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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ
CENTRO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS
CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA
Disciplina: Física geral e experimental II
Prática laboratorial I: centro de massa de um sistema de partículas
Professora: Dr. Fernando R. Espinoza Quiñones
Acadêmicos: Alex Crestani Freitas
Francielle Maria Hoffmann
Henan José Michelim
Maria Angélica Lima Cherubim
Nathalia Passaia
TOLEDO - PR
Março - 2012
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ
CENTRO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS
CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA
Disciplina: Física geral e experimental II
Prática laboratorial I: centro de massa de um sistema de partículas
Relatório referente à disciplina de Laboratório de Engenharia Química I do Curso de Engenharia Química da UNIOESTE Orientado pelo profo Dr. Fernando R. Espinoza Quiñones Realizado pelos alunos: Alex Crestani Freitas, Francielle Maria Hoffmann, Henan Jose Michelim, Maria Angélica Cherubim, Nathalia Passaia.
TOLEDO-PR
Março - 2012
Resumo
O centro de massa é um ponto representativo onde se concentra toda a massa do corpo, ou do sistema, e que nele estejam aplicadas todas as forças externas, lembrando também que, de forma grosseira, é o ponto de aplicação do peso do corpo. Em um campo gravitacional uniforme, o centro de massa coincide com o centro de gravidade do corpo. Em estruturas homogêneas, o centro de massa coincide com seu centro geométrico. Materiais ocos também possuem centro de massa, não sendo de se admirar que geralmente é localizado em um ponto no espaço externo à eles, já que, como explicado anteriormente, o centro de massa é um ponto representativo.
Nesta prática, para determinação do centro de massa de um sistema de partículas, fez-se uma comparação de um método teórico (cálculo do centro de massa a partir das massas e posições das partículas analisadas) com um método experimental (analisar na balança três pesos de diferentes massas e também o disco de acrílico, fixá-los em diferentes posições no disco de acrílico, traçando 3 ou 4 linhas que coincidam em um ponto, considerado como centro de massa).
Realizando este experimento, cujo objetivo era encontrar o centro de massa utilizando métodos experimentais e teóricos, verificou-se a eficiência do método experimental através da comparação dos dois métodos, e concluiu-se como satisfatório, já que os resultados experimentais obtidos foram semelhantes aos do método baseado em cálculos teóricos, sempre levando em consideração os quatro tipos de erro que influenciaram o experimento (instrumental, linha do prumo, paralaxe e do próprio marcador). Caso não houvesse conformidade nos resultados experimentais com os teóricos, haveria a necessidade de analisar os possíveis motivos que causaram tal divergência.
Índice
Resumo 2
Índice 3
Introdução 4
Materiais utilizados 7
Método Experimental 8
Figura 1 – Representação do disco de acrílico 8
Figura 2 – Representação do disco de acrílico com a linha do prumo. 8
Resultados e discussões 10
Tabela 1 – Massa do disco de acrílico e dos discos de bronze. 10
Tabela 2 – Vetor posição para cada configuração. 10
Tabela 3 – Centros de massa experimentais e teóricos do sistema de partículas. 11
Conclusão 12
Referencias bibliográficas 13
Apêndice 14
Introdução
O centro de massa é um ponto imaginário que concentra a massa total do corpo, não necessariamente localizado no interior do objeto. O cálculo do centro de gravidade é muito importante na engenharia, basta pensar que se for necessário segurar um corpo por um único ponto, esse ponto será o centro de massa do corpo, sendo útil também para prever o comportamento de um objeto em movimento.
Muitos objetos possuem um ponto, eixo ou plano de simetria. Neste caso, o centro de massa coincidirá com este ponto, eixo ou plano, como é o caso de um objeto simétrico composto de material homogêneo. No caso de materiais heterogêneos, composto de materiais com diferentes massas, o centro de massa, provavelmente, estará localizado à uma certa distância do centro geométrico, lembrando que o centro de gravidade estará mais próximo de onde se concentra a maior massa do objeto analisado. Se o material for oco, o centro de gravidade geralmente ocorrerá em algum ponto externo do material.
