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Electromagnetismo e Óptica
CAPÍTULO II CAMPO ELECTROSTÁTICO NO VÁCUO (Transparências)
Campo Electrostático no Vácuo
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2.1. Lei de Coulomb Suponhamos duas cargas pontuais q e q’ em repouso no espaço livre (vácuo), situadas nos pontos O e P, respectivamente, à distância r = OP uma da outra (vide fig. 1):
Caso repulsivo G q FO
G FP
P
G P FP
q’
q’
G FO
Caso atractivo
q O
O
Figura 1
A lei de Coulomb afirma que as acções mútuas entre as duas partículas electrizadas se traduzem por duas forças de intensidade FO e FP aplicadas, respectivamente, em O e em P, com a mesma direcção, com o mesmo módulo e sentidos opostos. A lei de Coulomb é traduzida pela expressão JJJG qq' ⎧G ⎪FP = ko 2 vers OP r ⎨G G ⎪F = − F ⎩ O P
(1)
JJJJJG
onde vers OP representa o versor (vector unitário) da direcção
OP e ko uma constante de proporcionalidade cujas unidades dependem das unidades utilizadas para as cargas, para a disCampo Electrostático no Vácuo
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tância e para a força. No sistema internacional de unidades (SI) a força é expressa em newton (N), a carga eléctrica em coulomb (C) e a distância em metro (m), resultando no SI ko = 9×109 N.m2.C-2 A constante ko relaciona-se com a constante dieléctrica do vácuo, εo, através da expressão εo =
1 = 8.85 × 10 −12 C2 .N -1.m -2 4πko
Da expressão (1) que traduz a lei de Coulomb podemos extrair as seguintes conclusões: G
G
► A direcção comum ao par de forças FO e FP é definida pela linha recta que une os pontos O e P.
► A intensidade ou magnitude (norma) das duas forças é directamente proporcional ao produto dos módulos das duas cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre as duas cargas, i.e.,
FO = FP = ko
q q´ r2
► O par de forças é atractivo ou repulsivo consoante as cargas interactuantes são de sinal contrário ou do mesmo sinal, respectivamente (vide fig. 1). Campo Electrostático no Vácuo
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A título ilustrativo apresentam-se na tabela 1 as cargas e as massas dos constituintes atómicos. Tabela 1 – Massas e cargas eléctricas dos constituintes atómicos Partícula atómica Electrão, e Protão, p Neutrão, n
Carga (C)
Massa (kg)
−1.602×10-19 1.602×10-19 0
9.11×10-31 1.673×10-27 1.675×10-27
Aplicação Compare a força eléctrica com a força gravitacional existentes entre o electrão e o protão que formam um átomo de hidrogénio, admitindo que o electrão se move numa órbita circular em torno do protão (centro atómico) com um raio de 5×10-11 m. Solução:
Fgrav = G
me m p r2
= 6.67 × 10−11 N.m 2 .kg -2
9.11 × 10−31 kg ×1.67 × 10−27 kg
(5 ×10
−11
m
)
2
=
= 4 × 10−47 N qe q p = 9 × 10−8 N Felec = ko r2 Felec = 2.25 × 1039 Fgrav Este resultado é independente de r e mostra que, à escala atómica, a interacção eléctrica é muito mais forte que a interacção gravítica. É por isso que ao nível das interacções atómicas a força gravítica entre as partículas que constituem os átomos é desprezável.
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2.2. Campo eléctrico gerado por uma carga eléctrica pontual Consideremos uma carga eléctrica pontual1 q situada num ponto O (origem do espaço). O campo eléctrico gerado pela carga q num ponto P, distante r = OP de O, é uma grandeza vectorial definida pela expressão JJJG G q EP = ko 2 vers OP r
(2)
de tal modo que se no ponto P colocarmos uma carga de pro-
va qo, a força sentida por qo devido à interacção com a carga q é G G FP = qo EP
(3)
No Sistema Internacional o campo eléctrico é expresso em newton por coulomb (N.C-1) ou em volt por metro (V.m-1). A expressão (2) permite concluir que o campo eléctrico gerado por uma carga eléctrica pontual tem as seguintes características: 1
Uma carga eléctrica pontual q é uma partícula carregada com carga q e cujas
dimensões físicas se reduzem a um ponto.
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► É um campo radial, i.e., é dirigido segundo o raio vector G JJJG r = OP que liga o ponto O em que se situa a carga geradora do campo e o ponto P onde se situa a carga de prova (ponto de observação).
