista. Com uma menor distância do centro de pressão ao centro de gravidade, tanto o Audi quanto o BMW sofreram deslocamentos laterais menores. O maior braço de alavanca da força do vento justifica a maior sensibilidade do VW 411. O pequeno desvio do Porsche se deve a sua pequena área lateral. 8.14.3 Verificação da dirigibilidade O melhor desempenho foi do Porsche 914, por ser bastante dócil. O Audi teve um desempenho bastante bom, apesar da tendência subdirecional exigir um giro do volante um pouco maior. O VW 411 e o BMW, devido à variação de tendência, obrigavam mudanças no sentido de giro da direção, diminuindo a velocidade alcançada. 8.14.4 Teste de ultrapassagem O objetivo deste teste foi o de verificar o efeito das características inerentes a cada concepção nas ultrapassagens. A manobra deveria ser realizada em um trecho demarcado de pista, conforme o esquema da figura 8.22, com a maior velocidade possível, sem que houvesse qualquer choque com os marcos de sinalização do percurso. Neste ensaio, o Porsche foi o que obteve melhor desempenho. Seu pequeno momento de inércia, em torno de seu eixo vertical, permitiu grandes acelerações angulares, facilitando muito a realização da manobra - mostrou-se mais dócil em rápidas mudanças da trajetória. Também com bom desempenho, apresentou-se o Audi, por ser estável. Com o BMW e com o VW 411, as saídas de traseira foram difíceis de ser evitadas, impedindo atingir velocidades maiores. 8.14.5 Aquaplanagem em curvas Este ensaio foi realizado em uma pista curva molhada de vinte metros de comprimento e cinco metros de largura. A pista estava parcialmente coberta com um filme de água, com espessura de vinte milímetros na sua borda interna e tendendo a zero na linha média. Capítulo 8 - Estabilidade direcional. 193 O veículo deveria percorrê-la pela borda interna, com um giro fixo do volante da direção e uma posição também fixa do pedal do acelerador. Era marcada a distância em metros que o automóvel percorria até atingir a linha média da curva, que servia como linha de referência. No teste com velocidade de oitenta quilômetros horários, o Audi atingiu a linha de referência mais rapidamente, enquanto que, para o teste realizado com a velocidade de noventa quilômetros horários, o BMW atingiu mais rapidamente a referência. Ambos tem centro de gravidade na dianteira. O VW 411 e o VW Porsche 914 apresentaram um comportamento bom nas duas velocidades; os dois apresentam o centro de gravidade deslocado para trás. 8.14.6 Aquaplanagem em reta A pista continha um filme de água de quatro milímetros de espessura e trezentos metros de comprimento. O veículo, a uma velocidade de cento e trinta quilômetros por hora e após penetrar vinte metros no trecho molhado, tinha o freio aplicado com força total e o volante imobilizado até sua parada total. A freada ocasionou, em todos os casos, um impulso de giro, observando-se os seguintes comportamentos: Audi - permaneceu na direção, parando após cento e oitenta metros do ponto de aplicação do freio e sofrendo pequena inclinação em relação a sua trajetória - 30◦ . BMW - girou aproximadamente 90◦ e, após, pelo efeito de martelo (CG situado na frente), voltou à direção primitiva. VW 411 - devido à posição traseira do centro de gravidade, sofreu um giro de uma volta e meia em relação ao seu eixo vertical. Porsche - devido à posição central do centro de gravidade e, consequentemente, do seu pequeno momento de inércia em relação ao eixo vertical, o veículo girou duas voltas e meia. Pode-se concluir , pela observação dos testes, que os veículos com centro de gravidade deslocado para frente tem um bom comportamento para freadas de emergência em pistas retas molhadas. 8.14.7 Conclusões dos ensaios Como era de esperar, as desvantagens de cada concepção podem ser diminuídas por medidas construtivas, mas as características típicas de cada uma delas se mantêm. Considerando os resultados da totalidade dos testes, pode-se afirmar que a melhor concepção para consumidores normais é aquela com motor e tração dianteiros, seguida da convencional. Para eles, as concepções com motor traseiro ou central não são recomendadas; podem, entretanto, ser aproveitadas em veículos esportivos ou de competição, pois espera-se que este público seja iniciado em pilotagem de automóveis, enfrentando melhor situações difíceis. A forte tendência, dos grandes fabricantes mundiais de veículos de passeio, em adotar a concepção com motor e tração dianteiros corrobora estas conclusões. No mercado de carros esportivos, sobretudo naqueles de altíssimo desempenho, há a tendência de utilização da tração integral e diferenciais com escorregamento controlado por Capítulo 8 - Estabilidade direcional. 194 microprocessador. Esta tecnologia é adequada para veículos de uso esportivo, ou para aqueles que serão utilizados em situações onde as pistas têm baixa aderência (como, por exemplo, no gelo ou em pistas sem pavimentação rígida), porque a força motriz é controladamente dividida entre suas rodas, permitindo um aumento da capacidade de absoção de forças laterais e, consequentemente, a realização de curvas com velocidades maiores. Capítulo 9 Sistema de direção 9.1 Geometria da direção Na geometria de um sistema de direção ideal, os eixos das rodas diretoras se encontram no prolongamento do eixo das rodas traseiras, para qualquer curva a ser realizada, como foi visto no capítulo 8, figura 8.13. Neste capítulo, serão desenvolvidas algumas equações adicionais, com o objetivo de definir os requisitos cinemáticos que o mecanismo de esterçamento das rodas direcionais deve satisfazer. Considerando a geometria ideal mostrada na figura 9.1, o raio geométrico ρg da curva, em função do giro β 1 e β 2 das rodas externa e interna, respectivamente, será dado por: ρg = l tI − tag β 1 2 (9.1) ρg = l tI + tag β 2 2 (9.2) onde: ρg - raio geométrico da curva; l - distância entre eixos; tI - bitola do eixo dianteiro; β i - giro da roda dianteira externa e interna (i = 1, 2 respectivamente). Igualando-se as duas expressões acima, tem-se 1 1 tI = − . (9.3) l tag β 1 tag β 2 Esta equação é a lei cinemática que governa o mecanismo de esterçamento das rodas direcionais de um veículo. Ela é fortemente não linear e indica que o mecanismo de esterçamento das rodas também deve ter um comportamento não linear. Para pequenos ângulos, com as devidas linearizações, tem-se: tI 1 1 = − (9.4) l β1 β2 Esta expressão é bastante precisa quando o veículo executa curvas com raios grandes, como é o caso em rodovias. Isso é muito favorável porque, nessa situação, as velocidades 195 196 Capítulo 9 - Sistema de direção Figura 9.1: Geometria ideal da direção. de deslocamento do veículo são grandes, a estabilidade direcional é importante e não será influenciada por erro de esterçamento. Em curvas com pequenos raios, como ocorre por exemplo em cidades, um mecanismo construído segundo a equação linearizada 9.4 irá causar grandes erros de posicionamento das rodas; felizmente, porém, a estabilidade direcional será menos afetada, pois as velocidades são baixas. Mesmo a equação linearizada que governa o esterçamento é difícil de ser satisfeita com os mecanismos de quatro barras, pois ela é fortemente não linear para giros médios e grandes das rodas. A recomendação básica para o projeto do mecanismo de esterçamento é que a interseção dos prolongamentos dos eixos de todas as rodas do veículo aconteça sempre em um ponto comum. A figura 9.2 mostra a geometria ideal para alguns sistemas possíveis de direção. Do capítulo 1, onde o comportamento dos pneus sob a ação de forças transversais ao seu plano médio foi descrito, sabe-se que um veículo se deslocando em uma curva, devido à ação da força centrífuga, sofre deriva nas rodas dianteiras e traseiras. Os ângulos de deriva das rodas traseiras e dianteiras afetam a posição do centro da curva como está representado na figura 9.3. Desse modo, mesmo que se adote a solução correta para a execução da curva, não se terá certeza de que o comportamento do veículo será o ideal, já que, como foi mostrado no capítulo 8, a deriva dos eixos afeta sensivelmente o raio da curva. 9.1.1 Esterçamento e raio de retorno Conforme salientado no ítem anterior, com velocidade baixa, a curva percorrida por um veículo somente será exata se as perpendiculares às quatro rodas se cortarem no centro da Capítulo 9 - Sistema de direção Figura 9.2: Geometria ideal para vários sistemas de direção. 197 198 Capítulo 9 - Sistema de direção Figura 9.3: Variação da posição do centro da curva para um veículo com deriva. curva M. Com rodas traseiras não direcionais, portanto, as perpendiculares às duas rodas dianteiras devem cortar o prolongamento da linha média do eixo traseiro em M; com isso, as rodas dianteiras externa e interna deverão apresentar diferentes ângulos de esterçamento β 1i e β 2 . Considerando as expressões vistas no ítem anterior e partindo do ângulo maior β 2 , pode ser calculado o ângulo ideal β 1i da roda externa pela expressão j (9.5) l onde j é a distância, medida no solo, entre os prolongamentos dos pinos mestres, ou seja, cot β 1i = cot β 2 + j = tI − 2b (9.6) e b o raio de rolamento, figura 9.4. A diferença entre β 2 e β 1i deve ser sempre positiva ∆β i = β 2 − β 1i > 0 . (9.7) Com o ângulo β 1i , pode-se calcular o raio teórico de giro ρI , ou seja, o raio do círculo que a roda externa percorre em um plano para o máximo giro da direção. Esse raio, em um veículo, deve ser o menor possível para facilitar retornos e estacionamentos. A expressão, obtida com auxílio da fig. 8.4, ρI = l +b senβ 1i (9.8) Capítulo 9 - Sistema de direção 199 Figura 9.4: Ângulos de esterçamento de um sistema de direção e grandezas características do eixo dianteiro. 200 Capítulo 9 - Sistema de direção mostra que essa exigência é alcançada com pequenas distâncias entre eixos e grandes ângulos de exterçamento da roda externa. Um grande valor de β 1i subentende um grande valor de β 2 que, entretanto, é limitado pelos espaços disponíveis - as rodas, quando completamente esterçadas e com o seu deslocamento máximo no molejamento, não podem tocar nos elementos construtivos do eixo dianteiro nem no paralama; com tração dianteira, além disso, deve-se observar o máximo ângulo admitido pelas juntas do eixo de tração. Enquanto o ângulo interno β 2 é limitado, o externo não necessita sê-lo, podendo, inclusive, ter o mesmo valor (β 1 = β 2 ). A desvantagem seria um maior desgaste dos pneus na curva, mas com a vantagem de obter um menor raio de giro. Este é o motivo da maioria dos automóveis apresentar um ângulo externo real β 1r diferente do valor ideal β 1i obtido no cálculo. O erro desejado é dado por β e = β 1r − β 1i . (9.9) Para determinar o raio de giro ρI em uma direção com erro desejado, é necessário calcular β e e β 1im´ax , ou seja, o ângulo ideal externo dado pela primeira equação apresentada neste ítem. Medidas feitas mostram que o raio de giro diminui cerca de 0,05 m para cada 1o de erro desejado, de modo que seu valor pode ser calculado por ρI = l ◦ + b − 0, 05β e [m]. senβ 1i (9.10) Exemplo: Calcular o raio de giro para um veículo com os seguintes dados: l = 2, 527 m; b = 0, 015 m; tI = 1, 321 m; β 2 = 38o ; β 1 = 36◦ 200 . j = 1, 321 − 2(0, 015) = 1, 291 m cot β 1i = cot 38◦ + 1, 291 = 1, 7849 2, 527 β 1i = 29◦ 100 β e = 36◦ 200 − 29◦ 100 = 7◦ 100 = 7, 17◦ ρI = 2, 527 + 0, 015 − (0, 05)7, 17 = 4, 836 m sen29◦ 100 e o diâmetro de giro DI = 2.ρI = (2)4, 836 = 9, 67 m. Para o motorista, mais importante que o raio de giro é o círculo que ele pode fazer entre duas guias da calçada, ou seja, 201 Capítulo 9 - Sistema de direção Figura 9.5: Camber positivo. DB = 2ρI + B [m] (9.11) com B sendo a largura do pneu. Mais importante, ainda, é o círculo de retorno DR que, segundo a DIN 70020, é definido como o círculo percorrido pelo canto mais externo do veículo durante o máximo ângulo de giro. Ele é medido em testes. 9.2 Ângulos da direção Visando menores forças de acionamento das rodas direcionais bem como estabilidade da direção, há necessidade de adoção de uma geometria um pouco complexa que compreende os denominados ângulos da direção: camber, inclinação do pino mestre, convergência e caster. Algumas destas grandezas podem ser alteradas com o curso da suspensão. Estas alterações são causadas pela forma com que os braços da suspensão são fixados na carroceria e da sua disposição espacial, bem como, pela fixação do braço da direção na roda. Sabendo disso, pode-se, ao projetar uma suspensão, atenuar ou acentuar algumas características referentes à estabilidade direcional de um veículo em curva sem que haja necessidade de mudar a sua distribuição de massas. 9.3 Camber Camber é a inclinação do plano da roda em relação a uma vertical que passa pelo centro da superfície de contato pneu/pista, figura 9.5. 202 Capítulo 9 - Sistema de direção Figura 9.6: Camber de uma suspensão.Vista de frente Quando a parte superior da roda é deslocada para fora, como mostra essa figura, o camber é considerado positivo. Para dentro é negativo. Uma cambagem positiva das rodas dianteiras é favorável devido à leve convexidade das pistas; com essa cambagem os pneus rodam mais perpendicularmente à pista, diminuindo seu desgaste, figura 9.6. Por outro lado, para que não haja redução da capacidade de absorção de forças laterais em curvas, o camber deve ter o menor valor possível. Em condição normal de utilização do veículo, ou seja, carregado com duas pessoas, um valor comum para o camber é γ = +300 . Analisando os valores usados para o camber nas três concepções mais comuns - standart (motor dianteiro, tração traseira), motor e tração traseiros e motor e tração dianteiros observam-se valores variando entre 0o e 2o . A maior freqüência em todos os casos, entretanto, é de valores entre 0o e 1o . Em veículos esportivos, é possível encontrar camber negativo nas rodas dianteiras para melhorar o comportamento em curvas; é possível absorver esforços laterais maiores e, consequentemente, fazer curvas com maior velocidade. Normalmente, são admitidas tolerâncias em relação ao valor absoluto do camber, ou seja, tanto variação em relação ao valor escolhido quanto à diferença entre os valores das rodas esquerda e direita. Como variação do valor do camber, é comum ±300 , a fim de tornar a construção do eixo dianteiro mais econômica. Para evitar que o veículo puxe para um lado quando em linha reta, a diferença entre os valores do camber das duas rodas não deve ser superior a 200 . Em resumo, as tolerâncias do camber no eixo dianteiro são: Valor do camber: +300 ± 300 Máxima diferença entre esquerda e direita: 200 . A cambagem no eixo traseiro é função do seu tipo. Nos eixos rígidos é comum o uso de 0 com tolerância de ±150 , a fim de que o desgaste dos pneus seja uniforme. Com suspensão o 203 Capítulo 9 - Sistema de direção Figura 9.7: Variação do camber em curvas. Figura 9.8: Variação da cambagem da roda, função do curso da suspensão. independente, é usual a cambagem negativa para melhorar a absorção de forças laterais. O valor do camber, com o veículo carregado com duas pessoas, não deve ser superior a −1o , com as mesmas tolerâncias vistas para o eixo dianteiro. Uma desvantagem da suspensão independente é que, em curvas, as rodas inclinam juntamente com a carroceria, ou seja, a roda externa tende a ficar com um camber positivo acentuado, figura 9.8. Como essa roda é a mais carregada, uma diminuição de sua capacidade de absorção de forças laterais não é favorável. Esse problema pode ser minimizado no projeto da suspensão, de tal forma que quando a roda suba em relação à carroceria a cambagem vá se tornando negativa progressivamente. Este comportamento do camber em relação ao curso da roda está mostrado na figura 9.8, para um determinado tipo de suspensão. A modificação do camber devida ao giro da carroceria e ao deslocamento da suspensão é dada por: γT = Ψ + γi (9.12) 204 Capítulo 9 - Sistema de direção Figura 9.9: Posição do pino mestre em veículos antigos. onde: γ T - variação total da cambagem; Ψ - giro da carroceria; γ i - cambagem induzida pelo deslocamento da suspensão. Exemplo: Um veículo tem a suspensão, de um de seus eixos, com o comportamento representado na figura 9.8. Para um ângulo de 5o de giro da carroceria do veículo, calcular a cambagem das rodas externa e interna; no giro, as rodas da suspensão deslocam-se 50 mm. A variação total do camber na roda externa será: γ T = 5o − 2o = 3o e na roda interna, γ T = −5o + 1, 5o = −3, 5o Nota-se, com estes resultados, que a tendência das rodas externa e interna de adquirirem cambagens positiva e negativa excessivas é reduzida de forma sensível com este tipo de suspensão, o que garante maior capacidade de absorção de cargas laterais deste eixo. 9.4 Inclinação do pino mestre Nos primórdios da indústria automobilística as rodas diretrizes eram normais ao solo e giravam em torno de um eixo vertical, chamado pino mestre, como mostrado na figura 9.9. Com isto o braço de alavanca b, denominado raio de rolamento, existente entre o contato do pneu com o solo e a direção do pino era bastante grande, o que acarretava momentos Capítulo 9 - Sistema de direção 205 Figura 9.10: a) Cambagem de uma roda de forma a reduzir o momento em torno do pino mestre. b) Inclinação do pino mestre com o mesmo objetivo. também grandes para manter a roda em uma mesma posição. Isto tornava bastante desagradável a operação de dirigir um veículo com as rodas sofrendo impactos. Para contornar o problema, deu-se à roda um câmber positivo γ, visando diminuir o braço de alavanca, como mostra a figura 9.10 a). A diminuição desse braço, obtida desta maneira, implicava em um câmber positivo excessivo. Uma solução complementar foi inclinar o pino mestre no plano vertical que contém o eixo das rodas; este ângulo δ, chamado de inclinação do pino mestre, está mostrado na figura 9.10 b). A inclinação do pino mestre, além de tornar o braço de alavanca menor, diminuindo o esforço sobre o volante, induz um efeito colateral, talvez mais importante, que é o retorno da direção. Sendo o eixo de rotação inclinado em relação ao plano médio da roda, pode-se imaginar que a trajetória deste plano se faz sobre um cone, conforme está mostrado na figura 9.11. Assim, o ponto de apoio da roda com o solo descreve uma circunferência em torno do pino mestre e o plano em que esta circunferência é descrita é secante ao solo. Quando a roda tem a sua posição alterada, o ponto de contato com o solo deveria penetrar no solo, como isto não acontece, o veículo sobe. Deste modo, a condição de mínima energia potencial do veículo ocorre com a direção alinhada. Assim, a inclinação do pino mestre funciona de modo a restituir a direção, alinhando as rodas em relação ao eixo médio do veículo. Valores usuais de inclinação do pino mestre variam entre 4o e 9o , sendo mais comum algo em torno de 5o . 9.5 Convergência das rodas Convergência, segundo a DIN 70020, é a diferença, em mm, C = B − A, figura 9.12, medida entre os aros, na altura dos centros das rodas quando em posição de linha reta. O menor desgaste dos pneus ocorre quando a roda se desloca perfeitamente em linha reta. No rolamento, entretanto, surge uma força longitudinal na superfície de contato pneu/pista que, com o raio de rolamento, origina um momento que será absorvido pelos braços da 206 Capítulo 9 - Sistema de direção Figura 9.11: Inclinação do pino mestre e trajetórias de pontos da roda. Figura 9.12: Convergência das rodas. 207 Capítulo 9 - Sistema de direção Figura 9.13: Roda direcional não motriz. direção. A elasticidade dos elementos da direção, principalmente dos seus apoios, permite que esse momento modifique a posição das rodas, fazendo com que se desloquem inclinadas em relação à direção do movimento. Para que permaneçam em linha reta, é necessário que, quando paradas, apresentem uma posição inclinada em sentido contrário. 9.5.1 Eixo não motriz Quando um veículo se desloca em marcha normal, a única força que atua neste eixo é a resistência ao rolamento, como mostra a figura 9.13. Com o raio de rolamento positivo, ver ítem 9.4, o momento atuante causará uma divergência das rodas com o veículo em marcha. Para compensar estas deformações e permitir que o veículo se desloque com as rodas paralelas à direção do movimento, é necessário uma convergência das rodas quando o veículo está parado. Os valores da convergência ficam em torno de 2 a 3 mm. A convergência pode ser ajustada pela alteração dos comprimentos das barras de direção, nos eixos direcionais. Nos eixos não direcionais, ela pode ser alterada pela variação do comprimento dos tensores que garantem a posição da roda. Costuma-se admitir uma tolerância de ±1 mm no valor adotado para a convergência. Com o raio de rolamento negativo, o momento resultante atua em sentido oposto ao comentado anteriormente e as rodas deste eixo deverão ser divergentes com o veículo parado para, quando em movimento, ficarem paralelas à direção de deslocamento. 