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Capítulo 8
A Matemática Chinesa, Hindu e Árabe Uma mistura de conchas de pérolas e frutas amargas ou de valioso cristal e pedregulho. Índia, de Al-Biruni
8.1 CHINA Embora as civilizações da China antiga ao longo dos rios Yang-Tze e Howang Ho provavelmente sejam posteriores à civilização egípcia ao longo do Nilo e à babilônia, entre o Tigre e o Eufrates, muito pouco material de natureza primária oriundo delas chegou até nós. Isso em virtude de os povos da época com certeza fazerem muitos de seus registros em bambu, um material perecível. E, para agravar, o egotista imperador Shi Huang-ti ordenou em 213 a.C. uma lamentável queima de livros. A despeito de ameaças e represálias severas, o edito do imperador certamente não foi levado a efeito completamente; mas como muitos dos livros queimados foram reconstituídos de memória, hoje há dúvidas sobre a autenticidade de grande parte do material bibliográfico que se alega ser anterior àquela data infeliz. Por conseqüência, muito de nosso conhecimento sobre a matemática chinesa primitiva baseia-se em informações orais e interpretações posteriores de textos originais. Um relato da história da matemática da China antiga começa no período Shang, com algumas inscrições em ossos e carapaças de tartarugas que revelam um sistema de numeração decimal bastante próximo do sistema multiplicativo chinês-japonês tradicional. Mesmo nesses tempos tão antigos já encontramos na China o germe dos sistemas de numeração posicionais. Por perto do período Han ou talvez antes, o sistema de numeração em barras que se utilizava de arranjos com varetas de bambu e que representava o zero por um espaço em branco, já se firmara. No sistema de "numeração em barras" os dígitos de um a nove apareciam como e os nove primeiros múltiplos de dez como . Assim, por exemplo, representa-se 56789 por . Esse sistema de numeração posicional constitui-se no sistema de numeração mais avançado do mundo de então, tendo desempenhado um papel importante no caráter da matemática chinesa antiga, que girava em torno de cálculos. As operações aritméticas elementares eram efetuadas em tábuas de contar. O familiar ábaco chinês, o suan pan, que consiste em contas móveis ao longo de varas ou arames paralelos por sobre um tabuleiro, descende dessa forma primitiva de calcular. Um dos trabalhos chineses mais antigos, o I-King, ou Livro das Permutações, também data do período Shang, pois se pretende que tenha sido escrito por Won-Wang (1182-1135 a.C.). Nele aparece o Liang I, ou “os dois princípios” (o masculino Yang: - e o feminino Ying: - -). A partir deles formam-se as seguintes oito figuras, chamadas Pa-kua: Esses oito símbolos, aos quais estão ligados vários atributos, passaram a ser usados em adivinhações. Embora não se possa garantir nada, pode-se vislumbrar nos Pa-Kua um prenúncio do sistema de numeração binário. Pois tomando-se – como um e - - como zero, as sucessivas colunas de traços acima, começando da direita representariam os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,. No I-King encontra-se também o mais antigo exemplo de quadrado mágico. O mais importante dos textos de matemática chineses antigos é o K’ui-ch’ang Suan-shu, ou Nove capítulos Sobre a Arte da Matemática, que data do período Han mas que muito provavelmente contém material bem mais antigo. É uma síntese do conhecimento matemático chinês antigo. Nele estão estabelecidos os traços da matemática antiga da China: cálculos orientados, com teoria e prática ligadas numa seqüência de problemas aplicados. O trabalho, que é rico em conteúdo, consta de 246 problemas sobre agricultura, procedimentos em negócios, engenharia, agrimensura, resolução de equações e propriedades de triângulos retângulos. São dadas, mas não há demonstrações no sentido grego. No Problema 36 do Capítulo I a área de um segmento circular de base b e sagitta (altura) s é dada pela fórmula empírica s(b + s)/2. Pode-se Ter chegado a ela da maneira indicada na figura abaixo, em que, se traçarem as secantes de modo a fazer com que a área
do triângulo isósceles seja aparentemente igual à do segmento circular, fica-se com a impressão de que essas retas cortam os prolongamentos da base a uma distância S/2 d cada uma das extremidades. Para um semicírculo a fórmula empírica leva ao valor aproximado 3 para . Há também no texto problemas que levam a sistemas de equações lineares cuja resolução se faz pelo método das matrizes, como seria chamado hoje. O conteúdo de cada um dos nove capítulos do K’ui-ch’ang Suan-shu é o seguinte: (1) Questões de agrimensura, com regras completas para as áreas do triângulo, do trapézio e do círculo 2 2 e com aproximações para o círculo dadas por (3/4)d e (1/12)c , onde se toma como 3; (2) Porcentagem e proporção; (3) Regra de sociedade e regra de três; (4) Determinação de lados de figuras, incluindo cálculos de raízes quadradas e cúbicas; (5) Volume; (6) Problemas de movimento e ligas; (7) A regra de falsa posição; (8) Sistemas de equações lineares e procedimentos matriciais; (9) Triângulos retângulos pitagóricos. Outro clássico famoso, talvez mais antigo do que os Nove Capítulos sobre a Arte da Matemática, é o Chóu-peï, que apenas parcialmente trata de matemática. Para nós seu interesse principal reside na discussão que faz, baseada no diagrama ao lado (mas