► É uma campo com simetria esférica em torno do ponto O. Com efeito, os valores da intensidade do campo são invariantes perante uma rotação do observador (carga prova) em torno de um qualquer eixo que passe pelo ponto O.
► É um campo atractivo ou repulsivo com linhas de força (linhas de campo) convergentes para O ou divergentes de O, consoante a carga geradora q for negativa ou positiva, respectivamente (vide fig. 2).
−
+
Figura 2
► O campo tem intensidade ou magnitude (norma) EP = ko
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q r2
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decrescendo em intensidade com a distância r segundo a lei do inverso do quadrado (1/r2). É nulo no infinito, tendendo para zero (como 1/r2) quando r → ∞.
► O campo não é definido no ponto em que se encontra situada a carga geradora. Tende para infinito quando r → 0 e apresenta uma descontinuidade em r = 0.
Aplicação Determine a magnitude do campo eléctrico gerado por uma carga pontual q = +1.4 μC num ponto do espaço que dista 10 cm da posição onde se encontra a carga. Se se colocar nesse ponto uma carga q’ = −1.2 μC, qual a intensidade da força de interacção entre as duas cargas? Solução: A magnitude do campo eléctrico é 1.4 × 10 = 9 × 109 E = ko 2 2 q
−6
= 1.3 × 106 N.C-1 ,
0.1
r
resultando para a intensidade da força de interacção entre q e q’ o seguinte valor:
(
)(
)
F = q ' E = 1.2 × 10−6 1.3 × 106 = 1.5 N Reparar que podíamos ter usado directamente a expressão da lei de Coulomb para calcular a intensidade da força de interacção entre as duas cargas.
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2.3. Potencial eléctrico gerado por uma carga eléctrica pontual Consideremos uma carga eléctrica pontual q situada num ponto O (origem do espaço). Esta carga gera num qualquer ponto do espaço, distante r de O, um campo eléctrico de magnitude E = ko(|q|/r2). A par do campo eléctrico (grandeza vectorial) define-se a função potencial eléctrico − grandeza escalar, expressa no SI em volt (V) − pela expressão
V = ko
q r
(4)
de tal forma que a diferença de potencial (d.d.p.) entre dois quaisquer pontos A e B do espaço se relaciona com o trabalho WAB que a força eléctrica terá que realizar no deslocamento, em equilíbrio (i.e., sem aceleração), de uma carga de prova qo de A para B através da expressão ΔV = (VB − VA ) = −
WAB qo
(5)
ou W AB = qo (VA − VB )
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(6)
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sendo o valor do trabalho WAB independente do percurso realizado pela carga qo ao ser deslocada do ponto A para o ponto B2 (vide fig. 3) s
qo
B
A
G rA
G rB
q O
Figura 3
Reparar que no caso de a carga qo ser uma carga unitária (i.e., qo = 1) ter-se-á a relação WAB = (V A − VB ) , podendo então definir-se a função potencial eléctrico da seguinte forma: “A função potencial eléctrico fornece sempre, pela sua variação, o trabalho realizado pela força eléctrica sobre uma carga unitária (qo = 1) que se desloca entre dois pontos, por qualquer caminho.” Em particular, se o ponto B coincidir com um ponto no infinito, teremos, para o trabalho da força eléctrica 2
Este resultado é consequência de a força eléctrica ser uma força conservativa.
Para mais detalhes vide P.M. Fishbane et al., “Physics for Scientists and Engineers”,
Prentice Hall, New Jersey, 1996, pp. 661 – 665.
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WAB∞ = qo (VA − V∞ )
(7)
mas V∞ = 0 (convenção), donde W AB = qo VA ∞
(8)
Esta última expressão permite-nos atribuir ao potencial eléctrico num ponto um significado físico bem preciso:
“A função potencial eléctrico num ponto representa o trabalho necessário realizar pela força eléctrica no transporte (em equilíbrio) de uma carga eléctrica unitária desde esse ponto até ao infinito, por qualquer caminho.”
