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Limites, derivadas e integrais - Formulário e exemplos
Caro leitor, Este breve trabalho tem a finalidade de uxiliá-lo com a teoria envolvendo limites, derivadas e integrais, e para isso apresenta diversas tabelas que facilitarão os cálculos e a memorização de fórmulas. Obras mais extensas há publicadas (v. ref. [7]) , porém estão dirigidas mais ao professor ou ao matemático especializado e por isso se tornam às vezes pouco práticas para consultas rápidas. A fim de enriquecer o material apresentado, introduzi um capítulo contendo exemplos de exercícios resolvidos, uma vez que apenas a formulação teórica não seria suficientemente clara ( v. p . e x . a f o r m u la çã o d o m é todo de i n te gr a ç ão p o r p ar t es n o c ap í tu l o T éc n i c as d e I n t e g r a ç ã o e a m an ei r a c om o o m é todo é ap l i cad o n os e x em p los ) . Alguns dos exemplos foram extraídos das obras consultadas,
mas a maioria foi elaborada por mim, logo, qualquer erro peço ao leitor que mH indique para que uma versão corrigida possa ser apresentada. Assim, todos os comentários e sugestões visando aperfeiçoá-lo e enriquecê-lo serão bem-vindos. Finalizando, acrescento que não sou matemático nem professor de matemática, mas apenas um curioso que gosta dos números. Gil Cleber
[email protected] www.gilcleber.com.br
Limites Propriedades Sendo lim f (x ) = L e lim g(x ) = M , então: x a
x ¥
1) lim c = c
5) lim[( f ⋅ g )(x )] = lim f (x ) ⋅ lim g(x ) = L ⋅ M x a
x a
x a
2) lim[c ⋅ f (x )] = c ⋅ lim f (x ) = c ⋅ L
n
6) lim[( f )n (x )] = éêlim f (x )ùú = Ln ë x a û x a
x a
x a
3) lim[( f + g )(x )] = lim f (x ) + lim g(x ) = L + M x a
x a
x a
4) lim[( f - g )(x )] = lim f (x ) - lim g(x ) = L - M x a
x a
x a
éæ f ö ù lim f (x ) L = 7) lim êêçç ÷÷÷ (x )úú = x a ç ÷ g(x ) M x a ëêè g ø ûú lim x a
x a
x a
(n Î * e L ³ 0, ou n é ímpar e L £ 0)
Limites infinitos
lim f (x ) = ¥, lim g (x ) = ¥ lim ( f + g )(x ) = ¥ x a
x a
x a
ìï+¥ b > 0 lim f (x ) = +¥, lim g (x ) = b ¹ 0 lim ( f ⋅ g )(x ) = ïí x a x a x a ï-¥ b <0 ïî ìï-¥ b > 0 lim f (x ) = -¥, lim g (x ) = b ¹ 0 lim ( f ⋅ g )(x ) = ïí x a x a x a ï+¥ b <0 ïî lim f (x ) = ¥, lim g (x ) = ¥ lim ( f .g )(x ) = +¥ x a
x a
x a
lim f (x ) = +¥, lim g (x ) = -¥ lim ( f .g )(x ) = -¥ x a
x a
x a
lim f (x ) = ¥ lim x a
x a
lim f (x ) = 0 lim x a
x a
1
f (x ) 1
f (x )
=0
= +¥
-1-
(M ¹ 0)
8) lim n f (x ) = n lim f (x ) = n L
Infinito
x a
Não se estabelece lei para os seguintes casos:
lim f (x ) = ¥, lim g (x ) = ¥ lim ( f - g )(x ) = ? x a
x a
x a
lim f (x ) = +¥, lim g (x ) = -¥ lim ( f + g )(x ) = ? x a
x a
x a
lim f (x ) = ¥, lim g (x ) = 0 lim ( f .g )(x ) = ? x a
x a
x a
æf ö lim f (x ) = ¥, lim g (x ) = ¥ lim ççç ÷÷÷ (x ) = ? x a x a x a è g ø ÷
Limites no infinito
Todas as propriedades valem tanto para lim quanto para lim . x +¥
x -¥
lim f (x ) = ¥, lim g (x ) = ¥ lim ( f + g )(x ) = ¥
x ¥
x ¥
x ¥
ìï+¥ b > 0 lim f (x ) = +¥, lim g (x ) = b ¹ 0 lim ( f ⋅ g )(x ) = ïí x ¥ x ¥ x ¥ ï-¥ b <0 ïî ìï-¥ b > 0 lim f (x ) = -¥, lim g (x ) = b ¹ 0 lim ( f ⋅ g )(x ) = ïí x ¥ x ¥ x ¥ ï+¥ b <0 ïî lim f (x ) = ¥, lim (x ) = ¥ lim ( f .g )(x ) = ¥
x ¥
x ¥
x ¥
lim f (x ) = +¥, lim (x ) = -¥ lim ( f + g )(x ) = -¥
x ¥
x ¥
x ¥
1 =0 x ¥ f x ()
lim f (x ) = ¥ lim
x ¥
1 = +¥ x ¥ f x ()
lim f (x ) = 0 lim
x ¥
Não se estabelece uma lei para os seguintes casos:
lim f (x ) = ¥, lim g (x ) = ¥ lim ( f - g )(x ) = ?
x ¥
x ¥
x ¥
lim f (x ) = +¥, lim g (x ) = -¥ lim ( f + g )(x ) = ?
x ¥
x ¥
x ¥
lim f (x ) = ¥, lim g (x ) = 0 lim ( f .g )(x ) = ?
x ¥
x ¥
x ¥
f (x ) = ? x ¥ g
lim f (x ) = ¥, lim g (x ) = ¥ lim
x ¥
x ¥
-2-
Limites trigonométricos lim sen x = sen a
lim cos x = cos a
lim tg x = tg a
lim sec x = sec a
x a
x a
x a
x a
Limite trigonométrico fundamental
lim x 0
sen x =1 x
Limite de uma função polinomial Seja f (x ) = a 0 + a1x + a2x 2 + + an x n
lim f (x ) = f (a ) x a
()
Função racional: lim f x = x ¥
am x m + am -1x m -1 + + a1x + a 0 bn x n + bn -1x n-1 + + b1x + b0
, m, n Î *+
a ìï ïïm = n, lim f (x ) = bm x ¥ n ïï f (x ) = ¥ ím > n, xlim ¥ ïï ïïm < n, lim f (x ) = 0 x ¥ ïî
a = 0 (v. ex. 1, 2 e 3). x ¥ x
Esses limites são fundamentados no fato de que lim
Limites exponenciais e logarítmicos
Limites exponenciais
lim a x 1
lim a x a b
x 0
x b
lim a , a 1
lim a x 0, a 1
x
x
x
lim a x 0, 0 a 1
lim a x , 0 a 1
x
lim a x b
f x
x
c, com 0 a 1 e lim f x c x b
Limite exponencial fundamental x
n lim 1 e n , x 1 e x 0 x x e 2, 7182818284...
lim 1 x x 0
-3-
1 x
e, 1 x 0
lim ln x , 0 x 1
ax 1 ln a, a 0 x 0 x
lim
x 0
Limites logarítmicos
lim loga x 0 x 1
x b
lim loga x , a 1
x 0
lim loga x , 0 a 1
lim loga x , 0 a 1
x
f x c, com 0 a 1 e lim f x c
lim loga f x 0, com 0 a 1 e lim f x 1 x b
lim loga x b
lim loga x , a 1
x
x b
lim loga x loga b, 0 a 1, b 0
x 0
lim ln x , 0 x 1 x 0
x b
Regra de L’Hôpital Cálculo de limites nos casos indeterminados:
Casos
0 0
0 ¥ , , 0 ⋅¥, ¥-¥, 00 , ¥0 e 1¥ . 0 ¥
¥ ¥
,
Derivam-se independentemente o numerador e o denominador da função, até obter um caso de limite calculável pelas técnicas conhecidas, com o numerador ou o denominador, ou ambos, diferentes de 0 ou de ¥ . (v. ex. 4)
Caso 0 ⋅¥
lim f (x )⋅ g (x ) caso em que lim f (x ) = ¥ e lim g (x ) = 0 x a
x a
Faz-se
g (x ) 1 f (x )
ou
f (x ) 1 g (x )
x a
, o que tornar os cálculos mais simples reduzindo-se ao caso
0 ¥ ou . (v. ex. 5) 0 ¥
Caso ¥-¥
lim f (x ) - g (x ) caso em que lim f (x ) = ¥ e lim g (x ) = ¥ x a
Escreve-se f (x ) - g (x ) como
x a 1 1 g (x ) f (x ) 1 f (x )⋅g (x )
x a
, quociente que assume a forma do caso
0 , e se procede como nesse caso. (v. ex. 6) 0
Casos 00 , ¥0 e 1¥
ì f (x ) = 0 ï ïlim x a Tem-se f (x ) , sendo que ï lim g (x ) = 0 ; ou lim f (x ) = 1 com o lim g (x ) = ¥ : í x a x a x a ï lim f (x ) = ¥ ï ï î x a g (x ) Nos três casos, deve-se calcular lim f (x ) = lim g (x )⋅ log f (x ) , aplicar a técnica utilizada na forma 0 ⋅¥ e fazer g (x )
x a
x a
g (x )
lim f (x ) x a
=e
lim g (x )⋅log f (x )
x a
-4-
(v. ex. 7 a 9)
Derivadas Derivadas de operações entre funções — propriedades
( ) e g (x ) , temos:
Dadas duas funções f x
f x g x ’ f ’ x g’ x
f x g x ’ f ’ x g x f x g’ x
c f x ’ c f ’ x
f g x ’ = f’ g x g’ x
f x f’ x g x f x g’ x ’ g x g2 x Seja y u 2 , u u x :
d 2u d2y d du d du du u u u 2 2 2 2 2 dx 2 dx dx dx dx dx dx
dy du 2u dx dx
2
Seja y u 3 , u u x :
dy du du du u 2 . u 2u u u 2 3u 2 dx dx dx dx
2 d2y du 2d u 6 u 3 u 2 dx 2 dx dx 2
Conseqüências das propriedades
Seja a função f x :
’ k f x
f x
k 1
k
arc tg f x ’
f ’ x
f ’ x
sen f x ’ cos f x
f ’ x
tg f x ’ sec 2 f x
cos f x ’ sen f x
arc cos f x ’
a f x ’ a f x ln a f ’ x
1 log f x ’ f’ x a f x ln a
f’ x
1
1 f x 1
1 f x
2
f’ x 2
f’ x
arc s en f x ’
1
1 f x
g x g x g x .ln f x ’ f x ’ f x
-5-
f’ x 2
Sobre essa última derivada, tendo-se em vista que a x ’ a x ln a , então
g x g x g x 1 g x .ln f x ’ = f x g x ' ln f x g x ’ ' f x f x f x f x g x g x 1 f x g x ' ln f x g x f x f x '
Derivadas de algumas funções elementares
a ’ a
c’ 0
x ’ kx k
x
ln a e x ’ e x
k 1
log x ’ x ln1 a
loga e
n -1 k
( x )’ = nxk k
a
ln x ’ x1
(
x
x
n
k Î *+, k par f é derivável em (0, +¥) k Î *+ , k ímpar f é derivável em - {0}
)
De um modo geral, temos:
2ax + b
ax 2 + bx + c ’ = 2
( ax
2
+ bx + c
Ver exemplo 10.
)
é m ù ê n f (x ) ú’ = ê ú ë û
(
)
é ê f (x ) ê êë
(
m n
)
m -n ù ú’ = m f (x )’ ⋅ f (x ) n ú n úû
sen x ’ cos x
cos x ’ sen x
sen x ’ 2 sen x cos x
cos x ’ 2 sen x cos x
tg x ’ sec
cot x ’ cos sec
2
2
2
x
2
x
2 tg x tg x ’ cos x
cotg x ’ 2sencotgx x
sec x ’ sec x tg x
cossec x ’ cossec x cot x
2
2
2
2
sec x ’ 2cossinxx 2 tg x sec 2
3
1 cos x ’ sen x
cos x ’
2
sen x
cos x ’ sen x
2
x
cossec x ’ 2sencosxx 2 cotg x cossec 2
3
2
x
e x - e -x (senh x )’ = cosh x senh x = 2 e x + e -x (cosh x )’ = senh x cosh x = 2 e x - e -x (tgh x )’ = sech2 x tgh x = x -x e +e e x + e -x (cotgh x )’ = - cosech2 x cotgh x = x -x e -e 2 (sech x )’ = - sech x tgh x sech x = x e + e -x 2 (cosech x )’ = - cosech x cotgh x cosech x = x e - e -x -6-
arc sen x ’
1 1 x2 1
arccos x ’
2
arcctg x ’ 1 1x arcsec x ’
(arg cosh x )’ =
1 x2
arc tg x ’ 1 1x
2
1 x
arccossec x ’
x2 1
1 x
(arg senh x )’ =
1 x2 + 1 1
x2 -1 1 (arg tgh x )’ = 1 - x 2 1 (arg cotgh x )’ = 1 + x 2 1 (arg sech x )’ = x 1- x2 1 (arg cosech x )’ = x 1 + x2
x2 1
-7-
Técnicas de Integração A Integral Indefinida
Identidades importantes para a resolução de alguns tipos de integrais I)
1 sen 2 x cos 2 x
II)
1 tg 2 x sec 2 x tg 2 x sec2 x 1
III) IV)
sen 2x 2(sen x cos x ) sen x cos x
sen 2x 2
cos 2x cos 2 x sen 2 x cos 2 x 1 cos 2 x cos 2x 2 cos 2 x 1 cos 2x cos 2 x 1 1 cos 2x 2 2 2 2 cos x sen x cos 2x e: 2 2 1 sen x sen x cos 2x 2 2sen x 1 cos 2x 2 1 1 sen x cos 2x 2 2 Donde decorrem as identidades V, VI, VII e VIII
V) VI) VII)
sen2 x =
cos2 2x =
1 1 cos 2x 2 2 x 1 cos x cos 2 2 2 2
1 1 cos 2x 2 2 x 1 cos x sen 2 2 2 2
sen 2 x
IX)
1 + cos 2x 2
cos 2 x
VIII)
1 - cos 2x 2
cos x cos 2
x x sen 2 2 2
X)
2sen ax cos bx sen a b x sen a b x
XI)
2 cos ax cos bx cos a b x cos a b x
-8-
XII)
2sen ax sen bx cos a b x cos a b x
XIII)
x 2 sen x 2 x 1 tg 2
XIV)
x 2 cos x 2 x 1 tg 2
XV) XVI) XVII)
2 tg
1 tg 2
sen 2 x
tg 2 x 1 tg 2 x
cos 2 x
1 1 tg 2 x
tg 2x
2 tg x 1 tg 2 x
XVIII)
cosh x + senh x = e x
XIX)
cosh x - senh x = e -x
XX)
senh 2x = 2 senh x cosh x
XXI)
cosh 2x = cosh2 x + senh2 x
XXII)
cosh 2x = 2 senh2 x + 1
XXIII)
cosh 2x = 2 cosh2 x - 1
XXIV)
senh x cosh x - 1 = 2 2
XXV)
cosh x = 2
cosh x + 1 2
Neste caso não há o sinal ±, pois a imagem da função está contida no intervalo [1, + ¥) .
