Campos Eletrostáticos Em Meio Material

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CAMPOS ELETROSTÁTICOS EM MEIO MATERIAL - TÓPICOS DAS AULAS 1. Introdução. 2. Propriedades dos materiais. 3. Correntes de convecção e de condução. 4. Condutores. 5. Polarização em dielétricos. 6. Constante e rigidez dielétrica. 7. Dielétricos lineares, isotrópicos e homogêneos. 8. Equação da continuidade e tempo de relaxação. 9. Condições de fronteira. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira Introdução • Até então, consideramos campos eletrostáticos no espaço livre ou na ausência de meios materiais. • Da mesma maneira que campos elétricos podem existir no espaço livre, eles também podem existir em um meio material. • Os materiais são classificados, segundo suas propriedades elétricas, de maneira ampla, como condutores e não condutores (isolantes ou dielétricos). Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira Propriedades dos materiais • Genericamente, os materiais podem ser classificados, de acordo com sua condutividade (σ), como condutores ou não condutores. • A condutividade de um material geralmente depende da temperatura e da frequência. • Um material com elevada condutividade (σ >> 1) é referido como metal. Um material com baixa condutividade (σ << 1) é referido como isolante. Um material cujo valor de conduvitidade está entre o valor dos outros dois é denominado de semicondutor. • A condutividade dos metais geralmente aumenta com a diminuição da temperatura. Um exemplo disso é o conceito dos supercondutores submetidos a baixos valores de temperatura. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Microscopicamente, a diferença mais significativa entre metal e isolante reside na quantidade de elétrons disponíveis para a condução de corrente elétrica. • Os materiais dielétricos têm poucos elétrons disponíveis para a condução da corrente elétrica, ao contrário dos metais, os quais têm elétrons livres em abundância. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira Correntes de convecção e de condução • A corrente, através de uma área, é a quantidade de carga que passa através dessa área por unidade de tempo, ou seja, d I= Q dt • Se uma corrente ∆I atravessa uma superfície ∆S, a densidade de corrente é dada por ∆I Jn = ∆S • Se a densidade de corrente não for normal à superfície, temos → → ∆I = J⋅∆S Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Dessa maneira, a corrente total atravessando a superfície S será dada por → I = → ∫ J ⋅ dS S • Dependendo de como I é gerada, existem diferentes tipos de densidades de corrente, a saber, – Densidade de corrente de convecção. – Densidade de corrente de condução. – Densidade de corrente de deslocamento. • A corrente de convecção não envolve condutores e, consequentemente, não satisfaz à lei de Ohm. Resulta do fluxo de cargas através de um meio isolante tal como um líquido, um gás rarefeito ou o vácuo. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Considere o seguinte filamento ∆S ρv u ∆l Figura 1 • Se houver um fluxo de cargas, de densidade ρv, a uma velocidade → u = u y ây a corrente através do filamento é dada por ∆Q ∆l ∆I = = ρ v ∆S = ρ v ∆Suy ∆t ∆t Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • A componente em y da densidade de corrente J é dada por • Portanto, em geral ∆I Jy = = ρ vu y ∆S → → J = ρv u • A corrente I é a corrente de convecção e J é a densidade de corrente de convecção, medida em A/m². • A corrente de condução ocorre necessariamente em condutores. • Um condutor é caracterizado por uma grande quantidade de elétrons livres que promovem a corrente de condução ao serem impulsionados por um campo elétrico. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Quando um campo elétrico é aplicado, a força sobre o elétron é → → dada por F = −e E • Já que o elétron não está no espaço livre, ele será acelerado pelo campo elétrico, sofrerá inúmeras colisões com a rede cristalina do material, deslocando-se assim de um átomo para outro. • A densidade de corrente de condução é dada por 2 → ne τ → J = ρv u = E =σ E m → → n: número de elétrons por unidade de volume. e: carga do elétron. τ: intervalo de tempo médio entre as colisões. m: massa do elétron. σ: condutividade do material. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira Condutores • Um condutor possui, em abundância, cargas elétricas que estão livres para se movimentar. • Quando um campo elétrico externo é aplicado a um condutor isolado, as cargas livres positivas são empurradas no sentido do campo aplicado, enquanto que as caras livres negativas movemse no sentido oposto. → Ee Figura 2 • Essa migração das cargas ocorre rapidamente. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Em um primeiro momento, essas cargas se acumulam na superfície do condutor, formando uma superfície de cargas induzidas. + → → + Ei Ee + + Figura 3 • Em um segundo momento, essas cargas induzidas estabelecem um campo elétrico interno induzido, o qual cancela o campo elétrico externo aplicado. → E =0 ρv = 0 → Ee Figura 4 • Dessa forma, um condutor perfeito não pode conter um campo eletrostático em seu interior. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Um condutor é um corpo equipotencial, o que implica dizer que o potencial é o mesmo em qualquer ponto no condutor. Isso se baseia no fato de que → → E = − ∇V = 0 • Se algumas cargas forem introduzidas no interior de tal condutor, elas se moverão para a superfície, redistribuindo-se rapidamente, de forma que o campo no interior do condutor se anula. • Sob condições estáticas, → E = 0; ρ v = 0 ; V AB = 0 no interior do condutor. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Consideremos um condutor cujos terminais são mantidos a uma l diferença de potencial V, → E I - - + - - Figura 5 V • Nesse caso, o campo elétrico no interior do condutor é diferente de zero. Devido ao fato do condutor não estar isolado e sim ligado a uma força eletromotriz que compele as cargas livres a se movimentarem, evitando o estabelecimento do equilíbrio eletrostático. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Dessa forma, um campo elétrico deve existir no interior do condutor para manter o fluxo de corrente. • À medida em que os elétrons se movem, encontram algumas forças amortecedoras denominadas de resistência. • Supondo que o condutor tenha uma seção reta uniforme S e um comprimento l, o campo elétrico é dado por V E = l → I >0e → ∫ E ⋅ dl < 0 • Desse modo, V I J = σE = σ = l S Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira temos que ρ cl V l R= = = I σS S Aplicável para determinar a resistência de qualquer condutor de seção reta uniforme onde ρc representa o inverso da condutividade e é denominada de resistividade do material. • A resistência de um condutor de seção reta não uniforme é dada por → → E⋅ dl V ∫ R= = → → I ∫ σ E⋅ dS Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • A potência, em Watt, é definida como a taxa de variação da energia, ou a força multiplicada pela velocidade, portanto, ∫ → → F⋅u = → → ∫ ρ v dv E ⋅ u = ∫ → → E ⋅ J dv Lei de Joule • A densidade de potência, em Watt/m³, é dada por → → →2 wP = E⋅ J = σ E • Para um condutor de seção reta uniforme, temos que 2 V P = ∫ Edl ∫ JdS = VI = RI = R 2 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira Exercícios → 1 1. Se J = 3 (2 cos θâr + senθâθ ) A/m² calcule a corrente que passa r através de: a) Uma casca hemisférica de raio 20 cm. b) Uma casca esférica de raio 10 cm. → 2. Para a densidade de corrente J = 10 z (sen φ )2 âρ A/m² , determine a corrente através de uma superfície cilíndrica dada por ρ = 2, 1 ≤ z ≤ 5 m Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira Polarização em dielétricos • Considere um átomo, de um dielétrico, como constituído de uma carga negativa –Q (nuvem eletrônica) e uma carga positiva +Q (núcleo). • Quando um campo elétrico é aplicado, a carga positiva é deslocada, de sua posição de equilíbrio, no sentido do campo, enquanto que a carga negativa é deslocada no sentido contrário. - - + - - - - - - + - - → E - Figura 6 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Um dipolo resulta do deslocamento das cargas e o dielétrico é dito estar polarizado. • No estado polarizado, a nuvem eletrônica é deformada pelo campo elétrico aplicado. Essa distribuição deformada de cargas é equivalente, pelo