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ANALISE DO COMPORTAMENTO DE ELEMENTOS PASSIVOS EM ALTAS FREQÜÊNCIAS Sidnei Pereira Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR Campus Pato Branco Via do Conhecimento, Km 1 – CEP 85503-390 – Pato Branco PR
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1. INTRODUÇÃO Em baixas freqüências o comportamento da impedância em elementos passivos em função da freqüência é dado pelas relações abaixo: •
Resistência não depende da da freqüência
•
Impedância do capacitor 1 XC = ω ⋅C
•
(1)
2. RESISTORES Os modelos para resistores em altas freqüências podem ser dados pelos seguintes circuitos: Resistor de filme:
Figura 1: Circuito equivalente para resistor de filme em alta freqüência.
Resistor de fio:
Impedância do indutor XL =ω⋅L (2)
Porém para altas freqüências um simples condutor de cobre ou uma trilha de cobre em um circuito impresso possui uma resistência que depende da freqüência e também uma indutância. Estas resistências e indutâncias normalizadas para altas freqüências são dadas por: Resistência: R a ≅ RDC 2 ⋅ δ
(3)
Indutância:
ω⋅L RDC
a ≅ 2 ⋅δ
(4)
Figura 2:Circuito equivalente para resistor de fio em alta freqüência.
Exercício: Determinar a variação da impedância com a freqüência de um resistor de filme metálico de 500Ω, com conexões de fio de cobre de 2,5 cm de comprimento e raio de 2,032x10-4 m e uma capacitância parasita de 5pF. Resposta: Isolando L em (4) temos que a indutância para uma linha de fio é dada por:
Para: δ << a Onde a profundidade pelicular é dada por: δ = (π ⋅ f ⋅ µ ⋅ σ cond )−1 / 2 (5)
L ≅ R DC ⋅
a
2 ⋅δ ⋅ω
(6)
e substituindo (3) e (5) em (6), temos: L=
a 2⋅l 1,54 µH ⋅ ⋅ π ⋅ f ⋅ µ 0 ⋅ σ Cu = 2 σ ⋅π ⋅ a 4 ⋅π f
A partir do circuito se obtêm a impedância equivalente
Z = jωL + Rs +
Considerando σ Cu = 64,516 × 10 6 Ω −1 ⋅ m −1 Agora baseado no circuito equivalente para o resistor de filme da Figura 1 tiramos a equação da impedância em função da freqüência. 1 jω C + 1 / R lembrando que ω = 2πf Z = jω L +
(7)
Usando o software matlab e implementado a rotina do Anexo 1 para plotar a curva da relação impedância x freqüência obtemos:
1 1 + jω C Re
(8)
Exercício: Determinar a impedância de um capacitor de 47 pF cujo dielétrico é óxido de alumínio (tan ∆s= 1x10-4) e cujas conexões são de fio de cobre de 2,032x10-4 m de raio e 1,25 cm de comprimento. Resposta: Calculando parasita temos:
L = R DC ⋅
a
indutância
a 771 πfµ 0σ Cu = nH 2ω f
Para a resistência série dos terminais condutores obtem-se: a Rs = R DC ⋅ = 4,8 f µΩ 2δ E a resistência do dielétrico é: 1 33,9 = × 1012 Ω ωC tan ∆ s f Usando o matlab para plotar a relação Impedância x Freqüência da equação (8), através da rotina do Anexo 2, temos Re =
Figura 3: Curva Impedância x Freqüência para o resistor de filme.
3. CAPACITORES Em alta freqüência a representação de capacitores de placas planas e paralelas é dada pelo circuito da Figura 4, abaixo.
Figura 5: Curva Impedância x Freqüência para o capacitor.
Figura 4:Circuito equivalente para capacitor em alta freqüência.
Resposta: Calculando para o indutor em questão π ⋅ r 2 ⋅ µ0 ⋅ N 2 L= = 64,4nH l Cs =
Figura 6: Curva Impedância x Freqüência para o capacitor considerando indutância parasitas e resistência serie nulas.