Considerando-se um sistema discreto formado por n partículas, cujas respectivas massas são dadas por m1, m2, m3, ..., mn e cujas posições no espaço são denotadas por r1, r2, r3, ... rn, estando em três dimensões, são necessárias três coordenadas para localizar o centro de massa. Estas coordenadas são dadas por:
XCM= 1Msisi=1nmi.xi
(Equação 1)
YCM= 1Msisi=1nmi.yi
(Equação 2)
ZCM= 1Msisi=1nmi.zi
(Equação 3)
Podendo também ser escrito como:
RCM= XCM+YCM+ZCM
As equações (1), (2) e (3) podem ser substituídas por uma única equação vetorial:
RCM= 1Msisi=1nmi.ri
(Equação 4)
Derivando-se a equação 4 encontramos a velocidade do centro de massa:
vCM= 1Msisi=1nmi.vi
(Equação 5)
Para um sistema contínuo, o centro de massa pode ser calculado, como mostram as equações 5, 6 e 7:
RCM= 1Msisr.λ.dl (Equação 6)
RCM= 1Msisr.σ.ds (Equação 7)
RCM= 1Msisr.ρ.dv (Equação 8)
Onde, λ é um parâmetro inercial de comprimento;
σ é um parâmetro inercial de superfície;
ρ é um parâmetro inercial de volume.
Também há formas de se calcular o centro de massa experimentalmente, como o que foi feito na prática, analisa-se na balança três pesos de diferentes massas e também o disco de acrílico, feito isto, fixam-se as três massas em diferentes posições no disco de acrílico, traçando 3 ou 4 linhas que coincidam em um ponto, considerado como centro de massa.
Materiais utilizados
Para a experiência foram utilizados os seguintes materiais:
Uma base quadrada, com parafusos niveladores e amortecedores de uma haste cilíndrica;
Um disco de acrílico de 30 cm de diâmetro, com 6 furos internos e outros menores externos;
Papel milimetrado colado na superfície do disco de acrílico;
Um pino para engate do disco à parte superior do conjunto de torções;
2 discos de bronze de diâmetro de 40 mm;
2 discos de bronze de diâmetro de 30 mm;
2 discos de bronze de diâmetro de 20 mm;
3 parafusos para fixação;
Um prumo de chumbo, caneta e régua de 30 cm de comprimento.
Método Experimental
Pesou-se as massas dos 3 discos de bronze com seus respectivos suportes, bem como a massa do disco de acrílico. Anotou-se os valores. Prendeu-se, através dos parafusos de fixação, os discos de bronze na superfície do disco de acrílico, de modo a ter uma distribuição não uniforme dos discos, conforme a figura 1:
Figura 1 – Representação do disco de acrílico
Anotou-se a posição de cada disco de bronze.Fixou-se em outro furo de menor diâmetro o disco de acrílico num sistema com a ajuda de um pino na parte superior de um conjunto. Neste conjunto, fixou-se também a corda do prumo, evitando-se encostar a corda nos parafusos de fixação. Marcou-se com caneta sobre a superfície de acrílico a linha demarcada pelo prumo, conforme a figura 2:
Figura 2 – Representação do disco de acrílico com a linha do prumo.
Para a mesma distribuição de massa, pendurou-se o disco de acrílico em outro furo de suporte na periferia do disco de acrílico, marcou-se novamente a direção do prumo com a caneta, observando-se o ponto de cruzamento das linhas do prumo. Realizou-se este procedimento em quatro pontos de suporte do disco de acrílico sempre observando a marcação da linha do prumo. No ponto de encontro das linhas demarcadas com a caneta definiu-se o centro de massa.
Feito isto, realizou-se uma nova distribuição de massa e repetiu-se todo o procedimento descrito anteriormente. Por último, fez-se o cálculo, através do método teórico, do centro de massa do mesmo sistema a partir dos dados coletados, realizou-se uma comparação com os centros de massa determinados experimentalmente com os teóricos.
Resultados e discussões
Após a pesagem dos discos de acrílico e de bronze (disco + parafuso), foram obtidas as seguintes massas, os valores das massas estão apresentados na tabela 01 :
Tabela 1 – Massa do disco de acrílico e dos discos de bronze.
Disco de Acrílico
Disco de Bronze 1 (m1)
Disco de Bronze 2 (m2)
Disco de Bronze 3 (m3)
Massa (g)
308
40
56
114
Quanto às posições de cada disco de bronze em relação ao papel milimetrado fixado no disco de acrílico, os resultados estão apresentados pela tabela 2 abaixo.Considerou-se o erro de ± 0,05 cm, proveniente do papel milimetrado.