princípio da superposição, à distribuição original mais um dipolo cujo momento é dado por → → p = Qd → onde d é o vetor distância entre as cargas do dipolo. - - - + - - - - - + - -Q - - → d Figura 7 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira +Q + • Se houver n dipolos, em um volume ∆v do dielétrico, o momento dipolo total devido ao campo elétrico é dado por n ∑Q → k dk k =1 • Dessa forma, podemos definir o vetor polarização da seguinte maneira n ∑ → P = lim ∆v→ 0 → Qk dk k =1 ∆v • O efeito principal do campo elétrico sobre o dielétrico é a geração de momentos dipolo que se alinham na direção do campo elétrico. Esse tipo de dielétrico é chamado de apolar. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • As moléculas de dielétrico apolares não possuem dipolos enquanto não for aplicado um campo elétrico. • Outros tipos de moléculas possuem dipolos internos permanentes, orientados aleatoriamente, e são denominadas de moléculas polares. • Quando um campo elétrico é aplicado sobre uma molécula polar, o dipolo permanente sofre um torque que tende a alinhar esse momento de dipolo em paralelo com o campo elétrico aplicado. → +Q d + -Q -Q - - → d +Q + → E Figura 8 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Considere o material dielétrico ilustrado na figura 9, z dv’ R r’ P(x,y,z) r o y x Figura 9 → como constituído de dipolos com momento de dipolo p por unidade de volume. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • O potencial dV em um ponto externo P, devido ao momento de dipolo → P dv ' é dado por → P ⋅ â R dv ' dV = 4πε 0 R 2 • Sabendo-se que  1  âR ∇ '  = 2 R R → e que  →  → → →  →  ∇ '⋅  f A  = f  ∇ '⋅ A  + A⋅  ∇ ' f        → Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira temos que → → → P ⋅ â R dv '  1  dv ' dV = = P ⋅ ∇ '  2 R 4πε 0  R  4πε 0 →  →   → → 1  P 1   ∇ '⋅   −  ∇ '⋅ P   dv ' dV = 4πε 0   R  R       • Integrando sobre todo o volume v’ do dielétrico e aplicando o teorema da divergente em um dos termos, obtemos → V = ∫ → → P ⋅ ân − ∇ '⋅ P → dS ' + ∫ dv ' 4 πε 0 R 4 πε 0 R Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Quando a polarização ocorre, uma densidade volumétrica de cargas ligadas (ρρv) se forma no interior do dielétrico, enquanto que uma densidade superficial de cargas ligadas (ρρS) se forma sobre a superfície do dielétrico. • As cargas ligadas não são livres para se movimentar no interior do dielétrico. Elas surgem em função do deslocamento, que ocorre em escala molecular, durante o processo de polarização. • As cargas livres são aquelas que são capazes de se mover ao longo de distâncias macroscópicas, como os elétrons em um condutor. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • O total de cargas positivas ligadas, sobre a superfície S’ que contorna o dielétrico, é dado por → Qb = → ∫ P ⋅ dS ' = ∫ ρ ρS dS ' enquanto que a carga que permanece no interior de S’ é dada por → → − Q b = − ∫ ∇ '⋅ P dv ' = ∫ ρ ρv dv ' • Desse modo, a carga total do material dielétrico permanece igual a zero, ou seja, QT = Qb − Qb = ∫ρ ρS dS ' + ∫ ρ ρv dv ' = 0 isso porque o dielétrico foi eletricamente neutralizado antes da polarização. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Considerando o caso em que a região do dielétrico contém cargas livres, temos → → ρ T = ρ v + ρ ρv = ∇ ⋅ ε 0 E → → ρ v = ∇ ⋅ ε 0 E − ρ ρv  → → → → = ∇⋅  ε 0 E + P  = ∇⋅ D   → onde ρv representa a densidade volumétrica de cargas livres, desse modo → → → D = ε0 E+ P • O efeito líquido do dielétrico sobre o campo elétrico é o de aumentar a densidade de fluxo elétrico, no interior do dielétrico, de uma quantidade igual ao efeito de polarização no material. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • A densidade de fluxo elétrico é maior do que seria se o mesmo campo elétrico fosse aplicado no espaço livre. • Para alguns dielétricos a polarização varia diretamente com o campo elétrico, portanto → → P = χ eε 0 E χ e é conhecida como a susceptibilidade elétrica do onde material, sendo uma medida do quanto um dado dielétrico é sensível aos campos elétricos. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira Constante e rigidez dielétrica • Sabendo-se que → → → → → D = ε 0 E + P = ε 0 E + χ eε 0 E → → → → D = ε 0 (1 + χ e ) E = ε r ε 0 E = ε E temos que ε: É a permissividade do dielétrico. εr: É a permissividade relativa ou constante dielétrica. • Para o espaço livre, e os materiais não dielétricos, a constante dielétrica é igual a unidade, ou seja, εr = 1. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Quando o campo elétrico no interior de um dielétrico é suficientemente elevado, ele começa a arrancar os elétrons das moléculas e o dielétrico torna-se condutor. • A ruptura condutor. dielétrica ocorre quando o dielétrico torna-se • Depende da natureza do material, da temperatura, da umidade e do intervalo de tempo que o campo elétrico é aplicado. • O menor valor do campo elétrico, para o qual essa ruptura ocorre, é chamado de rigidez dielétrica do material dielétrico. • Ou seja, rigidez dielétrica é o máximo campo elétrico que o dielétrico pode suportar, ou ao qual pode ser submetido, sem que haja ruptura. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira Dielétricos lineares, isotrópicos e homogêneos • Material linear: O vetor densidade de fluxo elétrico varia linearmente com o vetor campo elétrico, caso contrário se caracteriza como um material não-linear. • Material homogêneo: ε, ou σ, não varia na região em que está sendo considerado, caso contrário seu valor depende de sua posição no espaço se caracterizando como um material heterogêneo. • Material isotrópico: O vetor densidade de fluxo elétrico e o vetor campo elétrico estão na mesma direção, caso contrário, quando esses vetores e o vetor polarização não estão em paralelo, caracteriza-se como material anisotrópico. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Por exemplo, 1. Um material dielétrico é linear se ε não varia com o campo elétrico aplicado, homogêneo se ε não varia ponto a ponto e isotrópico se ε não varia com a direção. → → D = ε E 2. O mesmo conceito é válido para um material condutor, para o qual → → J =σ E se aplica. O material é linear se σ não varia com o campo elétrico, homogêneo se σ é o mesmo em todos os pontos da região e isotrópico se σ não varia com a direção. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira Exercícios 3. Uma haste fina de seção reta A se estende ao longo do eixo x de x = 0 até x = L. A polarização da haste ocorre ao longo de seu comprimento e é dada por Px = ax² + b. Calcule ρρv e ρρS em cada extremidade da haste. Demonstre que a carga ligada total se anula nesse caso. 4. Um capacitor de placas paralelas, com separação entre as placas de 2 mm, tem diferença de pontecial entre as placas de 1 kV. Se o espaço entre as placas é preenchido com poliestireno (εr=2,55), determine o vetor campo elétrico, o vetor polarização e ρρS. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira Equação da continuidade e tempo de relaxação • Devido ao princípio de conservação da carga, a taxa de diminuição da carga, em um dado volume e em um determinado período de tempo, deve ser igual à corrente líquida que sai da superfície fechada que limita esse volume. • Dessa forma, a corrente I, que sai da superfície fechada, é dada por → → d d I = ∫ J ⋅ dS = − Qin = − ∫ ρv dv dt dt onde Qin é a carga total presente no interior da superfície fechada. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Usando o teorema da divergente, temos que ∂ ∫ ∇⋅ J dv = − ∫ ∂t ρ v dv → → ∂ ∇⋅ J = − ρ v ∂t → → • Equação da continuidade da corrente. • Estabelece que a carga elétrica não pode ser destruída. • Para correntes estacionárias, → → ∂ ρv = 0 ⇒ ∇⋅ J = 0 ∂t mostrando que a carga total que sai é a mesma carga total que entra no volume. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Com a lei de Ohm → → J =σ E e a lei de Gauss ρv ∇⋅E = ε → obtemos → ρv ∂  → ∇⋅  σ E  = σ = − ρv ∂t ε   → ρ v = ρ v0 e − t Tr onde ρv0: É a densidade de carga no instante t=0. Tr : É o tempo de relaxação ou rearranjo. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Como resultado da introdução de cargas, em algum ponto no interior do material, ocorre um descréscimo na densidade volumétrica de cargas. • O movimento da carga, do ponto do interior onde foi introduzida até a superfície do material, está associada a esse decréscimo. • Tempo de relaxação é o tempo que uma carga no interior de um material leva para decair a e-1 (36,8%) de seu valor inicial. • Isso implica que, para bons condutores, o tempo de relaxação é tão curto que a maior parte da carga desaparece dos pontos internos e aparece na superfície (como carga superficial). • Para bons dielétricos, podemos considerar permanecerá no ponto onde foi introduzida. que a carga Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira Condições de fronteira • Se existe campo em uma região formada por dois meios diferentes, as condições que o campo deve satisfazer, na interface de separação entre os meios, são chamadas condições de fronteira. • Essas condições são úteis na determinação do campo de um lado da fronteira se o campo no outro lado for conhecido. • Para determinar as condições de fronteira, precisamos utilizar as equações de Maxwell → → ∫ E⋅ dl = 0 → → e ∫ D⋅ dS = Q enc Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Também precisamos decompor a intensidade de campo elétrico em duas componentes, tangencial e normal, em relação à interface de interesse, da seguinte forma → → → E = ET+ EN Meio 1 (ε1) E1 E1N ∆S E1T ∆h E2 Meio 2 (ε2) E2N a b d c ∆h ∆w E2T Figura 10 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Aplicando → ∫ → E ⋅ dl = 0 ao caminho fechado abcda, assumindo que o caminho é muito pequeno em relação à variação do campo elétrico, temos → → b → → c → d → → a → → → ∫ E ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl + ∫ E ⋅ dl + ∫ E ⋅ dl + ∫ E ⋅ dl a 0 = E1T ∆ w − E1N Meio 1 (ε1) b c d ∆h ∆h ∆h ∆h − E 2N − E 2T ∆ w + E 2N + E1N 2 2 2 2 E1 E1N E1T E2 Meio 2 (ε2) a b d c ∆h E2N ∆w E2T Figura 11 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Dessa forma, temos E 1T = E 2T D 1T ε1 = D 2T ε2 – As componentes tangenciais do campo elétrico são as mesmas em ambos os lados da fronteira, ou seja, são contínuas através da fronteira. – As componentes tangenciais do vetor densidade de fluxo elétrico são diferentes em ambos os lados da fronteira, ou seja, são descontínuas através da fronteira. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Aplicando ∫ → → D ⋅ dS = Q enc ao cilindro, ou superfície gaussiana, temos (considerando ∆h → → ∫ D ⋅ dS Meio 1 (ε1) = D1N ∆ S − D 2N ∆ S = ρ S ∆ S ∆S E1 E1N E1T E2 Meio 2 (ε2) ∆h E2N E2T Figura 12 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira 0) • Dessa forma, temos D 1N − D 2N = ρ S ε 1 E 1N − ε 2 E 2N = ρ S onde ρS: É a densidade superficial de cargas livres na fronteira. – As componentes normais do vetor densidade de fluxo elétrico são diferentes em ambos os lados da fronteira, ou seja, são descontínuas através da fronteira. – As componentes normais do campo elétrico são diferentes em ambos os lados da fronteira, ou seja, são descontínuas através da fronteira. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • As expressões E1T = E2T e D1N − D2N = ρS são referidas como condições de fronteira. • Essas condições devem ser satisfeitas por um campo elétrico na fronteira de separação entre dois meios diferentes. Meio 1 (ε1) E 1T = E 2T E 1sen θ 1 = E 2 sen θ 2 θ1 E1 Considerando ρS=0 C/m², temos E2 θ2 Meio 2 (ε2) Figura 13 ε 1 E 1N − ε 2 E 2N = ρ S = 0 ε 1 E 1 cos θ 1 = ε 2 E 2 cos θ 2 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira • Dessa forma, tg θ 1 ε1 = tg θ 2 ε2 ou tg θ 1 ε r1 = tg θ 2 ε r2 • Essas expressões representam a lei de refração do campo em uma fronteira livre de cargas (ρS=0 C/m²). • Uma interface entre dois meios diferentes causa o desvio das linhas de fluxo elétrico. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira Exercícios 5. Determinar as expressões das condições de fronteira para as seguintes condições: a) Interface dielétrico – dielétrico. b) Interface condutor – dielétrico. c) Interface condutor – espaço livre. 6. Um dielétrico homogêneo (εr=2,5) preenche uma região 1 ( x ≤ 0 ), enquanto que a região 2 ( x ≥ 0 ) é o espaço livre. → → a) Se D1 = 12âx −10ây + 4âz nC/m², determine D2 e θ2 . b) Se E 2 = 12 V/m e θ 2 = 60 o , determine E1 e θ1. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira