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Aula 16 - Problemas de revis˜ao ´ MODULO 1 - AULA 16
Aula 16 - Problemas de revis˜ ao Metas da aula Fixar os conceitos aprendidos nas aulas anteriores atrav´es de aplica¸c˜oes.
Objetivos No final desta aula, vocˆe deve ser capaz de: • Calcular as fun¸c˜oes de parti¸c˜ao e granparti¸c˜ao de diversos sistemas • Calcular m´edias t´ermicas e relacion´a-las com grandezas termodinˆamicas. • Entender os comportamentos de temperatura alta e baixa de diversos sistemas.
Pr´ e-requisitos Aulas anteriores. Atividade 1 Um s´olido ´e formado por part´ıculas com momento magn´etico m0 e spin 3/2. Isso significa que, na presen¸ca de um campo magn´etico B a energia de uma part´ıcula pode ser escrita como = −m0Bσ, com σ podendo ter os valores ±3/2, ±1/2. (a) Calcule a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao para N part´ıculas. (b) Usando argumentos termodinˆamicos e estat´ısticos, esboce os gr´aficos de 1. energia em fun¸c˜ao da temperatura, 2. momento magn´etico m´edio em fun¸c˜ao do campo, para dois valores diferentes de temperatura, 3. calor espec´ıfico em fun¸c˜ao da temperatura e 4. entropia em fun¸c˜ao da energia. Em cada ´ıtem explique detalhadamente como obteve os comportamentos assint´oticos. Resposta comentada (a) A energia do sistema completo, com N part´ıculas, pode ser escrita como E=
N X i=1
i = −m0 B
N X
σi .
i=1
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O enunciado diz que as part´ıculas fazem parte de um s´olido, ent˜ao n˜ao precisamos considerar a corre¸c˜ao de Gibbs j´a que as part´ıculas n˜ao podem trocar de lugar, sendo distingu´ıveis pela posi¸c˜ao. Temos ent˜ao ! XX X X ZN = ... exp βm0B σi σ1
=
σ2
XX σ1
=
σN
...
σ2
" X
XY σN
(16.1)
i
exp (βm0Bσi)
i
#N
exp (βm0Bσ1]
σ1
N βm0B3 βm0B1 βm0B1 βm0B3 = exp − + exp − + exp + exp 2 2 2 2 N βm0B 3βm0 B = 2 cosh + 2 cosh 2 2 (b) Para todos os ´ıtens as seguintes id´eias s˜ao importantes: • O n´ umero de n´ıveis de energia ´e finito. • S˜ao 4 n´ıveis, em ordem crescente de energia: −3m0B/2, −m0B/2, m0B/2, e 3m0B/2. • Em termos da energia total do sistema, 3 valores s˜ao importantes: E = −3Nm0 B/2 quando todos os ´atomos tiverem seus momentos magn´eticos alinhados com o campo, com m´axima proje¸c˜ao, correspondendo a S = 0; E = 0 quando todos os n´ıveis estiverem igualmente populados, cada um com N/4 part´ıculas. Esta ´e a configura¸c˜ao de maior entropia; E = 3Nm0 B/2 quando todos os ´atomos tiverem seus momentos magn´eticos alinhados ao contr´ario do campo, com m´axima proje¸c˜ao, que tamb´em corresponde a S = 0. • A energia ´e limitada, ou seja, tem um valor m´aximo (= 0) quando T → ∞. Isso significa que dE/dT → 0 quando T → ∞. •
∂S ∂E
=
•
∂E ∂T
= CX > 0.
1 T
> 0.
• Da terceira lei:
∂S ∂T
= 0 e S = 0 em T = 0.