9.5.2 Eixo motriz Nos eixos de tração, além da resistência de rolamento atua a força motriz, que é predominante. Nesse caso, ainda considerando o raio de rolamento positivo, as rodas com o veículo parado devem ser divergentes, para que, em movimento, fiquem paralelas à direção de deslocamento. Com o raio de rolamento negativo, as rodas devem ser convergentes. 9.5.3 Raio de rolamento O raio de rolamento é definido como a distância entre o plano médio do pneu e o pino mestre. Esta distância é muito importante na determinação dos esforços que ocorrem nos 208 Capítulo 9 - Sistema de direção Figura 9.14: Raio de rolamento. braços da suspensão e da direção. O raio de rolamento pode ser positivo ou negativo, conforme mostra a figura 9.14. 9.5.4 Correção do comportamento em curvas com a variação da convergência A variação da convergência com o curso vertical da roda é de suma importância quando o veículo faz curvas. Para ilustrar, considere-se a curva de variação da convergência, em função do curso da roda, mostrada na figura 9.15. O comportamento subesterçante de um veículo pode ser minimizado, ou mesmo eliminado, ao adotar-se uma suspensão no eixo dianteiro com o tipo de comportamento indicado nessa figura. Da mesma forma, um veículo com comportamento sobresterçante pode ter esta característica minimizada, ou mesmo eliminada, ao adotar-se uma suspensão traseira com o comportamento indicado na figura 9.16. Quando o eixo é rígido, devido à ligação direta de ambas as rodas, não é possível obter esses efeitos com o molejamento da suspensão. Um efeito adicional da convergência é a eliminação da tendência a oscilar das rodas dianteiras. Essa tendência é motivada pelas folgas existentes no sistema de direção. Como, com a convergência, os elementos que compõem esse sistema são mantidos tensionados, as folgas desaparecem e a oscilação também. 9.6 Caster O caster é, segundo a DIN70020, a distância "n"entre o ponto de contato pneu/pista e o ponto em que o prolongamento do pino mestre encontra o solo, medida na projeção em um plano médio vertical do veículo. Capítulo 9 - Sistema de direção 209 Figura 9.15: Correção do comportamento subesterçante em curvas com a variação da convergência Figura 9.16: Correção do comportamento sobresterçante com o uso de suspensões adequadas. Capítulo 9 - Sistema de direção 210 Figura 9.17: Obtenção do caster em veículos com tração traseira, casos 1 e 2, e com tração dianteira, casos 3 e 4. O caster pode ser obtido, em veículos com tração traseira, através da inclinação do pino mestre de um ângulo ε (caso 1) ou através do deslocamento desse pino para a frente do eixo (caso 2), figura 9.17. Em veículos com tração dianteira, devido ao sentido da força de tração, é possível usar um valor negativo para o caster (-n), obtido através de uma inclinação contrária à do caso 1 para o pino mestre (caso 3) ou através de um deslocamento desse pino para trás do eixo (caso 4), figura 9.17. Com tração traseira, o caster, obtido como mostra a figura 9.17, faz com que o ponto de rotação da roda fique na frente do centro de contato pneu/pista; a resistência ao rolamento, então, tende a alinhar a roda na direção do deslocamento do veículo. Com tração dianteira e caster como mostra a figura 9.17, a força de tração tenderá a garantir esse alinhamento. Uma análise da frequência de utilização do ângulo caster para as três concepções de veículo - standart (motor dianteiro com tração traseira), motor e tração traseiros e motor e tração dianteiros, mostra valores variando nas seguintes faixas: - Concepção standart: ε = 0o a 4o ; - Motor e tração traseiros: ε = 8o a 12o ; - Motor e tração dianteiros: ε = −1o a +3o ; - Tolerância: ±300 . Capítulo 10 Suspensões planas 10.1 Introdução Para estudo do comportamento de um veículo em curvas, é de importância o ângulo de rolamento da carroceria, que está sobre molas, e as correspondentes modificações da carga e da posição das rodas, já que a carga e o camber influem nas reações laterais dos pneus, reações essas que mantêm o veículo na pista. Pela ação da força centrífuga, atua sobre um veículo um momento que tende a incliná-lo lateralmente e que dependerá da altura do centro de gravidade. Se as rodas estiverem fixadas rigidamente na carroceria, esse momento será por elas absorvido em função, simplesmente, da bitola e da distribuição de carga nos eixos; ocorre um aumento de carga nas rodas externas e uma diminuição nas internas. A importância da suspensão e do molejamento reside em que a parcela do momento absorvida em cada eixo, ou seja, a diferença de carga nas rodas de um mesmo eixo, pode ser modificada independentemente da distribuição de carga propiciada pela posição do centro de gravidade. Utilizam-se, para isso, eixos dianteiro e traseiro com diferentes tipos de suspensão e rigidez de molas; essa rigidez pode ser modificada pela escolha das molas propriamente ditas e pelo uso de estabilizadores. A parcela do momento absorvida por um eixo causará uma diferença na carga normal de suas rodas e, consequentemente, uma variação do valor de seu ângulo de deriva, o que influirá na estabilidade do veículo (ver Capítulo 8). Como mostra a figura 10.1, uma maior transferência de carga entre as rodas externa e interna diminui a capacidade de absorção de forças laterais, ou seja, para uma mesma força lateral perturbadora o eixo com maior transferência de carga apresentará um ângulo de deriva maior. Esta afirmação é melhor entendida através do seguinte exemplo. Exemplo: Considere-se um dos eixos de um veículo dotado de pneus 5, 60/15, com aros 4J × 15 e pressão de 1, 4 kgf/cm2 (aproximadamente 20 lb/in2 ). Considere-se, ainda, que a carga em ambas as rodas seja de 3000 N e que a força centrífuga, cause diferença de carga nas rodas externa e interna de 1000 N (caso 1) e 2000 N (caso 2). Para a análise considere a curva S = f (Q) para o pneu, com um ângulo de deriva de 8o , dada na figura 10.1. Os resultados dessas duas análises estão apresentados na tabela 10.1. 211 212 Capítulo 10 - Suspensões planas Figura 10.1: Carga lateral absorvida, em função da carga normal sobre a roda, para um ângulo de deriva de 8o . Tabela 10.1: Solução do exemplo. Carga radial Roda externa Qe Roda interna Qi Total Qe + Qi Carga lateral Roda externa Se Roda interna Si Reação total Se + Si Caso 1 (∆G = 1000 N) 4000 N 2000 N 6000 N 2440 N 1590 N 4030 N Caso 2 (∆G = 2000 N) 5000 N 1000 N 6000 N 2500 N 850 N 3350 N Pelos valores das forças laterais totais possíveis de absorver em cada caso, conclui-se que quando o eixo sofre uma maior variação da carga normal em suas rodas pode absorver uma menor força lateral para uma mesma deformação (deriva), ou, em outras palavras, para uma mesma força lateral, o eixo submetido a uma maior variação de carga nas rodas sofrerá um maior ângulo de deriva (maior deformação). A transferência de carga nas rodas de um eixo depende dos seguintes fatores: 1. da rigidez das molas do eixo, 2. do tipo de suspensão utilizado, 3. do uso ou não do estabilizador, bem como do tipo, 4. das massas não suspensas. O método que será apresentado, para cálculo da transferência de carga e do ângulo de rolamento, é válido para os sistemas conhecidos de molas e suspensões e possibilita a comparação entre diferentes construções bem como a avaliação do comportamento de um novo veículo em curvas. Considera, de maneira a simplificar a análise, molas com características Capítulo 10 - Suspensões planas 213 Figura 10.2: Posição do centro de gravidade das massas suspensas. lineares. Em um veículo com molas com essa característica, o ângulo de rolamento Ψ é relativamente fácil de determinar em função do coeficiente de aderência lateral μs . Mais difícil é calculá-lo quando as molas de um ou dos dois eixos são progressivas. As molas flexíveis hoje usadas exigem batentes de borracha, na compressão e na tração, como limitadores de curso; esses batentes ocasionam um aumento da rigidez da mola no final do seu curso de compressão ou de distenção. A característica de mola de um conjunto mola mais batente deixa de ser linear, passando a ser progressiva. Um procedimento de cálculo com o uso desses conjuntos exigiria dispor das características de mola correspondentes; não se dispondo dessas curvas, deve-se considerar características lineares para as molas e usar, nos cálculos, o método mais simples apresentado a seguir. 10.2 Centro de gravidade das massas suspensas A determinação da posição do centro de gravidade das massas suspensas pelas molas, onde atua a força W , figura 10.2, é importante para verificação da inclinação lateral do veículo, pois são essas massas que causam o momento que tende a girá-lo em relação ao seu eixo longitudinal. Chamando: G - peso total do veículo; W - peso das massas suspensas; WI - parcela do peso das massas suspensas sobre o eixo dianteiro; WII - parcela do peso das massas suspensas sobre o eixo traseiro; WnI - peso das massas não suspensas do eixo dianteiro; WnII - peso das massas não suspensas do eixo traseiro; aI ; aII - distância do CG do veículo aos eixos; bI ; bII - distância do CG das massas suspensas aos eixos; h - altura do CG do veículo; hm - altura do CG das massas suspensas; l - distância entre eixos; rd - raio dinâmico do pneu; 214 Capítulo 10 - Suspensões planas RoI ; RoII - reação das rodas sobre o solo, com o veículo parado, tem-se, a partir do equilíbrio de forças na direção vertical: W = WI + WII , (10.1) G = W + WnI + WnII . (10.2) O peso dos eixos, ou massas não suspensas WnI e WnII , deve ser obtido por pesagem ou por avaliação; então, W = G − WnI − WnII . (10.3) Do equilíbrio de momentos, na figura 10.2, obtem-se: [RoII − WnII ] l (10.4) W [RoI − WnI ] bII = l. (10.5) W Considerando, por facilidade, que os centros de gravidade das massas não suspensas WnI e WnII estejam localizados aproximadamente no centro das rodas, ou seja, na distância do raio dinâmico dos pneus ao solo, tem-se, pela figura 10.3, bI = hm = [G h − (WnI + WnII ) rd ] . W (10.6) Em geral h < hm , ou seja, o CG das massas suspensas fica situado acima do CG do veículo de vinte a quarenta milímetros. 10.3 Centro e eixo de rolamento Para o estudo da transferência de carga em um eixo, é necessário o conhecimento do comportamento geométrico da suspensão. O ponto de partida para este estudo é a determinação do centro instantâneo de rolamento da suspensão; ele é o único ponto de um plano vertical que passa pelo centro do eixo que, num determinado momento, permanece sem movimento. É, portanto, o ponto situado no meio do carro (visto de frente) e no meio do eixo (visto de lado) em torno do qual a carroceria começa a girar quando submetida a uma força lateral. Nele atua a parcela correspondente dessa força. Para determinar o centro de rolamento, em uma suspensão do tipo independente (para outros tipos de suspensões reporte-se à figura 10.5) e plana, deve-se inicialmente obter o centro instantâneo do movimento de uma roda, denominado de pólo, em relação à carroceria. Na suspensão ilustrada na figura 10.4, do tipo braços transversais, as rótulas junto à roda movem-se perpendicularmente aos braços e, assim, o pólo P , para este tipo de suspensão, encontra-se na interseção do prolongamento dos braços AB e CD. Capítulo 10 - Suspensões planas 215 Figura 10.3: Posicionamento do veículo para a determinação da posição do centro de gravidade das massas suspensas. Figura 10.4: Pólo e centro de rolamento de uma suspensão independente. Capítulo 10 - Suspensões planas 216 Figura 10.5: Características geométricas de vários tipos de suspensões. O ponto de contato do plano médio da roda com o solo, N, move-se perpendicularmente à linha P N, sobre a qual deverá situar-se, também, o centro de rolamento M da carroceria quando, ao contrário, a roda permanece na pista e a carroceria gira. O mesmo vale para a outra roda do eixo; desse modo, e por simetria, M deve situar-se no plano médio do veículo. O centro de rolamento é um ponto inerente ao tipo de suspensão. Em geral, as suspensões dos veículos são diferentes na dianteira e na traseira, com centros de rolamento em diferentes alturas. A reta que passa por esses centros, mostrado na figura 10.6, é definida como eixo de rolamento em torno do qual girará a carroceria. Um dado importante para análise do comportamento do veículo sob a ação de cargas laterais é a distância do eixo de rolamento ao centro de gravidade das massas suspensas. Essa grandeza, mostrada no modelo da figura 10.6, é dada por: 217 Capítulo 10 - Suspensões planas Figura 10.6: Distância do centro de gravidade das massas suspensas ao eixo de rolamento. ho = hm − hr (10.7) ou (n bI + m bII ) . (10.8) l O eixo de rolamento deve ser aproximadamente paralelo ao solo para que, em uma curva, não haja grande diferença na transferência de carga entre os eixos dianteiro e traseiro; com isso,o comportamento do veículo será mais neutro. Uma posição alta do eixo de rolamento implica em um pequeno ângulo de giro da carroceria, com conseqüente aumento do conforto; no entanto, em suspensões independentes, a posição do centro de rolamento não deve ser alta, para evitar grandes variações de bitola durante o molejamento, o que poderia afetar a dirigibilidade do veículo (para um curso de mola de 80 mm, ou seja, ± 40 mm a partir do ponto neutro, a variação de bitola no eixo dianteiro não deve ser superior a 25 mm (12, 5 mm por roda); no eixo traseiro a variação de bitola pode chegar a 35 mm). Desse modo, no projeto de uma suspensão, o primeiro passo é determinar a altura do centro de rolamento da suspensão dianteira (que, pelas limitações de variação de bitola, dificilmente poderá ser superior a 150 mm) e, então, escolher uma suspensão traseira cuja posição do centro de rolamento permita evitar um grande valor de ho . ho = hm − 10.4 Comportamento do veículo em curva com molas lineares Em uma curva, a ação da força centrífuga das massas suspensas em relação ao eixo de rolamento ocasiona um momento que irá provocar inclinação lateral da carroceria, fazendo-a girar de um ângulo denominado ângulo de rolamento. Esse momento, dado por M = Fc [hm − hr ] = Fc ho (10.9) irá contribuir, também, para a transferência de carga das rodas internas para as externas. 218 Capítulo 10 - Suspensões planas Figura 10.7: Ação da força centrífuga das massas suspensas em relação ao eixo de rolamento e sua tranferência para os eixos dianteiro e traseiro. Ele será absorvido pelas suspensões dianteira e traseira, com as parcelas correspondentes variando em função da rigidez das molas utilizadas em cada uma, mas satisfazendo, sempre, a seguinte relação: M = MI + MII . (10.10) Os momentos MI e MII irão produzir a primeira das quatro parcelas da transferência total de carga entre a roda interna e a externa de um mesmo eixo. Além disso, a força centrífuga aplicada, agora, no eixo de rolamento, pode ser decomposta parte para o eixo dianteiro parte para o traseiro, figura 10.7, agindo nos centros de rolamento. Fc = FcI + FcII . (10.11) O produto de cada componente pela respectiva altura do centro de rolamento ao solo fornece um momento que, embora não cause inclinação da carroceria, colabora na transferência de carga entre as rodas do eixo, originando a segunda parcela dessa transferência. A terceira parcela é causada pelo estabilizador instalado no eixo, não representado na figura 10.7. Dependendo do tipo empregado, ele aumentará a transferência de carga entre as rodas de uma suspensão e reduzirá a inclinação da carroceria (tipo U) ou aumentará a inclinação da carroceria e reduzirá a transferência de carga entre as rodas do eixo (tipo Z). Sua utilização tem importância muito grande no comportamento em curvas e é uma solução 219 Capítulo 10 - Suspensões planas muito empregada pelos fabricantes de automóveis para atenuar tendências indesejáveis dos veículos em curvas. A quarta e última parcela da transferência de carga é devida à ação da força centrífuga sobre as massas não suspensas dos eixos, também não representadas na figura. Essa força e sua reação na pista originam um binário que ocasiona diferença de carga nas rodas do eixo. A intenção de reduzir esta quarta parcela tem acelerado o uso de novos materiais na construção dos elementos que compõem as massas não suspensas, como ligas de alumínio, ligas de titânio e compostos laminados. Com a redução das massas desses elementos, além disso, são reduzidas suas inércias, aumentando a capacidade das rodas de seguirem as irregularidades do terreno sem perda de contato com a pista, o que aumenta a estabilidade do veículo. 10.5 Transferência de carga das rodas internas para as externas Conforme destacado anteriormente, a transferência de carga da roda interna para a roda externa de um eixo é proveniente de quatro influências distintas, que serão analisadas separadamente: 1. momento no eixo considerado, MI ou MII , devido à força centrífuga das massas suspensas; 2. momento devido à parcela dessa força centrífuga agindo no centro de rolamento do eixo, McI ou McII ; 3. momento devido ao estabilizador existente no eixo, MEI ou MEII ; 4. momento devido à força centrífuga das massas não suspensas desse eixo, MnI ou MnII . 10.5.1 Ação do momento M Em uma curva, a força centrífuga das massas suspensas Fc = W v2 g ρo (10.12) será absorvida pelas rodas e, portanto, será igual à força de atrito μs W ; seu máximo valor dependerá das condições da interface pneu/pista. A distância dessa força centrífuga ao eixo de rolamento faz com que atue sobre o veículo um momento que tende a incliná-lo lateralmente. Esse momento será mais ou menos absorvido pelo eixo dianteiro, ou traseiro, em função da rigidez das molas de cada eixo. A figura 10.8 representa um esquema mais completo do veículo. Se as rodas fossem fixadas rigidamente à carroceria, ou seja, sem a existência de molas, a transferência de carga seria função, simplesmente, da distribuição da carga sobre os eixos e das bitolas, ou seja, 220 Capítulo 10 - Suspensões planas Figura 10.8: Modelo do sistema de forças que atua em um veículo. h h MI = FI = μs GI tI tI tI (10.13) h h MII = FII = μs GII tII tII tII (10.14) ∆GI = ∆GII = onde: ∆Gi - variação de carga nas rodas do eixo considerado, i = I, II; Mi - parcela do momento da força centrífuga F = μs G absorvida pelo eixo; Fi - parcela da força centrífuga atuante no eixo; ti - bitola do eixo; μs - coeficiente de aderência lateral pneu/pista; h - altura do centro de gravidade do veículo; Gi - parcela do peso do veículo sobre o eixo, ρo - raio da curva percorrida pelo veículo (m); v - velocidade do veículo (m/s); g - aceleração da gravidade (m/s2 ). Com a utilização de molas, o momento que é absorvido em cada um dos eixos é transmitido para as rodas através da deflexão dessas molas. Eixo rígido Para uma suspensão do tipo eixo rígido, figura 10.9, o momento da força centrífuga das massas suspensas ocasionará um giro da carroceria em torno do centro de rolamento M. As 221 Capítulo 10 - Suspensões planas Figura 10.9: Suspensão com eixo rígido. Figura 10.10: Relação entre o giro da carroceria e a deflexão das molas. molas opõem-se à ação desse momento e suas reações apoiam-se sobre o eixo, ocasionando diferença de carga nas rodas. Sendo k2 a constante da mola, a variação da força em cada mola, devido ao giro da carroceria, é dada por: ∆F = k2 f (10.15) A relação entre o ângulo de giro da carroceria e a deflexão da mola, figura 10.10, é dada através da seguinte expressão: f d (10.16) d f =Ψ , 2 (10.17) tgΨ = 2 Para pequenos ângulos, pode-se considerar 222 Capítulo 10 - Suspensões planas logo ∆F = k2 Ψ d . 2 (10.18) Como (10.19) MII = ∆F d tira-se d2 . (10.20) 2 Pela análise desta equação, conclui-se que, para um mesmo momento da força centrífuga, quanto maior a distância entre as molas da suspensão, tanto menor o de giro da corroceria. Por outro lado, vale, também, MII = k2 Ψ MII = ∆GII (1) tII (10.21) e assim: ∆GII (1) = MII tII ∆GII (1) = Ψ k2 (10.22) d2 2 tII (10.23) tII 2 (10.24) ou ∆GII (1) = Ψ KII com KII = k2 ( d 2 ). tII (10.25) Suspensão independente A determinação da primeira parcela de transferência de carga para uma suspensão independente, dianteira ou traseira, em função do momento da força centrífuga das massas suspensas, é realizada a partir da análise da suspensão mostrada na figura 10.11. Para uma mola com rigidez k posicionada em u, a constante de mola na rótula do braço transversal é: u K = k( )2 . v O deslocamento da suspensão no plano médio do pneu é dado por: t w = tagΨ 2 que, para pequenos ângulos, pode ser aproximado por: (10.26) (10.27) 223 Capítulo 10 - Suspensões planas Figura 10.11: Suspensão independente e seu ângulo de giro. t (10.28) w∼ = Ψ. 2 A variação de carga na roda é dada a partir da equação 10.15, fazendo f = w e ∆F = ∆G, ou seja: t (10.29) ∆G(1) = Ψ K . 