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Hip´erbole
´ MODULO 1 - AULA 20
Aula 20 – Hip´ erbole Objetivos • Descrever a hip´erbole como um lugar geom´etrico.
• Determinar a sua equa¸ca˜o reduzida no sistema de coordenadas com origem no ponto m´edio entre os focos e eixo x como o eixo focal.
• Esbo¸car o gr´afico, fazer transla¸co˜es e identificar os parˆametros a, b, c e tamb´em a excentricidade e, a partir da sua equa¸ca˜o reduzida.
Conceitos: Sistemas de coordenadas e distˆ ancias no plano.
Referˆencias: Aulas 13 e 14.
• Determinar as coordenadas dos focos e dos v´ertices. Aplica¸co˜es da hip´erbole s˜ao um pouco mais dif´ıceis de encontrar. No entanto, alguns cometas podem ter o´rbitas hiperb´olicas em vez de el´ıpticas. O que isto significa? Cometas em o´rbitas el´ıpticas em torno da Terra podem ser vistos v´arias vezes, pois retornam a um ponto da o´rbita, como o cometa Halley, enquanto cometas em o´rbitas hiperb´olicas aparecem uma vez e jamais retornam. As ondas de choque sonoras de um jato supersˆonico, voando a baixa altitude e paralelamente ao solo, se propagam ao longo de cones com eixo paralelo a` superf´ıcie. Esses cones intersectam a superf´ıcie da Terra em hip´erboles, conforme a Figura 20.1. Quando acendemos um abajur num ambiente escuro e pr´oximo a uma parede, vemos duas regi˜oes bem iluminadas, cujos contornos s˜ao hip´erboles. Veja a Figura 20.2.
Figura 20.1: Ondas de choque de um jato supersˆ onico intersectando a superf´ıcie do Figura 20.2: Cones de luz intersectando a planeta em hip´erboles. parede ao longo de hip´erboles.
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Antes de mencionarmos outras aplica¸co˜es, precisamos conhecer a defini¸ca˜o e as propriedades elementares da hip´erbole. Consideremos fixados no plano dois pontos F1 e F2 . A hip´erbole ´e o lugar geom´etrico dos pontos do plano cujo valor absoluto da diferen¸ca das distˆancias aos pontos F1 e F2 ´e uma constante positiva menor do que a distˆancia entre os pontos F1 e F2 . Escrevendo esta constante como 2a, temos hip´erbole={P | |d(P, F1 ) − d(P, F2 )| = 2a}. Esta curva plana tem duas partes chamadas ramos da hip´erbole. Veja o seu desenho na Figura 20.3.
Figura 20.3: Hip´erbole como lugar geom´etrico no plano.: |d1 − d2 | = 2a
Os pontos F1 e F2 s˜ao chamados focos da hip´erbole. Para encontrar a equa¸ca˜o da hip´erbole, vamos fixar um sistema de coordenadas. Procedemos de modo an´alogo a` determina¸ca˜o da equa¸ca˜o da elipse. Consideramos o eixo x como o eixo focal, a reta passando por F1 e F2 , com a origem O situada no ponto m´edio do segmento F1 F2 , e o eixo y sendo a reta perpendicular a este segmento passando por O. A orienta¸ca˜o do eixo x ´e de O para F2 e o eixo y tem a sua orienta¸ca˜o, for¸cosamente, fixada. Veja a Figura 20.4.
Figura 20.4: Constru¸ca ˜o de um sistema de coordenadas.
Seja 2c > 0 a distˆancia entre F1 e F2 . Ent˜ao, 0 < a < c e, no sistema de coordenadas que acabamos de construir, temos F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0). Portanto, P = (x, y) ´e um ponto da hip´erbole ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ CEDERJ
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| d(P, F1 ) − d(P, F2 ) | = 2a d(P, F1 ) − d(P, F2 ) = ±2a p p (x − (−c))2 + (y − 0)2 − (x − c)2 + (y − 0)2 = ±2a
Hip´erbole
⇐⇒ ⇐⇒
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p p (x + c)2 + y 2 − (x − c)2 + y 2 = ±2a p p (x + c)2 + y 2 = ±2a + (x − c)2 + y 2 .
