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CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
Ninguém possui idoneidade para fazer afirmações a respeito do espaço
absoluto ou do movimento absoluto. São meras formas do espírito,
construções mentais que não podem ser embasadas na experiência. Todos os
princípios da mecânica resultam dos nossos conhecimentos empíricos a
respeito das posições e dos movimentos relativos dos corpos.
Albert Einstein
O presente texto apresenta os aspectos essenciais da Teoria da Relatividade
Restrita, no que diz respeito às propriedades do espaço e do tempo. Esta
teoria está essencialmente baseada em dois postulados a partir dos quais as
propriedades em questão podem ser deduzidas.
A abordagem adotada neste texto utiliza situações concretas envolvendo a
emissão e a recepção de pulsos de luz, a partir das quais conclusões podem
ser alcançadas por mero raciocínio lógico, acompanhado de algumas
manipulações algébricas ou aritméticas elementares.
Para cada situação, além de uma análise geral, é fornecida uma ilustração
numérica amparada numa visualização gráfica.
Por não utilizar nenhuma matemática sofisticada, o texto é acessível a
jovens estudantes e leigos em geral.
CONTEÚDOS
I. Alguns conceitos básicos
II. Introdução e princípios
III. O fator k de Doppler
IV. Relação entre o fator de Doppler e a velocidade relativa
V. Dilatação do tempo
VI. Contração dos comprimentos
VII. Combinação das velocidades
VIII. O paradoxo dos gêmeos
. I Alguns conceitos básicos
Evento:
o Um evento é algo que acontece em algum lugar, em algum instante.
o O seu nascimento, ou a emissão de um flash por uma máquina
fotográfica, são exemplos de eventos.
Observador:
o Um observador é alguém que observa e descreve eventos.
o Observadores distintos podem descrever o mesmo evento de maneira
diferente.
Referencial:
o Para descrever um evento com precisão, um observador utiliza um
sistema de referência, ou referencial.
o Um referencial é constituído de um sistema de coordenadas de
posição, utilizadas para especificar o lugar em que o evento
ocorre, e de uma escala temporal, utilizada para especificar o
instante em que o evento ocorre.
o Posições podem ser determinadas com uma régua (para medir
distâncias) e um teodolito (para medir ângulos). Tempos podem
ser medidos com um relógio. Assim, concretamente, podemos
associar um referencial a um observador equipado de uma régua,
um teodolito e um relógio.
o Observadores distintos podem atribuir ao mesmo evento posições
diferentes e tempos diferentes.
Espaço-tempo:
o No estudo da relatividade, é frequentemente conveniente juntar o
espaço de posição (tridimensional) e a escala de tempo
(unidimensional) para formar um único espaço, chamado espaço-
tempo (tetradimensional).
o A cada evento está associado um ponto no espaço-tempo.
o A história de um ente qualquer pode ser considerada como uma
sucessão contínua de eventos. Portanto, tal história é
representada no espaço-tempo por uma linha contínua, chamada
linha de mundo do ente.
Diagrama de Minkowski:
o O espaço-tempo de eventos e as linhas de mundo de entes físicos,
podem ser visualizados através de um diagrama de Minkowski.
o Não é possivel desenhar em quatro dimensões, portanto precisamos
"esquecer" no mínimo uma das direções na posição para fazer um
diagrama de Minkowski.
o Já que uma folha de papel, ou a tela do computador, são
superfícies bidimensionais, uma maior claridade é obtida no
desenho se pudermos "esquecer"duas direções na posição. A
condição para que isto seja possível é que todos os eventos
considerados aconteçam no espaço sobre a mesma linha reta. Isto
será o caso para todas as situações concretas consideradas neste
texto.
o Num diagrama de Minkowski, um evento é representado por um
ponto, cujo tempo de ocorrência está dado em abscissa e cuja
posição está dada em ordenada.
o Num diagrama de Minkowski, a linha de mundo de um ente indica a
variação da posição do ente como função do tempo.
o Como será visto na apresentação do postulados da Relatividade
Restrita, a velocidade da luz no vácuo possui um papel de
destaque nesta teoria, por tratar-se de uma constante universal.