sem nenhuma prova), do teorema de Pitágoras. Um acontecimento interessante ocorrido em janeiro de 1984 foi a descoberta de um livro de aritmética escrito em tiras de bambu, desenterrado de túmulos que remontam à dinastia Han. O trabalho, transcrito por volta do século II a.C., é uma coleção de mais de noventa problemas envolvendo as quatro operações matemáticas, tanto com inteiros como com frações, proporções, áreas e volumes. Atualmente é o trabalho matemático chinês mais antigo de que se tem notícia. Posteriormente ao período de Han viveu o matemático Sun- tzï, que escreveu um livro cujo material se assemelha muito ao dos Nove Capítulos sobre a Arte da Matemática. Ë nesse trabalho que se encontra o primeiro problema chinês de análise indeterminado: um certo número desconhecido de coisas quando divido por 3 deixa resto 2, por 5 resto 3 e por 7 resto 2. Qual é o (menor) número?” Nele encontramos a semente do famoso Teorema Chinês dos restos da teoria dos números. Durante a dinastia Tang reuniu-se uma coleção dos mais importantes livros de matemática disponíveis, para uso oficial nos exames imperiais. A imprensa se inaugurou no século VIII, mas o primeiro livro de matemática impresso de que se tem notícia só apareceu em 1084. Num trabalho escrito por um certo Wang Hs’iao-t’ung, por volta de 625, encontra-se a primeira equação cúbica da 3 matemática chinesa mais complicada do que x = a dos Nove Capítulos sobre a Arte da Matemática. Uma importante edição impressa dos Nove Capítulos apareceu durante a dinastia Sung em 1115. O período que vai da última parte da dinastia Sung até a parte inicial da dinastia Yüan marca o pináculo da matemática chinesa antiga. Muitos matemáticos importantes despontaram e muitos livros de matemática valiosos apareceram. Dentre os matemáticos estavam Ch’in Kiu-shao (cujo livro é de 1274), Li Yeh (com livros datados de 1248 e 1259), Yang Hui (com livros datados de 1261 e 1275) e, o maior de todas, Chu Shï-kié (cujos livros datam de 1299 e 1303). Ch’in reencetou a abordagem das equações indeterminadas onde sun Tzï havia parado. Foi ele também o primeiro chinês a dar um símbolo específico para o zero: uma circunferência. Foi um dos matemáticos que generalizaram o método de extração de raízes quadradas para equações de grau superior, de uma maneira que leva ao método numérico de resolução de equações algébricas hoje conhecido como método de Horner, uma vez que foi descoberto independentemente pelo mestre-escola inglês William George Horner (1786-1837) que o publicou em 1819. Li Yeh merece menção especial por ter introduzido uma notação para números negativos que consistia em fazer um traço diagonal no dígito da direita de um número escrito no sistema científico ou no sistema de barras chinês. Assim, 10724 aparecia na forma da figura ao lado.
Yang Hui, cujos livros São uma espécie de extensão dos Nove Capítulos sobre a Arte da Matemática, trabalhou habilmente com frações decimais; em essência seu método era o mesmo que se usa hoje. Devemos a ele também a antiga apresentação preservada do chamado triângulo Aritmético de Pascal. Há uma outra manifestação do triângulo num livro posterior escrito por Chu Shï-kié em 1303; é interessante que Chu fala do triângulo como algo já antigo em seu tempo. É possível então que o teorema do binômio já fosse conhecido na China de longa data. É interessante observar que a descoberta chinesa do teorema binomial para potências inteiras estava associada em sua origem, à extração de raízes e não a potenciações. Nos livros de Chu encontra-se a apresentação mais acabada dos métodos aritmético-algébricos chineses de que se tem conhecimento. Ele se utiliza dos métodos matriciais comuns hoje em dia e seu método de eliminação e substituição já foi comparado ao de J. J. Sylvester (1814-1897). Após o declínio da matemática grega clássica, a matemática da China tornou-se uma das mais criativas do mundo. Enquanto a Europa Ocidental atravessava o marasmo cultural da Baixa Idade Média, a matemática chinesa crescia, produzindo resultados que a Europa só iria redescobrir muito mais tarde, durante ou após o Renascimento. Apenas para mencionar algumas dessas realizações, notemos que a China foi a primeira a criar um sistema de numeração posicional decimal, reconhecer os números negativas, obter valores precisos de , chegar ao método de Horner para soluções numéricas de equações algébricas, apresentar o triângulo aritmético de Pascal, se inteirar do método binomial, empregar métodos matriciais para resolver sistemas de equações lineares, resolver sistemas de congruências pelo método hoje consubstanciado no Teorema Chinês dos restos, desenvolver as frações decimais, desenvolver a regra de três, aplicar a regra de falsa posição dupla, desenvolver séries aritméticas de ordem superior e suas aplicações à interpolação e desenvolver a geometria descritiva. Muitas das descobertas chinesas em matemática acabaram por fim fazendo o caminho da Europa via Índia e Arábia. Por outro lado, só com a chegada dos jesuítas à China no período Ming a influência matemática ocidental se fez sentir na China. O italiano Matteo Ricci (1552-1610), com a ajuda de Hsü Kuang-ching (1562-1634), traduziu para o chinês, entre 1601 e 1607, os Elementos de Euclides; esse fato desempenhou um papel significativo no desenvolvimento subseqüente da matemática na China.