2.3.1. Trabalho realizado pelo agente exterior Devemos realçar que em tudo o que respeita as relações entre o trabalho realizado pela força eléctrica, WAB, no transporte, por qualquer caminho S, de uma carga eléctrica entre dois pontos quaisquer do espaço A e B, e a diferença de potencial eléctrico entre esses dois pontos, VA – VB, admitimos sempre que o transporte se processava em equilíbrio, i.e., sem aceleração da carga eléctrica. Em consequência, admitimos implicitamente que durante o referido transporte a força eléctrica é em cada
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instante equilibrada por uma força exterior, realizada por um agente exterior, de igual intensidade mas oposta à força eléctrica, i.e., G G Fext = − Felec .
Podemos portanto escrever que o trabalho realizado pelo agente exterior no transporte de uma carga qo desde um ponto A até um ponto B, por qualquer caminho, é dado pela expressão G WAB Fext = − qo (VA − VB )
(
)
(9)
Em particular, se o ponto B coincidir com um ponto no infinito, teremos G WAB∞ Fext = − qo VA
(
)
(10)
Naturalmente que se o agente exterior pretender realizar a operação inversa, i.e., transportar a carga qo desde o infinito até ao ponto A, terá que realizar um trabalho de valor
WB∞ A
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(
G Fext = qo VA
)
(11)
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2.3.2. Relações entre o campo eléctrico de uma carga pontual e as equipotenciais Define-se superfície equipotencial o lugar geométrico dos pontos do espaço para os quais a função potencial eléctrico V(r) tem o mesmo valor que em determinado ponto Po do espaço − i.e., o lugar geométrico dos pontos que satisfazem a igualdade V(r) = Vo. Atendendo a que a função potencial eléctrico gerado por uma carga pontual q é definido pela expressão V ( r ) = ko
q , r
deduz-se imediatamente que as superfícies equipotenciais geradas por uma carga pontual são superfícies esféricas centradas no ponto onde se encontra a carga, com valores de potencial decrescendo com r se q > 0 e com valores de potencial crescendo com r se q < 0. Recordando a expressão do campo eléctrico num ponto P gerado por uma carga pontual q colocada em O ( r = OP ), JJJG G q EP = ko 2 vers OP r
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é fácil verificar que o campo eléctrico satisfaz as seguintes três relações com as superfícies equipotenciais:
► É em cada ponto normal à superfície equipotencial que passa por esse ponto − i.e., o campo eléctrico é radial e a superfície equipotencial é esférica (vide fig. 4).
► O campo eléctrico tem sempre o sentido das superfícies equipotenciais decrescentes (vide fig. 4).
−
+
Linhas equipotenciais
Figura 4
► O campo eléctrico tem intensidade (norma) dado pela derivada de V(r) em ordem à distância marcada sobre a normal às equipotenciais. De facto verifica-se que JJJG G dV EP = − vers OP dr
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(12)
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2.4. Sistemas de cargas eléctricas 2.4.1. Lei de Coulomb para distribuições discretas de cargas pontuais Consideremos um sistema de n cargas pontuais qi (i = 1,..., n) .situadas
nos pontos Qi (i = 1,..., n) e uma carga qo no ponto P
(vide fig. 5). G F2
G Fn P
Q1P
qo
Q1
G F3
q1 Q2
G F1
G Fi
qn Qn
QP i
q2 Q3 q3
Qi
qi
Figura 5
A força eléctrica total exercida sobre qo, resultante da interacção do sistema de cargas pontuais qi (i = 1,..., n) com qo, tem o G valor da soma vectorial das n forças Fi que resultam da interacção entre cada uma das cargas qi com qo. Podemos deste modo escrever
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G G G F ( P ) = F1 ( P ) + ... + Fn ( P ) =
n
∑
G Fi ( P )
i =1
(13)
com JJJJG G qi qo Fi ( P ) = ko 2 vers Qi P rQi P
representando rQi P = Qi P a distância entre os pontos Qi e P.
