Transcript
Concreto Armado I Universidade Estadual Vale do Acaraú – UVA 4 4.1
Solicitações Normais Fundamentos
Chama-se de solicitações normais os esforços solicitantes que provocam tensões normais nas seções transversais das peças estruturais. Ex: Esforço Normal e Momento Fletor.
Figura 4.1: Ensaio de Stuttgart
Fases de Solicitação Ao ensaiarmos a viga AB acima, observa-se que o trecho 12 está sujeito apenas ao momento fletor (P.a) positivo. À medida que a carga (P) é acrescida as tensões passam pelas seguintes fases: Estádio I - As solicitações apresentam valores em que a região tracionada da peça mantém-se intacta, sem fissuração.
Figura 4.2 – Estádio I - Seção compacta (Res. Mat. I)
Profª. MSc. Elaine Cristina Rodrigues Ponte
[email protected]
Concreto Armado I Universidade Estadual Vale do Acaraú – UVA Estádio II - As solicitações apresentam valores em que a região tracionada da peça não mais atende à Lei de Hooke, enquanto a região comprimida permanece no regime elástico.
Figura 4.3: Estádio II
Estádio III - O concreto sofre esmagamento e o aço escoamento; modernamente a verificação da segurança é feita admitindo-se que o esgotamento da capacidade resistente da peça possa ocorrer, tanto pela ruptura do concreto comprimido como pela deformação excessiva da armadura tracionada.
Figura 4.4: Estádio III
Teremos nas peças de concreto estrutural os estados últimos de ruptura do concreto comprimido e de alongamento plástico excessivo da armadura tracionada. - Estado Limite Ultimo de Ruptura Estado Limite Ultimo ou Convencional - (E. L. U.) − Estado de Deformacao Plastica Excessiva
O estado limite último será alcançado quando ocorrer pelo menos uma das duas condições abaixo: εcd,max ≡ εcd, u ou εsd,max ≡ εsd, u
(4.1)
4.1.1 Hipóteses Básicas: (E.L.U.) a) As seções transversais permanecem planas durante e após a deformação das estruturas (hipótese de Bernouilli, comprovada experimentalmente). b) Deverá ser desprezada, nos cálculos, a resistência a tração do concreto como contribuição à resistência total da peça. Profª. MSc. Elaine Cristina Rodrigues Ponte
[email protected]
Concreto Armado I Universidade Estadual Vale do Acaraú – UVA c) Solidariedade dos materiais: a deformação específica de uma barra de armadura será igual a deformação específica do concreto que as envolve. d) Encurtamento último do concreto: qualquer que seja a resistência do concreto, o seu encurtamento de ruptura valerá: εcd, u =
3,5 ‰ - na flexão simples (3,5 mm/m) 2,0 ‰ - na compressão axial (2,0 mm/m)
e) Alongamento último das armaduras: no E.L.U. o alongamento específico último da armadura tracionada será de: εsd , u = 10 ‰
( 10 mm / m )
f) Diagrama de tensões normais do Concreto será considerado aproximadamente (NB1 item 4.1.1.1d) constante: (ver justificativa).
Figura 5.5: Diagrama de Tensões Normais do Concreto – Diagrama de Bloco
onde d = altura útil da peça - distância da fibra mais comprimida à C.G. da armadura tracionada. Observar que: (Efeito Rüsch) σcd = 0,85⋅ fcd → quando a peça possuir largura constante ou crescente para a borda
comprimida. Ex: Seção retangular, seção “T”, etc. σ cd = 0,80 ⋅ fcd → quando a peça possuir largura decrescente para a borda comprimida.
Ex: Seção circular, seção triangular, etc.
Profª. MSc. Elaine Cristina Rodrigues Ponte
[email protected]
Concreto Armado I Universidade Estadual Vale do Acaraú – UVA 4.1.1.1 JUSTIFICATIVA DA SIMPLIFICAÇÃO TENSÃO/DEFORMAÇÃO DO CONCRETO - (NB1)
DO
DIAGRAMA
Caso de εcd = 3,5 ‰
A equação para o trecho parabólico do diagrama de compressão do concreto é:
σ = Az2 + Bz + C onde •
p/z = 0 → σ = 0 →
C=0
p / z = y1 → σ = σcd → σcd = A ⋅ y12 + B ⋅ y1 ∴
•
σcd − A ⋅ y1 = B y1
I
dσ dσ = 2 ⋅ A ⋅ z + B, logo =→ dz dz 0 = 2 ⋅ A ⋅ y1 + B ∴ - B = 2 ⋅ A ⋅ y1 II •
p/z = y1 →
Somando-se as equações I e II, teremos:
0=
σcd σcd + A ⋅ y1 ∴ A = - 2 y1 y1
Substituindo-se em II: B = 2⋅
σcd σcd ⋅ y1 ∴ B = 2 ⋅ 2 y1 y1
assim,
σcd σcd σ = - 2 ⋅ z 2 + 2 ⋅ ⋅ z y1 y1
(5.2)
O Centro de Gravidade do diagrama parabólico da tensão do concreto será: z=
∫ z ⋅ da ∫ da
1) dA = σ ⋅ dz
∫ dA = ∫
y1
0
σcd 2 σcd ⋅ z ⋅ dz - 2 ⋅ z + 2 ⋅ y1 y1
σcd z 3 = - 2 ⋅ y1 3
y1 0
2 ⋅ σcd z 2 ⋅ + y1 2
y1 0
1 2 = - . σcd.y1 + σ cd.y1 ∴ ∫ dA = σcd.y1 3 3 2)
y
∫ z ⋅ dA = ∫0 1 σ ⋅ z ⋅ dz
Profª. MSc. Elaine Cristina Rodrigues Ponte
[email protected]
(Área)
Concreto Armado I Universidade Estadual Vale do Acaraú – UVA
y σcd 2σ cd 2 σ cd z 4 = ∫ - 2 z3 + z dz = - y 2 4 0 y y 1 1 1 1 2 2 2 = - σ cd y1 + σ cd y1 ∴ 4 3 1
y1 0
2σ cd z3 + y1 3
y1 0
5
∫ zdA = 12 σ
cd
y12
(Mom. Estático)
assim, 5 σ cd y12 5 12 z= ∴ z = 8 y1 2 σ cd y1 3
(C. G. da Parábola)
por semelhança de triângulo no diagrama das deformações, temos: y2 x 1,5 = ∴ y2 = x→ 3,5 - 2 3,5 3,5 y1 = x - y2 ∴
y1 =
4 x 7
y2 =
3 x 7
5 4 → z = . x ⇒ 8 7
z=
5 x 14
Como o nosso interesse é provar que Y ≅ 0,8x, usaremos a equação da largura bw da peça: 2 C1 = (Area).bω → C1 = σ cd y1 . bω 3
C1 =
substituindo o valor de y1:
8 2 4 σ cd.bω . x ∴ C1 = σ cd.bω .x 21 3 7
3 C 2 = (σ cd.y 2 ).bω → C 2 = σ cd.bω . x 7 C2 =
3 σ cd.bω .x 7
assim, C=
8 3 σcd.bω.x + σ cd.bω.x 12 7
17 C = σ cd.bω.x 21
mas, C = (σ cd.y ).bω
17 σ cd.y.bω = σ cd.bω.x ∴ 21 17 y = x → y = 0,809 ⋅ x 21 que aproximadamente y ≅ 0,8 ⋅ x
igualando
(c.q.p.)