8.2 ÍNDIA Pouco se sabe sobre o desenvolvimento da matemática hindu antiga, em virtude da falta de registros históricos autênticos. A fonte histórica preservada mais antiga são as ruínas de uma cidade de 5000 anos, encontradas em Mohenjo Daro, um sítio localizado a nordeste da cidade de Karachi no Paquistão. Vestígios de ruas largas, habitações de tijolos com banheiros ladrilhados, redes de esgoto subterrâneos e piscinas públicas indicam uma civilização tão avançada quanto qualquer outra do Oriente antigo. O povo dessa cidade tinha sistemas de escrita, contagem, pesos e medidas e cavava canais para irrigação. Tudo isso são requisitos básicos para a matemática e a engenharia. Não se sabe o fim que esse povo teve. De por volta de 450 d.C. até perto do fim do séc. XV a Índia se viu às voltas com numerosas invasões estrangeiras. Primeiro vieram os hunos, depois, no séc. VIII, os árabes e no séc. XI os persas. Durante esse período despontaram vários matemáticos hindus eminentes, destacando-se os dois Aryabhatas, Brahmagupta, Mahavira e Bhaskara. O mais velho dos Aryabhatas, que se sobressaiu no séc. VI, nasceu perto da atual Patna, junto ao Ganges. Escreveu um livro de astronomia, escrito em verso, intitulado Aryabhatiya cujo terceiro capítulo se dedica à matemática. Brahmagupta foi o mais eminente matemático hindu do século VII. Viveu e trabalhou no centro astronômico de Ujjain, na Índia Central. Em 628 escreveu Brahmasphuta-sidd’hanta (“o sistema de Brahma revisado”), um trabalho de astronomia em vinte e um capítulos, dos quais o 12º e o 18º se ocupam de matemática. Mahavira, que se distinguiu por volta de 850, era de Misore, no sul da Índia, e escreveu sobre matemática elementar. Bhaskara também viveu em Ujjain. Seu trabalho, Siddhanta S’iromani (“diadema de um sistema astronômico”), foi escrito em 1150 e mostra poucos progressos em relação ao trabalho de Brahmagupta, cinco séculos mais antigo. As duas partes mais importantes do trabalho de Bhaskara são Lilavati (“bela”) e Vijaganita (extração de raízes”), que tratam de
aritmética e álgebra, respectivamente. As partes matemáticas dos trabalhos de Brahmagupta e Bhaskara foram traduzidas para o inglês por H. T. Colebroode em 1817. Depois de Baskhara a matemática hindu fez apenas progressos irregulares até os tempos modernos. A Sociedade Matemática Indiana foi fundada em 1907 e dois anos depois apareceu em Madras o Journal of the Indian Mathematical Society. Talvez o mais brilhante matemático indiano dos tempos modernos tenha sido o amanuense pobre de gênio sem estudos formais, Srinivasa Ramanujan (1887-1920), que era dotado de espantosa capacidade de perceber rápida e profundamente relações numéricas intricadas. Ele foi “descoberto” em 1913 pelo eminente inglês especialista em teoria dos números, G. H. Hardy (18771947), cujos esforços fizeram com que Ramanujan fosse estudar na Universidade de Cambridge, na Inglaterra, no ano seguinte. O encontro desses dois homens resultou numa notável parceria matemática. Certa feita o professor Hardy visitou Ramanujan num hospital e incidentalmente comentou que viera num táxi cujo número da placa, 1729, nada tinha de interessante. Imediatamente Ramanujan respondeu que 1729, ao contrário, é um número muito interessante, visto que se trata do menor inteiro que se pode expressar, de duas maneiras como soma de dois cubos: 13 123 1729 93 103 . Noutra ocasião, sem nenhuma calculadora que não seu cérebro, observou 163
que e situa-se “muito proximamente” de um número inteiro: ele é, de fato, um inteiro seguido de doze zeros antes de aparecer qualquer outro dígito. A publicação em 1920 do caderno de notas de Ramanujan e o subsequente trabalho feito sobre ele revelaram muitas facetas de sua incomum genialidade. Relataremos agora alguns métodos de calcular com o sistema de numeração posicional usados pelos hindus. A chave para a compreensão dos algoritmos desenvolvidos reside em se dar conta dos materiais de escrita à disposição dos calculadores. Segundo o historiador alemão H. Hankel, eles geralmente escreviam ou sobre um pequeno quadro-negro com uma pena de bambu mergulhada numa tinta branca e rela que se podia apagar facilmente ou com uma vareta sobre uma tábua branca de área menor do que um pé quadrado e revestida de uma camada de certa farinha vermelha. Em ambos os casos o espaço da escrita era pequeno e a legibilidade exigia figuras razoavelmente grandes, mas era fácil efetuar apagamentos e correções. Consequentemente os processos de cálculo eram esquematizados de modo a conservar o espaço de escrita apagando-se um dígito tão logo ele tivesse cumprido a sua função. A adição hindu antigo talvez fosse efetuada da esquerda para a direita, e não ao contrário como preferimos hoje. Como exemplo consideremos a adição de 345 e 488. Provavelmente se escreviam os números um sob o outro, um pouco abaixo da borda superior da tábua de calcular, como mostra a figura ao lado. O calculador fazia 3 + 4 = 7 e escrevia o 7 no topo da coluna da esquerda. A seguir, 4 + 8 = 12, o que mudava o 7 por 8, seguido de um dois. Assim apagava-se o 7 e escrevia-se 82. Na ilustração riscamos o 7 e escrevemos sobre ele um 8. Por fim 5 + 8 = 13, o que mudava o 2 por 3, seguido de outro 3. Novamente corrigiam-se as coisas através de um rápido apagamento feito com um dedo e resposta final, 833, aparecia no topo da tábua. Apagavam-se então 345 e 488 e o resto da tábua ficava livre para outros trabalhos. Num comentário sem data, feito por Bhaskara somar 345 e 488. Ei-la: Soma das unidades Soma das dezenas Soma das centenas Somas das somas
em seu Lilavati, encontramos outra maneira de 5 + 8 = 13 4 + 8 = 12 . 3+4=7.. = 833
Vários métodos de multiplicação eram usados. O processo para a multiplicação simples de, por exemplo, 569 por 5, podia aparecer como se segue, onde novamente se trabalha da esquerda para a direita. Na tábua, um pouco abaixo da borda superior, escrevese 569 seguido, na mesma linha, pelo multiplicador 5. Então como 5x5 = 25, escreve-se 25 sobre o 569, como mostra a ilustração ao lado. A seguir, faz-se 5 x 6 = 30, o que muda o 5 de 25 num 8
seguido de um 0. Isso é fácil de fazer com um rápido apagamento. Na ilustração riscamos o 5, em vez de apagá-lo, e escrevemos o 8 sobre ele. Então 5 x 9 = 45, o que muda o 0 por um 4, seguido de um 5. O produto final, 2845, aparece então no topo da tábua de calcular. Uma multiplicação mais complicada, como por exemplo 135 x 12, poderia ser efetuada fazendo-se primeiro, como acima, 135 x 4 = 540 e depois 540 x 3 = 1620; ou somando 135 x 10 = 1350 com 135 x 2 = 270, obtendo-se 1620. De acordo com Hankel poderia também ter sido efetuada como se segue. Um pouco abaixo da borda superior da tábua, escreva o multiplicador 135 e o multiplicador 12 de modo que o dígito das unidades do multiplicador fique bem abaixo do dígito da esquerda do multiplicador. Faça 135 x 1 = 135 e escreva o resultado no topo da tábua. A seguir, por meio de um apagamento, translade o multiplicando 135 uma casa à direita e o multiplique pelo 2 do 12. Em se fazendo isso encontra-se 2 x 1 = 2, o que mudo o 3 de nosso produto parcial por 5. Faça então 2 x 3 = 6, o que muda os dois 5 pelo novo produto parcial61. Faça finalmente 2 x 5 = 10.o que muda o 1 final de nosso produto parcial em 2 seguido de um 0. O produto final, 1620, aparece então no topo da tábua Outro método de multiplicação, conhecido dos árabes, que provavelmente o obtiveram dos hindus, e que se assemelha muito ao nosso atual processo, está indicado na ilustração ao lado, onde outra vez se efetua o produto 135 x 12. Trata-se de um diagrama em rede em que as adições se efetuam diagonalmente. Como se nota, o fato de cada cela estar dividida em dois triângulos por uma diagonal, faz com que não seja necessário nenhum transporte na multiplicação..