2 Portanto, se a suspensão independente for dianteira, a transferência de carga da roda interna para a externa será tI . 2 De modo semelhante, se a suspensão independente for traseira, será ∆GI (1) = Ψ KI tII . 2 Os momentos absorvidos pelos eixos seriam, respectivamente, ∆GII (1) = Ψ KII MI = ∆GI (1)tI = Ψ KI t2I 2 (10.30) (10.31) (10.32) e t2II . (10.33) 2 A transferência de carga devido ao momento da força centrífuga das massas suspensas em relação ao eixo de rolamento é, como se vê, um problema hiperestático, pois a parcela absorvida em cada eixo depende do ângulo de giro da carroceria que, por sua vez, dependerá do valor desse momento. MII = ∆GII (1)tII = Ψ KII 224 Capítulo 10 - Suspensões planas Figura 10.12: Transferência de carga nas rodas de um eixo pela ação da força centrífuga das massas suspensas agindo no centro de rolamento. 10.5.2 Ação das parcelas da força centrífuga das massas suspensas A componente da força centrífuga das massas suspensas absorvida por um eixo age no centro de rolamento da suspensão, conforme é mostrado na figura 10.12. Esta força provoca uma transferência de carga adicional entre as rodas interna e externa. O valor dessa parcela é obtido através do equilíbrio de momentos; para uma suspensão dianteira, FcI m = ∆GI (2)tI (10.34) ou bII m m m = μs WI = μs W . tI tI l tI De forma semelhante, para uma suspensão traseira, ∆GI (2) = FcI FcII n = ∆GII (2)tII (10.35) (10.36) ou ∆GII (2) = FcII n n bI n = μs WII = μs W . tII tII l tII (10.37) Observa-se que quanto mais alto o centro momentâneo de rotação de uma suspensão ou quanto menor a bitola do eixo, tanto maior será a diferença de carga entre as sua rodas. 10.5.3 Ação do estabilizador O tipo de estabilizador mais difundido é o de barra de torção, mostrado na figura 10.13. Unindo os braços transversais da suspensão, aumenta a constante de mola do eixo e reduz 225 Capítulo 10 - Suspensões planas Figura 10.13: Estabilizadores tipo barra de torção. Figura 10.14: Ação do estbilizador em forma de U em uma curva. o ângulo de rolamento da carroceria. São encontrados nas formas U, figura 10.13 a), e Z, figura 10.13 b). Os estabilizadores em U ocasionam um aumento da transferência de carga entre as rodas do eixo, quando em curva, já que sua ação consiste em comprimir a roda externa e levantar a interna, conforme mostrado na figura 10.14. Os estabilizadores em Z, ao contrário, ocasionam uma diminuição da transferência de carga entre as rodas de um mesmo eixo. A constante de mola de um estabilizador é calculada como de uma barra de torção, sendo o comprimento efetivo a metade do comprimento da barra, já que, em relação à roda, a seção central da barra funciona como se estivesse engastada, pois não gira. Chamando de ke essa constante de mola, o valor efetivo da constante de mola do estabilizador, considerada no extremo do braço transversal (figura 10.11) vale : u KE = ke ( )2 . v (10.38) 226 Capítulo 10 - Suspensões planas Entre o momento estabilizante ME e o ângulo de rolamento da carroceria existe a relação ME = t2 KE Ψ. 2 (10.39) Desse modo, a terceira parcela da transferência de carga, devida ao uso do estabilizador no eixo dianteiro, é dada por ∆GI (3) = tI KEI Ψ 2 (10.40) e, para o eixo traseiro, seu valor é tII (10.41) KEII Ψ. 2 Os momentos absorvidos pelos estabilizadores das suspensões do eixo dianteiro e traseiro, desenvolvidos a partir da equação 10.39, são: ∆GII (3) = MEI = MEII t2I KEI Ψ 2 t2II = KEII Ψ. 2 (10.42) (10.43) respectivamente. É interessante frisar que essas equações são válidas para qualquer tipo de suspensão. Com o uso de uma barra equilibradora (estabilizador tipo Z), ocorre a diminuição da transferência de carga entre as rodas do mesmo eixo e o sinal de ∆G(3) deve ser trocado. Do exposto, se conclui que o uso de um estabilizador em U faz com que o eixo onde foi instalado absorva uma maior parcela do momento devido à força centrífuga das massas suspensas e ocasione uma maior transferência de carga em suas rodas, com conseqüente aumento do seu ângulo de deriva. No outro eixo, sem estabilizador ou com estabilizador em Z, ocorre o contrário. Desse modo, o uso de estabilizadores pode alterar convenientemente o comportamento de um veículo em curvas. Como o aumento do braço e, figura 10.13 a), diminui a constante de mola do estabilizador, um veículo com estabilizadores em U, tanto no eixo dianteiro quanto no traseiro, e considerado neutro, poderia ter esse comportamento alterado somente pela variação de e, da seguinte forma: • Estabilizador no eixo dianteiro - aumentando e, tende a sobresterçante (αII > αI ); - diminuindo e, tende a subesterçante (αI > αII ). • Estabilizador no eixo traseiro - aumentando e, tende a subesterçante; - diminuindo e, tende a sobresterçante. 227 Capítulo 10 - Suspensões planas Figura 10.15: Massas não suspensas de um eixo rígido. 10.5.4 Ação da força centrífuga das massas não suspensas Como quarta parcela da diferença de carga entre as rodas externa e interna de um eixo, tem-se a ocasionada pela força centrífuga agindo nas massas não suspensas. Eixo rígido Em um eixo rígido, conforme mostrado na figura 10.15, a força centrífuga das massas não suspensas age no centro de gravidade do eixo (na altura do centro das rodas) e ocasiona a variação adicional de carga nas rodas ∆GII (4) = Fcn rd rd = μs WnII tII tII (10.44) onde: Wn - peso das massas não suspensas; Fcn - força centrífuga correspondente; μs - coeficiente de aderência lateral pneu/pista; rd - raio dinâmico do pneu; tII - bitola. Suspensão independente Para suspensões independentes, dianteiras ou traseiras, a diferença de carga devida à ação da força centrífuga das massas não suspensas depende não só das alturas m ou n dos centros momentâneos de rolamento como, também, da altura do pólo p. No caso do eixo dianteiro mostrado na figura 10.16, tem-se o equilíbrio de momentos FcnI rd = μs WnI rd = Py q 2 (10.45) Considerando que Py = ∆GI (4) e (10.46) 228 Capítulo 10 - Suspensões planas Figura 10.16: Alturas do pólo e do centro de rolamento de uma suspensão independente. q= pI tI m2 (10.47) obtém-se rd m . (10.48) tI pI O valor dessa expressão é positivo para a roda externa e negativo para a interna quando, como é o caso mais freqüente, o pólo e o centro momentâneo ficam acima do solo ou ambos abaixo dele. Uma exceção é mostrada na figura 10.5 g), para a suspensão com braço e mola transversais, onde m é negativo e os sinais da expressão anterior são trocados para as rodas externa e interna. Com o pólo no infinito, como o caso mostrado na figura 10.5 h), que corresponde ao centro momentâneo sobre o solo, ∆GI (4) = 0. Para o eixo traseiro com suspensão independente, a equação correspondente será ∆GI (4) = μs WnI ∆GII (4) = μs WnII rd n . tII pII 10.6 Carga dinâmica nas rodas 10.6.1 Superposição das parcelas de transferência de carga (10.49) Para estabelecer o comportamento do veículo em curvas (neutro, sobresterçante ou subesterçante), é importante a diferença entre os ângulos de deriva dos eixos dianteiro e traseiro. No valor desses ângulos, influi a transferência de carga nas rodas desses eixos em uma curva, conforme visto. O cálculo da transferência de carga deve ser feita em cada eixo separadamente. No eixo dianteiro, as forças que os pneus exercem sobre o solo são dadas por: roda externa 229 Capítulo 10 - Suspensões planas GI X + ∆GIj GIe = 2 j=1 (10.50) GI X − ∆GIj 2 j=1 (10.51) 4 roda interna 4 GIi = com 4 X j=1 ∆GIj = ∆GI (1) + ∆GI (2) ± ∆GI (3) + ∆GI (4). (10.52) No eixo traseiro tem-se: roda externa GIIe GII X + = ∆GIIj 2 j=1 (10.53) GIIi GII X − = ∆GIIj 2 j=1 (10.54) ∆GIIj = ∆GII (1) + ∆GII (2) ± ∆GII (3) + ∆GII (4). (10.55) 4 roda interna 4 com 4 X j=1 O sinal negativo em ∆GII (3) vale para um estabilizador em Z, enquanto que o positivo deve ser considerado quando um estabilizador em U for usado. Exemplo Para uma melhor visualização da formulação, considere-se um automóvel cujas suspensões apresentam as seguintes características: 1 - eixo dianteiro - suspensão independente constituída por trapézio transversal e estabilizador do tipo U, 2 - eixo traseiro - eixo rígido, sem barra estabilizadora. No eixo dianteiro, o equilíbrio de momentos é dado pela expressão: MI + McI + MEI + MnI = ∆GI tI (10.56) e a transferência de carga por: ∆GI = m rd tI bII m (KI + KE1 ) Ψ + μs W + μs WnI . 2 l tI pI tI (10.57) 230 Capítulo 10 - Suspensões planas Para o eixo traseiro, o equilíbrio de momentos resulta na expressão dada por: MII + McII + MnII = ∆GII tII com a correspondente transferência de carga: µ ¶ 1 d bI Ψ 2 d k2 + μs W + μs WnII rd . ∆GII = tII 2 l (10.58) (10.59) Se fosse utilizada suspensão independente na traseira, a primeira parcela deveria ser substituida por: tII . (10.60) 2 Empregando estabilizador em Z, para diminuir a tranferência de carga no eixo traseiro, seria necessário diminuir de ∆GII a parcela Ψ KII tII (10.61) KE2 Ψ. 2 Com o uso de um estabilizador em U, entretanto, a variação de carga aumentaria e essa parcela deveria ser somada a ∆GII . ∆GII (3) = 10.6.2 Considerações Da formulação anterior, pode-se concluir que o eixo que sofre a maior variação de carga é aquele em que: a) a maior parcela do peso do veículo se apoia (verificado pelos valores de bI e bII em ∆G(2)); b) o centro de rolamento apresenta maior altura em relação ao solo (m ou n em ∆G(2)); c) as molas apresentam maior rigidez, seja da suspensão, em ∆G(1), ou do estabilizador, em ∆G(3); d) as massas não suspensas são maiores, em ∆G(4); e) é equipado com pneus de maior raio dinâmico. Quanto maior a variação de carga em um eixo, tanto maior será o ângulo de deriva nesse eixo, como ilustrado no exemplo resolvido no item 10.1. 10.7 Ângulo de rolamento da carroceria A fim de determinar o ângulo de rolamento da carroceria pela ação da força centrífuga, considera-se a condição de equilíbrio entre os momentos dessa força agindo sobre as massas suspensas e não suspensas e os momentos de reação das molas e estabilizadores usados nas suspensões: Capítulo 10 - Suspensões planas 231 Figura 10.17: Influência da posição do pólo P na inclinação da carroceria. Σ momentos de rolamento = Σ momentos de reação. 10.7.1 (10.62) Momentos de rolamento Com um eixo rígido, o momento da força centrífuga das massas não suspensas μs WnII rd não influi na inclinação da carroceria, mas sim na carga dinâmica das rodas. Para determinação dos momentos de rolamento com suspensão independente, considerese a figura 10.17 representativa desse tipo de suspensão, que poderia estar tanto na dianteira quanto na traseira do veículo. Em suspensões independentes, as parcelas da força centrífuga das massas suspensas FcI e FcII não atuam, realmente, nos centros momentâneos de rolamento, mas sim nos pólos P. Pela ação da força centrífuga das massas suspensas e não suspensas, surgirá nesse pólo uma força Py dirigida para baixo. Sua reação +Py ocasiona o momento de rolamento, dado por µ ¶ tI , (10.63) MR = Py q − 2 que, cuja ação, implica no aumento da inclinação da carroceria. Considerando o eixo dianteiro, a dedução desse momento deve ser feita nas condições limites de uma curva, ou seja, quando a roda interna começa a levantar e o peso total no eixo dianteiro, dado por (10.64) GI = WI + WnI deve ser suportado pela roda externa. Nesse caso, as forças mostradas na figura 10.17, são dadas por: 232 Capítulo 10 - Suspensões planas Se = μs GI ; FcI = μs WI ; (10.65) FcnI = μs WnI . Pela condição de equilíbrio de momentos na direção axial do veículo, tem-se: μ WnI rd + μs WI pI FcnI rd + FcI pI = s . q q Observando a figura 10.17, por semelhança de triângulos, verifica-se que Py = (10.66) q pI = tI /2 m (10.67) tI pI 2m (10.68) e q= logo 2m 2m + μs WI . tI pI tI Ao substituir Py na equação 10.63 do momento de rolamento MR , se tem: µ ¶µ ¶ μs WnI rd μs WI pI tI MR = + q− , q q 2 Py = μs WnI rd o qual, pode ser separado em duas parcelas, a originada pela suspensão µ ¶ tI 2m q− MR1 = μs WnI rd tI pI 2 (10.69) (10.70) (10.71) e a originada pela carroceria MR3 µ ¶ 2m tI q− = μs WI . tI 2 (10.72) Substituindo o valor de q, dado pela equação 10.68, tem-se que o momento somente devido as massas não suspensas do eixo dianteiro é dado por: µ ¶ m . (10.73) MR1 = μs WnI rd 1 − pI A equação correspondente para uma suspensão independente na traseira é dada por: µ ¶ n . (10.74) MR2 = μs WnII rd 1 − pI Com esse desenvolvimento, antes de ir adiante e um para um melhor da modelagem matemática, uma análise das possíveis combinações das posições do centro de rolamento e do pólo é importante de ser feita. 233 Capítulo 10 - Suspensões planas Figura 10.18: Binário ±FcI atuando na distância (hm − pI ). 1- com pI < m (pêndulo encurtado e braços inclinados (45o )), MR1,2 serão negativos e o momento de inclinação total será menor; 2- com pI = m (pêndulo), MR = 0; 3- com pI > m (tipos restantes de suspensão independente) MR1,2 serão positivos; isto também ocorre com o centro momentâneo de rolamento abaixo do solo, ou seja, m e pI negativos; com pólo acima do solo e centro momentâneo abaixo, a fração m/pI , ou n/pII , será negativa e o sinal torna-se positivo; 4- com pólo no infinito (braços paralelos) m/pI , ou n/pII , tende a zero; também ocorre com centro momentâneo sobre o solo (braços longitudinais). Feita essa análise volta-se ao desenvolvimento do modelo matemático. Substituindo o valor de q, equação 10.68, em MR3 , equação 10.72, obtém-se: MR3 = μs WI (pI − m). (10.75) A essa parcela, portanto, é necessário somar o momento, obtido a partir da inspeção da figura 10.18, MR4 = FcI (hm − pI ) = μs WI (hm − pI ) (10.76) a fim de obter o momento de inclinação devido à força centrífuga agindo sobre as massas suspensas do eixo dianteiro, ou seja, MRI = MR3 + MR4 = μs WI (hm − m). (10.77) Com WI = W (bII /l) tem-se MRI = μs W bII (hm − m). l (10.78) O momento de inclinação devido à força centrífuga agindo nas massas suspensas do eixo traseiro será: 234 Capítulo 10 - Suspensões planas bI (hm − n) l e o momento total devido às massas suspensas será dado pela expressão: MRII = μs W MRo = MRI + MRII = μs W ho (10.79) (10.80) com bI n + bII m l válida tanto para suspensões independentes quanto para eixo rígido. ho = hm − 10.7.2 (10.81) Momentos de reação Os momentos de reação são os momentos originados pelas diferentes molas e estabilizadores instalados nos eixos dianteiro e traseiro, são dados pela soma das equações 10.32, 10.33, 10.42 e 10.43. 10.7.3 Ângulo de rolamento Com o equacionamento desenvolvido nos itens anteriores, o ângulo de rolamento da carroceria para um veículo com molas lineares é obtido a partir da aplicação da equação 10.62, a qual com as devidas simplificações resulta em: Ψ= (t2I /2)KI + MRo + 2 (tII /2)KII MR1 + MR2 + (t2I /2)KEI + (t2II /2)KEII (10.82) com MRo = μs W ho ; (10.83) MR1 = μs WnI rd (1 − m ); pI (10.84) MR2 = μs WnII rd (1 − n ); pII (10.85) (t2I /2)KI para suspensão dianteira independente; (t2II /2)KII para suspensão traseira independente; com eixo rígido substituir por (d2 /2)k; (t2I /2)KEI para estabilizador em U na dianteira; +(t2II /2)KEII para estabilizador em U na traseira; −(t2II /2)KEII para estabilizador em Z na traseira. Capítulo 10 - Suspensões planas 10.7.4 235 Possibilidades de melhorar o comportamento em curvas As tendências subesterçante e sobresterçante podem ser diminuidas através de medidas construtivas e, em determinadas velocidades de execução da curva, inclusive completamente eliminadas; isso pode ser feito através de combinações de tipos de suspensões, escolha adequada das molas e uso ou não de barras estabilizadoras, sem necessidade de alterar a distribuição de peso do veículo. Veículo subesterçante Em um veículo com tendência subesterçante, comum em casos de tração dianteira, certas modificações, economicamente viáveis, podem ser feitas com o objetivo de diminuir a diferença de carga na dianteira e/ou aumentar a diferença na traseira, de modo a tornar seu comportamento mais neutro. 1. Deslocar o centro de gravidade do veículo para trás (maior ∆GII (2) e menor ∆GI (2)). Em veículos com tração dianteira, essa medida prejudica o arranque em aclives e em terrenos com pouca aderência. 2. Retirar o estabilizador dianteiro (∆GI (3) = 0). Isto implica em uma maior inclinação da carroceria, com possibilidade da roda traseira interna perder contato com o solo; reduz o preço da suspensão. 3. Reforçar o estabilizador traseiro (aumento de ∆GII (3)). Tem a vantagem adicional de diminuir a inclinação da carroceria. 4. Usar molas traseiras mais rígidas (maior ∆GII (1)). Tem como desvantagem a redução do conforto. 5. Usar molas dianteiras mais flexíveis (menor ∆GI (1)). Acarreta maior inclinação da carroceria, porém, aumenta o conforto. 6. Baixar o centro de rolamento na frente e levantar atrás (∆GI (2) diminui e ∆GII (2) aumenta). No eixo dianteiro, ocorrerá menor variação da bitola, o que é conveniente. No eixo traseiro, se usada uma barra Panhard, sua elevação implicará na elevação do centro de rolamento sem que surjam maiores desvantagens. Outra possibilidade, já comentada anteriormente, seria diminuir a pressão dos pneus traseiros. Entretanto, com o aumento da carga do veículo, essa pressão deveria ser aumentada para, com diminuição da carga, ser novamente reduzida, o que é incômodo para o motorista. Veículo sobresterçante Nos veículos sobresterçantes, como costuma acontecer com tração traseira, principalmente com motor traseiro, a maneira mais simples de tornar seu comportamento mais neutro em curvas é aumentando a pressão dos pneus traseiros (o que pressupõe uma adaptação dos Capítulo 10 - Suspensões planas 236 amortecedores); uma vantagem adicional da elevação dessa pressão é a independência do estado de carregamento, já que os pneus traseiros teriam sempre uma pressão adequada. Entretanto, também construtivamente se pode conseguir um aumento de αI e uma diminuição (mesmo com a tração) de αII , através do aumento da diferença de carga na dianteira e diminuição na traseira. 1. Deslocar o centro de gravidade do veículo para frente (aumenta ∆GI (2) e diminui ∆GII (2)). Essa medida tem como desvantagem diminuir a capacidade de tração com o veículo pouco carregado. 2. Retirar o estabilizador traseiro e reforçar o dianteiro (∆GII (3) = 0 e aumento de ∆GI (3)). Como vantagem adicional, tem-se redução de custo. 3. Usar barra estabilizadora tipo Z no eixo traseiro (∆GII (3) < 0). Aumenta a inclinação da carroceria. 4. Usar molas traseiras menos rígidas (∆GII (1) menor). Como desvantagem, permite uma maior inclinação da carroceria e, como vantagem, um maior conforto. 5. Usar molas dianteiras mais rígidas (∆GI (1) maior). Menor conforto mas menor inclinação da carroceria. 6. Elevar o centro de rolamento dianteiro (∆GI (2) aumenta). A desvantagem é aumentar a variação da bitola dianteira. 7. Baixar o centro de rolamento traseiro (∆GII (2) diminui). Uma barra Panhard colocada mais baixo diminui o espaço livre sob o eixo; uma suspensão independente, entretanto, permite conseguir qualquer altura do centro de rolamento, o que justifica a tendência de utilizar, mesmo em carros com tração traseira, esse tipo de suspensão. Uma suspensão independente no eixo traseiro teria a vantagem adicional de ser mais leve do que um eixo rígido. Uma possibilidade adicional seria utilizar no eixo traseiro um sistema de suspensão das rodas que ocasione, quando do giro da carroceria, uma convergência da roda externa e uma divergência da interna, de modo a reduzir a "saida" desse eixo nas curvas. 10.8 Exemplo de cálculo Para exemplificar as relações vistas, será calculado o comportamento em curva de um veículo com tração dianteira, com molas lineares e carregado com 2 e 5 pessoas. Para o carregamento com duas pessoas, os cálculos devem ser feitos com os seguintes dados; valores que servem somente para esse carregamento receberam o índice 1: Peso sobre o eixo dianteiro - GI1 = 695 kgf ; Peso do eixo dianteiro - WnI = 50 kgf ; Bitola dianteira - tI = 134 cm; Capítulo 10 - Suspensões planas 237 Peso sobre o eixo traseiro - GII1 = 420 kgf ; Peso do eixo traseiro - WnII = 60 kgf ; Bitola traseira - tII = 132 cm; Altura do centro de gravidade do veículo - h1 = 58 cm; Distância entre eixos - l = 249 cm; Suspensão dianteira com braços transversais duplo: altura do centro de rolamento - m1 = 7 cm; altura do pólo - pI = 35 cm; Suspensão traseira com eixo rígido, braços longitudinais e barra Panhard: altura do centro de rolamento - n1 = 28, 7 cm; Distância entre os braços longitudinais que suportam as molas - v = 106 cm; Constante de mola na dianteira (barra de torção longitudinal) - kI = 11, 5 kgf/cm; Constante de mola na traseira (barra de torção transversal) - kII = 14, 0 kgf/cm; Constante de mola escolhida para o estabilizador dianteiro - kEI = 5, 5 kgf/cm; Constante de mola escolhida para o estabilizador traseiro - kEII = 1, 5 kgf /cm; Raio dinâmico (para pneus 6,00 - 13/4 PR) - rd = 28, 8 cm; Pressão considerada nos pneus (dianteiros e traseiros) - p1 = 1, 7 kgf /cm2 ; Coeficiente de aderência lateral - μs = 0, 5. Observação: a altura do centro de rolamento na traseira foi tomada com a carroceria paralela ao solo, ou seja, quando a força transversal começa a atuar. Com o uso de barra Panhard, as inclinações da carroceria, para a esquerda ou direita, modificam essa altura, já que a extremidade da barra presa na carroceria se desloca ora para cima ora para baixo; a extremidade presa no eixo não muda sua altura. Em um cálculo preciso, essa influência deveria ser considerada; no exemplo, será desprezada. 