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Centro Universitário Newton Paiva
Campus Buritis
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas
Rodrigo Rodrigues Retório
Engenharia de Produção
RA: 11013271
Sala 104
Noite
Trabalho sobre Cônicas e Quádricas
Geometria Analítica
Belo Horizonte
2010. 1º
Cônicas
As cônicas são curvas planas que se originam da interseção de cone circular
por um plano. As diversas posições desse plano em relação ao cone dão
origem a cônicas particulares muito importantes, como veremos a seguir.
Cônicas como seções planas do cone
Considere um cone circular de vértice V e eixo r, cujas geratrizes formam
ângulo θ com o eixo do cone.
Seja π o plano que secciona o cone. Temos então os seguintes casos para a
interseção do cone com o plano:
A. Se o plano π é perpendicular ao eixo do cone, mas não passa pelo vértice
V, então a seção é uma circunferência. Logo, uma circunferência é uma
cônica.
B. Se π é paralelo a uma geratriz do cone e não contém V, então a curva de
interseção é uma parábola.
C. Se o ângulo entre o plano π e o eixo r é maior que o ângulo θ entre o
eixo e a geratriz, e π não passa pelo vértice, a interseção é uma elipse.
Um caso extremo é quando o ângulo é π/2, e a elipse se torna uma
circunferência.
D. Se o ângulo entre o plano π e o eixo r é menor que o ângulo θ entre o
eixo e a geratriz, e π não passa pelo vértice, então a interseção contém
pontos nos dois lados do cone em relação ao vértice e a curva resultante é
chamada de hipérbole.
E. Quando o plano π passa pelo vértice V, e o ˆangulo entre π e o eixo é
igual a θ, a interseção resulta em uma reta, que é uma reta geratriz.
F. Quando o plano π passa pelo vértice V, e o ângulo entre π e o eixo é
menor que θ, a interseção resulta em um par de retas concorrentes.
G. Quando o plano π passa pelo vértice V, e o ângulo entre π e o eixo é
maior que θ, a interseção resulta em um ponto, mais precisamente, o vértice
V.
As cônicas obtidas como interseção do cone por planos passando pelo vértice
V são exemplos de cônicas tidas como degeneradas.
Existem mais dois outros casos de cônicas (degeneradas) que não comparecem
na interseção do cone circular com o plano, que são: para de retas
paralelas e vazio. Estas cônicas podem ser obtidas como interseção do
cilindro com um plano. Na Geometria Projetiva, o cilindro é um cone, com
vértice "no infinito".
A Parábola
A parábola é uma curva plana caracterizada pela seguinte propriedade
geométrica:
Os pontos de uma parábola são eqüidistantes de um ponto F e de uma reta d,
que não contem F.
Denominamos:
F: Foco
D: Diretriz
V: Vértice
P: Parâmetro, que representa a distância do foco a diretriz.
Reta VF: Eixo da simetria da parábola.
Obs.:Na figura é a corda AA' que passa pelo foco e é perpendicular ao eixo
simetria. Também chamada de corda focal mínima.
Identificação da Parábola
A: Uma equação do tipo Ax²+By=0 representa uma parábola de vértice na
origem e eixo de simetria coincidente com o eixo y.
B; Uma equação do tipo Ay²+Bx=0 representa uma parábola de vértice na
origem e eixo de simetria coincidente com o eixo x.
Obs.: O eixo da parábola e homônimo à variável do 1º grau.
Por exemplo:
A: A equação y²+5x=0 representa uma parábola com eixo de simetria
coincidente com o eixo x e concavidade voltada para a esquerda.
B: A equação 2x²-3y=0 representa uma parábola com eixo de simetria
coincidente com o eixo y e concavidade voltada para cima.
Isso se deve aos conceitos de algumas equações canônicas da parábola:
A: Quando o eixo de simetria coincide com o eixo x por definição temos
d(P,F)=d(P,P')
Onde se observa que se P>0, a parábola tem concavidade voltada para a
direita (voltada para a parte positiva do eixo x) e se P<0, a parábola tem
concavidade voltada para a esquerda.
B: Quando o eixo de simetria coincide com o eixo y por definição temos
d(P,F)=d(P,P')
Onde se observa que se P>0, a parábola tem concavidade voltada para cima
(voltada parte positiva do eixo y) e se P<0, a parábola tem concavidade
voltada para baixo.