Profª. MSc. Elaine Cristina Rodrigues Ponte
[email protected]
Concreto Armado I Universidade Estadual Vale do Acaraú – UVA 4.2
Domínios de Deformação
O estado limite último de ruptura ou de deformação plástica excessiva é caracterizado convencionalmente na situação de cálculo pelas deformações específicas εcd e εsd, respectivamente do concreto e do aço. Assim, a partir das hipóteses básicas já estabelecidas, poderemos distinguir 6 regiões especiais de deformações denominadas de domínio de deformação (NB1 - item 4.1.1.1.a).
Figura 4.6: Dominios de Deformação
A posição da linha neutra será definida pela sua distância x à fibra extrema mais comprida; esta posição também poderá ser expressa de forma admensional dada pela relação: Kx =
x d
(4.3)
onde d = Altura Útil Da análise dos domínios da deformação podemos constatar algumas observações: 4.2.1 Deformação plástica excessiva: 4.2.1.1 Reta a: caso de tração uniforme E.L.U. caracterizado pela εsd = 10 0 00 . Ex: Tração centrada 4.2.1.2 Domínio 1 A linha neutra está fora da seção transversal, a qual está totalmente tracionada, logo, só o aço estará resistindo; Profª. MSc. Elaine Cristina Rodrigues Ponte
[email protected]
Concreto Armado I Universidade Estadual Vale do Acaraú – UVA E. L. U. caracterizado pela εsd = 10 0 00 Ex: tração excêntrica com pequena excentricidade. 4.2.1.3 Domínio 2 A linha neutra corta a seção transversal, havendo na mesma, zonas comprimidas e tracionadas; A ruptura se inicia com o escoamento do aço, permanecendo o concreto sem ir a ruptura a compressão → ruptura dúctil. E. L. U. caracterizado pela εsd = 10 0 00 e εcd < 3,5 0 00 . Ex: tração ou compressão excêntrica com grande excentricidade, flexão simples. 4.2.2 Ruptura 4.2.2.1 Domínio 3 A linha neutra corta a seção transversal havendo na mesma, zonas comprimidas e tracionadas; Como na situação anterior, a deformação da armadura tracionada é pelo menos igual a deformação εyd; A ruptura do concreto ocorrerá simultaneamente com o escoamento do aço tracionado → peças sub-armadas. Situação desejável para projeto, pois, tiramos o máximo proveito do esgotamento da capacidade resistente dos materiais empregados. E.L.U. caracterizado pelo εcd = 3,5 0 00
e εyd ≤ εsd < 10 0 00 .
4.2.2.2 Domínio 4 A linha neutra corta a seção transversal, havendo na mesma, zonas comprimidas e tracionadas; A deformação da armadura tracionada é inferior a deformação εyd; A ruptura da peça ocorrerá de forma frágil, não avisada, pois o concreto atingirá a ruptura sem que a armadura tracionada possa provocar uma fissuração que sirva de advertência → peças super-armadas; E.L.U. caracterizado pela εcd = 3,5 0 00 e εsd < εyd. Ex: compressão excêntrica com grande excentricidade, flexão simples.
Profª. MSc. Elaine Cristina Rodrigues Ponte
[email protected]
Concreto Armado I Universidade Estadual Vale do Acaraú – UVA 4.2.2.3 Domínio 4a A linha neutra ainda corta a seção transversal, mas na região do cobrimento da armadura menos comprimida; Este domínio é considerado como de transição; As armaduras estão, pois, comprimidas embora, na menos comprimida, as tensões sejam desprezíveis. E.L.U. caracterizado pela εcd = 3,5 0 00 ; Ex: Compressão excêntrica com armaduras comprimidas. 4.2.2.4 Domínio 5 A linha neutra não corta a seção transversal, a qual está integralmente comprimida; E.L.U. caracterizado 2,0 0 00 < εcd < 3,5 0 00 . Ex: Compressão excêntrica com pequena excentricidade. 4.2.2.5 Reta b: Caso de compressão uniforme E.L.U. caracterizado pela εcd = 2;0 0 00 . Ex: compressão centrada. No domínio 5, teremos:
Figura 4.7: Domínio 5
Profª. MSc. Elaine Cristina Rodrigues Ponte
[email protected]
Concreto Armado I Universidade Estadual Vale do Acaraú – UVA por semelhança de triângulo :
x5 h - x5 = 1,5 2,0 2 ⋅ x 5 = 1,5 ⋅ h - 1,5 ⋅ x 5 3,5 ⋅ x 5 = 1,5 ⋅ h 3 x5 = ⋅ h 7
(5.4)
4.2.3 Limites de Dimensionamento 4.2.3.1 Limite do Domínio 2a a 2b Com a finalidade de determinar o valor limite da profundidade da linha neutra, a partir da qual as armadura da compressão podem ser realmente eficientes, teremos:
Figura 4.8: Limite do Domínio 2a e 2b
x 2a/2b d - x 2a/2b = → 10 ⋅ x 2a/2b = 2 ⋅ d - 2 ⋅ x 2a/2b ∴ 2,0 10,0 1 x 2a/2b = ⋅ d 6 ou
K2a/2b = 0,167 x
(4.5)
Assim, somente o domínio 2b deverá ser considerado as resistências de eventuais armaduras de compressão; no domínio 2a elas deverão ser desprezadas no estabelecimento da resistência da seção transversal em face de suas pequenas deformações últimas.