O desenvolvimento de algoritmos para nossas operações aritméticas elementares começou na Índia, talvez por volta do séc. X ou XI. O Árabes (e através deles os europeus mais tarde) adotaram a maior parte dos métodos aritméticos da Índia, e por isso é provável que o esquema de divisão conhecido como o "método de riscar" ou "método de galeão" (por sua semelhança com um navio) também venha da Índia. Para ilustrar o método, suponhamos que se queira dividir 44 977 por 382. Na figura 1 damos o método moderno e na figura 2 o do galeão. Esse último se assemelha muito ao primeiro, apenas o dividendo aparece no meio, porque as subtrações são executadas cancelando dígitos e colocando as diferenças acima em vez de abaixo dos minuendos. Por isso o resto, 283, aparece acima e à direita, em vez de embaixo. O processo na figura 2 é fácil de acompanhar se observarmos que os dígitos num dado subtraendo, como 2 674, ou numa dada diferença, como 2 957, não estão todos necessariamente na mesma linha e que subtraendos são escritos abaixo do meio e diferenças acima. A posição numa coluna é significativa, mas não a posição numa linha.
Figura 1
Figura 2
Os hindus foram hábeis aritméticos e deram contribuições significativas à álgebra. Muitos dos problemas aritméticos eram resolvidos por falsa posição. Outro método de resolução preferido era o de inversão no qual se trabalho para trás, a partir dos dados. Considere, por exemplo, o seguinte problema: “Linda donzela de olhos resplandecentes, uma vez que entendeis o método de inversão correto, dizei-me qual é o número que multiplicado por 3, depois acrescido de ¾ do produto, depois dividido por 7, diminuído de 1/3 do quociente, multiplicado por se mesmo, diminuído de 52, pela extração da raiz quadrada, adição de 8 e divisão por 10 resulta no número 2?” Pelo método de 2
inversão começamos com o número 2 e operamos para trás. Assem, [2.10 – 8] + 52 = 196, 196 = 14, 14.(3/2).7.(4/7)/3 = 28, que é a resposta. É exatamente o que faríamos se tivéssemos de resolver o problema por métodos modernos. Assim, representando por x o número procurado, temos 2
2 7 3 . 4 .3x 52 8 7 2. 10 Os hindus somavam progressões aritmética e geométricos e resolviam problemas comerciais envolvendo juros simples e compostos, descontos e regras de sociedade. Resolviam também problemas de misturas e de cisternas, como os que se encontram nos textos modernos. Grande parte do conhecimento da aritmética hindu provém do texto Lilãvati de Bhãskara. Conta-se sobre esse trabalho uma história romântica. Segundo o relato, os astros pressagiavam infortúnios medonhos para Lilãvati, a filha única de Bhãskara, se ela não se casasse numa certa hora de um certo dia propício. Chegado o dia, a ansiosa noiva debruçou-se sobre um relógio de água para aguardar esse momento. Mas eis que cai uma pérola de seu cabelo, sem que se notasse, obstruindo o fluxo de água. E quando o acidente foi percebido o momento propício já tinha passado... Para consolar a infeliz jovem, Bhãskara deu ao seu livro o nome da filha. Os hindus sincoparam sua álgebra. Como Diofanto, indicavam a adição por justaposição. A subtração era indicada colocando-se um ponto sobre o subtraendo, a multiplicação, escrevendo-se bha (primeira sílaba da palavra bhavita, “produto”) depois dos fatores, a divisão escrevendo-se o divisor debaixo do dividendo sem o traço e a raiz quadrada escrevendo-se ka (da palavra karana, “tanto quanto”). Os inteiros conhecidos eram antecedidos de ru (de rupa, “número puro”). As incógnitas adicionais eram indicadas pelas sílabas iniciais de palavras que expressam diferentes cores. Assim, uma segunda incógnita poderia ser denotada pr ka (de Kalaka, “preto”) e 8xy +
10 -
.
7 poderia ser escrita como Ya ka 8 bha ka 10 ru
7.
Os hindus aceitavam os números negativos e irracionais e sabiam que uma equação quadrática (com respostas reais) tem duas raízes formais. Eles unificaram a resolução algébrica de equações quadráticas pelo método familiar de completamento de quadrados. Esse método é hoje muitas vezes conhecido como método hindu. Bhaskara deu as duas seguintes identidades notáveis:
a b =
(a a 2 b) / 2
(a a 2 b ) / 2 , às vezes empregadas em nossos
textos de álgebra para encontrar a raiz quadrada de um número irracional. No livro X dos Elementos de Euclides também se encontram essas identidades, mas numa linguagem intricada, difícil de entender. Os hindus revelaram notável habilidade em análise indeterminada, sendo talvez os primeiros a descobrir métodos gerais neste ramo da matemática. Ao contrário de Diofanto, que procurava uma qualquer das soluções racionais de uma equação indeterminada, os hindus empenhavam-se em encontrar todas as soluções inteiras possíveis. Aryabhata e Brahmagupta determinaram as soluções inteiras da equação linear indeterminada ax + by = c, onde a, b, c são inteiros. A equação quadrática indeterminada xy = ax + by + c foi resolvida por um método reinventado posteriormente por Euler.