2.4.2. Campo e potencial eléctrico gerados por distribuições discretas de cargas pontuais Consideremos novamente uma distribuição de n partículas G pontuais electrizadas. Seja Ei (P) o campo eléctrico que a partícula i de carga qi e situada no ponto Qi gera no ponto P. O campo eléctrico produzido pela distribuição das n partículas carregadas tem, no ponto P, o valor da soma vectorial dos G n campos Ei (P) (i = 1, …, n), i.e., G G G E ( P ) = E1 ( P ) + ... + En ( P ) =
n
∑
i =1
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G Ei ( P )
(14)
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com JJJG G q Ei ( P ) = ko 2i vers QiP rQiP
e representando rQiP a distância entre o ponto Qi e o ponto P. Pode-se pois afirmar, pela expressão (14), que o campo eléctrico goza da propriedade aditiva. De forma idêntica, o potencial eléctrico no ponto P, resultante da acção das n cargas qi é a soma (escalar) dos n potenciais gerados individualmente por cada carga, i.e.,
V ( P ) = V1 ( P ) + ... + Vn ( P ) =
n
∑Vi ( P )
i =1
(15)
Deve-se notar, contudo que o campo resultante da composição dos campos eléctricos por várias fontes vem destituído de simetria esférica (vide Figuras 6 e 7)
Figura 6
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Equipotenciais
Equipotenciais Linhas de campo
Figura 7
2.4.3. Energia potencial electrostática de uma distribuições discretas de cargas pontuais Considere-se uma carga pontual q geradora de um campo G eléctrico E1 no ponto P1. Suponhamos agora que se pretende transportar uma carga q1 desde o infinito até ao ponto P1, sem aceleração, pelo que a força exercida pelo agente exterior que transporta a carga tem, em cada ponto, intensidade igual
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e sentido oposto à força eléctrica de interacção entre as cargas q e q1. Vimos (cf. pag. 11) que o trabalho realizado pelo
agente exterior neste transporte era dado por G W Fext = q1V1
(
)
Podemos pois concluir que para levar q1 desde o infinito até ao ponto P1, na presença da carga q, é necessário realizar o trabalho W = q1V1 que é precisamente a energia potencial electrostática do sistema formado pelas carga q e q1.
Com base neste resultado pode deduzir-se a expressão da energia potencial electrostática de um sistema de n cargas pontuais q1, ..., qn situadas nos pontos P1, ...,Pn, respectiva-
mente. Para colocar as cargas q1, ..., qn nos pontos P1, ...,Pn foi necessário fornecer um certo trabalho (energia) ao sistema, ficando portanto o sistema com uma energia potencial W armazenada. Pode facilmente demonstrar-se3 que a energia potencial electrostática de um sistema de n cargas eléctricas pontuais pode ser calculado mediante a expressão
3
Para detalhes da demonstração vide P.M. Fishbane et al., “Physics for Scientists
and Engineers”, Prentice Hall, New Jersey, 1996, pp. 666 – 667.
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n
1 1 W = ( q1V1 + ... + qn Vn ) = qi Vi 2 2 i =1
∑
(16)
Onde Vi representa o potencial eléctrico no ponto Pi gerado por todas as cargas com excepção da carga qi situada no próprio ponto Pi.
Aplicação
Demonstre para um sistema de 3 cargas (q1, q2, q3) que a relação (16) é verdadeira.
2.5 Distribuições contínuas de cargas Estudámos até agora os campos e potenciais eléctricos gerados por cargas pontuais, ou por distribuições discretas de cargas pontuais. No entanto, uma distribuição contínua de cargas também gera um campo: estas distribuições são muito importantes na prática. Aquilo a que se chama uma distribuição contínua de carga consiste, na verdade, num grande número de cargas pontuais situadas numa dada região do espaço. A uma distância r dessa região muito maior do que as dimensões da região (logo muito maior que a distância média entre duas cargas) o conjunto das cargas pontuais assemelhar-se-á a uma Campo Electrostático no Vácuo