Profª. MSc. Elaine Cristina Rodrigues Ponte
[email protected]
Concreto Armado I Universidade Estadual Vale do Acaraú – UVA 4.2.3.2 Limite do domínio 2 para 3
Figura 5.9: Linite do Domínio 2 e 3
x 2 / 3 d - x 2/3 = → 10 ⋅ x 2/3 = 3,5 ⋅ d - 3,5 ⋅ x 2/3 3,5 10 3,5 x 2/3 = ⋅ d 13,5
ou
K2/3 x = 0,259
(4.6)
4.2.3.3 Limite do domínio 3 para 4:
Figura 5.10: Linite do Domínio 3 e 4
x 3 / 4 d - x 3/4 = → 3,5 εyd
ε yd.x 3/4 = 3,5d - 3,5 x 3/4 ∴
3,5 x 3/4 = d 3,5 + ε yd
ou Profª. MSc. Elaine Cristina Rodrigues Ponte
[email protected]
Concreto Armado I Universidade Estadual Vale do Acaraú – UVA
K 3/4 x =
3,5 3,5 + ε yd
(4.7)
Ex: •
Para o aço CA50A:
Eq. (3.3) K 3/4 x =
εyd =
2100
00
3,5 ∴ 3,5 + 2,07
CA-50A
K 3/4 x = 0,628
•
(5000/1,15) = 2,07 0
(4.8)
Para o aço CA50B:
Eq. (3.10) -
εyd B = 2,0 + εyd A
→ ε yd B = 2,0 + 2,07 = 4,07 o oo K 3/4 x =
•
K 3/4 x = 0,462
(4.9)
CA50B
Para o aço CA60B:
εyd =
(6000/1,15)
→ εyd B
K 3/4 x =
•
3,5 ∴ 3,5 + 4,07
= 2,48 o oo 2100 = 2,0 + 2,48 = 4,48 o oo
3,5 ∴ 3,5 + 4,48
K 3/4 x = 0,438
(4.10)
CA60B
Para o aço CA25:
ε yd =
(2500/1,15) = 1,04 o 2100
oo
K 3/4 x =
3,5 ∴ 3,5 + 1,04
K 3/4 x = 0,772
CA25
(4.11)
Como o limite dos domínios 3 - 4 é também o limite entre os campos das peças sub-armadas e super-armadas e como devemos sempre evitar este último, concluímos que o valor de K 3/4 x define a posição final da deformada da seção transversal, se quisermos aproveitar ao máximo o concreto e o aço. Assim chamaremos daqui para diante: K 3/4 = K lim x
(4.12)
Podemos definir esta posição limite como sendo aquela em que se encontram as peças denominadas de normalmente armadas.
Profª. MSc. Elaine Cristina Rodrigues Ponte
[email protected]
Concreto Armado I Universidade Estadual Vale do Acaraú – UVA Conclusão
Podemos assim concluir que: Se - ∞ ≤ Kx ≤ 0 →
estaremos no Domínio 1
Se 0 < Kx ≤ 0,167 →
estaremos no Domínio 2a
Se 0,167 < Kx ≤ 0,259 →
estaremos no Domínio 2b
Se 0,259 < Kx ≤ K lim →
estaremos no Domínio 3
Se K lim < Kx ≤ 1,0 →
estaremos no Domínio 4
Se 1,0 < Kx ≤ Se
h → d
estaremos no Domínio 4a
h < Kx ≤ + ∞ → d
estaremos no Domínio 5
Se quisermos associar Kx a tensão da armadura de tração nos domínios das peças sub e superarmadas, teremos: a) Peças sub-armadas •
Se 0 ≤ Kx ≤ 0,259 → σsd = fyd
•
Se 0,259 < Kx ≤ K lim → σ sd = fyd
→ D2
→ D3
b) Peças super-armadas •
Se K lim < Kx ≤ 1,0 → σsd < fyd
→ D4
Nota-se que, para peças em que 0 ≤ Kx ≤ Klim a tensão na armadura é sempre igual a fyd. Para os aços mais comuns da prática, estabelecemos o quadro abaixo: AÇOS
fyk
fyd
(MPa)
(MPa)
CA 50A
500
435
2.07
0,628
CA 50B
500
435
4.07
0,462
CA 60B
600
522
4.48
0,438
CA 25
250
217
1.04
0,772
εyd
Klim
(‰)
Tabela 4.1: Valores de Klim para os diversos tipos de aços
Enfatizamos que, apesar do gráfico da Figura 5.6 encontrar-se de maneira espelhada da figura apresentada pela NB-1, isto em nada modifica o entendimento do comportamento do concreto armado e tão pouco invalida as expressões aqui deduzidas.
Profª. MSc. Elaine Cristina Rodrigues Ponte
[email protected]
Concreto Armado I Universidade Estadual Vale do Acaraú – UVA 4.3
Dimensionamento à Flexão Normal Simples
4.3.1 Generalidades
Sabemos que a Flexão Simples Normal é a solicitação normal para a qual: i. ii.
N=0eM≠0 O traço do plano de ação de M na seção transversal da peça é um dos eixos principais centrais de inércia daquela seção.
Este é o caso de solicitação de peças com carregamentos aplicados no plano que contém um dos eixos acima mencionado. Sabemos também que, as armaduras de uma peça divide-se em dois tipos: a longitudinal e a transversal; é fácil entender que a armadura que deverá contribuir na resistência à solicitação de flexão simples normal é a longitudinal. O presente capítulo cuidará da determinação dessa armadura nos casos usuais da prática; estes casos são caracterizados pela forma da seção transversal; assim, estudaremos aqui as seções de geometria retangulares e em forma de “T”. As seções em forma de “T” ocorrerá quando for possível utilizar a laje que se apoia sobre a viga, como elemento colaborante que aumente da resistência à compressão da viga. Ressaltamos que a ocorrência da solicitação de flexão simples normal em uma peça estrutural subentende a existência, na mesma, de um banzo comprimido e de um banzo tracionado. De acordo com o que estudamos no capítulo sobre domínio de deformações, as peças sujeitas a solicitação de flexão simples normal estarão sempre enquadradas nos domínios 2, 3 e 4. Procuraremos dimensionar sempre que possível no domínio 3, pois: i. ii.