Os hindus não eram proficientes em geometria. Eram pouco comuns as demonstrações no sentido estrito da palavra e inexistiam procedimentos postulacionais. Sua geometria era largamente empírica e em geral se ligava à mensuração. As antigas Sulvasutras mostram que os primitivos hindus aplicavam a geometria à construção de altares e, ao fazê-lo, aplicavam a relação pitagórica. As regras forneciam instruções para encontrar um quadrado igual à soma ou diferença de dois quadrados dados e um quadrado igual a um retângulo dado. Aparece também a expressão
1 1 1 2 =1+ 3 3.4 3.4.34 que é interessante pelo fato de todas as frações serem unitárias e a expressão ser correta até a Quinta casa decimal. Tanto Brahmagupta como Mahavira deram a fórmula de Herão para a área de um triângulo em função dos três lados. Encontra-se muitas imprecisões nas fórmulas de mensuração hindus. Assim é que Aryabhata dá como volume de uma pirâmide a metade do produto da base pela altura e como volume da esfera
3 / 2 . R3. Os = 10 .
hindus deram alguns valores acurados de
,
mas freqüentemente usavam
=3e
Ë bem conhecida, mesmo em nível médio, a demonstração de Bhaskara, por decomposição, do teorema de Pitágoras. Nessa demonstração decompõe-se o quadrado sobre a hipotenusa em quatro triângulos, cada um deles congruentes ao triângulo dado, como se vê na fig. Facilmente se rearranjam as partes de modo a obter a soma dos quadrados sobre os catetos. Bhaskara desenhou a figura e não ofereceu nenhuma explicação, mas tão somente a palavra “veja!”. Com um pouco de álgebra, porém, faz-se a demonstração, pois se c é a hipotenusa e a e b são os catetos do triângulo,
ab 2 2 2 + (b – a) = a + b . 2
c = 4 2
Muito tempo antes essa demonstração já fora dada na China. Uma segunda demonstração do teorema de Pitágoras, devida a Bhaskara, é feita traçando-se a altura relativa à hipotenusa. Dos triângulos semelhantes da fig. ao lado, decorre
cm b 2 , cn a 2 .
Somando
membro
a
c b , b m membro
c a a n
ou
obtemos
a b c(m n) c . Essa demonstração foi redescoberta por John Wallis no séc. XVII. 2
2
2
Os hindus como os gregos, consideravam a trigonometria como uma ferramenta para sua astronomia. Eles usavam nossos conhecidos graus, minutos e segundos nas tábuas de senos que construíam. Em sua trigonometria eles resolviam triângulos planos e esféricos. Sua astronomia em si era de baixa qualidade, revelando inabilidade para a observação, coleta e cotejo de dados e para o estabelecimento de leis indutivas. Pode-se descrever essa trigonometria como mais aritmética do que geométrica. Há muitas diferenças entre a matemática grega e a hindu. Em primeiro a matemática hindu era em grande escala uma serva da astronomia. Com os gregos a matemática alcançou uma existência independente, sendo estudada por si própria. Como resultado do sistema de castas, a matemática na Índia era cultivada quase exclusivamente por sacerdotes; na Grécia o estudo da
matemática estava aberto a todos os que se interessassem pelo assunto. Os hindus eram rematados calculadores mas geômetras medíocres; os gregos eram excelentes geômetras mas pouco se interessavam por trabalhos computacionais. Mesmo a trigonometria hindu, à qual não faltavam méritos, tinha uma natureza aritmética; a essência da trigonometria grega era geométrica. Os hindus escreviam em versos e muitas vezes revestiam seus trabalhos de uma linguagem obscura e mística; os gregos buscavam a clareza e a organização lógica em suas exposições. A matemática hindu era grandemente empírica, raramente oferecendo uma demonstração ou uma dedução; a característica mais importante da matemática grega era sua insistência com as demonstrações rigorosas. A qualidade da matemática hindu era muito irregular, encontrando-se com freqüência, lado a lado, a de bom nível e a de baixo nível; os gregos pareciam ter um sexto sentido que fazia com que distinguissem a boa da má qualidade e a agarrar-se tão-somente àquela.
