Transcript
Aula 3 - Descri¸c˜ao estat´ıstica de um sistema f´ısico: caso cont´ınuo
´ MODULO 1 - AULA 3
Aula 3 - Descri¸ c˜ ao estat´ıstica de um sistema f´ısico: caso cont´ınuo Meta Apresentar as principais propriedades das distribui¸c˜oes de vari´aveis cont´ınuas.
Objetivos Ao final desta aula, vocˆe dever´a ser capaz de: 1. Construir um histograma a partir de um conjunto de dados. 2. Calcular probabilidades, valores esperados e a variˆancias a partir de distribui¸c˜oes cont´ınuas. 3. Obter a distribui¸c˜ao gaussiana a partir da distribui¸c˜ao binomial. 4. Identificar as propriedades da distribui¸c˜ao gaussiana.
Pr´ e-requisitos Esta aula requer que vocˆe esteja familiarizado com os conceitos b´asicos probabilidade e distribui¸c˜ao binomial apresentados em Introdu¸c˜ao `a Probabilidade e Estat´ıstica.
Introdu¸ c˜ ao Na Aula 2 estudamos a distribui¸c˜ao binomial PN (M) que d´a a probabilidade de se obter um determinado valor de M em N eventos. O significado de M depende do contexto, ou seja, da experiˆencia considerada. Se a experiˆencia for jogar uma moeda N vezes, M ´e a diferen¸ca entre o n´ umero de caras e coroas obtido. Caso estejamos medindo o momento magn´etico total de um sistema com N ´atomos paramagn´eticos, M ´e o momento magn´etico total, referente `a diferen¸ca entre o n´ umero de momentos atˆomicos com alinhamento paralelo e antiparalelo ao campo magn´etico aplicado. Nos exemplos analisados numericamente nessa aula os valores de N foram pequenos, e fez 33
CEDERJ
Física Estatística e Matéria Condensada
Aula 3 - Descri¸c˜ao estat´ıstica de um sistema f´ısico: caso cont´ınuo
sentido calcular, por exemplo, a probabilidade de encontrar M = 2 num sistema com N = 4. Agora imagine que consideramos um s´olido paramagn´etico real, com cerca de 1023 part´ıculas. N˜ao h´a como detectar experimentalmente varia¸c˜oes de uma unidade em M; na verdade, at´e mesmo varia¸c˜oes da ordem de 104 ser˜ao impercept´ıveis. Nesse quadro n˜ao tem sentido basear a descri¸c˜ao estat´ıstica do sistema em valores discretos para M, sendo mais informativo conhecer a probabilidade de encontrar M dentro de um certo intervalo dM. Neste caso a vari´avel M passa a ser cont´ınua, um n´ umero real. Outros sistemas que n˜ao s˜ao adequadamente descritos por distribui¸c˜oes discretas s˜ao aqueles em que a vari´avel observada ´e naturalmente um n´ umero real. Um exemplo t´ıpico ´e o g´as ideal estudado pela Teoria Cin´etica. Todo o formalismo est´a baseado no fato de que as mol´eculas do g´as tem velocidades diferentes, variando de acordo com alguma distribui¸c˜ao. O valor da velocidade u de uma mol´ecula ´e representado por um n´ umero real. Ao compararmos dois valores de velocidade temos que necessariamente decidir primeiro quantas casas decimais ser˜ao comparadas, o que em geral vai envolver a precis˜ao do equipamento dispon´ıvel para medidas. Assim, o intervalo du fica naturalmente definido. Nesta aula vamos aprender como formalizar os conceitos estat´ısticos aprendidos na aula anterior para vari´aveis discretas, considerando agora um sistema descrito por vari´aveis reais.
Histogramas Antes de passarmos ao formalismo matem´atico das distribui¸c˜oes cont´ınuas, vale a pena aprender um pouco sobre histogramas. Um histograma ´e um tipo especial de gr´afico, em que a frequˆencia relativa ou o n´ umero de ocorrˆencias de valores medidos ´e expressa em fun¸c˜ao do valor das medidas. Sua construc¸˜ao envolve os seguintes passos: 1. Obten¸c˜ao de uma tabela com N valores medidos da grandeza que se quer estudar. Vamos chamar essa grandeza de x. Quanto maior o valor de N, mais significativo ser´a o resultado. 2. An´alise dos dados no que diz respeito aos valores m´ınimo e m´aximo de x. 3. Determina¸c˜ao do tamanho do intervalo ∆x que ser´a usado para classificar os dados. CEDERJ
34
Aula 3 - Descri¸c˜ao estat´ıstica de um sistema f´ısico: caso cont´ınuo
´ MODULO 1 - AULA 3
4. Dividir a varia¸c˜ao total de x nos dados obtidos em n intervalos de tamanho ∆x. Em geral tomamos como extremos valores xmin e xmax , tais que todos os dados s˜ao inclu´ıdos e a escala de leitura para o gr´afico ´e simples. 5. Contamos quantos dados caem em cada intervalo: Ni ´e o n´ umero de dados entre xi e xi + ∆x. 6. Opcionalmente podemos dividir a contagem em cada intervalo pelo n´ umero total de dados, definindo a frequˆencia relativa Fi = Ni /N. Faremos isso no exemplo a seguir. 7. Tra¸camos o gr´afico de Fi em fun¸c˜ao de x¯i , que ´e o valor central de cada intervalo. Note que usando a divis˜ao por N explicada no item 4 temos a normaliza¸c˜ao n X
Fi =
i=1
n X Ni i=1
n 1 X = Ni = 1 . N N i=1
(3.1)
Vamos ver um exemplo dessa constru¸c˜ao aplicando-a a um conjunto de medidas do per´ıodo de um pˆendulo simples. Suponha que um aluno realizou o conjunto de N = 100 medidas relacionadas na tabela 3.1 . τ (s)
τ (s)
τ (s)
τ (s)
τ (s)
τ (s)
τ (s)
τ (s)
τ (s)
τ (s)
2,7572 2,2496 1,9154 3,0182 2,4493 3,0343 2,6050 3,4252 2,7237 3,2349
2,7779 2,4900 2,3902 3,1634 2,7289 2,6654 2,5288 3,1978 2,7091 2,9837
2,8753 3,2255 3,1911 2,6027 2,4364 2,7709 2,6348 2,2228 2,6622 2,4838
2,2747 2,7082 2,7354 3,1995 2,8538 2,4196 2,7352 2,1029 3,4943 3,0688
2,7934 3,1866 2,6591 1,7365 2,8431 2,6359 2,3866 3,4341 2,7243 2,6266
2,7524 1,9964 2,7175 3,2880 2,9940 2,9121 2,6251 3,5109 2,4018 3,6141
2,5963 2,4286 3,0865 3,2444 2,5028 2,6573 2,3283 2,7653 2,3138 2,5203
2,7656 2,8684 2,5922 2,5051 2,5058 2,8597 3,3204 2,7191 3,1882 2,9692
3,0376 3,3925 2,9031 2,9800 3,7085 2,7957 3,4361 2,3851 2,6864 2,4440
3,3122 2,7289 2,6265 2,5974 3,3272 2,7995 2,7763 2,4484 2,8487 3,1977
Tabela 3.1: Conjunto de dados resultantes de uma experiˆencia de medi¸c˜ao do per´ıodo de um pˆendulo simples Examinando a tabela diretamente ´e dif´ıcil obter alguma informa¸c˜ao relevante sobre a experiˆencia. Come¸camos calculando o valor m´edio e o desvio quadr´atico m´edio, obtendo hτ i = 2, 79 s e σ = 0, 4 s. Vamos agora construir o histograma seguindo os passos indicados anteriormente. O menor 35
CEDERJ
Física Estatística e Matéria Condensada
Aula 3 - Descri¸c˜ao estat´ıstica de um sistema f´ısico: caso cont´ınuo
valor de per´ıodo na tabela ´e τmin = 1, 7365 s, e o maior τmax = 3, 7085 s. Para simplificar vamos fazer o gr´afico entre 1,72 s e 3,72 s, com 10 intervalos de ∆τ = 0, 2 s. Contamos quantas medidas caem em cada intervalo, e dividimos por 100 cada contagem. Finalmente obtemos o histograma de frequˆencias mostrado na figura 3.1.
Figura 3.1: Histograma relativo aos dados da tabela 3.1
Observando o histograma da figura 3.1 notamos a concentra¸ca˜o de valores em torno de τ = hτ i. Quando os valores do per´ıodo se afastam do valor m´edio, o n´ umero de ocorrˆencias cai bastante. Este histograma est´a bastante assim´etrico. Vamos ver como sua forma se altera se um n´ umero maior de medidas ´e considerado. Numa experiˆencia equivalente, foram tomadas N = 1000 medidas do per´ıodo. Em vez de mostrar a tabela, vamos apresentar logo os valores resultantes da contagem por intervalos. Neste caso os valores m´ınimo e m´aximo foram 1,585 s e 3,993 s, respectivamente. Assim construimos o histograma com intervalos de 0,25 s, indo de 1,55 a 4,05. A tabela 3.2 mostra o resultado da classifica¸c˜ao dos dados nesses intervalos. F ´e a frequˆencia relativa, ou seja, o n´ umero de dados no intervalo centrado do valor indicado na primeira coluna, dividido por N. Por exemplo, havia quatro valores entre 1,550 s e 1,800 s, dando F = 4/1000. Os valores de F na tabela 3.2 podem ser considerados como uma estimativa para a probabilidade de se obter uma medida de per´ıodo nos inCEDERJ
36
Aula 3 - Descri¸c˜ao estat´ıstica de um sistema f´ısico: caso cont´ınuo
τ (s)
F
1,6750 1,9250 2,1750 2,4250 2,6750 2,9250 3,1750 3,4250 3,6750 3,9250
0,004 0,025 0,075 0,175 0,225 0,240 0,148 0,077 0,024 0,007
´ MODULO 1 - AULA 3
Tabela 3.2: Valores de frequˆencia relativa para a constru¸c˜ao de um histograma referente a um conjunto de N = 1000 medidas de per´ıodo de um pˆendulo simples
tervalos considerados, j´a que seu valor d´a a fra¸c˜ao de medidas no intervalo. Seguindo essa id´eia, a probabilidade de se ter uma medida na regi˜ao central do histograma entre 2,295 s e 3,300 s ´e 0,175+0,225+0,240=0,64, ou 64%. A forma geral do histograma tamb´em depende do valor de ∆τ considerado para a classifica¸c˜ao dos dados. Por exemplo, a figura 3.3 mostra um histograma constru´ıdo com ∆τ = 0, 20 s sobre o mesmo conjunto de dados da figura 3.2. Como o intervalo considerado na contagem ´e menor, o n´ umero de dados em cada um tamb´em ser´a menor, por isso os valores de frequˆencia s˜ao todos menores. Com um n´ umero finito de dados, se diminu´ımos muito o tamanho do intervalo haver´a v´arios sem nenhum dado, v´arios com um s´o dado, etc. Tivemos essa mesma situa¸c˜ao ao fazermos a contagem de gr˜aos na Atividade 1 da Aula 1 e ao definirmos o tamanho do subvolume do g´as na Atividade 3 da Aula 2. Quando o n´ umero de dados for muito grande, N → ∞, poderemos definir intervalos infinitesimais que conter˜ao um n´ umero significativo de dados. Com isso ser´a poss´ıvel construir um histograma cuja forma ser´a independente do tamanho do intervalo. Nesse limite estaremos partindo para uma descri¸c˜ao cont´ınua. 37
CEDERJ
Física Estatística e Matéria Condensada
Aula 3 - Descri¸c˜ao estat´ıstica de um sistema f´ısico: caso cont´ınuo
Figura 3.2: Histograma relativo a um conjunto de dados similar aos da tabela 3.1, mas com N = 1000 valores, classificados em intervalos ∆τ = 0, 25 s. Em vermelho est˜ao indicados o valor m´edio, hτ i = 2, 79 s, e o desvio quadr´atico m´edio σ = 0, 4 s. Comparando este gr´afico com o da figura 3.1, podemos observar que ´e muito mais sim´etrico, e apresenta menos flutua¸c˜oes, consequˆencias do aumento do n´ umero de medidas. A regi˜ao compreendida entre hτ i − σ e hτ i + σ concentra a maior parte do dados.
Distribui¸c˜ oes de vari´ aveis aleat´ orias cont´ınuas Queremos agora tratar de vari´aveis reais cont´ınuas tais que podemos tomar um intervalo infinitesimal dx e definir dP (x) ≡ f(x)dx como a probabilidade de encontrar o resultado de uma determinada experiˆencia entre x e x+dx. Essa probabilidade depende em princ´ıpio de x, e tamb´em do tamanho de dx. Quanto maior for o intervalo considerado, maior ser´a o valor num´erico de f(x)dx para um mesmo x. Neste caso ´e mais significativa a defini¸c˜ao de densidade de probabilidade, da seguinte forma f(x) ≡
dP (x) , dx
(3.2)
ou seja, a fun¸c˜ao f(x) define a distribui¸c˜ao da vari´avel aleat´oria x, d´a a densidade de probabilidade da mesma. boxe explicativo: O termo densidade de probabilidade refere-se ao fato de que na formula¸c˜ao cont´ınua dP ´e uma probabilidade, sendo, portanto, uma grandeza adimensional, um n´ umero. Assim, f(x)dx tamb´em ´e adimensional, CEDERJ
38
Aula 3 - Descri¸c˜ao estat´ıstica de um sistema f´ısico: caso cont´ınuo
´ MODULO 1 - AULA 3
Figura 3.3: Histograma relativo ao mesmo conjunto de dados da figura 3.2, mas com ∆τ = 0, 20 s. Note como a forma geral foi alterada, e em especial os valores de frequˆencia.
e f(x) tem unidade de x−1 . Note que x pode ser qualquer grandeza, massa, velocidade, carga, etc. f(x) ´e a probabilidade por unidade de x, da´ı o termo densidade. fim do boxe explicativo O espa¸co amostral neste caso ser´a um volume d-dimensional, dependendo da dimensionalidade de x. Por exemplo, considere os ´atomos de um g´as ideal (n˜ao interagente). A posi¸c˜ao ~r e a velocidade ~u s˜ao vari´aveis aleat´orias cont´ınuas. O espa¸co amostral para a posi¸c˜ao ´e o espa¸co definido pelo recipiente que cont´em o g´as, sendo tridimensional. Para as velocidades, ´e o espa¸co definido por |u| ≥ 0, 0 ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π, tamb´em tridimensional.
No caso do histograma, ao calcularmos a probabilidade de obter o per´ıodo do pˆendulo entre determinados valores, somamos as contribui¸c˜oes dos intervalos ∆τ correspondentes. No caso de uma distribui¸c˜ao cont´ınua, se queremos tratar de um intervalo n˜ao infinitesimal, por exemplo se queremos saber qual a probabilidade de ter x entre os valores a e b, temos P (a ≤ x ≤ b) =
Z
a
b
f(x)dx =
Z
b
dP (x) .
(3.3)
a
A densidade de probabilidade, f(x), ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua por partes, 39
CEDERJ
Aula 3 - Descri¸c˜ao estat´ıstica de um sistema f´ısico: caso cont´ınuo
Física Estatística e Matéria Condensada
satisfazendo f(x) ≥ 0 e
Z
dP =
Ω
Z
(3.4)
f(x) dx = 1.
(3.5)
Ω
Uma caso particular importante ´e o da distribui¸c˜ao uniforme. Neste caso dP (x) = Cdx, onde C ´e uma constante que pode ser obtida por normaliza¸c˜ao, ou seja Z Z 1 dP = C dx = CΩ = 1 ⇒ C = . (3.6) Ω Ω Ω O valor esperado de x ´e definido de forma equivalente a (2.10), substituindo a soma por uma integral: Z Z hxi = x dP (x) = xf(x)dx . (3.7) Ω
Ω
E o valor esperado de uma fun¸c˜ao g(x) ´e dado por Z hg(x)i = g(x)f(x)dx .
(3.8)
Ω
Uma situa¸c˜ao comum ´e a de conhecermos a distribui¸c˜ao para uma determinada vari´avel x e procurarmos a distribui¸c˜ao para outra y, sendo as duas vari´aveis relacionadas por uma fun¸c˜ao y = g(x). Nesses casos ´e conveniente identificar as distribui¸c˜oes para x e y atrav´es de sub´ındices, assim fx seria a distribui¸c˜ao para x e fy a para y, sendo as duas distribui¸c˜oes em geral diferentes. Vamos ver um exemplo concreto de como calcular a densidade de probabilidade de uma vari´avel aleat´oria cont´ınua. Considere um ´atomo paramagn´etico cujo momento magn´etico m ~ pode apontar em qualquer dire¸c˜ao com igual probabilidade. Vamos escrever m ~ em coordenadas esf´ericas atrav´es de seu m´odulo m e dire¸c˜ao definida pelos ˆangulos polar e azimutal θ e φ, respectivamente. Vamos calcular a densidade de probabilidade fθ (θ) de encontrar m ~ com m´odulo m, com qualquer valor de φ, mas com θ entre θ e θ + dθ.
z
q y
f x
O espa¸co de amostragem neste caso ´e a ´area da esfera de raio m. Queremos calcular a probabilidade dP (θ) de que θ esteja entre θ e θ + dθ. Ela ´e igual `a CEDERJ
40
Aula 3 - Descri¸c˜ao estat´ıstica de um sistema f´ısico: caso cont´ınuo
´ MODULO 1 - AULA 3
´area do anel de raio m e espessura dθ dividida pela ´area total da esfera, ou seja 1 |2π(m sin θ)m dθ| dP (θ) ≡ fθ (θ)dθ = = | sin θdθ| . (3.9) 2 4πm 2 Tivemos que usar o m´odulo neste caso porque, por defini¸c˜ao, dP (θ) > 0. Comparando as express˜oes (3.12) e (3.9), temos que a fun¸ca˜o distribui¸c˜ao para θ, ou a densidade de probabilidade, ´e fθ (θ) = (1/2)| sin θ| .
(3.10)
Atividade 1 (Objetivo 2) Considere o ´atomo paramagn´etico anterior, mas usando coordenadas cartesianas. Qual a densidade de probabilidade de que a componente z do momento magn´etico esteja entre mz e mz + dmz ? Resposta comentada Temos que mz = m cos θ, ou cos θ = mz /m. Logo, temos 1 1 sin θ dθ = − dmz . 2 2m
(3.11)
Assim, podemos reescrever (3.9) em termos de mz como dP (mz ) = fmz (mz )dmz =
1 dmz 2m
(3.12)
Comparando as express˜oes (3.12) e (3.2) vemos que a densidade de probabilidade para a componente mz ´e fmz (mz ) = 1/2m, ou seja, os valores de mz s˜ao uniformente distribu´ıdos no intervalo −m ≤ mz ≤ m, j´a que sua distribui¸c˜ao n˜ao dependende de mz . fim da atividade Atividade 2 (Objetivo 2) Um sistema ´e constitu´ıdo por v´arios osciladores harmˆonicos unidimensionais, cujas posi¸c˜oes s˜ao dadas por x = A cos(ωt + α), onde a constante de fase α ´e uma vari´avel aleat´oria uniformemente distribu´ıda entre 0 e 2π. (a) Qual a densidade de probabilidade fx (x) de encontrar um desses osciladores entre x e x + dx? (b) Fa¸ca o gr´afico de fx (x) e interprete fisicamente sua forma. Resposta comentada (a) Se a constante de fase ´e uniformemente distribu´ıda, ent˜ao fα (α) ´e uma constante que pode ser obtida por normaliza¸c˜ao. Como α est´a definida entre 41
CEDERJ
Física Estatística e Matéria Condensada
Aula 3 - Descri¸c˜ao estat´ıstica de um sistema f´ısico: caso cont´ınuo
0 e 2π, temos Z
2π
fα(α)dα = C 0
Z
2π 0
dα = C2π = 1 → C =
1 . 2π
(3.13)
Logo, fα(α) = 1/2π. No intervalo entre 0 e 2π h´a dois valores de α que geram o mesmo valor de x, portanto, dP (x) = 2dP (α). Como dx = A sin(ωt + α)dα, temos que dα = dx/(A2 − x2 )1/2, e finalmente, a densidade de probabilidade desejada ´e: dP (x) = fx (x)dx = 2dP [α(x)] = 2fα (α)dα(x) dx 1 1 = 2 ⇒ fx(x) = . 2 2 1/2 2 2π (A − x ) π(A − x2 )1/2
(b) O gr´afico ao lado mostra a forma de fx (x) para A = 2, 0. Os valores m´aximos est˜ao em x ± A, ou seja, ´e mais prov´avel que encontremos os osciladores nas regi˜oes pr´oximas aos extremos, ou pontos de retorno. Esse resultado ´e f´acil de entender, nesses pontos a velocidade ´e menor, portanto o tempo de permanˆencia ´e maior. fim da atividade
Distribui¸c˜ ao Gaussiana Sempre estaremos interessados em sistemas com valores de N elevados, por isso ´e conveniente verificar o comportamento da distribui¸c˜ao binomial ` medida que aumentamos N, PN (n) tem valores apreci´aveis quando N 1. A apenas nas vizinhan¸cas de seu m´aximo, como pode ser visto na figura 2.3, por isso vamos examinar essa regi˜ao. Note que mesmo quando p 6= q, a regi˜ao do m´aximo ´e aproximadamente sim´etrica se os valores de p e q n˜ao forem muito diferentes. Vamos trabalhar com o log da distribui¸c˜ao, porque estaremos considerando um regime em que h´a grandes varia¸c˜oes de probabilidade. Temos assim, a partir da distribui¸c˜ao binomial, equa¸c˜ao (2.4), ln PN (n) = ln N! − ln n! − ln(N − n)! + n ln p + (N − n) ln q .