Esgotaremos, ao máximo, as resistências dos materiais, concreto e aço. Evitaremos sempre a possibilidade da ocorrência de uma ruptura frágil na peça Domínio 4.
4.3.2 Seção Retangular
4.3.2.1 Armadura Simples A situação de armadura simples é aquela armadura que resistirá somente na zona tracionada da peça; esta armadura é chamada de armadura de tração da peça. Utilizaremos o método dos estados limites; desta forma as situações admitidas para o estabelecimento das equações de dimensionamento serão sempre situações de cálculo. Assim, supondo que a seção retangular da figura 5.11 esteja submetida ao momento fletor Md, teremos:
Profª. MSc. Elaine Cristina Rodrigues Ponte
[email protected]
Concreto Armado I Universidade Estadual Vale do Acaraú – UVA
Figura 5.11: Seção Retangular submetida a Flexão Md – Armadura Simples
Visualizando a figura 5.11 em 3 dimensões, teremos:
Figura 5.12: Visualização em 3 Dimensões da Seção submetida a Flexão
Profª. MSc. Elaine Cristina Rodrigues Ponte
[email protected]
Concreto Armado I Universidade Estadual Vale do Acaraú – UVA onde h
= altura total da peça
bw
= largura da peça
d
= altura útil - distância da borda mais comprimida ao C.G. da armadura tracionada
x
= profundidade da linha neutra medida da fibra mais comprimida à região de tensões nula
z
= braço de alavanca
Md
= momento Fletor de cálculo (Md = γ f Mk)
C
= resultante das tensões de compressão no concreto
T
= resultante das tensões de tração na armadura
ε cd
= deformação no concreto na fibra mais comprimida
ε sd
= deformação na armadura (C.G. da armadura)
σcd
= tensão de compressão no concreto
σsd
= tensão de tração na armadura
As
= área da armadura de tração Equações de Compatibilidade de Deformação:
•
Por semelhança de triângulo, teremos:
εcd x
=
εsd d-x
→
εcd x = εcd d - x
dividindo por d,
εcd x/d = mas da eq. (5.3) → εsd 1 - x/d
x = Kx d
assim,
εcd Kx = εsd 1- Kx
(5.13)
avaliando a equação (5.13) nos domínios possíveis, digo, D2 e D3, teremos: D2
→
εsd = 10 o oo
→
σsd = fyd 0 < εcd < 3,5 o oo
εsd = 3,5 o oo D3 → εyd < εsd < 10 o oo → σsd = fyd
εsd =
εcd =
10 ⋅ K x 1- Kx
3,5 ⋅ (1 - K x ) Kx
Profª. MSc. Elaine Cristina Rodrigues Ponte
[email protected]
(5.14)
(5.15)
Concreto Armado I Universidade Estadual Vale do Acaraú – UVA Da equação (5.13) podemos tirar o valor de Kx em função das deformações, caso conhecidas:
εsd ⋅ .K x = εcd − εcd ⋅ K x ∴ Kx =
ε cd ε cd + ε sd
•
(5.16)
Equações de Equilíbrio:
Cálculo da altura mínima (dmin) O cálculo da altura mínima se faz impondo a ruptura concomitante do concreto (esmagamento → ε cd = 3,5 o 00) e a tensão máxima de tração na armadura (σsd = f yd ) ; diz-se que a seção é normalmente armada. Estas condições ocorrem quando fazemos Kx = Klim (limite do Domínio 3 para 4). Utilizando-se da equação de
∑ M = 0 , teremos:
M d = Cd ⋅ z mas, 1) z = d - 0,4 ⋅ x z = d ⋅ (1 - 0,4 ⋅ K X ) ∴ K z = 1 - 0,4 ⋅ K x
(5.17)
onde
Kz =
z d
(5.18)
2) Cd = σcd ⋅ b w ⋅ 0,8 ⋅ x
C d = 0,85 ⋅ f cd ⋅ b w ⋅ 0,8 ⋅ x ou seja C d = 0,68 ⋅ f cd ⋅ b w ⋅ x assim, d M d = 0,68 ⋅ f cd ⋅ b w ⋅ x ⋅ d ⋅ (1 - 0,4 ⋅ K x ) ⋅ d M d = 0,68 ⋅ f cd ⋅ b w ⋅ d 2 ⋅ K x ⋅ (1 - 0,4 ⋅ K x ) d2 =
1 M ⋅ d 0,68 ⋅ f cd ⋅ K x ⋅ (1 − 0,4 ⋅ K x ) b w
Profª. MSc. Elaine Cristina Rodrigues Ponte
[email protected]
(5.19)
Concreto Armado I Universidade Estadual Vale do Acaraú – UVA 1 Md d= ⋅ como 0,68 ⋅ f cd ⋅ K x ⋅ (1 − 0,4 ⋅ K x ) bw
K x = K lim ⇓ d = d min
logo, d min =
K min =
1 Md ⋅ fazendo - se 0,68 ⋅ f cd ⋅ K lim ⋅ (1 − 0,4 ⋅ K lim ) bw 1 0,68 ⋅ f cd ⋅ K lim ⋅ (1 − 0,4 ⋅ K lim )