Integrais diversas
ò
ìï x +1 ïï , ¹ -1 x dx = í + 1 ïï ïïîln x , = -1
òe
x
ò ln x dx = x ln x - x + k
1 dx = e x + k
ò
ax ln a
ò
x ò a dx =
log x dx =
1 a2 - x 2
-9-
x ln x ln 10
-
dx = arc sen
x ln 10
x + k, x < a a
1
ò
2
x a
òa
2
2
dx = ln x + x 2 a 2 + k
1 1 x +a dx = ln +k 2 2a x -a -x
Integrais da forma
òa
2
òx
ò f ( g ( x)) g ( x) dx
1 1 x dx = arc tg + k 2 a a +x 1 x 2 - a2
dx =
1 x arc sec + k, x > a a a
(substituição simples)
Neste tipo de integral, aparecem no integrando uma função composta f g x e a derivada g x . Deve-se identificá-las e efetuar-se a substituição.
Sendo F g x F g x g x f g x g x
faz-se u g x , du g x dx donde:
ò f ( g ( x)) g ( x) dx = ò
f (u ) du = F (u ) + k = F ( g ( x)) + k .
(v. ex. 11 e 12)
Integrais da forma
ò
f ( x ) g ( x ) dx (integração por partes)
Neste tipo de integral, aparecem no integrando uma função u = f ( x ) e a derivada dv g x . Sendo éë f ( x ) g ( x )ùû = f ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ( x ) f ( x) g ( x) = éë f ( x) g ( x)ùû f ( x) g ( x) então ò f ( x ) g ( x )dx = f ( x ) g ( x ) - ò f ( x) g ( x)dx . Fazendo u f x , v g x , du f x dx, dv g x dx , chega-se à forma usual de representar a regra:
ò u dv = uv - ò v du . (v. ex. 13 a 15)
Integração de funções trigonométricas, e de suas potências e produtos
- cos ax +k a sen ax +k cos ax dx = a
ò sen ax dx = ò
x sen 2x x sen x ⋅ cos x = +k 2 4 2 2 (ver identidades IV, VI e VII) x sen 2x x sen x ⋅ cos x 2 cos x = + = + +k 2 4 2 2
ò sen ò
2
x=
1
ò sen ax cos bx dx = 2 ò éëêsen (a + b ) x + sen (a - b ) x ùûú dx 1 ò cos ax cos bx dx = 2 ò éêëcos (a + b ) x + cos (a - b ) x ùúû dx 1
ò sen ax sen bx dx = 2 ò éêë- cos (a + b ) x + cos (a - b ) x ùúû dx (v. ex. 16 e 17) - 10 -
(ver identidades VIII, IX e X)
ò ò ò ò
æax ö 1 1 ln sec ax + tg ax + k = ln tg ççç + ÷÷÷ + k a a 4 ÷ø è2 1 sec2 ax dx = tg x + k a secn ax secn ax tg ax dx = ò secn -1 ax sec ax tg ax dx = +k n ⋅a sec ax +k sec ax tg ax dx = a sec ax dx =
ò sec x cosec x dx = ln tg x
(n ¹ 1)
+ k = ln sen x - ln cos x + k
1
ò cosec ax dx = a ln cosec ax - cotg ax ò cosec ax dx = - cotg ax + k
+k
2
ò
cosecn ax cotg ax dx =
ò cosec ax cotg ax dx =
ò
- cosec x +k a
1
ò
+k =
(
)
1
1 ln cosec ax + k a - cotg ax cotg2 ax dx = ò cosec2 ax - 1 dx = -x +k a tgn +1 ax n 2 cotg ax cosec ax dx = dx + k (n ¹ 1) a (n + 1)
ò cotg ax dx = a ln sen ax ò ò
- cosecn ax +k n ⋅a
1 ln sec ax + k a tg ax tg2 ax dx = ò sec2 ax - 1 dx = -x +k a tgn +1 ax tgn ax sec ax 2 dx = dx + k (n ¹ 1) a (n + 1)
ò tg ax dx = - a ln cos ax ò
cosecn -1 ax cosec ax cotg ax dx =
+k =
(
)
Integração de funções trigonométricas inversas
x
x
ò arc sen a dx = x arc sen a + ò
x x m +1 x 1 x m arc sen dx = arc sen a m +1 a m +1ò x
x
ò arc cos a dx = x arc cos a ò
a2 - x 2 + k
x
a
a2 - x 2
dx
a2 - x 2 + k
x x m +1 x 1 x m arc cos dx = arc cos + a m +1 a m +1 ò x
x m +1
ò arc tg a dx = x arc tg a - 2 ln (x
2
)
+ a2 + k
- 11 -
x m +1 a2 - x 2
dx
(n ¹ 1)
ò
x x m +1 x a x m +1 x m arc tg dx = dx arc tg a m +1 a m + 1 ò a2 + x 2 x
x
a
ò arc cot a dx = x arc cot a + 2 ln (x ò
ò
ò
ò
ò
2
)
+ a2 + k
x x m +1 x a x m +1 x arc cot dx = dx arc cot + a m +1 a m + 1 ò a2 + x 2 ì ï x x p 2 2 ï ïx arc sec - a ln x + x - a + k, 0 < arc sec < x 2 a a arc sec dx = ï í ï x p x a ï x arc sec + a ln x + x 2 - a 2 + k, < arc sec < p ï ï 2 a a ï î ì ï x ï x m +1 arc sec ï xm x p ï a - a ï dx , 0 < arc sec < ï ò 2 2 ï 2 m +1 m +1 a x x -a x m arc sec dx = ï í ï x a ï x m +1 arc sec ï xm p x ï a + a ï dx , < arc sec < p ï ò 2 m +1 m +1 a x 2 -a2 ï îï ìï ïïx arc cosec x + a ln x + x 2 - a 2 + k, 0 < arc cosec x < p x 2 a a arc cosec dx = ïí ïï x p x a 2 2 ïïx arc cosec - a ln x + x - a + k, - < arc cosec < 0 a 2 a ïî ìï m +1 x ïï x arc cosec xm x p ïï a + a dx , 0 < arc cosec < ï ò ï 2 m +1 m +1 a x x 2 - a2 x m arc cosec dx = ïí ïï m +1 x a arc cosec ïï x xm p x a - a ïï dx , - < arc cosec < 0 ò 2 2 2 m +1 m +1 a x -a ïîï m
( (
) )
( (
) )
Observa-se que o cálculo das integrais com xm implica em utilizar o método das substituições trigonométricas, visto adiante.
Integrais de funções hiperbólicas
ò senh x dx = cosh x + k
ò cosh x dx = senh x + k
ò sech
ò cosech
2
x dx = tgh x + k
ò sech x tgh x dx = - sech x + k
Os casos
ò cos
n
x sen 2x e
2
x dx = - cotgh x + k
ò cosech x cotgh x dx = - cosech x + k ò cos
n
x cos 2x
Substitui-se, conforme o caso, sen 2x ou cos 2x por seus valores conforme as identidades IV e V, efetuando-se a integração das funções trigonométricas resultantes. Vejam-se os exemplos 18 e 19.
- 12 -
Fórmulas de redução para
ò tg x dx n
ò tg
n
1
x dx =
x dx =
n
n -1
x cos x +
n -1 sen n -2x dx ò n
1 tgn-1 x - ò tgn -2 x dx n -1
n
x dx = -
ò sec
n
x dx = n
n
1 n -1 cosn -1 xsenx + cosn -2 x dx ò n n
ò cot
ò cosec
n
n
n
n
n
ò cotg x dx
e
ò sen x dx = - n sen ò cos
ò sen x dx , ò cos x dx , ò sec x dx , ò cos sec x dx ,
1 cotn -1 x - ò cotn -2 x dx n -1
1 n -2 secn -2 x tg x + secn -2 x dx n -1 n -1 ò
x dx = -
1 n -2 cosecn -2 x cot x + cosecn -2 x dx ò n -1 n -1
O caso sen n x cosm x dx
n ímpar n par m e n pares
Sugestão Transformam-se as potências de seno a co-seno (ident. I). Faz-se a substituição u cos x , du sen x . Transformam-se as potências de seno a co-seno (ident. I). Faz-se a substituição u sen x , du cos x . Usam-se as identidades V e VI, o que resulta numa integral bastante trabalhosa, ou pode-se usar a identidade I para transformar potências de seno a co-seno (ou vice-versa), aplicando-se em seguida as fórmulas de redução.
(v. ex. 20 e 21)
O caso
ò sec x dx, n par n
Além da fórmula de redução, podem utilizar-se a identidade II e a derivada (tg x )’ = sec2x , seguindo-se substituição simples. (v. ex. 22)
O caso
m ímpar
ò sec
n
x tgm x dx Sugestão Faça
ò sec
n -1
m par
Fórmula Use a fórmula
x tgm -1x sec x tg x dx
tg2 x = sec2x - 1 para substituir em tgm 1 x
Expressar o integrando em potências de sec x , e utili- Mesma fórmula e mesmo procedimento. zar a fórmula de redução para secn x .
(v. ex. 23 e 24) - 13 -
Substituição trigonométrica
1º caso:
a2 x 2
x a sen , 2 2 x a, a dx a cos d arc sen x a a 2 x 2 a cos
x
a
Observe-se que 0£q£
p se x ³ 0 2
p £ q < 0 se x < 0 2 p p Como - £ q £ , cos q ³ 0 \ 2 2
-
2º caso:
a2 x 2
cos2 q = cos q a 2 - x 2 = a cos q .
a2 x 2
x a tg , 2 2 dx a sec2 d x sec2 1 tg2 x arc tg a 2 2 a x a sec
a 2 x 2 a 2 a tg
2
a 1 tg2 a sec
Observe-se que 0£q£
p se x ³ 0 2
p - £ q < 0 se x < 0 2 p p Como - < q < , sec q ³ 1 \ 2 2
3º caso:
a2 x2
sec2 q = sec q a 2 + x 2 = a sec q .
x
a
x 2 a2 , x a
Usa-se a identidade III.
x a sec 2 2 2 2 2 2 2 dx a sec tg d x a a sec a a tg a tg x arc sec a 2 2 x a a tg - 14 -
Observe-se que p se x ³ a 2 3p p£q< se x < -a 2 p 3p Como 0 < q < ou p £ q < , tg q ³ 0 \ tg2 q = tg q x 2 - a 2 = a tg q . 2 2 x p x Se x ³ a, sec q = ³ 1 e 0 £ q < \ q = arcsec . a 2 a x 3p ; Se x < -a, sec q = ³ -1 e p £ q < a 2 p x x como < arcsec £ p, quando x £ -a q = 2p - arcsec . 2 a a 0£q<
x2 a2
x
a
/2
0 2
-/2 3/2
(v. ex. 25 a 27)
Mudança de variável u tg
x e u tg x 2
(
)
( )
Essa mudança de variável é feita quando o integrando é da forma Q sen x , cos x , sendo Q u, v um quociente entre dois polinômios nas variáveis u e v. Utilizam-se as identidades XIII e XIV, fazendo-se a mudança de variável u
sen x
tg
x 2
:
2u 1 u2 2 , e dx cos x du 2 2 1u 1u 1 u2
Se as potências de sen x e cos x são pares, faz-se a substituição tg x = u , usando-se as identidades XV, XVI e XVII.
- 15 -
du u2 1 2 , sen x = e dx = cos x = 2 2 1 + u2 1+u 1+u 2
(v. ex. 28 a 30)
Integrais de funções racionais (integração por frações parciais)
Integrais de funções racionais com numeradores do tipo
P (x ) ò (x - )(x - ) dx Se P(x) é um polinômio de grau igual ou maior que o numerador, divide-se P(x) pelo denominador, de forma que a nova integral tenha como numerador o resto da divisão. Integra-se normalmente o quociente, e, em seguida, a nova fração. (v. ex. 31 a 35)
Seja o resto da divisão ax :
ax A B x x x x
ax A x B x
ax Ax A Bx B A B a A B
determinam-se os valores de A e B. O resultado da integração será:
P (x ) ò (x - )(x - ) dx = A ln x -
+ B ln x - + k
Para integrandos do tipo
ò
P (x )
(x - a)
2
dx
faz-se a mudança de variável x u .
Integrais de funções racionais com numeradores do tipo
P (x )
ò (x - )(x - )(x - ) dx O procedimento é similar (v. ex. 34):
P x
A
B
C
x x x x x x x x P x
2
A
B
C
x x x
2
- 16 -
Integrais de funções racionais com numeradores do tipo
òx
P (x ) 2
+ bx + c
dx ,
sendo o denominador um trinômio não fatorável do segundo grau. Converte-se o denominador numa soma de um número real com um binômio quadrado (v. ex. 35):
x 2 bx c x 2 bx d 2 d 2 c x 2 bx c x d
2
e
b d em que 2 e c d 2
òx
P (x ) 2
+ bx + c
dx =
P (x )
ò
(x + d ) + e 2
P (x )
òu
u = x + d, du = dx
2
dx =ò
P (x )
(x + d ) + e 2
dx
du
+e
integra-se fazendo a substituição do valor de x em P(x), e entendendo o denominador como uma função arco seno ou arco tangente.
ò ò
ò ax
Ax + B dx e 2 + bx + c
Ax + B
ò
dx utilizam-se as fórmulas: ax 2 + bx + c æ ö Ax + B A 2ax + b 1 ççB - Ab ÷÷ = + dx dx dx ÷ ò ò 2 2 2 ÷ ç 2a ax + bx + c 2a ø ax + bx + c ax + bx + c è æ ö A 2ax + b 1 Ax + B ççB - Ab ÷÷ dx + dx dx = ÷ ò ò ç 2a 2a ø÷ è ax 2 + bx + c ax 2 + bx + c ax 2 + bx + c
Em particular, para integrais do tipo
Estas fórmulas são uma conseqüência do desenvolvimento observado no exemplo 31.
