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CÁLCULO VETORIAL - TÓPICOS DAS AULAS 1. Introdução. 2. Comprimento, área e volume diferenciais. 3. Integrais de linha, de superfície e de volume. 4. Gradiente de um escalar. 5. Divergência de um vetor e o teorema da divergência. 6. Rotacional de um vetor e o teorema de Stokes. 7. Laplaciano de um escalar e de um vetor. 8. Classificação dos campos vetoriais. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
Introdução • Este capítulo trata do cálculo vetorial, ou seja, a integração e a diferenciação de vetores.
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Comprimento, área e volume diferenciais • Coordenadas cartesianas: ― O deslocamento diferencial é dado por →
d l = dxâx + dyây + dzâz ― A área diferencial normal é dada por →
d S = dydzâx = dxdzây Figura 1
= dxdyâz
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• Coordenadas cartesianas:
― O volume diferencial é dado por
dv = dxdydz
Figura 2 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
• O elemento de superfície, ou de área, diferencial dS pode, em geral, ser definido como →
d S = dSâ n onde dS é a área do elemento de superfície e ân é o vetor unitário normal à superfície dS. Sua orientação é para fora do volume, caso dS seja parte de uma superfície que limita esse volume.
Figura 3 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
• Coordenadas cilíndricas:
― O deslocamento diferencial é dado por →
d l = dρâρ + ρdφâφ + dzâz ― A área diferencial normal é dada por →
d S = ρ d φ dzâ ρ = d ρ dzâ φ = ρ d ρ d φâz Figura 4
― O volume diferencial é dado por
dV = ρ d ρ d φ dz
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• Coordenadas esféricas:
― O deslocamento diferencial é dado por →
d l = drâr + rdθâθ + rsenθdφâφ ― A área diferencial normal é dada por →
d S = r 2 sen θ d θ d φ â r = r sen θ drd φ âθ = rdrd θ âφ ― O volume diferencial é dado por Figura 5
dV = r 2 sen θ drd θ d φ
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Exercício 1. Referente à figura 6, desconsidere os comprimentos diferenciais e imagine que o objeto é parte de uma casca esférica.
Figura 6
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Continuação Isto pode ser descrito como
3≤ r ≤5 60 o ≤ θ ≤ 90 o 45 o ≤ φ ≤ 60 o Figura 7
onde a superfície r=3 é delimitada por AEHD, superfície θ=60º é AEFB e a superfície φ=45º é ABCD.
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Continuação Determine: a) b) c) d) e)
A distância DH. A distância FG. A área da superfície AEHD. A área da superfície ABCD. O volume do objeto.
Figura 8 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
Integrais de linha, de superfície e de volume • Por linha entendemos um caminho ao longo de uma superfície no espaço. • Utilizaremos os termos linha, curva e contorno alternadamente. • A integral de linha
→
→
A ⋅ d l ∫ L
é a integral da componente tangencial de A ao longo da curva L. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
• Dado um campo vetorial A e uma curva L, definimos a integral
∫
→
→
A⋅ d l =
∫
b →
a
A cos θ dl
L como a integral de linha de A em torno de L.
Figura 9 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
• Se o caminho de integração é uma curva fechada, a integral de linha
∫
→
→
A⋅ d l
L é denominada de circulação de A em torno de L.
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• Dado um campo vetorial A, contínuo em uma região contendo uma superfície suave S, definimos integral de superfície, ou o fluxo de A através de S, da seguinte forma
ψ =
→
→
→
∫ A ⋅ d S = ∫ A ⋅ dSâ S
S
n
=
∫
→
A cos θ dS
S
onde, em qualquer ponto sobre S, ân é o vetor unitário e normal a S.
Figura 10 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
• Para uma superfície fechada, definindo um volume, temos que
∫
→
→
A⋅ d S
S denominada de fluxo líquido de A que sai de S. • Definimos a integral
ρ dv v ∫ v como a integral de volume do escalar ρv sobre o volume v. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
Exercício 2. Calcule a circulação de
→
A = ρ cos φ â ρ + z sen φ â z
em torno da borda L da fatia definida por
0 ≤ ρ ≤ 2 o
0 ≤ φ ≤ 60
o
z = 0 Figura 11 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
Gradiente de um escalar • Considerando uma função escalar V(u, v, w), sua magnitude depende, em geral, da posição de um ponto no espaço, mas pode ser constante ao longo de uma linha, ou superfície. an P2
P3
dl
α
Superfície: V1+ dV
dn P1
Superfície: V1
Figura 12 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
• A figura 13 ilustra duas superfícies, onde a magnitude de V é constante e tem os valores V1 e V1 + dV, respectivamente, onde dV indica uma pequena variação em V. an P2
P3
dl
α
Superfície: V1+ dV
dn P1
Superfície: V1
Figura 13
• P1 corresponde ao ponto na superfície V1, P2 na superfície V1 + dV, ao longo do vetor normal dn, e P3 representa um ponto próximo a P2 ao longo de outro vetor dl, sendo dl diferente de dn. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
• Considerando o mesmo valor de dV, a taxa de variação espacial dV/dl é maior ao longo de dn porque dn é a menor distância entre as duas superfícies. an P2
P3
dl
α
Superfície: V1+ dV
dn P1
Superfície: V1
Figura 14
• A magnitude de dV/dl depende da direção de dl, desse modo dV/dl é uma derivada direcional.
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• O vetor que representa a magnitude e a direção da taxa máxima de variação espacial de um escalar, é conhecido como gradiente do escalar, ou seja,
→
dV gradV = ∇ V = ân dn • A derivada direcional ao longo de dl é dada por
→ dV dV dn dV dV = = cosα = ân ⋅ âl = ∇V ⋅ âl dl dn dl dn dn ou seja, a taxa de variação espacial de V na direção âl é igual à projeção, ou componente, do gradiente de V nessa direção. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
• Sabendo-se que dV é a variação total de V, devido a uma mudança na posição, podemos expressá-la como
∂V ∂V ∂V dV = dl u + dl v + dl w ∂lw ∂lu ∂lv onde dlu, dlv e dlw são as componentes do vetor deslocamento diferencial no sistema de coordenadas ortogonais generalizado. • Sabendo-se que
→
d l = âu dl u + â v dl v + â w dl w →
d l = âu (hu du ) + â v (hv dv ) + â w (hw dw ) Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
• Temos
∂V ∂V ∂V ⋅ (âudlu + âvdlv + âwdlw ) dV = âu + âv + âw ∂lv ∂lw ∂lu ∂V ∂V ∂V → ⋅ d l dV = âu + âv + âw ∂lv ∂lw ∂lu • Sabendo-se que
dV = ∇ V ⋅ dlâ l = ∇ V ⋅ d l →
→
→
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• Temos que
∂V ∂V ∂V ∇ V = âu + âv + âw ∂lu ∂lv ∂lw →
1 ∂V 1 ∂V 1 ∂V ∇ V = âu + âv + âw hu ∂ u hv ∂ v hw ∂ w →
• A partir dessa expressão, obtemos
1 ∂ 1 ∂ 1 ∂ ∇ = âu + âv + âw hv ∂v hw ∂w hu ∂u →
em coordenadas ortogonais generalizadas. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
• Em coordenadas cartesianas:
∂V ∂V ∂V ∇ V = âx + ây + âz ∂x ∂y ∂z →
• Em coordenadas cilíndricas:
∂V 1 ∂V ∂V ∇ V = âρ + âφ + âz ρ ∂φ ∂z ∂ρ →
• Em coordenadas esféricas:
∂V 1 ∂V 1 ∂V ∇ V = âr + âθ + âφ ∂r r ∂θ rsenθ ∂φ →
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• As seguintes destacadas:
relações →
a)
∇ (V + U →
b)
envolvendo
∇ (VU
)=
)= U
gradiente
→
devem
→
∇V + ∇U →
→
∇V +V ∇U →
→
V U ∇V −V ∇U ∇ = 2 U U →
c)
→
d)
∇ (V
)
n
= nV
n −1
→
∇V
onde V e U representam escalares e n um número inteiro.
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ser
• É importante observar que: – O gradiente de V, em qualquer ponto, é perpendicular à superfície de V constante que passa através desse ponto. – Se um determinado vetor A for igual ao gradiente de V, V é denominado de potencial escalar de A.
→
→
A = ∇V Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
Exercícios 3. Determine o gradiente dos seguintes campos escalares: a) u = x2 y + x y z. b) v = ρ z senφ + z2 cos2φ + ρ2. c) f = cosθ senφ ln(r) + r2 φ. 4. Dado φ = x y + y z + x z, determine o gradiente de φ no ponto P (1, 2, 3) e a derivada direcional de φ no mesmo ponto, orientada em direção ao ponto Q (3, 4, 4). 5. Calcule o ângulo entre as normais às superfícies x2 y + z = 3 e x log(z) – y2 = -4 no ponto de interseção R (-1, 2, 1).
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Divergência de um vetor e o teorema da divergência • A divergência de A, em um dado ponto P, é o fluxo que sai, por unidade de volume, à medida que o volume se reduz a zero em torno de P. • Dessa forma,
→
→
→
∫ A⋅ d S
→ →
div A = ∇⋅ A = lim S ∆v → 0
∆v
onde ∆v representa o volume encerrado pela superfície fechada S, na qual P está localizado. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
• Fisicamente, podemos considerar a divergência de um campo vetorial A, em um dado ponto, como uma medida de quanto o campo diverge ou converge desse ponto.
divA > 0 O vetor diverge em P
divA < 0 O vetor converge em P
divA = 0
Figura 15
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• Demonstração da expressão do divergente de um vetor
→
– Seja o cubo curvilíneo de volume ∆v=huhvhwdudvdw, ilustrado na figura 16, com centro no ponto P(u0, v0, w0) e o seguinte campo vetorial:
F(u, v, w) = âuFu (u, v, w) + âvFv (u, v, w) + âwFw (u, v, w) âv
dlu
dlw
âw âu
P
dlv S2
S0
S1
Figura 16 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
– Define-se o divergente de F, no ponto P, pela relação
→
1 → → div F = lim F ⋅ d S ∫ ∆v → 0 ∆ v S – Sendo âu o vetor normal à S0, o fluxo através dessa superfície é dado por
→
Φu (u0 ) = F⋅ âu ∆Su = Fu dlv dlw = Fu hv hw dvdw Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
– Os fluxos através das superfícies, que têm em comum o vetor unitário âu, podem ser expressados em termos de Φu(u0) a partir da expansão de Taylor de 1ª ordem da função
f (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) '
ou seja,
∂Φ u du Φ u u0 + = Φ u (u0 ) + 2 ∂u du ∂Φ u Φ u u0 − = Φ u (u0 ) − 2 ∂u
du 2
Para fora do cubo através de S1
du 2
Para dentro do cubo através de S2
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– Dessa forma, as contribuções das superfícies S1 e S2 para o fluxo total, considerando o exterior da região limitada pelo cubo, pode ser obtida da seguinte forma
∂(Fu hv hw ) du du ∂Φ u Φ u u0 + − Φ u u0 − = du = dudvdw ∂u 2 2 ∂u
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– As contribuições das outras superfícies são obtidas de forma análoga, logo temos que
dv dv ∂(Fv hu hw ) Φ v v0 + − Φ v v0 − = dudvdw 2 2 ∂v dw dw ∂(Fw hu hv ) Φ w w0 + dudvdw − Φ w w0 − = 2 2 ∂w – Dessa forma,
1 ∂(Fuhvhw ) ∂(Fvhuhw ) ∂(Fwhuhv ) ∇⋅ F = + + huhvhw ∂u ∂v ∂w → →
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– Em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas, temos
∂ (Fx ) ∂ (Fy ) ∂ (Fz ) + ∇⋅ F = + ∂y ∂z ∂x → → 1 ∂ (ρFρ ) 1 ∂ (Fφ ) ∂ (Fz ) ∇⋅ F = + + ∂z ρ ∂ρ ρ ∂φ → →
1 ∂ r Fr 1 ∂ (senθFθ ) 1 ∂ (Fφ ) ∇⋅ F = 2 + + r ∂r rsenθ ∂θ rsenθ ∂φ → →
(
2
)
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•
Em relação à divergência de um campo vetorial, devemos observar as seguintes propriedades: 1. Resulta em um campo escalar. 2. A divergência de um escalar não tem sentido físico.
3. Relação 1
→ → → → → → ∇⋅ A+ B = ∇⋅ A+ ∇⋅ B
4. Relação 2
→ → → → → ∇ ⋅ V A = V ∇ ⋅ A + A⋅ ∇ V
→
→
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• A partir da definição da divergência de A, temos que
→
→
→ →
A ⋅ d S = ∇ ⋅ A dv ∫ ∫ S
v
• Essa expressão representa o teorema da divergência, também conhecido como teorema de Gauss-Ostrogradsky. • O teorema da divergência estabelece que o fluxo total de um campo vetorial A, que sai de uma superfície fechada S, é igual à integral de volume da divergência de A. • O teorema se aplica em qualquer volume v, limitado pela superfície fechada S, desde que se considere que A e div A sejam funções contínuas na região. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
Exercícios 6. Determine a divergência dos seguintes campos vetoriais e calcule nos pontos especificados: a) A = y z âx + 4 x y ây + y âz no ponto (1, -2, 3). b) B = ρ z senφ âρ + 3 ρ z² cosφ âφ no ponto (5, π/2, 1). c) C = 2 r cosθ cosφ âr + r1/2 âφ no ponto (1, π/6, π/3). 7. Determine o fluxo de D = ρ² cos²φ âρ + z senφ âφ sobre a superfície fechada do cilindro 0 ≤ z ≤ 1, ρ = 4. Verifique o teorema da divergência para esse caso.