(5.20)
o valor de dmin, fica: d mi n = K min ⋅
Md bw
(5.21)
M d ⇒ Kgf.m onde b w ⇒ m d ⇒ cm min Ex: cálculo de Kmin Para aço CA50A: (Klim = 0,628) K min =
1 2,092 = f ck f ck 0,68 ⋅ ⋅ 0,628 ⋅ (1 - 0,4 ⋅ 0,628) 1,4
que fatorando, teremos: K min = 2,092 ⋅
f ck f ck
CA50A
(5.22)
Para o CA50B: (Klim = 0,462) 1
K min = 0,68 ⋅
f ck ⋅ 0,462 ⋅ (1 - 0,4 ⋅ 0,462) 1,4
=
2,338 f ck
que fatorando, teremos: K min = 2,338 ⋅
f ck f ck
CA50B
Para aço CA60B: (Klim = 0,438)
Profª. MSc. Elaine Cristina Rodrigues Ponte
[email protected]
(5.23)
Concreto Armado I Universidade Estadual Vale do Acaraú – UVA
1
Kmin = 0,68⋅
fck ⋅ 0,438⋅ (1- 0,4⋅ 0,438) 1,4
=
2,387 fck
que fatorando, teremos: K min = 2,387 ⋅
f ck
CA60B
f ck
(5.24)
Para CA25: (Klim = 0,772) K min =
1 1,964 = f ck f ck 0,68 ⋅ ⋅ 0,772 ⋅ (1 - 0,4 ⋅ 0,772) 1,4
que fatorando, teremos: K min = 1,964 ⋅
f ck
CA25
f ck
(5.25)
Assim para os fck’s mais comuns, teremos a tabela abaixo: fck
13,5
15
18
20
25
35
40
CA-50A
0,180
0,171
0,156
0,148
0,132
0,112
0,105
CA-50B
0,201
0,191
0,174
0,165
0,148
0,125
0,117
CA-60B
0,205
0,195
0,178
0,169
0,151
0,128
0,119
CA-25
0,169
0,160
0,146
0,139
0,124
0,105
0,098
Tabela 5.2: Valores de Kmin
•
Cálculo da armadura de tração: (As)
Utilizando-se ainda da equação de M d = Td ⋅ z mas
∑M
= 0 , teremos:
Td = As ⋅ σsd e z = d ⋅ (1 - 0,4 ⋅ K x )
M d = As ⋅ σsd ⋅ d ⋅ (1 - 0,4 ⋅ K x ) As =
Md , chamando-se de σsd ⋅ d ⋅ (1 - 0,4 ⋅ K x )
∝ = σsd ⋅ (1 - 0,4 ⋅ K x ) As =
σsd → kgf/cm 2
Md ∝ ⋅d
Profª. MSc. Elaine Cristina Rodrigues Ponte
[email protected]
(5.26) (5.27)
Concreto Armado I Universidade Estadual Vale do Acaraú – UVA M d ⇒ Kgfm d ⇒ m 2 ∝ ⇒ Kgf / cm As ⇒ cm 2
Para conhecermos o valor de α, teremos que encontrar o valor de Kx, assim: M d = 0,68 ⋅ f cd ⋅ b w ⋅ d 2 ⋅ K x ⋅ (1 - 0,4 ⋅ K x ) Md = K x - 0,4 ⋅ K 2x f ck 0,68 ⋅ ⋅ bw ⋅ d2 1,4 Md 5,15 ⋅ = 2,5 ⋅ K x - K 2x ∴ 2 f ck ⋅ b w ⋅ d K 2x - 2,5 ⋅ K x + 5,15 ⋅ µ = 0
(5.28)
em que µ=
Md f ck ⋅ b w ⋅ d 2
(5.29)
e cuja solução será: (5.30)
K x = 1,25 ⋅ (1 - 1 - 3,29 ⋅ µ )
Sabemos que : y = 0,8 ⋅ x (: d) →
(5.31)
K y = 0,8 ⋅ K x
onde Ky =
y d
(5.32)
Conhecido o valor de kx pela equação (5.30), verifica-se em que domínio encontra-se a solicitação e conseqüentemente a deformação εsd que possibilita o cálculo da tensão σsd no Diagrama tensão/deformação do aço utilizado no dimensionamento. (Capítulo 3). Observa-se que se a linha neutra Kx ocorrer no εsd = 10 o oo D2 σ = f sd yd
qualquer que seja o aço
e se ocorrer no
o εcd = 3,5 oo D3 ε yd < εsd < 10 o oo σ =f sd yd
qualquer que seja o aço
Assim, podemos afirmar que na flexão simples com armadura simples a tensão de tração na armadura será sempre:
σ = f yd sd Profª. MSc. Elaine Cristina Rodrigues Ponte
[email protected]
(5.33)
Concreto Armado I Universidade Estadual Vale do Acaraú – UVA Logo a equação (5.26) será ré-escrita como: ∝ = f yd ⋅ (1 - 0,4 ⋅ K x )
(5.34)
A fim de facilitar e agilizar o dimensionamento à flexão simples, apresentaremos a seguir as deduções para utilização das tabelas admensionais tipo K. Cálculo de AS - Tabelas Tipo “K”
•
Utilizando novamente a expressão (5.19) M d = 0,68 ⋅ f cd ⋅ b w ⋅ d 2 .K x ⋅ (1 - 0,4 ⋅ K x ) 0,68 ⋅ f cd ⋅ K x ⋅ (1 - 0,4 ⋅ K x ) =
Md bw ⋅ d2
0,68 ⋅ f ck ⋅ K x ⋅ (1 - 0 ,4 ⋅ K x ) Md = 1,4 bw ⋅ d2
O 1º membro da igualdade só depende do fck e Kx, não depende do aço empregado. Assim chamaremos de Kc a expressão: 0,68 ⋅ f ck ⋅ K x ⋅ (1 - 0,4 ⋅ K x ) 1,4
(5.35)
Md bw ⋅ d2
(5.36)
Kc =
e Kc =
M d → Kgf.m
onde, b w → m d → cm