A condição para que uma cônica seja uma parábola é que quando uma
superfície cônica é seccionada por um plano π qualquer que não passa pelo
vértice O, π deve ser paralelo a uma geratriz da superfície.
Geratriz é qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e
a outra na curva que envolve a base.
Para provar esta afirmação foram criadas as equações da parábola de V=O'=
(X0, Y0 )
A: O eixo de simetria é paralelo ao eixo x.
A equação da parábola referida ao novo sistema x'O'y' é: y'²=2px'
Contudo, pelas formulas de translação:
X'=X - X0
Y'=Y - Y0
Substituindo as formulas de translação na equação da parábola temos:
(Y - Y0)² = 2p(X - X0)
O parâmetro p será positivo ou negativo se, respectivamente a concavidade
da parábola estiver voltada para a direita ou para a esquerda.
Desenvolvendo e isolando a variável x temos:
X = Ay²+By+C
B: O eixo de simetria é paralelo ao eixo y.
Analogamente a parábola que tem a concavidade voltada para cima (P>0) ou
concavidade voltada para baixo (P<0) tem a forma:
(X - X0)² = 2p(Y - Y0)
Desenvolvendo e isolando a variável y temos:
Y = Ax²+BX+C
A Elipse
Elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias
a dois pontos fixos F1 e F2 (focos) do mesmo plano, é uma constante (2A)
onde 2A > d(F1, F2).
Assim: d(P, F1) + d(P, F2) = 2A e d(Q, F1) + d(Q, F2) = 2A
Denominamos:
F1 e F2 : Focos. A distância entre os focos é 2C e se denomina distância
focal.
O: Centro da elipse é o ponto médio dos focos.
A1, A2, B1 e B2: Vértices da elipse.
Eixo maior: É o segmento A1A2 cujo comprimento é 2ª.
Eixo menor: É o segmento B1B2 cujo comprimento é 2B.
Do triangulo retângulo B2O F2 da figura acima obtemos a relação notável:
A² = B² + C²
Excentricidade
A excentricidade da elipse e definida por:
e = c/a onde 0 < e < 1
Quanto mais próximo de zero for o valor de e, mais a elipse se aproxima de
uma circunferência. E quanto mais próximo de 1 for o valor de e, mais
achatada será a elipse.
Conclui-se quanto aos valores extremos de e:
Se e = 0 tem-se uma circunferência de diâmetro 2ª e os focos F1 e F2
coincidem com o centro da circunferência.
Se e = 1 tem-se um segmento retilíneo F1 F2.
Equações canônicas da elipse de centro na origem
A: O eixo maior coincide com o eixo x. Se para P(x, y).
Por definição temos: d(P, F1) + d(P, F2) = 2ª substituindo esses termos por
valores chega-se a seguinte equação:
X² + y² = 1
A² B² (eixo maior = eixo x)
Que é chamada de equação canônica ou reduzida da elipse de centro na
origem e focos sobre os eixo x.
B: O eixo maior coincide com o eixo y.
Analogamente tem-se que para um ponto P(x, y) pertencente a elipse tem-se a
equação :
X² + y² = 1
A² B² (eixo maior = eixo y)
Na equação canônica A é a medida do semi-eixo maior e A² representa o maior
dos denominadores. Se o numero A² é o denominador de:
X² então os focos são sobre o eixo x.
Y² então os focos são sobre o eixo y.
Identificação de elipse
Uma equação do tipo Ax² + By² = F representa uma elipse com centro na
origem e eixos paralelos aos eixos cartesianos se:
- A e B concordam em sinal.
- A for diferente de B
As elipses também podem ser:
A: Real: Se A, B e F concordarem em sinal.
B: Imaginaria: (Não há lugar geométrico ou é um conjunto vazio.) Se F tem
sinal contrario de A e B.
C: Puntiforme: (A elipse se reduz a um ponto em O) Se F = 0.
A Hipérbole
Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos de um plano tal que o valor
absoluto da diferença de suas distâncias a dois pontos fixos F1 e F2
(focos), do mesmo plano, é uma constante (2A), onde 2A < d(F1, F2), assim:
" dist (P, F1) dist (P, F2)" = 2A
A hipérbole é uma curva em que seu valor pode ser obtido através da
diferença da maior e a menor distância.
Denominamos:
F1, F2: Focos. A distância entre os focos é igual a 2c, denomina-se
distância focal.