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“nuvem” contínua de carga (da mesma forma que as nuvens do céu também parecem contínuas se vistas de longe, embora sejam formadas por um grande número de gotículas de água). Uma distribuição contínua de carga é caracterizada pela sua densidade: a quantidade de carga por unidade de volume (em 3 dimensões), área (em 2 dimensões) ou comprimento (em 1 dimensão) num dado ponto do espaço ocupado por essa distribuição. Para achar a densidade de carga, considere-se um elemento de volume ΔV muito pequeno (isto é, muito menor do que o volume total ocupado pela distribuição). Se este elemento de volume contiver a carga Δq, então a densidade volúmica de carga ρ é
ρ=
Δq ΔV
(17)
De igual modo se definem as densidades superficial e linear de carga, respectivamente σ e λ:
σ=
Δq ΔS
(18)
λ=
Δq Δl
(19)
Vejamos então qual a força eléctrica total exercida sobre uma carga pontual q0, situada num ponto P, por uma distribuição contínua de carga. Considerando que a distribuição seja comCampo Electrostático no Vácuo
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posta por um grande número de elementos de volume ΔV, cada um contendo a carga Δq, a força que se exerce em q0 devida a um desses elementos, situado num ponto Q, é, como no caso das cargas pontuais, JJJG G q Δq ΔF ( P ) = ko o2 vers QP rQP
(20)
A força total exercida pela distribuição de cargas sobre a carga q0 em P é, novamente, a soma das forças exercidas pelos dife-
rentes elementos de volume ΔV que compõem a distribuição. Em notação diferencial, JJJG G G q dq ΔF ( P ) → dF (P ) = ko o2 vers QP rQP JJJG G G G dq F (P ) = F (P ) → dF (P ) =ko qo 2 vers QP rQP
∑
∫
∫
(21)
onde o integral é sobre todo o volume ocupado pela distribuição. Introduzindo a densidade volúmica de carga, ρ=dq/dV, vem que G F ( P ) = ko qo
∫V
ρ(Q )dV 2 rQP
JJJG vers QP
(volúmica)
(22)
Equivalentemente, no caso de distribuições superficiais ou lineares de cargas, de densidades σ=dq/dS ou λ=dq/dl respectivamente, tem-se
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G F ( P ) = ko qo
∫S
G F ( P ) = ko qo
JJJG vers QP
σ(Q )dS 2 rQP
∫C
λ(Q )dl 2 rQP
JJJG vers QP
(superficial)
(23)
(linear)
(24)
Vimos atrás que o campo eléctrico gerado num ponto P por uma carga pontual situada em Q, ou por uma distribuição discreta de cargas pontuais situadas em Qi (i=1,...,n), é igual à força eléctrica que essa carga ou distribuição de cargas exercem sobre uma carga unitária colocada em P. Tomando q0=1 C, obtêm-se as expressões para o campo eléctrico no ponto P devido a uma distribuição contínua de cargas (volúmica, superficial ou linear): G E ( P ) = ko G E ( P ) = ko
∫V
ρ(Q )dV
∫S
σ(Q )dS
G E ( P ) = ko
2 rQP
2 rQP
∫C
JJJG vers QP
(volúmica)
(25)
JJJG vers QP
(superficial)
(26)
(linear)
(27)
λ(Q )dl 2 rQP
JJJG vers QP
Análogamente, o potencial eléctrico no ponto P devido a uma distribuição contínua de cargas (volúmica, superficial ou linear) é dado por
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V ( P ) = ko
V ( P ) = ko
∫V
ρ(Q )dV
∫S
σ(Q )dS
V ( P ) = ko
rQP
rQP
∫C
λ(Q )dl rQP
(volúmica)
(28)
(superficial)
(29)
(linear)
(30)
Finalmente, a energia electrostática de uma distribuição contínua de cargas é igual ao trabalho realizado por um agente exterior para trazer todos os elementos de carga dq do infinito e congregá-los na distribuição final (volúmica, superficial ou linear): dq dq 1 k0 ∫∫ G P G Q 2 rP − rQ G G ( ) ( ) G G r r ρ ρ 1 = k0 ∫∫ GP G Q drP drQ 2 V rP − rQ G G σ (rP )σ (rQ ) G G 1 = k0 ∫∫ G G drP drQ 2 S rP − rQ G G λ (rP )λ (rQ ) G G 1 = k0 ∫∫ G G drP drQ 2 C rP − rQ
W =
(volúmica)
(31) (superficial) (linear)
2.6 Lei de Gauss A lei de Gauss é uma formulação alternativa da lei de Coulomb
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para exprimir a relação entre as cargas e o campo eléctrico por elas gerado. Foi formulada por Carl Friedrich Gauss (17771855), um dos maiores físicos e matemáticos de todos os tempos. A lei de Gauss é particularmente útil para o cálculo de campos eléctricos devidos a distribuições contínuas de carga com elevada simetria (esférica, cilíndrica, etc), as quais ocorrem frequentemente na prática. Para a utilizarmos, temos primeiro de introduzir o conceito de fluxo do campo eléctrico. Considere-se o ponto P contido num elemento de superfície plana ΔS, e suponha-se que esse elemento de superfície se G encontre mergulhado num campo eléctrico E que faz um ângulo α com a direcção da normal unitária de ΔS no ponto P. O fluxo do campo eléctrico através de ΔS é a grandeza ΦE definida por