Os valores de Kc,lim corresponderá ao valor de Kc quando Kx = Klim. Kc, lim =
0,68 ⋅ f ck ⋅ Klim ⋅ (1 - 0,4 ⋅ Klim ) 1,4
(5.37)
onde, f ck → Kgf/cm2 assim •
Se Kc ≤ Kc, lim → Armadura Simples e σsd = f yd
• Kc, lim =
Para aço CA50A: (Klim = 0,628) 0,68 ⋅ fck ⋅ 0,628 ⋅ (1 - 0,4 ⋅ 0,628) ∴ 1,4
Kc, lim = 0,228⋅ fck
Profª. MSc. Elaine Cristina Rodrigues Ponte
[email protected]
(5.38)
Concreto Armado I Universidade Estadual Vale do Acaraú – UVA Para aço CA50B: (Klim = 0,462)
• K c, lim =
0,68 ⋅ f ck ⋅ 0,462 ⋅ (1 - 0,4 ⋅ 0,462) ∴ 1,4
Kc, lim = 0,183⋅ fck • Kc, lim =
(5.39)
Para aço CA60B: (Klim = 0,438)
0,68 ⋅ f ck ⋅ 0,438 ⋅ (1 - 0,4 ⋅ 0,438) ∴ 1,4
Kc, lim = 0,175⋅ fck • Kc, lim =
(5.40)
Para aço CA25: (Klim = 0,772)
0,68 ⋅ f ck ⋅ 0,772 ⋅ (1 - 0,4 ⋅ 0,772) ∴ 1,4
Kc, lim = 0,259⋅ fck
(5.41) fck (MPa)
εyd
Klim 13,5 15
18
20
25
35
40
CA-50A
2,07 0,628 30,8 34,3 41,1 45,7 57,1 80,0
91,4
CA-50B
4,07 0,462 24,7 27,5 32,9 36,6 45,8 64,1
73,2
CA-60B
4,48 0,438 23,7 26,3 31,6 35,1 43,9 61,5
70,2
CA-25
1,04 0,772 35,0 38,9 46,6 51,8 64,8 90,7 103,7
Tabela 5.3: Valores de Kc,lim
Da expressão de As, teremos: As =
Md Md 1 ⋅ = σsd ⋅ (1- 0,4⋅ Kx ) ⋅ d σsd ⋅ (1- 0,4⋅ Kx ) d
As =
1 Md . KS d
(5.42)
onde KS= σsd ⋅ (1- 0,4⋅ Kx) pelo que observamos no domínio 2 e 3 σ sd = f yd , logo: K S = f yd ⋅ (1 - 0,4 ⋅ K x )
KS =
ou ainda :
f yk ⋅ (1 - 0,4 ⋅ K x ) 1,15
onde, f yk → Kgf/cm2 Profª. MSc. Elaine Cristina Rodrigues Ponte
[email protected]
(5.43)
Concreto Armado I Universidade Estadual Vale do Acaraú – UVA DIAGRAMA RETANGULAR DO CONCRETO VALORES DE Kc , Kx , Ky e Ks : Kc
Ks
Kx
Ky
13,5
15
18
20
25
35
40
0,0200
0,016
1,3
1,4
1,7
1,9
2,4
3,4
3,9
0,0400
0,032
2,6
2,9
3,4
3,8
4,8
6,7
7,6
4278
4278
5134
2139
0,0600
0,048
3,8
4,3
5,1
5,7
7,1
10,0
11,4
4243
4243
5092
2122
0,0800
0,064
5,1
5,6
6,8
7,5
9,4
13,2
15,0
4209
4209
5050
2104
0,1000
0,080
6,3
7,0
8,4
9,3
11,7
16,3
18,7
4174
4174
5009
2087
0,1200
0,096
7,5
8,3
10,0
11,1
13,9
19,4
22,2
4139
4139
4967
2070
0,1400
0,112
8,7
9,6
11,6
12,8
16,0
22,5
25,7
4104
4104
4925
2052
0,1600
0,128
9,8
10,9
13,1
14,5
18,2
25,5
29,1
4070
4070
4883
2035
0,1670
0,134
10,2
11,4
13,6
15,1
18,9
26,5
30,3
4057
4057
4869
2029
0,1800
0,144
11,0
12,2
14,6
16,2
20,3
28,4
32,5
4035
4035
4842
2017
0,2000
0,160
12,1
13,4
16,1
17,9
22,3
31,3
35,7
4000
4000
4800
2000
0,2200
0,176
13,2
14,6
17,5
19,5
24,4
34,1
39,0
3965
3965
4758
1983
0,2400
0,192
14,2
15,8
19,0
21,1
26,3
36,9
42,2
3930
3930
4717
1965
0,2590
0,207
15,2
16,9
20,3
22,6
28,2
39,5
45,1
3897
3897
4677
1949
0,2600
0,208
15,3
17,0
20,4
22,6
28,3
39,6
45,3
3896
3896
4675
1948
0,2800
0,224
16,3
18,1
21,7
24,2
30,2
42,3
48,3
3861
3861
4633
1930
0,3000
0,240
17,3
19,2
23,1
25,6
32,1
44,9
51,3
3826
3826
4591
1913
0,3200
0,256
18,3
20,3
24,4
27,1
33,9
47,4
54,2
3791
3791
4550
1896
0,3400
0,272
19,3
21,4
25,7
28,5
35,7
49,9
57,1
3757
3757
4508
1878
0,3600
0,288
20,2
22,5
26,9
29,9
37,4
52,4
59,9
3722
3722
4466
1861
0,3800
0,304
21,1
23,5
28,2
31,3
39,1
54,8
62,6
3687
3687
4424
1843
0,4000
0,320
22,0
24,5
29,4
32,6
40,8
57,1
65,3
3652
3652
4383
1826
0,4200
0,336
22,9
25,5
30,6
33,9
42,4
59,4
67,9
3617
3617
4341
1809
0,4384
0,351
23,7
26,3
31,6
35,1
43,9
61,5
70,2
3585
3585
4303
1793
0,4400
0,352
23,8
26,4
31,7
35,2
44,0
61,6
70,4
3583
3583
-
1791
0,4600
0,368
24,6
27,3
32,8
36,5
45,6
63,8
72,9
3548
3548
-
1774
0,4623
0,370
24,7
27,5
32,9
36,6
45,8
64,1
73,2
3544
3544
-
1772
0,4800
0,384
25,4
28,3
33,9
37,7
47,1
65,9
75,4
3513
-
-
1757
0,5000
0,400
26,2
29,1
35,0
38,9
48,6
68,0
77,7
3478
-
-
1739
0,5200
0,416
27,0
30,0
36,0
40,0
