Cdi Ii (capítulo 21 A 30)

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CAPÍTULO 21 DERIVAÇÃO IMPLÍCITA FUNÇÕES IMPLÍCITAS E EXPLÍCITAS Até agora, estudamos funções que envolvem duas variáveis que se apresentam de forma explícita : y = f(x), isto é, uma das variáveis é fornecida de forma direta ( explícita ) em termos da outra. y = 4x - 5 Por exemplo : s = -25t² - 18t u = 9w – 35w² Nelas dizemos que y, s, e u são funções de x, t e w, EXPLICITAMENTE. Muitas funções, porém, apresentam-se na forma implícta, veja o exemplo abaixo: ● Ache a derivada dy da função xy = 1. dx dy dx : Derivada de y em relação à x. RESOLUÇÃO : Nesta equação, y esta definida IMPLICITAMENTE como uma função de x. Podemos obter, portanto, a equação em relação à y e daí diferencia-la. ● xy = 1 ( Forma implícita ) ●y= 1 ( Escrever a relação y em função de x ) x ● y = x –1 ( Escrever sob nova forma ) ● dy = - x – 2 ( Derivar em relação a x ) dx ● dy 1 = - 2 ( Simplificar ) dx x Este processo só é possível quando podemos explicitar facilmente a função dada, oque não ocorre, por exemplo, com y4 + 3xy + 2lny = 0. Para tanto, podemos utilizar um método chamado DERIVAÇÃO ( OU DIFERENCIAÇÃO ) IMPLÍCITA, que nos permite derivar uma função sem a necessidade de explicitá-la. DERIVAÇÃO IMPLÍCITA Esta derivação é feita em relação a x. Resolvendo normalmente as derivadas que envolvam apenas x. Quando derivamos termos que envolvem y, aplicaremos a Regra da Cadeia, uma vez que y é uma função de x. Exemplos : 1 ) 2x + y³ Resolução : Sendo y uma função de x, devemos aplicara regra da cadeia para diferenciar em relação a x, daí : d d d dy ( 2 x  y 3 )  ( 2 x)  ( y 3 )  2  3 y 2 dx dx dx dx 2 ) x + 3y Resolução : d d d dy ( x  3 y)  x  (3 y)  1  3 dx dx dx dx 3 ) xy² Resolução : Regra da cadeia d d dy ( xy 2 )  1. y 2  x. ( y 2 )  y 2  2 xy dx dx dx 4 ) 4x² + 9y² = 36 Resolução : d d dy dy  8 x dy  4 x (4 x 2  9 y 2  36)  8 x  (9 y 2 )  0  18 y  8 x     dx dx dx dx 18 y dx 9y 5 ) x4 + y4 + x² + y² + x + y = 1 6 ) x²y5 = y + 3 7 ) x² + y² = 1 8 ) x² + 5y³ - x = 5 9 ) x³ - y³ - 4xy = 0 10 ) x²y + 3xy³ - 3 = x 11 ) x² + 4y² = 4 12 ) y³ + y² - 5y – x² = -4 13 ) x - y =2 x 14 ) x³y³ - y = x 1 2 1 2 15 ) x  y  9 16 ) tgy = xy 17 ) ey = x + y 18 ) acos²( x + y ) = b 19 ) xy – lny = 2 EXTRA : y x y  x x y ================================================================= =========================================================== CAPÍTULO 22 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA Função na forma paramétrica x = x(t) Sejam ( I ) duas funções da mesma variável t, com t  [ a, b ]; a y = y(t) cada valor de t, temos x e y definidos. Caso as funções x = x(t) e y = y(t) sejam contínuas, quando t varia de a, b; o ponto P ( x(t), y(t) ) decreve uma curva no plano, onde t é o parâmetro. y Exemplo : y(t) P ▒▒▒▒▒▒▒▒ a t b 0 x(t) x Suponhamos a função x = x(t) inversível, temos t = t(x) a inversa de x = x(t) e podemos escrever y = y[t(x)] e y define-se como função de x na FORMA PARAMÉTRICA. Eliminamos t de ( I ) e obtemos y =y(x) na FORMA ANALÍTICA usual. Exemplos : x = 2t + 1 t em função de x a) t=1.(x–1) 2 y = 4t + 3 Aplicando t em y, temos : y = 4. 1 . ( x – 1 ) + 3  y = 2x – 2 + 3  y = 2x + 1 2 x = a.cost b) Equação da Circunferência ; t  [ 0; 2  ] com centro ( 0, 0 ) e raio a y = a.sent Elevando-se ambas as as equações ao quadrado e somando, temos : x² + y² = a² cos²t + a²sen²t  x² + y² = a²( cos²t + sen²t )  x² + y² = a² . 