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Aula 7 - Aplica¸c˜ao: Paramagneto uniaxial a T constante
´ MODULO 1 - AULA 7
Aula 7 - Aplica¸ c˜ ao: Paramagneto uniaxial a T constante Meta Obter a equa¸c˜ao de estado de um sistema paramagn´etico uniaxial a partir de sua fun¸c˜ao de parti¸c˜ao.
Objetivos Ao final desta aula, vocˆe deve ser capaz de: 1. calcular a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao para o paramagneto uniaxial atrav´es da soma sobre micro ou macroestados; 2. encontrar as rela¸c˜oes termodinˆamicas para um paramagneto uniaxial a partir da fun¸c˜ao de parti¸c˜ao; 3. entender como o calor espec´ıfico est´a relacionado com o espectro e a ocupa¸c˜ao dos n´ıveis de energia do sistema.
Pr´ e-requisitos Reveja a estat´ıstica dos sistemas bin´ario estudada na Aula 2 e a origem experimental da equa¸c˜ao de estado do g´as ideal explicada na Aula 6 de F´ısica 2A.
Introdu¸ c˜ ao Neste momento ´e fundamental que vocˆe tenha estudado a fundo todas as aulas anteriores. Vamos ver uma s´erie de aplica¸c˜oes da estat´ıstica de Boltzmann a sistemas f´ısicos na forma de modelos sol´ uveis propostos por diversos pesquisadores ao longo do s´eculo XX. Nesta aula, especificamente, vamos obter a equa¸c˜ao de estado para o mesmo sistema estudado na Aula 5, considerando agora que o s´olido paramagn´etico esteja em equil´ıbrio com um reservat´orio `a temperatura T . Nosso ponto de partida ser´a calcular a fun¸c˜ao 91
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de parti¸c˜ao para o sistema, primeiro usando a soma sobre microestados e depois, sobre macroestados.
Soma sobre microestados A energia do sistema ´e dada por E = −B
N X
σi ,
(7.1)
i=1
onde B ´e o campo magn´etico externo e σi ´e uma vari´avel que pode ter valores +1 e −1 se o momento magn´etico da i-´esima part´ıcula est´a paralelo ou antiparalelo ao campo externo, respectivamente (ver figura 2.1). Um microestado qualquer das N part´ıculas ´e definido pelos valores de σ de cada uma. As part´ıculas n˜ao interagem entre si, isso significa que cada uma pode ter σ ± 1 independentemente levando a um total de 2N microestados. A soma sobre esses microestados ´e uma soma sobre os N valores de σ, na forma ! X X X X ZN = ... exp βB σi σ1 =±1 σ2 =±1
X X
=
σ1 =±1 σ2 =±1
" X
=
σN =±1
...
σN =±1
exp (βBσ1)
σ1
" X
=
σ
i
X Y #"
#N
exp (βBσ)
exp (βBσi)
i
X
#
exp (βBσ2) . . .
σ2
" X
exp (βBσN )
σN
= Z1N .
# (7.2)
ZN ´e a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao para as N part´ıculas e pode ser escrita em fun¸c˜ao de Z1 que ´e a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao para uma u ´nica part´ıcula. Esse tipo de fatora¸c˜ao simplifica enormemente o c´alculo da fun¸c˜ao de parti¸c˜ao. Seguindo em frente, temos Z1 =
X
exp (βBσ) = exp(+βB) + exp(−βB) = 2 cosh(βB) .
