Campos Magnetostaticos

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CAMPOS MAGNETOSTÁTICOS - TÓPICOS DAS AULAS 1. Introdução. 2. Lei de Biot-Savart. 3. Lei circuital de Ampère (3ª equação de Maxwell). 4. Densidade de fluxo magnético (4ª equação de Maxwell). 5. Equações de Maxwell no regime estático. 6. Potenciais magnéticos escalar e vetorial. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira Introdução • Uma ligação definitiva entre campos elétricos magnéticos foi estabelecida por Oersted em 1820. e campos • Um campo eletrostático é gerado por cargas estáticas ou estacionárias. • Se as cargas estão se movimentando com velocidade constante, um campo magnético estático é gerado. • Um campo magnetostático é gerado por um fluxo de corrente constante, ou corrente contínua. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Existem duas leis fundamentais que governam os campos magnetostáticos: 1. Lei de Biot-Savart: Lei geral da magnetostática. 2. Lei de Ampère: Um caso especial da lei de Biot-Savart e se aplica em problemas envolvendo distribuição simétrica de corrente. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira Lei de Biot-Savart • A intensidade do campo magnético dH, gerada em um ponto P, devido ao elemento diferencial de corrente Idl, é aproximadamente igual a dl Idl sen α dH ≈ 2 R α R I dH X P Figura 1 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Ou ainda Idl sen α dH = k 2 R onde k representa a constante de proporcionalidade, que no SI é igual a 1 4π • Portanto Idl sen α dH = 2 4π R Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Na forma vetorial, temos que → → → Id l × â R Id l × R dH = = 2 3 4πR 4πR → • Da mesma maneira que podemos ter diferentes configurações de carga, podemos ter diferentes distribuições de corrente, tais como: 1. Corrente em uma linha. 2. Corrente em uma superfície. 3. Corrente em um volume. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Os elementos-fonte estão relacionados da seguinte forma: → → → Id l ≡ K dS ≡ J dv Figura 2 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Dessa forma, em termos de fonte de corrente distribuída, a lei de Biot-Savart se torna → → 1 Id l × R H= 3 ∫ 4π R → → Corrente em uma linha → 1 K dS × R H= 3 ∫ 4π R → → Corrente em uma superfície → 1 J dv × R H= 3 ∫ 4π R → Corrente em um volume Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira Exercícios 1. Determine o campo magnético no ponto P devido a uma corrente que percorre um condutor filamentar retilíneo de comprimento finito AB. 2. Determine o campo magnético no ponto P devido a uma corrente que percorre um condutor filamentar retilíneo de comprimento semi-infinito. 3. Determine o campo magnético no ponto P devido a uma corrente que percorre um condutor filamentar retilíneo de comprimento infinito. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira Lei circuital de Ampère • A integral de linha da componente tangencial do campo magnético em torno de um caminho fechado é igual à corrente líquida envolvida pelo caminho, ou seja, → → H ⋅ d l = I env ∫ L • É similar à lei de Gauss e é de fácil aplicação para determinar o campo magnético quando a distribuição de corrente for simétrica. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Aplicando o teorema de Stokes, temos que   ⋅ = ∇ × H d l H ⋅ d S = I = J ⋅ d S   env ∫L ∫S   ∫S → → → → → → → • Portanto → → → ∇× H = J 3ª equação de Maxwell na forma diferencial. O campo magnetostático não é conservativo. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira Exercícios 4. Determine o campo magnético considerando uma corrente percorrendo uma linha infinita. 5. Determine o campo magnético considerando uma corrente distribuída ao longo de uma superfície infinita. 6. Determine o campo magnético considerando uma corrente distribuída ao longo de uma linha de transmissão infinitamente longa. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira Densidade de fluxo magnético → → B = µ0 H • µ0 representa a permeabilidade magnética do espaço livre, sendo igual a 4π x 10-7 H/m. • O fluxo magnético, através da superfície S é dado por Ψ = ∫ → → B⋅ d S S onde Ψ é dado em Weber (Wb) e B em Wb/m² ou Tesla (T). Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • A linha de fluxo magnético é o caminho, na região do campo magnético, em relação ao qual o vetor densidade de fluxo magnético é tangente em cada ponto. • É sempre válida a afirmação de que as linhas de fluxo magnético são fechadas e não se cruzam, independente da distribuição de corrente. • Isto se deve ao fato de que não é possível ter um pólo magnético isolado, ou seja, cargas magnéticas. Figura 3 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Dessa, forma o fluxo total através de uma superfície fechada, em um campo magnético deve ser zero, isto é, ∫ → S → B⋅ d S = 0 • Aplicando o teorema da divergente, temos que → → ∫SB ⋅ d S = ∫v ∇ ⋅ B  dv = 0 → → → → ∇⋅ B = 0 4ª equação de Maxwell Lei da conservação do fluxo magnético ou Lei de Gauss para campos magnetostáticos Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira Equações de Maxwell no regime estático → → → → ∇⋅ D = ρ v ⇔ ∫ D⋅ d S = ∫ ρ v dv S → → Lei de Gauss v → → → → Não existe monopólo magnético ∇⋅ B = 0 ⇔ ∫ B⋅ d S = 0 S → → ∇× E = 0 ⇔ ∫ E ⋅ d l = 0 Campo eletrostático conservativo L → → → → → → → ∇× H = J ⇔ ∫ H ⋅ d l = ∫ J ⋅ d S L S Lei de Ampére Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira Potenciais magnéticos escalar e vetorial • Identidades importantes: →  ∇×  ∇ Vm  = 0   Vm representa o potencial magnético escalar → → ∇ ⋅  ∇× A  = 0   A representa o potencial magnético vetorial → → Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • O potencial magnético escalar é definido como → → → H = − ∇ Vm → → ∇× H = J = 0 se • O potencial magnético vetorial é tal que → → → B = ∇× A Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Sabendo-se que → µ0 B= 4π → → Id l '× R ∫L R 3 onde R é a distância do elemento de corrente no ponto fonte até o ponto onde se quer determinar o campo, conforme ilustrado na figura 4 (x’, y’, z’) Idl R r’ o r Figura 4 (x, y, z) Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Considerando que → → R  1  = − ∇  3 R  R  temos que µ0 B = − 4π → ∫ L  1  Id l ' × ∇    R  → → • Aplicando a identidade vetorial    ∇×  f F  = f ∇× F +  ∇ f    → → → → →  × F  → Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Obtemos → → → →  µ  0 B = ∇× A = ∇×   4π   Id l '  R   → ∫ L • Dessa forma, Corrente em uma linha → µ0 A = 4π → ∫ L Id l ' R → Corrente em uma superfície → A = µ0 4π ∫ S K dS ' R → µ0 A = 4π → Corrente em um volume ∫ v J dv ' R Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Para o fluxo magnético, temos que   Ψ = ∫ B⋅ d S = ∫  ∇× A  ⋅ d S = ∫ A⋅ d l  S S L → → → → → → → Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Exemplos típicos de solenóides Figura 5 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Exemplos típicos de solenóides Figura 7 Figura 6 Figura 8 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Exemplos típicos de toróides Figura 9 Figura 10 Figura 11 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira Exercícios 7. Um solenóide de comprimento l e raio a consiste de N espiras de fio percorridas por uma corrente I. Demonstre que, em um ponto P ao longo do seu eixo, → H = NI (cos θ 2 − cos θ 1 )â z 2l 8. Um toróide tem N espiras e é percorrido por uma corrente I. Determine a intensidade do campo magnético dentro e fora do toróide. 9. Uma distribuição de corrente dá origem a um potencial magnético vetorial igual a (x²y, xy², -4xyz) Wb/m. Calcule a) O vetor densidade de fluxo magnético no ponto (-1, 2, 5). b) O fluxo através da superfície definida por z = 1, 0 ≤ x ≤ 1, − 1 ≤ y ≤ 4 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira