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2-TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS: PARÂMETROS DE REPRESENTAÇÃO 2.1 Cossenos Diretores e a Matriz de Rotação Sejam dois sistemas cartesianos,rum de referência, e outro fixo num corpo rígido, r r r r r definidos pelos sistemas (i , j , k ) e (n , t , b ) , respectivamente, que são sistemas ortonormais positivos. Interessa-nos exprimir as coordenadas a relação entre os dois sistemas de coordenadas correspondentes (Fig. 2.1), ou seja, ( x, y, z ) e ( xb , yb , z b ) .
zb
yb t
z
b O' n O
y
x
Corpo rígido xb
Figura 2.1. Relação entre 2 os sistemas “inercial” e fixo no corpo rígido. Podemos expressar os versores do sistema fixo no corpo em função dos versores do sistema inercial:
r r r r r r r n = cos(n, x) i + cos(n, y ) j + cos(n, z )k r r r r r r r t = cos( t , x) i + cos( t , y ) j + cos( t , z )k r r r r r r r b = cos(b, x) i + cos(b, y ) j + cos(b, z )k Ou seja, na forma matricial, temos:
r r r ⎡cos(b, x) ⎤ ⎡cos( t , x) ⎤ ⎡cos(n, x) ⎤ r ⎥ r ⎢ r ⎥ r ⎢ r r n = ⎢⎢cos(n, y )⎥⎥ , t = ⎢cos( t , y )⎥ e b = ⎢cos(b, y )⎥ r ⎥ r ⎢ ⎢cos( rt , z ) ⎥ ⎢⎣cos(n, z ) ⎥⎦ cos( , z ) ⎥⎦ b ⎢⎣ ⎦ ⎣ Cada um desses vetores é uma das colunas da matriz de rotação, que transforma as coordenadas medidas no sistema fixo no corpo, nas coordenadas do sistema de referência:
[
r r r R = n, t , b Ou seja,
]
r r r ⎡cos(n, x) cos( t , x) cos(b, x) r r ⎢ r R = ⎢cos(n, y ) cos( t , y ) cos(b, y ) r r r ⎢ ⎢⎣cos(n, z ) cos( t , z ) cos(b, z )
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
Uma propriedade importante é a ortogonalidade da matriz de rotação:
r r r ⎡cos(n, x) cos(t, x) cos(b, x) r r ⎢ r RRT = ⎢cos(n, y) cos(t, y) cos(b, y) r r r ⎢ cos( , z ) cos( , z ) cos( , z) n t b ⎢⎣ rr ⎡ i .n ⎢r r = ⎢ j.n ⎢r r ⎣⎢k.n
rr rr i .t i .b rr rr j.t j.b rr rr k.t k.b
rr ⎤⎡i .n ⎥⎢r r ⎥⎢ i .t ⎥⎢r r ⎦⎥⎣⎢i .b
rr j.n rr j. t rr j.b
r r r ⎤⎡cos(n, x) cos(n, y) cos(n, z) ⎤ r r r ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢cos(t, x) cos(t, y) cos(t, z) ⎥ r r r ⎥⎢ cos( , x ) cos( , y ) cos( , z) ⎥⎦ b b b ⎥⎦⎣ rr k.n rr k.t rr k.b
⎤ ⎥ T ⎥ = R R= ⎥ ⎦⎥
⎡1 0 0⎤ ⎢0 1 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 1⎥⎦
Esse resultado nos mostra que, apesar de 9 parâmetros serem usados para relacionar os 2 sistemas de coordenadas, a ortogonalidade da matriz de rotação implica em 6 relações r r r r r r necessárias entre os versores (i , j , k ) ou (n , t , b ) , correspondente aos produtos escalares entre os mesmos. Isto sugere que somente 3 parâmetros independentes poderiam ser suficientes para definir a matriz de rotação, o que é uma das motivações para as outras representações de transformação entre sistemas de coordenadas apresentadas nas próximas seções. Se é conhecida a velocidade angular do corpo rígido em relação ao sistema de referência, a variação da matriz de cossenos diretores com o tempo pode ser facilmente calculada. Para justificar tal afirmação, basta considerar a derivada de um vetor arbitrário, que, de antemão impomos que seja constante: X ' = RX X ' é constante
⇒ X& ' = 0 ⇒ R& X + R X& = 0
Por outro lado, um resultado conhecido da mecânica, o qual relaciona a derivada absoluta de um vetor com a sua variação num sistema móvel, implica em:
r r dX ′ = X& + Ω × X = 0 ⇒ X& = − Ω × X dt
r Onde, Ω representa o vetor velocidade angular do referencial móvel (velocidade angular de “arrastamento”) expresso no sistema solidário ao corpo rígido:
r r r r Ω = ω xb i + ω yb j + ω zb k
Das 2 relações anteriores, temos:
r v R& X − R Ω × X = 0 ⇒ R& X = R Ω X Note que, na última passagem, para representar o produto vetorial do vetor velocidade angular por outro vetor qualquer, definimos Ω na forma matricial:
⎡ 0 ⎢ Ω = ⎢ ω yb ⎢− ω y b ⎣
− ω zb 0
ω xb
ω yb ⎤ ⎥ − ω xb ⎥ 0
⎥ ⎦
Como o vetor “X” é arbitrário, chegamos ao resultado:
R& = RΩ 2.2- Ângulos de Euler Na representação utilizando os cossenos diretores, as 6 equações originárias das condições de ortonormalidade, nos dizem que os 9 elementos da matriz de rotação não são independentes. A utilização dos 3 ângulos de Euler, que também podem servir como coordenadas generalizadas na formulação Lagrangeana, fornece a representação mínima. Uma determinada configuração de eixos cartesianos pode ser obtida a partir de uma seqüência de 3 rotações aplicada na configuração original. Cada rotação é realizada em torno de um dos eixos do sistema cartesiano. Duas rotações seguidas não podem ser realizadas em torno do mesmo eixo. Com esta limitação, temos 12 possibilidades para a seqüência de rotações: “xyx”, “xzx”, “xyz”, “xzy”, “yxy”, “yxz”, “yzy”, “yzx”, “zxz”, “zxy”, “zyx”, “zyz”. Escolheremos uma dessas seqüências para construir a matriz de rotação, “zyx”. Esta é utilizada na aeronáutica, onde os ângulos de Euler definem os movimentos de “Yaw”, “Pitch” e “Roll”. Consideramos positivas as rotações no sentido anti-horário. Partindo-se do sistema X, Y, Z, fixo na terra, e orientado conforme a figura 1, o sistema móvel realiza a seqüência:
Z
Y
X Figura 2.2. Sistema de Referência, fixo na terra (considerado inercial). 1) Rotação em torno de “Z”: X, Y, Z ⇒ x’, y’, z’ (= Z) y’ ψ Z Y
x' = X cos ψ + Ysenψ y' = − Xsenψ + Y cos ψ z' = Z
X x’ Figura 2.3 Movimento de “Yaw”. 2) Rotação em torno de y’: x’,y’, z’ ⇒ x”, y” (=y’), z”. r & Φ
z’
θ
r & Ψ x" = x' cos θ − z' senθ y" = y' z" = x' senθ + z' cos θ
z”
x’ x” Figura 2.4. Movimento de “Pitch”. 3) Rotação em torno de x”: x” , y”, z” ⇒ x (= x”), y, z. y” y x = x"
φ
y = y" cos φ + z" senφ z = − y" senφ + z" cos φ r & cos θ Ψ
z” r
& Θ z Figura 2.5. Movimento de “Roll”.
