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capítulo 4
continuidade de uma função
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CAPÍTULO 4 Continuidade de uma Função
4.1
Continuidade
Informalmente dizemos que uma função é contínua quando seu gráfico não apresenta interrupções, ou seja, seu gráfico pode ser traçado sem que o lápis se afaste do papel. Assim, para que uma função seja contínua em um ponto é necessário que a função esteja definida em e que os valores de , para próximos de , estejam próximos de . Uma definição formal é dada a seguir: Definição de função contínua em um número
A função é contínua em um número se as três condições seguintes forem satisfeitas: (i)
existe
(ii) lim existe
(iii) lim
Se uma ou mais destas três condições não está satisfeita em , dizemos que a função é descontinua em .
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Primeira ilustração – Seja definida por
3 1 3 1 faça um esboço do gráfico e verifique se a função é contínua em 1.
Segunda ilustração – Seja definida por
| 3| 3 2 3 faça um esboço do gráfico e verifique se a função é contínua em 3.
Definição de uma contínua em um intervalo aberto Diz-se que uma função é contínua num intervalo aberto se ela for contínua em todos os números do intervalo aberto. Como consequência imediata das propriedades de limites é que combinações algébricas de funções contínuas são contínuas em todo ponto para o qual as funções contínuas são definidas. Por esta razão, somas, diferenças, produtos, multiplicação por constantes, quocientes e potências de funções contínuas são contínuas onde são definidas. matemática aplicada
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Terceira ilustração – Uma função polinomial é contínua em qualquer número: Mostre que a função é contínua para qualquer valor de .
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Quarta ilustração – Uma função racional é contínua em todos os números do seu domínio: Determine todos os valores de para os quais é contínua.
4.2
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Atividades
Exercício 1. Faça um esboço gráfico da função, observando onde há interrupções no gráfico, determine os valores da variável independente nos quais a função é descontínua, e mostre por que a definição de função contínua em um número não está satisfeita em cada descontinuidade. (a)
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(b)
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2
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4 4
Exercício 2. Um atacadista que vende um produto por quilo (ou fração de um quilo) cobra R$ 1,00 por quilo se o pedido for de 10 kg ou menos. Contudo, se o pedido for maior do que 10 kg, o atacadista cobrará R$ 10,00 mais R$ 0,70 por quilo adicional. Construa uma função custo total e verifique se a mesma é continua em 10.
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