1  x² + y² = a² ► Nota-se que a equação acima NÃO É UMA FUNÇÃO y(x) na forma paramétrica ( x = a.cost não é inversível em [ 0, 2  ] ). Daí vamos obter uma ou mais funções do tipo y = y(x) na forma paramétrica ao restringirmos o domínio. Logo, temos : x = a.cost ; t  [ 0;  ] x = a.cost OU y = a.sent ; t  [ ; 2 ] y = a.sent y y 0 x 0 x y  a2  x2 y   a2  x2 y2  a2  x2 Derivada de uma função na forma paramétrica Seja y uma função de x definida pelas equações paramétricas : x = x(t) ; y = y(t) t  [ a; b ] ♦ A fórmula que permite calcular a derivada temos dy = y’(t) dx x’(t) dy sem conhecer explicitamente y como dx função de x. Exemplos : 1 ) Calcule dy da função y(x) definida na, forma paramétrica, pelas equações : dx  x  2t  1 a)   y  4t  3  x  3t  1 b)  2  y  9t  6t Resolução : a) b) dy y ' (t ) (4t  3)' 4 = =  2  dx 2 x' (t ) (2t  1)' dy y ' (t ) (9t 2  6t )' 18t  6 18t 6 = =   = 6t – 2 ♣  dx 3 3 3 (3t  1)' x' (t ) OBS : Note,no item b, que a resposta está em função de t, caso quisermos a derivada dy dx em função de x, devemos determinar t = t(x) e substituir em ♣, daí temos : ( x  1) ; substituindo t em ♣ , obtemos a seguinte expressão 3 ( x  1) dy 6. - 2 = 2 ( x + 1 ) – 2 = 2x + 2 – 2 , portanto = 2x . 3 dx x = 3t – 1  x + 1 = 3t  t =  x  4 cos 3 t  2 ) Idem para  ; 0t  3 2  y  4 sen t Resolução : 12 sen 2 t. cos t sen t dy dy y ' (t ) (4 sen 3 t )'   = =  - tg(t)  2 3 cos t dx dx x' (t ) (4 cos t )'  12 cos t. sen t OBS : Temos que tomar muita atenção quanto aos intervalos de validade das respostas obtidas. Note que x’(t) deve ser diferente de zero, pois está operando como denominador da expressão acima, portanto concluímos que para fazermos as simplificações indicadas, temos que considerar t  0 e t  pertencer ao intervalo 0  t  mencionados.  2   pois sen 0 = 0 e cos = 0, note que apesar de t 2 2 , efetivamente estão excluídos os valores de t já EXERCÍCIOS : ◙ Calcular a derivada y’ = dy das seguintes funções definidas na forma paramétrica. dx ◙ Para quais valores de t a derivada y’ está definida ? x = t² x = cos³t ; t  ] 0; +  [ 1) ; t]- 4) y = t³ y = sen³t x = 3cost x = cos2t ; t  [  ; 2 ] 2) x = 2t – 1 3) y = t³ + 5 ; t  [ 0; 5) y = 4sent  ;0[ 2  ] 2 y = sen2t ; -  0  ( x + y ).(x – y ) > 0   x + y > 0 e x – y > 0 (A) OU x + y < 0 e x – y < 0 (B)  Logo : D(w) = x, y   R 2 | x  y  . x  y  0 y=-x Gráfico do Domínio : x y=x (B) (A) x+y<0 x+y>0 y x-y<0 x-y>0 4 ) Ache o domínio da função w = 5  R. x1  x2  x3  x4  x5 Resolução : Para w pertencente a R temos x1 + x2 + x3 + x4 + x5  0, logo : Dw = { (x1 , x2 , x3 , x4 , x5)  R5 | x1 + x2 + x3 + x4 + x5  0 }. Exercícios : 1 ) Determine o domínio das seguintes funções : a ) z = xy b) w = c) z = d) z = e) z = 1 x  y2  z2 2 1 x2  y2 x y 1 2 x2  y2 1 f ) z = ln ( 4  x 2  y 2 ) x g) z = ey h) y = i) w = 1 x 1 z 1 9  x  y2  z2 2  x2  y2  x   j ) z = ln   x2  y2  x    CAPÍTULO 24 DERIVADAS PARCIAIS As aplicações das funções de várias variáveis procuram determinar como variações de uma das variáveis afetam os valores das funções. Por exemplo, um economista que deseja determinar o efeito de um aumento de impostos na economia pode fazer seus cálculos utilizando diferentes taxas de imposto, mantendo constantes outras variáveis, como desemprego, etc. Analogamente, determinamos a taxa de variação de uma função f em relação a uma de suas variáveis independentes, que nada mais é que achar a derivada de f em relação a uma de suas variáveis independentes. Este processo chama-se DERIVADA PARCIAL. Uma função de várias variáveis tem tantas “ parciais “ quantas são suas variáveis independentes. FUNÇõES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Derivadas parciais Se z = f(x,y), então derivadas parciais de primeira ordem de f em relação a x e y z z são funções e , definidas como segue : x  y  f z f ( x  x, y )  f ( x, y )  lim   x 0 x  x x   f z f ( x, y  y )  f ( x, y )  y  y  lim y 0 y  y constante x constante Efetivamente, ao derivarmos parcialmente uma função, deriva-se em relação a uma variável, considerandose as demais, constantes !!! Exemplos : 1 ) Calcule z z e para a função z = 4xy – 2x²y² + 3x³y². x  y Resolução : ◙ z = 4y - 4xy² + 9x² y² x ◙ z = 4x - 4x²y + 6x³y y 2 ) Idem para h(x,y) = x3  y 4  4 Resolução : ◙ 1 3x 2 h = .3x 2  x 2 x3  y 4  4 2 x3  y 4  4 1 h ◙ = .4 y 3  3 4 y 2 x  y 4 2y3 x3  y 4  4 3 ) Idem para z = cos ( 5x - 3y ) Resolução : ◙ z = -sen ( 5x - 3y ) . 5 = -5. sen ( 5x - 3y ) x ◙ z = -sen ( 5x - 3y ) . ( -3 ) = 3. sen ( 5x - 3y ) y 4 ) Idem para f(x,y) = 6x²y - 5x3y2 – 6y Resolução : ◙ f = 12xy - 15x2y2 x ◙ f = 6x² - 10x3y – 6 y  2 xy  3x 2  5 y 2 ; ( x, y )  (0,0)  5 ) Idem para f(x,y) =   0; ( x, y )  (0,0)   Resolução : PARA ( x, y )  ( 0, 0 ) ================ ◙ (2 y).(3x 2  5 y 2 )  (2 xy ).(6 x) 6 x 2 y  10 y 3  12 x 2 y f  6 x 2 y  10 y 3 f =    x x (3x 2  5 y 2 ) 2 (3x 2  5 y 2 ) 2 (3x 2  5 y 2 ) 2 (2 x).(3x 2  5 y 2 )  (2 xy ).(10 y) 6 x 3  10 xy 2  20 xy 2 f  10 xy 2  6 x 3 f ◙ =    x (3x 2  5 y 2 ) 2 y (3x 2  5 y 2 ) 2 (3x 2  5 y 2 ) 2 PARA ( x, y ) = ( 0, 0 ) ================ 0 2 x.0  0 L 'H 2 2 f f ( x,0)  f (0,0) 3 x  5 . 0 ◙ ( 0,0 ) = lim  lim 0 x 0 x 0 x x x 0 2.0. y 0 L 'H f f (0, y )  f (0,0) 3.0 2  5 y 2 ◙ ( 0,0 ) = lim  lim 0 y 0 y 0 y y y Resumindo :   6 x 2 y  10 y 3 ; ( x, y )  (0,0)  2 2 2 ( 3 x  5 y )  f =  x  0; ( x, y )  (0,0)     10 xy 2  6 x 3 ; ( x, y )  (0,0)  2 2 2 ( 3 x  5 y )  f =  y  0; ( x, y )  (0,0)   NOTAÇÕES : ◙ Derivadas parciais de primeira ordem :  z    x Seja z = f (x,y) :   z  y   zx    f ( x, y )  x f y ( x, y )  z y    f ( x, y )  y f x ( x, y )  ◙ Os valores das derivadas parciais de primeira ordem no ponto ( a, b )  z   x   z  y  ( a ,b )  f x ( a, b) ( a ,b )  f y ( a, b) CAPÍTULO 25 DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM  2 z   z     x 2 x  x  Derivada parcial de 2ª ordem em relação à x  2 z   z     y 2 y  y  Derivada parcial de 2ª ordem em relação à y 2z   z     xy x  y  2z   z     yx y  x  Derivadas parciais de 2ª ordem mistas OBS. : Quando a função z = f(x,y) é contínua, então 2z 2z  xy yx Exemplo : Determine as derivadas parciais de 2ª ordem de z = ln (x² + y² ). Resolução : 2z * 2 x ** 2.( x 2  y 2 )  2 x.2 x 2 x 2  2 y 2  4 x 2  2 x 2  2 y 2 ♦ 2 2    x x  y2 (x2  y 2 )2 (x 2  y 2 )2 (x 2  y 2 )2 ♠ 2z * 2 y ** 2.( x 2  y 2 )  2 y.2 y 2 x 2  2 y 2  4 y 2 2 x 2  2 y 2     2 y 2 x2  y2 (x 2  y 2 )2 (x 2  y 2 )2 (x  y 2 )2 2z   z  * y 2 y ** x 0.( x 2  y 2 )  2 y.2 x  4 xy ♥     2   2 2 2 2 2 xy x  y  x  y (x  y ) (x  y 2 )2 ♣ 2z   z  *x 2 x ** y 0.( x 2  y 2 )  2 x.2 y  4 xy    2   2 2 2 2 2 yx y  x  x  y (x  y ) (x  y 2 )2 Exercícios : Calcule as derivadas parciais de 2ª ordem das funções abaixo : 1 ) z = ex.cos y 2) z= 2 xy x  y2 2 3 ) z = arctg ( x² + y² ) 4) z= 3 xy x  2y CAPÍTULO 26 APLICAÇÕES DAS DERIVADAS PARCIAIS 1 ) Equação de Laplace 2z 2z Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis e , suas “parciais” de x 2 y 2 segunda ordem, chamamos de EQUAÇÃO DE LAPLACE, a seguinte expressão : 2z 2z  0 x 2 y 2 Analogamente, para w = f(x,y,z) temos a EQUAÇÃO DE LAPLACE : 2w 2w 2w   0 x 2 y 2 z 2 Nestes casos, dizemos que z e w ( Respectivamente ) satisfazem a Equação de Laplace. Obs. : Chamamos de LAPLACIANO a expressão 2 f 2 f 2 f    ... devido x 2 y 2 z 2 a sua similaridade com a Equação de Laplace 2 f 2 f 2 f    ...  0 . x 2 y 2 z 2 Exemplos : ● Verifique se as funções dadas satisfazem a Equação de Laplace. a ) w = x² -2y² +z² Resolução : ☺ ** 2w *  2 x  2 x 2 ** 2w * ☺ 2  4 y  4 y ☺ ** 2w *  2 z  2 z 2 2w 2w 2w    2420 x 2 y 2 z 2 Logo w satisfaz à “Laplace”. b ) Idem para z = ex.seny Resolução : ☺ ** 2z * x x x  e . sen y  e . 0  e . sen y  e x . sen y  e x .0  e x . sen y x 2 ☺ ** 2z * x x  0 . sen y  e . cos y  e . cos y  0. cos y  e x . sen y  e x . sen y 2 y  2z 2z  2  e x . sen y  e x . sen y  0 ; logo z satisfaz à “Laplace”. 2 x y Exercício : ● Idem para w = x2  y2  z 2 2 ) Diferencial Total ( ou Derivada Total ) z  z , as “ parciais “ de z = x  y f(x,y), chamamos de Diferencial ( ou Derivada ) Total a seguinte expressão : Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis e z  z z . x  . y x y OU dz z dx z dy  .  . dt x dt y dt Analogamente, para w = f(x,y,z) temos : w  w w w . x  . y  . z x y z OU dw w dx w dy w z  .  .  . dt x dt y dt z t Exemplos : ● Calcule a expressão do Diferencial Total de : 1 ) z = 3x²y + ln ( x²y³ ) Resolução : ◙ 2 xy 3 2 z 6 x 2 y  2 2(3x 2 y  1) = 6xy + 2 3 = 6xy + =  x x x x x y 3x 2 y 2 z 3 3x 2 y  3 3( x 2 y  1)  ◙ = 3x² + 2 3 = 3x² + == y y y y x y  dz  2  dx  3  dy 2(3x 2 y  1) dx 3( x 2 y  1) dy   6 xy     3x 2    = . x dt y dt dt  y  dt  y  dt 2 ) Idem para z = 2 xy x  3y 2 2 Resolução : ◙ 2 y.( x 2  3 y 2 )  2 xy.2 x 2 x 2 y  6 y 3  4 x 2 y  6 y 3  2 x 2 y z =   x (x2  3y 2 )2 (x2  3y 2 )2 (x2  3y 2 )2 2 x.( x 2  3 y 2 )  2 xy.(6 y) 2 x 3  6 xy 2  12 xy 2 2 x 3  6 xy 2 z ◙ =   2 y (x 2  3y 2 )2 (x2  3y 2 )2 (x  3y 2 )2  dz   6 y 3  2 x 2 y  dx  2 x 3  6 xy 2  dy     . dt  x 2  3 y 2 2  dt  x 2  3 y 2 2  dt     Exercícios : 1 ) Idem para z = x³.e3x + 4y² 2 ) Idem para z = 3x²y.sen ( 2x + 3y ) 3 ) Idem para z = sec ( x² + 2xy³ ) 3 ) Vetor Gradiente Seja z = f(x, y) uma função de duas variáveis e z  z , as “ parciais “ de z = x  y f(x, y). Seja P0 (x0, y0), um ponto do plano xy; a projeção de “z” no plano dada por z z 2 curvas de nível e P0 , P0 as derivadas calculadas no ponto Po,  plano R x y chamamos de Vetor Gradiente ao seguinte vetor :  z  z P0 =   x P0 , z y P0    O Vetor Gradiente é ortogonal à reta tangente a uma curva de nível pelo ponto P0 (x0, y0). Graficamente ... z z = f(x, y) y0 z x0 20 y P0  Po 40 70 100 x 150 120 Reta Tangente Curvas de Nível O Vetor Gradiente aponta para onde z = f(x,y) tem maior velocidade. Obs : Em Geometria Analítica, o Vetor Gradiente recebe o nome de Vetor Normal. Analogamente, quando temos w = f(x, y, z), o Vetor Gradiente será ortogonal ao plano tangente à uma superfície de nível por um ponto P (x0, y0, z0) do espaço R3, daí :  z z z  z P =  P, P,  x y z P    Exemplos : ● Determine o vetor gradiente das funções abaixo no ponto Po  plano R2. 1 ) z = ln ( x² + y² ) em Po ( 0, 1 ). Resolução : ◙ 2x z z = 2  2 x x x y ( 0,1)  2.0 0  0 2 1 0 1 2  z ( 0 ,1) = ( 0, 2 )  ◙ 2y z z = 2  2 y y x y ( 0,1) 2 ) z = x.sen y em Po ( 1,  2.1 2  2 2 1 0 1 2  ). 2 Resolução : ◙ z z = 1. sen y  x.0  sen y  x x    1,   2  sen  2 1  ◙ z z = 0. sen y  x. cos y  x. cos y  y y    1,   2 Exercícios : 1 ) Idem para z = 3.x²y³.e2xy em Po ( 1, -1 ) . 2 ) Idem para z = 2x 2 y em Po ( -1, 1 ) . x2  y3  1. cos  2  cos  z   1,   2  2 0 = ( 1, 0 ) CAPÍTULO 27 DERIVADA DIRECIONAL ( Inclinação ) Se z = f(x,y) é uma função diferenciável de x e y com u = u1i + u2j um vetor unitário, então a derivada direcional de z na direção de u é denotada por : Duz = z z .u1 + .u2 x y (I) Seja o vetor gradiente  z ( x 0 , y 0 ) temos que a derivada direcional é a direção assumida pelo vetor gradiente quando “aplicado” no vetor unitário u, logo, para calcularmos a  z   z  derivada direcional temos o vetor decomposto em  zP0   P0  i   P0    j e combinado  x   y  com a equação ( I ) chegamos em : Duz =  z P 0 .u Produto Escalar Exemplos : 1 ) Ache a derivada direcional de f(x,y) = 3x²y no ponto P0 ( 1, 2 ) na direção a = 3i + 4j. Resolução : Como a não é vetor unitário, temos que normaliza-lo, daí : u= 1 a 3i  4 j 3i  4 j 3i 4j 3 4 .a      u  i j 2 2 2 2 a a 5 5 25 25 3 4 a1  a2 Logo :  z ( 1, 2 )  z x (1, 2 ) i z y (1, 2 ) j  6xy (1, 2 ) i  3x 2 3 4 Portanto : Duz =  z P 0 .u = (12i  3 j ). i  5 5 (1, 2 ) j  (6.1.2)i  (3.1) j   z(1, 2 )  12i  3 j 3 4 36 12  j   12.  3.    5 5 5 5  Duz = 48 5 2 ) Ache a derivada direcional de f(x,y) = x³y² no ponto P0 ( -1, 2 ) na direção a = 4i - 3j. Resolução : Como a não é vetor unitário, temos que normaliza-lo, daí : u= 1 a 4i  3 j 4i  3 j 4i 3j 4 3 .a      u  i j 2 2 a a 5 5 25 25 4 2  (3) 2 a1  a2 Logo :  z( 1, 2 )  z x ( 1, 2 ) i z y ( 1, 2 ) j  3x 2 y 2 ( 1, 2 ) i  2x 3 y ( 1, 2) j  3(1) 2 (2) 2 i  2(1) 3 .2 j   z( 1, 2 )  12i  4 j 4 3 48 12 60 4 3  Portanto : Duz =  z P 0 .u = (12i  4 j ). i  j   12.  