O: Centro da hipérbole; é o ponto médio do segmento F1, F2.
A1, A2: Vértices da hipérbole.
Eixo Real ou Transverso: É o segmento A1A2 e o seu comprimento é 2a.
Eixo Imaginário ou Conjugado: É o segmento B1B2 e seu comprimento é 2b.
Do triângulo B2OA2 na figura obtemos a relação notável: c² = a² + b²
Excentricidade da hipérbole: É definida por: e = c
e > 1
a
Quanto maior a excentricidade da hipérbole maior será sua abertura e quanto
menor for sua excentricidade menor será sua abertura.
Equações
A equação da hipérbole cujos focos são F1 = (-c; 0) e F2 = (c; 0) é
X² - y² = 1
a² b²
A equação assíntotas da hipérbole (retas onde a curva se aproxima de
+infinito ou – infinito) é:
y = b x ou y = - b x
a a
Quádricas
Quádrica é o conjunto dos pontos do espaço tridimensional, cujas
coordenadas cartesianas verificam uma equação de 2º grau de no máximo três
variáveis.
ax2 + by2 + cz2 + dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + j = 0;
Em que a; b; c; d; e; f; g; h; i; j pertencem aos R, com a; b; c; d; e; f
não simultaneamente nulos.
Elipsóide
Elipsóide é um conjunto de pontos que em algum sistema de coordenadas
satisfaz a equação
x² + y² + z² = 1
a² b² c²
Em que a; b e c são números reais positivos.
Elipsóide de equação
x² + y² + z² = 1
a² b² c²
Hiperbolóide
Hiperbolóide de uma folha
Um hiperbolóide de uma folha é um conjunto de pontos que em algum sistema
de coordenadas satisfaz a equação
x² + y² - z² = 1
a² b² c²
Em que a; b e c são números reais positivos.
O hiperbolóide de uma folha é simétrico em relação aos planos coordenados,
aos eixos coordenados e a origem. Pois se (x, y, z) satisfaz a equação,
então (-x, y, z), (x, -y, z), (x, y, -z), (-x, -y, z), (-x, -y, -z), (-
x, y, -z) e (x, -y, -z) também satisfazem.
O plano z = k intercepta o hiperbolóide de uma folha segundo a eclipse:
X² + y² = 1, z = k
A² (1 + k²) b² (1 + k²)
c² c²
Os eixos da elipse aumentam à medida que k cresce.
O plano y = k intercepta o hiperbolóide de uma folha seguindo uma curva
cuja equação é:
X² - Z² = 1 – k² , y = k
A² C² B²
Se (K/B) é diferente de 1, então a interseção é um hiperbolóide e se (K/B)
= 1, então a interseção é um par de retas concorrentes.
O plano x = k possui considerações semelhantes a esta.
Hiperbolóide de duas folhas
Um hiperbolóide de duas folhas é um conjunto de pontos que em algum sistema
de coordenadas satisfaz a equação:
-x² - y² + z² = 1
a² b² c²
Em que a; b e c são números reais positivos.
O hiperbolóide de duas folhas é simétrico em relação aos planos
coordenados, aos eixos coordenados e à origem. Pois se (x, y , z) satisfaz
a equação, então (-x, y, z), (x, -y, z), (x, y, -z), (-x, -y, z), (-x,
-y, -z), (-x, y, -z) e (x, -y, -z) também satisfazem.
O plano z = k, para k >c, intercepta o hiperbolóide de duas folhas seguindo
a eclipse:
x² + y² = 1, z = k
a² (k² - 1) b² ( k² - 1)
c² c²
O plano y = k intercepta o hiperbolóide de duas folhas seguindo a
hipérbole:
- x² + z² = 1, y = k
a² (k² + 1) c² (k² + 1)
b² b²
O plano x = k que intercepta o hiperbolóide também é uma hipérbole.
Parabolóide
Parabolóide elíptico
Um parabolóide elíptico é um conjunto de pontos que em algum sistema de
coordenadas satisfaz a equação:
cz = x² + y²
a² b²
Em que a; b e c são números reais, sendo a e b positivos.
O parabolóide elíptico é simétrico em relação aos planos xz e yz. Pois, se
(x, y, z) satisfaz a equação, então (-x, y, z) e (x, -y, z) também
satisfazem. Ele também é simétrico em relação ao eixo z, pois se (x, y, z)
satisfaz a equação, então (-x, -y, z) também satisfaz.