238 Capítulo 10 - Suspensões planas Ângulo de rolamento da carroceria W1 = GI1 + GII1 − (WnI + WnII ) = 1115 − 110 = 1005 kgf ; G.h1 − (WnI + WnII )rd 1115.58 − 110.28, 8 hm1 = = = 61 cm; W1 1005 ¶ µ µ ¶ 360 GII1 − WnII l= bI1 = 249 = 89, 5 cm; W1 1005 bII1 = l − bI = 249 − 89, 5 = 159, 5 cm; 89, 5.28, 7 + 159, 5.7 bI1 .n1 + bII1 .m1 = 61 − = 47, 7 cm; ho1 = hm1 − l 249 M1 = μs .W1 .ho1 = 0, 5.1005.47, 7 = 24000 kgf cm; µ ¶ µ ¶ m 7 = 0, 5.50.28, 8 1 − = 576 kgfcm; MnI = μs .WnI .rd 1 − p 35 MnII = 0 (eixo r´ıgido); ΣM = M1 + MnI + MnII = 24000 + 576 + 0 = 24576 kgf cm; ΣM Ψ1 = = 2 2 (tI /2) kI + (v /2) kII + (t2I /2) kEI + (t2II /2) kEII 24576 = = 2 2 (134 /2) 11, 5 + (106 /2) 14 + (1342 /2) 5, 5 + (1322 /2) 1, 5 24576 = 0, 1006, = 244200 em graus, Ψ01 = 0, 1006.57, 3 = 5, 8o . Variação de carga no eixo dianteiro ∆GI1 (1) = Ψ (tI /2) kI = 0, 1006.67.11, 5 = 77, 5 kgf μs .W.bII .m 0, 5.1005.159, 5.7 ∆GI1 (2) = = 16, 8 kgf = l.tI 249.134 ∆GI1 (3) = Ψ (tI /2) kEI = 0, 1006.67.5, 5 = 37, 1 kgf μs .WnI .m.rd 0, 5.50.7.28, 8 = = 1, 1 kgf ∆GI1 (4) = tI .p 134.35 Σ∆GI1 = 132, 5 kgf Carga na roda dianteira externa GIe1 = GI1 + Σ∆GI1 = 347, 5 + 132, 5 = 480 kgf 2 Carga na roda dianteira interna GIi1 = GI1 − Σ∆GI1 = 347, 5 − 132, 5 = 215 kgf 2 239 Capítulo 10 - Suspensões planas Variação de carga no eixo traseiro µ 2 ¶ v 1062 kII = 0, 1006 14 = 60, 0 kgf ∆GII1 (1) = Ψ 2tII 2(132) ∆GII1 (2) = μs .W1 .bI1 .n1 0, 5.1005.89, 5.28, 7 = = 39, 2 kgf l.tII 249.132 ∆GII1 (3) = Ψ (tII /2) kEII = 0, 1006.66.1, 5 = 10, 0 kgf ∆GII1 (4) = μs .WnII .rd 0, 5.60.28, 8 = 6, 5 kgf = tII 132 Σ∆GII1 = 115, 7 kgf Carga na roda traseira externa GIIe1 = GII1 + Σ∆GII1 = 210 + 115, 7 ' 326 kgf 2 Carga na roda traseira interna GII1 − Σ∆GII1 = 210 − 115, 7 ' 94 kgf 2 Devido à maior carga no eixo dianteiro e ao estabilizador mais rígido, a diferença de carga nas rodas dianteiras é maior do que nas traseiras. Atrás, o centro de rolamento é bem mais alto, entretanto, devido à pequena distância entre as molas "v", a carroceria se apoia menos no eixo traseiro. Para mostrar a influência do carregamento, será verificado o comportamento em curva quando o veículo estiver carregado com cinco pessoas; os valores correspondentes a esse carregamento terão o índice 2: GIIi1 = GI2 = 730 kgf ; GII2 = 580 kgf ; n2 = 25, 8 cm Em um eixo rígido com barra Panhard, o centro momentâneo de giro se desloca para baixo com o carregamento; pode-se considerar que, com esse tipo de construção, o valor desse deslocamento seja igual à metade do curso da mola. Com duas pessoas n1 = 28, 7 cm. Com 3 novas pessoas no banco traseiro, a carga sobre o eixo traseiro aumenta 160 kgf. Como a constante de mola desse eixo é 28 kgf/cm, o deslocamento adicional das molas é de 5,7 cm e a nova posição do centro de rolamento resulta em n2 = n1 − f = 28, 7 − 2, 85 ' 25, 8 cm. 2 240 Capítulo 10 - Suspensões planas O eixo dianteiro fica sobrecarregado com somente 35 kgf, de modo que uma correção de m não é necessária; igualmente, a altura do centro de gravidade muda muito pouco. Tem-se, então, W2 = 1200 kgf ; bI2 = 108 cm; bII2 = 141 cm; hm2 = 60, 6 cm; ho2 = 45, 4 cm; ΣM = 27816 kgf cm; Ψ2 = 0, 1139; Ψ02 = 6, 50 . Com isso, as flechas nas molas dianteiras serão fIe + fIi = Ψ2 .tI = 0, 1139.134 = 15, 2 cm; fIe = fIi = 76 mm; e nas molas traseiras fIIe + fIIi = Ψ2 .tII = 0, 1139.132 = 15, 0 cm; fIIe = fIIi = 75 mm. Variação de carga no eixo dianteiro ∆GI2 (1) = 87, 80 kgf ; ∆GI2 (2) = 17, 70 kgf ; ∆GI2 (3) = 42, 0 kgf ; ∆GI2 (4) = 1, 1 kgf ; Σ∆GI2 = 148, 60 kgf. Carga nas rodas dianteiras externa e interna GIe2 ' 514 kgf ; GIi2 ' 216 kgf. 241 Capítulo 10 - Suspensões planas Variação de carga no eixo traseiro ∆GII2 (1) = 68, 0 kgf ; ∆GII2 (2) = 51, 0 kgf ; ∆GII2 (3) = 11, 3 kgf ; ∆GII2 (4) = 6, 5 kgf ; Σ∆GII2 = 136, 80 kgf. Carga nas rodas traseiras externa e interna GIIe2 ' 427 kgf ; GIIi2 ' 153 kgf. Com molas lineares, o ângulo de giro da carroceria de 6, 5◦ exige um espaço para compressão e distenção das molas do eixo dianteiro de fIe + fIi = 152 mm. Se esse espaço não for disponível, os batentes de borracha irão atuar, modificando a constante de mola, que se tornará progressiva. Um cálculo mais preciso deveria, então, considerar as molas como progressivas, devendo-se, para tanto, dispor das curvas características correspondentes; não se dispondo dessas curvas, deve-se considerar uma característica linear para as molas e usar o método apresentado, mais simples, nos cálculos do comportamento do veículo em curvas. Determinação dos ângulos de deriva dos pneus Para determinação dos ângulos de deriva que ocorrem nos eixos dianteiro e traseiro em uma curva, αI e αII , é necessário conhecer o diagrama S = f (Q), veja Capítulo 1, com α como parâmetro, dos pneus utilizados inflados com a pressão a ser empregada no veículo em questão. A figura 10.19 mostra esse diagrama para os pneus usados no exemplo,ou seja, 6.00-13/4 PR, com pressão de 1,7 kgf/cm2 (pneus Dunlop). Os valores de αI e αII são obtidos através de interpolação. Para determinar αI e αII , é necessário, primeiramente, calcular as forças laterais que ambos os eixos absorvem, SI e SII , em função das cargas nesses eixos GI,II e do coeficiente de aderência adotado no cálculo. No exemplo, para o carregamento com 2 pessoas, tem-se na dianteira e traseira, respectivamente, SI1 = μs .GI1 = 0, 5.695 = 347, 5 kgf SII1 = μs .GII1 = 0, 5.420 = 210 kgf. Essas forças absorvidas pelos eixos, devem ser distribuidas nas parcelas a serem absorvidas pelas rodas externas e internas; para isso, são necessárias as cargas nessas rodas. Com molas lineares e carregamento com 2 pessoas, tinha-se 242 Capítulo 10 - Suspensões planas Figura 10.19: Carga transversal absorvida por um pneu em função da carga radial e do ângulo de deriva. GIe1 = 480 kgf ; GIi1 = 215 kgf GIIe1 = 326 kgf ; GIIi1 = 94 kgf. Procuram-se, no diagrama S = f (Q), as forças laterais absorvidas pelos dois pneus de um eixo e os correspondentes ângulos de deriva, de modo que SIe1 + SIi1 = SI1 = μs .GI1 = 0, 5.695 = 347, 5 kgf SIIe1 + SIIi1 = SII1 = μs .GII1 = 0, 5.420 = 210 kgf. Na figura 10.19, traçam-se verticais pelas cargas nas rodas dianteiras GIe e GIi e verificamse as forças laterais correspondentes aos ângulos α = 6◦ , 8o e 10o . A tabela seguinte mostra os valores encontrados e fornece os correspondentes coeficientes de aderência SIe1 + SIi1 GI1 para comparação com o valor utilizado no cálculo, ou seja, μs = 0, 5. μs = GIe1 GIi1 GI1 αI 480 SIe1 215 SIi1 695 SI1 μs 10o 8o 6o 240 210 171 176 161 138 416 371 309 0, 604 0, 530 0, 445 243 Capítulo 10 - Suspensões planas Com αI = 6o , o valor de μs é menor do que o considerado no cálculo; com αI = 8o , maior. Isso significa que αI fica entre esses dois valores e deve ser encontrado por interpolação. Verifica-se, primeiramente, a diferença entre os dois coeficientes de aderência ∆μs1 = μs8 − μs6 = 0, 53 − 0, 445 = 0, 085 que corresponderá a uma diferença de ângulo de deriva de ∆α1 = 8o − 6o = 2o ou seja, para uma variação de 2o no ângulo de deriva, corresponde uma variação de 0,085 no coeficiente de aderência. A seguir, verifica-se a diferença entre os coeficientes de aderência utilizado no cálculo e o menor valor encontrado ∆μa2 = μs − μs6 = 0, 5 − 0, 445 = 0, 055. Como ∆μs2 ∆μs1 = ∆α2 ∆α1 encontra-se ∆α2 = µ ¶ 0, 055 o 2 = 1, 3o 0, 085 valor esse que, somado ao menor ângulo considerado, fornece o ângulo de deriva real para μs = 0, 5: αI1 = 6o + 1, 3o = 7, 3o . Para o eixo traseiro, um procedimento semelhante fornece, para pressão igual à do eixo dianteiro, ou seja, pII = pI = 1, 7 kgf/cm2 , os valores apresentados na tabela seguinte α GIIe1 GIIi1 GII1 326 SIIe1 94 SIIi1 420 SII1 μs 6o 4o 166 116 75 52 241 168 0, 5738 0, 400 Neste caso, ∆μs1 = μs6 − μs4 = 0, 1738 ∆μs2 = 0, 5 − 0, 4 = 0, 1 ∆αII2 = µ ¶ 0, 1 2o = 1, 15o 0, 1738 244 Capítulo 10 - Suspensões planas e o ângulo de deriva real no eixo traseiro, para μs = 0, 5, αII1 = 4o + 1, 15o = 5, 15o menor do que a deriva no eixo dianteiro, ou seja, αI > αII e o veículo apresentaria comportamento subesterçante em curvas. Para diminuir essa tendência, a medida mais simples seria aumentar a pressão no eixo dianteiro ou diminuir no traseiro, com a desvantagem apresentada no ítem anterior. Para o veículo carregado com 5 pessoas, a situação é mostrada nas tabelas que seguem: - ângulo de deriva do eixo dianteiro GIe2 GIi2 GI2 α 514 SIe2 216 SIi2 730 SI2 μs 10o 8o 225 195 178 165 403 360 0, 5521 0, 4932 ∆μs1 = μs10 − μs8 = 0, 0589 ∆μs2 = 0, 5 − 0, 4932 = 0, 0068 ∆αI2 = µ ¶ 0, 0068 o 2 = 0, 23o 0, 0589 αI2 = 8o + 0, 23o = 8, 23o - ângulo de deriva do eixo traseiro α GIIe2 GIIi2 GII2 427 SIIe2 153 SIIi2 580 SII2 μs 8o 6o 215 175 125 110 340 285 0, 5862 0, 4914 ∆μs1 = μs8 − μs6 = 0, 0948 ∆μs2 = 0, 5 − 0, 4914 = 0, 0086 ∆αII2 = µ ¶ 0, 0086 o 2 = 0, 18 0, 0948 αII2 = 6o + 0, 18o = 6, 18o 245 Capítulo 10 - Suspensões planas Nesse veículo, mesmo carregado, a tendência subesterçante persiste. Para torná-lo mais neutro em curvas, uma, ou mais, das medidas salientadas no ítem anterior devem ser adotadas. Na determinação dos ângulos de deriva feita anteriormente, foram consideradas somente cargas normais e laterais, ou seja, desconsiderou-se a tração. Entretanto, para que a velocidade na curva seja mantida e, com isso, se mantenha um constante coeficiente de aderência, é necessária a aplicação de uma força longitudinal A no ponto de contato das rodas de tração. O valor de A depende das condições da pista e do raio da curva ρo e deve ser determinado através de medições; os diagramas de desempenho (veja capítulo 6) fornecem as forças de tração disponíveis em cada marcha. Para continuar com o exemplo, será considerada uma força de tração no eixo dianteiro do veículo em estudo, carregado com 2 pessoas, de A = 220 kgf; corresponde a uma curva executada em segunda marcha. Como visto no capítulo 1, a força de tração A no ponto de contato do pneu com a pista é perpendicular à força lateral S e, para determinar o ângulo de deriva no eixo de tração, quando essas duas forças atuam simultaneamente, é necessário calcular o coeficiente de aderência resultante μR = p μ2s + μ2a . Para μs , deve-se considerar o valor adotado (aqui 0, 5) e, para μa , a relação entre a força de tração, diminuida da resistência ao rolamento WRI (em curvas sensivelmente maior), e a carga no eixo de tração. No exemplo, para WRI = 60 kgf , tem-se μa = A − WRI 220 − 60 = 0, 23 = GI1 695 e μR = p 0, 52 + 0, 232 = 0, 55. Com esse valor maior do coeficiente de aderência, deve-se determinar o ângulo de deriva αR das rodas dianteiras, sob a condição que SIe + SIi = μR .G = 0, 55.695 = 382 kgf . Os valores já lidos das forças laterais para essas condições de carregamento continuam válidos, pois dependem do pneu, enquanto os valores adotados para μs e μR dependem das características do veículo e condições da pista. Então, o ângulo de deriva para o eixo dianteiro será: GIe1 GIi1 GI1 α 480 SIe1 215 SIi1 695 SI1 μs 10o 8o 240 210 176 161 416 371 0, 604 0, 530 246 Capítulo 10 - Suspensões planas ∆μs1 = μs10 − μs8 = 0, 604 − 0, 530 = 0, 074 ∆μs2 = μR − μs8 = 0, 55 − 0, 53 = 0, 02 ∆α1 = 10o − 8o = 2o ∆α2 = µ ¶ 0, 02 2o = 0, 54o 0, 074 αRI = 8o + 0, 54o = 8, 54o . O ângulo de deriva para o eixo traseiro, não tracionante, será o calculado anteriormente, ou seja, αII1 = 5, 15o . Como se pode constatar, o ângulo de deriva no eixo dianteiro passou de αI1 = 7, 3o para αR = 8, 54o , ou seja, com a tração a tendência subesterçante tornou-se ainda maior. Se a tração fosse no eixo traseiro, os ângulos de deriva correspondentes seriam: - eixo dianteiro, não tracionante, αI1 = 7, 3o -eixo traseiro μa = A − WRII 220 − 60 = 0, 38 = GII1 420 μR = p 0, 52 + 0, 382 = 0, 62 α GIIe1 GIIi1 GII1 326 SIIe1 94 SIIi1 420 SII1 μs 8o 6o 206 166 85 75 291 241 0, 6929 0, 5738 ∆μs1 = μs8 − μs6 = 0, 6929 − 0, 5738 = 0, 1191 ∆μs2 = μR − μs6 = 0, 62 − 0, 5738 = 0, 0462 ∆α1 = 8o − 6o = 2o ∆α2 = µ ¶ 0, 0462 o 2 ' 0, 78o 0, 1191 247 Capítulo 10 - Suspensões planas αRII = 6o + 0, 78o ' 6, 8o . Nessas condições, a deriva no eixo traseiro ficaria mais próxima da verificada no eixo dianteiro, mas se manteria menor. A tendência subesterçante, embora permanecendo, ficaria abrandada. Com o carregamento de 5 pessoas e tração traseira, o veículo, provavelmente, tenderia a um comportamento neutro em curvas. Capítulo 11 Modelos dinâmicos 11.1 Introdução Os veículos dotados de rodas são sistemas mecânicos que operam sobre superfícies rugosas, no caso a superfície das estradas, sendo estas a principal fonte indutora de vibrações e ruídos da estrutura quando no deslocamento. Além da pista existem outras fontes de geração de vibrações e ruídos em automóveis, pode-se citar: os pneus, sistema de transmissão, motor e aerodinâmica. Para reduzir o efeito das acelerações induzidas pela pista sobre a estrutura bem como aumentar o conforto dos ocupantes, os veículo são dotados de suspensões com molas. Apesar das estruturas serem flexíveis, a maior parcela do molejamento de um automóvel é devido a deflexão dos elementos elásticos das suspensões e dos pneus. Sendo assim, a seguir, é apresentado o procedimento de obtenção das deflexões destes elementos para os tipos mais comuns de eixos usados nos automóveis. Neste capítulo é desenvolvida uma formulação dinâmica usando a técnica das múltiplas massas ou Multibody Model para veículos de quatro rodas e dois eixos, [1] [5]. As características dos modelos a serem desenvolvidos usando esta técnica, dependem dos tipos de suspensões usadas nos eixos dianteiro e traseiro. Dentro deste contexto serão feitas as seguintes abordagens: • Modelo com dois graus de liberdade; • Modelo com sete graus de liberdade considerando eixo rígido na dianteira e traseira; • Modelo com sete graus de liberdade considerando suspensão dianteira independe e eixo traseiro rígido; • Modelo com sete graus de liberdade considerando suspensões independentes na dianteira e na traseira. Para o desenvolvimento da formulação, parte-se da definição dos graus de liberdade do sistema, e, a partir destes, são deduzidas as equações diferenciais do movimento de cada um dos casos acima listados. 248 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos 249 Figura 11.1: Sistema de coordenadas e principais graus de liberdade da carroceria de um automóvel. Vale salientar que o modelo a ser denvolvido irá negligenciar as acelerações lineares nas direções axial e transversal bem como os deslocamentos serão considerados pequenos. O efeito destas acelerações é considerado no modelo quase estático, onde as mesmas são consideradas como um carregamento de corpo com intensidade constante. Esse tipo de análise é fundamental porque permite determinar os deslocamentos, acelerações e velocidades que os ocupantes dos veículos estarão sujeitos quando em movimento. Os seres vivos, bem como algumas cargas transportadas, são bastante sensíveis a esses parâmetros. Para seres humanos, há uma variedade bastante grande de ensaios para determinar uma medida da tolerância a esses parâmetros, como descrito na Ride and Vibration Data Manual J6a da SAE, ou na ISO 2631, enquanto que para cargas sensíveis, tais como compressores de refrigeradores, orgãos humanos, pescados, aves, suinos, computadores, etc, há muito a ser desenvolvido e pesquisado para determinar quais as condições mais adequadas do rodar do veículo para garantir a integridade dessas cargas durante o seu transporte. 11.2 Definição de algumas variáveis básicas Na abordagem do comportamento dinâmico de um automóvel, a definição dos graus de liberdade do sistema dinâmico será de acordo com a SAE. Para isso, na Figura 11.1, são mostrados os graus de liberdade da carroceria de um veículo sobre rodas. Nesta figura, a direção de deslocamento do veículo é no sentido positivo do eixo x enquanto que os pontos 1, 2, 3 e 4 definem a posição das rodas do veículo. Vale salientar que a rigidez das molas neste modelo é equivalente a rigidez real das molas, porque não é possível colocar fisicamente as molas nestes locais, por problemas construtivos. Convenciona-se, a partir de agora, que: z− deslocamento vertical da carroceria (bounce); φ− giro da carroceria em torno do eixo axial, denominado de ângulo de rolamento (roll); θ− giro da carroceria em torno do eixo y, denominado de ângulo de arfagem (pitch); 250 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos Figura 11.2: Sistema de coordenadas e deslocamento de uma roda. Ψ−giro da carroceria em torno do eixo z, denominado de ângulo de guinada (yaw). O sentido positivo dos ângulos segue a regra da mão direita. O deslocamento vertical do veículo (bounce), é positivo no mesmo sentido do eixo z. 11.3 Deflexão dos pneus 11.3.1 Deflexão dos pneus para eixos com suspensões independentes Considerando que o deslocamento vertical do centro de massa das rodas, zip (t), é maior do que os deslocamentos causados pela rugosidade do piso, definida por uma função zis (t) conhecida. Para estas grandezas, que estão mostradas na Figura 11.2, tem-se que a deflexão que o pneu está submetido é dada por: δ pi (t) = zi (t) − zis (t) (11.1) onde: i - posição do pneu, conforme Figura 11.1; t - é a variável tempo δ pi (t) - deflexão do i-ésimo pneu; zi (t) - deslocamento vertical da roda; zis (t) - rugosidade do solo. Vale salientar que, nessa análise, a velocidade vertical do centro de massa do conjunto pneu roda e acessórios será considerado igual ao do centro geométrico da roda. 251 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos Figura 11.3: Sistema de coordenadas e principais graus de liberdade de eixos rígidos. 11.3.2 Deflexão nos pneus para suspensões de eixo rígido Para o caso de suspensões de eixo rígido, mostrada na Figura 11.3, a deflexão nos pneus que equipam este tipo eixo é causada pela combinação do deslocamento vertical centro de massa do eixo bem como da rotação deste em relação ao eixo axial do veículo. Considerando pequenos ângulos, a deflexão do i-ésimo pneu do veículo é dada por δ pi (t) = δ bi (t) + δ φi (t) + δ si (t) (11.2) onde: i - posição do pneu, conforme Figura 11.1; δ bi (t) - deslocamento vertical (bounce) da i-ésima roda; δ φi (t) - deslocamento vertical da i-ésima roda devido giro axial do eixo; δ si (t) - rugosidade do solo. Com estas relações definidas, parte-se para a ánalise de cada parcela que contribui na deflexão das molas do eixo rígido. Parcela δ bi (t) Esta parcela é o deslocamento vertical do centro de massa do eixo rígido, ou seja δ bi (t) = zk (t) (11.3) 252 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos onde: k = I ou II é o indice que indica eixo dianteiro ou traseiro, respectivamente; zk (t) é o deslocamento vertical do centro de massa do k-ésimo eixo rígido. Parcela δ φi (t) Esta parcela é associada ao giro φk do eixo rígido em relação ao eixo axial do veículo. Neste caso particular é necessário o desenvolvimento das parcelas de cada roda, como segue. Roda dianteira esquerda tI (11.4) δ φ1 (t) = −φI (t) . 2 Roda dianteira direita tI (11.5) δφ2 (t) = φI (t) . 2 Roda traseira direita tII (11.6) δ φ3 (t) = φII (t) . 2 Roda traseira esquerda tII (11.7) δφ4 (t) = −φII (t) . 2 Onde: φI (t), φII (t) são o giro do eixo dianteiro e traseiro na direção axial do veículo; tI , tII são a bitola média do eixo dianteiro e traseiro, respectivamente. Vale salientar que o sinal negativo da primeira e da última expressão do conjunto acima, significa que a mola é tracionada. Parcela δ si (t) Esta última é associada à rugosidade do solo, sendo genericamente dada por: δ si (t) = −zis (t) (11.8) onde o sinal negativo significa que a mola, no caso o pneu, é tracionada. Após este desenvolvimento pode-se escrever que: δ p1 (t) = zI (t) − φI (t) tI − z1s (t); 2 tI − z2s (t); 2 tII δ p3 (t) = zII (t) + φII (t) − z3s (t); 2 tII − z4s (t). δ p4 (t) = zII (t) − φII (t) 2 δ p2 (t) = zI (t) + φI (t) (11.9) (11.10) (11.11) (11.12) Capítulo 11 - Modelos dinâmicos 253 Figura 11.4: Rolagem, φ, da carroceria sobre suspensões independente e de eixo rígido. Figura 11.5: Modelo de carroceria e respectivos eixos para consideração do bounce e da arfagem. 11.4 Deflexão das molas das suspensões As carrocerias dos automóveis são fixadas aos eixos através de molas. Sendo assim há o deslocamento relativo destes elementos, o que ocasiona as deflexão das molas e dos amortecedores. A deflexão das molas e dos amortecedores são devidas aos seguintes deslocamentos: • deslocamento vertical (bounce) do centro de massa da carroceria; • ângulo de rolagem da carroceria (roll); • ângulo de arfagem da carroceria (pitch); • deslocamentos do centro de massa das rodas ou eixo. A seguir será determinada a contribuição de cada uma das parcelas acima listadas na deflexão das molas da suspensão. A análise destas componentes será feita de acordo com os modelos representados nas Figuras 11.4 e 11.5 que seguem: 254 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos 11.4.1 Deflexão das molas para suspensões independentes As molas de um eixo com suspensão independente, são submetidas as deflexões causadas pelo deslocamento vertical da roda, bem como pelo deslocamento vertical, arfagem e rolamento da carroceria. Para este desenvolvimento, como nos demais, considera-se também que os deslocamentos verticais da carroceria são maiores do que o das rodas. Genericamente a deflexão das molas de um veículo é dada por δ i (t) = δ bi (t) + δ φi (t) + δ θi (t) + δ ri (t) (11.13) onde: δ bi (t) - devido ao deslocamento vertical (bounce) do centro de massa da carroceria; δ φi (t) - devido ao ângulo de rolagem da carroceria (roll); δ θi (t) - devido ao ângulo de arfagem da carroceria (pitch); δ ri (t) - devido deslocamento do centro de massa das rodas ou eixo. Cálculo da parcela δ bi (t) Esta parcela, referente ao deslocamento vertical do centro de gravidade da carroceria e mostrado na Figura 11.5, é dada por: δ bi (t) = z(t) (11.14) Cálculo da parcela δ φi (t) Esta parcela é causada pelo ângulo de rolamento da carroceria. Sendo tI e tII as bitolas dos eixos dianteiro e traseiro, respectivamente, e com a consideração que o ângulo de giro da carroceria é pequeno, a deflexão das molas das posições 1 a 4 é: Roda dianteira esquerda Roda dianteira direita tI δ φ1 (t) = −φ(t) ; 2 (11.15) tI δ φ2 (t) = φ(t) ; 2 (11.16) tII ; 2 (11.17) Roda traseira direita δ φ3 (t) = φ(t) Rara a roda traseira esquerda δ φ4 (t) = −φ(t) tII , 2 onde o sinal negativo indica que a mola foi tracionada. (11.18) 255 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos Cálculo da parcela δ φi (t) Esta parcela, devido ao ângulo de arfagem da carroceria, é igual para as rodas de um mesmo eixo. Assim a parcela da deflexão das molas devido a este movimento da carroceria (considerando pequenos ângulos de giro da carroceria e que as distâncias do centro de gravidade às rodas dianteiras e traseiras são aI e aII ), são: roda dianteira esquerda e direita δ φ1 (t) = δ φ2 (t) = −θ(t)aI , (11.19) roda traseira direita e esquerda δ φ3 (t) = δφ4 (t) = θ(t)aII . (11.20) O sinal negativo nas duas primeiras equações indica que a mola é tracionada. Cálculo da parcela δ ri (t) Esta parcela da deflexão das molas depende do eixo ser eixo rígido ou suspensão independente. Neste caso, como a suspensão é independente, a deflexão das molas devido ao deslocamento do centro de gravidade das rodas é dada por δri (t) = −zi (t) (11.21) onde o sinal negativo indica que a mola é distendida. Deflexão total das molas δ i (t) Com estas parcelas definidas em função dos deslocamentos dos elementos constituintes do veículo, bem como da posição do centro de gravidade destes, pode-se escrever que: δ 1 (t) = z(t) − φ(t) tI − θ(t)aI − z1 (t), 2 tI − θ(t)aI − z2 (t), 2 tII + θ(t)aII − z3 (t), δ 3 (t) = z(t) + φ(t) 2 tII δ 4 (t) = z(t) − φ(t) + θ(t)aII − z4 (t). 2 δ 2 (t) = z(t) + φ(t) 11.4.2 (11.22) (11.23) (11.24) (11.25) Deflexão das molas para suspensões de eixos rígidos As molas de um eixo rígido, tal como no item 11.4.1, são submetidas as deflexões causadas pelo seu próprio deslocamento vertical e rotação em torno do eixo axial, bem como pelo deslocamento vertical, arfagem e rolamento da carroceria. Com as mesmas considerações feitas no item anterior, genericamente as deflexões das molas de um veículo dotado com este tipo de suspensão podem ser escritas como: 256 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos φ δ i (t) = δ bi k (t) + δi k (t) + δ bi (t) + δ φi (t) + δ θi (t), (11.26) onde: i = 1, 2, 3, ou 4 e k = I ou II, dependendo da i’-ésima posição da roda. Vale a pena frisar que os dois primeiros termos das equações acima, são relativos ao deslocamento e giro do eixo, enquanto que os três últimos são relativos aos deslocamentos linear e angulares da carroceria. A seguir são desenvolvidos os procedimentos de cálculo de cada uma das parcelas das equações acima apresentadas. Cálculo da parcela δ bi I (t) Para o caso de eixo rígido, a deflexão das rodas devido ao deslocamento vertical é o mesmo para ambas e igual ao do centro de massa do eixo. Assim para o eixo dianteiro e traseiro, tem-se, respectivamente δ b1I (t) = δ b2I (t) = −zI (t), (11.27) δ b3II (t) = δ b4II (t) = −zII (t), (11.28) onde o sinal negativo indica que a mola é tracionada. φ Cálculo da parcela δ i k (t) Considerando que o giro do eixo dianteiro e do traseiro sejam φI (t) e φII (t) e as bitolas associadas a estes dois eixos tI e tII , respectivamente, as deflexões das molas para pequenos giros do eixo são dadas por: tI φ δ 1 I (t) = φI (t) , 2 (11.29) tI φ δ 2 I (t) = −φI (t) , 2 (11.30) φ δ 3 II (t) = −φII (t) φ δ4 II (t) = φII (t) tII , 2 tII . 2 (11.31) (11.32) Cálculo da parcela δ bi (t) O deslocamento vertical da carroceria induz deflexões iguais para todas as molas do veículo e assim: (11.33) δ b1 (t) = δ b2 (t) = δ b3 (t) = δ b4 (t) = z 257 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos Cálculo da parcela δ φi (t) O ângulo de rolamento da carroceria induz deflexões nas molas da suspensão proporcionalmente à bitola do eixo. Sendo assim, considerando que o giro da carroceria é pequeno, pode-se escrever a deflexão das molas do eixo dianteiro e traseiro como segue tI δ φ1 (t) = −φ(t) , 2 tI δ φ2 (t) = φ(t) , 2 tII δ φ3 (t) = φ(t) , 2 tII δ φ4 (t) = −φ(t) . 2 Cálculo da parcela δ θi (t) O ângulo de arfagem da carroceria, causa deflexões idênticas nas molas das suspensões de um mesmo eixo. Considerando pequenos ângulos, as deflexões das molas do eixo dianteiro e traseira são dadas por: δ θ1 (t) = δ θ2 (t) = −θ(t)aI , (11.34) δ θ3 (t) = δθ4 (t) = θ(t)aII . (11.35) Deflexão total das molas δ i (t) A seguir é aprensentada a superposição das componentes da deflexão das molas. δ 1 (t) = z(t) − φ(t) tI tI − θ(t)aI − z I (t) + φI (t) , 2 2 (11.36) δ 2 (t) = z(t) + φ(t) tI tI − θ(t)aI − z I (t) − φI (t) , 2 2 (11.37) tII tII + θ(t)aII − z II (t) − φII (t) , 2 2 (11.38) δ3 (t) = z(t) + φ(t) tII tII + θ(t)aII − z II (t) + φII (t) . (11.39) 2 2 Tendo sido determinadas as deflexões das molas e pneus em função dos deslocamentos e do tipo de suspensão que podem equipar um veículo, as equações diferenciais do movimento podem ser obtidas para veículos das mais variadas combinações de concepções de suspensões, como citadas no item 11.1. δ4 (t) = z(t) − φ(t) 258 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos Figura 11.6: Modelo de dois graus de liberdade de 1/4 do veículo. 11.5 Modelos com dois graus de liberdade 11.5.1 Modelo para bounce Segundo a referência [1], uma análise dinâmica preliminar de um veículo pode ser feita com um modelo da quarta parte do conjunto. Neste modelo o veículo é separado em quatro partes, sendo cada parte associada a uma roda do veículo. Com estas considerações o tratamento dinâmico é feito como sendo um sistema de massas e molas com dois graus de liberdade, sendo que, neste caso, uma das molas é a da suspensão e a outra o pneu. As massas associadas a este modelo são a metade da massa não suspensa do eixo e a outra a metade da massa suspensa sobre o eixo. Vale salientar que a massa associada ao eixo é função da posição do centro de gravidade das massas suspensas. Com isto definido, o modelo matemático será desenvolvido a partir do modelo diagramático mostrado na Figura 11.6. De acordo com o que foi desenvolvido nos itens anteriores, a deflexão das mola e do amortecedor deste modelo, em função do deslocamento do centro de massa do eixo e do deslocamento vertical da carroceria, é: δ i (t) = z(t) − zi (t) (11.40) onde o índice i indica a posição da roda, conforme a Figura 11.1. A velocidade associada a esta deflexão é dada por: δ˙ i (t) = z(t) ˙ − z˙i (t) onde o ponto indica derivada em relação ao tempo, ou seja ∂δ i (t) . δ˙ i (t) = ∂t (11.41) 259 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos Figura 11.7: Diagramas de corpo livre para o modelo com dois graus de liberdade. A deflexão dos pneus, em termos do deslocamento do centro de massa do eixo e da rugosidade do solo, é dada por: δ pi (t) = zi (t) − zis (t) (11.42) onde, novamente, o índice i indica a posição da roda. A partir desta equação, a velocidade é dada por: p δ˙ i (t) = z˙i (t) − z˙is (t). (11.43) Com isto definido, parte-se para a determinação das equações do movimento para este problema. Para isto se constrói os diagramas de corpo livre mostrados na Figura 11.7. Do equilíbrio de forças dos diagramas de corpo livre mostrados na Figura 11.7 a - e b -, tem-se as seguintes equações. (11.44) −Fikm − Fic = m2 z¨(t) Fikm + Fic − Fikp = m1 z¨i (t) (11.45) onde os índices sobre-escritos das forças tem a seguinte interpretação: km - representa força devido a deflexão da mola da suspensão; c - representa força devido a ação do amortecedor; kp - representa força devido a deflexão do pneu. Lembrando que as forças de mola e de amortecimento são dadas por Fikm = ki δ i (t) = ki [z(t) − zi (t)] , (11.46) Fic = Ci δ˙ i (t) = Ci [z(t) ˙ − z˙i (t)] , (11.47) Fikp = kip δ i (t) = kip [zi (t) − zis (t)] , (11.48) as equações do movimento podem ser reescritas como: m2 z¨(t) + Ci [z(t) ˙ − z˙i (t)] + ki [z(t) − zi (t)] = 0 (11.49) m1 z¨i (t) − Ci [z(t) ˙ − z˙i (t)] − ki z(t) + [ki + ki ] zip (t) = kip zis (t) (11.50) 260 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos ou matricialmente por ∙ e, compactamente por: ¸½ ¸½ ¾ ∙ ¾ m2 0 z¨(t) z(t) ˙ Ci −Ci + z¨i (t) z˙i (t) 0 m1 −Ci Ci ¸½ ¾ ½ ¾ ∙ z(t) −ki 0 ki = . + zi (t) −ki kip + ki kip zis (t) [M x ¨(t) + C x(t) ˙ + K x(t)] = f(t) onde: ∙ M= é a matriz de inércia; C= é a matriz de anortecimento; K= é a matriz de rigidez; ∙ ∙ ¸ m2 0 0 m1 Ci −Ci −Ci Ci x(t) = é o vetor de deslocamentos e ½ z(t) zi (t) (11.52) (11.53) ¸ −ki ki −ki kip + ki (11.51) ¸ ¾ (11.54) (11.55) (11.56) ¾ (11.57) zis (t) = Zis (Ω)eiΩt , (11.58) f(t) = ½ 0 p s ki zi (t) é o vetor força ou excitação. Com as equações do movimento desenvolvidas, parte-se para a determinação das propriedades características deste sistema dinâmico. Para isso, considera-se que a excitação seja harmônica, porém, podem ser usadas outras metodologias para a determinação das características do sistema. Para este desenvolvimento, adota-se a hipótese que o sistema dinâmico se comporte linearmente. A representação da excitação harmônica será feita na forma complexa, visto que a mesma representa todas as grandezas possíveis de uma excitação, tais como freqüência e ângulo de fase, de maneira bastante compacta. Sendo assim, a excitação, a resposta bem como as suas derivadas em relação ao tempo são dadas por: zi (t) = Zi (Ω)eiΩt , z˙i (t) = iΩZi (Ω)eiΩt = Vip (Ω)eiΩt , z¨i (t) = −Ω2 Zi (Ω)eiΩt = Gpi (Ω)eiΩt , (11.59) 261 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos z(t) = Z(Ω)eiΩt , z(t) ˙ = iΩZ(Ω)eiΩt = V (Ω)eiΩt , 2 iΩt z¨(t) = −Ω Z(Ω)e (11.60) iΩt = G(Ω)e onde: i - é a entidade matemática imaginária; Ω - é a freqüência; t - é a variável tempo; Zis (Ω), Zi (Ω), Z(Ω), V (Ω), Vi (Ω), G(Ω), Gi (Ω) - são as amplitudes dos deslocamentos, das velocidades e das acelerações, em freqüência. Com isso e as devidas simplificações, as equações do movimento são reescritas como: £ ¤ −m2 Ω2 Z(Ω) + iΩCi [Z(Ω) − Zi (Ω)] + ki [Z(Ω) − Zi (Ω)] eiΩt = 0 (11.61) [−m1 Zi (Ω) − Ci [Z(Ω) − Zi (Ω)] − ki [Z(Ω) − Zi (Ω)] + kip Zi (Ω)] eiΩt = kip Zis (Ω)eiΩt (11.62) ou −m2 Ω2 Z(Ω) + iΩCi [Z(Ω) − Zi (Ω)] + ki [Z(Ω) − Zi (Ω)] = 0. −m1 Ω2 Zi (Ω) − iΩCi [Z(Ω) − Zi (Ω)] − ki Z(Ω) + [kip + ki ] Zi (Ω) = kip Zis (Ω) (11.63) (11.64) Definindo s = iΩ e lembramdo que s2 = (iΩ)2 = −Ω2 , pode-se escrever que: m2 s2 Z(Ω) + sCi [Z(Ω) − Zi (Ω)] + ki [Z(Ω) − Zi (Ω)] = 0. m1 s2 Zi (Ω) − sCi [Z(Ω) − Zi (Ω)] − ki Z(Ω) + [kip + ki ] Zi (Ω) = kip Zis (Ω). (11.65) (11.66) a qual pode ser expressada de forma matricial como segue ∙∙ ¸ ¸ ∙ ¸¸ ½ ∙ ¾ ½ ¾ m2 0 ki Z(Ω) Ci −Ci −ki 0 2 s + s+ = Zi (Ω) 0 m1 −Ci Ci −ki kip + ki kip Zis (Ω) (11.67) e mais sinteticamente por: ¤ £ M s2 + C s + K Z(Ω) = F(Ω) onde: M, C e K são as matrizes definidas nas equações (11.53), (11.54) e (11.55); (11.68) 262 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos ½ ¾ Z(Ω) Z(Ω) = e ½ Zi (Ω) ¾ 0 F(Ω) = . kip Zis (Ω) Com estas definições a equação (11.68) pode ser reescrita como Ð(s)Z(Ω) = F(Ω), as quais são as equações de equilíbrio escritas compactamente em termos da freqüência. Verifica-se que estas equações são algébricas, sendo as suas soluções facilmente obtidas, como é mostradoa aseguir. Definindo a matriz receptância como £ ¤−1 (11.69) Λ(s) = Ð(s)−1 = M s2 + C s + K tem-se que a resposta, Z(Ω), do sistema é calculada por: Z(Ω) = Λ(s)F(Ω). A matriz receptância, em termos das propriedades do sistema, é dada por: ¸ ∙ 1 ki + kip + s(ci + m1 s) ki + ci s Λ(s) = ki + ci s ki + s(ci + m2 s) det Ð(s) (11.70) (11.71) onde: det Ð(s) = ki (kip + (m1 + m2 )s2 ) + s(m2 s(kip + m1 s2 ) + ci (kip + (m1 + m2 )s2 )) (11.72) é o determinante da matriz Ð(Ω). Teoricamente, na ressonância, a resposta do sistema, equação (11.70), tende ao infinito e para que isto aconteça é necessário que a inversa tenda a infinito, o que ocorre nos pólos da razão 1/ detÐ(s) da equação (11.71). A determinação destes pólos, que correspondem as freqüências de naturais do sistema, são obtidos a partir da solução da seguinte equação algébrica: det Ð(s) = 0. (11.73) As raízes desta equação, ou os pólos, normalmente são complexas conjugadas aos pares, sendo assim, na análise de estabilidade desse sistema, a condição de sistema estável somente e satisfeita se a parte real das raízes da equação (11.73) forem negativas. Para o desenvolvimento que segue as raízes da equação podem ser escritas genericamente por: sj = δ j ± i ν j (11.74) onde j = 2, 4, · · · , 2n, e n é a dimensão da matriz Ð(s). No caso particular do sistema com dois graus de liberdade n = 2, o que implica em quatro raízes. Para um sistema com n graus de liberade pode-se escrever que: |δ j | = ξ j Ωj (11.75) 263 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos as quais invertidas resultam em: q ν j = Ωj 1 − ξ 2j 1 ξj = r ³ ´2 ν 1 + δjj Ωj = |δj | ξj (11.76) (11.77) (11.78) onde: ν j é a j’-ésima freqüência natural amortecida; Ωj é denominada de j’-ésima freqüência natural não amortecida. A razão de amortecimento, grafada com a letra ξ j , é dada por ξj = c ccj (11.79) sendo que ccj é o amortecimento crítico calculado por ccj = 2 m Ωj . (11.80) Vale salientar que: Ωj [Hz] . (11.81) 2π Lembrando da forma que o deslocamento, a velocidade e a aceleração das diversas partes do modelo, equações (11.59) e (11.60), foram definidas, pode-se escrever a amplitude complexa da velocidade e da aceleração, em termos da amplitude complexa do deslocamento, como ¾ ½ ¾ ½ Z(Ω) Z(Ω) = iΩ , (11.82) V(Ω) = Zi (Ω) Vip (Ω) ¾ ¾ ½ ½ Z(Ω) G(Ω) 2 = −Ω (11.83) G(Ω) = Zi (Ω) Gi (Ω) fj = ou de maneira compacta por V(Ω) = iΩZ(Ω), (11.84) G(Ω) = −Ω2 Z(Ω). (11.85) Introduzindo a equação (11.70) nestas duas últimas equações, pode-se escrever: V(Ω) = iΩΛ(s)F(Ω) = Υ(Ω)F(Ω), (11.86) G(Ω) = −Ω2 Λ(s)F(Ω) = Ξ(Ω)F(Ω) (11.87) Υ(Ω) = iΩΛ(s) (11.88) Ξ(Ω) = −Ω2 Λ(s) (11.89) onde: é a mobilidade e 264 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos é a acelerância, ambas obtidas a partir da matriz de receptância Λ(s). O módulo da receptância, Λ(s), da mobilidade, Υ(Ω), ou da acelerância, Ξ(Ω), são denominados de ganho. Em função das grandes amplitudes na região de ressonância o ganho pode ser expressado em decibéis, dB. Para isso toma-se o logarítmo decimal do ganho multiplicado por vinte, como segue: 20 log10 |Λ(s)| para a receptância; 20 log10 |Υ(Ω)| para a mobilidade e 20 log10 |Ξ(Ω)| para a acelerância. Essas funções de resposta em freqüência, variáveis da freqüência de excitação, são plotadas normalmente em escala di-log. 11.5.2 Determinação de alguns parâmetros da suspensão A determinação aproximada da rigidez das molas e da constante de amortecimento das suspensões de um automóvel, é feita a partir da simplificação do modelo de dois graus de liberdade desenvolvido anteriormente. Essa simplificação consiste em desprezar o grau de liberdade associado a massa não suspensa do eixo e que a rigidez da mola é equivalente a combinação em série da rididez do pneu e da mola da suspensão. Adicionalmente, a esse modelo, é necessário lançar mão da experiência para que a rigidez da mola da suspensão e a constante de amortecimento sejam determinadas de maneira a tornar a marcha (em inglês ride) do automóvel adequada ao uso. Para um modelo com um grau de liberdade apenas e negligenciando a excitação, a equação de equilíbrio pode ser desenvolvida a partir da Figura 11.7 - b, onde a rigidez da mola é equivalente a do pneu e da suspensão, ou seja: keq = ki kip ki + kip (11.90) −Fikm − Fic = m2 z¨(t) (11.91) Considerando comportamento harmônico, a resposta em freqüência desse sistema é: £ ¤ m2 s2 + sCi + keq Z(Ω) = 0. (11.92) Descartando a solução trivial, a solução desse problema é obtida a partir da seguinte equação algébrica: (11.93) m2 s2 + sCi + keq = 0. As raízes desse sistema algébrico são: s1,2 Ci =− ± 2m2 sµ Ci 2m2 ¶2 − keq m2 (11.94) 265 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos ou s1,2 = − Ci ± 2m2 r ⎤ ⎡v ⎞2 u⎛ u keq ⎢u⎝ Ci ⎥ q ⎠ − 1⎦ ⎣t m2 2m keq 2 (11.95) m2 Antes de continuar o desenvolvimento para o sistema amortecido, é importante uma análise intermediária. Essa análise intermediária é a do sistema não amortecido, ou seja £ ¤ m2 s2 + keq Z(Ω) = 0. As raízes da equação algébrica associada a esta última equação são: r keq s1,2 = ±i m2 o que implica em (11.96) (11.97) r keq (11.98) m2 ou r 1 keq (11.99) f2 = 2π m2 que são a frequência fundamental ou natural não amortecida de um sistema com um grau de liberdade, em rad/s ou em Hz, respectivamente. Com as definições estabelecidas para o sistema de um grau de liberdade não amortecido, pode-se retornar ao problema de autovalor para o problema amortecido e reescrever a equação 11.95 para o caso de amortortecimento subcrítco, ξ < 1, como segue: q (11.100) s = −ξΩ2 ± i Ω2 1 − ξ 2 Ω2 = ou s=δ±i ν onde: ξ= Ci 2m2p Ω2 = c cc2 2 (11.101) - é a razão de amortecimento; ν = Ω2 1 − ξ - é a freqüência natural amortecida; δ = −ξ Ω2 é a parte real do autovalor. i - é entidade imaginária. Segundo a referência [1], para uma marcha suave do veículo, a razão de amortecimento, ξ, dos carros de passeio se situa na faixa de 0, 2 a 0, 4. Vale salientar que nessa faixa da razão de amortecimento, ξ, a freqüência natural não amortecida é levemente diferente da amortecida e por isso a frequência natural não amortecida é utilizada para caracterizar o comportamento dinâmico do veículo no ante-projeto. Porém, quando a razão de amortecimento é maior do que 1, por exemplo 2, a suspensão torna-se tão rígida que o veículo balança somente sobre os pneus e a freqüência natural amortecida cresce para valores na faixa de 3 a 4 Hz. A modelagem apresentada acima, não consegue captar o efeito do amortecedor na capacidade de aderência do veículo, tanto em curvas ou em acelerações, que é uma característica Capítulo 11 - Modelos dinâmicos 266 essencial na manobrabilidade (handling) e segurança do veículo. Isso implica que a determinação da constante de amortecimento mais adequada para o veículo, considerando esse modelo de análise, deve ser experimental. Outro fato, que é uma simplificação no modelo desenvolvido, é a hipótese das propriedades do amortecedor serem iguais na distenção e na compressão, o que não corresponde ao caso real, onde, na maioria das aplicações, os amortecedores são de simples efeito ou de duplo efeito. Para reduzir a força transmitida durante a subida da roda pelo efeito de uma irregularidade na pista, os amortecedores de simples efeito apresentam a constante de amortecimento bastante baixo na compressão e um valor bastante grande na descida da roda ou extensão do amortecedor. Nos amortecedores de duplo efeito existe um amortecimento significativo na compressão, porém não tão grande quanto aquele existente na sua extensão. Outro detalhe importante, relacionado com o amortecimento diferente nos dois sentidos de delocamento do amortecedor, é o seu comportamento não linear (bi-linear), implica em um comportamento não linear da equação do movimento desenvolvida. Dessa maneira, em uma análise mais elaborada da resposta do equacionamento desenvolvido, é necessário considerar a não linearidade desse elemento nas equações do movimento. Finalmente, o efeito das buchas elásticas usadas nos pontos de fixação dos amortecedores nos eixos e na carroceria, devem ser considerado na análise dos deslocamentos de pequena amplitude e de alta frequência que os eixos do veículo estão submetidos. Quanto a rigidez das molas da suspensão, que está em série com a dos pneus (a rigidez das molas da suspensão é cerca de 10% da rigidez do pneu), há a sua predominância na rigidez equivalente, equação (11.90), e no valor da freqüência de ressonância. Como a amplitude de aceleração cresce com a freqüência o melhor isolamento do veículo das irregularidades da pista, é conseguido mantendo o valor da frequência fundamental o mais baixo possível. A escolha natural para a freqüência fundamental de balanço (bounce) de um veículo é na faixa de até 1, 0 Hz. Porém, a adoção de valores menores do que a unidade tem um limite que é o espaço necessário para o curso da suspensão. Sendo assim, o a faixa de frequência recomendada para a seleção da rigidez das molas da suspensão de veículos de passeio fica na faixa de 0, 9 a 1, 5 Hz, quando se deseja um veículo que tenha marcha suave de deslocamento. Carros de alto desempenho, que sacrificam o conforto no rodar em troca de melhores características de manobrabilidade, têm a rigidez das molas de suas suspensões selecionadas para a faixa de freqüência natural de 2 a 2, 5 Hz , conforme a referência [1]. Quanto a relação da freqüência natural com o curso da suspensão, com uma análise bastante simples, consegue-se mostrar que para uma frequência natural de cerca de 1, 0 Hz, é necessária uma deflexão estática de cerca de 240 mm da mola (pré-carga). Para a suspensão que usa a mola com essa característica, é necessário um curso de cerca de 120 mm para absorver uma carga associada a uma aceleração vertical de 0, 5 g. Isso implica que, para acelerações relativamente modestas impostas pelo solo, o curso da suspensão precisa ser relativamente grande para valores de freqüências de 1, 0 Hz. Quando o veículo é grande e o espaço disponível da suspensão também, o uso de frequências naturais baixas para a seleção da rigidez de mola é possível. Quando o veículo é pequeno e o espaço disponível para o curso da suspensão é pequeno, usa-se frequências mais altas para a determinação da rigidez da 267 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos mola. Essa última opção, para a determinação da rigidez da mola, implica numa redução do conforto do veículo, já que há um endurecimento da suspensão. 