(3.14)
Usamos a aproxima¸c˜ao de Stirling para o fatorial de um n´ umero muito grande: ln N! = N ln N − N + O(ln N) , N 1. (3.15) CEDERJ
42
Aula 3 - Descri¸c˜ao estat´ıstica de um sistema f´ısico: caso cont´ınuo
´ MODULO 1 - AULA 3
A obten¸c˜ao dessa aproxima¸c˜ao pode ser vista com detalhes no livro indicado como referˆencia no fim da aula. O express˜ao O(ln N) significa “termo da ordem de ln N”, o que quer dizer que a expans˜ao indicada difere de ln N! por um valor cuja ordem de grandeza ´e O(ln N). Seja n ˜ o valor mais prov´avel de n, ou seja, aquele para o qual PN (n) ´e m´axima. Podemos escrever esse valor como n ˜ = rN, 0 < r < 1. Se p e q n˜ao forem muito diferentes, perto do m´aximo, tanto n quanto N − n ser˜ao n´ umeros da ordem de N. Usamos a aproxima¸c˜ao de Stirling para os fatoriais desses n´ umeros desprezando os termos O(ln N), ficando com ln PN = N ln N − N − n ln n + n − (N − n) ln(N − n) + N − n + n ln p + (N − n) ln q .
(3.16)
Podemos calcular a posi¸c˜ao do m´aximo para N 1 extremizando ln PN . Obtemos dln PN = − ln n ˜ + ln(N − n ˜ ) + ln p − ln q = 0 , (3.17) dn levando a n ˜ = pN = hni , (3.18) onde usamos a express˜ao (2.11) para hni. Verificamos a concavidade:
d2 ln PN 1 1 = − − , dn2 n N −n
(3.19)
quando n = n ˜ temos d2 ln PN 1 1 =− =− 2 <0, 2 dn Npq σ n=˜ n
(3.20)
ou seja, o extremo ´e um m´aximo.
Agora, expandimos a distribui¸c˜ao perto do m´aximo, porque essa ´e a regi˜ao que nos interessa descrever. Para isso tomamos n = n ˜ + , n ˜. Mantendo apenas at´e o termo quadr´atico temos dln PN 1 2 d2 ln PN ln PN (n) ≈ ln PN (˜ n) + + +··· (3.21) dn n=˜n 2 dn2 n=˜n | {z } | {z } 0
− N1pq
Exponenciando, teremos (n − n ˜ )2 (n − hni)2 PN (n) = C exp − = C exp − , 2Npq 2σ 2
(3.22)
43
CEDERJ
Aula 3 - Descri¸c˜ao estat´ıstica de um sistema f´ısico: caso cont´ınuo
Física Estatística e Matéria Condensada
onde a express˜ao (2.13) foi usada na identifica¸c˜ao de σ. A constante de normaliza¸c˜ao, C, pode ser encontrada se impomos que a soma das probabilidades para todos os valores poss´ıveis de n ´e 1, ou seja, Z +∞ (n − hni)2 dn C exp − =1. (3.23) 2σ 2 −∞ Esta integral, e outras similares, v˜ao aparecer muitas vezes nas pr´oximas aulas, por isso vale a pena ver como pode ser calculada. Nosso objetivo ´e calcular a integral Z +∞ 2 I= du e−u
(3.24)
−∞
O ponto de partida ´e a integral I 0 no plano xy, escrita em coordenadas polares como #∞ " Z 2π Z ∞ −r 2 e 2 =π. (3.25) I0 = dφ e−r rdr = 2π − 2 0 0 0
0
Mas I tamb´em pode ser escrita em coordenadas cartesiana, dando Z +∞ Z +∞ 0 I = dx exp −(x2 + y 2 ) dy −∞ −∞ Z +∞ Z +∞ −x2 −y2 = e dx e dy = I 2 . −∞
Logo,
−∞
Z
+∞ 2
e−u du =
√
π.