A interseção do parabolóide elíptico com o plano z = k, para k tal que ck >
0, é a elipse:
x² + y² = 1, z = k
cka² ckb²
A interseção do parabolóide elíptico com o plano x = k é a parábola:
Z = k² + y² , x = k
ca² cb²
A interseção do parabolóide elíptico com plano y = k também é uma parábola.
Parabolóide hiperbólico
Um parabolóide hiperbólico é um conjunto de pontos que em algum sistema de
coordenadas satisfaz a equação:
cz = x² - y² ,
a² b²
Em que a; b e c são números reais, sendo a e b positivos.
O parabolóide é simétrico em relação aos planos xz e yz. Pois se (x, y, z)
satisfaz a equação, então (x, -y, z) e (-x, y, z) também satisfazem. Ele
também é simétrico em relação ao eixo z, pois se (x, y, z) satisfaz a
equação, então (-x, -y, z) também satisfaz.
A interseção do plano z = k com o parabolóide hiperbólico é dada por:
x² - y² = k, z = k
ca² cb²
Que representa uma hipérbole, se k for diferente de 0 e um par de retas, se
k=0
A interseção do plano x = k com o parabolóide hiperbólico é a parábola:
Z = - y² + k² , x = k
cb² ca²
Que tem concavidade voltada para cima se c > 0 e concavidade para baixo se
c < 0.
A interseção do plano y = k com o hiperbolóide hiperbólico é a parábola:
Z = x² + k² , y = k
ca² cb²
Que tem concavidade voltada para cima se c > 0 e concavidade para baixo se
c < 0. O parabolóide hiperbólico é também chamado de sela.
Cone elíptico
Pontos de intersecção com os eixos coordenados:
;
Seções paralelas ao plano XY: z =0 (0,0,0), caso contrário elipses;
Seções paralelas ao plano XZ: y =0, duas retas concorrentes
caso contrário hipérboles;
Seções paralelas ao plano YZ: x =0, duas retas concorrentes caso contrário
hipérboles;
Se a = b obtemos um cone de revolução.
Cilindros
Pegua-se numa curva plana C. Todas as linhas que passam por C e são
perpendiculares ao plano de C formam uma superfície (cilindro). As linhas
perpendiculares são chamadas geratrizes do cilindro.
Se a linha curva se encontra no plano XY (ou num plano paralelo ao
plano XY) então as geratrizes do cilindro são paralelas ao eixo de Z e a
equação do cilindro só envolve x e y.
Cilindro parabólico
Cilindro elíptico
Se a=b obtemos um cilindro de revolução.
Cilindro hiperbólico
Quádricas Degeneradas
Nenhum ponto: ;
Um único ponto: ;
Uma reta:
Um plano: ;
Dois planos: ;
Aplicações das Cônicas e Quádricas na Engenharia
O interesse pelo estudo das cônicas remonta a épocas muito recuadas. De
fato, estas curvas desempenham um papel importante em vários domínios da
física, incluindo a astronomia, na economia, na engenharia e em muitas
outras
situações, pelo que não é de estranhar que o interesse pelo seu estudo seja
tão antigo.
Vejamos então algumas situações onde estas curvas aparecem.
Suponhamos que temos uma lanterna direcionada para uma parede, então o
feixe de luz emitido desenhará nessa parede uma curva cônica. Este fato
acontece porque o feixe de luz emitido pela lanterna forma um cone, e
também porque a parede funciona como um plano que corta o cone formado.
Dependendo da inclinação da lanterna relativamente à parede, assim se obtém
uma circunferência, uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole.
Certos candeiros de cabeceira, cujo quebra luz (abat-jour) é aberto segundo
uma circunferência, desenham na parede uma hipérbole e no teto uma elipse.
Os Engenheiros da área da iluminação usam este fato, entre outros, para
construírem candeiros, lanternas, etc...
O som emitido por um avião a jato supersônico tem a forma de um cone, pelo
que, ao chocar com a Terra vai formar uma curva cônica. Assim, dependendo
da inclinação do avião relativamente a Terra, vamos obter elipses,
parábolas ou hipérboles. A audiometria usa este fato, entre outros, para
saber a que distância da Terra o avião pode ultrapassar a velocidade do
som.
A superfície formada pela água dentro de um copo é elíptica, sendo circular
apenas no caso em que o copo está direito, isto é, está alinhado com o
nível, na horizontal.