Integrais de funções racionais com numeradores do tipo
P (x )
ò (x + e )(x
2
+ bx + c
)
dx
sendo o trinômio do denominador não fatorável. A fórmula dada é:
P (x )
ò (x + e )(x
2
+ bx + c
)
dx =
A
ò x +e + x
Bx + C dx 2 + bx + c
sendo que a segunda parcela da integral recai no caso anterior. Similarmente, integrais do tipo
ò (x
ò (x
P (x )
2
)(
+ e x 2 + bx + c
)
P (x )
2
)(
+ e x 2 + bx + c
dx = ò
)
dx , com P(x) de grau até 2:
Ax + B Cx + D + dx x2 +e x 2 + bx + c - 17 -
Integral da função racional do tipo
ò
1
(x
2
+
2
)
n +1
dx =
x
(
2n x + 2
2
2
)
n
+
ò
1
(x
2
+
2n - 1 1 2 ò 2n x2 + 2
(
2
)
)
n
n +1
dx ,
dx
Funções irracionais
Integrais do tipo
ò
ax + b cx + d
dx =
ò
ò
a + bx
dx
c + dx
ax + b ax + b cx + d ax + b
dx =
ò
ax + b acx + (ad + cb ) x + db 2
dx
e prossegue-se com substituição trigonométrica, completando-se o quadrado na expressão sob o radical, se necessário. (v. ex. 36)
Integrais com raízes de uma variável
Dado o integrando que contém de uma variável
j
x l , m x n , a substituição é feita por x = t m , em que é o denominador
comum dos expoentes dados em forma fracionária: l j
xl = x j
m
x n = x m m é o denominador comum entre
n
n l , , m j
A integral obtida recai em casos já estudados. (v. ex. 37)
Outras integrais
æ
ö
Integrais do tipo ò ççx , ax 2 + bx + c ÷÷÷dx com substituição de Euler ççè ÷ø
1ª Substituição de Euler – se a > 0
ax 2 + bx + c = a x + t ax 2 + bx + c = ax 2 + 2 a x + t 2 æ t 2 - c ÷ö t2 -c ÷' dx = ççç x= çèb - 2t a ÷÷ø b - 2t a 2
\ ax + bx + c = a x + t = a
t2 -c b - 2t a
+t
2ª Substituição de Euler – se c > 0 - 18 -
ax 2 + bx + c = xt c ax 2 + bx + c = x 2t 2 + 2t c x + c æ 2t c - b ö÷ 2t c - b ç x= dx = ÷÷ ' ççç 2 2 ÷ ÷ø a -t a t èç 2t c - b t+ c \ ax 2 + bx + c = xt c = a - t2 3ª Substituição de Euler – se a > 0 ou a < 0, com e como raízes reais do trinômio
ax 2 + bx + c = (x - a )t
ax 2 + bx + c = a (x - a )(x - b ) a (x - a )(x - b ) = (x - a )t a (x - a )(x - b ) = (x - a ) t 2 2
a (x - b ) = (x - a )t 2 æa b - at 2 ö÷ æa b - at 2 ö÷ ÷÷ t dx = çç ÷ x = ççç a çç a - t 2 ÷÷ ' çè a - t 2 ø÷ è ø æ ö÷ a b - at 2 ÷÷t a \ ax 2 + bx + c = (x - a )t = ççç ÷ø çè a - t 2 (v. ex. 38 a 40)
Integração do binômio diferencial
A integral do binômio diferencial
ò x (a + bx ) m
n
p
ò x (a + bx ) m
n
p
dx
dx pode ser reduzido à integral de uma função racional, se m, n e p são
racionais, e se: – p é inteiro (positivo, negativo ou zero);
m +1 é inteiro (positivo, negativo ou zero); n m +1 + p é inteiro (positivo, negativo ou zero). – n
–
Procedimento: 1
Faz-se x = z n , dx =
ò
x
m
(
a + bx
\q =z
1 -1 n
n
)
1 n1 -1 z dz n
p
1 dx = n
1º CASO: p é inteiro, q racional, q =
\
ò
ò
z
1 -1 n
(a + bz )
p
dz =
r . s
æ r ö÷ R çççz s , z ÷÷dz çè ø÷ - 19 -
1 n
ò
z q (a + bz ) dz p
r s
Substitui-se z por ts.
m +1 é inteiro, então q também é inteiro e p é racional, p = . n
2º CASO:
\
ò
ù é R êêz q , (a + bz ) úú dz êë úû
Substitui-se a + bz por t.
m +1 + p é inteiro, logo q + p é inteiro. n
3º CASO:
\ \
ò z (a + bz )
p
q
ò
p
dz =
òz
q +p
kù é ê q æa + bz ö÷ l ú ÷ ú dz R êz , ççç ê è z ø÷÷ ú ê ú ë û
Substitui-se
æa + bz ö÷ k çç ÷ çè z ø÷÷ dz , p = l
a + bz por tl. z
(v. ex. 41 a 43)
Metodos numéricos Usam-se para calcular a aproximação de uma integral definida quando a integração da função é difícil de obter-se. Seja uma função f : a, b . Divide-se o intervalo a, b em n subintervalos de comprimento h Temos então:
x 0 a, x 1 x 0 h, x 2 x 1 h, , x n b
yi f x i
1) Regra retangular
f x dx h y b
a
0
y1 y2 yn 1
1
y 2 y 3 yn
ou
f x dx h y b
a
2) Regra dos trapézios
y 0 yn
f x dx h b
a
2
h1 y2 yn 1
3) Fórmula de Simpson (ou Método das parábolas) - 20 -
b a . n
O número de subintervalos n deve ser par.
h
f x dx 3 y b
a
yn 2 y2 y 4 yn 2 4 y1 y 3 yn 1
0
Os métodos são trabalhosos, sendo a Fórmula de Simpson a que oferece melhor aproximação. Nos exemplos de nº 44 a 46 observa-se sua aplicação em uma integral simples, a título de comparação.
Integrais impróprias 1) Se f é contínua para todo x a , então
f x dx lim f x dx b
b a
a
se o limite existir. 2) Se f é contínua para todo x b , então
f x dx lim
b
f x dx b
a a
se o limite existir. 3) Se f é contínua para todo x, então
f x dx lim
b
b 0
f x dx lim
f x dx 0
a a
se os limites existirem. 4) Se f é contínua para todo x a, b , então
b
a
f x dx lim 0
b
a
f x dx
se o limite existir. 5) Se f é contínua para todo x a, b , então
b
a
f x dx lim 0
b
a
f x dx
se o limite existir. 6) Se f é contínua para todo x a, b , exceto num ponto “c”, então
b
a
f x dx lim 0
c
a
f x dx lim 0
b
c
f x dx
se os limites existirem. Quando os limites existem, diz-se que a integral converge (para o ponto de limite). Caso contrário, diz-se que a integral diverge. (v. ex. 47 a 51) - 21 -
Exemplos: o
Limite da função racional
1. Exemplo a
æ 3 1 1 ÷ö 4ç 3 1 1 ÷÷ + + + x 2 ç 2+ 2 + 3 + 4 çè x 2 x 3 x 4 ÷ø 2x 4 + 3x 2 + x + 1 x x x = 2+0 = 2 = lim = lim lim 4 3 x ¥ x ¥ x ¥ æ 2 2 5+0 5 5x + 2x - 2 2 2ö 5+ - 4 x 4 çç5 + - 4 ÷÷÷ çè x x x x ÷ø 2. Exemplo b
æ 3 1 1 ö÷ 5ç 3 1 1 2 x + + + ç 2+ 3 + 4 + 5 ÷÷ çè x 3 x 4 x 5 ø÷ 2x 5 + 3x 2 + x + 1 x x x = lim x ⋅ 2 = ¥ = lim = lim x ⋅ lim 4 3 x ¥ x ¥ x ¥ x ¥ æ 2 2 5 5x + 2x - 2 2 2ö 5+ - 4 x 4 çç5 + - 4 ÷÷÷ çè x x x x ÷ø 3. Exemplo c
æ 3 1 1 ÷ö 4ç 3 1 1 x 2 + + + ç 2+ 2 + 3 + 4 ÷÷ çè x 2 x 3 x 4 ÷ø 2x 4 + 3x 2 + x + 1 1 x x x = lim 1 ⋅ 2 = 0 lim = lim = lim 3 ⋅ 7 3 x ¥ x ¥ x ¥ x x ¥ x 3 æ 2 2 5 5x + 2x - 2 2 2ö 5+ 4 - 7 x 7 çç5 + 4 - 7 ÷÷÷ çè x x x x ÷ø
o
Limites - formas indeterminadas
4. As formas 0/0 e ¥/¥ Derivam-se independentemente o numerador e o denominador da função, até obter um caso de limite calculável pelas técnicas conhecidas, com o numerador ou o denominador, ou ambos, diferentes de 0 ou de ¥ . O primeiro exemplo é o caso 0/0. O segundo, a forma ¥/¥.
( (
) )
1 -1 + x1 ’ (1 - x + ln x )’ 1 - x + ln x 1 x li m 3 = lim 3 = lim = lim =2 x 1 x + 3x + 2 x 1 x 1 x 1 6x 6 3x + 3 ’ x + 3x + 2 ’
(
( ) ( )
)
x2 ’ (2x )’ x2 2 lim x = lim x = lim x = lim x = 0 x ¥ x ¥ e e ’ x ¥ e ’ x ¥ e
( )
5. A forma 0.¥ Neste exemplo o método utilizado foi reduzir à forma 0/0 e proceder como nesse caso.
lim (3x - 6) ⋅ x 2
(3x - 6)’ 1 3 1 li m = = lim 2 = 3 3 2 2 x x 12 3x - 24 9x 3x - 24 ’
(
)
6. A forma ¥ — ¥ 0 æ 1 (x - sin x )’ (1 - cos x )’ 1ö sin x 0 lim ççç - ÷÷÷ = lim = lim = lim = =0 x 0 è sin x x 0 x 0 x 0 x ÷ø x 2 cos x 2 - x sin (x sin x )’ (sin x + x cos x )’ 2
- 22 -
7. A forma 00
lim (sen x )
sen x
x 0
lim sen x ⋅ln sen x
= e x 0
lim sen x ⋅ ln sen x = lim x 0
(ln sen x )’ æ ö çç 1 ÷÷’ çè sen x ÷÷ø
x 0
cos x sen x = lim sen x = - sen x = 0 e 0 = 1 \ lim (sen x ) =1 x 0 - cos x x 0 sen2 x
8. A forma ¥0
æ 1 ö÷( ÷ lim çç x 2 è ç x - 2 ø÷÷
x 2 -4
)
(
)
lim x 2 -4 ln
= e x 2
1 x -2
(
1 x -2 çæç 1 ö÷÷ ÷’ ççç 2 ÷÷ è x -4 ø
ln 1 lim x - 4 ln = lim x 2 x 2 x -2
(
)
2
2ù é 2 x 4 ê ú’ ’ x 4 - 8x 2 + 16 ’ 4x 3 - 16x êë úû lim lim = lim = = x 2 x 2 4x - 4 2x 2 - 4x ’ x 2 2x 2 - 4x ’
( (
)
)
(
)
)
(
æ 1 ö÷( 0 0 ÷÷ = = 0 e = 1 \ lim çç x 2 ç 4 è x - 2 ø÷
2
x -4
)
) =1
9. A forma 1¥
(
lim x + 1 x 0
1 x
)
3
(
)
1 lim ⋅ln x 3 +1
= e x 0 x
(
)
ln x 3 + 1 ’ 1 3x 2 0 3 lim ⋅ ln x + 1 = lim = lim = = 0 e 0 = 1 \ lim x 3 + 1 x 0 x x 0 x 0 3x + 1 x 0 x’ 1
(
o
)
(
Derivação de radicandos
10. Exemplo
f (x ) = 2x 2 + 1 2 (x + Dx ) + 1 - 2x 2 + 1 2
f ’ (x ) = lim
Dx 0
Dx
Neste ponto, racionaliza-se o numerador:
æ öæ ö çç 2 (x + Dx )2 + 1 - 2x 2 + 1÷÷ çç 2 (x + Dx )2 + 1 + 2x 2 + 1÷÷ ÷÷ ç çè øè ø÷÷ f ’ (x ) = lim Dx 0 æ ö 2 Dx çç 2 (x + Dx ) + 1 + 2x 2 + 1÷÷÷ çè ø÷ 2 (x + Dx ) + 1 - 2x 2 - 1 2
= lim
Dx 0
æ ö 2 Dx çç 2 (x + Dx ) + 1 + 2x 2 + 1÷÷÷ çè ø÷ 2x 2 + 4x Dx + (Dx ) + 1 - 2x 2 - 1 2
= lim
Dx 0
æ ö 2 Dx çç 2x 2 + 4x Dx + (Dx ) + 1 + 2x 2 + 1÷÷÷ çè ø÷ - 23 -
1 x
)
=1
Cancelam-se os opostos, igualam-se a zero as parcelas com Dx :
f ’ (x ) = lim
Dx 0
o
Dx
(
4x Dx 2x 2 + 1 + 2x 2 + 1
)
=
2x 2x 2 + 1
Integração por substituição simples
11. Exemplo a
ò (2x + 1) dx 3
u = 2x + 1, du = 2 dx
(2x + 1) 3 1 1 u4 3 (2x + 1) dx = 2 ò (2x + 1) 2 dx = 2 ò u du = 8 + k = 8 + k 4
ò
3
12. Exemplo b
x
ò 1+x
4
dx
u = x 2 , du = 2x dx x 1 2x 1 1 1 1 dx = ò du = arctan u + k = arctan x 2 + k ò 1 + x 4 dx = 2 ò 2 2 2 1 + (u ) 2 2 1 + x2
( )
o
Integração por partes
13. Exemplo a
ò x sen x dx
u = x , du = dx
dv = sen x dx , v = - cos x
ò x sen x dx = -x cos x + ò cos x dx = - x cos x + sen x + k 14. Exemplo b Neste exemplo aplica-se duas vezes o método da integração por partes.
òxe
2 x
dx
2
u = x , du = 2x dx dv = e x dx , v = e x
òxe
2 x
dx = x 2e x - ò 2x e x
u = 2x , du = 2 dx
dv = e x dx , v = e x
òxe
2 x
dx = x 2e x - 2x e x + ò 2e x dx = x 2e x - 2x e x + 2e x + k
(
)
= x 2 - 2x + 2 e x + k 15. Exemplo c Neste exemplo aplica-se, em seguida, o método de substituição trigonométrica, que será visto adiante. - 24 -
ò arcsen x dx u = arcsen x , du = dv = dx , v = x
1 1- x2
dx
ò arcsen x dx = x arcsen x - ò
x 2
dx
1-x x = sen q, dx = cos q d q x sen q ⋅ cos q ò 1 - x 2 dx = ò cos q d q =
ò sen q d q
= - cos q + k = - 1 + x 2
ò arcsen x dx = x arcsen x +
Integração de funções trigonométricas
o
Os casos
ò sen ax cosbx dx, ò cos ax cos bx dx
16. Exemplo a
ò
1 + x2
e
ò sen ax sen bx dx
é ù 1 1 ê - cos (-3x ) cos 7x ú + = sen( 3 ) sen 7 x x dx ê ú +k 2ò 2ê 3 7 ú ë û - cos (-3x ) cos 7x = +k 6 14
sen 2x ⋅ cos(-5x )dx =
Essas fórmulas servem para calcular integrais aparentemente mais complexas, mas que se reduzem às formas dadas, como neste: 17. Exemplo b
ò sen 4x ⋅ sen
3
ò sen 4x ⋅ sen 2x ⋅ sen 2x dx = ò sen 4x ⋅ sen 2x (1 - cos = ò sen 4x ⋅ sen 2x dx - ò sen 4x ⋅ sen 2x ⋅ cos 2x dx 2
2x dx =
2
)
2x dx
2
I
I) ò
1 sen 4x ⋅ sen 2x dx = ò - cos 6x + cos 2x dx 2
II
Ident. VI 1 II) - ò sen 4x ⋅ sen 2x ⋅ cos2 2x dx = -ò sen 4x ⋅ sen 2x ⋅ (1 + cos 4x )dx 2 Ident. III 1 1 1 = - ò sen 4x ⋅ sen 2x dx - ò sen 4x ⋅ cos 4x .sen 2x dx 2 2 2 1 1 1 1 sen 8x = - ⋅ ò - cos 6x + cos 2x dx - ò sen 2x dx 2 2 2 2 2 \
ò sen 4x ⋅ sen
3
1 1 1 - cos 6x + cos 2x dx - ò - cos 6x + cos 2x dx + ò cos10x - cos 6x dx ò 2 4 8 1 1 = ò - cos 6x + cos 2x dx + ò cos10x - cos 6x dx 4 8 - sen 6x sen 2x sen10x cos 6x = + + +k 24 8 80 48 - sen 6x sen 2x sen10x = + + +k 16 8 80
2x dx =
- 25 -
Caso
ò cos
n
18. Exemplo a
ò cos
2
ò cos
x sen 2x e
n
x cos 2x
ò cos x (2 sen x cos x ) dx = 2ò cos 2
x sen 2x dx =
3
x sen x dx
u = cos x , du = - sen x dx
ò
cos2 x sen 2x dx = -2 ò cos 3 x (- sen x ) dx = -2 ò u 3 du = -
Observamos neste caso que foi utilizado também o método de substituição simples. 19. Exemplo b
ò cos
3
ò cos x (cos 3
x cos 2x dx =
2
)
x - sen2 x dx =
u4 cos4 x +k = +k 2 2
cos x dx - ò cos x sen x dx ò 5
3
2
I
II
Utiliza-se agora a fórmula de redução dada para cosn x.
1 4 cos 4 x sen x + ò cos3 x dx 5 5 æ1 ö 1 4 2 = cos 4 x sen x + çç cos2 x sen x + ò cos x dx ÷÷÷ ÷ø 5 5 çè 3 3 1 4 8 = cos4 x sen x + cos2 x sen x + sen x + k 5 15 15 cos 3 x sen2 x dx = -ò cos3 x 1 - cos2 x dx = -ò cos3 x dx + ò cos5 x dx
I)ò cos5 x dx =
II) ò
(
)
Não apresento o desenvolvimento da solução por se tratar apenas da fórmula de redução dada. Vamos direto à resposta:
ò cos
3
2 1 2 cos 4 x sen x + cos2 x sen x + sen x + k 5 5 5
x cos 2x dx =
Caso
sen
n
x cosm x dx
20. Exemplo a Primeiro um UexUemplo com potências ímpares:
ò sen
5
(
)
x cos3 x dx =ò sen5 x cos2 x cos x dx =ò sen5 x 1 - sen2 x cos x dx
ò sen
=
5
7
x cos x - sen x cos x dx
u = sen x , du = cos x
ò sen
5
7
x cos x - sen x cos x dx =
u6 u8 sen6 x sen 8 x u - u du = +k = +k 6 8 6 8
ò
5
7
Poder-se-ia ter feito também:
ò
(
sen5 x cos3 x dx =ò sen 4 x cos3 x sen x dx = - ò cos3 x 1 - cos2 x
) (- sen x ) dx 2
u = cos x , du = - sen x , etc.
21. Exemplo b Um UexUemplo com ambas as potências pares (ident. VI e VII):
ò sen
4
(
x cos x dx =ò sen x 6
2
) (cos x ) 2
2
3
2
æ1 - cos 2x ö÷ ÷÷ dx =ò çç çè 2 ø÷
- 26 -
3
æ1 + cos 2x ö÷ çç ÷÷ dx ÷ø 2 èç
2 3 1 1 - cos 2x ) (1 + cos 2x ) dx ( ò 8 2 3 1 = ò 1 - 2 cos 2x + cos2 2x 1 + 3 cos 2x + cos2 2x + 2 cos2 2x + cos3 2x dx , etc 8
=
(
)(
)
O integrando se transforma numa expressão polinomial bastante trabalhosa de integrar. O mesmo UexUemplo, utilizando-se porém a identidade I:
ò sen
2
(
)
x cos6 x dx =ò 1 - cos2 x cos6 x dx =ò cos6 x - cos8 x dx
Neste caso aplica-se a fórmula de redução para potências de co-seno.
O caso
22. Exemplo
ò sec
4
ò sec x dx, n par n
ò sec x (1 + tg x )dx = ò sec = tg x + ò sec x tg x dx 2
x dx =
2
2
2
x dx + ò sec2 x tg2 x dx
2
u = tg x , du = sec2 x dx
ò
ò
u 2du =
sec4 x dx = tg x +
tg3 +k 3
sec2 x tg2 x dx =
\
ò
O caso
ò sec
n
u3 tg3 x +k = +k 3 3
x tgm x dx
23. Exemplo a, m ímpar
ò sec ò
3
ò sec
x tg5 x dx =
2
(
2
u = sec x , du = sec x tg x dx
(
)
2
sec2 x sec2 x - 1 sec x tg x dx =
=
)
x tg4 x sec x tg x dx =ò sec2 x sec2 x - 1 sec x tg x dx
ò (
)
2
u 2 u 2 - 1 du =
òu
6
- 2u 4 + u 2du
sec7 x 2 sec5 x sec3 x u 7 2u 5 u 3 + +k = + +k 7 5 3 7 5 3
24. Exemplo b, m par
ò sec
3
x tg 4 x dx =
ò sec x (sec - 1) dx = ò sec 3
2
2
7
E aplica-se a fórmula de redução correspondente.