1. energia em fun¸c˜ ao da temperatura: O que minimiza a energia ´e estar alinhado com o campo, com o maior σ. Assim, em T = 0, CEDERJ
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quando n˜ao h´a influˆencia de entropia, todos os ´atomos tem σ = 3/2, e E = −3NBm0/2. Temos tamb´em que a derivada nesse ponto deve ser nula, porque dE/dT ´e a capacidade t´ermica, que ´e nula em T = 0, (veja o ´ıtem (d)). Quando T → ∞, a entropia predomina na determina¸c˜ao do estado de equil´ıbrio. Assim como na distribui¸c˜ao binomial, aqui a configura¸c˜ao de maior multiplicidade ´e aquela em que os n´ıveis est˜ao igualmente populados, dando E = 0. 2. momento magn´ etico m´ edio em fun¸c˜ ao do campo, para dois valores diferentes de temperatura: O sinal de B indica em que sentido est´a sendo aplicado, para uma dada dire¸c˜ao. De qualquer forma, quando |B| → ∞ todas as part´ıculas devem estar alinhadas com o campo. Quanto mais baixa for a temperatura, menor o valor de campo capaz de saturar a magnetiza¸c˜ao, isso leva a que ∂M/∂B quando B = 0 deve ser maior para a menor temperatura. 3. calor espec´ıfico em fun¸c˜ ao da temperatura: ´e a curva da derivada da curva (b). Deve ser nulo em T = 0 (terceira lei), e deve → 0 para temperaturas altas, j´a que a energia ´e limitada, logo tem que passar por um m´aximo (anomalia Schottky). 4. entropia em fun¸c˜ ao da energia: basta associar S com os valores de energia do ´ıtem (b). Atividade 2 As teorias que descrevem a radia¸c˜ao de fundo do universo como radia¸c˜ao t´ermica reminicente do big bang, pressup˜oem que a expans˜ao do universo se deu de forma isentr´opica e neste caso, o n´ umero de f´otons em cada freq¨ uˆencia teria se mantido constante, enquanto que a freq¨ uˆencia de cada modo teria se alterado pelo aumento do volume (explique!). Queremos mostrar que a entropia do g´as de f´otons pode ser escrita apenas em fun¸ca˜o das ocupa¸c˜oes m´edias hηi de cada modo. Para isto, mostre que ∂Z (a) S = ln Z + κT Z ∂T (b) Z = hη + 1i. (c) hη+1i = exp ~w hηi κT (d) S/κ = hη + 1i lnhη + 1i − hηi lnhηi Resposta comentada Seguindo o mesmo procedimentopara a obten¸c˜ao da rela¸c˜ao (??), encontramos ∂F S=− ∂T V 187
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Como F = −κT ln Z, temos S = κT ln Z + κT
1 ∂Z Z ∂T
onde Z = [1 − exp (β~ω)]−1 . Usamos a distribui¸c˜ao de Planck para escrever Z em termos de hηi. Sabmeos que 1 . hηi = exp (β~ω) − 1 Podemos ent˜ao escrever hη + 1i = hηi + 1 = Z tamb´em,
ou
Assim, podemos escrever
hη + 1i = exp (β~ω) hηi ~ω hη + 1i = ln κT hηi
∂Z 1 = hη + 1ihηi ln ∂T T Finalmente,
hη + 1i hηi
S = hη + 1i lnhη + 1i − hηi lnhηi κ
Atividade 3 Mostre que o potencial qu´ımico do g´as ideal cl´assico, sem graus de liberdade internos, ´e dado por N µ(V, T, N) = κT ln , V φq onde φq ´e a concentra¸c˜ao quˆantica, T a temperatura e V o volume. Resposta comentada O potencial qu´ımico pode ser calculado de v´arias maneiras. pela energia livre de Helmholtz: F = −κT ln ZN , e ZN = (Z1 )N /N!. A aproxima¸c˜ao de Stirling (ln N! ≈ N ln N − N) pode ser usada, e finalmente a ∂F defini¸c˜ao µ = ∂N . pelo limite cl´assico das ocupa¸c˜oes quˆanticas: As ocupa¸c˜oes s˜ao dadas por f() =
