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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica PME2100 – Mecânica A Segunda Prova – 21 de outubro de 2003 – Duração: 110 minutos Importante: não é permitido o uso de calculadoras GABARITO (3,0 pontos) 1 – Uma força F é aplicada na cunha A e uma força Q é aplicada no bloco B. Os pesos da cunha A e do bloco B são desprezíveis se comparados a Q. Os coeficientes de atrito estático são (ver figura) µ 1 = 1/4, µ 2 = 0, µ 3 = 1/3. Determine o intervalo de valores de F, em função de Q, compatível com o equilíbrio.
µ 3 = 1/3
µ2 =0
Q
5a
Bloco B
Cunha A
F
3a
µ 1 = 1/4
4a
Solução: DIAGRAMAS DE CORPO LIVRE (0,5 ponto) Admitindo o caso limite em que o Bloco B tende a Admitindo o caso limite em que o Bloco B tende a DESCER: SUBIR: N2 N2 Q Q A A N3 Fat3
.
.
N2
5a
N3
F
3a
4a
N1
B
.
.
N2
Fat3
Fat1
5a
F
3a
4a
Fat1 N1
CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO (1,0 ponto) No BLOCO B: 3 3 3 3 ∑ F x = 0 ⇒N 3 − 5 N 2 = 0 ⇒ N 3 = 5 N 2 ∑ F x = 0 ⇒N 3 − 5 N 2 = 0 ⇒ N 3 = 5 N 2 4 4 F y = 0 ⇒ N 2 − Fat 3 − Q = 0 ∑ Fy = 0 ⇒ 5 N 2 + Fat 3 − Q = 0 5 Na CUNHA A: Na CUNHA A: 3 3 Fx = 0 ⇒ N 2 + Fat 1 − F = 0 ∑ Fx = 0 ⇒ 5 N 2 − Fat 1 − F = 0 5 4 5 4 5 Fy = 0 ⇒ − N 2 + N 1 = 0 ⇒ N 2 = N 1 Fy = 0 ⇒ − N 2 + N 1 = 0 ⇒ N 2 = N 1 5 4 5 4 No BLOCO B:
∑ ∑ ∑
∑
NA IMINÊNCIA DOS ESCORREGAMENTOS: (0,5 ponto) 1 1 Fat1 = µ 1 N 1 = N 1 ; Fat 3 = µ 3 N 3 = N 3 Fat 2 = µ 2 N 2 = 0 ; 4 3 Desta forma: Desta forma: 35 1 3 1 35 1 3 1 N1 + N1 − F = 0 ⇒ N1 + N1 = F ⇒ N1 = F N1 − N1 − F = 0 ⇒ N1 − N1 = F ⇒ N1 = 2 F 54 4 4 4 54 4 4 4 3 35 3 3 3 3 5 3 3 N3 = N2 ⇒ N3 = N1 ⇒ N 3 = N1 ⇒ N 3 = F N3 = N2 ⇒ N3 = N1 ⇒ N3 = N1 ⇒ N3 = F 5 54 4 4 5 54 4 2 4 1 45 13 3 4 1 4 5 1 3 5 N 2 − N3 − Q = 0 ⇒ F− F =Q⇒ F =Q 2F + 2F = Q ⇒ F = Q N 2 + N3 − Q = 0 ⇒ 5 3 54 34 4 5 3 54 34 2 4 2 Portanto: F = Q Portanto: F = Q 3 5 2 4 O intervalo de F compatível com o equilíbrio é: Q ≤ F ≤ Q (0,5 ponto para a resposta final) 5 3 (0,5 ponto se identificar as duas condições de equilíbrio) Departamento de Engenharia Mecânica - Av. Prof. Mello Moraes, 2231 - São Paulo - SP - 05508-900 Brasil
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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica ωA r A D C
r B
r j
.
O
r i R
Para maior clareza, foi omitido da figura o mecanismo que mantêm os discos em contato com a circunferência fixa.