ε 0 ⋅ 2 ⋅π ⋅ r ⋅ N ⋅ 2 ⋅ a l/N
Rs =
= 0,087 pF
l wire = 0,034Ω σ Cu ⋅ π ⋅ a 2
ω = 2πf 4. INDUTORES Um indutor em alta freqüência é representado pelo circuito da Figura 7
Substituindo estes valores em (10) e plotando no matlab obtemos a relação Impedância x Freqüência mostrada na Figura 9.
Figura 7:Circuito equivalente para indutor em alta freqüência.
A impedância equivalente é dada por Z=
deste
1 1 1 + R + XL XC
circuito
(9)
Figura 9: Curva Impedância x Freqüência para o indutor.
Substituindo (1) e (2) em (9) temos: 1 Z= (10) 1 + jω C jωL + Rs Exercício: Estimar a resposta em freqüência de um indutor formado por 3,5 espiras de fio de cobre de acordo com a Figura 8 abaixo.
Figura 8:Indutor com 3,5 espiras.
Figura 10: Curva Impedância x Freqüência para o indutor considerando a capacitância entre espiras e resistência do fio como nulas.
5. CONCLUSÕES Com este pequeno trabalho foi realizado a avaliação do comportamento da impedância em componentes passivos (resistores, capacitores e indutores) quando operando em altas freqüências. Observa-se que todos estes elementos passam a ter comportamentos diferentes daqueles esperados e obtidos para baixas freqüências. A impedância do resistor para sinais de baixas freqüências é a própria resistência. Porém na faixa de 100MHz a 20GHz ocorre uma redução da impedância associada a capacitância parasita, como observa-se na Figura 3 na curva em azul que representa o comportamento do resistor real. Ainda nesta curva verifica-se que a partir de 20GHz a impedância volta a subir em função do aumento da impedância relacionada ao indutor que surge nos terminais do elemento resistivo. Na Figura 3 também estão plotadas outras duas curvas. Uma em verde que representa o comportamento da impedância em condições ideais, ou seja, para valores de capacitância parasita e indutância dos terminais nulos. E a curva em vermelho que mostra o comportamento para valores intermediários de capacitância parasita C=Creal/2 F e L=Lreal/2 H. Observa-se neste caso que a influencia na impedância ocorre para freqüências maiores. Para um capacitor o esperado em baixas freqüências é que sua impedância diminua em função do aumento da freqüência, de forma linear, porém a partir de 20GHz vemos, através da Figura 5, que a indutância parasita e a resistência série passam a influenciar na impedância total do capacitor que passa a ter um comportamento crescente com o aumento da freqüência. Na Figura 6 vemos o
comportamento linear que obtemos se considerarmos a indutância parasita e a resistência série como nulas, o que caracterizaria um capacitor ideal. Na Figura 10 também podemos observar o comportamento esperado para o indutor ideal, desprezando a resistência do fio e as capacitâncias entre espiras. Vê-se um aumento linear da impedância em função do aumento da freqüência. Porem na Figura 9 observa-se que no indutor real a resistência do fio causa um aumenta da impedância em torno de 1GHz a 2GHz e após isto a impedância das capacitâncias entre espiras diminui, reduzindo a impedância total do indutor. Fica claro através das analises acima que para circuitos que estão de alguma forma expostas a sinais de alta freqüência devemos considerar os efeitos destes sinais no projeto dos circuitos. É necessária uma atenção especial para a blindagem e aterramento dos circuitos a fim de evitar que ruídos externos sejam introduzidos através das capacitâncias parasitas e ao serem amplificadas venham a deteriorar o sinal de interesse. É importante lembrar que com o avanço das tecnologias cada vez mais estamos expostos a sinais de alta freqüência, seja através de harmônicas na rede elétrica oriundas de chaveamentos de semicondutores, ou por sinais propagados pelo ar oriundas de telecomunicações e medicina de alto campo, ou ainda de sinais de estágios distintos no próprio circuito que estamos trabalhando mas que se não forem devidamente isolados podem prejudicar o funcionamento do restante do equipamento. 6. REFERENCIAS [1] Material didático disponibilizado pelo professor no Sistema de Apoio Pedagógico.
