Transcript
Matemática Egípcia Sesótris...repartiu o solo do Egito entre seus habitantes... Se o rio levava qualquer parte do lote de um homem... o rei mandava pessoas para examinar, e determinar por medida a extensão exata da perda ... Por esse costume, eu creio, que a geometria veio a ser conhecida no Egito, de onde passou para a Grécia. Heródoto
A revolução agrícola foi um marco importantíssimo na História da Humanidade, somente superado pela Revolução Industrial. Ao invés de caçar, pescar e recolher, o homem passou a cultivar seu próprio alimento. Isto demandou uma nova organização do trabalho, o desenvolvimento de técnicas de estocagem e a criação de métodos para a divisão da terra e de sua produção. As primeiras cidades surgiram nesta época, assim como os governos e a coleta de impostos. O surgimento de civilizações caracterizadas pelo uso de metais teve lugar primeiro em vales de rios, como os do Egito, Mesopotâmia, Índia e China. Antes do quarto milênio a.C. uma forma primitiva de escrita estava em uso tanto no vale mesopotâmico como no Nilo. Hieroglifos egípcios existiam em grande quantidade por todo o Egito. Mas eles foram essencialmente indecifráveis até 1799 quando em Alexandria a pedra de Rosetta, trilingüe, foi descoberta pela expedição de Napoleão. Essa grande peça, achada em Rosetta, antigo porto de Alexandria, continha uma mensagem em três escritas: demótica(escrita de uso mais geral), hieroglífica(escrita usada pelos sacerdotes – “inscrições sagradas”) e grego, proporcionando a chave para a decifração. A inscrição sobre ela falava dos benefícios conferidos por Ptolemeu V Epifanes (205-180 a.C) e fora escrita pelos sacerdotes de Memphis. A tradução se deve principalmente a Thomas Young (1773-1829) e Jean Francois Champollion (1790-1832) que completou o trabalho iniciado por Young e decifrou corretamente a pedra completa. Um aspecto não usual dos hieroglifos e que eles podem ser lidos da esquerda para direita, ou da direita para esquerda, ou verticalmente (de cima para baixo), É a orientação dos sulcos da superfície que dá a pista; a direção da face de pessoas e animais o início da linha. A matemática egípcia, pelo menos a que é conhecida dos papiros, é essencialmente aritmética aplicada. Era praticamente informação comunicada via exemplos sobre como resolver problemas específicos. Uma razão para isto é que nos tempos antigos não havia uma matemática simbólica e é muito mais fácil explicar a um jovem estudante um algoritmo para resolver um problema do que explicar o conceito abstrato primeiro e exemplos baseados neste conceito. Os Egípcios começaram cedo a se interessar pela astronomia e observaram que a inundação anual do Nilo tinha lugar pouco depois que Sirius, a estrela do cão, se levantava a leste logo antes do sol. Observando que esses surgimentos heliacais de Sirius, o anunciador da inundação, eram separados por 365 dias, os egípcios estabeleceram um bom calendário solar feito de doze meses de trinta dias cada um e mais cinco dias de festa. Mas há um limite para a quantidade de informação matemática que se pode retirar de calendários e pedras tumulares, e nossas idéias sobre a contribuição egípcia seriam muito imprecisas se dependêssemos somente de material de origem cerimonial e astronômica. Felizmente temos outras fontes de informação. Um certo número de papiros egípcios de algum modo resistiu ao desgaste do tempo por mais de três e meio milênios. O mais extenso dos de natureza matemática é um rolo de papiro com cerca de 0,30m de altura e 5m de comprimento, que está agora no British Museum. Foi comprado em 1858 numa cidade à beira do Nilo, por um antiquário escocês, Henry Rhind; por isso é conhecido como Papiro Rhind, ou, menos freqüentemente, chamado Papiro Ahmes em honra do escriba que o copiou por volta de 1650 A.C. O escriba conta que o material provém de um protótipo do Reino do Meio de cerca de 2000 a 1800 A.C., e é possível que parte desse conhecimento tenha provindo de Imhotep, o quase lendário arquiteto e médico do Faraó Zoser, que superintendeu a construção de sua pirâmide há cerca de 5 000 anos. Papiro leva seu nome da planta da qual ele é feito