1 exp
−µ κT
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No limite cl´assico n˜ao importa se as part´ıculas s˜ao b´osons ou f´ermions, ou µ− seja, exp −µ 1, e f() = exp . O n´ umero total de part´ıculas pode κT κT ser calculado somando f() para todos os orbitais: µ X µ X i − µ i N= exp − = exp exp − = exp Z1 . κT κT κT κT i i Usando a express˜ao de Z1 dada, e invertendo encontra-se a express˜ao para µ. Atividade 4 Suponha um g´as de f´otons a uma temperatura T , em equil´ıbrio t´ermico com uma cavidade d-dimensional de volume V = Ld . Se omitimos a energia contante do ponto zero, podemos escrever a energia de um f´oton de freq¨ uˆencia ω como = ~ω. (a) Calcule o n´ umero m´edio de f´otons com freq¨ uˆencia ω na cavidade. (b) As freq¨ uˆencias poss´ıveis dentro da cavidade podem ser escritas como p nπc ωn = L , onde n2 = n21 + n22 + . . . + n2d . Mostre que a energia total da cavidade ´e E = AV (κT )d+1, onde A ´e uma constante. (c) Mostre o que o n´ umero total de f´otons ´e d
N = A0V (κT ) , onde A0 ´e uma constante. (d) Calcule a entropia do g´as. Resposta comentada (a) s f´otons de freq¨ uˆencia ω tem energia s~ω, assim ∞ X 1 s~ω Z= exp − = ~ω τ 1 − exp − τ s=0 O n´ umero m´edio de f´otons com uma dada ´e freq¨ uˆencia P∞ s~ω dln Z s=0 s exp − τ hsi = =− , Z dy onde y = ~ω/τ . Assim, hsi = R∞
1 exp
~ω τ
−1
(b) E = 2 0 ~ωn hsn ig(n)dn, onde g(n)dn ´e o n´ umero de microestados de freq¨ uˆencia entre n e n + dn. O fator 2 leva em considera¸c˜ao as duas polariza¸c˜oes poss´ıveis. Num espa¸co d-dimensional, o n´ umero de microestados ´e CEDERJ
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dado pelo volume da casca esf´erica de raio n e espessura dn, dividido por 2d , porque n deve ser sempre positivo. Ou seja, g(n)dn = 2−d Cd nd−1 dn, onde Cd ´e uma constante que depende da dimens˜ao (ex: C1 = 1, C2 = 2π, C3 = 4π). Assim, Z ∞ ~nπc 1 1−d nd−1 dn, E = 2 Cd ~ω L − 1 exp 0 τ ou
1−d
E=2
Cd τ
d+1
τL ~πc
d Z
∞
0
xd dx ex − 1
−d
1−d
ou seja, E = AV τ , onde A = 2 (~πc) Cd I, e I ´e o valor da integral em x. (c) O n´ umero total de f´otons pode ser obtido somando-se as ocupa¸c˜oes de todos os microestados, Z ∞
N=
hsn ig(n)dn
0
Seguindo o mesmo procedimento acima temos N = A0V τ d , onde A0 = R ∞ d−1 21−d Cd I 0(~πc)−d , sendo I 0 = 0 exx −1 dx. (d) Para um processo a V constante, dU = T dS, assim, dS = AV κd−1 T d−2 , logo S(T ) = AV
κd−1 d−1 T , d−1