(3,5 pontos) 2 – Os discos de centros A e B têm o mesmo raio r e rolam sem escorregar, externa e internamente à circunferência fixa no solo, de centro O e raio R. O movimento dos discos e da barra AB se dá no plano rr do sistema móvel O i j , indicado na figura. É dado o vetor de rotação do r r r r r disco de centro A: ω A = ω A k ( ω A constante, k = i ∧ j ). a) Localize o centro instantâneo de rotação (CIR) do disco de centro A e o CIR do disco de centro B. Localize graficamente a posição do CIR da barra AB (justifique). r r b) Determine a velocidade v A do ponto A, o vetor de rotação Ω da barra r r AB, a velocidade v B do ponto B e o vetor de rotação ω B do disco de centro B. r c) Calcule a aceleração a A do ponto A. r d) Calcule a aceleração a D do ponto D do disco (de centro A) que está em contato com a circunferência fixa. rr r Obs.: use a base i j k para expressar as grandezas cinemáticas.
Item b) Item a) r r O disco A rola sem escorregar, portanto, o ponto de vr = v j = ω r j (0,25 ponto) A A A contato D tem velocidade nula e é o CIR desse disco. r r r ωAr vA = vA j = ω A r j (0,25 ponto) r r ⇒ Ω (R + r ) = ω A r ⇒ Ω = r O disco B rola sem escorregar, portanto, o ponto de v A = v A j = Ω (R + r ) j (R + r ) contato C tem velocidade nula e é o CIR desse disco. r ωAr r k (0,5 ponto) (0,25 ponto) Ω= (R + r ) Determinando graficamente o CIR da barra AB: r r r vB = vB − i = Ω(R − r ) − i r ω A r r ⇒ ω B r = Ω(R − r ) r vA vB = v B − i = ω B r − i r ω A r (R − r ) r Ω (R − r ) r k =− k⇒ ωB = − A (R + r ) r r r ω (R − r ) r k (0,5 ponto) ωB = − A D ( R + r) CIR CIR C r ω r (R − r ) r vB = − A i (0,25 ponto) r (R + r ) B r j i Item c) O ponto A descreve um movimento circular uniforme: O r vB r r CIR r ω 2 r2 a A = −Ω 2 (R + r )i = − A 2 (R + r )i ⇒ (R + r ) r ω A2 r 2 r aA = − i (0,5 ponto) (R + r ) Item d) r r r r r aD = a A + ω& A ∧ (D − A) + ω A ∧ [ω A ∧ (D − A)] r r r r Justificativas: r ω A2 r 2 r r a i + 0 ∧ − r i + ωA k ∧ ωA k ∧ − r i = − D A velocidade de A é perpendicular a AD. (R + r ) A velocidade de B é perpendicular a BC. 2 r r ω 2 r2 r ω 2 r2 r 2 r aD = − A i + ω A r i ⇒ aD = ω A r − A i Portanto o CIR da barra AB é o ponto O. (R + r ) (R + r ) (0,5 ponto) r ω 2 Rr r i (0,5 ponto) ⇒ aD = A (R + r )
( ) ( )
( ) ( )
.
.
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(3,5 pontos) 3 – O quadro está preso em um eixo vertical e seu r r vetor de rotação é ω = ω k , e seu vetor aceleração angular é r r ω& = ω& k , ambos conhecidos. Um cursor percorre o quadro com velocidade relativa v, conhecida e de módulo constante. Use o sistema Oxyz, fixo no quadro, para expressar as grandezas cinemáticas. Adote o piso como referencial fixo e o quadro como referencial móvel. a) Considerando o instante em que o cursor está na posição I, determine a velocidade relativa, a velocidade de arrastamento e a velocidade absoluta do centro P do cursor. b) Considerando o instante em que o cursor está na posição I, determine a aceleração relativa, a aceleração de arrastamento, a aceleração de Coriolis (complementar) e a aceleração absoluta do centro P do cursor. c) Considerando o instante em que o cursor está na posição II, determine a velocidade relativa, a velocidade de arrastamento e a velocidade absoluta do centro P do cursor. d) Considerando o instante em que o cursor está na posição II, determine a aceleração relativa, a aceleração de arrastamento, a aceleração de Coriolis (complementar) e a aceleração absoluta do centro P do cursor.