O sistema de contagem egípcio era decimal. Embora não posicional, ele poderia trabalhar com números de grande escala. Contudo, não existe um modo aparente de construir números arbitrariamente grandes. (Compare com o sistema moderno, que é posicional e cuja natureza permite e economiza para expressar números enormes.) O sistema, pelo menos tão antigo quanto as pirâmides, datando de cerca de 5000 anos atrás, era decimal com símbolos especiais para 1 (um traço vertical), 10 (uma ferradura), 102 (um rolo de pergaminho), 103 (uma flor de lótus), 104 (um dedo encurvado), 105 (um barbato) e 106 (um homem espantado). O sistema era por grupamento simples. Por exemplo, o número 12345, se escrevia como . Uma das conseqüências do sistema de numeração egípcio é o caráter aditivo da aritmética. Assim, a multiplicação e a divisão eram em geral efetuadas por sucessão de duplicações com base no fato de que todo número pode ser representado por uma soma de potências de 2. Como por exemplo de multiplicação achemos o produto de 69 por 19. Desde que 19 = 16 + 2 + 1, basta somarmos os múltiplos 19 69 correspondentes de 69. Assim, 69x19 = 69(1 + 2 + 16)= 69 + 138 + 1104 = 1311. E para, digamos, dividir 753 por 26, dobramos sucessivamente o divisor 26 até o 1 69 ponto em que o próximo dobro exceda o dividendo 753. 2 138 4 276 Ora, como 753 = 416 + 208 + 104 + 25, vemos que o 753 26 quociente é 16+8+4 = 28 e que o resto é 25. O processo 8 552 1 26 egípcio de multiplicação e divisão não só elimina a 16 1104 2 52 necessidade de aprender uma tábua de multiplicação, 4 104 como se amolda ao ábaco que perdurou enquanto esse 8 208 instrumento esteve em uso e mesmo depois. 16 416 Os homens da Idade da Pedra não usavam frações mas com o advento de culturas mais avançadas durante a Idade de Bronze parece ter surgido a necessidade do conceito de fração e de notação para frações. Os egípcios esforçaram-se para evitar algumas das dificuldades computacionais encontradas com frações representando-as, com exceção de 2 3 , como soma das frações chamadas unitárias, ou seja, aquelas de numerador igual a 1. Essa redução tornava-se possível graças ao emprego de tábuas que davam a representação desejada para frações do tipo 2 n , as únicas necessárias devido à natureza diádica da multiplicação egípcia. Os problemas do papiro Rhind são precedidos de uma dessas tábuas para todos os n números ímpares de 5 a 101. Assim, 2 7 é expresso por 1 4 1 28 e 2 97 como 1 56 1 679 1 776. O recíproco de qualquer inteiro era indicado simplesmente colocando sobre a notação para o inteiro um sinal oval alongado. A fração 1 8 aparecia então como e 1 20 como . Tais frações eram manipuladas livremente no tempo de Ahmes, mas a fração geral parece ter sido um enigma para os egípcios. Muitos dos problemas de Ahmes mostram conhecimento de manipulações equivalentes à regra de três e de mínimo múltiplo comum. O problema 63, por exemplo, pede que sejam repartidos 700 pães entre quatro pessoas, sendo que as quantidades que devem receber estão na proporção prolongada 2 3 : 1 2 : 1 3 : 1 4 . A solução é encontrada fazendo o quociente de 700 pela soma das frações na
700 4 2 2 1 1 1 1 1 1 700. 700( ) 700( ) 700( ) 350 50 400 . Esse é o 7 7 7 7 4 28 4 28 2 14 4 número base. Calculando 2/3, 1/2, 1/3 e 1/4 dele são obtidas as parcelas de pão requeridas. proporção, 7 : 4
Os problemas egípcios descritos até agora são de tipo digamos, aritmético, mas há outros que merecem a designação de algébricos. Não se referem a objetos concretos, específicos, como pães e cerveja, nem exigem operações entre números conhecidos. Em vez disso, pedem o que equivale a soluções de equações lineares, da forma x ax b , onde a, e b são conhecidos e x é desconhecido. A incógnita é chamada de "aha". A resolução de Ahmes ficou conhecido mais tarde na Europa como método da falsa posição e consiste no seguinte: para resolver x ax b , assume-se um valor conveniente para x, digamos
x = g. Então
g ag c . Agora, resolva cy b . A solução é então x gy . O problema 24, por exemplo,
pede o valor de aha sabendo que aha mais um sétimo de aha dá 19. Assim para resolver x x 19 vamos 7 3 1 1 supor x 7 uma solução. Desde que 7 1 .7 8 e 19 8 2 2 , segue que a solução correta é 7 8 4 8 1 1 1 1 7(2 ) 16 . 4 8 2 8 Diz-se freqüentemente que os egípcios antigos conheciam o teorema de Pitágoras, mas não há traço disto nos papiros que chegaram até nós. Há no entanto alguns problemas geométricos no papiro de Ahmes. O problema 51 mostra que a área de um triângulo isósceles era achada tomando a metade do que chamaríamos base e multiplicando isso pela altura. Ahmes justifica seu método para achar a área sugerindo que o triângulo isósceles pode ser pensado como dois triângulos retângulos, um dos quais pode ser deslocado de modo que os dois juntos formam um retângulo. O trapézio isósceles é tratado de forma semelhante no problema 52. Em transformações como essa, em que triângulos e trapézios isósceles são transformados em retângulos, vemos o início de uma teoria de congruências e da idéia de prova em geometria, mas os egípcios não foram além. Uma deficiência séria em sua geometria era a falta de uma distinção claramente estabelecida entre relações que são