50,0
70,0
80,0
3443
-
-
1722
0,5400
0,432
27,8
30,8
37,0
41,1
51,4
72,0
82,3
3409
-
-
1704
0,5600
0,448
28,5
31,7
38,0
42,2
52,8
73,9
84,4
3374
-
-
1687
0,5800
0,464
29,2
32,5
38,9
43,3
54,1
75,7
86,5
3339
-
-
1670
0,6000
0,480
29,9
33,2
39,9
44,3
55,4
77,5
88,6
3304
-
-
1652
0,6200
0,496
30,6
34,0
40,8
45,3
56,6
79,3
90,6
3270
-
-
1635
0,6283
0,503
30,8
34,3
41,1
45,7
57,1
80,0
91,4
3255
-
-
1628
0,6400
0,512
31,2
34,7
41,6
46,3
57,8
80,9
92,5
-
-
-
1617
0,6600
0,528
31,9
35,4
42,5
47,2
59,0
82,6
94,4
-
-
-
1600
0,6800
0,544
32,5
36,1
43,3
48,1
60,1
84,2
96,2
-
-
-
1583
0,7000
0,560
33,0
36,7
44,1
49,0
61,2
85,7
97,9
-
-
-
1565
Tabela 5.4: Valores de Kc, Kx, Ky e Ks Profª. MSc. Elaine Cristina Rodrigues Ponte
[email protected]
CA-50A CA-50B CA-60B 4313
4313
5176
CA-25 2157
Concreto Armado I Universidade Estadual Vale do Acaraú – UVA Aplicação 5.1: Para a viga abaixo, determinar o valor de dmin e o valor de As para d = 50cm
Figura 5.14: Viga Isostática – Aplicação 5.1
Dados: Aço: CA-50A fck:
20 MPa
i) Cálculo do momento máximo: Mk =
ql2 2560 ⋅ 52 → Mk = = 8000 Kgf.m 8 8
ii) Cálculo de dmin: Md = γ f ⋅ Mk → Md = 1,4 ⋅ 8000 = 11200 Kgf.m
b w = 0,20m; f ck = 20 MPa e Aço CA50A
Da Tabela 5.2 → K min = 0,148 Da equação (5.21):
dmin = 0,148 ⋅
11200 ∴ dmin = 35,0 cm < 50 cm 0,20
iii) Cálculo de As para d = 50 cm eq. (5.29) : µ =
11200 = 0,112 200 ⋅ 0,2 ⋅ 502
eq. (5.30) : K x = 1,25 ⋅ (1 - 1 - 3,29 ⋅ 0,112) ⇒ K x = 0,257
Observa-se que: 0,167 < Kx (0,257) ≤ 0,259 ⇒ (D2b) Se estamos no domínio 2 eq.(5.14) : εcd = 10 ⋅
0 < εcd < 3,5 0 00 0 εsd = 10 00 → σsd = f yd
0,257 ⇒ εcd = 3,46 0 00 < 3.5 0 00 1 - 0,257
A partir do valor de valor de
→
ε sd = 10,0 0 00 e do diagrama tensão/deformação do Aço A, retira-se o
σsd , assim:
σsd = f yd = 4350 Kgf / cm 2 Profª. MSc. Elaine Cristina Rodrigues Ponte
[email protected]
Concreto Armado I Universidade Estadual Vale do Acaraú – UVA eq.(5.26) α = 4350 ⋅ (1 − 0,4 ⋅ 0,257) = 3903 11200 ⇒ As = 5,74cm 2 3903 ⋅ 0,5
eq.(5.27) As =
Aplicação 5.2: Calcular As do exemplo anterior utilizando as tabelas Tipo “K”:
iii) Cálculo de As para d = 50 cm eq.(5.36) : Kc =
11200 = 22,4 < Kc ,lim (45,7) →(Tabela 5.3) 0,2 ⋅ 502
Da Tabela 5.4 e interpolando(1) Kc teremos para Ks = 3901 1 11200 ⋅ → As = 5,74cm2 3901 0,5
eq.(5.42) → As =
Aplicação 5.3: Seja dimensionar uma laje em concreto armado submetidas ao momento fletor Mk = 1200 Kgf.m/m. A laje possui altura útil de d = 8 cm e será executada com fck = 20 MPa e aço CA50A.
Utilizando as tabelas tipo “K”: i) Cálculo de Kc: M d = 1,4 ⋅1200 = 1680 Kgf .m m b w = 1,0 m d = 8 cm eq.(5.36) Kc =
1680 ⇒ Kc = 26,3 < K c, lim = (45,7) →(Tabela 5.3) 1,0 ⋅ 82
ii) Cálculo de As: Da Tabela 5.4: 25,6 → 3826 26,3 → Ks 27,1 → 3791
26,3 − 25,6 K s − 3826 = 27,1 − 26,25 3791 − K s 0,65 K s − 3826 = 0,85 3791 − K s
2464,2 − 0,65 ⋅ K s = 0,85 ⋅ K s − 3252,1 1,5 ⋅ K s = 5716,3 ∴ K s = 3811
(1)
Interpolação de Kc:
21,1 → 3930 (Kc) = 22,4 → Ks 22,6 → 3896 Profª. MSc. Elaine Cristina Rodrigues Ponte
[email protected]
22,4 − 21,1 Ks − 3930 = ∴ 22,6 − 22,4 3896 − Ks Ks = 3900,5
Concreto Armado I Universidade Estadual Vale do Acaraú – UVA 1 1680 As = → A s = 5,51 cm 2 /m ⇒ Tabela 5. 7 (φ 8 c 9) ⋅ 3811 0,08
eq. (5.42)
Aplicação 5.4: Para o exemplo anterior, calcular a altura mínima necessária
Da Tabela 5.2: eq.(5.21)
(dmin):
Klim = 0,148
d min = 0,148 ⋅
1680 ⇒ d min = 6,07cm < 8 cm 1,0
RESUMO DOS FORMULÁRIOS E TABELAS DE CÁLCULO
Seção Retangular com Armadura Simples: i.
Cálculo de dmin
Com
fck Aco
Eq. (5.21) → ii.