Cursor na posição II
v P
Quadro H
L
x O
v
Cursor na posição I
P
y
ω, ω&
Piso
Solução: Item a)
Item c)
r r v P ,rel = v k (0,25 ponto) r r r r r r v P ,arr = v O + ω ∧ (P − O ) = 0 + ω k ∧ L − i ⇒ r r v P ,arr = −ω L j (0,25 ponto) r r r v P , abs = v P , rel + v P ,arr ⇒ r r r v P ,abs = v k − ω L j (0,25 ponto)
r r v P ,rel = v i (0,25 ponto) r r r r r r v P ,arr = v O + ω ∧ (P − O ) = 0 + ω k ∧ H k ⇒ r r v P ,arr = 0 (0,25 ponto) r r r v P ,abs = v P ,rel + v P ,arr ⇒ r r v P ,abs = v i (0,25 ponto)
Item b)
Item d)
r r a P ,rel = 0 , pois v é constante (0,25 ponto) r r r r r a P ,arr = a O + ω& ∧ (P − O ) + ω ∧ [ω ∧ (P − O )] = r r r r r r = 0 + ω& k ∧ L − i + ω k ∧ ω k ∧ L − i ⇒ r r r a P , arr = ω 2 L i − ω& L j (0,25 ponto) r r r r r a P ,Cor = 2ω ∧ v P ,rel = 2ω k ∧ v k ⇒ r r a P ,Cor = 0 (0,25 ponto) r r r r r r r r a P , abs = a P ,rel + a P ,arr + a P ,Cor = 0 − ω& L j + ω 2 L i + 0 ⇒ r r r a P , abs = ω 2 L i − ω& L j (0,25 ponto)
r r a P ,rel = 0 (0,25 ponto) r r r r r a P ,arr = a O + ω& ∧ (P − O ) + ω ∧ [ω ∧ (P − O )] = r r r r r r = 0 + ω& k ∧ H k + ω k ∧ ω k ∧ H k ⇒ r r a P , arr = 0 (0,25 ponto) r r r r r a P ,Cor = 2ω ∧ v P ,rel = 2ω k ∧ v i ⇒ r r a P ,Cor = 2ω v j (0,25 ponto) r r r r r r r a P , abs = a P ,rel + a P ,arr + a P ,Cor = 0 + 0 + 2ω v j ⇒ r r a P , abs = 2ω v j (0,25 ponto)
( )
( )
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PME2100
Gabarito da 2a Prova
Departamento de Engenharia Mecˆ anica - PME
1
29/10/2004 Escola Polit´ecnica da USP
Quest˜ ao (3,0 pontos)
Uma for¸ca F ´e aplicada na pe¸ca em forma de U. Esta pe¸ca pode deslizar ao longo da guia. No ponto de contato em A o coeficiente de atrito ´e nulo, e no ponto de contato em B o coeficiente de atrito ´e µ. a) Desenhe o diagrama de corpo livre da pe¸ca em forma de U. b) Em fun¸ca˜o de a, F e µ, determine o intervalo dos valores de b compat´ıvel com o equil´ıbrio. A
µΑ = 0
B
µΒ = µ
Peça em forma de U
b
a
Guia
F
Figura 1: Pe¸ca em forma de U
1.1
Solu¸c˜ ao NA A
b
Peça em forma de U
µΑ = 0
TB NB
B
µΒ = µ a F
Figura 2: Diagrama de Corpo Livre (1,0) Equa¸c˜oes do equil´ıbrio da pe¸ca em forma de U: (1,0) vertical: horizontal: momento com polo B:
TB = F NA = NB NA · b = F · a
⇒
N A = NB =
a F b
Atrito sem escorregamento: TB ≤ µ N B
(0,5)
⇒
F ≤µ
a F b
⇒
b≤µa
(0,5)
2
Quest˜ ao (3,5 pontos)
j
i
ω1
C R2
L θ
R1
B
Figura 3: Sistema composto de uma barra AB e dois discos Os discos de raios R1 e R2 rolam sem escorregar e o disco de raio R2 est´a sempre em ´ conhecida a velocidade angular ω1 (constante) do disco de raio contato com a parede. E R1 . Em fun¸c˜ao de ω1 , θ, L, R1 e R2 , calcule: a) A velocidade ~vB do ponto B. b) A velocidade angular ωBC da barra BC e a velocidade ~vC do ponto C. c) A velocidade angular ω2 e a acelera¸c˜ao angular ω˙ 2 do disco de raio R2 . d) As acelera¸co˜es ~aC do ponto C e ~aCIR do CIR do disco de raio R2 .