Por esta razão, é conveniente utilizar uma unidade de distância
relacionada com a unidade de tempo de maneira que a velocidade
da luz seja igual a um. Um exemplo de uma unidade de distância
deste tipo, comumente utilizada na Astronomia, é o ano-luz, que
vem a ser a distância percorrida pela luz num ano. Obviamente, a
velocidade da luz é então um ano-luz por ano.
o Com tais unidades, durante um intervalo de tempo unitário, um
pulso de luz se desloca uma distância unitária.
Consequentemente, as linhas de mundo de pulsos de luz são retas
inclinadas a 45 graus num diagrama de Minkowski.
o Também veremos que, de acordo com a Relatividade Restrita,
nenhum corpo pode mover-se com velocidade superior à da luz.
Portanto, num diagrama de Minkowski, nenhuma linha de mundo pode
ter inclinação superior a 45 graus em relação à horizontal.
o Já que as coordenadas de posição e de tempo dependem do
referencial, deve-se sempre especificar qual observador está
medindo os valores representados em abscissa e ordenada num
diagrama de Minkowski.
Conceitos básicos -- Diagrama de Minkowski
O diagrama representa um espaço-tempo bidimensional, que corresponde a um
espaço de posição unidimensional. Isto é suficiente para representar
movimentos colineares.
É convencional representar a posição em ordenada e o tempo em abscissa.
Para definir numericamente as coordenadas de um evento, é necessário
especificar unidades para a posição e o tempo. É conveniente escolher
unidades tais que a velocidade da luz no vácuo seja igual a um. No diagrama
ao lado, a unidade de tempo utilizada é o minuto (ou a hora) e a unidade de
distância correspondente é então o minuto-luz, que é a distância percorrida
num minuto pela luz, no vácuo. A velocidade da luz, convencionalmente
representada pela letra c, é então obviamente c = 1 min-luz/min.
No diagrama são representadas as linhas de mundo de quatro observadores,
denotados A, A', B e C.
Vê-se que A permanece em repouso na origem da linha de posição. Portanto as
posições no gráfico são medidas em relação à posição de A. Podemos dizer
que o diagrama representa o espaço-tempo do ponto de vista de A, ou no
referencial de A.
Linhas de mundo horizontais no diagrama estão associadas a entes em repouso
no referencial considerado. Por exemplo, A' está em repouso no referencial
de A.
Linhas de mundo inclinadas no diagrama estão associadas a entes em
movimento no referencial considerado. Por exemplo, B está em movimento com
velocidade positiva em relação a A, pois a sua posição aumenta com o tempo.
Podemos ver que B afastou-se 25 min-luz de A em 65 min (medidos por A), o
que corresponde a uma velocidade de B em relação a A igual a
v = 25min-luz/65min = 5/13 c,
onde a letra c serve para lembrar que esta velocidade é medida em unidades
da velocidade da luz. Já o observador C possui velocidade negativa (e não
muito grande) em relação a A, pois a sua posição em relação a A está
diminuindo (lentamente).
Nas unidades utilizadas, a posição de um pulso de luz aumenta ou diminui de
uma unidade durante um intervalo de tempo unitário. Consequentemente, as
linhas de mundo de pulsos de luz estão inclinadas a 45 graus no diagrama.
Na figura, vê-se um pulso de luz emitido por A, refletido por B e recebido
por A de novo.
Como veremos, a relatividade proibe velocidades superiores à da luz (no
vácuo). Consequentemente, nenhum diagrama de Minkowski pode conter uma
linha de mundo com inclinação em relação à horizontal superior a 45 graus.
Vários eventos podem ser identificados no diagrama apresentado. Por
exemplo, um encontro entre dois observadores é um evento, representado pelo
ponto de cruzamento das linhas de mundo dos observadores em questão. Dois
eventos estão indicados explicitamente na figura. A bolinha verde
representa o evento que pode ser descrito como "a reflexão do pulso de luz
por B", ou ainda ser especificado pela afirmação "o relógio de B marca
1h00min". As coordenadas deste evento no referencial de A estão dadas na
figura. A bolinha vermelha representa o evento que pode ser especificado
pela afirmação "o relógio de A marca 1h05min". Nota-se que estes dois
eventos são simultâneos para A, embora os tempos indicados pelos relógios
não são iguais. Esta peculiaridade da relatividade está demonstrada adiante
no texto.