11.5.3 Massas não suspensas A massa dos eixos, que inclui a massa da roda, pneu cubo, ponta de eixo, freios, juntas e parte da massa dos semi eixos, balanças, amortecedores e molas, constitui o que se chama de massa não suspensa. Essas massas, denotadas pela letra m1 no modelo com dois graus de liberdade e mostrado na Figura 11.7 - a, tem o graus de liberdade, zi (t), associado. Como essa massa é bastante menor que a massa suspensa (segundo a referência [1] cerca de 10% da massa suspensa para os eixos não motrizes e cerca de 15% para os eixos motrizes), a sua freqüência de ressonância é bem maior do que a freqüência de ressonância das massas suspensas. Sendo assim, para uma análise preliminar, pode-se supor que a massa não suspensa é um sistema de um grau de liberdade suportado pela molas em paralelo pneu e da suspensão, já que os deslocamentos da carroceria serão muito menores do que os das massas não suspensas na ressonância destas últimas. Com essa hipótese, a freqüência natural da suspensão pode ser estimada pela seguinte equação: s Ω1 = ki + kip m1 (11.102) onde os termos que compõem essa equação têm o significado definido anteriormente neste item. Segundo a referência [1], como a rigidez das molas da supensão giram em torno de 10% da rigidez dos pneus e o valor das massas não suspensas em torno de 50 kg, os valores típicos para a freqüência natural das massas não suspensas é em torno de 10 Hz. Esse valor da freqüência é afetado pela rigidez torcional e amortecimento histerético das buchas da suspensão, cujos efeitos se traduzem no deslocamento da freqüência de ressonância para a faixa de 12 a 15 Hz. Com uma análise simples de sensibilidade da freqüência natural em relação a massa não suspensa, concluí-se que os eixos mais leves são os mais indicados para uma marcha de deslocamento suave do veículo em relação aos eixos mais pesados, porém problemas, facilmente contornáveis, surgem em altas freqüências de excitação. Exemplo Determinar a rigidez de mola e a constante de amortecimento para o veículo com as características apresentadas na Tabela 11.1 Solução: Para o desenvolvimento do problema é necessário calcular a rigidez das molas da suspensão. Dessa forma é necessário determinar o valor da massa suspensa sobre cada roda. Sendo assim, m2I = 1.476(1 − 0, 45) m(1 − x) = = 405, 9 kg 2 2 m2II = m x 1.476 0, 45 = = 332, 1 kg 2 2 268 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos Tabela 11.1: Características do veículo. Grandeza Dimensão Dados Tração − T raseira Distribuição de carga x − 0, 45 Razão de amortecimento ξ − 0, 3 Suspensão dianteira McPherson − − Suspensão traseira Semi trailing Peso do veículo G N 16.503 Massa do veículo mtotal kg 1.682, 26 Massa suspensa m kg 1.476 Massa não suspensa eixo dianteiro mI kg 92, 26 Massa não suspensa eixo traseiro mII kg 114 Rigidez do pneu kip N/m 210.000 Lembrando que a freqüência natural deve girar em torno de 1,0 a 1,5 Hz, a rigidez das molas da suspensão é determinada a partir da combinação das seguintes equações r 1 keq f2 = 2π m2 keq = ki = ³ ki kip ki + kip kip kip m2 (2πf2 )2 ´ −1 Considerando que a suspensão traseira tem que ser um pouco mais rígida que a dianteira, em função da estabilidade direcional, considera-se que as frequências naturais são 1, 0 hz e 1, 2 Hz para os eixos dianteiro e traseira, respectivamente. Sendo assim, tem-se: kip kiI = ³ m2I (2πf2 )2 kiII = ³ kip m2II (2πf2 )2 kip kip 210.000 ´=³ ´ = 17.348, 05 N/m 210.000 −1 − 1 405,9(2π1,0)2 210.000 ´=³ ´ = 20.744, 51 N/m 210.000 −1 2 − 1 332,1(2π1,2) Determinada a rigidez das molas do eixo dianteiro e traseiro, o próximo passo é a determinação das constantes de amortecimento para os dois eixos. Para isso, como o veículo é de passeio, considera-se como uma primeira aproximação que a razão de amortecimento é de 0,3, ou seja ξ = 0, 3. Assim, para continuar o desenvolvimento é necessário calcular o amortecimento crítico das suspensões dianteira e traseira. Isso é feito a partir da seguinte equação: ccj = 2 m Ωj . (11.103) 269 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos Cálculo da freqüência natural em rad/s Ω2 Ω2 I II = 2πf2 I = 2π1, 0 = 6, 283 rad/s = 2πf2 II = 2π1, 2 = 7, 540 rad/s Cálculo do amortecimento crítico para o eixo dianteiro: ccI = 2 m2 I Ω2 I = 2 405, 9 6, 283 = 5.100, 54 Ns/m (11.104) Cálculo do amortecimento crítico para o eixo traseiro: ccII = 2 m2 II Ω2 II = 2 332, 1 7, 540 = 5.007, 95 Ns/m (11.105) Com isso definido e com ξ = 0, 3, tem-se que a constante de amortecimento para os eixos dianteiro e traseiro são calculadas a partir da seguinte equação: c = ccj ξ (11.106) cI = ccI ξ = 5.100, 54 0, 3 = 1530, 16 Ns/m (11.107) cII = ccII ξ = 5.007, 95 0, 3 = 1502, 39 Ns/m (11.108) O cálculo das freqüências naturais dos eixos é feito com a equação simplificada 11.102, reescrita a seguir: s ki + kip Ω1 = . (11.109) m1 Assim o período fundamental para o eixo dianteiro e traseiro é dado por: s s ki I + kip 17.348, 05 + 210.000 = = 70, 20 rad/s = 11, 73 Hz Ω1 I = m1 I 92, 26/2 Ω1 II = s kiII + kip = m1 II s 20.744, 51 + 210.000 = 63, 63 rad/s = 10, 13 Hz 114/2 (11.110) (11.111) respectivamente. A determinação das freqüências naturais amortecidas é feita a partir da seguinte equação q ν = Ωj 1 − ξ 2 . Assim, a freqüência natural amortecida para a massa sobre o eixo dianteiro vale q p ν 2 I = Ω2 I 1 − ξ 2 = 6, 283 1 − 0, 32 = 5, 99 rad/s = 0, 953 Hz e para a massa sobre o eixo traseiro vale q p ν 2 II = Ω2 II 1 − ξ 2 = 7, 540 1 − 0, 32 = 7, 193 rad/s = 1, 144 Hz. (11.112) (11.113) Capítulo 11 - Modelos dinâmicos Para o eixo dianteiro, a freqüência natural amortecida vale q p ν 1I = Ω1I 1 − ξ 2 = 70, 20 1 − 0, 32 = 66, 97 rad/s = 10, 65 Hz 270 (11.114) e para o eixo traseiro vale q p ν 1II = Ω1II 1 − ξ 2 = 63, 63 1 − 0, 32 = 60, 70 rad/s = 9, 66 Hz. Nas equações apresentadas acima, observa-se que as freqüências naturais amortecidas diferem muito pouco das amortecidas, por isso que a freqüência natural não amortecida é bastante usada para definir as propriedades de um veículo na etapa de ante-projeto. É importante observar também que a rigidez das molas bem como a constante de amortecimento calculadas acima, não são os valores reais da rigidez das molas e da constante de amortecimento. Isto se deve ao fato que no modelo matemático as molas e os amortecedores estão colocados no plano médio das rodas. Nos veículos reais isso não ocorre, pois basta lembrar que as molas e amortecedores estão fixos nas balanças ou nos braços das suspensões dos automóveis, exceto no caso de algumas suspensões McPherson. Sendo assim é necessário calcular a rigidez de mola e a constante de amortecimento considerando os braços de alavanca proporcionados pelas balanças das suspensões. Para esse caso, como a suspensão dianteira é a Mc Pherson e que a mola e amortecedor estão na torre da suspensão, a constante de mola e de amortecimento não se alteram, pois o deslocamento e a velocidade que a mola sofre é aproximadamente (a diferença se deve à leve inclinação do eixo da mola e do amortecedor da vertical) a do plano médio do pneu. Para a suspensão traseira, onde o tipo é semi trailing, considera-se as seguinte grandezas: u = 0, 2 m e v = 0, 3 m medidas em relação ao ponto de pivotamento da balança a mola e a roda, respectivamente. Sendo assim: µ ¶2 ³ v ´2 0, 3 = 20.744, 51 = 46.675, 15 N/m kreal = kiII u 0, 2 Com o valor estabelecido para as molas das suspensões dianteira e traseira, pode-se calcular a deflexão estática da mola para suportar o peso próprio do veículo, como segue: m2I (1 − x)g ³ u ´2 405, 9(1 − 0, 45)9, 81 (1, 0)2 = 0, 126 m = 126 mm δ estI = = kiI v 17.348, 05 µ ¶2 m2II x g ³ u ´2 332, 1 0, 45 9, 81 0, 2 = = 0, 031 m = 31 mm δ estII = kiII v 20.744, 51 0, 3 Supondo que durante o deslocamento o veículo fique submetido a uma carga proporcional a 0, 5 g de aceleração vertical, a deflexão do centro da roda é calculado como segue: δ roda I = m2I (1 − x)avert 405, 9(1 − 0, 45)0, 5 9, 81 = 0, 063 m = 63 mm = kiI 17.348, 05 m2II x avert 332, 1 0, 45 0, 5 9, 81 = = 0, 035 m = 35 mm kiII 20.744, 51 Esses valores significam que, para suportar uma aceleração vertical de cerca de 0, 5 g, as suspensões devem permitir um curso livre da roda de pelo menos 63 mm e 35 mm nos eixos dianteiro e traseiro respectivamente. δ roda II = 271 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos 11.6 Modelos com sete graus de liberdade A abordagem apresentada a seguir vale para todas as combinações possíveis de suspensões para automóveis. A formulação é desenvolvida em termos energéticos, visto que se procura uma ferramenta mais flexível para permitir que se agrege, oprtunamente, alguns outros efeitos no modelo, tais como efeitos giroscópicos, massas descentradas, ou então graus de liberdade associados aos subsistemas que compõem um automóvel (por exemplo direção e transmissão). O objetivo desses modelos é o da melhor representação do comportamento de um veículo transitando em linha reta, porém modelos com número maior de graus de liberdade, de tal forma a simular dirigibilidade e frenagem como feito por Sayers e Han na referência [?], podem ser construídos. Como o objetivo primeiro deste trabalho é o de levantar cargas durante o deslocamento em linha reta do veículo, os modelos com sete graus de liberdade são adequado para uma primeira abordagem. Para o desenvolvimento que será feito neste capítuloa influência do campo gravitacional não será considerada, já que os carregamentos médios impostos pelo peso e as resistências ao movimento do veículo foram determinados em capítulo anterior, 11.6.1 Veículos com dois eixos rígidos O modelo com sete graus de liberdade para o caso em que os eixos traseiro e dianteiro são rígidos, mostrado na Figura 11.8, é desenvolvido neste item. Vale a pena salientar que as coordenadas generalizadas, para o modelo do veículo discretizado com sete graus de liberdade, podem ser escritas na forma de um vetor, comno segue: ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ z(t) q (t) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ φ(t) q (t) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎨ q3 (t) ⎬ ⎨ θ(t) ⎪ zI (t) q4 (t) = (11.115) x(t) = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ q5 (t) ⎪ φI (t) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ q z (t) (t) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 6 II ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ q7 (t) φII (t) e as velocidades associadas a esses graus de liberdade por ⎧ ⎫ ⎧ q ˙ (t) ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ q ˙ (t) ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎨ q˙3 (t) ⎬ ⎪ q˙4 (t) = x(t) ˙ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ q ˙ (t) ⎪ ⎪ ⎪ 5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ q ˙ (t) ⎪ ⎪ ⎪ 6 ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎭ ⎪ q˙7 (t) ⎫ z(t) ˙ ⎪ ⎪ ⎪ ˙ ⎪ φ(t) ⎪ ⎪ ˙θ(t) ⎪ ⎪ ⎬ I z˙ (t) . (11.116) ⎪ ˙φI (t) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ z˙II (t) ⎪ ⎪ ˙φII (t) ⎭ Os graus de liberdade associados ao vetor x(t), são mostrados na Figura 11.8. Com estas grandezas definidas, as deflexões das molas, dadas pelas equações (11.36) a (11.39) e repetidas a seguir, são tI tI δ 1 (t) = z(t) − φ(t) − θ(t)aI − zI (t) + φI (t) , (11.117) 2 2 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos 272 Figura 11.8: Modelo de sete graus de liberdade para um veículo com dois eixos rígidos. 273 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos tI tI − θ(t)aI − zI (t) − φI (t) , 2 2 (11.118) δ 3 (t) = z(t) + φ(t) tII tII + θ(t)aII − zII (t) − φII (t) , 2 2 (11.119) δ 4 (t) = z(t) − φ(t) tII tII + θ(t)aII − zII (t) + φII (t) , 2 2 (11.120) δ 2 (t) = z(t) + φ(t) e as velocidades dadas por tI ˙ ˙ tI − θ(t)a ˙ ˙ − φ(t) δ˙ 1 (t) = z(t) I − z˙I (t) + φI (t) , 2 2 (11.121) tI ˙ tI − θ(t)a ˙ ˙ δ˙ 2 (t) = z(t) ˙ + φ(t) I − z˙I (t) − φI (t) , 2 2 (11.122) tII ˙ tII + θ(t)a ˙ ˙ ˙ + φ(t) δ˙ 3 (t) = z(t) , II − z˙II (t) − φII (t) 2 2 (11.123) tII ˙ tII + θ(t)a ˙ ˙ ˙ − φ(t) δ˙ 4 (t) = z(t) . (11.124) II − z˙II (t) + φII (t) 2 2 As deflexões dos pneus para um eixo rígido, dadas pelas equações (11.9) a (11.12), são repetidas a seguir δ p1 (t) = zI (t) − φI (t) tI − z1s (t), 2 (11.125) δ p2 (t) = zI (t) + φI (t) tI − z2s (t), 2 (11.126) tII − z3s (t), 2 (11.127) tII − z4s (t) 2 (11.128) δ p3 (t) = zII (t) + φII (t) δ p4 (t) = zII (t) − φII (t) e as velocidades associadas por: tI p δ˙ 1 (t) = z˙I (t) − φ˙ I (t) − z˙1s (t), 2 (11.129) tI p δ˙ 2 (t) = z˙I (t) + φ˙ I (t) − z˙2s (t), 2 (11.130) tII p − z˙3s (t), δ˙ 3 (t) = z˙II (t) + φ˙ II (t) 2 (11.131) tII p − z˙4s (t). δ˙ 4 (t) = z˙II (t) − φ˙ II (t) (11.132) 2 Tendo sido estabelecidos as deflexões e as velocidades de deflexão das molas, a seguir se determina a energia potencial, a energia cinética e a função dissipação de Rayleigh para cada um dos subsistemas, sendo a superposição dos efeitos feita posteriormente. Capítulo 11 - Modelos dinâmicos 274 Cálculo da energia associada a carroceria Energia cinética O objetivo de calcular a energia cinética do sistema é o de determinar a matriz de inércia do conjunto, a partir de conceitos de mecânica Lagrangeana. Assim a energia cinética do subsistema carroceria é dada por: i 1h 2 2 (11.133) Tc = m z˙ 2 (t) + Ix φ˙ (t) + Iy θ˙ (t) 2 onde: m - massa da carroceria; Ix - momento de massa da carroceria em torno do eixo, x, axial ao carro; Iy - momento de massa da carroceria em torno do eixo, y, transversal ao carro. Energia potencial O objetivo da determinação da energia potencial é o de determinar a matriz de rigidez do sistema. Assim a energia potencial da carroceria devido a deflexão das molas das suspensões é dada por: ¤ 1£ 2 k1 δ 1 (t) + k2 δ 22 (t) + k3 δ 23 (t) + k4 δ 24 (t) 2 a qual, inseridas as equações (11.117) a (11.120), é reescrita como ∙ 1 tI tI k1 (z(t) − φ(t) − θ(t)aI − zI (t) + φI (t) )2 Vc = 2 2 2 tI tI +k2 (z(t) + φ(t) − θ(t)aI − zI (t) − φI (t) )2 2 2 tII tII +k3 (z(t) + φ(t) + θ(t)aII − zII (t) − φII (t) )2 2 2 ¸ tII tII 2 + k4 (z(t) − φ(t) + θ(t)aII − zII (t) + φII (t) ) . 2 2 Vc = (11.134) (11.135) Função dissipativa de Rayleigh As forças dissipativas ou não conservativas podem ser oriundas de mecanismos de amortecimento viscoso bem como de forças circulatórias, as quais são incluídas nos sistemas de equações de movimento a partir da função dissipadora definida por: ¶ n µ n X X 1 (11.136) cij q˙i q˙j + dij q˙i qj == 2 i=1 i=1 onde: cij - é o coeficiente de amortecimento viscoso; dij - é o coeficiente do amortecimento das forças circulatórias; q˙i - é a velocidade da i’ésima coordenada generalizada; qj - é a j’ésima coordenada generalizada; n - é o número de graus de liberdade do sistema. Na equação (11.136) o primeiro termo do lado direito é associado com as forças de amortecimento viscoso enquanto que o último é associado ao amortecimento das forças circulatórias. Como neste modelo a aerodinâmica não será considerada como um fator importante 275 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos no amortecimento do veículo, o último termo da equação (11.116) é negligenciado. Com esta hipótese simplificativa adotada, a potência dissipada pelos amortecedores do veículo é dada por: i 1 h ˙2 2 2 2 (11.137) c1 δ 1 (t) + c2 δ˙ 2 (t) + c3 δ˙ 3 (t) + c4 δ˙ 4 (t) =c = 2 ou, em termos dos graus de liberdade da carroceria e das suspensões, por: ∙ 1 tI 2 ˙ tI − θ(t)a ˙ ˙ =c = ˙ − φ(t) c1 (z(t) I − z˙I (t) + φI (t) ) 2 2 2 tI 2 ˙ tI − θ(t)a ˙ ˙ +c2 (z(t) ˙ + φ(t) I − z˙I (t) − φI (t) ) 2 2 t tII 2 II ˙ ˙ ˙ + θ(t)a ) +c3 (z(t) ˙ + φ(t) II − z˙II (t) − φII (t) 2 2 ¸ tII 2 ˙ tII + θ(t)a ˙ ˙ (11.138) + c4 (z(t) ˙ − φ(t) ) . II − z˙II (t) + φII (t) 2 2 Cálculo da energia associada ao eixo dianteiro Neste item são calculadas apenas a energia cinética e a energia potencial do eixo, já que o efeito das forças dissipativas dos pneus é desprezada nessa primeira aproximação. Vale salientar que o modelo mais adequado para a consideração do efeito dissipativo dos pneus não é o de amortecimento viscoso, mas sim o de amortecemento histerético, tendo em vista o comportamento dos pneus sob a ação de cargas radiais nas operações de carga e descarga. Detalhes deste comportamento dos pneus estão descritos na referência [?] e na [4]. Energia cinética Como neste modelo não há interesse na análise do comportamento torcional do eixo, a energia cinética do conjunto eixo dianteiro é dada por: 1 TerI = [mI (z˙I (t))2 + IxI (φ˙ I (t))2 ] 2 (11.139) onde mI - é a massa do eixo dianteiro; z˙I (t) - é a velocidade vertical do centro de gravidade do eixo rígido; IxI - é o momento de massa do eixo dianteiro em relação ao eixo axial do veículo; φ˙ I (t) - é a velocidade de giro do eixo dianteiro em relação ao eixo axial. Energia potencial é dada por: A energia potencial do eixo dianteiro devido as deflexões dos pneus ¤ 1£ p p k1 (δ 1 (t))2 + k2p (δ p2 (t))2 (11.140) 2 Substituindo na equação acima as deflexões do pneu em termos dos deslocamentos do eixo bem como em função da rugosidade do solo, equações (11.125) a (11.126), a mesma pode ser reescrita como: ( ∙ ∙ ¸2 ¸2 ) 1 tI tI (11.141) k1p zI (t) − φI (t) − z1s (t) + k2p zI (t) + φI (t) − z2s (t) VerI = 2 2 2 VerI = 276 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos Cálculo da energia associada ao eixo traseiro Desprezando a energia dissipada pelo amortecimento interno dos pneus, neste item se calcula, também, apenas a energia cinética e a potencial. Energia cinética Considerando apenas os deslocamentos vertical e de giro do eixo em relação a direção axial do veículo, a energia cinética é dada por 1 TerII = [mII (z˙II (t))2 + IxII (φ˙ II (t))2 ]. 2 (11.142) onde mII - é a massa do conjunto eixo traseiro; z˙II (t) - é a velocidade vertical do centro de gravidade do eixo rígido; IxII - é o momento de massa do eixo traseiro em relação ao eixo axial do veículo; φ˙ II (t) - é a velocidade de giro do eixo traseiro em relação ao eixo axial. Energia potencial A energia potencial para o eixo traseiro rígida é dada por VerII = ¤ 1£ p p k3 (δ 3 (t))2 + k4p (δ p4 (t))2 . 