onde usamos que S = 0 quando T = 0. Atividade 5 Um cilindro de raio R roda em torno de seu eixo com velocidade angular ω e cont´em um g´as ideal cl´assico de ´atomos de massa M, `a temperatura T . Calcule a concentra¸c˜ao de equil´ıbrio do g´as. Resposta comentada No referencial rodando com o g´as atua sobre cada mol´ecula a uma distˆancia r do centro uma for¸ca centr´ıfuga mω 2 r. A energia potencial associada a essa for¸ca ´e U = −mω 2r2 /2. Assim, numa distˆancia r do centro o potencial qu´ımico total ´e φ mω 2 r2 µt = κT ln − . φq 2 No equil´ıbrio devemos ter µt (0) = µt (r), levando a mω 2r2 φ(r) = φ(0) exp 2κT 191
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Atividade 6 Um g´as de b´osons com massa m e spin 1 est´a confinado a uma ´area A = L2 , `a temperatura T . (a) Mostre que o potencial qu´ımico do g´as ´e dado por 2φπ~2 µ = κT ln 1 − exp − , 3mκT onde φ ´e a concentra¸c˜ao. (b) Explique em que condi¸c˜oes de temperatura e concentra¸c˜ao esse g´as apresenta condensa¸c˜ao. Resposta comentada (a) A densidade de orbitais em d = 2 ´e D() = (2s + 1)
mA 3mA = 2 2 2~ π 2~ π
Note que ao contr´ario do caso tridimensional, D(0) 6= 0. O n´ umero total de part´ıculas no sistema pode ser calculado somando a ocupa¸c˜ao de todos os orbitais: Z ∞ N = f(ε)D(ε)dε 0 Z dε 3mA ∞ = ε−µ 2 2~ π 0 exp κT − 1 Z µ−ε 3mA ∞ exp κT dε = 2~2 π 0 1 − exp µ−ε κT ∞ 3mAκT µ − ε = ln 1 − exp 2~2 π κT 0 h i 3mAκT µ = − ln 1 − exp 2~2 π κT
Resolvendo para µ, e definindo a concentra¸c˜ao bidimensional φ ≡ N/A obtemos a resposta desejada. (b) Para que ocorra condensa¸c˜ao devemos ter µ = 0. Pela express˜ao dada, vemos que isso s´o ´e poss´ıvel se φ → ∞ para T 6= 0, ou se T = 0 com concetra¸c˜ao finita. Atividade 7 p A energia de uma part´ıcula relativ´ıstica ´e dada por ε = c m2 + p2 , onde m ´e a massa da part´ıcula, p seu momento linear e c a velocidade da luz. No regime relativ´ıstico extremo podemos desprezar a contribui¸c˜ao da massa de repouso, escrevendo ε ≈ pc. Considere um g´as de N el´etrons nesse regime, contido num volume V = L3 , de forma a que o momento linear assuma os CEDERJ
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valores quantizados p =
nπ~ , L
onde n2 = n2x + n2y + n2z .
Calcule (a) a energia de Fermi, εF do g´as, (b) e a energia interna, E, do g´as em T = 0. (c) Mostre que em T = 0 a press˜ao do g´as ´e p=
1E . 3V
Resposta comentada (a) A energia de Fermi ´e a energia do u ´ltimo orbital ocupado quando T = 0. Para calcul´a-la, impomos que todos os el´etrons devem ocupar os orbitais de mais baixa energia, ou seja Z ∞ Z εF N= f(ε)D(ε)dε = D(ε)dε, 0
0
j´a que em T = 0 f(ε) = 1 para ε < εF e f(ε) = 0 para ε > εF . O n´ umero de orbitais entre n e n + dn ´e 1 2 × 4πn2 dn. 8 Para obter a densidade de orbitais usamos que ε = π~cn , e dε = L isso, 3 L ε2dε. D(ε)dε = π π~c
π~c dn. L
Com
Finalmente,
V N= 2 ε3 → εF = 3π (~c)3 F
3N Vπ
1/3
~πc
(b) A energia interna em T = 0 pode ser calculada atrav´es da express˜ao: Z εF V 3N E=2 εD(ε)dε = 2 ε4F = εF 3 4π (~c) 4 0 ∂F (c) Sabemos que P = − ∂V . Como F = E − T S, em T = 0 E = F , TN assim, ∂E 3N ∂εF NεF 1E P =− = = = ∂V T N 4 ∂V 4V 3V
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