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Aula 10 - Aplica¸c˜ao: Radia¸c˜ao T´ermica
´ MODULO 1 - AULA 10
Aula 10 - Aplica¸ c˜ ao: Radia¸ c˜ ao T´ ermica Meta Descrever o espectro de radia¸c˜ao t´ermica.
Objetivos Ao final desta aula vocˆe dever´a ser capaz de: 1. calcular a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao para N osciladores quˆanticos em equil´ıbrio t´ermico em qualquer dimens˜ao; 2. relacionar o espectro de emiss˜ao de radia¸c˜ao t´ermica com a temperatura de um corpo;
Pr´ e-requisitos Esta aula requer que vocˆe esteja familiarizado com o espectro de energia do oscilador quˆantico, sistema estudado na Aula 18 de Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica Quˆantica e com as propriedades das ondas eletromagn´eticas no v´acuo, assunto das Aulas 2, 3 e 4 de F´ısica 4A.
Introdu¸ c˜ ao Todo corpo que esteja a uma temperatura diferente de zero emite radia¸c˜ao eletromagn´etica em diversas frequˆencias. A intensidade da radi¸c˜ao emitida depende muito da frequˆencia que est´a sendo examinada e da temperatura do corpo e ´e praticamente independente de qualquer outro detalhe do sistema. Foi exatamente a tentativa de explicar esse comportamento que levou Planck a formular, em 1900, a hip´otese de que os n´ıveis de energia dispon´ıveis para a radi¸c˜ao seriam discretos e n˜ao cont´ınuos, como se acreditava na ´epoca. Essa hip´otese, feita sem qualquer justificativa f´ısica, e classificada como “ato de desepero´´ por Planck, permitiu n˜ao s´o a obten¸c˜ao de curvas te´oricas em completo acordo com as experimentais, como ´e considerada o marco inicial da Mecˆanica Quˆantica. Em seguida Einstein aplicou a mesma id´eia para explicar com sucesso as principais caracter´ısticas das curvas de calor espec´ıfico dos s´olidos. Nesta aula vamos ver aspectos gerais dos sistema de osciladores, e a aplica¸c˜ao ao espectro da radia¸c˜ao t´ermica. 123
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Sistemas de Osciladores Suponha que tenhamos um conjunto de N part´ıculas quˆanticas sujeitas a um potencial do tipo harmˆonico, em equil´ıbrio t´ermico com um reservat´orio na temperatura T . Se as part´ıculas s˜ao independentes, podemos obter o comportamento do sistema completo a partir da fun¸c˜ao de parti¸c˜ao de um u ´nico oscilador, assim come¸camos por a´ı. A equa¸c˜ao de Schr¨odinger estacion´aria para um oscilador tridimensional ´e
1 1 1 2 ~2 2 2 2 − ∇ ψ(~r) + kx x + ky y + kz z ψ(~r) = εψ(~r) , 2m 2 2 2 Vamos considerar o caso em que as constantes el´asticas s˜ao todas iguais a k. Como visto na Aula 18 de Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica Quˆantica, os n´ıveis de energia devidos a esse potencial tem a forma 3 ε = n+ ~ω n = nx + ny + nz , nx , ny , nz = 0, 1, 2 . . . (10.1) 2
onde ω ´e a frequˆencia natural do oscilador. Se T = 0 o estado fundamental, com n = 0 ´e o estado de equil´ıbrio. Quando T > 0, a probabilidade de ocupa¸c˜ao de n´ıveis acima do fundamental ´e n˜ao nula, sendo dada pelo fator de Boltzmann. O macroestado de um u ´nico oscilador pode ser identificado pelo valor de n, e os microestados pelos valores de (nx , ny , nz ). A fun¸c˜ao de parti¸c˜ao para um oscilador tridimensional ´e ∞ ∞ ∞ 3~ω X X X exp [−β~ω (nx + ny + nz )] Z1 = exp −β 2 nx =0 ny =0 nz =0 3 X ∞ ~ω = exp (−β~ωnx ) exp −β 2 nx =0 {z } | ≡Zω
A soma dentro dos colchetes, Zω , ´e a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao de um oscilador unidimensional, a menos de um fator multiplicativo constante. Sua soma pode ser realizada facilmente pela s´erie geom´etrica (equa¸ca˜o ??). Identificamos a = exp (−β~ω) < 1, e usamos que ∞ X n=0
para obter Zω =
∞ X
nx =0
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an =
1 , 1−a
exp (−β~ωnx) =
a<1
1 . 1 − exp (−β~ω)
(10.2)
(10.3)
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Usaremos este resultado para descrever as propriedades da radia¸c˜ao t´ermica.