As relações entre os sistemas de coordenada sucessivos, expostas nas figuras 2, 3 e 4, na forma matricial ficam:
⎡ x ′ ⎤ ⎡cosψ ⎢ y ′⎥ = ⎢− senψ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣ z ′ ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎡ x ′′ ⎤ ⎡cos θ ⎢ y ′′⎥ = ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣ z ′′ ⎥⎦ ⎢⎣ senθ
senψ 0 ⎤ ⎡ X ⎤ cosψ 0 ⎥⎥ ⎢⎢Y ⎥⎥ ; 0 1⎥⎦ ⎢⎣ Z ⎥⎦ 0 − senθ ⎤ ⎡ x ′ ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ 1 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ′ 1 0 ⎥ ⎢ y ⎥ ; ⎢ y ⎥ = ⎢ 0 cos φ senφ 0 cos θ ⎥⎦ ⎢⎣ z ′ ⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣ 0 − senφ cos φ
⎤ ⎡ x ′′ ⎤ ⎥ ⎢ y ′′⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎦ ⎢⎣ z ′′ ⎥⎦
Utilizando a composição de rotações, a matriz de rotação que relaciona o sistema original e o atual fica: ⎡x ⎤ ⎡X ⎤ ⎡X ⎤ ⎢ y ⎥ = R x" R x' R 0 ⎢Y ⎥ = R 0 ⎢Y ⎥ x x" x' ⎢ ⎥ x⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣ Z ⎥⎦ ⎢⎣ Z ⎥⎦
em termos dos ângulos de Euler, a matriz final de rotação, que é obtida pela multiplicação das anteriores. Ou seja, relação entre as coordenadas do sistema original (fixo) e o sistema de coordenadas solidário ao corpo rígido (móvel) resulta do produto entre as matrizes na ordem correspondente à seqüência de rotações definidas acima:
senψ cos θ ⎡ x ⎤ ⎡cosψ cos θ ⎢ y ⎥ = ⎢(cosψsenθsenφ − senψ cos φ ) (cosψ cos φ + senφsenψsenθ ) ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣(senψsenφ + cosψsenθ cos φ) ( senψ sen cos φ − senφ cosψ )
− senθ ⎤ ⎡ X ⎤ cos θsenφ ⎥⎥ ⎢⎢Y ⎥⎥ cos φ cos θ ⎥⎦ ⎢⎣ Z ⎥⎦
Note que esta, sendo a matriz de rotação, possui a propriedade de ortogonalidade demonstrada anteriormente, o que facilita o cálculo de sua inversa. Uma vez conhecida a matriz de rotação num instante qualquer, sua evolução no tempo pode ser determinada conhecendo-se a velocidade angular do referencial móvel. As derivadas dos ângulos de Euler são representadas nos diagramas anteriores , através dos r r r vetores Ψ& , Θ& e Φ& . Podemos determinar estes vetores a cada instante, a partir dos valores da velocidade de arrastamento do referencial móvel expressa nos eixos deste mesmo referencial. Ou seja, suponha conhecidos (através de sensores inerciais, por exemplo) os
valores de ω x ,ω y e ω z , que são as componentes da velocidade angular do referencial móvel nos eixos x, y e z deste mesmo referencial. As relações entre estas e as derivadas dos ângulos de Euler podem ser deduzidas a partir das figuras 2.3, 2.4 e 2.5, onde os vetores r r r & ,Θ & e Φ & são representados. Podemos escrever, portanto: Ψ & senθ & −Ψ ωx = Φ & cos φ + Ψ & cos θsenφ ωy = Θ & senφ + Ψ & cos θ cos φ ω z = −Θ r r
r
Isolando-se Ψ& , Θ& e Φ& , e colocando na forma matricial , temos:
& ⎤ ⎡1 senφtgθ cosφtgθ ⎡Φ ⎢& ⎥ ⎢ cosφ - senφ ⎢Θ ⎥ = ⎢0 ⎢ & ⎥ ⎢0 senφsecθ cosφsecθ ⎣⎢Ψ ⎦⎥ ⎣
⎤ ⎡ω x ⎤ ⎥ ⎢ω ⎥ ⎥⎢ y ⎥ ⎥⎦ ⎢ω ⎥ ⎣ z⎦
Integrando-se estas relações, podemos determinar a evolução dos ângulos de Euler com o tempo, e assim determinar a evolução da atitude do corpo rígido.
