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Aula 3: Derivada e Integral
.
Margarete Oliveira Domingues PGMET/INPE
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Integral
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Conceito de Integral definida
, o eixo
e a vertical que passa pelos pontos
e
curva
Pode ser motivado pelo conceito da área limitada por uma
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Conceito de Integral definida
Pode ser motivado pelo conceito de soma limite
sub–intervalos por
são escolhidos pontos
, considerando , pode-se escrever o somatório
e
em que
em
subdivide–se médias de pontos
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Conceito de Integral definida
esse somatório é
.
é o integrando e
é o limite de integração
em
integral definida da função
Qdo tal que denotado por
Este somatório representa a área de todos os retângulos plotados
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é continua ou contínua por
Esse limite existe se partes em .
Integral definida
Se possuir valores positivos e negativos, essa integral representa a soma algébrica dessas áreas áreas positivas as áreas em que áreas negativas as áreas em que .
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e
integrável em
em que
são duas funções integráveis em
em que
e
Se
Propriedades
então
é uma constante. é
.
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em que
Se e constantes, então
e
Se
Propriedade (cont.)
e são
, então
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em
existe um
tal
não muda em tal
Se
Se e são continuas em e de sinal nesse intervalo, então existe um que
é contínua em
Se que
Teoremas de valor médio para integrais
tem–se o caso anterior.
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é integral indefinidade
tal que
.
expressa a integral indefinida.
, então,
EX: se
O símbolo
tb. é, pois
qq
Dada uma função
Integrais indefinidas
é uma integral indefinida ou anti–derivada.
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Teorema fundamental do cálculo integral
então,
é tal que
é contínua em
Se
Possibilita o uso de soluções de integrais indefinidas, qdo conhecidas, para calcular integrais definidas.
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funções contínuas
e
Métodos de integração
e
funções contínuas
Integração por partes
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em que , que sempre podem ser integradas em termos dessas funções elementares. Ex:
Métodos de integração
Frações parciais: Polinômios racionais
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Métodos de integração
Funções racionais de e podem ser sempre integradas em termos de funções elementares pela substituição .
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Integral imprópria
Se o intervalo de integração não é finito ou se não está definido ou é ilimitado em um ou mais pontos de , a integral de é dita imprópria. EX:
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Métodos numéricos
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em
.
é denotado
, em que
.
Notação:
Em geral, as aproximações melhoram a medida que aumenta.
partes iguais de tamanho
São baseados na subdivisão de um intervalo
Integrais definidas
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Regra do Retângulo
Geometricamente isto significa a área de todos os retângu-
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los plotados
Geometricamente isto significa aproximar
Regra do Trapézio
por segmen-
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tos de reta.
aproximando
em um número ímpar de
divide–se o intervalo intervalos iguais
Regra de Simpson
por uma forma quadrática
utilizando três pontos sucessivos correspondentes a
geometricamente, neste caso faz–se uma curva por um conjunto de aproximações de arcos parabólicos.
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Fim da Aula 3
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