Elevando ao quadrado ambos os membros da u ´ ltima igualdade, obtemos p 2 2 2 2 2 (x + c) + y = 4a ± 4a (x − c) + y + (x − c)2 + y 2 .
Desenvolvendo os quadrados, temos p x2 + 2cx + c2 + y 2 = 4a2 ± 4a (x − c)2 + y 2 + x2 − 2cx + c2 + y 2 .
Cancelando as parcelas iguais e deixando apenas a raiz quadrada do lado direito, obtemos p 4cx − 4a2 = ±4a (x − c)2 + y 2 . Dividindo por 4, temos
cx − a2 = ±a
p
(x − c)2 + y 2 .
Elevando ao quadrado ambos os membros desta igualdade, temos c2 x2 − 2a2 cx + a4 = a2 ((x − c)2 + y 2 ). Desenvolvendo o lado direito desta igualdade, obtemos c2 x2 − 2a2 cx + a4 = a2 x2 − 2a2 cx + a2 c2 + a2 y 2 . Somando 2a2 cx−a4 −a2 x2 −a2 y 2 a ambos os membros desta igualdade, reescrevemos a equa¸ca˜o como, (c2 − a2 )x2 − a2 y 2 = a2 c2 − a4 = a2 (c2 − a2 ). Como 0 < a < c, temos a2 < c2 . Assim, c2 − a2 ´e um n´ umero real positivo e podemos escrevˆe-lo como o quadrado de um n´ umero real b > 0, 2 2 2 logo b = c − a . Observe que b < c. Finalmente, a equa¸ca˜o anterior se reescreve como b2 x2 − a2 y 2 = a2 b2 que, dividindo por a2 b2 6= 0, ´e equivalente a x2 y 2 − 2 = 1, onde c2 = a2 + b2 . a2 b Esta equa¸ca˜o ´e chamada equa¸ca ˜o reduzida da hip´erbole. A interpreta¸ca˜o geom´etrica para a e b ser´a relevante para desenhar o x2
gr´afico da hip´erbole. Fazendo y = 0 nesta equa¸ca˜o, obtemos 2 = 1, que a ´e equivalente a x2 = a2 . Portanto, x = ±a e os pontos A1 = (−a, 0) e A2 = (a, 0) s˜ao pontos da hip´erbole, chamados v´ertices. O segmento de reta A1 A2 tem comprimento 2a e ´e chamado de eixo real ou transverso. y2
Fazendo agora x = 0, obtemos 2 = −1, uma equa¸ca˜o que n˜ao admite b solu¸ca˜o em n´ umeros reais. Isto significa que o eixo y e a hip´erbole n˜ao se intersectam. A origem O ´e chamada de centro da hip´erbole. Os pontos 265
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B1 = (0, −b) e B2 = (0, b) n˜ao est˜ao na hip´erbole, mas desempenham um papel importante para tra¸car o seu gr´afico. O segmento de reta B1 B2 tem comprimento 2b e ´e chamado eixo imagin´ ario da hip´erbole. N˜ao se esque¸ca que os focos da hip´erbole est˜ao situados no eixo x e s˜ao F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0). As retas verticais passando por A1 e A2 e as retas horizontais passando por B1 e B2 determinam um retˆangulo de v´ertices C, D, E e F cujas diagob nais passam pela origem e tˆem equa¸co˜es y = ± x, chamadas de ass´ıntotas a da hip´erbole. As ass´ıntotas da hip´erbole tˆem a seguinte propriedade: um ponto da hip´erbole muito afastado do centro O est´a a uma distˆancia muito pequena (pr´oxima de zero) da ass´ıntota. Na pr´atica, isto significa que o desenho do gr´afico da hip´erbole se aproxima da ass´ıntota quando o ponto da hip´erbole se afasta do centro, conforme a Figura 20.5.
Figura 20.5: Desenho das ass´ıntotas da hip´erbole.
Mais precisamente: (1) Pontos da hip´erbole do primeiro e terceiro quadrantes com |x| muito b a
grande est˜ao pr´oximos de y = x.
(2) Pontos da hip´erbole do segundo e quarto quadrantes com |x| muito b a
grande est˜ao pr´oximos de y = − x.