(3.26)
−∞
Obtemos, assim, a express˜ao final normalizada 1 (n − hni)2 P (n) = √ exp − , 2σ 2 σ 2π ou
1 (n − Np)2 PN (n) = √ exp − . 2Npq 2πNpq
(3.27)
(3.28)
As express˜oes (3.27) e (3.28) definem o que chamamos de distribui¸c˜ao Gaussiana, tamb´em chamada distribui¸c˜ao normal. Atividade 3 (Objetivo 4) (a) Mostre que Z
+∞
−∞
CEDERJ
44
e
−ax2
dx =
r
π . a
(3.29)
Aula 3 - Descri¸c˜ao estat´ıstica de um sistema f´ısico: caso cont´ınuo
´ MODULO 1 - AULA 3
(b) Use esse resultado para calcular a constante de normaliza¸c˜ao C da equa¸c˜ao (3.23). (c) Mostre que r Z ∞ π π 2 −ax2 x e dx = a>0 (3.30) 4a a 0 Dica: observe a igualdade Z ∞ Z ∞ d 2 −ax2 e dx = − x2 e−ax dx . da 0 0 Resposta comentada (a) Partimos da equa¸c˜ao (3.26), e fazemos uma troca de vari´aveis: u=
√ √ ax → du = a dx
Com isso temos Z
+∞
e
−ax2
−∞
1 dx = √ a
Z
+∞
−∞
e
−u2
du =
r
π a
(b) Basta fazer as identifica¸c˜oes: y = x − hxi e a = 2σ 2 em (3.23). (c) O integrando da equa¸c˜ao (3.26) ´e uma fun¸c˜ao par, portanto podemos escrever r Z ∞ 1 π −ax2 e dx = 2 a 0 Usamos a dica: r r Z ∞ d d 1 π 111 π −ax2 e dx = = da 0 da 2 a 22a a fim da atividade Atividade 4 (Objetivo 4) Verifique a validade da aproxima¸c˜ao gaussiana. Resposta comentada A forma gaussiana foi obtida ao trucarmos a expans˜ao de log PN at´e o termo quadr´atico, assim, devemos ver os efeitos da truncagem na express˜ao (3.21). Calculamos o primeiro termo que foi desprezado, e que envolve a terceira derivada: 1 3 d3ln PN 1 q−p 1 q−p = 3 2 2 2 = (n − n ˜ )3 2 2 2 . (3.31) 3 3! dn 6 N pq 6 N pq n=˜ n
Para que a aproxima¸c˜ao Gaussiana seja boa devemos ter 1 |q − p| |n − n ˜ |2 |n − n ˜ |3 , 2Npq 6N 2 p2 q 2
(3.32)
45
CEDERJ
Aula 3 - Descri¸c˜ao estat´ıstica de um sistema f´ısico: caso cont´ınuo
Física Estatística e Matéria Condensada
ou seja,
3Npq , (3.33) |q − p| definindo assim a regi˜ao em torno do m´aximo onde a aproxima¸c˜ao ´e v´alida. Para um dado valor de N, quanto mais pr´oximos forem p e q maior ´e |p − q| −1 e mais f´acil ser´a satisfazer a condi¸c˜ao (3.32). Por outro lado, dados p e q, quanto maior for N, mais f´acil ser´a satisfazer a condi¸c˜ao. Fora do intervalo definido em (3.33), ou seja, para |n − n ˜ | ≥ 3Npq/|q − p|, temos 2 2 2 2 P ∼ exp[−9N p q /(2Npq|q − p| )] → 0 para N → ∞, portanto a aproxima¸c˜ao ´e boa para Npq 1. |n − n ˜|
Propriedades da distribui¸c˜ ao gaussiana Vamos trabalhar com a forma (3.27). Como partimos da distribui¸c˜ao binomial, t´ınhamos uma vari´avel adimensional, n ´e um n´ umero, variando de uma unidade. Para que possamos generalizar o resultado para qualquer vari´avel real, temos que definir x = `n, sendo ` um n´ umero real com dimens˜ao. Mantendo a nota¸c˜ao usada para a densidade de probabilidade, temos: 1 (x − hxi)2 fG (x) = √ exp − . (3.34) 2σ 2 σ 2π Aqui o sub´ındice G identifica que estamos tratando de uma distribui¸c˜ao espec´ıfica, a gaussiana. Agora σ tem a mesma unidade de ` e fG (x) tem unidade de `−1 . Primeiro vamos examinar sua forma geral em fun¸c˜ao dos parˆametros hxi e σ. A figura 3.4 mostra gr´aficos de fG (x) para diversos valores de hxi e σ. O valor de hxi d´a a posi¸c˜ao do m´aximo e posiciona a curva como um todo. σ est´a relacionado com sua largura e com a rapidez com que fG varia quando nos afastamos de seu valor m´aximo. O valor de fG (x) no ponto de m´aximo ´e dado por fG (hxi), e vale (x − hxi)2 1 ⇒ fG (x) = fGmax exp − . (3.35) fGmax = √ 2σ 2 σ 2π