II. Introdução e princípios
Mecânica Clássica
o Existe uma classe de referenciais nos quais todos os corpos
livres estão em movimento retilíneo uniforme ou em repouso.
Estes referenciais são chamados referenciais inerciais. Um
referencial em movimento retilíneo uniforme em relação a um
referencial inercial também é inercial.
o As leis da mecânica clássica são formuladas nos referenciais
inerciais.
o Força produz aceleração.
o Não é possível determinar se um laboratório está em movimento
retilíneo uniforme através da observação de fenômenos físicos
acontecendo dentro dele.
o As leis da mecânica são as mesmas em todos os referenciais
inerciais.
Ondas num meio material
o As leis de propagação das ondas materiais são formuladas no
referencial de repouso do meio de propagação.
o Se o meio material está em movimento, a velocidade de propagação
observada é alterada.
o A freqüência observada é afetada tanto pelo movimento do emissor
como pelo movimento do detetor.
Luz
o É um fenômeno ondulatório.
o Todas as tentativas de identificar um meio de propagação (o
hipotético eter) fracassam.
o A velocidade de propagação no vácuo é independente do
referencial (experiência de Michelson e Morley).
Postulados da Relatividade Restrita
o A relatividade restrita está essencialmente contida em dois
postulados cujos enunciados são bastante simples:
Todas as leis da Física são válidas em todos os
referenciais inerciais.
A velocidade da luz no vácuo é uma constante universal,
independente da freqüência e do movimento da fonte.
Porém, a aceitação simultánea destes dois postulados leva
imediatamente a uma conclusão dramática: a velocidade da luz
possui o mesmo valor em todos os referenciais inerciais. Tal
conclusão está em contradição com as nossas noções intuitivas de
combinação das velocidades e requer portanto uma revisão
profunda dos nossos conceitos de espaço e de tempo.
III. O fator k de Doppler
uma quantidade fundamental caracterizando a relação entre observadores em
movimento relativo retilíneo e uniforme.
Situação:
o 3 observadores A, B e A'.
o A e A' estão em repouso relativo.
o B afasta-se de A com velocidade v e aproxima-se de A' com a
mesma velocidade v.
o A emite pulsos de luz separados por intervalos de tempo iguais
hA (medidos pelo relógio de A).
o Cada vez que B recebe um pulso de luz vindo de A, ele também
emite um pulso de luz.
o A' recebe os pulsos emitidos por A e B.
Definição:
o k > 1, pois todos os pulsos viajam com a velocidade c e B está
se afastando de A.
Análise:
o Das definições: o intervalo de recepção por B é hB = k hA.
o Portanto, o intervalo de emissão dos pulsos de B também é hB = k
hA.
o Os pulsos emitidos por A e B "viajam juntos" até A' e são
portanto recebidos com o mesmo intervalo.
o Este intervalo é hA, já que A' está em repouso em relação a A.
Resumo:
Conclusão:
Compacto:
Comentários:
o O fator k é função da velocidade relativa v.
o A existência de um fator k diferente de 1 não é peculiar à
Relatividade Restrita; é simplesmente o efeito Doppler. Mas a
relação explicitada no quadro acima é característica da
Relatividade Restrita, pois supõe que a velocidade do sinal é
independente das velocidades do emissor e do receptor.
Fator k de Doppler
O diagrama ilustra a situação do ponto de vista do observador A.
Os pulsos de luz emitidos por A a intervalos de 6s são recebidos pelo
observador B, que está se afastando de A, a intervalos de 9s. Portanto, o
fator de Doppler que caracteriza a relação entre A e B, vale
k = 9s/6s = 3/2.
Cada vez que B recebe um pulso de luz vindo de A, ele também emite um pulso
de luz. Os pulsos de luz emitidos por A e B viajam juntos até A', que os
recebe simultaneamente.
Como A' está em repouso em relação a A, ele recebe os pulsos de A a
intervalos iguais aos intervalos de emissão, de 6s. Portanto, para estes
pulsos, a razão entre os intervalos de recepção e de emissão é
6s/9s = 2/3 = 1/k.