8.3 A HEGEMONIA ÁRABE Pela época em que Brahmagupta escrevia, a arábia era habitada principalmente por nômades do deserto, chamados beduínos, que não sabiam ler nem escrever; entre eles estava o profeta Maomé, nascido em Meca em cerca de 570. Durante suas viagens Maomé entrou em contato com judeus e cristãos, e o amálgama dos sentimentos religiosos que surgiram em sua mente levou-o a considerar-se como o apóstolo de Deus enviado para conduzir seu povo. Por cerca de dez anos ele pregou em Meca, mas em 622, perante uma conspiração para matá-lo aceitou um convite para ir a Medina. Essa "fuga", conhecida como Hégira, marcou o início da era maometana - era que exerceria forte influência sobre o desenvolvimento da matemática. Maomé tornou-se lider militar além de religioso. Dez anos depois ele estabeleu um estado maometano, com centro em Meca no qual os judeus e cristãos, sendo também monoteístas, recebiam proteção e liberdade de culto. Em 632, enquanto planejava atacar o Império Bizantino, Maomé morreu em Medina. Sua morte súbita não impediu a expansão do domínio islâmico, pois seus seguidores invadiram territórios vizinhos com espantosa rapidez. Durante o primeiro século das conquistas árabes houvera confusão política e cultural, e possivelmente isto explica a dificuldade de localizar a origem do moderno sistema de numeração. Os árabes no início não tinham interesses intelectuais, e tinham pouca cultura, além da língua, a impor aos povos que venciam. Nisso vemos uma repetição da situação de quando Roma conquistou a Grécia, da qual se disse que, num sentido cultural, a Grécia cativa capturou Roma. Por volta de 750 os árabes estavam prontos a deixar que a história se repetisse, pois os vencedores se mostraram ansiosos por absorver a cultura das civilizações que tinham sobrepujado. Não fosse o súbito despertar cultural do Islam na segunda metade do oitavo século, certamente muito mais se teria perdido da ciência e da matemática antigas. Foi durante o califado de al-Mamum que foi estabelecida na nova capital Bagdá, uma "Casa de Sabedoria" comparável ao Museu de Alexandria. Entre os mestres havia um matemático e astrônomo Mohamed ibu-Musa alKhowarizmi. Esse sábio escreveu mais de meia dúzia de obras de astronomia e matemática, das quais as mais antigas provavelmente se baseavam nos Sindhind derivados da Índia. Al-Khowarizmi escreveu dois livros sobre aritmética e álgebra que tiveram papéis muito importantes na história da matemática. Um deles sobrevive apenas numa única cópia de uma tradução latina com o título De numero hindorum (Sobre a arte hindu de calcular). Nessa obra, baseada provavelmente numa tradução árabe de Brahmagupta, al-Khowarizmi deu uma exposição tão completa dos numerais hindus que provavelmente foi o responsável pela impressão muito difundida mas falsa de que nosso sistema de numeração é de origem árabe. Al-Kowarizmi não manifesta nenhuma pretensão de originalidade quanto ao sistema, cuja origem hindu ele assume como fato; mas quando mais traduções latinas de sua obra apareceram na Europa, leitores descuidados começaram a atribuir não só o livro, mas a numeração, ao autor. A nova notação veio a ser conhecida como a de al-Kowarizmi, ou mais descuidadamente, algorismi; finalmente o esquema de numeração usando numerais hidus veio a ser chamado simplesmente algorismo ou algoritmo, palavra que, originalmente derivada do nome de al-Kowarizmi, agora significa, mais geralmente, qualquer regra especial de processo ou operação - como o método de Euclides para encontrar o máximo divisor comum, por exemplo.
Genealogia de nossos dígitos Através de sua aritmética, o nome de al-Kowarizmi tornou-se uma palavra vernácula; através do título de seu livro mais importante, Al-jabr wa'l muqãbalah ele nos deu uma palavra ainda mais familiar. Desse título veio o termo álgebra pois foi por esse livro que mais tarde a Europa aprendeu o ramo da matemática que tem esse nome. Em dois aspectos a obra de al-Kowarizmi representa um retrocesso com relação à obra de Diofanto. Primeiro é de nível muito mais elementar que o que se encontra nos problemas de Diofanto e, segundo, a álgebra de al-Kowarizmi é inteiramente expressa em palavras, sem nada da sincopação que se encontra na Aritmética do grego ou na obra de Brahmagupta. Mesmo os números são escritos em palavras em vez de símbolos! Mesmo assim, o Aljabr está mais próximo da álgebra elementar de hoje que as obras de Diofanto ou Brahmagupta, pois o livro não se ocupa de problemas difíceis de análise indeterminada mas contém uma exposição direta e elementar da resolução de equações, especialmente de segundo grau. Os árabes em geral gostavam de uma boa e clara apresentação indo da premissa à conclusão, e também de organização sistemática. Não se sabe bem o que significam os termos al-jabr e muqãbalah, mas a interpretação usual é que al-jabr presumivelmente significa algo como "restauração" ou "completação"" e parece referir-se à transposição de termos subtraídos para o outro lado da equação, a palavra muqãbalah, ao que se diz, refere-se à "redução" ou "equilíbrio" - isto é, ao cancelamento de termos semelhantes em lados opostos da equação. A álgebra de al-Kowarizmi revela inconfundíveis elementos gregos, mas as primeiras demonstrações geométricas têm pouco em comum com a matemática grega clássica. Para a 2 equação x 2 10x 39 al-Kowarizmi traça um quadrado ab para representar x , e sobre os quatro lados desse quadrado coloca retângulos c, d, e e f cada um com largura 2 1 2 . Para completar o quadrado maior é preciso acrescentar os quatro pequenos quadrados nos cantos, cada um dos quais tem uma área de 6 1 4 unidades. Portanto para "completar o quadrado" somamos 4 vezes 6 1 4 unidades ou 25 unidades, obtendo pois um quadrado de área total 39 + 25 = 64 unidades (como fica claro do segundo membro da equação). O lado do quadrado grande deve pois ser de 8 unidades, de que subtraímos 2 vezes 2 1 2 ou unidades, achando x = 3. A primeira aritmética árabe que se conhece é a de al-Khowarizmi; seguiu-se a ela uma batelada de outras aritméticas árabes. Essas aritméticas geralmente ensinavam regras para efetuar cálculos modeladas nos algoritmos hindus. Davam também o processo conhecido hoje como noves fora, usado para testar cálculos aritméticos e as regras de falsa posição e falsa posição dupla mediante as quais podem-se resolver alguns problemas algébricos de maneira não algébrica
A regra de três, que provavelmente se originou na China antiga, alcançou a Arábia através da Índia, onde Brahmagupta e Bhaskara a tratavam por essa mesma designação. Durante séculos a regra mereceu a mais alta consideração da parte dos mercadores. Ela era enunciada mecanicamente, sem nenhuma justificação, e seus vínculos com as proporções só foram reconhecidos no fim do século XIV. As melhores contribuições dadas pelos matemáticos muçulmanos verificaram-se no campo da álgebra geométrica. E dessas a mais importante se deve a Omar Khayyam, com a resolução geométrica de equações cúbicas. Khayyam rejeitava as raízes negativas e freqüentemente não conseguia encontrar todas as raízes positivas. Alguns matemáticos muçulmanos mostraram interesse por análise indeterminada; assim é que foi dada uma demonstração (provavelmente defeituosa e hoje perdida) do teorema que afirma a impossibilidade de se encontrarem dois inteiros positivos cuja soma dos cubos é o cubo de um outro inteiro positivo. O papel importante desempenhado pelos árabes em geometria foi mais de preservação do que de descoberta. O mundo lhes deve um preito de reconhecimento por seus esforços continuados para traduzir satisfatoriamente os clássicos gregos. O nome de al-Haitam ou, mais popularmente, Alhazen (c. 965-1039), se preservou em matemática devido ao chamado problema de Alhazen: traçar, por dois pontos do plano de uma circunferência dada, duas retas que se interceptam num de seus pontos e que formam ângulos iguais com a circunferência no ponto de intersecção. Esse problema leva a uma equação quártica que foi resolvida à maneira grega pela interseção de uma circunferência e uma hipérbole. Alhazen nasceu em Basra, no sul do Iraque, e foi talvez o maior dos físicos muçulmanos. Os significados dos nomes atuais das funções trigonométricas, com exceção do seno, são claros a partir de sua interpretação geométrica, quando se coloca o ângulo no centro de um círculo de raio unitário. Assim, na figura ao lado, se o raio do círculo é uma unidade, os valores de tg e sec são dados pelos comprimentos do segmento de tangente CD e pelo segmento de secante OD. Obviamente, co-tangente significa simplesmente “tangente do complemento” e assim por diante. As funções tangente, co-tangente, secante e co-secante foram conhecidas por vários outros nomes, surgindo esses particulares no máximo até o fim do séc. XVI.
A origem da palavra seno é curiosa. Aryabhata usava ardha-jya (semicorda) e também jyaardha (corda metade) e por brevidade escrevia apenas jya (corda). Partindo do de jya os árabes foneticamente derivaram jîba que, devido à prática entre eles de se omitir as vogais, se escrevia jb. Afora seu significado técnico, hoje jîba é um apalavra que não tem sentido em árabe. Posteriormente, escritores que se depararam com jb como abreviação da palavra sem sentido jîba passaram a usar jaib que faz parte do vocabulário árabe e que significa “enseada” ou “baía”. Mais tarde ainda, ao fazer a tradução de jaib para o latim, Gerardo de Cremona empregou o equivalente latino sinus, de onde vem nossa palavra atual seno.