Vamos ver como σ est´a relacionado com a largura da curva calculando em que pontos ela cai a fGmax /e ou a 36,8% de fGmax : √ (x± − hxi)2 −1 fG (x± ) = fGmax e ⇒ − = −1 ⇒ x = hxi ± σ 2 (3.36) ± 2σ 2 A figura 3.5 mostra as regi˜oes compreendidas por x ± σ e x ± 2σ. Vemos que a regi˜ao em torno do m´aximo, onde est˜ao os maiores valores de fG (x) ´e essencialmente definida pelo parˆametro σ. CEDERJ
46
Aula 3 - Descri¸c˜ao estat´ıstica de um sistema f´ısico: caso cont´ınuo
´ MODULO 1 - AULA 3
Figura 3.4: Gr´aficos de distribui¸c˜oes gaussianas a partir da express˜ao (3.34)
Atividade 5 (Objetivo 4) Calcule a largura total da curva gaussiana em pontos tais que ela caia `a metade do valor m´aximo. Resposta comentada Devemos impor a condi¸c˜ao fG (x± ) = fGmax /2 que implica em √ (x± − hxi)2 = ln 2 ⇒ x = hxi ± σ 2 ln 2 ± 2σ 2
(3.37)
fim da atividade Vamos agora considerar valores da probabilidade de se encontrar x em diversas regi˜oes finitas da curva, a partir de seu ponto central. Vamos calcular a probabilidade de encontrar x entre hxi − nσ e hxi + nσ, sendo n um n´ umero inteiro. Para este c´alculo a posi¸c˜ao da curva n˜ao importa, ent˜ao podemos tomar, por simplicidade, hxi = 0. Usamos a express˜ao (3.3) para este c´alculo: Z +nσ 1 x2 P (−nσ ≤ x ≤ +nσ) = √ exp − 2 dx . (3.38) 2σ σ 2π −nσ √ √ Fazemos a troca de vari´avel x/σ 2 = u, dx = σ 2 du. Com isso a integral toma a forma: Z +n/√2 1 2 P (−nσ ≤ x ≤ +nσ) = √ e−u du . (3.39) √ π −n/ 2 47
CEDERJ
Física Estatística e Matéria Condensada
Aula 3 - Descri¸c˜ao estat´ıstica de um sistema f´ısico: caso cont´ınuo
Figura 3.5: Gr´aficos de distribui¸c˜oes gaussianas com σ = 2 e hxi = 0 mostrando as regi˜oes compreendidas por (a) x ± σ e (b) x ± 2σ. Esta integral n˜ao pode ser calculada analiticamente, portantodevemos consultar alguma tabela para isso. Ela aparece relacionada com a fun¸c˜ao erro que tem a seguinte defini¸c˜ao: Z a 2 2 √ erf(a) = e−u du . (3.40) π 0 Usando o fato de que o integrando ´e par, temos n . P (−nσ ≤ x ≤ +nσ) = erf √ 2
(3.41)
Boxe multimidia Um lugar ´otimo para consultas matem´aticas pela internet ´e a p´agina: http://mathworld.wolfram.com. Nela vocˆe pode encontrar tudo que precisa num curso de f´ısica, inclusive uma ferramenta on-line para o c´alculo de integrais indefinidas. Consultando essa p´agina, ou qualquer outra tabela de integrais encontramos: n 1 2 3 CEDERJ
48
P (−nσ ≤ x ≤ +nσ) 0,6827 0,9545 0,9973
Aula 3 - Descri¸c˜ao estat´ıstica de um sistema f´ısico: caso cont´ınuo
´ MODULO 1 - AULA 3
Fim do Boxe multimidia Este resultado significa que, ao realizar uma experiˆencia ideal, com um n´ umero muito grande de repeti¸c˜oes, descrita pela distribui¸c˜ao gaussiana, cerca de 68% dos valores medidos estar˜ao no intervalo hxi ± σ. Se considerarmos uma faixa de valores de 4σ em torno do valor mais prov´avel, teremos a´ı cerca de 95% dos dados. Em resumo, a chance de se obter um valor diferente do esperado em mais de 2σ ´e muit´ıssimo pequena. Quanto menor for o valor de σ, mais iguais a hxi ser˜ao os valores medidos. A figura 3.5 ilustra essas faixas numa gaussiana com σ = 2. Para finalizar devemos dizer que, embora tenhamos examinado uma distribui¸c˜ao espec´ıfica, os resultados encontrados aplicam-se qualitativamente a v´arias outras distribui¸c˜oes. Como a forma gaussiana ´e f´acil de tratar matematicamente, ela ´e em geral usada para descrever v´arios sistemas com vari´aveis aleat´orias.