Ou seja: o fator de Doppler relativo a dois observadores que estão se
aproximando um do outro com uma certa velocidade relativa é o inverso
daquele relativo a dois observadores que estão se afastando com a mesma (em
valor absoluto) velocidade relativa.
IV. Relação entre o fator de Doppler k e a velocidade relativa v
Situação:
o O observador B está em movimento com velocidade v em relação ao
observador A.
o Quando B passa por A, ambos zeram seus relógios.
o Quando B passa por A, B manda um pulso de luz para A e A manda
um pulso de luz para B. Estes pulsos são recebidos
essencialmente instantaneamente, já que A e B estão no mesmo
lugar naquele instante.
o B então começa a afastar-se de A com velocidade v.
o Algum tempo depois, A manda um segundo pulso de luz para B, que
é refletido por B no instante TB (marcado pelo relógio de B).
Chamaremos de "evento E" esta reflexão.
o O pulso refletido é recebido por A.
Análise:
o Pela definição de k, o segundo pulso foi emitido por A no
instante TB/k (pelo relógio de A).
o Também pela definição de k, o pulso refletido foi recebido por A
no instante k TB (pelo relógio de A).
o Em posse destas duas medidas de tempo, A pode atribuir um tempo
e uma posição ao evento E. Como o segundo pulso se propagou com
a velocidade c, ele levou o mesmo tempo para ir até o evento E e
para voltar. Portanto, ele esteve em E no instante médio entre o
instante de emissão e o instante de recepção. Ou seja, A atribui
ao evento E o tempo
o A distância d entre o evento E e o observador A é a metade da
distância total percorrida pelo segundo pulso entre a sua
emissão e a sua recepção, o que dá
Conclusão:
o Como o observador B estava presente ao evento E, para o
observador A o observador B percorreu a distância d no tempo TA.
Assim, a velocidade de B em relação a A é
Daí
e finalmente
Comentários:
o Nota-se que k > 1, como esperado já que os observadores estavam
se afastando um do outro quando ocorreu o evento E.
o Se os observadores estivessem se aproximando, o fator seria
obtido trocando v por - v na expressão anterior, como era de se
esperar.
Cálculo da velocidade relativa v a partir do fator de Doppler k
O diagrama ilustra a situação do ponto de vista do observador A.
Seja k = 3/2 o fator de Doppler relacionando os observadores A e B.
Quando os dois observadores se cruzam, ambos zeram os seus relógios.
Uma hora mais tarde (por seu próprio relógio), B recebe um pulso de luz
vindo de A. Este pulso foi emitido quando o relógio de A marcava
B manda o pulso de volta para A. Quando A recebe este pulso refletido, o
seu relógio marca
Para A, o evento de reflexão do pulso aconteceu no instante médio entre o
instante de emissão e o instante de recepção, ou seja quando o relógio de A
marcava
Consequentemente, para A, o pulso de luz levou
para chegar até o evento de reflexão por B. Este evento aconteceu portanto
a uma distância de 25 min-luz.
Como B estava presente ao evento de reflexão (ele o provocou!), A pode
concluir desta análise que B percorreu 25 min-luz em 1h 05. A velocidade de
B em relação a A é então
Verifique que isto corresponde à fórmula geral
i. e. verifique que
V. Dilatação do tempo
Situação:
o Aquela considerada no ítem anterior.
Análise:
o Como visto no ítem anterior, embora os dois observadores
sincronizam seus relógios quando se cruzam (ambos observadores
atribuem tempo nulo a este evento), eles atribuem tempos
diferentes ao evento E.
o O observador B atribui ao evento E o tempo TB, ao passo que o
observador A atribui ao mesmo evento o tempo
o A razão entre estes tempos é
o Usando a expressão obtida anteriormente para o fator k em termos
da velocidade relativa v, obtem-se
ou ainda
Conclusão:
o Para o observador A, quando o relógio carregado por B marca o
tempo TB , o seu próprio relógio já marca TA = g TB > TB, ou
seja, para quem observa um relógio em movimento, este relógio
está se atrasando.
o O efeito é recíproco. Para B, o relógio carregado por A é que
está em movimento e portanto está se atrasando.
o Para este efeito, não importa se o relógio em movimento está se
afastando ou se aproximando. Note que o fator g não muda se
trocarmos v por - v.