Radia¸ c˜ ao t´ ermica Muitas vezes o termo radia¸c˜ao de corpo negro ´e usado para designar a radia¸c˜ao t´ermica. Um corpo negro ´e um objeto cuja superf´ıcie absorve completamente a radia¸c˜ao incidente sobre ela, sem que qualquer parte seja refletida. Se o corpo est´a em equil´ıbrio t´ermico com o meio externo, a radia¸c˜ao absorvida ´e re-emitida com um espectro que depende apenas da temperatura. O termo negro refere-se apenas `a radia¸c˜ao na faixa da luz vis´ıvel, mas a defini¸c˜ao abrange todo o espectro eletromagn´etico j´a que um objeto que absorve toda a radia¸c˜ao incidente sobre ele ser´a negro. Na pr´atica, o comportamento de corpo negro ´e observado apenas em regi˜oes espec´ıficas de frequˆencia, por exemplo, se pintamos de negro a superf´ıcie de um corpo, ela absorver´a praticamente toda a radia¸c˜ao com comprimento de onda na regi˜ao do vis´ıvel, mas pode refletir raios-X, por exemplo. A melhor aproxima¸c˜ao para um corpo negro ´e um pequeno orif´ıcio na parede de uma cavidade, como indicado na figura 10.1. Quando o equil´ıbrio t´ermico for atingido, as paredes da cavidade emitir˜ao radia¸c˜ao que ser´a constantemente absorvida e re-emitida. A radia¸c˜ao incidente sobre o orif´ıcio, vinda de fora da cavidade, ´e completamente absorvida pelo orif´ıcio, portanto ele ´e um corpo negro. Por outro lado, uma pequena fra¸c˜ao da radia¸c˜ao dentro da cavidade, sai pelo orif´ıcio depois de in´ umeras absor¸c˜oes e re-emiss˜oes e pode ser examinada. Como o orif´ıcio ´e um corpo negro, a radia¸ca˜o que sai dele ´e radia¸c˜ao de corpo negro. Como essa radia¸c˜ao ´e uma amostra da que est´a contida na cavidade, conclu´ımos que a radia¸c˜ao dentro da cavidade tem as propriedade de radia¸c˜ao de corpo negro. Vamos descrever a radia¸c˜ao dentro da cavidade como um conjunto de f´otons, com todas as frequˆencias poss´ıveis. O n´ umero de f´otons com cada frequˆencia determina quanta energia h´a em cada uma. Como veremos a seguir, numa cavidade macrosc´opica, os valores poss´ıveis de frequˆencia formam um espectro cont´ınuo, assim, devemos considerar intervalos de frequˆencia dω, e n˜ao seus valores individuais. Podemos medir a energia proveniente da radia¸c˜ao em cada intervalo, constru´ımos um histograma cujo nome ´e espectro de frequˆencias. Escrevendo a energia por unidade de volume, no intervalo ω → ω + dω, como e(ω)dω, definimos a densidade espectral e(ω). No caso da radia¸c˜ao t´ermica a curva de e(ω) em fun¸c˜ao de ω tem o aspecto indicado na figura 10.2. 125
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T
Figura 10.1: Idealiza¸c˜ao de um corpo negro. Uma cavidade cont´em radia¸c˜ao em equil´ıbrio t´ermico com suas paredes. Se fazemos um pequeno orif´ıcio, a radia¸c˜ao incidente sobre ele ´e capturada e fica presa na cavidade, sendo absorvida e re-emitida. Eventualmente uma fra¸c˜ao da radia¸c˜ao interna escapa pelo orif´ıcio.
Figura 10.2: T´ıpica curva de densidade espectral para a radia¸c˜ao t´ermica de um corpo. A frequˆencia relativa ao pico da curva, assim com a ´area sob ela dependem da temperatura, ambas aumentando com o aumento da temperatura.