Conclus˜ ao Quando tratamos de sistemas aleat´orios com N → ∞ podemos usar distribui¸c˜oes cont´ınuas para descrevˆe-los. Nesse caso a grandeza importante ´e a densidade de probabilidade. Em vez de considerarmos a probabilidade de ocorrˆencia de um determinado valor da vari´avel, passamos a usar a probabilidade de a encontrarmos em um determinado intervalo infinitesimal. A passagem natural da descri¸c˜ao discreta para a cont´ınua ´e atrav´es da constru¸c˜ao de um histograma. Formalmente podemos obter uma distribui¸c˜ao cont´ınua a partir de uma discreta tomando o limite N → ∞. Por exemplo, desta forma pudemos obter a distribui¸c˜ao gaussiana a partir da binomial. A distribui¸c˜ao gaussiana, al´em de ser matematicamente f´acil de lidar, tem uma propriedade importante: quando nos afastamos de seu valor m´aximo ela cai com uma rapidez que depende do valor de σ. Isso significa que ela descreve sistemas para os quais a probabilidade de se encontrar valores muito maiores ou menores que a m´edia ´e muito pequena. Em outras palavras, s˜ao sistemas que podem ser caracaterizados pelo valor m´edio ou esperado de alguma grandeza, como o n´ umero de palitos de f´osforo numa caixa ou a magnetiza¸c˜ao de um s´olido. A F´ısica Estat´ıstica tradicional trata apenas de sistemas com essas caracter´ısticas, mas existem muitos outros que s˜ao descritos por outras formas 49
CEDERJ
Física Estatística e Matéria Condensada
Aula 3 - Descri¸c˜ao estat´ıstica de um sistema f´ısico: caso cont´ınuo
de distribui¸c˜ao. Por exemplo considere a distribui¸c˜ao que descreve a renda das pessoas. Imagine que escolhemos N pessoas ao acaso e anotamos o valor de sua renda mensal para construir um histograma. Calculamos a renda m´edia hri somando todos os valores e dividindo por N. Ao examinarmos o histograma, certamente encontrar´ıamos muito mais pessoas com renda menor que hri do que com renda maior que hri. Assim, neste caso, `a medida que nos afastamos da m´edia, para valores menores, a probabilidade de encontr´a-los aumenta, o contr´ario ocorrendo se nos afastamos para valores maiores. Outra distribui¸c˜ao com essas caracter´ısticas ´e a da intensidade dos terremotos. Quanto maior o terremoto, menor a sua probabilidade de ocorrˆencia. Num histograma de terremotos certamente ter´ıamos a contagem aumentando ao considerarmos terremotos de menor intensidade. Embora esses seja sistemas extremamente interessantes e relevantes, a F´ısica Estat´ıstica de Boltzmann se aplica apenas a sistemas regidos por distribui¸c˜oes como a gaussiana.
Atividade Final O histograma da figura 3.3 tem uma forma que sugere uma distribui¸c˜ao gaussiana. Encontre a express˜ao da gaussiana que poderia ser usada para descrever esse conjunto de dados. A tabela usada para a constru¸c˜ao do histograma ´e: τ (s)
f
τ (s)
f
1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6
0,002 0,007 0,028 0,067 0,132 0,168
2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8
0,201 0,175 0,112 0,073 0,025 0,008
Resposta comentada Vamos usar a express˜ao (3.27) com τ no lugar de x. Os valores de hτ i e σ para o conjunto de dados que gerou o histograma s˜ao 2,79 s e 0,4 s, respectivamente. Antes de tra¸car a curva temos que pensar como foi feita a normaliza¸c˜ao no caso do histograma. Cada barra vertical tem uma altura que depende do valor de ∆τ escolhido, porque ´e proporcional ao n´ umero de medidas no intervalo. Portanto, a grandeza f do eixo vertical n˜ao ´e a densidade de probabilidade, mas a probabilidade de encontrar o per´ıodo CEDERJ
50
Aula 3 - Descri¸c˜ao estat´ıstica de um sistema f´ısico: caso cont´ınuo
´ MODULO 1 - AULA 3
entre τ e τ + ∆τ . Assim, a express˜ao correta para ajustar ´e fG (τ )∆τ . A figura a seguir mostra essa curva sobreposta ao histograma.
Resumo Nesta aula vimos como estender as no¸c˜oes de probablilidade e distribui¸c˜ao a sistemas descritos por vari´aveis cont´ınuas. Essa passagem se d´a naturalmente atrav´es da constru¸c˜ao de histogramas, uma ferramenta estat´ıstica muito u ´itl para a an´alise de sistemas com um n´ umero grande de elementos. A descri¸c˜ao estat´ıstica dos sistemas cont´ınuos se d´a atrav´es da densidade de probalidade que ´e uma fun¸c˜ao que permite o c´alculo de m´edias em geral. Dentre as densidades mais usadas destacamos a fun¸ca˜o uniforme, que d´a a mesma densidade de probabilidade para qualquer intervalo da vari´avel aleat´oria em quest˜ao, e a gaussiana que tem a densidade concentrada em torno do valor m´edio. Vimos tamb´em que ´e poss´ıvel obter distribui¸c˜ao gaussiana a partir da distribui¸c˜ao binomial no limite N → ∞.
Informa¸ c˜ oes sobre a pr´ oxima aula Na pr´oxima aula vamos aprender como descrever o equil´ıbrio t´ermico entre dois sistemas, do ponto de vista probabil´ıstico. Continuaremos usando o sistema paramagn´etico uniaxial para esse estudo. 51
CEDERJ
Física Estatística e Matéria Condensada
Aula 3 - Descri¸c˜ao estat´ıstica de um sistema f´ısico: caso cont´ınuo
Leitura complementar S. R. A. Salinas, Introdu¸c˜ao `a F´ısica Estat´ıstica, primeira edi¸c˜ao S˜ao Paulo, EDUSP, cap´ıtulo 1.
CEDERJ
52