4.     5 5 5 5 5 5 5  Exercícios : 3 4 1 ) Ache a derivada direcional de f(x,y) = e2xy , P0 ( 4, 0 ) e u =  i  j . 5 5 2 (i  j ) . 2 ) Idem para z = x² - 5xy + 3y² , P0 ( 3, -1 ) e u = 2 3 ) Idem para f(x,y) = 9 x 2  4 y 2  1 , P0 ( 3, -2 ) e a = i + 5j . 4 ) Idem para f(x,y) = xcos²y , P0 ( 2, 5 ) Idem para f(x,y) = arctg  ) , a = < 5, 1 > . 4 y , P0 ( 4, -4 ) , a = 2i – 3j . x 6 ) Idem para f(x,y) = 4x3y2, P0 ( 2, 1 ) , a = 3i – 4j . Duz = 12 CAPÍTULO 28 MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS TEOREMA DO VALOR EXTREMO Da mesma forma estudada no Cálculo II, vamos citar o Teorema do Valor Extremo para funções de duas variáveis. Seja f(x,y) uma função contínua em um conjunto fechado e limitado R, então f possui tanto máximo quanto mínimo absolutos em R . EXTREMOS No curso de Cálculo II aprendemos a determinar MÁXIMOS e mínimos de funções de uma variável. Hoje vamos, utilizando técnicas análogas, começar a aprender a determina-los a partir de funções de DUAS variáveis. Analisando um gráfico de uma função f de duas variáveis, podemos notar pontos altos e baixos em suas vizinhanças imediatas. Tais pontos são chamados de máximos e mínimos relativos de f, respectivamente. O mais alto máximo dentro do domínio de f é chamado de máximo absoluto. O mais profundo mínimo dentro do domínio de f é chamado de mínimo absoluto. Vamos defini-los, portanto, da seguinte maneira : Seja a função f(x,y), dizemos que ela possui máximo relativo em um ponto P0 ( x0, y0 ) se existe um círculo centrado em P0 de modo que f(x0,y0)  f(x,y) para todo ponto ( x, y ) do domínio de f no interior do círculo, analogamente, ela possui um máximo absoluto em P0 se f(x0,y0)  f(x,y) para todos os pontos ( x, y ) do domínio de f. Seja a função f(x,y), dizemos que ela possui mínimo relativo em um ponto P0 ( x0, y0 ) se existe um círculo centrado em P0 de modo que f(x0,y0)  f(x,y) para todo ponto ( x, y ) do domínio de f no interior do círculo, analogamente, ela possui um mínimo absoluto em P0 se f(x0,y0)  f(x,y) para todos os pontos ( x, y ) do domínio de f. Obs. : Complementando o que já foi definido, se a função possui máximo ou mínimo relativo, dizemos que ela possui extremo relativo no ponto, e se ela possui máximo ou mínimo absoluto, diz-se que ela possui extremo absoluto no ponto. DETERMINAÇÃO DOS EXTREMOS RELATIVOS Para determinarmos os extremos relativos, verificamos que a função f tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas em ( x0, y0 ) e que f( x0, y0 ) é extremo relativo de f, daí tem-se o plano tangente ao gráfico de z = f ( x, y ) em ( x0, y0, z0 ) paralelo ao plano xy com equação z = z0. Os pontos críticos de f são aqueles onde as “parciais” de primeira ordem são zero ou f não é diferenciável, daí temos a definição :  Seja f uma função de duas variáveis, o ponto ( x0, y0 ) é chamado de crítico se f x ( x0 , y0 )  0e f y ( x0 , y0 )  0 ou se uma ou ambas derivadas parciais de primeira ordem não existirem em ( x0, y0 ). Exemplo :  Seja f (x,y) = 1 + x² + y², com x² + y²  4. Ache os extremos de f . Resolução : Temos x² + y²  4 o disco fechado R de raio 2 e centro ( 0, 0 ) no plano xy. Daí, pela última definição : f x Único ( x0 , y0 ) 0 2x = 0  f y ( x0 , y0 )  0 ( x, y ) = ( 0, 0 ) , logo f(x,y) = f (0,0) = 1 2y = 0 Extremo Relativo Veja o gráfico : z z = 1 + x2 + y2 1 -2 -2 2 2 R x y PONTO DE SELA Um ponto P ( x0, y0, f(x0,yo) ) é chamado de Ponto de Sela se f x ( x0 , y0 )  f y ( x0 , y0 )  0 , mas porém, a função não possui nem mínimo nem máximo relativo no ponto, pois numa direção ele se comporta como máximo e noutra como mínimo. Veja o gráfico abaixo da função z = y² - x² no ponto P0 ( 0, 0 ) temos f ( 0, 0 ) = 0 comportando-se como máximo na direção de x e como mínimo na direção de y e note o formato do gráfico que lembra uma sela. z z = y² - x² P  y x TESTE DA SEGUNDA DERIVADA ( Para extremos relativos ou locais ) ◙ Seja f uma função de duas variáveis dotada de derivadas parciais de segunda ordem contínuas em um círculo centrado em um ponto crítico ( x 0,y0 ) , temos o discriminante D ... 