A meta de Planck, e de outros cientistas da ´epoca, era obter uma express˜ao para e(ω, T ) que concordasse com os dados experimentais. Modelos cl´assicos s´o eram capazes de descrever as regi˜oes extremas de baixa e alta frequˆencias. N˜ao vamos entrar em maiores detalhes de como o estudo deste sistema evoluiu, j´a vamos apresent´a-lo na sua formula¸ca˜o mais moderna. CEDERJ
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Vamos considerar a radia¸c˜ao dentro de uma cavidade c´ ubica, de volume V = L3. Primeiro vamos separar uma dada frequˆencia ω. A intensidade dela depende de quantos f´otons existem com essa frequˆencia, assim, vamos calcular o n´ umero m´edio de f´otons com determinada frequˆencia, numa dada temperatura T . A energia de η f´otons ´e = η~ω, assim, a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao ´e a pr´opria Zω . O valor m´edio de η numa dada temperatura ´e, por defini¸c˜ao, ∞ 1 X hηi = η exp (−βη~ω) . Zω η=0
(10.4)
Definindo α ≡ β~ω, fica f´acil notar que hηi = −
dln Zω . dα
(10.5)
Usando a express˜ao (10.3), obtemos a distribui¸c˜ao de Planck hη(ω)i =
1 . exp (β~ω) − 1
(10.6)
Com este resultado podemos imediatamente calcular a energia m´edia dos f´otons com frequˆencia ω, que ´e dada por hi = hηi~ω. Agora vamos ver quais frequˆencias podem existir na cavidade. O comprimento de onda da radia¸c˜ao de frequˆencia ω ´e λ = 2πc/ω, sendo c a velocidade da luz no v´acuo. Por simplicidade supomos uma cavidade c´ ubica 3 com volume V = L . Uma cavidade macrosc´opica implica em L λ, para todos os comprimentos de onda presentes. Isso implica que podemos desprezar efeitos ocorrendo pr´oximo `as paredes, e descrever a radia¸c˜ao interna `a cavidade como simples ondas planas. Como visto na Aula 3 de F´ısica 4A, as ondas eletromagn´eticas planas podem ser representadas matematica~ ou magn´etico (B), ~ j´a que estes apresentam mente pelos campos el´etrico (E) ~ = (~k × E)/c, ~ entre si a rela¸c˜ao B onde ~k ´e o vetor de onda, com m´odulo k = 2π/λ na dire¸c˜ao de propaga¸c˜ao da onda. Escolhemos representar a onda ~ pelo campo el´etrico, dado por E~ = E~0 ei(k · ~r+ωt) . J´a que o tipo de parede ´e irrelevante no limite termodinˆamico, escolhemos um material condutor para a cavidade, e supomos que esta esteja alinhada com os eixos xyz. Nesse caso, a componente do campo el´etrico paralelo a cada parede deve se anular, j´a que qualquer campo ao longo de um condutor movimenta cargas el´etricas at´e que estas criem um campo que exatamente cancele o externo. Assim, podemos 127
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escrever o campo el´etrico das ondas estacion´arias na cavidade como n πx n πy n πz x y z Ex = Ex0 sen (ωt) cos sen sen L L n πx n πy n Lπz x y z Ey = Ey0 sen (ωt) sen cos sen nLπy n Lπz n Lπx x y z Ez = Ez0 sen (ωt) sen sen cos , (10.7) L L L
onde nx , ny , nz s˜ao n´ umeros inteiros positivos, n˜ao nulos. Neste caso defini2 2 2 mos n ≡ nx + ny + n2z , e escrevemos as frequˆencias como ωn =
nπc L
(10.8)
Finalmente, lembramos que a cada frequˆencia est˜ao sempre associadas duas polariza¸c˜oes. Agora podemos calcular a energia total da radia¸c˜ao na cavidade somando as contribui¸c˜oes de todas as frequˆencias. Temos E=
X n
gn hn i =
X n
gn hηi~ωn =
X
gn
n
~ωn , exp (β~ωn ) − 1
(10.9)
onde gn ´e a multiplicidade relativa aos valores de n. Assim como no g´as ideal, valores macrosc´opicos de L levam a valores consecutivos de frequˆencia extremamente pr´oximos, permitindo que aproximemos a soma em (10.9) por uma integral. A multiplidade pode ser calculada pelo m´etodo de constru¸c˜ao da casca de raio n e espessura dn, como feito na Aula 8. Temos 1 gn → 2 × 4πn2 dn . 8
(10.10)
O fator 2 leva em conta as duas polariza¸c˜oes e o 1/8 considera apenas os valores positivos de nx , ny e nz . Fazendo a aproxima¸c˜ao para o cont´ınuo, e definindo a vari´avel adimensional q ≡ β~nπ/L, podemos escrever a energia como Z ∞ L3 q3 4 E= 2 (κT ) dq q . (10.11) π (~c)3 e −1 0 A defini¸c˜ao da vari´avel q fez com que a integral se tornasse adimensional, uma constante multiplicativa finita. O valor dessa integral pode ser encontrado em qualquer tabela, ele ´e π 4/15. Finalmente, escrevemos E κ4 π 2 4 = T V 15~3 c3
(10.12)
Agora a express˜ao para e(ω) pode ser facilmente obtida, basta que a integral em (10.11) seja escrita em termos das frequˆencias, ou seja Z Z E ~ ω3 = dω e(ω) = 2 3 dω , (10.13) V π c exp(β~ω) − 1 CEDERJ