2.1
Solu¸c˜ ao ω2 ωBC ω1
C
O=CIRBC
vC
vC C
L θ
vB B
vB
A=CIRB
Figura 4: Movimento dos trˆes s´olidos a) Disco B
~vB = ~vA + ω ~ 1 ∧ (B − A) |{z}
|{z}
~0
−ω1 ~k
|
{z
R1 ~j
}
⇒
~vB = ω1 R1 ~i
(0,5)
D=CIRC
b) Barra AB ~vC = ~vB + ω ~ BC ∧ (C − B)
(
⇒
0 = ω1 R1 − ωBC L sin θ vC = ωBC L cos θ
vC =
³
vC~j = ω1 R1~i + ωBC~k ∧ L cos θ~i + sin θ~j
⇒
ωBC =
ω1 R1 cos θ sin θ
ω1 R1 L sin θ
´
(0,5)
(0, 5)
c) Disco C
~vC = ~vD + ω ~ 2 ∧ (C − D) |{z}
|{z}
~0
−ω2 ~k
|
{z
}
⇒
ω2 =
−R2~i
ω˙ 2 =
ω1 R1 cos θ R2 sin θ
(0,5)
dω2 −ω1 R1 θ˙ = dt R2 sin2 θ
como
θ˙ = ωBC
⇒
ω˙ 2 =
−ω12 R12 R2 L sin3 θ
(0,5)
d) Disco C
~aC =
d~vC −ω12 R12 ~ = j dt L sin3 θ
(0,5)
e ~aD = ~aC + ω ~˙ 2 ∧ (D − C) + ω ~ 2 ∧ [~ω2 ∧ (D − C)] "
#
−ω12 R12 ~ ω12 R12 ~ ~ ω1 R1 cos θ ~k ∧ ω1 R1 cos θ ~k ∧ R2~i ~aD = j + 3 3 k ∧ R2 i + R2 sin θ R2 sin θ L sin θ R2 L sin θ
~aD = −
ω12 R12 cos2 θ~ i R2 sin2 θ
(0,5)
3
Quest˜ ao (3,5 pontos)
A placa ABCD pode girar em torno do eixo Ox, e sua velocidade angular em rela¸ca˜o ao garfo ´e ω2 (constante). O garfo (referencial m´ovel) gira em torno do eixo Oz com velocidade angular ω1 (constante) em rela¸ca˜o ao solo (referencial fixo). No instante em que a placa ABCD est´a na vertical, conforme mostra a figura, determine, em fun¸c˜ao de ω1 , ω2 , a e b, e na base (~i, ~j, ~k) que orienta o sistema de coordenadas Oxyz (solid´aria ao garfo): a) As velocidades relativa ~vA,rel , de arrastamento ~vA,arr e absoluta ~vA,abs do ponto A. b) As acelera¸co˜es relativa ~aA,rel , de Coriolis ~aA,cor e absoluta ~aA,abs do ponto A. c) O vetor velocidade angular absoluta ω ~ abs da placa ABCD, e seu vetor acelera¸ca˜o ˙ angular absoluta ω ~ abs .