Dilatação do tempo
O diagrama ilustra a situação do ponto de vista do observador A.
Seja k = 3/2 o fator de Doppler relacionando os observadores A e B.
Quando os dois observadores se cruzam, ambos zeram os seus relógios.
Uma hora mais tarde (por seu próprio relógio), B recebe um pulso de luz
vindo de A. Este pulso foi emitido quando o relógio de A marcava
B manda o pulso de volta para A. Quando A recebe este pulso refletido, o
seu relógio marca
Para A, o evento de reflexão do pulso aconteceu no instante médio entre o
instante de emissão e o instante de recepção, ou seja quando o relógio de A
marcava
Assim, para A, quando o evento de reflexão ocorreu o seu próprio relógio
marcava 1h 05min, ao passo que o relógio de B marcava 1h. Portanto, para A,
o relógio em movimento carregado por B está se atrasando.
A razão entre os intervalos de tempo medidos pelo relógio parado e pelo
relógio em movimento é
Como demonstrado no ítem anterior, a velocidade de B em relação a A é v =
5/13 c. Verifique que a razão obtida acima é dada pelo fator de Lorentz
ou seja, verifique que
VI. Contração dos comprimentos
Situação:
o O observador B está se afastando do observador A com velocidade
v. Os observadores A e B zeraram os seus relógios no instante em
que se cruzaram.
o Ele está carregando uma régua estendida na sua frente, alinhada
com a direção do seu movimento em relação a A. Denotamos por LB
o comprimento da régua medido por B.
o Será conveniente imaginar um terceiro observador B', parado em
relação a B e localizado na outra extremidade da régua.
o A deseja medir o comprimento da régua. Para tanto, ele precisa
determinar as posições das duas extremidades da régua no mesmo
instante (marcado por seu próprio relógio).
o Ele manda pulsos de luz a serem refletidos, um em cada
extremidade da régua. Podemos imaginar que B e B' carregam
espelhos; um dos pulsos é refletido pelo espelho de B, o outro
pelo espelho de B'. O observador A deve ajustar os tempos de
emissão dos pulsos de maneira que as reflexões aconteçam
simultaneamente para ele.
o A partir dos tempos que os pulsos levam para ir e voltar, ele
determina as posições das duas extremidades da régua e deduz o
comprimento da mesma.
Análise:
o Sejam e e r os instantes de emissão e recepção (medidos por A)
do pulso refletido por B; e' e r' os instantes de emissão e
recepção do pulso refletido por B'. As reflexões acontecem
simultaneamente para A se
" "(1) "
o Seja t o instante (medido por B) em que acontece a reflexão em
B. Pela definição do fator k, temos
"t = k e e r = k t; portanto r = k2e. "(2) "
o O pulso que vai ser refletido em B' passa por B no instante k e'
e o pulso que foi refletido por B' passa por B no instante r'/k
(ambos tempos medidos pelo relógio de B). Como, durante o
intervalo entre estes dois instantes, o pulso foi de uma
extremidade da régua até a outra e voltou, temos
" "(3) "
o O observador A utiliza os tempos de emissão e recepção dos
pulsos para calcular as posições das extremidades da régua. A
diferença dá o comprimento da régua, medido por A:
" "(4) "
o Agora só é necessário fazer um pouco de álgebra. Resolvemos (3)
para r':
" "(5) "
o Substituimos (2) e (5) em (1) e obtemos:
" "(6) "
o Substituimos também (2) e (5) em (4) e obtemos:
" "(7)"
o Dividindo (6) por (7), chegamos a
o
o ou ainda
o
o Utilizando a relação entre o fator k e a velocidade relativa v
previamente obtida, bem como uma relação dela derivada, qual
seja
obtemos finalmente
Conclusão:
o A régua que possui comprimento LB para B que a observa em
repouso, possui comprimento LA = LB/g < LB para A que a observa
em movimento, ou seja, para quem observa um objeto em movimento,
este objeto parece contraído na direção do movimento.
o O efeito é recíproco. Para B, uma régua carregada por A
pareceria contraída.
o Para este efeito, não importa se a régua em movimento está se
afastando ou se aproximando, já que o fator g não muda se
trocarmos v por - v.