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permitindo identificar e(ω) =
~ ω3 . π 2c3 exp(β~ω) − 1
(10.14)
Densidade de fluxo de radia¸c˜ ao: Lei de Stefan-Boltzmann Observa-se experimentalmente que a energia total irradiada por um corpo negro aumenta n˜ao linearmente com a temperatura. Vamos usar o modelo de Planck para calcular a quantidade: energia por unidade de tempo, por unidade de ´area, que emitida pela superf´ıcie do corpo negro. Para esse c´alculo, usamos a id´eia da cavidade. Vamos considerar energia da radia¸c˜ao que sai do orif´ıcio da cavidade, na dire¸c˜ao definida pelos ˆangulos θ e φ, durante o intervalo de tempo dt, cruzando a ´area dA (veja a figura 10.3). Essa quantidade corresponde `a energia dos f´otons propagandose na dire¸c˜ao (θ, φ), dentro do cilindro inclinado, com base de ´area dA e comprimento c dt. A radia¸c˜ao na cavidade ´e isotr´opica. Isso significa que as dire¸c˜oes de propaga¸c˜ao s˜ao uniformemente distribu´ıdas. Qualquer volume dentro da cavidade ter´a uma fra¸c˜ao dΩ/4π de f´otons propagando com dire¸c˜ao dentro do ˆangulo s´olido dΩ = dφ sen θdθ. O f´otons que chegar˜ao `a ´area dA durante o intervalo dt s˜ao aqueles que est˜ao no cilindro. A energia deles pode ser encontrada multiplicando-se a densidade de energia pelo volume do cilindro. Finalmente, somamos sobre todas as dire¸c˜oes, lembrando que queremos apenas valores de θ definindo radia¸c˜ao que sai da cavidade. Assim, temos Z 2π Z π/2 1 E cE JE = dφ (dA c dt cos θ ) sen θdθ = = σB T 4 , dAdt 0 V 4V 0 (10.15) sendo σB a constante de Stefan-Boltzmann definida como σB =
π 2κ4 = 5, 670 × 10−8 . 3 2 60~ c
(10.16)
A express˜ao (10.15) ´e denominada lei de Stefan-Boltzmann.
Emiss˜ ao e absor¸c˜ ao: Lei de Kirchhoff A capacidade de uma superf´ıcie emitir radia¸c˜ao ´e proporcional `a capacidade dela absorver radia¸c˜ao. Este ´e o enunciado da lei de Kirchhoff (1959). Definindo como a a absorvˆancia, ou fluxo de radia¸c˜ao absorvida, e e a emitˆancia, ou fluxo de radia¸c˜ao emitida, observamos que 129
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z
dA y
cd t
q
c dt cos q
f x
Figura 10.3: Radia¸c˜ao que deixa a cavidade na dire¸c˜ao (θ, φ) cruzando a ´area dA, num intervalo de tempo dt.
• Um corpo negro tem, por defini¸c˜ao, a = e. • Uma superf´ıcie perfeitamente refletora tem a = 0, logo tamb´em tem e = 0. • De uma forma geral e = αa, 0 ≤ α ≤ 1, e espera-se que α, a e e dependam da frequˆencia. Estimativa da temperatura da superf´ıcie de um corpo Podemos aproximar a maioria dos corpos n˜ao refletores, em equil´ıbrio t´ermico, por um corpo negro. Isso significa admitir que o espectro de emiss˜ao de radia¸c˜ao ter´a aproximadamente a forma (10.14). Assim, uma forma de estimar a temperatura de uma superf´ıcie emissora de radia¸c˜ao t´ermica, ´e medir a frequˆencia para a qual ocorre a m´axima emiss˜ao. Se calculamos o m´aximo de e(ω) a partir da express˜ao (10.14), obtemos que este deve ocorrer para 2, 82κT ωmax ≈ (10.17) ~ Atividade 1 (Objetivos ) Corpos `a temperatura ambiente emitem preferencialmente radia¸c˜ao de que tipo? Resposta comentada CEDERJ
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Podemos usar diretamente a equa¸c˜ao (10.17), com o valor T = 300 K. Temos:
ωmax = 2, 82
(1, 38 × 10−23 J/K)(300 K) = 1, 11 × 1014 rad/s 1, 05 × 10−34 Js
Dividindo por 2π temos uma frequˆencia ≈ 2 × 1013 Hz. Observando a figura 2.1 da Aula 2 de F´ısica 4A, identificamos essa radia¸c˜ao como infra-vermelho. Conclus˜ao: a luz vis´ıvel proveniente de corpos `a temperatura ambiente ´e essencialmente luz refletida, por isso n˜ao os podemos ver no escuro. Para tal s˜ao necess´arios detetores de infra-vermelho. Fim da Atividade
´ importante lembrar que al´em da radia¸c˜ao com a frequˆencia ωmax , um corpo E negro emite radia¸c˜ao em muitas outras frequˆencias. Por exemplo, um peda¸co de madeira incandescente numa fogueira tem uma temperatura tipicamente de 1500 K, o que corresponde a uma frequˆencia de ≈ 1014 Hz, ainda no infravermelho, mas sendo um valor bem pr´oximo da regi˜ao da luz vis´ıvel, h´a uma consider´avel emiss˜ao nessa regi˜ao, por isso o vemos em tons avermelhados. A correta medi¸c˜ao de temperatura de um corpo negro deve levar em conta a potˆencia irradiada em todas as frequˆencias, e descontar qualquer fluxo de energia incidente.