z b
D
b Placa ABCD
A
a k
ω2 i
x
O
a
y j
C B
Garfo (referencial móvel)
ω1
Solo (referencial fixo) Figura 5: Composi¸c˜ao de movimentos de rota¸ca˜o
3.1
Solu¸c˜ ao
a) Item (a):
³
´
~vA,rel = ~v0,rel + ω ~ 2 ∧ (A − O) = ~0 + ω2~i ∧ b~i + a~k = −ω2 a~j
⇒
~vA,rel = −ω2 a~j
(0,4)
³
´
~vA,arr = ~v0,arr + ω ~ 1 ∧ (A − O) = ~0 + ω1~k ∧ b~i + a~k = ω1 b~j
~vA,abs = ~vA,rel + ~vA,arr = −ω2 a~j + ω1 b~j
⇒
⇒
~vA,arr = ω1 b~j
~vA,abs = (ω1 b − ω2 a) ~j
(0,4)
(0,3)
b) Item (b): ³
~aA,rel = ~a0,rel + ω ~˙ 2
´ rel
³
∧ (A − O) + ω ~ 2 ∧ [~ω2 ∧ (A − 0)] ´
h
³
= ~0 + ~0 ∧ b~i + a~k + ω2~i ∧ ω2~i ∧ b~i + a~k h
~aA,rel = ω2~i ∧ −ω2 a~j = −ω22 a~k
´i
i
~aA,rel = −ω22 a~k
⇒
(0,4)
~aA,arr = ~a0,arr + ω ~˙ 1 ∧ (A − O) + ω ~ 1 ∧ [~ω1 ∧ (A − 0)] ³ ´ h ³ ´i = ~0 + ~0 ∧ b~i + a~k + ω1~k ∧ ω1~k ∧ b~i + a~k h
~aA,arr = ω1~k ∧ −ω1 b~j = −ω12 b~i
i
⇒
~aA,arr = −ω12 b~i ³
~aA,cor = 2~ω1 ∧ ~vA,rel = 2ω1~k ∧ −ω2 a~j = 2ω1 ω2 a~i
⇒
(0,4)
´
~aA,cor = 2ω1 ω2 a~i
(0,4)
~aA,abs = ~aA,rel + ~aA,arr + ~aA,cor = −ω22 a~k − ω12 b~i + 2ω1 ω2 a~i ³
´
~aA,abs = 2ω1 ω2 a − ω12 b ~i − ω22 a~k
(0,4)
c) Item (c):
ω ~ abs = ω ~ rel + ω ~ arr = ω2~i + ω1~k
³
ω ~˙ abs = ω ~˙ rel
´ rel
⇒
ω ~ abs = ω2~i + ω1~k
+ω ~˙ arr +~ωarr ∧~ωrel = ~0+~0+ω1~k∧ω2~i = ω2 ω1~j
⇒
(0,4)
ω ~˙ abs = ω2 ω1~j
(0,4)
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Avenida Professor Luciano Gualberto, travessa 3 nº380 CEP05508-900 São Paulo SP Telefone: (011) 211.2998 818.5221/5223 Fax (011) 211.4308 818.5714
Departamento de Engenharia Mecânica PME 2100 – MECÂNICA A – Segunda Prova – 18 de outubro de 2005 Duração: 100 minutos. Não é permitido o uso de calculadoras. Questão 1 (3,5 pontos) O aro de raio 3R e espessura desprezível gira sem escorregar em relação ao solo. Os discos de raio R giram sem escorregar em relação ao aro. A barra AB está articulada aos centros dos discos de raio R, r r conforme mostra a figura. O vetor de rotação do aro é ω = ω k . Sabendo que a barra AB tem movimento de translação pura, pede-se, no instante mostrado na figura: (a) Determinar a posição do CIR (centro instantâneo de rotação) do r aro e o vetor velocidade v E do ponto E do aro (ponto de contato entre o aro e o disco de centro B). (b) Determinar graficamente o CIR do disco de centro A e o CIR do disco de centro B. r (c) O vetor de rotação ω B do disco de centro B.
ω 3R D
R
R C
A
E
B
r j
r i
H
r
(d) A velocidade de translação v AB da barra AB.
Questão 2 (3,0 pontos) V
R
2R
cabo D
Ω E A C
4R B
correia
r j
r i
A figura mostra um sistema de 3 polias, de centros fixos A, B e C e um carretel de centro D. A polia de centro C, raio 4R e velocidade angular Ω , movimenta a correia sem que haja escorregamento. No núcleo de raio R, do carretel de raio externo 2R e centro D, está enrolado um cabo que é puxado para a esquerda a uma velocidade constante V. Admitindo que não haja escorregamento no contato entre o carretel e a correia, pede-se: (a) A velocidade U de progressão da correia. (b) Indicar graficamente o CIR do carretel. (c) Para quais valores de V o cabo desenrola do núcleo do carretel? Justifique.
Questão 3 (3,5 pontos) O disco de centro O e raio r gira em torno do eixo BO com velocidade angular constante ω1 = θ& . O conjunto, por sua vez, gira em torno do eixo horizontal
AC, com velocidade angular constante ω 2 = φ& . Considere o eixo OB como o O referencial móvel, ao qual é solidário o sistema cartesiano Oxyz. Na posição da figura, dada pelos ângulos (φ , θ ) e expressando os resultados na base θ
r r r ( i , j , k ) que orienta o referencial, pede-se: r r (a) O vetor de rotação Ω a do eixo BO e o vetor de rotação Ω D do disco. r (b) A velocidade v do ponto P, indicando suas componentes de r r arrastamento, v a e relativa v r . x r (c) A aceleração a do ponto P, indicando suas componentes de arrastamento, r r r a a , relativa a r e complementar a c . r&
(d) O vetor aceleração angular absoluta Ω D do disco de centro O.
ω1
z r
P
φ L
A
ω
2
C B y
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Departamento de Engenharia Mecânica
GABARITO Questão 1 (3,5 pontos) O aro de raio 3R e espessura desprezível gira sem escorregar em relação ao solo. Os discos de raio R giram sem escorregar em relação ao aro. A barra AB está articulada aos centros dos discos de raio R, r r conforme mostra a figura. O vetor de rotação do aro é ω = ω k . Sabendo que a barra AB tem movimento de translação pura, pede-se, no instante mostrado na figura: (a) Determinar a posição do CIR (centro instantâneo de rotação) do r aro e o vetor velocidade v E do ponto E do aro (ponto de contato entre o aro e o disco de centro B). (b) Determinar graficamente o CIR do disco de centro A e o CIR do disco de centro B. r (c) O vetor de rotação ω B do disco de centro B.
ω 3R D
R
R C
A
E
B
r j r i
H
r
(d) A velocidade de translação v AB da barra AB.
Solução a) Como não há escorregamento no contato entre o aro e o plano, o CIR do aro é o ponto H (ponto de contato). r r r r r r vE = v{ E −H ) → vE = 3ω R( −i + j ) ; H + ω {r ∧ (1 424 3 r r r =0
=ωk
(1,0)
3 R( i + j )
b)As velocidades dos pontos D e E são ortogonais às retas DH e EH, respectivamente, como indicado na figura. Como a barra ABC tem movimento de translação pura, todos os seus pontos têm velocidades na direção horizontal. Portanto, o CIR do disco de centro A está na interseção da reta vertical por A com a reta DH, e o CIR do disco de centro B está na interseção da reta vertical por B com a reta EH, conforme mostrado na figura.
ω
vE 3R D
R
vD
R
A
C
r i
CIRA H
3Ri
r r r r r r r vB = vE + ω B2 −4 E ) → vB = 3ω R (− i + j ) − ω B Rj . B ∧ (1 { 4 3 r r − Ri
B
r j
(1,0) r r r r r c) vB = vC = ω C −H ) → vB = − 3ω Ri {r ∧(1 424 3 r ωk ωB k
E
r
Igualando as duas expressões acima, chega-se a ω B = 3ω ⇒ ωrB = 3ω k . r d) Como todos os pontos da barra têm a mesma velocidade, vr AB = −3ω Ri .