O exerc´ıcio 5 desta aula d´a um roteiro para a demonstra¸ca˜o das propriedades acima. Daremos aqui apenas uma id´eia da validade das propriedades, usando os nossos conhecimentos dos n´ umeros reais. Observe que a equa¸ca˜o da hip´erbole pode ser reescrita como y2 b2 b2 = − , x2 a 2 x2 pois x 6= 0. Sabemos que quando |x| ´e muito grande, x2 = |x|2 tamb´em ´e muito grande. Logo, CEDERJ
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1 b2 ≈ 0 e ≈ 0. Desta maneira, vemos que x2 x2
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y2 b2 b2 b2 y b y b = − ≈ . Conclu´ımos ent˜ao que | | ≈ . Portanto, ≈± , 2 2 2 2 x a x a x a x a
quando (x, y) ´e um ponto da hip´erbole com |x| muito grande.
Como foi visto na Aula 21, o s´ımbolo ≈ significa aproximadamente.
O gr´afico da hip´erbole ´e Graf =
x2 y 2 (x, y) | 2 − 2 = 1 . a b
Apresentamos, nas Figuras 20.6 e 20.7, os gr´aficos de x2 9
−
y2 4
x2 4
−
x2 9
−
y2 1
=1e
1 2 = 1 com as suas ass´ıntotas, y = ± x e y = ± x, respectivamente. 2 3
Figura 20.6: Hip´erbole
x2 4
−
y2 1
= 1.
Figura 20.7: Hip´erbole
y2 4
= 1.
Note que: (1) P = (x, y) est´a na hip´erbole ⇐⇒ (x, −y) tamb´em est´a na hip´erbole. (2) P = (x, y) est´a na hip´erbole ⇐⇒ (−x, y) tamb´em est´a na hip´erbole. (3) P = (x, y) est´a na hip´erbole ⇐⇒ (−x, −y) tamb´em est´a na hip´erbole.
Figura 20.8: Visualiza¸ca ˜o das simetrias dos pontos da hip´erbole.
As propriedades anteriores s˜ao conseq¨ uˆencia das vari´aveis x e y aparecerem ao quadrado na equa¸ca˜o da hip´erbole e significam, respectivamente, que: (1) o gr´afico da hip´erbole ´e sim´etrico com respeito ao eixo x. (2) o gr´afico da hip´erbole ´e sim´etrico com respeito ao eixo y. (3) o gr´afico da hip´erbole ´e sim´etrico com respeito a` origem O. A excentricidade da hip´erbole ´e o n´ umero real c e = , e > 1. a
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A excentricidade da hip´erbole ´e respons´avel pela sua forma. Hip´erboles com excentricidade muito grande tˆem ass´ıntotas tendendo a b das inclina¸co˜es retas verticais (neste caso, o eixo y), pois o valor absoluto a b das ass´ıntotas y = ± x ´e muito grande: a c c2 b2 c2 − a 2 c2 c2 muito grande =⇒ 2 muito grande =⇒ 2 = = − 1 ≈ =⇒ a a a a2 a2 a2 c b b ≈ =⇒ muito grande. a a a
Hip´erboles com excentricidade pr´oxima de 1 tˆem ass´ıntotas pr´oximas de retas horizontais (neste caso, o eixo x), pois a inclina¸ca˜o das ass´ıntotas se aproxima de zero: Aqui uma pequena excentricidade! A palavra excentricidade sempre ser´ a qualidade ou condi¸ca ˜o do que ´e excˆentrico, ou seja, aquilo que se desvia ou se afasta do centro.
c b ≈ 1 =⇒ c ≈ a =⇒ c2 ≈ a2 =⇒ b2 = c2 − a2 ≈ 0 =⇒ b ≈ 0 =⇒ ± ≈ 0. a a
Apresentamos na Figura 20.9 uma hip´erbole com excentricidade muito grande e na Figura 20.10 uma hip´erbole com excentricidade pr´oxima de 1 .
Em Matem´ atica, excentricidade ´e ac , ou seja, a raz˜ ao entre a distˆ ancia c do centro de simetria da cˆ onica ao foco, e a distˆ ancia a do centro ao v´ertice. O que n˜ ao tem nada a ver com esquisitice ou extravagˆ ancia, express˜ ao mais conhecida na nossa l´ıngua.