Φ E = E ΔS cosα
(32)
Esta grandeza é análoga ao fluxo de água que atravessa, por examplo, uma rede de área ΔS colocada a um ângulo α da velocidade de escoamento: o volume de água que atravessa a rede por unidade de tempo (isto é, o fluxo) será
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Figura 8
ΦW =
G G v Δt × ΔS cosα = v × ΔS cosα = v ⋅ ΔS Δt
(33)
A presença do factor cos α tem que ver com o facto de a área através da qual a água efectivamente passa depender do G ângulo entre a superfície e a velocidade v do escoamento: se a G rede for perpendicular a v (isto é, α = 0o ), a área atravessada é a verdadeira área da rede. Caso contrário, a área atravessada G é a projecção de ΔS no plano perpendicular a v , ou seja, ΔS cos α . No caso-limite de a rede ser perpendicular à veloci-
dade de escoamento (isto é, α = 90o ), obviamente não será atravessada por qualquer volume de água. Há, porém, uma diferença importante entre o fluxo de um líquido e o fluxo do campo eléctrico: ao contrário da água, que atravessa realmente a rede, o campo eléctrico não se move: falamos do fluxo do campo eléctrico, mas não lhe corresponde qualquer movimento físico; não há transporte de matéria. Se desejarmos calcular o fluxo através de uma superfície não plana, mais não é necessário do que dividi-la em pedaços infiCampo Electrostático no Vácuo
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nitesimalmente pequenos, de áreas dS1, dS2,... O fluxo total será, então, a soma de todos os fluxos infinitesimais: Φ E = d Φ1 + d Φ 2 + ... = E1dS1 cos α1 + E2dS2 cos α 2 + ... (34)
onde se admitiu que o campo eléctrico pode não ser uniforme e fazer diferentes ângulos com as normais dos diferentes eleG G mentos de superfície (isto é, E1 e α1 em dS1, E1 e α2 em dS2, etc). A uma soma deste tipo chama-se integral de superfície sobre a superfície total S = dS1+dS2+...: G G Φ E = ∫ E ⋅ dS S
(35)
Como vimos atrás, o valor do campo eléctrico num dado ponto P é proporcional ao número de linhas de campo que atravessam uma superfície de área unitária situada em P e perpendicular às linhas de campo. Logo, onde as linhas de campo se encontarrem mais juntas, o campo é mais intenso. Seja então N o número de linhas de campo que atravessam uma superfície S, e seja A⊥ a área de S perpendicular Às linas de campo, G ou seja, ao campo E . Suponhamos, para simplificar o arguG mento, que E é perpendicular à superfície S. Então E ∝ N / A⊥ , logo N ∝ EA⊥ = Φ E .Segue-se então que o fluxo do campo eléctrico através de uma dada superfície é proporcional ao número de linhas de campo que a atravessam.
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A definição de fluxo através de uma superfície fechada é exactamente a mesma, com a única diferença que a normal unitária nˆ a um elemento de área infinitesimal dS é tomada como posi-
tiva se apontar de dentro para fora da superfície, e como negativa se apontar de fora para dentro. Assim, uma linha de campo que entra na superfície dá uma contribuição negativa para o fluxo do campo eléctrico através da superfície, ao passo que uma linha de campo que sai da superfície dá uma contribuição positiva. Se não houver cargas no interior da superfície, todas as linhas de campo que nela entram têm de voltar a sair, logo o fluxo do campo eléctrico através da superfície é zero. Se, pelo contrário, a superfície fechada contiver cargas, o fluxo do do campo eléctrico através dela já não será zero. Calculemo-lo para uma carga pontual q situada no ponto O (origem das coordenadas): o campo eléctrico gerado por esta carga é dado pela equação (2). Encerremos a carga dentro de uma esfera de raio R e centro em O: escolhemos uma esfera porque o valor do campo vai ser o mesmo em qualquer ponto da superfície desta, o que simplifica os cálculos (mas pode mostrar-se que o resultado final é válido para qualquer superfície fechada que contenha a carga q).