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Rotacional de um vetor e o teorema de Stokes • O rotacional fornece o valor máximo da circulação de um campo vetorial, por unidade de área, indicando a orientação ao longo da qual esse valor máximo ocorre. • Dessa forma,
1 → → rot A = ∇× A = lim ∫ A⋅ d l ân ∆S →0 ∆S L MAX →
→
→
onde a área ∆S é limitada pelo contorno L e ân é o vetor unitário normal à superfície ∆S.
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• Demonstração da expressão do rotacional de um vetor – Seja a geometria ilustrada na figura 17 e admitindo-se o seguinte campo vetorial
→
F(u, v, w) = âuFu (u, v, w) + âvFv (u, v, w) + âwFw (u, v, w) c3 âu
Iv P
c2 Iw
hvdv c4 âv
∆Su c1 hwdw
âw
Figura 17 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
– Temos que a integral de linha se reduz a
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
F ⋅ d l = F ⋅ d l + F ⋅ d l + F ⋅ d l + F ⋅ d l ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ L
c1 →
c2
c3
c4
→
F ⋅ d l = I + I + I + I 1 2 3 4 ∫ L – Temos ainda que
I v = Fv hv dv I w = Fw hw dw
Integrais de linha sobre os dois caminhos que cruzam o centro do retângulo curvilíneo.
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– Dessa forma, as integrais de linha, nos quatro segmentos, podem ser obtidas fazendo-se as expansões de Taylor de 1ª ordem das respectivas funções, ou seja,
∂I w dv dv I1 = I w v0 + = I w (v0 ) + 2 ∂v 2 ∂I v dw dw I 2 = I v w0 + = I v (w0 ) + 2 ∂w 2 dv ∂I w dv I 3 = I w v0 − = I w (v0 ) − 2 ∂v 2 dw ∂I v dw I 4 = I v w0 − = I v (w0 ) − 2 ∂w 2 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
– Dessa forma, considerando o sentido do contorno, temos que
→
→
− − + I I I I ⋅ = F d l 1 2 3 4 ∫ L
∂I w ∂I v ∫L F ⋅ d l = ∂v dv − ∂w dw →
→
∂ (Fw hw ) ∂ (Fv hv ) F ⋅ d l = dvdw − dvdw ∫L ∂w ∂v →
→
∂ (Fw hw ) ∂ (Fv hv ) ∫L F ⋅ d l = dvdw ∂v − ∂w →
→
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– Sabendo-se que a área diferencial é dada por
∆S u = hv hw dvdw a componente u do rotacional é dada por
1 ∇× F = u hv hw →
→
∂(Fw hw ) ∂(Fv hv ) ∂v − ∂w
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– De forma análoga, temos que as expressões para as outras componentes do rotacional de F são as seguintes
1 ∂(Fu hu ) ∂(Fw hw ) − ∇× F = h h ∂ w ∂ u v u w → → 1 ∂(Fv hv ) ∂(Fu hu ) − ∇× F = ∂v w hu hv ∂u →
→
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– Em coordenadas cartesianas
∂(Fz ) ∂(Fy ) ∂(Fx ) ∂(Fz ) ∇× F = âx − − + + ây ∂x ∂z ∂z ∂y ∂(Fy ) ∂(Fx ) + âz − ∂y ∂x →
→
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– Em coordenadas cilíndricas
1 ∂(Fz ) ∂(Fφ ) ∂(Fρ ) ∂(Fz ) ∇× F = âρ − + âφ − + ∂z ∂ρ ρ ∂φ ∂z 1 ∂(ρFφ ) ∂(Fρ ) + âz − ∂φ ρ ∂ρ →
→
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– Em coordenadas esféricas
→
→
∂ (sen θFφ ) ∂ (Fθ ) − + ∂θ ∂φ 1 1 ∂ (Fr ) ∂ (rFφ ) + âθ − + ∂r r sen θ ∂φ 1 ∂ (rFθ ) ∂ (Fr ) + âφ − r ∂r ∂θ
1 ∇× F = â r rsen θ
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•
Em relação ao rotacional de um campo vetorial, devemos observar as seguintes propriedades: 1. Resulta em um campo vetorial. 2. O rotacional de um campo escalar não tem sentido físico.
3. Relação 1
→ → → → → → ∇× A+ B = ∇× A+ ∇× B
4. Relação 2
→ → → → → ∇× V A = V ∇× A + ∇ V × A
→
→
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→ → ∇⋅ ∇× A = 0 →
5. Relação 3
A divergente do rotacional de um campo vetorial é igual a zero. →
6. Relação 4
→
∇× ∇ V = 0
O rotacional do gradiente de um campo escalar é igual a zero.