Figura 20.10: Hip´erbole com excentricidade pr´ oxima de 1. Figura 20.9: Hip´erbole com excentricidade muito grande.
Exemplo 20.1 Vamos determinar os v´ertices, os focos e a excentricidade da hip´erbole H = {(x, y)| 4x2 − 8x − 9y 2 − 36y = 68}.
Reescrevemos a equa¸ca˜o dada, tentando obter a sua equa¸ca˜o na forma reduzida. Temos, 68 = = = = = = CEDERJ
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4x2 − 8x − 9y 2 − 36y, isolando os polinˆomios em x e y, (4x2 − 8x) − (9y 2 + 36y), colocando 4 e 9 em evidˆencia, na primeira e segunda parcelas, respectivamente, 4(x2 − 2x) − 9(y 2 + 4y), completando os quadrados dos polinˆomios em x e y, respectivamente, 4(x2 − 2x + 1 − 1) − 9(y 2 + 4y + 4 − 4), reescrevendo, 4(x2 − 2x + 1) − 4 − 9(y 2 + 4y + 4) + 36, escrevendo os quadrados, 4(x − 1)2 − 9(y + 2)2 + 32.
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Esta igualdade ´e equivalente a 4(x − 1)2 − 9(y + 2)2 = 36.
Dividindo ambos os membros desta igualdade por 36, temos (x − 1)2 (y + 2)2 − = 1, 9 4 que ´e a equa¸ca˜o de uma hip´erbole obtida pela transla¸ca˜o de 1 unidade, horizontalmente, e de −2 unidades, verticalmente, dos pontos da hip´erbole x2 y2 − = 1. 9 4
Esta u ´ ltima hip´erbole tem v´ertices A1 = (−3, 0) e A2 = (3, 0), c2 = 9 + 4 = 13, √ √ focos F1 = (− 13, 0) √ e F2 = ( 13, 0) e 13
. Somando 1 a`s excentricidade e = 3 abcissas e −2 a`s ordenadas dos v´ertices e dos focos, obtemos que os v´ertices da hip´erbole dada s˜ao A01 = (−2, −2) e A02 = √ (4, −2), e os focos s˜ao F10 = (1− 13, −2) √ e F20 = (1 + 13, −2)√. A sua excentrici- Figura 20.11: dade tamb´em ´e e =
13 . 3
(y+2)2 4
x2 9
= 1.
2
− y4 = 1 e
(x−1)2 9
−
De modo geral, a hip´erbole de equa¸ca˜o
y2 x2 − = 1 tem centro (0, 0), eia2 b2
xos de simetria x = 0 e y = 0, e b as retas de equa¸co˜es y = x e y = b − x como ass´ıntotas. a
a
Quando esta hip´erbole ´e transladada de h unidades, horizontalmente, e de k unidades, verticalmente, uma hip´erbole congru2 20.12: − Figura ente ´e obtida, com equa¸ca˜o (x−h) a2 (y−k)2 (y−k)2 = 1. b2 = 1. b2
x2 a2
−
y2 b2
= 1 e
(x−h)2 a2
−
O centro (0, 0) ´e transladado para (h, k) e os focos, os v´ertices, os eixos de simetria e as ass´ıntotas s˜ao transladados como indicado a seguir:
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Hip´erbole
x2 y2 − =1 a2 b2
(x − h)2 (y − k)2 − =1 a2 b2
centro:
(0, 0)
−→
(h, k)
focos:
(c, 0) e (−c, 0)
−→
(c + h, k) e (−c + h, k)
v´ertices:
(a, 0) e (−a, 0)
−→ (a + h, k) e (−a + h, k)
eixos de simetria:
x=0ey=0
−→
x=hey=k
−→
y − k = (x − h) e
ass´ıntotas:
b a
b a
y= xey=− x
b a
b a
y − k = − (x − h) Aten¸c˜ao: A excentricidade n˜ao se altera com uma transla¸ca˜o!