2 f D= 2 x 2 f . ( x0 , y0 ) y 2  2 f     ( x0 , y0 )  xy  2 ( xo , y0 ) Se ... 2 f > 0 então, f tem mínimo relativo em ( x0, y0 ) . x 2 2 f ♠D>0 e < 0 então, f tem máximo relativo em ( x0, y0 ) . x 2 ♦D>0 e ♥ D < 0 então, f tem ponto de sela em ( x0, y0 ) . ♣ D = 0 então, nada podemos concluir . Exemplos : 1 ) Determine todos os pontos extremos e pontos de sela da função f(x,y) = 3x² -2xy + y² - 8y. Resolução : ● f y  6x  2 y  0  x  . x 3 ● f  2 x  2 y  8  0 . y ● Substituindo x da primeira derivada na segunda ...  2y  y  2   2 y  8   2 y  8  2 y  6 y  24  4 y  24  y  6 . 3 3 ● Substituindo y em x da primeira derivada ... x y 6  x   x  2 , portanto temos P0 ( x0, y0 ) = P0 ( 2, 6 ) Único Ponto Crítico no plano . 3 3 ● ** 2 f *  6 x  2 y  6. x 2 ● ** 2 f *  2 x  2 y  8  2 . 2 y ● **x 2 f   f  *y     2 x  2 y  8  2 . xy x  y  2 f  D= x 2 2 f ( 2, 6 ) . y 2  2 f  ( 2, 6 )    xy    2 ( 2, 6 )  6.2  (2) 2  12  4  D = 8 . D=8>0 ● Temos portanto Mínimo Relativo .  f =6>0 x 2 2 ● Logo f ( 2, 6 ) = -24 então o ponto P ( 2, 6, -24 ) é Ponto de Mínimo Relativo de f. 2 ) Idem para z = 4xy – x4 – y4 . Resolução : ● 4 f  4 y  4x 3  0  y  x 3 . x ● 4 f  4x  4 y 3  0  x  y 3  0 . y ● Substituindo y da primeira derivada na segunda ...   x x 3 3 x0    0  x  x  0  x.(1  x )  0   ou 8 1  x  0   9 8  x  1   x  1  x   1   ou .  x 1  8 8 ● Logo, temos, para ... x = -1 x =0 x =1 y = x3 y = (-1)3 y = -1 y = x3 y = (0)3 y=0 y = x3 y = (1)3 y=1 Por tanto, temos os pontos críticos : ● ** 2 f * 3  4 y  4 x   12 x 2 . x 2 ● ** 2 f * 3  4 x  4 y   12 y 2 . y 2 P0 ( -1, -1 ) Q0 ( 0, 0 ) S 0 ( 1, 1 ) **x 2 f   f  * y     4 x  4 y 3  4 . ● xy x  y  ● Como temos mais do que um ponto crítico, vamos montar uma tabela ... Ponto Crítico no plano 2z x 2  x0 , y0  2z y 2  x0 , y0  2z xy D  x0 , y0  ( x0, y0 ) P0 ( -1, -1 ) -12 < 0 -12 4  z  z  z   = 2.  x y 2  xy  2 2 2 Conclusão -12 . (-12) - 4² = 128 > 0 Máximo Relativo Q0 ( 0, 0 ) 0 0 0 . 0 . – 4² = -16 < 0 4 Ponto de Sela S0 ( 1, 1 ) -12 < 0 -12 4 -12 . (-12) - 4² = 128 > 0 Máximo Relativo P ( -1, -1, 2 ) Ponto de Máximo Relativo . ● Aplicando os pontos críticos na função f (x,y) temos : Q ( 0, 0, 0 ) Ponto de Sela . S ( 1, 1, 2 ) Ponto de Máximo Relativo . NOTA : Vimos nos Exemplos 1 e 2 que ao determinarmos os pontos de máximo e mínimo relativos encontrávamos um ponto P0  R² ( Plano Cartesiano ). Na verdade o que ocorre é que para este P0 ( x0, y0 ) vamos associar um ponto P ( x0, y0, f ( x0, y0 ) ) onde f ( x0, y0 ) é o verdadeiro extremo máximo ou mínimo. Daí : f (x, y ) = 3x² - 2xy + y² - 8y ◙ No exemplo 1, temos : MÍNIMO RELATIVO = z0 = f ( x0, y0 ) = f ( 2, 6 ) = -24 em P0 ( 2, 6 ) . PONTO DE MÍNIMO RELATIVO de f : P ( x0, y0, f ( x0, y0 ) ) = P ( 2, 6, -24 ). ◙ No exemplo 2, temos : z = 4xy - x4 – y4 Máximo Relativo em P0 ( -1, -1 ) Sela em Q0 ( 0, 0 ) Máximo Relativo em S0 ( 1, 1 ) Logo : ◙ Para P0 ( -1, -1 ) temos z0 = 4. (-1).(-1) – (-1)4 – (-1)4 = 4 – 1 – 1  z0 = 2 .  P ( -1, -1, 2 ) é PONTO DE MÀXIMO RELATIVO de f . ◙ Para Q0 ( 0, 0 ) temos z0 = 4. (0).(0) – (0)4 – (0)4 = 0 – 0 – 0  Q ( 0, 0, 0 ) é PONTO DE SELA .  z0 = 0 . ◙ Para S0 ( 1, 1 ) temos z0 = 4. (1).(1) – (1)4 – (1)4 = 4 – 1 – 1  z0 = 2 .  S ( 1, 1, 2 ) é PONTO DE MÀXIMO RELATIVO de f . EXERCÍCIOS : Baseando-se nestas adaptações, vamos fazer os exercícios seguintes . . . 1) Localize todos os pontos máximos e mínimos relativos de sela das funções : a ) f ( x, y ) = ( x – 2 )2 + ( y + 1 )2. b ) f ( x, y ) = - x2 – y2 – 1. c ) f ( x, y ) = x + 2y – 5. 2 ) Idem para f ( x, y ) = x2 + y2 – 6x + 4y + 13. 