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• O rotacional de um campo vetorial A, em um ponto P, pode ser considerado como uma medida da circulação do campo, ou, em outras palavras, de quanto este campo gira em torno de P.
rotA ≠ 0
rotA = 0 Figura 18
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• O teorema de Stokes estabelece que a circulação de um campo vetorial A, em torno de um caminho fechado L, é igual à integral de superfície do rotacional de A, sobre a superfície aberta S limitada por L.
A ⋅ d l = ∇ × A ⋅ d S ∫L ∫v →
Figura 19
→
→
→
→
Desde que A e o rotA sejam contínuos sobre S.
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• Ilustração física do teorema de Stokes
Figura 20 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
Exercícios 8. Determine o rotacional de cada um dos campos vetoriais do exercício 6 e calcule seu respectivo valor em cada um dos pontos fornecidos. 9. Para um campo escalar V, demonstre que rot( grad V ) é igual a zero, ou seja, que o rotacional do gradiente de qualquer campo escalar se anula.
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Laplaciano de um escalar e de um vetor 1. Laplaciano de um escalar – O Laplaciano de um campo escalar V representa a operação do divergente do gradiente de V [div ( grad V )]. – Dessa forma, em coordenadas cartesianas, obtemos
→2
2
2
2
∂V ∂V ∂V ∇ V = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
– Em coordenadas cilíndricas,
→2
1 ∂ ∇ V = ρ ∂ρ
∂V 1 ∂ V ∂ V ρ + 2 + 2 2 ∂z ∂ρ ρ ∂φ 2
2
– Em coordenadas esféricas,
→2
1 ∂ 2 ∂V 1 ∂ ∂V ∇ V = 2 r + senθ r ∂r ∂r rsenθ ∂θ ∂θ 2 1 ∂V + 2 2 2 r sen θ ∂φ Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
• O Laplaciano de um campo escalar resulta em outro escalar. • Um campo escalar V é dito harmônico, em uma dada região, quando o seu Laplaciano se anula nessa região.
2 →
∇ V =0 Equação de Laplace Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
Exercício 10. Determine o Laplaciano dos seguintes campos escalares: a) U = x² y + x y z. b) V = ρ z senφ + z² cos² φ + ρ². c) W = cosθ senφ ln(r) + r² φ.
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2. Laplaciano de um vetor – O Laplaciano de um campo vetorial resulta em outro vetor. – É dado por
→2 →
∇ A = ∇ ∇ ⋅ A − ∇× ∇× A →
→ →
→
→
→
em qualquer sistema de coordenadas.
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Classificação dos campos vetoriais •
Um campo vetorial é univocamente caracterizado pelo seu divergente e seu rotacional.
•
Nem só o divergente, nem o rotacional, individualmente, são suficientes para descrever completamente o campo vetorial.
•
Todos os campos vetoriais podem ser classificados em termos da anulação, ou não-anulação, de seu divergente ou de seu rotacional, da seguinte forma: (a) divA=0 e rotA=0
(c) divA=0 e rotA≠0
(b) divA≠0 e rotA=0
(d) divA≠0 e rotA≠0
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• A figura 21 ilustra campos típicos dessas quatro categorias apresentadas.
Figura 21
(a) divA=0 e rotA=0
(c) divA=0 e rotA≠0
(b) divA≠0 e rotA=0
(d) divA≠0 e rotA≠0
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• Um campo vetorial é dito ser solenoidal, ou não divergente, quando divA for igual a zero. • Esse campo não é nem fonte, nem sumidouro de fluxo, ou seja,
A ⋅ d S = ∇ ⋅ A dv = 0 ∫S ∫v →
→
→ →
• Desse modo, as linhas de fluxo de A, que entram em qualquer superfície fechada, devem sair dela.
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• Um campo vetorial é dito ser irrotacional, ou potencial, quando rotA for igual a zero, ou seja, o vetor não possui rotacional.
∇ × A ⋅ d S = A ⋅ d l = 0 ∫S ∫L →
→
→
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• Portanto, em um campo irrotacional A, a circulação de A em torno de um caminho fechado é identicamente zero. • Isso implica que a integral de linha de A independe do caminho escolhido. • Portanto, um campo irrotacional é também conhecido como campo conservativo. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
Exercício 11. Demonstre que B = [ y + z cos(xz) ] âx + x ây + x cos(xz) âz é conservativo, sem calcular nenhuma integral.
Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