Se animarmos o copo com um movimento rotativo sobre si próprio, a
superfície do líquido nele inserido será a de um parabolóide. Esta
técnica é freqüentemente usada para se obter este tipo de superfície.
Na astronomia, Kepler mostrou que os planetas do sistema solar descrevem
órbitas elípticas, as quais têm o sol num dos focos. Também os satélites
artificiais enviados para o espaço percorrem trajetórias elípticas. Mas nem
todos os objetos que circulam no espaço têm órbitas elípticas. Existem
cometas que percorrem trajetórias hiperbólicas, os quais ao passarem perto
de algum planeta com grande densidade, alteram a sua trajetória para outra
hipérbole com um foco situado nesse planeta. Como a parábola é um caso de
equilíbrio entre a elipse e a hipérbole (lembre-se que a excentricidade da
parábola é igual a um), a probabilidade de existir algum satélite com
órbita parabólica é quase nula. Mas isso não impede a existência de
satélites com esta trajetória.
Também as trajetórias dos projéteis, num ambiente sob a ação da força de
gravidade, são parabólicas. Já no ambiente terrestre, onde existe a
resistência do ar, essas trajetórias são elípticas, mais propriamente,
arcos de elipses. No entanto, por vezes, as diferenças entre as trajetórias
elípticas e as parabólicas são quase indiscerníveis, pelo que, pode-se
facilmente verificar estes fatos tomando atenção ao jato de água de uma
mangueira, cuja abertura está inclinada para cima. A balística ciência que
estuda as trajetórias de projéteis faz uso deste fato para determinar o
local da queda de um projétil.
No estudo dos átomos, um campo da Física e da Química, as órbitas dos
elétrons em torno do núcleo são elípticas.
Fazendo uso da propriedade refletora da parábola, Arquimedes construiu
espelhos parabólicos, os quais por refletirem a luz solar para um só ponto,
foram usados para incendiar os barcos romanos quando das invasões de
Siracusa. Lembre-se que a concentração de energia gera calor.
De fato, as propriedades refletoras das cônicas, e não somente as da
parábola, tem contribuído para a construção de telescópios, antenas,
radares, faróis, ópticas dos carros, lanternas, etc... Na verdade, alguns
dos objetos mencionados também obedecem à propriedade refratora das
cônicas. Esta propriedade está intimamente ligada à propriedade refletora,
pelo que os seus estudos são muito idênticos. Só para dar uma amostra de
objetos mais vulgares que usam a propriedade refratora das cônicas,
mencionamos os seguintes: os óculos graduados, as lupas e os microscópios.
A partir da propriedade refletora das parábolas, os engenheiros civis
construíram pontes de suspensão parabólica. Se imaginarmos os cabos que
prendem o tabuleiro da ponte como raios de luz, facilmente verificamos que
o cabo principal, aquele que passa pelos pilares da ponte, tem forma de uma
parábola.
As extremidades das asas do famoso avião britânico spitfire, usado com
grande sucesso na I grande Guerra, eram arcos de elipses. Embora a razão da
sua escolha se prenda ao fato de se obter mais espaço para transportar
munições, este tipo de asa diminuía a resistência do ar, favorecendo
melhores performances ao avião em vôo.
O sistema de localização de barcos denominado por LORAM (Long Range
Navigation) faz uso das hipérboles confocais, onde os radares estão nos
focos. A idéia é baseada na diferença de tempo de recepção dos sinais
emitidos simultaneamente pelos dois pares de radares, sendo um dos radares
comum aos dois pares. O mapa assim construído apresenta curvas
hiperbólicas. Esta técnica foi usada na II grande Guerra, para detectar
barcos japoneses.
Bibliografia
BARBOSA, Marieliton Mendes, Álgebra Vetorial: Cônicas e Quádricas. Paraíba,
2009.
UFMG – Departamento de matemática.
http://www.mat.ufmg.br/~regi/gaaltt/sec19.html
SANTOS, Reginaldo J. Matrizes, Vetores e Geometria Analítica. Minas Gerais,
2006.
VENTURINI, Joacir J. Cônicas e Quádricas. Curitiba, Unificado Artes
Gráficas e Editora, 2005.
WWW.yahoo.com.br Acessado em 08/05 às 13h56min.
WWW.google.com Acessado em 06/05 às 12h49min.