Contração dos Comprimentos
O diagrama ilustra a situação do ponto de vista do observador A.
Os observadores B e B' estão em repouso relativo e seguram as extremidades
da régua.
Seja k = 3/2 o fator de Doppler relacionando os observadores A e B. Como
discutido no item IV, a velocidade relativa v e o fator g de Lorentz
correspondentes são
v = 5/13 c e g = 13/12.
Quando os dois observadores A e B se cruzam, ambos zeram os seu relógios.
Para medir o comprimento da régua, o observador A determina as posições das
extremidades da mesma no mesmo instante, através de dois pulsos de luz que
são refletidos por B e B' naquele instante. No diagrama, este instante é
1h05, pelo relógio de A
O pulso emitido por A quando o relógio de A marca 0h40 volta para A, após
reflexão por B, quando o relógio de A marca 1h30. Portanto, quando a
reflexão acontece, B dista de A
Semelhantemente, o pulso emitido por A quando o relógio de A marca 0h10
volta para A, após reflexão por B', quando o relógio de A marca 2h00.
Portanto, quando a reflexão acontece, B' dista de A
Concluimos que, para A , o comprimento da régua é
55min-luz - 25min-luz = 30min-luz.
Este é o comprimento da régua medido por um observador para o qual a régua
está em movimento longitudinal com velocidade 5/13 c. (Esta é uma régua bem
respeitável!)
Passamos à determinação do comprimento atribuído à régua pelo observador B
para o qual a mesma está em repouso. O pulso que A manda para B quando o
seu relógio marca 0h10 passa por B quando o relógio deste marca
Após reflexão por B', este pulso é recebido por A quando o relógio deste
marca 2h00. Portanto, este pulso refletido passar por B quando o relógio de
B marca
Concluimos que este pulso levou
1h20 - 0h15 = 65min
para ir de B até B' e voltar, ou seja, para percorrer duas vezes o
comprimento da régua. O comprimento da régua medido por B e B' é então
Este é o comprimento da régua medido por um observador para o qual a régua
está em repouso, o chamado comprimento próprio da régua.
Destes resultados, vê-se que a régua em movimento parece contraída em
relação ao seu comprimento natural, na razão
VII. Combinação das velocidades
Situação:
Consideramos 3 observadores A, B e C.
B está se afastando de A com velocidade v em relação a A.
C está se afastando de B com velocidade v' em relação a B.
A pergunta é: qual é a velocidade de C em relação a A?
Para permitir a análise, supomos que o observador A emite pulsos de
luz separados por intervalos de tempo hA (medidos por A).
Cada vez que o observador B recebe um pulso vindo de A, ele também
emite um pulso de luz.
Os pulsos emitidos por A e B são detectados por C.
Análise:
Seja k o fator de Doppler associado à velocidade v e k' o fator
associado à velocidade v'.
Os pulsos emitidos por A a intervalos hA são recebidos por B a
intervalos hB = khA.
Portanto, o intervalo de emissão dos pulsos de B também é hB = khA.
Consequentemente, os pulsos emitidos por B são recebidos por C a
intervalos hC = k'hB = k'khA.
Como os pulsos emitidos por A acompanham os pulsos emitidos por B,
eles também são recebidos por C a intervalos hC = kk' hA.
Seja K o fator de Doppler associado ao movimento de C em relação a A.
Por definição: hC = KhA.
Comparando as duas expressões de hC, concluimos que
Ou seja: a lei de combinação dos fatores k de Doppler é a simples
multiplicação.
Conclusão:
Seja V a velocidade de C em relação a A. Invertendo a relação obtida
anteriormente entre velocidade relativa e fator k (ítem IV), temos
Substituindo nisto a expressão de K em termos de k e k' e então as
expressões destes em termos de v e v', obtemos
ou finalmente
que vem a ser a lei de composição relativística das velocidades.