Tabela2 Tira − se
(1)
K min
→
Md bw
d min = K min ⋅
e calcula-se da
ou
d min =
1 K c, lim
⋅
Md bw
(5.21a)
Cálculo de As: •
Se d ≥ d min
calcula-se da eq.(5.36) → K c =
com
Kc f ck Aco
Tabela 5.4 Tira − se
→
Md bw ⋅d2
Ks
1 Md ⋅ K s d
calcula-se da eq. (5.42) → As =
Observar sempre que:
K min =
1 K c ,lim
onde o valor de Kc,lim é dada pela eq. (5.37), digo: K c, lim =
(1)
0,68 ⋅ f ck ⋅ K lim ⋅ (1 - 0,4 ⋅ K lim ) 1,4
Os valores de Kc,lim estão na Tabela 4 nas linhas hachuradas para cada fck e associado a cada aço;
Profª. MSc. Elaine Cristina Rodrigues Ponte
[email protected]
(5.20a)
Concreto Armado I Universidade Estadual Vale do Acaraú – UVA 4.3.2.2 Armadura Dupla A situação de Armadura Dupla é aquela na qual existirão armaduras resistentes nas zonas tracionadas e comprimidas da peça. Estas armaduras são chamadas, respectivamente, de armaduras de tração e de compressão. Utilizaremos o método já apresentado anteriormente para o caso de armadura simples, de forma tal que as situações admitidas para o estabelecimento das equações de dimensionamento serão situações de cálculo (E.L.U.). Assim, supondo a seção retangular da figura abaixo submetidos ao momento fletor Md , teremos:
Figura 5.15: Seção Retangular submetida a Flexão Md – Armadura Dupla
onde h
= altura total da peça
bw
= largura da peça
d
= altura útil da peça
d’
= distância do centro de gravidade da armadura de compressão à borda mais comprimida
x
= profundidade da linha neutra
z
= braço de alavanca
Md
= momento fletor de cálculo (Md = γf.Mk)
Cd
= resultante das tensões de compressão no concreto
C’d
= resultante das tensões de compressão na armadura comprimida
Td
= resultante das tensões de tração na armadura tracionada
εcd
= deformação no concreto na fibra mais comprimida
εs‘d
= deformação na armadura de compressão
εsd
= deformação na armadura de tração
σcd
= tensão de compressão no concreto
σs‘d
= tensão de compressão na armadura comprimida
σsd
= tensão de tração na armadura tracionada
Profª. MSc. Elaine Cristina Rodrigues Ponte
[email protected]
Concreto Armado I Universidade Estadual Vale do Acaraú – UVA As’
= área de armadura de compressão
As
= área de armadura de tração Equação de Compatibilidade de Deformação:
•
Além das equações de compatibilidade já deduzidas, eqs. (5.13) a (5.16), podemos também escrever, por semelhança de triângulos:
εcd x
=
εcd εsd ,
εsd , x−d
=
,
→
εcd εsd ,
=
x x − d,
dividindo por d teremos
(x/d ) ∴ εcd = K x (x/d ) − (d , /d ) εsd ' K x − K ,
(5.44)
onde eq.(5.3) K x =
x d
K, =
e
d, d
(5.45)
A equação (5.44) aplicada no domínio 3, fica:
εsd ,
= 3,5 ⋅
Kx − K, Kx
(5.46)
Se fizermos na equação (5.46) Kx = Klim, teremos:
εsd ,
= 3,5 ⋅
K lim − K , K lim
(5.47)
Para os aços mais comuns na prática, elaboramos a tabela abaixo:
εsd , < 3,5 0 00 εsd’ ( 0 00 ) fyd AÇOS fyk εyd MPa MPa 0 00
Klim K’= 0,05
K’= 0,10
K’= 0,15
K’= 0,20
K’= 0,25
CA-50A
500
435
2,07
0,628 3,22
2,94
2,66
2,39
2,11
CA-50B
500
435
4,07
0,462 3,12
2,74
2,36
1,99
1,61
CA-60B
600
522
4,48
0,438 3,10
2,70
2,30
1,90
1,50
CA-25
250
217
1,04
0,772 3,27
3,05
2,82
2,59
2,37
Tabela 5.5: Valores de εsd’
Profª. MSc. Elaine Cristina Rodrigues Ponte
[email protected]
Concreto Armado I Universidade Estadual Vale do Acaraú – UVA Equações de Equilíbrio:
• •
Cálculo das armaduras:
Utilizaremos armadura dupla quando a armadura simples conduzir a Kx > Klim, ou seja, quando a armadura simples corresponder ao domínio 4. Este procedimento evitará uma ruptura frágil da peça; (ruptura sem aviso prévio). Para o cálculo de As e As’, utilizaremos o artifício de separar o momento fletor Md em duas parcelas:
→ Uma parcela denominada Mdlim que esgota a seção transversal com armadura simples. → Outra parcela denominada ∆Md que será resistido por uma seção de aço. assim, M d = M lim d + ∆M d
(5.48)
onde, da eq. (5.19), o valor de Mdlim é esgotado quando faz-se Kx=Klim (limite da linha neutra entre os domínios 3 e 4).
M lim = 0,68 ⋅ f cd ⋅ b w ⋅ d 2 ⋅ K lim ⋅ (1 − 0,4 ⋅ K lim ) d
(5.49)
Observa-se que Mdlim é o limite definidor da utilização ou não da armadura dupla, ou seja:
•
Se Md ≤ Mdlim
→
seção com armadura simples
•
Se Md > Mdlim
→
seção com armadura dupla
Conhecido o valor de Mdlim da expressão (5.49), a equação (5.48) fica:
∆M d = M d − M dlim
(5.50)
Como para o cálculo de Mdlim faz-se Kx = Klim, concluímos que σsd = fyd
Figura 5.16: Seção Retangular com Armadura Dupla – Artifício de Cálculo
M d = M dlim + ∆M d O artifício que mencionamos anteriormente está expresso acima graficamente o qual faz com que a partir de:
•
Mdlim → Calcula-se uma armadura de tração As1
•
∆Md → Calcula-se uma armadura de tração As2 e uma armadura de compressão As’.
ou seja: 1 2 → Armadura total de tração As = A S + A S
Profª. MSc. Elaine Cristina Rodrigues Ponte
[email protected]
(5.51)
Concreto Armado I Universidade Estadual Vale do Acaraú – UVA
→ Armadura de compressão A S, i) Cálculo de A 1S Como Kx = Klim, utiliza-se para o cálculo de Α1S a equação (5.27) em que σ sd = f yd , logo: A 1s =
M lim d α1 ⋅ d
(5.52)
onde
α 1 = fyd ⋅ (1 − 0,4 ⋅ K lim ) CA − 50 A → α 1 = 3256 CA − 50 B → α 1 = 3544 CA − 60 B → α 1 = 4303 CA − 25 → α 1 = 1503
Profª. MSc. Elaine Cristina Rodrigues Ponte
[email protected]
(5.53)