Resumo Vocˆe aprendeu a descrever a hip´erbole como um lugar geom´etrico; a determinar os parˆametros a, b e c da hip´erbole, com a equa¸ca˜o reduzida obtida no sistema de coordenadas, onde a origem ´e o seu centro de simetria e o eixo x ´e o eixo focal da hip´erbole; a esbo¸car o gr´afico e as ass´ıntotas da hip´erbole e a fazer transla¸co˜es; a determinar as coordenadas dos focos, dos v´ertices e das extremidades do eixo imagin´ario; a determinar a excentricidade e o seu significado. Exerc´ıcios 1. Esboce o gr´afico das hip´erboles, tra¸cando as ass´ıntotas: x2 y2 − =1 16 9 y2 x2 − =1 (b) 4 1
(a)
(c) 8x2 − 9y 2 = 72
(d) 16(x − 3)2 − 9(y − 2)2 = 144 (e) 9(x + 2)2 − 4(y − 3)2 = 36 (f) 25x2 − 9y 2 = 225
2. Considere as hip´erboles do exerc´ıcio anterior. Determine: (a) as coordenadas dos focos e dos v´ertices, (b) a excentricidade.
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3. Determine a equa¸ca˜o reduzida da hip´erbole, satisfazendo a propriedade dada: (a) Centro (0, 0), eixo real horizontal de comprimento 8 e eixo imagin´ario de comprimento 6. (b) V´ertices (±3, 0) e focos (±5, 0). (c) Os pontos limitantes dos eixos real e imagin´ario s˜ao, respectivamente, (3, 1), (9, 1) e (6, −1) e (6, 3). (d) Focos (−4, 4) e (8, 4), eixo imagin´ario de comprimento 8. √ (e) Centro (0, 0), reta y = 21 x uma ass´ıntota e 5, 0 um foco.
4. Determine o centro, os v´ertices, os focos, os eixos de simetria e desenhe o gr´afico das hip´erboles com as suas ass´ıntotas: (a) −5x2 + 4y 2 + 30x + 16y = 9 (b) −4x2 + y 2 + 8x + 4y + 4 = 0 (c) −x2 + 9y 2 + 4x − 36y + 41 = 0 (d) x2 − 4y 2 + 6x + 24y − 31 = 0 5. Desafio: x2
y2
Considere a hip´erbole H com equa¸ca˜o 2 − 2 = 1. Seja P = (x, y) um a b ponto de H, com x > 0 e y > 0. Seguindo o roteiro vocˆe vai mostrar que a ass´ıntota aos pontos do primeiro quadrante de H ´e a reta de b equa¸ca˜o y = x. a
b2
(a) Reescreva a equa¸ca˜o de H como y 2 = 2 x2 − b2 . Conclua que: a r (i) y =
b2 2 x − b2 . a2
(ii) Se x ´e muito grande ent˜ao y ´e muito grande. b a
(iii) Se x ´e muito grande ent˜ao y + x ´e muito grande. b a
(b) Considere a reta r com equa¸ca˜o y = x. Verifique que d(P, r) =
b2 q b |y + a x| 1 +
b2 a2
.
Sugest˜ao: Reescreva a f´ormula do exerc´ıcio 18 da Aula 16 como |(y 2 − m2 x2 | √ . d= |y + mx| 1 + m2 (c) Conclua que d(P, r) ≈ 0 quando x ´e um n´ umero real muito grande. 271
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6. Desafio: Reformule o exerc´ıcio anterior para mostrar que a ass´ıntota aos pontos b do quarto quadrante de H ´e a reta de equa¸ca˜o y = − x. a
Auto-avalia¸ca˜o Se vocˆe souber determinar a equa¸ca˜o reduzida da hip´erbole, no sistema de coordenadas com eixo x como eixo focal e origem no ponto m´edio entre os focos, a partir das propriedades geom´etricas; esbo¸car o seu gr´afico e suas ass´ıntotas, usando a sua equa¸ca˜o reduzida; determinar as coordenadas dos v´ertices, dos focos e das extremidades do eixo imagin´ario, a partir da equa¸ca˜o reduzida; souber fazer transla¸co˜es e determinar a excentricidade, ent˜ao pode prosseguir e aprender mais sobre a hip´erbole.
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