Tabela 2 – Vetor posição para cada configuração.
Configuração 1 (cm)
Configuração 2 (cm)
Configuração 3 (cm)
Configuração 4 (cm)
r1
(5,4 î + 9,6 j )
(5,5 î – 9,5 j)
(-5,6 î -9,6 j)
(11 î + 0,1 j)
r2
(11 î + 0,1 j)
(5,4 î + 9,6 j)
(11 î + 0,1 j)
(5,4 î + 9,6 j)
r3
(5,5 î – 9,5 j)
(11 î + 0,1 j)
(3,5 î + 0,4 j)
(11,1 î + 0 j)
Onde:
r1 corresponde à posição do disco de massa m1;
r2 corresponde à posição do disco de massa m2;
r3 corresponde à posição do disco de massa m3;
Através do método experimental, obtiveram-se as posições dos RCM nas 4 diferentes configurações, considerando:
Erro da caneta: 0,05 cm;
Erro da balança: a balança tinha uma precisão de 1g;
Erro do papel milimetrado: consideramos as linhas do papel milimetrado com um erro de 0,05cm;
Erro humano: paralaxe, que é a diferença aparente na localização de um corpo quando observado por diferentes ângulos.
Utilizando-se as equações 1 e 2, foram calculadas as posições dos RCM teóricos, com seus desvios calculados a partir das equações A17 e A18 apresentadas no anexo. Os resultados experimentais e teóricos estão descritos na tabela 3:
Tabela 3 – Centros de massa experimentais e teóricos do sistema de partículas.
Centro de massa (cm)
Experimental
Teórico
Configuração
XCM ± XCM
YCM ± YCM
XCM ± XCM
YCM ± YCM
1
2,90 ± 0,10
-1,20 ± 0,10
2,82 ± 0,03
-1,33 ± 0,03
2
3,50 ± 0,10
0,40 ± 0,10
3,43 ± 0,03
0,33 ± 0,03
3
1,6 ± 0,10
-0,60 ± 0,10
1,53 ± 0,03
-0,64 ± 0,03
4
-1,00 ± 0,10
1,20 ± 0,10
-1,00 ± 0,04
1,05 ± 0,03
Ao comparar os resultados experimentais em relação aos teóricos, observa-se que há conformidade entre eles, uma vez que as posições dos centros de massa teóricos com relação aos experimentais permaneceram dentro do erro esperado. Vale lembrar que as pequenas diferenças entre os resultados possivelmente devem-se aos erros já citados.
Comprovou-se também pela prática, que o centro de massa tende a se localizar mais próximo á maior concentração de massa no sistema, disco de acrílico.
Para concluir qual o melhor meio de determinação do centro de massa, não houve necessidade de se utilizar o Teste Tukey, pois usa-se este teste quando existe mais de duas comparações, o que não condiz com este experimento.
Observa-se também, que pelo método teórico do cálculo do centro de massa, tem-se menor fontes de erros, logo maior confiabilidade.
Conclusão
Os dados obtidos para as massas e disposições dos discos, juntamente com as equações 1 e 2, possibilitaram a determinação dos centros de massa experimentais, os quais foram coerentes com os teóricos. O que mostra que a metodologia utilizada é bastante eficiente para a visualização prática do centro de massa, e também que o centro de massa teórico é mais confiável, pois para o cálculo deste existem menos erros.
Referencias bibliográficas
Dicionário Aurélio Eletrônico – Século XXI, versão 3.0
HALLIDAY, D. RESNICK, R. WALKER, J. Fundamentos de física.Vol. I, 4ªed.
Quiñoes, Fernando R. Espinoza – Centro de Massa de um Sistema de Partículas. Prática 1 – 2012
Tabacniks, Manfredo H. – Conceitos Básicos da Teoria de Erros
Apêndice
A partir das derivadas parciais em relação às massas e às posições para os eixos x e y, foi calculado o desvio médio total em relação a x e a y, conforme mostrado a seguir:
σ xCM= n=14 RCM xi2.σxi 2+n=14 RCM mi2.σmi2
(Equação A1)
σ xCM= n=14miM2.σxi 2+n=14xiM2.σmi2
(Equação A2)
σ yCM= n=14 RCM yi2.σyi 2+n=14 RCM mi2.σmi2
(Equação A3)
σ yCM= n=14miM2.σxi 2+n=14yiM2.σmi2
(Equação A4)