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Figura 9 G Uma vez que o campo E é radial e dirigido de dentro para fora
da esfera, tem-se que, em cada elemento de área dS, G G d Φ E = E ⋅ dS = EdS
(36)
donde se segue que o fluxo total é ΦE = ∫ d ΦE = ∫ S
=
S
q 4πε 0R
2
G G E ⋅ dS = ∫
× 4π R 2 =
S
q
q 4πε 0R
dS = 2
q 4πε 0R 2
∫
S
dS
(37)
ε0
resultado este independente do raio da esfera. A demonstração generaliza-se facilmente a sistemas de cargas pontuais e a distribuições contínuas de carga, uma vez que o campo gerado
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por tais sistemas é simplesmente a soma dos campos produzidos por cada carga individual (no caso de cargas discretas) ou por cada elemento de carga (no caso de distribuições contínuas). A lei de Gauss escreve-se, portanto, G G Q Φ E = ∫ E ⋅ dS = S
ε0
(38)
onde Q é a carga total contida na superfície fechada S. Notese que a superfície S utilizada na lei de Gauss não é necessariamente uma superfície física: pode ser qualquer superfície conveniente. Dão-se a seguir alguns exemplos de aplicação. (a) Campo criado por um condutor filiforme infinito, com densidade linear de carga λ
Figura 10
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29
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Suponha-se, por conveniência, mas sem qualquer perda de generalidade, que o condutor esta dirigido segundo o eixo dos z e que a sua carga é positiva, isto é, λ > 0 ; o raciocínio é idêntico no caso de a carga ser negativa, basta mudar o sinal de λ. A simetria do problema diz-nos qual a superfície que devemos escolher. Comecemos por notar que o campo eléctrico produzido pelo condutor é radial: como não há qualquer distinção entre “cima” e “baixo”, o campo eléctrico não pode ter componente segundo z, logo as linhas de campo emanam do condutor e estão todas contidas em planos paralelos ao plano xy. Novamente por simetria, a intensidade do campo num dado ponto P só pode depender da distância radial r entre P e o condutor (r medida perpendicularmente ao condutor). A superfície que devemos escolher é, portanto, um cilindro, de raio r e altura h (arbitrária), e cujo eixo coincide com o condutor. O fluxo do campo eléctrico através desta superfície é ΦE = ∫
sup.inferior
G G E ⋅ dS + ∫
sup. superior
G G E ⋅ dS + ∫
sup. lateral
G G E ⋅ dS
(39)
G G Os dois primeiros termos anulam-se, uma vez que E ⊥ dS nas
superfícies inferior e superior (bases) do cilindro. Resta a contribuição da superfície lateral: ΦE = ∫
sup.lateral
G G E ⋅ dS = E ∫
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sup.lateral
dS = E × 2π rh = 2π rhE
(40)
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Electromagnetismo e Óptica
(onde nos servimos do facto de o campo ser constante sobre a superfície lateral). Aplicando a lei de Gauss, vem que Φ E = 2π rhE =
q
(41)
ε0
onde q é a carga total contida no cilindro. Ora, por definição de densidade linear de carga, vem que q = λ h , logo 2π rhE =
λh λ ⇒E = ε0 2πε 0 r
(42)
Repare que este resultado é válido apenas para um condutor infinito, caso contrário o campo não teria simetria radial. Note ainda que o campo não depende de h, a altura do cilindro. (b) Campo criado por um plano com densidade de carga σ
Figura 11
Campo Electrostático no Vácuo
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Electromagnetismo e Óptica
Por simetria, as linhas do campo são perpendiculares ao plano. Suponha-se, por conveniência, mas sem qualquer perda de generalidade, que o plano assenta no plano xy e está carregado positivamente, isto é, que σ > 0 . As linhas de campo saem do plano e estão orientadas de baixo para cima, no semiespaço z > 0 , e de cima para baixo, no semi-espaço z < 0 . É igualmente óbvio que o campo vai ter o mesmo valor em todos os pontos que tenham o mesmo valor da coordenada z, ou seja, em todos os pontos que se encontrem à mesma altura acima ou abaixo do plano. Uma superfície apropriada para a aplicação da lei de Gauss será, então, um cilindro de bases paralelas e equidistantes ao plano. O fluxo do campo eléctrico através de um tal cilindro será, novamente, ΦE = ∫
sup.inferior
G G E ⋅ dS + ∫
sup. superior
G G E ⋅ dS + ∫
sup. lateral
G G E ⋅ dS