(7.3)
σ
Assim, ZN = [2 cosh(βB)]N
(7.4)
O momento magn´etico m´edio por part´ıcula pode ser calculado de v´arias maneiras. Come¸camos pelo c´alculo direto usando Z1 . Usando a defini¸c˜ao de CEDERJ
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m´edia t´ermica, equa¸c˜ao (6.25, temos: hσi =
1 X σ exp (βBσ) Z1 σ
1 [(+1) exp (βB) + (−1) exp (−βB)] Z1 2senh(βB) = = tgh(βB) . 2 cosh(βB) =
(7.5)
O momento magn´etico total m´edio ´e ent˜ao hMi ≡ Nhσi = Ntgh(βB), concordando com o c´alculo feito considerando o sistema com energia constante (equa¸c˜ao (5.9)). Aqui cabe uma explica¸c˜ao sobre o uso do s´ımbolo hi. As grandezas macrosc´opicas tais como magnetiza¸c˜ao, volume, press˜ao etc, s˜ao sempre m´edias, para manter uma nota¸c˜ao simplificada o s´ımbolo de m´edia n˜ao ´e usada no conext da Termodinˆamica. Na Aula 5, a partir da equa¸c˜ao (5.7), estamos lidando com Termodinˆamica. Aqui, estamos calculando a magnetiza¸c˜ao diretamente da fun¸c˜ao de parti¸c˜ao, ou seja, calculando sendo m´edia t´ermica. De fato, essa m´edia s´o pode ser identificada com o valor macrosc´opico depois de tomado o lomite termodinˆamico. Neste caso espec´ıfico esse limite n˜ao altera a express˜ao da magnetiza¸c˜ao. Observando a express˜ao (7.5) vemos que hσi pode ser calculado atrav´es da derivada de Z1 com rela¸c˜ao a B, ou seja ∂Z1 X 1 1 ∂Z1 1 ∂ln Z1 = βσ exp (βBσ) ⇒ hσi = = . ∂B β Z1 ∂B β ∂B σ
(7.6)
Podemos usar a express˜ao do momento magn´etico m´edio para calcular a energia m´edia, ou energia interna, j´a que hEi = −hMiB. Para entender melhor seu comportamento em fun¸c˜ao da temperatura, definimos o parˆametro θ = B/κ com unidades de temperatura, que passa a ser um padr˜ao de compara¸c˜ao para a temperatura do sistema. A figura 7.1 mostra o gr´afico da energia em fun¸c˜ao da temperatura. Em T = 0 o estado de equil´ıbrio corresponde a ter todos os momentos magn´eticos alinhados com o campo, esta ´e ` medida que a temperatura aumenta, alguns a situa¸c˜ao de menor energia. A momentos magn´eticos passam a ter uma probabilidade diferente de zero de estar antiparalelo ao campo. Quando a temperatura for muito alta (T θ) a energia tende a seu valor m´aximo, que ´e zero. Isso corresponde a metade dos momentos com alinhamento paralelo ao campo e metade antiparalelo. Essa tamb´em ´e a configura¸c˜ao de m´axima entropia. 93
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Figura 7.1: Energia para um paramagneto uniaxial, em fun¸ca˜o da temperatura. θ = B/κ ´e uma escala de temperatura natural para o sistema.
Soma sobre macroestados Nesta abordagem, escrevemos a energia como E = −B(N+ − N− ) = −B [N+ − (N − N+ )] ,
(7.7)
onde N+ (N− ) ´e o n´ umero de momentos magn´eticos com alinhamento paralelo(antiparalelo) ao campo externo. A multiplicidade do macroestado ´e g(N, N+ ) =
N! . N+ !(N − N+ )!
Temos ent˜ao ZN =
N X
N+ =0
=
N! exp [βBN+] exp [−βB(N − N+ )] N+ !(N − N+ )!
(7.8)
N X
N+
N! [exp (βB)]N+ [exp (−βB)](N −N+ ) N !(N − N )! + + =0
Para realizar a soma usamos a express˜ao do binˆomio N
(x + y) =
N X n=0
N! xn y N −n . n!(N − n)!