3 ) Idem para f ( x, y ) = x2 + 2y2 – x2y. EXERCÍCIOS EXTRAS : RESPOSTAS : 1 ) Idem para f ( x, y ) = 3x2 + 2xy + y2 . P ( 0, 0, 0 ) Pto. Mín. Rel. 2 ) Idem para f ( x, y ) = y2 + xy + 3y + 2x + 3 . P ( 1, -2, 1 ) Pto. De Sela 3 ) Idem para f ( x, y ) = x2 + xy + y2 - 3x . P ( 2, -1, -3 ) 4 ) Idem para f ( x, y ) = x2 + y2 + 2.x-1.y-1. P ( -1, -1, 4 ) e Q ( 1, 1, 4 ) Ptos. Mín. Rel. 5 ) Idem para f ( x, y ) = x2 + y - ey . P ( 0, 0, -1 ) Pto. Sela 6 ) Idem para f ( x, y ) = ex.seny . Não existe Máx. ou Mín. Rel. 7 ) Idem para f ( x, y ) = e-(x²+y²+2x) . P ( -1, 0, e ) Pto. Máx. Rel. Pto. Mín. Rel. CAPÍTULO 29 DETERMINAÇÃO DOS EXTREMOS ABSOLUTOS EM CONJUNTOS FECHADOS E LIMITADOS ● Seja f uma função contínua de duas variáveis em um conjunto fechado e limitado R, então f possuí extremo máximo absoluto e mínimo absoluto para algum ponto de R . Teorema do Valor Extremo para funções de duas variáveis Os pontos extremos absolutos de uma função, como mencionada no teorema acima, ocorrem em pontos críticos da função que se localizam no interior do conjunto ( Região ) R, ou em pontos na fronteira de R . Vamos indicar, a seguir, um método para determinar os máximos e mínimos absolutos em conjuntos fechados e limitados R . . . I ) Determine os valores de f nos pontos críticos de f em R. II ) Determine todos os valores extremos de fronteira de R. III ) O maior valor encontrado resultante de I e II é o valor máximo absoluto; o menor valor encontrado resultante de I e II é o valor mínimo absoluto. Exemplos : 1 ) Determine os valores de máximo e mínimo absoluto de f ( x, y ) = 3xy – 6x – 3y + 7 sobre a região triangular R  R2 ( Plano Cartesiano ) com vértices A0 ( 0, 0 ) , B0 ( 3, 0 ) e C0 ( 0, 5 ). Veja a figura : y 5 R P ● 0 3 x Resolução : ● ● f  3y –6 = 0  y0 = 2 x f  3x – 3 = 0  x0 = 1 y  D0 (x0, y0 ) = D0 ( 1, 2 ) é Único Ponto Crítico no interior de R. ● Vamos determinar os pontos de fronteira de R onde poderá ocorrer valores extremos : Analisando cada segmento de reta limitado pelos vértices ... ◙ Para o segmento ( 0, 0 ) até ( 3, 0 ) temos y0 = 0 para 0  x  3 . u ( x ) = f ( x, 0 ) = 3.x.0 – 6x – 3.0 + 7 = -6x + 7. u’ ( x ) = -6 0 portanto não há ponto crítico em u ( x ) , além dos vértices A0 ( 0, 0 ) e B0 ( 3, 0 ). ◙ Para o segmento ( 0, 0 ) até ( 0, 5 ) temos x0 = 0 para 0  y  5. v ( y ) = f ( 0, y ) = 3.0.y – 6.0 – 3.y + 7 = -3y + 7. v’ ( y ) = -3 0 portanto não há ponto crítico em v ( y ) , além dos vértices A0 ( 0, 0 ) e C0 ( 0, 5 ). ◙ Para o segmento ( 3, 0 ) até ( 0, 5 ) no plano xy uma das equações é w(x)= ** 5 y   x  5 ; 0  x  3. 3 5    5   5  f  x, x  5   3x  x  5   6 x  3  x  5   7  w( x)  5 x 2  14 x  8 . 3    3   3  w’ ( x ) = -10x + 14 =0  x0 = 7 5 8 , substituindo em y   x  5 temos y0 = , logo temos o 5 3 3 7 8 ,  , além dos vértices B0 ( 3, 0 ) e C0 ( 0, 5 ).  5 3 ponto crítico E0  ** x y 1 5 3 0 1  0  15  5x  3y  0  3y  5x  15  y   x  5 . 3 0 5 1 ◘ O último procedimento agora é montar uma tabela para indicarmos os Extremos Absolutos ... Aplicando, na função f ( x, y ) = 3xy – 6x – 3y + 7, os pontos críticos encontrados no plano, obtemos . . . A0 B0 ( x0, y0 ) ( 0, 0 ) ( 3, 0 ) z0 = f ( x0, y0 ) 7 -11 C0 D0 E0 Ponto Crítico no Plano Conclusão ☺ Daí temos ... Máx. Abs. Mín. Abs. ( 0, 5 ) ( 1, 2 ) -8 1 --o-- --o-- 7 8  ,   5 3 9 5 --o-- z0 = 7 : Valor ( ou Extremo ) Máximo Absoluto . z0 = -11 : Valor ( ou Extremo ) Mínimo Absoluto . Ponto de Máximo Absoluto A ( 0, 0, 7 ) ☺☺ Finalmente temos os pontos no espaço como resposta... Ponto de Mínimo Absoluto B ( 3, 0, -11 ) EXERCÍCIOS : 1 ) Idem para f (x,y) = xy – x – 3y sobre a região R triangular com vértices ( 0, 0 ) , ( 5, 0 ) e ( 0, 4 ) . 2 ) Idem para f(x,y) = x2 – 3y2 - 2x + 6y sobre a região R quadrada com vértices ( 0, 0 ) , ( 2, 0 ) , ( 0, 2 ) e ( 2, 2 ) . 