ANEXOS Anexo 1: Rotina para plotar a relação Impedância x Freqüência para o resistor %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % programa resistor.m % autor: sidnei % versao: 1.0 data:14/09/2009 % Plota a curva relação Impedancia x Frequencia para um resistor %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% clear all; close all; f=1e6:1e8:1e12; % cria vetor frequencia n=length(f); %numero de pontos da simulação C=5e-12; Cideal=0; Cinterm=2e-12; R=500; for k=1:n L(k)=(1.54e-6/sqrt(f(k))); Lideal(k)=0; Linterm(k)=(1.54e6/sqrt(f(k)))/2; w(k)=2*pi*f(k); Z(k)=((L(k)*w(k)*i)+(1/((C*w(k)*i)+( 1/R)))); Zideal(k)=((Lideal(k)*w(k)*i)+(1/((C ideal*w(k)*i)+(1/R)))); Zinterm(k)=((Linterm(k)*w(k)*i)+(1/( (Cinterm*w(k)*i)+(1/R)))); modZ(k)=abs(Z(k));%calcula a impedancia real modZideal(k)=abs(Zideal(k));%calcula a impedancia para o caso ideal modZinterm(k)=abs(Zinterm(k));%calcu la a impedancia para o caso intermediario end close all % fecha todos as janelas loglog(f,modZ,'b',f,modZideal,'g',f, modZinterm,'r') %plotando Impedancia x Frequencia title ('Resposta em frequencia do Resistor') xlabel ('Frequencia, Hz') ylabel ('|Z|, Ohms') axis([1e6 1e12 1e-3 1e3]) %%FIM do programa resistencia%%%%
Anexo 2: Rotina para plotar a relação Impedância x Freqüência para o capacitor %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % programa capacitor.m % autor: sidnei % versao: 1.0 data:15/09/2009 % Plota a curva relação Impedancia x Frequencia para um capacitor %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% clear all; close all; f=1e8:1e7:1e11; % cria vetor frequencia n=length(f); %numero de pontos da simulação C=47e-12; for k=1:n w(k)=2*pi*f(k); L(k)=771e-9/sqrt(f(k)); Re(k)=33.9e12/f(k); Rs(k)=4.8e-6*sqrt(f(k)); Z(k)=((i*w(k)*L(k))+Rs(k)+(1/((1/Re( k))+(i*w(k)*C)))); modZ(k)=abs(Z(k));%calcula a impedanci end close all % fecha todos as janelas loglog(f,modZ) %plotando Impedancia x Frequencia title ('Resposta em frequencia do Capacitor') xlabel ('Frequencia, Hz') ylabel ('|Z|, Ohms') axis([1e8 1e11 1e-2 1e2]) %%%FIM do programa capacitor%%%
Anexo 3: Rotina para plotar a relação Impedância x Freqüência para o indutor %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % programa indutor.m % autor: sidnei % versao: 1.0 data:15/09/2009 % Plota a curva relação Impedancia x Frequencia para um indutor %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% clear all; close all; f=1e8:1e7:1e11; % cria vetor frequencia n=length(f) %numero de pontos da simulação L=61.4e-9; C=0.087e-12; Rs=0.034; for k=1:n w(k)=2*pi*f(k);
Z(k)=(1/(1/(((i*w(k)*L)+Rs))+(i*w(k) *C))); modZ(k)=abs(Z(k));%calcula a impedancia end close all % fecha todos as janelas loglog(f,modZ) %plotando Impedancia x Frequencia title ('Resposta em frequencia do Indutor') xlabel ('Frequencia, Hz') ylabel ('|Z|, Ohms') axis([1e8 1e11 1e1 1e5]) %FIM do programa indutor%%%%%%%