exatas e as que são apenas aproximações. A regra egípcia para achar a área do círculo tem sido considerada um dos maiores sucessos da época. No problema 50 o escriba Ahmes assume que a área de um campo circular com diâmetro de 9 unidades é a mesma de um quadrado com lado de 8 unidades. Comparando com a 2 fórmula moderna A=R vemos que a regra egípcia equivale aproximadamente a atribuir a o valor de 3,16, uma aproximação bastante elogiável. O problema 48 fornece uma idéia de como este valor foi obtido. Removendo os triângulos dos cantos obtemos uma figura octagonal que aproxima o círculo e cuja área é dada por 1 8 13 9 9 4( (3 3)) 63 64 82 . Assim o número 4( ) 2 3 joga o papel 2 9 81 de . Não se conhece teorema ou demonstração formal na matemática egípcia, mas algumas comparações geométricas feitas no vale do Nilo, como essa sobre área de círculos e quadrados, estão entre as primeiras afirmações precisas da história, referentes a figuras curvilíneas. O problema 56 do papiro de Rhind tem especial interesse por conter rudimentos de trigonometria e uma teoria de triângulos semelhantes. Na construção de pirâmides era essencial manter uma inclinação constante das faces e pode ter sido essa preocupação que levou os egípcios a introduzir um conceito equivalente ao de cotangente de um ângulo. Na tecnologia moderna é usual medir o grau de inclinação de uma reta por uma razão entre segmentos verticais e horizontais que é recíproca da usada no Egito. A palavra egípcia seqt significava o afastamento horizontal de uma reta oblíqua em relação ao eixo vertical para cada variação de unidade na altura. Muito de nossa informação sobre a matemática egípcia vem do papiro Rhind ou Ahmes, mas há também outras fontes. Uma delas é o chamado papiro de Moscou que tem quase o comprimento do Rhind mas só um quarto da largura. Contém vinte e cinco exemplos, quase todos da vida prática e não diferindo dos de Ahmes, exceto em um que tem significado especial. Associado ao problema 14 do papiro de Moscou há uma figura que parece um trapézio, mas os cálculos associados a ela mostram que o que se quer representar é o tronco de uma pirâmide. As instruções ao lado tornam claro que o problema pergunta qual o volume de um tronco de pirâmide quadrada com altura de seis unidades se as arestas das bases superior e inferior medem duas e quatro unidades respectivamente. A resolução do escriba segue a fórmula moderna
V = h(a 2 ab b 2 ) 3 , onde h é a altura e a e b são os lados das bases quadradas. Essa fórmula não aparece em nenhum lugar, mas em substância era evidentemente conhecida pelos egípcios. Aqui uma versão moderna para o desenho:
Durante muito tempo se supôs que os gregos aprenderam os rudimentos de geometria com os egípcios, e Aristóteles argüiu que a geometria teria surgido no vale do Nilo porque lá os sacerdotes tinham o lazer necessário para desenvolver o conhecimento teórico. A religião tinha um papel central na sociedade egípcia. Havia uma preocupação com a morte. Muitos dos grandes monumentos egípcios eram túmulos e requeriam na sua construção cálculos logísticos detalhados e pelo menos geometria básica. Que os gregos de fato emprestaram do Egito alguma matemática elementar é provável, pois o uso de frações unitárias persistiu na Grécia e em Roma até boa parte do período medieval, mas evidentemente a extensão desse empréstimo foi exagerada. O conhecimento revelado nos papiros é quase todo prático e o elemento principal nas questões eram cálculos. Quando parecem entrar elementos teóricos, o objetivo pode ter sido o de facilitar a técnica e não a compreensão. Mesmo a geometria egípcia, outrora louvada aparece na verdade mais como um ramo da aritmética aplicada. Onde entram relações de congruência elementares, o motivo aparentemente é o de fornecer artifícios de mensuração e não o de conseguir melhor compreensão. As regras de cálculo raramente são motivadas e dizem respeito apenas a casos concretos específicos. Os papiros de Ahmes e de Moscou, nossas principais fontes de informação, podem ter sido apenas manuais destinados a estudantes, mas indicam a direção e as tendências do ensino de matemática no Egito; outras evidências fornecidas por inscrições sobre monumentos, fragmentos de outros papiros matemáticos, e documentos de ramos aparentados da ciência servem para confirmar a impressão geral. A matemática egípcia em todos os seus estágios era construída em torno da operação de adição, uma desvantagem que conferia aos cálculos dos egípcios um peculiar primitivismo, combinado com uma ocasional e assombrosa complexidade. A geometria pode ter sido uma dádiva do Nilo, como Heródoto acreditava, mas os egípcios pouco a aproveitaram.