Nota-se que esta fórmula possui as seguintes propriedades:
o V = c se v = c ou v' = c, o que corresponde à invariância da
velocidade da luz: se um corpo ou sinal anda com a velocidade da
luz para um observador, ele anda com a velocidade da luz para
todos os observadores.
o V nunca ultrapassa c se v e v' não ultrapassam c: se um corpo ou
sinal anda com uma velocidade inferior à da luz para um
observador, ele anda com uma velocidade inferior à da luz para
todos os observadores.
Combinação dos fatores de Doppler e das velocidades
O diagrama ilustra a situação do ponto de vista do observador A.
O observador B está em movimento em relação ao observador A e o observador
C está em movimento em relação ao observador B.
Sejam k = 3/2 o fator de Doppler relacionando A e B, e k' = 4/3 o fator de
Doppler relacionando B e C.
A emite pulsos a intervalos de 6s. Estes pulsos são recebidos por B a
intervalos de
Cada vez que B recebe um pulso vindo de A, ele também emite um pulso. Estes
pulsos, emitidos por B a intervalos de 9s, são recebidos por C a intervalos
de
Como os pulsos vindos de A viajam junto com os pulsos emitidos por B, eles
também são recebidos por C a intervalos de 12s. Portanto, o fator de
Doppler relacionando A e C é
Isto ilustra obviamente a combinação multiplicativa dos fatores de Doppler,
pois
Como discutido no ítem IV, a velocidade relativa v é dada em termos do
fator k por
Portanto, a velocidade de B em relação a A é
e a velocidade de C em relação a B é
Utilizando o resultado obtido na combinação dos fatores de Doppler, podemos
também calcular a velocidade V de C em relação a A:
A lei de combinação das velocidades, qual seja
corresponde então à relação aritmética
a qual é facilmente verificada.
VIII. O paradoxo dos gêmeos
Situação:
o Consideramos 3 observadores A, B e C.
o O observador B está em movimento com velocidade v em relação ao
observador A. O observador C também está em movimento com
velocidade v em relação ao observador A, na mesma direção mas em
sentido oposto.
o Inicialmente, B e C estão se aproximando de A; B já está perto
mas C ainda está longe.
o Quando B passa por A, ambos zeram os seus relógios. O observador
B também manda um pulso de luz para A, que é recebido
essencialmente instantaneamente, já que A e B estão no mesmo
lugar.
o B passa então a afastar-se de A e aproximar-se de C.
o Quando B passa por C, ele manda um pulso de luz para A.
o Quando C passa por B, ele ajusta o seu relógio de acordo com o
relógio de B e manda um pulso de luz para A.
o Após este encontro, C continua se aproximando de A.
o Quando C encontra A, ele manda um pulso de luz para A, que é
recebido essencialmente instantaneamente.
o C e A estando então no mesmo lugar, eles podem comparar os seus
relógios. A pergunta é: será que os relógios de A e C marcam a
mesma hora? Note que, já que B ajustou seu relógio pelo de A e C
ajustou seu relógio pelo de B, o "senso comum" responderia sim a
esta pergunta.
Análise:
o Seja t o tempo indicado pelo relógio de B no instante do
encontro com C. Como C então ajusta seu relógio com o de B, o
relógio de C também marca t naquele instante.
o Como C aproxima-se de A com a mesma velocidade v com a qual B se
afastou de A, ele leva o mesmo tempo (medido por ele a partir do
encontro com B) para chegar até A. Assim, no encontro com A, o
relógio de C marca o tempo
o O intervalo (medido por B) na emissão dos dois pulsos por B, é
t. Seja k o fator de Doppler relacionando A e B. Pela definição
deste fator, o intervalo na recepção por A é kt. Portanto, o
relógio de A marca o tempo kt quando ele recebe o segundo pulso
de B.
o Como o primeiro pulso de C acompanhou o segundo pulso de B,
concluimos que o relógio de A marca o tempo kt quando ele recebe
o primeiro pulso de C.
o Já que C está se aproximando de A com a mesma velocidade com a
qual B se afastou de A, o fator de Doppler relacionando C e A é
1/k.
o Já que o intervalo na emissão dos dois pulsos por C é t, o
intervalo na recepção por A é t/k.
o Assim, quando A recebe o segundo pulso de C, o seu relógio marca
o tempo
o Este é, então, o tempo marcado pelo relógio de A no instante do
encontro com C.