(1,0) (0,5)
CIRB
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Questão 2 (3,0 pontos)
R V
2R
cabo D
Ω E A C
4R B
correia
r j
r i
A figura mostra um sistema de 3 polias, de centros fixos A, B e C e um carretel de centro D. A polia de centro C, raio 4R e velocidade angular Ω , movimenta a correia sem que haja escorregamento. No núcleo de raio R, do carretel de raio externo 2R e centro D, está enrolado um cabo que é puxado para a esquerda a uma velocidade constante V. Admitindo que não haja escorregamento no contato entre o carretel e a correia, pede-se: (a) A velocidade U de progressão da correia. (b) Indicar graficamente o CIR do carretel. (c) Para quais valores de V o cabo desenrola do núcleo do carretel? Justifique.
Solução a) Todos os pontos da correia têm a mesma velocidade escalar U = 4Ω R . b) (1,0) CIR V
(1,0)
F
U E
c) Para que o fio desenrole é necessário que o carretel gire no sentido anti-horário, isto é, deve ter r r vetor de rotação ω = ω k , com ω > 0 . Esta condição se verifica mesmo que o fio seja puxado para a direita, desde que com uma velocidade escalar inferior a U. De fato, sendo F o ponto em r r r 4ΩR − V que o fio se destaca do carretel, vale a relação, V{ + ωk ∧ ( F − E ) , resultando ω = . F = V E {r 1 424 3 r 3R r Vi 4 ΩR i 3Rj
Portanto, o fio desenrola do carretel se V < 4ΩR .
(1,0)
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Departamento de Engenharia Mecânica Questão 3 (3,5 pontos) O disco de centro O e raio r gira em torno do eixo BO com velocidade angular constante ω1 = θ& . O conjunto, por sua vez, gira em torno do eixo horizontal
AC, com velocidade angular constante ω 2 = φ& . Considere o eixo OB como o O referencial móvel, ao qual é solidário o sistema cartesiano Oxyz. Na posição da figura, dada pelos ângulos (φ , θ ) e expressando os resultados na base θ
r r r ( i , j , k ) que orienta o referencial, pede-se: r r (a) O vetor de rotação Ω a do eixo BO e o vetor de rotação Ω D do disco. r (b) A velocidade v do ponto P, indicando suas componentes de r r arrastamento, v a e relativa v r . x r (c) A aceleração a do ponto P, indicando suas componentes de arrastamento, r r r a a , relativa a r e complementar a c .
ω1
z r
P
φ L
A
ω2 C B y
r&
(d) O vetor aceleração angular absoluta Ω D do disco de centro O.
Solução r r r r r a) Ω a = φ& j ; (0,2) Ω D = φ& j + θ&k . (0,3) r r r r r r r & & b) vrP ,r = v{ O ,r + θ k ∧ ( P − O);( P − O ) = r (cos θ i + sin θ j ) → vP ,r = θ r(cosθ j − sin θ i ).
(0,5)
r =0
r r r r r r r r r r vP ,a = vO + φ& j ∧ ( P − O ); vO = v{B + φ& j ∧ (O − B) = φ& Li ⇒ vP, a = φ&( Li − r cosθ k ); 1 42r4 3 r =0 = Lk r r r r r r r vP = vP,r + vP ,a → vP = (φ& L − θ& r sin θ ) i + θ& r cos θ j − φ&r cos θ k . r r r r r r r & &2 & c) aP ,r = a{ (0,5) O ,r + θ k ∧ θ k ∧ ( P − O ) → a P , r = −θ r (cos θ i + sin θ j ); r
(0,5)
=0
r r r r r r r a P ,a = { aB + φ& j ∧ φ& j ∧ ( P − B) ; ( P − B ) = ( P − O ) + ( O − B ) ⇒ aP ,a = −φ& 2 (r cos θ i + Lk ); 1 424 3 r r =0 = Lk r r r r r & &r sin θ k ; aP ,C = 2φ& j ∧ vP, r → aP,C = 2φθ (0,5) r r r r & &r sinθ − φ&2 L)k . ∴ aP = − (θ& 2 + φ& 2 ) r cosθ i − θ& 2 r sin θ j + (2φθ r r r r r & &i . d) Ω& D = φ& &j + θ& k& → Ω& D = φθ (0,5)
(0,5)