2 (11.143) Com a substituição das equações (11.127) a (11.128), a equação 11.143 é reescrita como: ¸ ∙ 1 p tII tII p s 2 s 2 (11.144) k (zII (t) + φII (t) − z3 (t)) + k4 (zII (t) − φII (t) − z4 (t)) . VerII = 2 3 2 2 Superposição dos efeitos A seguir é feita a superposição das energias calculadas para que se possa aplicar o princípio de Lagrange e gerar o sistema de equações diferenciais para o modelo de sete graus de liberdade de um veículo com dois eixos rígidos. Energia cinética total para um veículo com eixos rígidos na frente e traseira Com as considerações feitas anteriormente a energia cinética de um veículo dotado de dois eixos rígidos é dada por TT otal = Tc + TerI + TerII . (11.145) Onde Tc - energia cinética da carroceria; TerI - energia cinética do eixo dianteiro; TerII - energia cinética do eixo traseiro. Em termos dos graus de liberdade do sistema, a energia cinética de todo o sistema é dada por TT otal = 1h 2 2 m z˙ 2 (t) + Ix φ˙ (t) + Iy θ˙ (t) + mI (z˙I (t))2 + IxI (φ˙ I (t))2 ] 2 i +mII (z˙II (t))2 + IxII (φ˙ II (t))2 . (11.146) 277 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos Energia potencial total para um veículo com eixos rígidos na frente e traseira A energia potencial de todo o conjunto é dada pela soma direta de todas as parcelas desenvolvidas anteriormente, como segue. VT otal = Vc + VerI + VerII (11.147) ou, em termos dos graus de liberdade do sistema, por ( µ ¶2 tI 1 tI k1 z(t) − φ(t) − θ(t)aI − zI (t) + φI (t) VT otal = 2 2 2 µ ¶2 tI tI +k2 z(t) + φ(t) − θ(t)aI − zI (t) − φI (t) 2 2 µ ¶2 tII tII +k3 z(t) + φ(t) + θ(t)aII − zII (t) − φII (t) 2 2 µ ¶2 tII tII + θ(t)aII − zII (t) + φII (t) +k4 z(t) − φ(t) 2 2 µ µ ¶2 ¶2 tI tI p p s s +k1 zI (t) − φI (t) − z1 (t) + k2 zI (t) + φI (t) − z2 (t) 2 2 µ µ ¶2 ¶2 ) t t II II − z3s (t) + k4p zII (t) − φII (t) − z4s (t) (11.148) + k3p zII (t) + φII (t) 2 2 Potência dissipada pelos amortecedores de um veículo com eixos rígidos na frente e na traseira Para veículo, no qual a influência do amortecimento dos pneus é desprezável, a função dissipação de Rayleigh é dada por =c ∙ 1 tI 2 ˙ tI − θ(t)a ˙ ˙ = ˙ − φ(t) c1 (z(t) I − z˙I (t) + φI (t) ) 2 2 2 tI 2 ˙ tI − θ(t)a ˙ ˙ +c2 (z(t) ˙ + φ(t) I − z˙I (t) − φI (t) ) 2 2 t tII 2 II ˙ ˙ ˙ +c3 (z(t) ˙ + φ(t) + θ(t)a ) II − z˙II (t) − φII (t) 2 2 ¸ tII 2 ˙ ˙ tII + θ(t)a ˙ ) . + c4 (z(t) ˙ − φ(t) II − z˙II (t) + φII (t) 2 2 (11.149) Equações de Lagrange. As equações de Lagrange, referência [?], para sistemas dinâmicos são dadas por: µ ¶ µ ¶ ∂L ∂= d ∂L − = fi , i = 1, ..., n + (11.150) dt ∂ q˙i ∂qi ∂ q˙i onde: L - é denominado de Lagrangiano e dado por L = TT otal − VT otal ; qi , q˙i - é o deslocamento e a velocidade da i’-iésima coordenada generalizada do sistema e 278 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos n - é o número de graus de liberdade do sistema. As matrizes de inércia, amortecimento e de rigidez deste sistema, desenvolvidas a partir da aplicação da equação (11.150), tem os seus elementos dados por ∂ 2 T2 ; ∂ q˙i ∂ q˙j (11.151) ∂2= ; cij = ∂ q˙i ∂ q˙j (11.152) ∂2V ; ∂qi ∂qj (11.153) mij = kij = onde, para este problema específico, tem-se que a energia cinética T2 é dada por T2 = TT otal (11.154) já que se não se considera os efeitos giroscópicos nem o enrigecimento da estrutura devido a campos longitudinais de força. A energia potencial V do sistema em questão é dada por: V = VT otal (11.155) Matriz massa A seguir são determinados os elementos da matriz massa com o auxílio da equação (11.151). ∂ 2 TT otal =m m11 = ∂ z˙ 2 ∂ 2 TT otal m22 = = Ix 2 ∂ φ˙ m33 = ∂ 2 TT otal = Iy 2 ∂ θ˙ m44 = ∂ 2 TT otal = mI ∂ z˙I2 m55 = ∂ 2 TT otal = IxI 2 ∂ φ˙ I 2 m66 = ∂ TT otal = mII 2 ∂ z˙II m77 = ∂ 2 TT otal = IxII 2 ∂ φ˙ II ou, na forma matricial, como segue (11.156) 279 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ M =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ m 0 0 0 0 0 0 0 Ix 0 0 0 0 0 0 0 Iy 0 0 0 0 0 0 0 mI 0 0 0 0 0 0 0 IxI 0 0 0 0 0 0 0 mII 0 0 0 0 0 0 0 IxII ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥. ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (11.157) Matriz amortecimento Os elementos da matriz amortecimento, obtidos a partir da função dissipação de Rayleigh com o auxílio da equação (11.152), são: c11 = c12 = c21 = c13 = c31 = c14 ∂2= = c1 + c2 + c3 + c4 ∂ z˙ 2 ∂2= tI tII = − (c1 − c2 ) + (c3 − c4 ) 2 2 ∂ z∂ ˙ φ˙ ∂2= = − (c1 + c2 ) aI + (c3 + c4 ) aII ∂ z∂ ˙ θ˙ ∂2= = c41 = = − (c1 + c2 ) ∂ z∂ ˙ z˙I (11.159) (11.160) (11.161) c15 = c51 = ∂2= tI = (c1 − c2 ) ˙ 2 ∂ z∂ ˙ φI (11.162) c16 = c61 = ∂2= = − (c3 + c4 ) ∂ z∂ ˙ z˙II (11.163) ∂2= tII = − (c3 − c4 ) 2 ∂ z∂ ˙ φ˙ II ¶ µ µ ¶2 2 ∂2= tI tII c22 = + (c3 + c4 ) 2 = (c1 + c2 ) 2 2 ∂ φ˙ ¶ ¶ µ µ ∂2= aI tI aII tII + (c3 − c4 ) = = (c1 − c2 ) ˙ θ˙ 2 2 ∂ φ∂ c17 = c71 = c23 = c32 (11.158) ∂2= tI = (c1 − c2 ) ˙ 2 ∂ φ∂ z˙I ¶2 µ ∂2= tI = = − (c1 + c2 ) ˙ φ˙ I 2 ∂ φ∂ c24 = c42 = c25 = c52 ∂2= tII = − (c3 − c4 ) ˙ 2 ∂ φ∂ z˙II ¶2 µ ∂2= tII = = − (c3 + c4 ) ˙ φ˙ II 2 ∂ φ∂ c26 = c62 = c27 = c72 c33 = ∂2= 2 2 2 = (c1 + c2 ) aI + (c3 + c4 ) aII ˙ ∂θ (11.164) (11.165) (11.166) (11.167) (11.168) (11.169) (11.170) (11.171) 280 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos ∂2= = (c1 + c2 ) aI c34 = c43 = ˙ z˙I ∂ θ∂ ∂ 2= aI tI c35 = c53 = = − (c1 − c2 ) ˙ φ˙ I 2 ∂ θ∂ ∂ 2= = − (c3 + c4 ) aII ˙ z˙II ∂ θ∂ ∂2= aII tII = = − (c3 − c4 ) ˙ φ˙ II 2 ∂ θ∂ c36 = c63 = c37 = c73 c44 = c45 = c54 = ∂2= = c1 + c2 ∂ z˙I2 ∂2= tI = − (c1 − c2 ) 2 ∂ z˙I ∂ φ˙ I ∂2= =0 ∂ z˙I ∂ z˙II ∂2= =0 c47 = c74 = ∂ z˙I ∂ φ˙ II µ ¶2 ∂2= tI c55 = 2 = (c1 + c2 ) 2 ∂ φ˙ I c46 = c64 = c66 (11.173) (11.174) (11.175) (11.176) (11.177) (11.178) (11.179) (11.180) ∂2= =0 ∂ φ˙ I ∂ z˙II (11.181) ∂2= = =0 ∂ φ˙ I ∂ φ˙ II (11.182) c56 = c65 = c57 = c75 (11.172) ∂2= = 2 = c3 + c4 ∂ z˙II (11.183) ∂2= tII (11.184) = (c3 − c4 ) 2 ∂ z˙II ∂ φ˙ II µ ¶2 ∂2= tII (11.185) c77 = 2 = (c3 + c4 ) 2 ∂ φ˙ II Os termos apresentados acima tem sua disposição na matriz de amortecimento, C, mostrada na expressão que segue. ⎤ ⎡ c11 c12 c13 c14 c15 c16 c17 ⎢ c21 c22 c23 c24 c25 c26 c27 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ c31 c32 c33 c34 c37 c36 c37 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ (11.186) C =⎢ ⎢ c41 c42 c43 c44 c45 c46 c47 ⎥ . ⎢ c51 c52 c53 c54 c55 c56 c57 ⎥ ⎥ ⎢ ⎣ c61 c62 c63 c64 c65 c66 c67 ⎦ c71 c72 c73 c74 c75 c76 c77 c67 = c76 = É conveniente salientar que a matriz acima é simétrica, já que não são considerados efeitos giroscópicos. 281 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos Matriz de rigidez Os elementos da matriz rigidez, obtidos a partir da energia potencial com o auxílio da equação (11.153), são: k11 k12 = k21 = ∂ 2 VT otal = = k1 + k2 + k3 + k4 ∂z 2 (11.187) ∂ 2 VT otal tI tII = − (k1 − k2 ) + (k3 − k4 ) ∂z∂φ 2 2 (11.188) ∂ 2 VT otal = − (k1 + k2 ) aI + (k3 + k4 ) aII ∂z∂θ ∂ 2 VT otal k14 = k41 = = − (k1 + k2 ) ∂z∂ z˙I k13 = k31 = (11.190) k15 = k51 = ∂ 2 VT otal tI = (k1 − k2 ) ∂z∂φI 2 (11.191) k16 = k61 = ∂ 2 VT otal = − (k3 + k4 ) ∂z∂ z˙II (11.192) ∂ 2 VT otal tII = − (k3 − k4 ) ∂z∂φII 2 ¶ µ µ ¶2 2 ∂ 2 VT otal tI tII k22 = = (k1 + k2 ) + (k3 + k4 ) 2 2 2 ∂φ ¶ ¶ µ µ ∂ 2 VT otal aI tI aII tII = (k1 − k2 ) + (k3 − k4 ) = ∂φ∂θ 2 2 k17 = k71 = k23 = k32 (11.189) ∂ 2 VT otal tI = (k1 − k2 ) ∂φ∂zI 2 ¶2 µ ∂ 2 VT otal tI = = − (k1 + k2 ) ∂φ∂φI 2 k24 = k42 = k25 = k52 ∂ 2 VT otal tII = − (k3 − k4 ) ∂φ∂zII 2 µ ¶2 ∂ 2 VT otal tII = = − (k3 + k4 ) ∂φ∂φII 2 k26 = k62 = k27 = k72 ∂ 2 VT otal = (k1 + k2 ) a2I + (k3 + k4 ) a2II 2 ∂θ ∂ 2 VT otal k34 = k43 = = (k1 + k2 ) aI ∂θ∂zI k33 = k35 = k53 = k36 = k63 = k37 = k73 (11.193) (11.194) (11.195) (11.196) (11.197) (11.198) (11.199) (11.200) (11.201) ∂ 2 VT otal aI tI = − (k1 − k2 ) ∂θ∂φI 2 (11.202) ∂ 2 VT otal = − (k3 + k4 ) aII ∂θ∂zII (11.203) ∂ 2 VT otal aII tII = = − (k3 − k4 ) ∂θ∂φII 2 (11.204) 282 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos ∂ 2 VT otal = k1 + k2 + k1p + k2p k44 = 2 ∂zI 2 ∂ VT otal tI = (−k1 + k2 − k1p + k2p ) k45 = k54 = ∂zI ∂φI 2 ∂ 2 VT otal k46 = k64 = =0 ∂zI ∂ z˙II ∂ 2 VT otal =0 k47 = k74 = ∂zI ∂φII µ ¶2 µ ¶2 ∂ 2 VT otal tI tI p p = (k1 + k2 ) + (k1 + k2 ) k55 = 2 2 2 ∂φI k56 ∂ 2 VT otal =0 ∂φI ∂zII ∂ 2 VT otal = =0 ∂φI ∂φII (11.206) (11.207) (11.208) (11.209) (11.210) = k65 = k57 = k75 (11.205) (11.211) ∂ 2 VT otal = k3 + k4 + k3p + k4p (11.212) 2 ∂zII ∂ 2 VT otal tII tII + (k3p − k4p ) (11.213) = (k3 − k4 ) k67 = k76 = ∂zII ∂φII 2 2 µ ¶2 ∂ 2 VT otal tII tII k77 = (11.214) = (k3 + k4 ) + (k3p + k4p ) 2 2 2 ∂φII Os termos desnvolvidos acima, tem sua disposição na matriz de rigidez, K , mostrada na expressão que segue. ⎤ ⎡ k11 k12 k13 k14 k15 k16 k17 ⎢ k21 k22 k23 k24 k25 k26 k27 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ k31 k32 k33 k34 k37 k36 k37 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ (11.215) K =⎢ ⎢ k41 k42 k43 k44 k45 k46 k47 ⎥ . ⎢ k51 k52 k53 k54 k55 k56 k57 ⎥ ⎥ ⎢ ⎣ k61 k62 k63 k64 k65 k66 k67 ⎦ k71 k72 k73 k74 k75 k76 k77 k66 = Vetor excitação Neste caso, onde a excitação é pela base, carregamentos é dado por: ⎧ ⎫ ⎧ 0 f (t) ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 f (t) ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎨ f3 (t) ⎬ ⎨ k1p z1s (t) + k2p z2s (t) f4 (t) = f(t) = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ f5 (t) ⎪ − (k1p z1s (t) − k2p z2s (t)) t2I ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ k3p z3s (t) + k4p z4s (t) ⎪ ⎪ ⎪ f6 (t) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎭ f7 (t) (k3p z3s (t) − k4p z4s (t)) tII 2 onde: kip - é a rigidez do i’-ésimo pneu; zis (t) - é a rugosidade do solo sob o i’-ésimo pneu. tem-se que o vetor de ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ (11.216) 283 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos 11.6.2 Veículos com suspensão independente na dianteira e eixo rígido na traseira No modelo com sete graus de liberdade, para o caso em que o eixo dianteiro é independente e o traseiro rígido, tem-se que os deslocamentos e as velocidades generalizadas são ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ z(t) ⎪ q1 (t) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ φ(t) q (t) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ q3 (t) ⎬ ⎨ θ(t) ⎪ ⎬ z1 (t) q4 (t) = (11.217) x(t) = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ q5 (t) ⎪ z2 (t) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ q z (t) ⎪ ⎪ ⎪ 6 II (t) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ q7 (t) φII (t) e ⎧ ⎫ ⎧ q ˙ (t) ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ q ˙ (t) ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ q˙3 (t) ⎬ ⎪ ⎨ q˙4 (t) x(t) ˙ = = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ q˙5 (t) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ q ˙ (t) ⎪ ⎪ ⎪ 6 ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎭ ⎪ q˙7 (t) z(t) ˙ ˙φ(t) ˙ θ(t) z˙1 (t) z˙2 (t) z˙II (t) φ˙ II (t) ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ . (11.218) Estas grandezas estão sintetizadas na Figura 11.9. Para este caso as deflexões das molas são dadas pelas equações (11.22), (11.23), (11.38), (11.39), repetidas a seguir δ 1 (t) = z(t) − φ(t) tI − θ(t)aI − z1 (t), 2 (11.219) δ 2 (t) = z(t) + φ(t) tI − θ(t)aI − z2 (t), 2 (11.220) tII tII + θ(t)aII − zII (t) − φII (t) , 2 2 tII tII + θ(t)aII − zII (t) + φII (t) , δ 4 (t) = z(t) − φ(t) 2 2 e as velocidades por ˙ ˙ tI − θ(t)a δ˙ 1 (t) = z(t) ˙ − φ(t) I − z˙1 (t), 2 ˙ tI − θ(t)a ˙ ˙ + φ(t) δ˙ 2 (t) = z(t) I − z˙2 (t), 2 δ 3 (t) = z(t) + φ(t) (11.221) (11.222) (11.223) (11.224) tII ˙ ˙ tII + θ(t)a ˙ , ˙ + φ(t) δ˙ 3 (t) = z(t) II − z˙II (t) − φII (t) 2 2 (11.225) tII ˙ ˙ tII + θ(t)a ˙ δ˙ 4 (t) = z(t) . ˙ − φ(t) II − z˙II (t) + φII (t) 2 2 (11.226) Capítulo 11 - Modelos dinâmicos 284 Figura 11.9: Modelo de sete graus de liberdade para um veículo com suspensão dianteira independente e eixo traseiro rígido. 285 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos As deflexões dos pneus para um eixo rígido, dadas pelas equações (11.1), (11.11) e (11.12), são repetidas a seguir (11.227) δp1 (t) = z1 (t) − z1s (t); δp2 (t) = z2 (t) − z2s (t); tII − z3s (t); δ p3 (t) = zII (t) + φII (t) 2 tII − z4s (t), δ p4 (t) = zII (t) − φII (t) 2 e as velocidades dadas por: p δ˙ 1 (t) = z˙1 (t) − z˙1s (t); (11.228) (11.229) (11.230) (11.231) p δ˙ 2 (t) = z˙2 (t) − z˙2s (t); (11.232) tII p − z˙3s (t); δ˙ 3 (t) = z˙II (t) + φ˙ II (t) 2 (11.233) tII p − z˙4s (t). δ˙ 4 (t) = z˙II (t) − φ˙ II (t) (11.234) 2 A seguir se determina a energia potencial, a energia cinética e a função dissipação de Rayleigh para cada um dos subsistemas, bem como é feita a superposição dos efeitos. Cálculo da energia associada à carroceria Energia cinética A energia cinética do subsistema carroceria para um veículo com suspensão dianteira independente e traseira rígida é exatamente igual ao do caso anterior, equação (11.133), que é repetida a seguir Tc = i 1h 2 2 m z˙ 2 (t) + Ix φ˙ (t) + Iy θ˙ (t) 2 (11.235) onde: m - massa da carroceria; Ix - momento de massa da carroceria em torno do eixo, x, axial ao carro; Iy - momento de massa da carroceria em torno do eixo, y, transversal ao carro. Energia potencial A energia potencial da carroceria do veículo com a configuração suspensão independente na dianteira e eixo rígido na traseira é levemente diferente do caso anterior, visto que as deflexões associadas ao eixo são função do tipo de suspensão. Assim pode-se escrever: ¤ 1£ 2 (11.236) k1 δ 1 (t) + k2 δ 22 (t) + k3 δ 23 (t) + k4 δ 24 (t) Vc = 2 286 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos ou em termos dos deslocamentos generalizados por: " µ ¶2 tI 1 k1 z(t) − φ(t) − θ(t)aI − z1 (t) Vc = 2 2 µ ¶2 tI +k2 z(t) + φ(t) − θ(t)aI − z2 (t) 2 µ ¶2 tII tII + θ(t)aII − zII (t) − φII (t) +k3 z(t) + φ(t) 2 2 µ ¶2 # tII tII . + θ(t)aII − zII (t) + φII (t) + k4 z(t) − φ(t) 2 2 (11.237) Função dissipativa de Rayleigh A potência dissipada pelos amortecedores do veículo, com suspensão independente na dianteira e eixo rígido na traseira, é dada por: i 1 h ˙2 2 2 2 ˙ ˙ ˙ =c = c1 δ 1 (t) + c2 δ 2 (t) + c3 δ 3 (t) + c4 δ 4 (t) (11.238) 2 ou, em termos dos graus de liberdade da carroceria e das suspensões, por: " µ ¶2 t 1 I ˙ ˙ ˙ − φ(t) − θ(t)a c1 z(t) =c = I − z˙1 (t) 2 2 µ ¶2 tI ˙ ˙ ˙ + φ(t) − θ(t)aI − z˙2 (t) +c2 z(t) 2 µ ¶2 t t II II ˙ ˙ ˙ ˙ + φ(t) + θ(t)a +c3 z(t) II − z˙II (t) − φII (t) 2 2 µ ¶2 # t t II II ˙ ˙ ˙ . ˙ − φ(t) + θ(t)a + c4 z(t) II − z˙II (t) + φII (t) 2 2 (11.239) Cálculo da energia associada ao eixo dianteiro Neste item são calculadas apenas a energia cinética e a energia potencial do eixo dianteiro. As expressões gerais do cálculo das energias é igual ao feito anteriormente para eixos rígidos, sendo a diferença restrita os graus de liberdade do eixo de suspensão independente em relação ao rígido Energia cinética Como neste modelo também não há interesse na análise do comportamento torcional do eixo, a energia cinética do conjunto eixo dianteiro é dada por: 1 TeI = [m1 (z˙1 (t))2 + m2 (z˙2 (t))2 ] 2 onde m1 - é a massa do conjunto roda dianteira esquerda do veículo; m2 - é a massa do conjunto roda dianteira direita do veículo; z˙1 (t) z˙2 (t) - é a velocidade vertical das rodas dianteiras. (11.240) 287 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos Energia potencial é dada por: A energia potencial do eixo dianteiro devido a deflexão dos pneus ¤ 1£ p p k1 (δ 1 (t))2 + k2p (δ p2 (t))2 (11.241) 2 Substituindo na equação acima as deflexões do pneu em termos dos deslocamentos do eixo e da rugosidade do solo, equações (11.125) a (11.126), a mesma é reescrita como: VeI = VerI = ª 1© p k1 [z1 (t) − z1s (t)]2 + k2p [z2 (t) − z2s (t)]2 2 (11.242) Cálculo da energia associada ao eixo traseiro Neste caso a energia cinética e potencial do eixo traseiro são exatamente iguais ao do caso anterior, onde os eixos são rígidos na dianteira e traseira. Sendo assim, aquelas equações são repetidas a seguir. Energia cinética 1 TerII = [mII (z˙II (t))2 + IxII (φ˙ II (t))2 ]. 2 Energia potencial ¸ ∙ 1 p tII tII p s 2 s 2 VerII = k (zII (t) + φII (t) − z3 (t)) + k4 (zII (t) − φII (t) − z4 (t)) . 2 3 2 2 (11.243) (11.244) Superposição dos efeitos A seguir é feita a superposição das energias calculadas para que se possa aplicar o princípio de Lagrange. Energia cinética A energia cinética de um veículo dotado de suspensão independente na frente e eixo rígido na traseira é: TT otal = Tc + TeI + TerII (11.245) Em termos dos graus de liberdade do sistema, a energia cinética de todo o sistema é dada por TT otal = 1h 2 2 m z˙ 2 (t) + Ix φ˙ (t) + Iy θ˙ (t) + m1 (z˙1p (t))2 + m2 (z˙2p (t))2 ] 2 i +mII (z˙II (t))2 + IxII (φ˙ II (t))2 . (11.246) Energia potencial A energia potencial de todo o conjunto é dada pela soma direta de todas as parcelas desenvolvidas anteriormente, como segue. VT otal = Vc + VeI + VerII (11.247) 288 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos ou VT otal " µ ¶2 tI 1 k1 z(t) − φ(t) − θ(t)aI − z1 (t) = 2 2 µ ¶2 tI +k2 z(t) + φ(t) − θ(t)aI − z2 (t) 2 ¶2 µ tII tII + θ(t)aII − zII (t) − φII (t) +k3 z(t) + φ(t) 2 2 µ ¶2 tII tII + θ(t)aII − zII (t) + φII (t) +k4 z(t) − φ(t) 2 2 2 2 p p +k1 (z1 (t) − z1s (t)) + k2 (z2 (t) − z2s (t)) µ µ ¶2 ¶2 # tII t II p p − z3s (t) + k4 zII (t) − φII (t) − z4s (t) (11.248) + k3 zII (t) + φII (t) 2 2 Potência dissipada pelos amortecedores A dissipação da potência neste caso também é feita apenas pelos amortecedores das suspensões dianteira e traseira. Sendo assim, a dissipação total da potência é dada pela equação (11.239), repetida a seguir. =c " µ ¶2 tI 1 ˙ ˙ ˙ − φ(t) − θ(t)aI − z˙1 (t) = c1 z(t) 2 2 µ ¶2 t I ˙ ˙ ˙ + φ(t) − θ(t)a +c2 z(t) I − z˙2 (t) 2 µ ¶2 t t II II ˙ ˙ ˙ ˙ + φ(t) +c3 z(t) + θ(t)a II − z˙II (t) − φII (t) 2 2 µ ¶2 # t t II II ˙ ˙ ˙ ˙ − φ(t) . + θ(t)a +c4 z(t) II − z˙II (t) + φII (t) 2 2 (11.249) Determinação das matrizes de inércia, amortecimento e rigidez As matrizes de inércia, amortecimento e de rigidez deste sistema, também têm os seus elementos dados pelas equações (11.151), (11.152) e (11.153). Assim, parte-se para a determinação destas matrizes. Matriz massa A seguir são determinados os elementos da matriz massa com o auxílio da equação (11.151). ∂ 2 TT otal =m m11 = ∂ z˙ 2 ∂ 2 TT otal m22 = = Ix 2 ∂ φ˙ m33 = ∂ 2 TT otal = Iy 2 ∂ θ˙ 289 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos m44 ∂ 2 TT otal = = m1 ∂ z˙12 m55 ∂ 2 TT otal = = m2 ∂ z˙22 m66 = ∂ 2 TT otal = mII 2 ∂ z˙II m77 = ∂ 2 TT otal = IxII 2 ∂ φ˙ (11.250) II ou, na forma matricial, como segue ⎡ m ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ M =⎢ ⎢ 0 ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0 0 0 0 0 0 0 0 Ix 0 0 0 0 0 0 Iy 0 0 0 0 0 0 m1 0 0 0 0 0 0 m2 0 0 0 0 0 0 mII 0 0 0 0 0 0 IxII ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥. ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (11.251) Matriz amortecimento Os elementos da matriz amortecimento, obtidos a partir da função dissipação de Rayleigh com o auxílio da equação (11.152), são: c11 = c12 = c21 = c13 = c31 = ∂2= = c1 + c2 + c3 + c4 ∂ z˙ 2 ∂2= tI tII = − (c1 − c2 ) + (c3 − c4 ) 2 2 ∂ z∂ ˙ φ˙ ∂2= = − (c1 + c2 ) aI + (c3 + c4 ) aII ∂ z∂ ˙ θ˙ ∂2= c14 = c41 = = −c1 ∂ z∂ ˙ z˙1 c15 = c51 = c16 = c61 ∂2= = −c2 ∂ z∂ ˙ z˙2 ∂2= = = − (c3 + c4 ) ∂ z∂ ˙ z˙II ∂2= tII = − (c3 − c4 ) 2 ∂ z∂ ˙ φ˙ II µ ¶2 µ ¶2 ∂2= tI tII + (c3 + c4 ) c22 = 2 = (c1 + c2 ) 2 2 ∂ φ˙ ¶ ¶ µ µ ∂2= aI tI aII tII + (c3 − c4 ) = = (c1 − c2 ) ˙ θ˙ 2 2 ∂ φ∂ c17 = c71 = c23 = c32 c24 = c42 = tI ∂ 2= = c1 ˙ 2 ∂ φ∂ z˙1 (11.252) (11.253) (11.254) (11.255) (11.256) (11.257) (11.258) (11.259) (11.260) (11.261) 290 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos c25 = c52 tI ∂2= = = −c2 ˙ 2 ∂ φ∂ z˙2 ∂2= tII = − (c3 − c4 ) ˙ 2 ∂ φ∂ z˙II µ ¶2 ∂2= tII = = − (c3 + c4 ) ˙ φ˙ II 2 ∂ φ∂ c26 = c62 = c27 = c72 c33 ∂2= 2 2 = 2 = (c1 + c2 ) aI + (c3 + c4 ) aII ∂ θ˙ (11.262) (11.263) (11.264) (11.265) c34 = c43 = ∂2= = c1 aI ˙ z˙1 ∂ θ∂ (11.266) c35 = c53 = ∂2= = c2 aI ˙ z˙2 ∂ θ∂ (11.267) ∂ 2= = − (c3 + c4 ) aII ˙ z˙II ∂ θ∂ (11.268) ∂2= aII tII = − (c3 − c4 ) ˙ ˙ 2 ∂ θ∂ φII (11.269) c36 = c63 = c37 = c73 = c44 = ∂2= = c1 ∂ z˙12 (11.270) c45 = c54 = ∂2= =0 ∂ z˙1 ∂ z˙2 (11.271) c46 = c64 = ∂2= =0 ∂ z˙1 ∂ z˙II (11.272) c47 = c74 = ∂2= =0 ∂ z˙1 ∂ φ˙ II (11.273) c55 = ∂2= = c2 ∂ z˙22 (11.274) c56 = c65 = ∂2= =0 ∂ z˙2 ∂ z˙II (11.275) c57 = c75 = ∂2= =0 ∂ z˙2 ∂ φ˙ II (11.276) c66 = ∂2= = (c3 + c4 ) 2 ∂ z˙II (11.277) ∂2= tII = (c3 − c4 ) (11.278) 2 ∂ z˙II ∂ φ˙ II µ ¶2 ∂2= tII (11.279) c77 = 2 = (c3 + c4 ) 2 ∂ φ˙ II A disposição dos termos, acima desenvolvidos, na matriz de amortecimento, é a mesma que a apresentada na equação (11.186) c67 = c76 = 291 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos Matriz de rigidez Os elementos da matriz rigidez, obtidos a partir da energia potencial com o auxílio da equação 11.152, são: k11 = k12 = k21 = k13 = k31 = ∂ 2 VT otal = k1 + k2 + k3 + k4 ∂z 2 ∂ 2 VT otal tI tII = − (k1 − k2 ) + (k3 − k4 ) ∂z∂φ 2 2 ∂ 2 VT otal = − (k1 + k2 ) aI + (k3 + k4 ) aII ∂z∂θ ∂ 2 VT otal k14 = k41 = = −k1 ∂z∂z1 k23 = k32 (11.285) k25 = k52 = (11.287) (11.288) (11.289) tI ∂ 2 VT otal = −k2 ∂φ∂φI 2 (11.290) ∂ 2 VT otal tII = − (k3 − k4 ) ∂φ∂zII 2 µ ¶2 ∂ 2 VT otal tII = = − (k3 + k4 ) ∂φ∂φII 2 ∂ 2 VT otal = = (k1 + k2 ) a2I + (k3 + k4 ) a2II 2 ∂θ ∂ 2 VT otal = k1 aI k34 = kc43 = ∂θ∂zI (11.291) (11.292) (11.293) (11.294) ∂ 2 VT otal = k2 aI ∂θ∂φI (11.295) ∂ 2 VT otal = − (k3 + k4 ) aII ∂θ∂zII (11.296) k35 = kc53 = k37 = k73 (11.286) tI ∂ 2 VT otal = k1 ∂φ∂z1 2 k26 = k62 = k36 = k63 = (11.283) ∂ 2 VT otal = − (k3 + k4 ) ∂z∂zII k24 = k42 = k33 (11.282) (11.284) ∂ 2 VT otal tII = − (k3 − k4 ) k17 = k71 = ∂z∂φII 2 ¶ µ µ ¶2 2 ∂ 2 VT otal tI tII k22 = = (k1 + k2 ) + (k3 + k4 ) 2 2 2 ∂φ µ µ ¶ ¶ ∂ 2 VT otal aI tI aII tII = = (k1 − k2 ) + (k3 − k4 ) ∂φ∂θ 2 2 k27 = k72 (11.281) ∂ 2 VT otal = −k2 ∂z∂z2 k15 = k51 = k16 = k61 = (11.280) ∂ 2 VT otal aII tII = = − (k3 + k4 ) ∂θ∂φII 2 (11.297) 292 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos ∂ 2 VT otal = = k1 + k1p 2 ∂zI (11.298) k45 = k54 = ∂ 2 VT otal =0 ∂zI ∂φI (11.299) k46 = k64 = ∂ 2 VT otal =0 ∂zI ∂zII (11.300) k47 = k74 = ∂ 2 VT otal =0 ∂zI ∂φII (11.301) ∂ 2 VT otal = = k2 + k2p 2 ∂φI (11.302) k56 = k65 = ∂ 2 VT otal =0 ∂φI ∂zII (11.303) k57 = k75 = ∂ 2 VT otal =0 ∂φI ∂φII (11.304) k44 k55 k66 = ∂ 2 VT otal = k3 + k4 + k3p + k4p 2 ∂zII (11.305) ∂ 2 VT otal tII tII = (k3 − k4 ) + (k3p − k4p ) ∂zII ∂φII 2 2 ¶ µ 2 ∂ 2 VT otal tII tII = = (k + k ) + (k3p + k4p ) 3 4 2 2 2 ∂φII k67 = k76 = k77 (11.306) (11.307) A disposição dos termos, acima desenvolvidos, é a mesma que a apresentada na equação (11.215) Vetor excitação Neste carregamentos é dado por: ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ f(t) = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ caso, onde a excitação é pela base, tem-se que o vetor de f1 (t) f2 (t) f3 (t) f4 (t) f5 (t) f6 (t) f7 (t) ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 0 0 0 p s k1 z1 (t) k2p z2s (t) p s k3 z3 (t) + k4p z4s (t) (k3p z3s (t) − k4p z4s (t)) tII 2 onde: kip - é a rigidez do i ’ésimo pneu; zis (t) - é a rugosidade do solo sob o i ’ésimo pneu. ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ (11.308) 293 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos 11.6.3 Veículos com suspensão independente na dianteira e na traseira O modelo com sete graus de liberdade, para o caso em que as suspensões dianteira e traseira são independentes, tem os deslocamentos e as velocidades generalizadas dados por ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ z(t) q (t) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ φ(t) q (t) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎨ q3 (t) ⎬ ⎨ θ(t) ⎪ z1 (t) q4 (t) = (11.309) x(t) = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ q z (t) (t) ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ q z (t) (t) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 6 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ q7 (t) z4 (t) e ⎧ ⎫ ⎧ q˙1 (t) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ q ˙ (t) ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ q ˙ (t) ⎨ ⎨ 3 ⎬ ⎪ q˙4 (t) = x(t) ˙ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ q˙5 (t) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ q ˙ (t) ⎪ ⎪ ⎪ 6 ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎭ ⎪ q˙7 (t) z(t) ˙ ˙φ(t) ˙ θ(t) z˙1 (t) z˙2 (t) z˙3 (t) z˙4 (t) ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ . (11.310) Um diagrama do modelo está mostrado na Figura 11.10. Para este caso as deflexões das molas são dadas pelas equações (11.22) a (11.25) e repetidas a seguir tI δ 1 (t) = z(t) − φ(t) − θ(t)aI − z1 (t), (11.311) 2 tI (11.312) δ 2 (t) = z(t) + φ(t) − θ(t)aI − z2 (t), 2 tII δ 3 (t) = z(t) + φ(t) + θ(t)aII − z3 (t), (11.313) 2 tII (11.314) + θ(t)aII − z4 (t), δ 4 (t) = z(t) − φ(t) 2 e, a partir destas, as velocidades por ˙ tI − θ(t)a ˙ ˙ − φ(t) δ˙ 1 (t) = z(t) I − z˙1 (t), 2 (11.315) ˙ ˙ tI − θ(t)a δ˙ 2 (t) = z(t) ˙ + φ(t) I − z˙2 (t), 2 (11.316) ˙ ˙ tII + θ(t)a δ˙ 3 (t) = z(t) ˙ + φ(t) II − z˙3 (t), 2 (11.317) ˙ tII + θ(t)a ˙ ˙ − φ(t) δ˙ 4 (t) = z(t) II − z˙4 (t). 2 (11.318) Capítulo 11 - Modelos dinâmicos 294 Figura 11.10: Modelo de sete graus de liberdade para um veículo com suspensões independentes. 295 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos As deflexões dos pneus para um eixo rígido, generalizada pela equação (11.1), são δp1 (t) = z1 (t) − z1s (t); (11.319) δp2 (t) = z2 (t) − z2s (t); (11.320) δp3 (t) = z3 (t) − z3s (t); (11.321) δp4 (t) = z4 (t) − z4s (t). (11.322) p δ˙ 1 (t) = z˙1 (t) − z˙1s (t); (11.323) p δ˙ 2 (t) = z˙2 (t) − z˙2s (t); (11.324) p δ˙ 3 (t) = z˙3 (t) − z˙3s (t); (11.325) p δ˙ 4 (t) = z˙4 (t) − z˙4s (t). (11.326) As velocidades são dadas por: A seguir se determina a energia potencial, a energia cinética e a função dissipação de Rayleigh para cada um dos subsistemas. Cálculo da energia associada à carroceria Energia cinética por A energia cinética do subsistema carroceria para o veículo é dada i 1h 2 2 2 ˙ ˙ m z˙ (t) + Ix φ (t) + Iy θ (t) Tc = 2 (11.327) onde: m - massa da carroceria; Ix - momento de massa da carroceria em torno do eixo, x, axial ao carro; Iy - momento de massa da carroceria em torno do eixo, y, transversal ao carro. Energia potencial pendentes é: A energia potencial da carroceria do veículo com suspensões indeVc = ¤ 1£ 2 k1 δ 1 (t) + k2 δ 22 (t) + k3 δ 23 (t) + k4 δ 24 (t) 2 (11.328) 296 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos que em termos dos deslocamentos é reescrita como: " µ ¶2 tI 1 k1 z(t) − φ(t) − θ(t)aI − z1 (t) Vc = 2 2 µ ¶2 tI +k2 z(t) + φ(t) − θ(t)aI − z2 (t) 2 µ ¶2 tII + θ(t)aII − z3 (t) +k3 z(t) + φ(t) 2 µ ¶2 # tII . + k4 z(t) − φ(t) + θ(t)aII − z4 (t) 2 (11.329) Função dissipativa de Rayleigh A potência dissipada pelos amortecedores do veículo, dada por: i 1 h ˙2 2 2 2 ˙ ˙ ˙ =c = (11.330) c1 δ 1 (t) + c2 δ 2 (t) + c3 δ 3 (t) + c4 δ 4 (t) 2 é reescrita, em termos dos graus de liberdade da carroceria e das suspensões, como " µ ¶2 t 1 I ˙ ˙ ˙ − φ(t) c1 z(t) − θ(t)a =c = I − z˙1 (t) 2 2 µ ¶2 tI ˙ ˙ ˙ + φ(t) − θ(t)aI − z˙2 (t) +c2 z(t) 2 µ ¶2 tII ˙ ˙ ˙ + φ(t) + θ(t)aII − z˙3 (t) +c3 z(t) 2 µ ¶2 # t II ˙ ˙ . (11.331) ˙ − φ(t) + c4 z(t) + θ(t)a II − z˙4 (t). 2 Cálculo da energia associada ao eixo dianteiro Energia cinética 1 TeI = [m1 (z˙1 (t))2 + m2 (z˙2 (t))2 ]. 2 (11.332) Energia potencial ¤ 1£ p p k1 (δ 1 (t))2 + k2p (δ p2 (t))2 , 2 que em termos dos deslocamentos é reescrita como: VeI = VeI = ª 1© p k1 [z1 (t) − z1s (t)]2 + k2p [z2 (t) − z2s (t)]2 . 2 (11.333) (11.334) Cálculo da energia associada ao eixo traseiro Energia cinética 1 TeII = [m3 (z˙3 (t))2 + m4 (z˙4 (t))2 ]. 2 (11.335) 297 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos Energia potencial VeII = Superposição dos efeitos ¤ 1£ p k3 (z3 (t) − z3s (t))2 + k4p (z4 (t) − z4s (t))2 . 2 (11.336) A seguir é feita a superposição das diversas parcelas de energia para que se possa aplicar o princípio de Lagrange. Energia cinética total para um veículo com suspensão independente na dianteira e eixo rígido na traseira A energia cinética de um veículo dotado de suspensões independentes é: (11.337) TT otal = Tc + TeI + TeII que, em termos dos graus de liberdade do sistema, é reescrita como 1h 2 2 TT otal = m z˙ 2 (t) + Ix φ˙ (t) + Iy θ˙ (t) + m1 (z˙1 (t))2 + m2 (z˙2 (t))2 ] 2 ¤ +m3 (z˙3 (t))2 + m4 (z˙3 (t))2 . (11.338) Energia potencial total para um veículo com eixos rígidos na frente e traseira A energia potencial de todo o conjunto é dada pela soma direta de todas as parcelas desenvolvidas anteriormente, como segue. (11.339) VT otal = Vc + VerI + VerII ou VT otal " µ ¶2 tI 1 k1 z(t) − φ(t) − θ(t)aI − z1 (t) = 2 2 µ ¶2 tI +k2 z(t) + φ(t) − θ(t)aI − z2 (t) 2 µ ¶2 tII +k3 z(t) + φ(t) + θ(t)aII − z3 (t) 2 µ ¶2 tII + θ(t)aII − z4 (t). +k4 z(t) − φ(t) 2 +k1p (z1 (t) − z1s (t))2 + k2p (z2 (t) − z2s (t))2 + k3p (z3 (t) − z3s (t))2 + k4p (z4 (t) − z4s (t))2 ¤ (11.340) Potência dissipada pelos amortecedores de um veículo com eixos rígidos na frente e na traseira A dissipação da potência, neste caso, é dada pela equação 11.331, repetida a seguir. 298 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos =c " µ ¶2 t 1 I ˙ ˙ ˙ − φ(t) c1 z(t) − θ(t)a = I − z˙1 (t) 2 2 µ ¶2 tI ˙ ˙ ˙ + φ(t) − θ(t)aI − z˙2 (t) +c2 z(t) 2 µ ¶2 tII ˙ ˙ ˙ + φ(t) + θ(t)aII − z˙3 (t) +c3 z(t) 2 µ ¶2 # t II ˙ ˙ . ˙ − φ(t) +c4 z(t) + θ(t)a II − z˙4 (t). 2 (11.341) Determinação das matrizes de inércia, amortecimento e rigidez As matrizes de inércia, amortecimento e de rigides deste sistema, também são calculadas a partir das equações (11.151), (11.153) e (11.152). Matriz massa A seguir são determinados os elementos da matriz massa com o auxílio da equação (11.151). ∂ 2 TT otal =m m11 = ∂ z˙ 2 ∂ 2 TT otal m22 = = Ix 2 ∂ φ˙ m33 = ∂ 2 TT otal = Iy 2 ∂ θ˙ m44 = ∂ 2 TT otal = m1 ∂ z˙12 m55 = ∂ 2 TT otal = m2 ∂ z˙22 m66 = ∂ 2 TT otal = m3 2 ∂ z˙II m77 = ∂ 2 TT otal = m4 2 ∂ φ˙ (11.342) II ou, na forma matricial, como segue ⎡ m 0 0 0 0 0 0 ⎢ 0 Ix 0 0 0 0 0 ⎢ ⎢ 0 0 Iy 0 0 0 0 ⎢ 0 0 0 m 0 0 0 M =⎢ 1 ⎢ ⎢ 0 0 0 0 m2 0 0 ⎢ ⎣ 0 0 0 0 0 m3 0 0 0 0 0 0 0 m4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥. ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (11.343) 299 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos Matriz amortecimento Os elementos da matriz amortecimento, obtidos a partir da função dissipação de Rayleigh com o auxílio da equação (11.152), são: c11 = ∂2= = c1 + c2 + c3 + c4 ∂ z˙ 2 ∂2= tI tII = − (c1 − c2 ) + (c3 − c4 ) ˙ 2 2 ∂ z∂ ˙ φ c12 = c21 = c13 = c31 = ∂2= = − (c1 + c2 ) aI + (c3 + c4 ) aII ∂ z∂ ˙ θ˙ ∂2= = −c1 c14 = c41 = ∂ z∂ ˙ z˙1 (11.346) (11.347) ∂2= = −c2 ∂ z∂ ˙ z˙2 (11.348) c16 = c61 = ∂2= = −c3 ∂ z∂ ˙ z˙3 (11.349) ∂2= = −c4 ∂ z∂ ˙ z˙4 µ ¶2 µ ¶2 ∂2= tI tII + (c3 + c4 ) c22 = 2 = (c1 + c2 ) 2 2 ∂ φ˙ ¶ ¶ µ µ ∂2= aI tI aII tII + (c3 + c4 ) = = (c1 − c2 ) ˙ θ˙ 2 2 ∂ φ∂ (11.350) (11.351) (11.352) tI ∂ 2= = c1 ˙ z˙1 2 ∂ φ∂ (11.353) c25 = c52 = tI ∂2= = −c2 ˙ z˙2 2 ∂ φ∂ (11.354) c26 = c62 = tII ∂2= = −c3 ˙ z˙3 2 ∂ φ∂ (11.355) c24 = c42 = c27 = c72 c33 = (11.345) c15 = c51 = c17 = c71 = c23 = c32 (11.344) ∂2= tII = = c4 ˙ 2 ∂ φ∂ z˙4 ∂2= 2 2 2 = (c1 + c2 ) aI + (c3 + c4 ) aII ˙ ∂θ (11.356) (11.357) c34 = c43 = ∂2= = c1 aI ˙ z˙1 ∂ θ∂ (11.358) c35 = c53 = ∂2= = c2 aI ˙ z˙2 ∂ θ∂ (11.359) c36 = c63 = ∂2= = −c3 aII ˙ z˙3 ∂ θ∂ (11.360) c37 = c73 = ∂2= = −c4 aII ˙ z˙4 ∂ θ∂ (11.361) 300 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos c44 ∂2= = = c1 ∂ z˙12 (11.362) c45 = c54 = ∂2= =0 ∂ z˙1 ∂ z˙2 (11.363) c46 = c64 = ∂2= =0 ∂ z˙1 ∂ z˙3 (11.364) c47 = c74 = ∂2= =0 ∂ z˙1 ∂ z˙4 (11.365) ∂2= = c2 ∂ z˙22 c55 = (11.366) c56 = c65 = ∂2= =0 ∂ z˙2 ∂ z˙3 (11.367) c57 = c75 = ∂2= =0 ∂ z˙2 ∂ z˙4 (11.368) ∂2= = c3 ∂ z˙32 c66 = c67 = c76 ∂2= = =0 ∂ z˙3 ∂ z˙4 c77 = ∂2= = c4 ∂ z˙42 (11.369) (11.370) (11.371) A disposição dos termos, acima desenvolvidos, na matriz de amortecimento é a mesma que a apresentada na equação (11.186) Matriz de rigidez Os elementos da matriz rigidez, obtidos a partir da energia potencial com o auxílio da equação (11.152), são: k11 = k12 = k21 = k13 = k31 = ∂ 2 VT otal = k1 + k2 + k3 + k4 ∂z 2 ∂ 2 VT otal tI tII = − (k1 − k2 ) + (k3 − k4 ) ∂z∂φ 2 2 ∂ 2 VT otal = − (k1 + k2 ) aI + (k3 + k4 ) aII ∂z∂θ ∂ 2 VT otal k14 = k41 = = −k1 ∂z∂z1 (11.372) (11.373) (11.374) (11.375) k15 = k51 = ∂ 2 VT otal = −k2 ∂z∂z2 (11.376) k16 = k61 = ∂ 2 VT otal = −k3 ∂z∂z3 (11.377) k17 = k71 = ∂ 2 VT otal = −k4 ∂z∂z4 (11.378) 301 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos k23 = k32 µ ¶2 µ ¶2 ∂ 2 VT otal tI tII = (k1 + k2 ) + (k3 + k4 ) k22 = 2 2 2 ∂φ ¶ ¶ µ µ ∂ 2 VT otal aI tI aII tII = (k1 − k2 ) + (k3 − k4 ) = ∂φ∂θ 2 2 (11.380) ∂ 2 VT otal tI = k1 ∂φ∂z1 2 (11.381) k25 = k52 = tI ∂ 2 VT otal = −k2 ∂φ∂z2 2 (11.382) k26 = k62 = tII ∂ 2 VT otal = −k3 ∂φ∂z3 2 (11.383) ∂ 2 VT otal tII = k4 ∂φ∂z4 2 (11.384) k24 = k42 = k27 = k72 = k33 = (11.379) ∂ 2 VT otal = (k1 + k2 ) a2I + (k3 + k4 ) a2II ∂θ2 ∂ 2 VT otal = k1 aI k34 = kc43 = ∂θ∂z1 (11.385) (11.386) ∂ 2 VT otal = k2 aI ∂θ∂z2 (11.387) ∂ 2 VT otal = −k3 aII ∂θ∂z3 (11.388) ∂ 2 VT otal = = −k4 aII ∂θ∂z4 (11.389) ∂ 2 VT otal = k1 + k1p ∂z12 (11.390) k45 = k54 = ∂ 2 VT otal =0 ∂z1 ∂z2 (11.391) k46 = k64 = ∂ 2 VT otal =0 ∂z1 ∂z3 (11.392) k47 = k74 = ∂ 2 VT otal =0 ∂z1 ∂z4 (11.393) ∂ 2 VT otal = k2 + k2p 2 ∂z2 (11.394) k56 = k65 = ∂ 2 VT otal =0 ∂z2 ∂z3 (11.395) k57 = k75 = ∂ 2 VT otal =0 ∂z2 ∂z4 (11.396) ∂ 2 VT otal = k3 + k3p ∂z32 (11.397) k35 = kc53 = k36 = k63 = k37 = k73 k44 = k55 = k66 = 302 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos ∂ 2 VT otal =0 (11.398) k67 = k76 = ∂z3 ∂z4 ∂ 2 VT otal = k4 + k4p (11.399) k77 = 2 ∂z4 A disposição dos termos acima desenvolvidos, é a mesma que a apresentada na equação (11.215) Vetor excitação Neste caso, onde a excitação é pela base, tem-se que o vetor de carregamentos é dado por: ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ 0 f1 (t) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 f (t) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎬ ⎨ f3 (t) ⎬ ⎨ p s k1 z1 (t) f4 (t) = (11.400) f(t) = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ p s ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ f5 (t) ⎪ k2 z2 (t) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ p ⎪ ⎪ ⎪ f (t) ⎪ k3 z3s (t) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 6 ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ p s ⎭ ⎩ f7 (t) k4 z4 (t) onde: kip - é a rigidez do i’-ésimo pneu; zis (t) - é a rugosidade do solo sob o i’-ésimo pneu. 11.6.4 Modelo para arfagem e bounce Os modelos de sete graus de liberdade desenvolvidos, podem ser simplificados para um caso particular, onde apenas os efeitos de arfagem (pitch) resultantes do giro do carro em torno do eixo y, mostrado na Figura 11.1, e o de bounce são considerados. A excitação desses graus de liberdade é ocasionada pelo deslocamento vertical das rodas dianteiras e traseiras do veículo ao trilharem as mesmas irregularidades da pista em instantes distintos. A excitação desses graus de liberdade afeta de maneira sensível o bom rodar do automóvel e, consequentemente, o conforto de seus ocupantes. Uma modelagem simples desse comportamento do veículo pode ser obtido considerando considerando apenas os seguintes graus de liberdade. ¾ ¾ ½ ½ z(t) q1 (t) (11.401) = x(t) = θ(t) q2 (t) Sendo assim, a análise modal a ser feita nesse caso é identica àquela do item 11.5.1, onde devem ser tomados cuidados especiais na análise do deslocamento angular. 11.7 Unificação dos modelos desenvolvidos As equações do movimento para os modelos apresentados anteriormente, genericamente podem ser escritas da mesma forma que a apresentada no item 11.5 para dois graus de liberdade. Assim, a equação (11.52) é repetida a seguir. [M x ¨(t) + C x(t) ˙ + K x(t)] = f(t) (11.402) 303 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos onde: M é a matriz massa do sistema, equações (11.53), (11.157), (11.251) ou (11.343); C é a matriz de amortecimento do sistema, equações (11.54) ou (11.186); K é a matriz de rigidez do sistema, equações (11.55) ou (11.215); x(t) é o vetor de deslocamentos equações (11.56), (11.115), (11.217) ou (11.309); f(t) é o vetor excitação, equações (11.57), (11.216), (11.308) ou (11.400); A análise das características do sistema pode ser feita da mesma maneira que a apresentada para dois graus de liberdade, item 11.5. Para isto, a excitação bem como a resposta do problema são dadas pelas equações (11.58), (11.59) e (11.60), repetidas a seguir zis (t) = Zis (Ω)eiΩt z˙is (t) = iΩZis (Ω)eiΩt (11.403) z¨is (t) = −Ω2 Zis (Ω)eiΩt zi (t) = Zi (Ω)eiΩt , z˙i (t) = iΩZi (Ω)eiΩt = Vip (Ω)eiΩt , (11.404) z¨i (t) = −Ω2 Zi (Ω)eiΩt = Gpi (Ω)eiΩt , z(t) = Z(Ω)eiΩt , z(t) ˙ = iΩZ(Ω)eiΩt = V (Ω)eiΩt , (11.405) z¨(t) = −Ω2 Z(Ω)eiΩt = G(Ω)eiΩt onde: i - é a entidade matemática imaginária; Ω - é a freqüência; t - é a variável tempo; Zis (Ω), Zi (Ω), Z(Ω), V (Ω), Vi (Ω), G(Ω), Gi (Ω) - são as amplitudes dos deslocamentos, das velocidades e das acelerações em freqüência. Sendo assim, o equacionamentono domínio da freqüência é dado genericamente por: ¤ £ M s2 + C s + K Z(Ω) = F(Ω) (11.406) onde: M, C e K são as matrizes definidas nas equações (11.53), (11.54) e (11.55); Z(Ω) é a resposta em freqüência e F(Ω) é a excitação no domínio da freqüência. Com estas definições a equação (11.406) pode ser reescrita como Ð(s)Z(Ω) = F(Ω), (11.407) 304 Capítulo 11 - Modelos dinâmicos onde: Ð(s) = [M s2 + C s + K ]. Definindo a matriz receptância como £ ¤−1 Λ(s) = Ð(s)−1 = M s2 + C s + K (11.408) tem-se que a resposta, Z(Ω), do sistema é calculada por: Z(Ω) = Λ(s)F(Ω). (11.409) Genericamente esta análise modal é idêntica a aquela desenvolvida no item 11.5 e, assim, a análise das freqüências naturais para um sistema com n graus de liberdade, bem como a obtenção das velocidades e das acelerações do sistema, são feitos da mesma maneira que a apresentada naquele item. 11.7.1 Modelo de excitação Como foi mostrado anteriormente, a resposta Z(Ω) de um sistema no domínio da frequência é dada pela equação (11.409) onde a matriz de receptância Λ(s) é uma característica do sistema físico analisado e F(Ω) é a excitação. A excitação, F(Ω), depende do tipo de piso que o veículo trafega. Se a função que define a rugosidade do solo é integrável, não importando que seja periódica ou não, um modelo de excitação pode ser obtido com o conceito da transformada de Fourier apresentado a seguir 1 F(Ω) = 2π Z+∞ f(t)e−iΩt dt, (11.410) −∞ onde f(t) é a excitação dada pelas equações (11.216), (11.308) e (11.400), para os casos de eixos rígidos na frente e na traseira, suspensão independente na frente e eixo rígido na traseira e suspensão independente na frente e na traseira, respectivamente. Com isto definido, a resposta do problema, em freqüência é obtida a partir da equação (11.409), sendo a resposta no tempo dada pela transformada inversa, definida a seguir Z+∞ Z(Ω)eiΩt dΩ. z(t) = (11.411) −∞ Tendo-se em mãos a solução do problema, que no caso podem ser os deslocamentos, as velocidades ou as acelerações, é possível fazer a análise dos esforços, ou do ruído bem como do conforto do veículo, dependendo do interesse do analista. Rugosidade da pista A determinação da excitação, f(t), é função da rugosidade do solo zis (t) bem como da rigidez dos pneus. É interessante salientar que a rugosidade do solo, da forma que está mostrada acima, é função não somente da geometria da superfície do contato pneu pista, Capítulo 11 - Modelos dinâmicos 305 Figura 11.11: Modelo de pista para velocidade constante. mas também do tempo. Como a geometria do solo é invariante com o tempo, esta variável é introduzida na função rugosidade zis (t) a partir da velocidade de deslocamento do veículo. Para o caso em questão, onde não há um interesse em estudar o problema com acelerações na direção do eixo x ou axial, a variação da velocidade do veículo não será considerada. A construção da função rugosidade zis (t) a partir da geometria da superfície de contato com o solo é apresentada a seguir para um caso simples, porém o procedimento é geral e pode ser estendido para qualquer tipo de geometria. Para isto seja uma pista plana onde o veículo se desloca com velocidade constante v, onde, em uma determinada posição x1 , existe um obstáculo na pista. Este obstáculo é uma rampa que termina na posição x2 . A partir desta posição a pista fica novamente plana, porém com uma altura k em relação ao primeiro trecho. O modelo da superfície zis (x) desta pista está mostrado na Figura 11.11. A função rugosidade do solo, em termos da posição x é dada por: ⎧ 0 para -∞ ≤ x ≤ x1 ⎨ k s (x − x1 ) para x1 ≤ x ≤ x2 (11.412) zi (x) = ⎩ (x2 −x1 ) k para x2 ≤ x ≤ ∞ Considerando que o veículo não perca velocidade na subida da rampa, pode-se escrever que: x = vt (11.413) onde: Capítulo 11 - Modelos dinâmicos 306 x - é a posição do veículo; v - é a velocidade de deslocamento do veículo; t - tempo. Com isto, a função zis (t) pode ser escrita a partir da equação (11.412) com a mudança de coordenadas definida na expressão (11.413). ⎧ para -∞ ≤ t ≤ t1 ⎨ 0 k s (t − t1 ) para t1 ≤ t ≤ t2 (11.414) zi (t) = ⎩ (t2 −t1 ) k para t2 ≤ t ≤ ∞ onde: t1 = t2 = x1 v x2 v Referências Bibliográficas [1] Gillespie, T.D. Fundamentals of Vehicle Dynamics.USA: SAE - Inc. 1992. [2] Reimpell, J., Betzler, J. W. The automotive Chassis: Engineering Priciples. USA: SAE & Edward Arnold. [3] Taborek, J.J. Mechanics of Vehicles. USA: Machine Design. May- to December of 1957. [4] Nicolazzi, L.C., Rosa, E. da, Leal, L.C.M. Introdução à modelagem quase-estática de veículos automotores de rodas. Brasil: Publicação interna do GRANTE - Depto de Engenharia Mecâncica da UFSC. 2001. [5] da Rosa, E. Curso de Dinâmica Veicular. Brasil: Publicação interna do GRANTE Depto de Engenharia Mecânica da UFSC. 2001. [6] Dias, A. Sistema de freio automotivo e manutenção. Brasil: Publicação interna da UFSC. 2000. [7] Campbell,C. 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