Atividade 2 (Objetivos ) O fluxo de energia radiante vinda do Sol, na superf´ıcie da Terra, medida numa superf´ıcie normal `a dire¸c˜ao de incidˆencia dos raios solares ´e JT = 0, 136 W/cm2. Estime a temperatura da superf´ıcie do Sol. Considere que a distˆancia entre a Terra e o Sol seja d = 1, 5 × 1011 m, e o raio do Sol RS = 7 × 108 m. Resposta comentada Primeiro calculamos a potˆencia de irradia¸c˜ao do Sol, na o´rbita da Terra, multiplicando JT pela ´area da esfera de raio d. 131
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RS
d
Temos P = 4πd2 JT . Assim, na superf´ıcie do Sol, 2 P d JS = = JT . 2 4πRS RS
Agora usamos a a lei de Stefan-Bolztmann para obter a temperatura: " 2#4 JT d 4 JS = σ B T → T = = 5761 K σB Rs fim da atividade Radia¸c˜ ao de fundo do universo
Em 1965 foi observado que o universo era repleto de radia¸c˜ao eltromagn´etica com espectro na forma (10.14). O ajuste dessa express˜ao aos dados experimentais revelou um espectro na regi˜ao de micro-ondas, consitente com uma temperatura de 2,8 K. A existˆencia dessa radia¸c˜ao ´e uma das principais evidˆencias que fundamenta a teoria do Big-Bang. Nessa teoria, o universo inicial era feito de f´otons, el´etrons e pr´otons, numa temperatura de cerca de 4000 K. Os f´otons constantemente interagiam com el´etrons e ` medida que o universo se expr´otons, atrav´es de diversos mecanismos. A pandiu adiabaticamente, sua temperatura caiu e a combina¸c˜ao de el´etrons e pr´otons na forma de ´atomso de hidrogˆenio tornou-se favor´avel por volta dos 3000 K. Nesse ponto a radia¸c˜ao eletromagn´etica se desacoplou da mat´eria, e os f´otons passaram a viajar livremente pelo universo, formando a radia¸c˜ao t´ermica de fundo. O universo continuou sua expans˜ao, o que provocou o resfriamento da radia¸c˜ao de fundo at´e o valor atual, de 2,8 K, e esse processo de resfriamento continua.
Resumo Nesta aula aprendemos como calcular a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao de osciladores quˆanticos em equil´ıbrio t´ermico. Aplicamos esse resultado `a radia¸c˜ao eletromagn´etica de uma cavidade em equil´ıbrio t´ermico, calculando o espectro de CEDERJ
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emiss˜ao de radia¸c˜ao. Observamos que a forma do espectro depende fortemente da temperatura, sendo pos ´ıvel calcular a temperatura de um objeto radiante pelo registro do comprimento de onda do pico de emiss˜ao de radia¸c˜ao.
Informa¸ c˜ oes sobre a pr´ oxima aula Na pr´oxima aula usaremos o resultado geral dos sistema de osciladores para explicar o comportamento do calor espec´ıfico de s´olidos.
Leitura complementar S. R. A. Salinas, Introdu¸c˜ao `a F´ısica Estat´ıstica, primeira edi¸c˜ao S˜ao Paulo, EDUSP, se¸c˜ao 10.2.
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