Identificando x = exp (+βB) e y = exp (−βB), temos ZN = [exp (+βB) + exp (−βB)]N CEDERJ
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(7.9)
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Conclus˜ ao A simplicidade do sistema formado por paramagnetos uniaxiais serviu para nos mostrar que a termodinˆamica de um determinado sistema pode ser derivada de v´arias maneiras. Na Aula 5 consideramos que o sistema tinha energia constante e agora, que a temperatura era constante. As rela¸c˜oes para energia, magnetiza¸c˜ao, ou qualquer outra grandeza macrosc´opica independem de como realizamos nossos c´alculos. A principal conclus˜ao que devemos tirar depois destes c´alculos ´e que as rela¸c˜oes termodinˆamicas n˜ao dependem de como tratamos o sistema, ou seja, se consideramos a energia ou a temperatura constantes. No primeiro caso fixamos o valor de energia deixando a temperatura livre. No segundo, fixamos a temperatura e deixamos a energia livre. O limite termodinˆamico faz com que as grandezas livres tenham distribui¸c˜oes muito bem definidas em torno do valor mais prov´avel, que ´e o observado macroscopicamente. Do ponto de vista anal´ıtico, muitas vezes ´e mais f´acil considerar que a temperatura foi mantida sob controle, por isso o m´etodo da distribui¸ca˜o de Boltzmann ´e usado com muita frequˆencia.
Atividade Final (Objetivos 2 e 3) (a) Mostre que o calor espec´ıfico para o sistema paramagn´etico uniaxial ´e dado por 2 −2 B B c=κ cosh (7.10) κT κT (b) Esboce o gr´afico do calor espec´ıfico em fun¸c˜ao da temperatura para os mesmos valores θ = B/κ usados na figura 7.1. Explique fisicamente o comportamento do calor esepc´ıfico para temperaturas T θ e T θ. Resposta comentada (a) O calor espec´ıfico mede a capacidade do sistema aumentar a sua energia (ou entropia) com o aumento de temperatura, o que pode ser feito atrav´es de diversos processos. A conven¸c˜ao ´e que, quando nada ´e dito, estamos nos referindo ao calor espec´ıfico definido como c=
∂S dEint =T dT ∂T
(7.11)
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A energia energia interna para o sistema pode ser escrita como Eint = −NhσiB, portanto temos que c=
1 ∂Eint ∂hσi = −B N ∂T ∂T
Usando a express˜ao para hσi j´a calculada, obtemos a express˜ao desejada. (b) A figura 7.2 mostra o comportamento do calor espec´ıfico para os valores de θ especificados. Examinando a figura 7.1 notamos que a energia tende a
Figura 7.2: (a) Calor espec´ıfico para um paramagneto uniaxial, em fun¸c˜ao da temperatura. θ = B/κ ´e uma escala de temperatura natural para o sistema.
um valor limite quando T → ∞, logo o calor espec´ıfico deve ir a zero quando T aumenta muito, j´a que ´e sua derivada. Esse comportamento ´e chamado e anomalia Schottky. O termo anomalia refere-se ao comportamento distinto do observado nos gases, sistemas para os quais a energia pode aumentar sem limites. Todos os sistemas com um n´ umero finito de n´ıveis de energia apresenta esse m´aximo na curva de calor espec´ıfico.
Resumo Nesta aula pudemos aplicar diretamente a distribui¸c˜ao de Boltzmann para encontrar o comportamento t´ermico macrosc´opico de um sistema paramagn´etico uniaxial. O c´alculo da fun¸c˜ao de parti¸c˜ao foi simples por que foi poss´ıvel calcular a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao para uma part´ıcula apenas. A partir dela calculamos as grandezas macrosc´opicas, tais como magnetiza¸c˜ao e energia por part´ıcula. CEDERJ
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Informa¸ c˜ oes sobre a pr´ oxima aula Na pr´oxima aula veremos mais uma aplica¸c˜ao. O sistema a ser estudado ´e o g´as ideal cl´assico.
Leitura complementar S. R. A. Salinas, Introdu¸c˜ao `a F´ısica Estat´ıstica, primeira edi¸c˜ao S˜ao Paulo, EDUSP, cap´ıtulo 5.
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