3 ) Idem para f (x,y) = -3x + 4y + 5 sobre a região R triangular com vértices ( 0, 0 ) , ( 4, 0 ) e ( 4, 5 ) . EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES : 1 ) Determine as dimensões de uma caixa retangular aberta no topo, cuja área total é de 12 m² para que ela possua um volume máximo. 2 ) Determine as dimensões de uma caixa retangular aberta no topo, com um volume de 32 cm3 e que sabendo-se que será utilizada a mínima quantidade de material para sua construção. 3 ) Qual a área máxima que um retângulo pode ter se seu perímetro é de 20 cm ? CAPÍTULO 30 REGRA DA CADEIA Derivada total  z  f ( x, y )  Sejam  x  g (t ) a Derivada Total de z é dada por :  y  h(t )  dz z dx z dy  .  . dt x dt y dt Exemplos :  z  f ( x, y )  xy  x 2 dz  1)  determine x(t )  t  1 dt  y (t )  t  4  Resolução : ● z  y  2x x ●● z x y ● dx 1 dt ●● dy 1 dt Com as condições iniciais : x (t) = t + 1 y (t) = t + 4 Portanto ... dz z dx z dy  .  .  ( y  2 x).(1)  ( x).(1)  y  2 x  x  y  3x  (t  4)  3(t  1)  dt x dt y dt dz  t  4  3t  3   4t  7. dt  z  f ( x, y )  sen(2 x  5 y ) dz  2)  determine x  cos t dt  y  sen t  Resolução : ● z  cos(2 x  5 y ).2 x ●● z  cos(2 x  5 y ).5 y ● dx   sen t dt ●● dy  cos t dt dz z dx z dy  .  .  2. cos(2 x  5 y).( sen t )  5. cos(2 x  5 y).(cos t )  dt x dt y dt  2. cos(2. cos t  5. sen t ).sen t  5. cos(2. cos t  5. sen t ). cos t  dz   (2. sen t  5. cos t ). cos(2. cos t  5. sen t ) . dt Portanto ... Exercícios : ● Dê a expressão da Derivada Total das funções :  z  5 xy  x 2  y 2  a)  x  t 2 1  y t2   z  tg ( x 2  y )  d)  x  2t  y  t2   z  ln xy  2 b )  x  2t y  t 2  2   z  x 2  3xy  5 y 2  e)  x  sen t  y  cos t   f ( x, y )  ln( x 2  y 2 )  c)  x  2t  1  y  4t 2  5  PLANO TANGENTE e RETA NORMAL Dada a a função z = f(x,y), o Plano Tangente ao gráfico desta função passando pelo ponto P ( x0, y0, z0 ) com z diferenciável em ( x0, y0 ) é dado pela equação : z  z0  z x ( x0 , y0 ) .( x  x0 )  z y ( x0 , y0 ) .( y  y 0 ) onde z0 = f( x0, y0 ). Tal plano é perpendicular ao vetor pelo ponto P e é paralela ao vetor  z     x ( x 0 , y0 ) , z y ( x 0 , y0 )  ,1 e considerando a reta r que passa   temos que r é denominada Reta Normal ao gráfico de z = f(x,y) e tem como equação : r : ( x, y, z ) = ( x0, y0, z0 ) +  z  .   x ( x0 , y0 ) , z y ( x0 , y0 )  ,1 ;   R  Graficamente ... z Reta Normal Plano Tangente z=f z0 P● ● (x,y) ● y0 y x0 x Exemplos : 1 ) Dê a equação do plano tangente e da reta normal à superfície z x2  y 2 no ponto P ( 2, -1, z0 ) . 2 Resolução : ● z0 = f (x0, y0 ) = ●● 22 4  (1) 2   1  z0 = 1. 2 2 z 2 x z  x x 2 x ●●● z z  2 y  y y ( x0 , y0 ) ( x0 , y0 )  x ( 2, 1)  2 .  2 y ( 2, 1)  2.(1)  2 . Portanto ... ●●●● z  z0  z x ( x0 , y0 ) .( x  x0 )  z y ( x0 , y0 ) .( y  y 0 )  z  1  2.( x  2)  2.( y  1)   z  1  2x  4  2 y  2  2x  2 y  z  1  z  z   .  (x ,y ) , ( x , y ) ,1 ;   R  y  x   z  z ;   R  , ,  1 ( x, y, z ) = ( 2, -1, 1 ) +  .  ( 2 ,  1 ) ( 2 ,  1 )  x   y   ●●●●● r : ( x, y, z ) = ( x0, y0, z0 ) +  r:  ( Eq. do plano tangente ) 0 0 0 0  r : ( x, y, z ) = ( 2, -1, 1 ) +  .( 2, 2, -1 );   R ( Eq. da reta normal ) 2 ) Dê a equação do plano tangente e da reta normal à superfície z = 2x2 – 3y2 no ponto P ( 1, 1, z0 ) . Resolução : ● z0 = f (x0, y0 ) = 2.(1)2 – 3.(1)2  z0 = -1. ●● z z  4x  x x ●●● ( x0 , y0 ) z z  6 y  y y  4 x (1,1)  4 . ( x0 , y0 )  6 y (1,1)  6.(1)  6 . Portanto ... ●●●● z  z0  z x ( x0 , y0 ) .( x  x0 )  z y ( x0 , y0 ) .( y  y 0 )  z  1  4.( x  1)  6.( y  1)   z  1  4 x  4  6 y  6  4 x  6 y  z  1 ●●●●● r : ( x, y, z ) = ( x0, y0, z0 ) +  z  .   x ( x0 , y0 )  z  r : ( x, y, z ) = ( 1, 1, -1 ) +  .   x , (1,1) z y , z y ( Eq. do plano tangente ) ( x0 , y0 ) (1,1)  ,1 ;   R    ,1 ;   R    r : ( x, y, z ) = ( 1, 1, -1 ) +  .( 4, -6, -1 );   R Exercícios : 1 ) Idem para z = xy em P ( 1, 1, z0 ) . 2 ) Idem para z = 4x2 + 9y2 em P ( -2, -1, z0 ) . 3 ) Idem para z = ln(xy) em P ( 1 , 2, z0 ) . 2 ( Eq. da reta normal )