Conclusão:
o Podemos ver que os tempos TA e TC marcados pelos relógios de A e
C no instante do encontro entre estes dois observadores não são
iguais. A razão entre eles é
o Usando a expressão do fator k em termos da velocidade relativa
v, obtem-se (veja o cálculo feito na discussão da dilatação do
tempo)
o Este resultado é formalmente idêntico àquele obtido na discussão
da dilatação do tempo e de fato pode ser interpretado como uma
manifestação desta dilatação.
o Contudo, a situação aqui é significativamente diferente daquela
considerada anteriormente. O efeito aqui não é recíproco. Como A
e C estão comparando seus relógios ao mesmo evento (o encontro
entre eles), eles tem que concordar quanto à questão de saber se
um está adiantado em relação ao outro.
Ilustração:
Para ilustrar a conclusão à qual chegamos, podemos imaginar o seguinte
drama:
o O observador A é pai de dois filhos gêmeos, João e Pedro.
o Quando B cruza com A, ele leva João de passagem junto com ele,
ao passo que Pedro fica com A.
o Quando B cruza com C, ele joga João para C, que o recebe
habilmente e o trás de volta para A.
o Quando A compara seus gêmeos reunidos, ele repara que
João, que viajou, está agora mais jovem de que Pedro, que
ficou em casa !
Note que todos tem que concordar quanto a isto.
o A situação não é simétrica, pois João pulou de um referencial
inercial para outro, enquanto Pedro permaneceu sempre no mesmo
referencial inercial. João sofreu acelerações e Pedro não.
Paradoxo dos gêmeos
O diagrama ilustra a situação do ponto de vista do observador A.
Seja k = 3/2 o fator de Doppler relacionando os observadores A e B.
Quando os dois observadores A e B se cruzam, ambos zeram os seus relógios.
Naquele instante, nascem os filhos gêmeos de A, João e Pedro. João
acompanha B, ao passo que Pedro fica com o pai A.
Trinta anos mais tarde (pelo seu próprio relógio), B cruza com C, que viaja
na direção oposta, aproximando-se de A com a mesma velocidade com a qual B
está se afastando de A. O fator de Doppler relacionando C a A é portanto
1/k = 2/3.
Quando C passa por B, ele ajusta o seu relógio com o de B, que marca 30
anos naquele instante. João, que tem também 30 anos, já que ele acompanhou
B, é apanhado de passagem por C.
Quando B cruza com C, ele manda um pulso de luz para A, que o recebe quando
o seu relógio marca
30 anos x 3/2 = 45 anos.
Quando C cruza com B, ele também manda um pulso de luz para A, que o recebe
também quando o seu relógio marca 45 anos.
Como C se aproxima de A com a mesma velocidade com a qual B se afastou, ele
leva 30 anos, pelo seu próprio relógio, para chegar até A. Como João
acompanha C, ele envelhece 30 anos durante esta parte da viagem. Portanto,
no re-encontro com o pai A e o irmão Pedro, ele tem
30 anos + 30 anos = 60 anos.
Podemos imaginar que, quando C alcança A, ele manda um segundo pulso para
A, que o recebe instantaneamente já que ambos observadores estão então no
mesmo lugar. Pela definição do fator de Doppler, o intervalo de recepção
por A dos dois pulsos emitidos por C é
30 anos x 2/3 = 20 anos.
Deste resultados, deduzimos que, no encontro com C, o relógio de A marca
45 anos + 20 anos = 65 anos.
Já que Pedro permaneceu junto a A o tempo todo, ele portanto tem 65 anos no
seu encontro com C, que é também o seu re-encontro com o seu irmão gêmeo.
Concluimos que, no re-encontro, João tem 60 anos e Pedro tem 65 anos. Ou
seja, o gêmeo que fez a viagem de ida e volta envelheceu mais lentamente
que o outro, que ficou parado.
Fonte dos dados:
http://www.if.ufrgs.br/~betz/space_time/index.html#Conte%C3%BAdos