(43)
com a diferença que agora é a contribuição da superfície lateral que se anula, uma vez que, sobre esta superfície, se tem G G E ⋅ dS = 0 (o campo eléctrico é perpendicular à superfície lateral). Como as bases do cilindro são equidistantes do plano carregado, o campo eléctrico toma sobre elas o mesmo valor, E, pelo que se tem ΦE = E ∫
sup.inferior
Campo Electrostático no Vácuo
dS + E ∫
sup.superior
dS = 2EA
(44)
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Electromagnetismo e Óptica
onde A é a área da base do cilindro. Aplicando a lei de Gauss e servindo-nos do facto de que a carga total contida no cilindro é q = σ A , obtem-se
Φ E = 2EA =
q
ε0
=
σA σ ⇒E = ε0 2ε 0
(45)
(c) Campo criado por dois planos paralelos com densidades de carga σ e –σ
Figura 12
Neste caso a simetria é a mesma que no problema anterior,: cada um dos planos cria no espaço um campo de intensidade
E = σ / 2ε 0 . Em cada ponto do espaço entre os planos, os campos têm o mesmo sentido (as linhas de campo saem do plano carregado positivamente e entram no plano carregado negativamente), logo o valor do campo eléctrico é
Campo Electrostático no Vácuo
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Electromagnetismo e Óptica
E=
σ ε0
(46)
Já no espaço fora dos planos, os campos têm sentidos contrários e o campo total anula-se. Este resultado corresponde ao condensador de placas paralelas, que será estudado no capítulo seguinte. (d) Campo criado por uma esfera oca, de raio R (e espessura desprezável), com densidade superficial de carga σ
Figura 13
Coloquemos o centro da esfera na origem das coordenadas. Por simetria, o campo num ponto P só pode depender da distância r do ponto ao centro da esfera. Claramente a superfície a utilizar para aplicar a lei de Gauss é uma esfera de raio r:
Campo Electrostático no Vácuo
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Electromagnetismo e Óptica
ΦE = ∫
esfera
G G E ⋅ dS = E ∫
esfera
dS = 4π r 2E
(47)
Consideremos separadamente os casos r > R (ponto P fora da esfera) e r < R (ponto P dentro da esfera): (i) Fora da esfera ( r > R ): aplicando a lei de Gauss e servindo-nos do facto de que a carga total contida na esfera é Q = 4π r 2σ , obtem-se
4π r E = 2
Q
ε0
=
4π R 2σ
σ ⎛R⎞ ⇒E = ⎜ ⎟ ε0 ⎝ r ⎠
ε0
2
(48)
(ii) Dentro da esfera ( r < R ): a carga total contida no interior (oco) da esfera é nula, pelo que, aplicando a lei de Gauss, se tem E =0
(49)
(e) Campo criado por uma esfera maciça com densidade volúmica de carga ρ Coloquemos, novamente, o centro da esfera na origem das coordenadas. Por simetria, o campo num ponto P só pode depender da distância r do ponto ao centro da esfera. Claramente a superfície a utilizar para aplicar a lei de Gauss é uma esfera de raio r : ΦE = ∫
esfera
Campo Electrostático no Vácuo
G G E ⋅ dS + E ∫
esfera
dS = 4π r 2E
(50)
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Electromagnetismo e Óptica
Consideremos mais uma vez separadamente os casos r > R (ponto P fora da esfera) e r < R (ponto P dentro da esfera).
(i) Fora da esfera ( r > R ): Aplicando a lei de Gauss e servindo-nos do facto de que a carga total contida na esfera de raio r é a carga total da esfera de raio R (que está 4π R 3 ρ, totalmente contida na esfera de raio r) é Q = 3
obtem-se
4π R 3 ρ ρ R3 = ⇒E = 4π r E = ε0 3ε 0 3ε 0 r 2 Q
2
(51)
(ii) Dentro da esfera (r < R ): agora a carga contida no interior 4π r 3 ρ , logo da esfera de raio r é apenas Q ' = 3 4π r 3 ρ ρ 4π r E = r = ⇒E = 3ε 0 3ε 0 ε0 2
Q
(52)
ou seja, dentro da esfera o campo é linear na distância à origem. A estratégia para resolver problemas aplicando a lei de Gauss é, portanto, sempre a seguinte: 1. Fazer um desenho da distribuição de cargas.
Campo Electrostático no Vácuo
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Electromagnetismo e Óptica
2. Identificar a simetria (esférica, cilíndrica...) da distribuição de cargas e, consequentemente, do campo por ela gerado. 3. Escolher uma superfície “gaussiana” com a simetria apropriada. Sempre que possível, esta deverá ter lados paraleG los ou perpendiculares ao campo E , e/ou onde o valor de G E seja constante.
Campo Electrostático no Vácuo
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