o
Integração - Substituição trigonométrica
25. 1º caso:
i=
ò
a2 x 2 x +4 dx = 4 - 7x 2
ò
x +4
dx =
æç ö 7 x 2 ÷÷÷ 4ççç1÷ ÷ ç 4 ÷÷ èç ø
1 x +4 dx ò æç 7 x ö÷2 2 ÷ ç ÷÷ 1-çç ÷ ç çè 2 ø÷÷
- 27 -
x - 2 sec5 x + sec3 x dx
7x
2
= sen q, x =
2
7
sen q, dx = cos q d q
æç 2 ö÷ 2 ç sen q +4÷÷÷ cos q d q ççè 7 ø÷ 7
1 i= ò 2
1-sen2 q
=
1 4 8 2 4 sen q + q +k d q = - cos q + ò 2 7 7 7 7
Usando-se o triângulo retângulo para retornar à variável x: 2
7x
4 7x 2
\ 7 4 - 7x 2 arcsen x +k 2 7 7
4
i=
26. 2º caso:
i=
a2 x 2
2x 2 - 1
ò
3x 2 + 8
dx =
ò
2x 2 - 1 2 dx = 4 æ 3x 2 ö 8 ççç + 1÷÷÷ çè 8 ø÷
6x 4 tg q = tg q, x = , dx = sec2 q d q 4 6 2 æ ö çç2 ´ 16 tg q - 1÷÷ 4 sec2 q d q ÷ ÷ø 6 6 2 ççè 2 = i= ò 4 sec q 4
2x 2 - 1
ò
ò
2
æ ö ççç 6x ÷÷÷ + 1 çè 4 ÷÷ø
64 tg2 sec q 3 6
-
dx
4
sec q d q 6
II
I) II )
2 4
2 4
ò
ò
4
sec q d q = -
3 ln sec q + tg q + k1 3
6 64 6 2 16 3 tg q sec q d q = 18 9
16 3 16 3 ln sec q + tg q + 9 9 16 3 16 3 =ln sec q + tg q + 9 9
=-
I
ò sec
3
ò (sec
2
)
q - 1 sec q d q =
16 3 sec3 q - sec q d q ò 9
q dq
é sec q tg q 1 ù ê + ò sec q d q ú ê ú 2 2 ë û 16 3 8 3 8 3 =ln sec q + tg q + sec q tg q + ln sec q + tg q + k2 9 9 9 \ i =-
16 3 8 3 8 3 3 ln sec q + tg q + sec q tg q + ln sec q + tg q ln sec q + tg q + k 9 9 9 3
Usando-se o triângulo retângulo para retornar à variável x:
- 28 -
3x 2 + 8 3x
\ i= =
2 2 8 3 9
1 11 3 x 3x 2 + 8 ln 3 9
27. 3º caso:
i=
3x 2 + 8 3x 11 3 ln 2 9 2 2
2 2
+k
3x 2 + 8 + 3x + k
x 2 a2, x a x2 + 3
ò
3x 2 + 8 + 3x
4x 2 - 25
dx =
ò
x2 + 3 1 dx = ò 5 æ 4x 2 ö 25 ççç - 1÷÷÷ ÷ø èç 25
x2 + 3 2
æ 2x ö÷ çç ÷ - 1 çè 5 ÷÷ø
dx
2x 5 sec q 5 sec q tg q , dx = = sec q, x = dq 5 2 2 2 éæ ù êç 5 sec q ö÷÷ ú 5 sec q tg q + 3ú dq êçç ÷ ÷ 2 ú 1 êëè 2 ø 25 3 û = sec3 q d q + ò sec q d q i= ò ò 5 8 2 sec2 q - 1 II
3 3 sec q d q = ln sec q + tg q + k1 ò 2 2 ù 25 é sec q tg q 1 ù 25 25 éê sec q tg q 1 3 ú= ê ú +k q q q q q q = + + + sec sec ln sec tg d d 2 ú ê ú 8 ò 8 êë 2 2ò 8 2 2 û ë û
I) II ) \ i=
I
25 49 sec q tg q + ln sec q + tg q + k 16 16
Usando-se o triângulo retângulo para retornar à variável x: 2x
4x 2 - 25 5
\ i=
o
x 4x 2 - 25 49 ln 2x 4x 2 - 25 + k + 8 16
Mudança de variável u tg
x e u tg x 2
28. Exemplo a Algumas integrais de quociente de funções seno e co-seno podem ser resolvidas por substituição simples, como neste exemplo: - 29 -
sen x
ò 2 cos x + cos
dx x u = cos x , du = - sen x dx sen x 1 1 - sen x ò 2 cos x + cos2 x dx = -ò 2 cos x + cos2 x dx = -ò 2u + u 2 du = -ò u (u + 2) du 1 A B = + = (A + B ) u + 2A u (u + 2) u u + 2 ì ï 1 1 ï2A = 1 \ A= , B =í ï A+B = 0 2 2 ï î 1 1 1 1 1 1 2 + cos x -ò +k du = -ò 2 - 2 du = - ln (cos x ) + ln (2 + cos x ) + k = ln 2 2 2 cos x u u +2 u (u + 2) 2
29. Exemplo b Neste exemplo são feitas as substituições indicadas neste tópico:
ò
1 dx = ò 1 - cos x
1 x tg2 2 x 2 1+ tg 2
1-
ò
dx =
1 1-
dx =
x tg2 2 x 2 1+tg 2
ò
1
dx =
x 2 tg2 2 x 2 1+tg 2
ò
x 1+ tg2 2 dx x 2 tg2 2
x 1æ xö t = tg , dt = ççç1 + tg2 ÷÷÷dx éëêv. ident. IIùûú 2 2è 2 ø÷ æ xö 2 2 dt = ççç1 + tg2 ÷÷÷dx dt = dx 2 ø÷ 1 + t2 è
ò
x 1+ tg2 2 dx x 2 tg2 2
=-
1 x 2 x cos 2
=
ò
1 + t2 2 ⋅ dt = 2 2t 1 + t2
+k = -
sen
x 2 x sen 2 cos
1
òu
+k = -
2
1 1 dt = - + k = - x + k tg t 2
x cos2 2 x sen2 2
+k = -
x cos2 2 x 1-cos2 2
+k = -
é v. ident. V ù úû ëê
30. Exemplo c Este método leva às vezes a operações trabalhosas, como neste exemplo: x 2 x 1+ tg2 2 2 tg
sen x dx = sen x + cos x
1+cos x 12
1 + cos x 1 - cos2 x - sen x =+k = +k = +k 1 - cos x 1 - cos x 1 - cos x
ò
1+cos x 2
ò
x 2 x 1+tg2 2 2 tg
+
x 2 x 1+tg2 2 1-tg2
dx =
ò
2 tg
x 2
x x 2 tg + 1 - tg2 2 2
x xö 1æ 2 t = tg , dt = ççç1 + tg2 ÷÷÷dx dt = dx 2 2è 2 ø÷ 1 + t2
- 30 -
dx =
+k
ò
2 tg
x 2
x x 2 tg + 1 - tg2 2 2 4t
(-t
dx =
=
2t
ò 2t + 1 - t
At + B
+
⋅
2
2 dt = 1 + t2
ò (-t
4t 2
)(
)
+ 2t + 1 t 2 + 1
dt
Ct + D
)( ) (t + 1) (-t + 2t + 1) 4t = (At + B ) (-t + 2t + 1) + (Ct + D )(t + 1) 2
+ 2t + 1 t 2 + 1
2
2
2
2
Desenvolvendo, ordenando e igualando os coeficientes, obtemos o sistema:
4t = (-A + C )t 3 + (2A - B + D )t 2 + (A + 2B + C )t + (B + D ) ì ï -A + C = 0 ï ï ï 2A - B + D = 0 ï ï \ A = B = C = 1, D = -1 í ï + + = A B C 2 4 ï ï ï B +D = 0 ï ï î \
ò (-t
4t 2
)(
)
+ 2t + 1 t 2 + 1
dt =
-t + 1 t +1 dt + ò 2 dt 2 + t t 1 2 1
òt
II
I
1 2t 1 1 t +1 dt = ò 2 dt + ò 2 dt = ln t 2 + 1 + arc tg t + k1 2 2 t +1 2 t +1 t +1 ö æ ö 1 æç t +1 x x dt = ln çç1 + tg2 ÷÷÷ + arc tg çççtg ÷÷÷ + k1 \ò 2 2 è 2 ø÷ t +1 è 2 ÷ø 2t - 2 -t + 1 -1 -1 II) ò 2 ln t 2 - 2t - 1 + k2 dt = dt = ò 2 2 2 t - 2t - 1 t - 2t - 1 ö÷ -t + 1 -1 æç 2 x x ln ççtg - 2 tg - 1÷÷ + k2 \ò 2 dt = 2 2 2 t - 2t - 1 ø÷ è
(
I) ò
)
Então:
ò
æ xö 1 æ ö sen x 1 æ xö x x dx = ln ççç1 + tg2 ÷÷÷ + arc tg çççtg ÷÷÷ - ln çççtg2 - 2 tg - 1÷÷÷ + k ÷ø sen x + cos x 2 è 2 ÷ø 2 2 è 2 ÷ø 2 è 2 x æ x ö÷ 1 + tg 2 1 ççtg ÷ + k = ln 2 x + arc tg x çè 2 ÷÷ø 2 tg 2 - 2 tg 2 - 1
É necessário agora obter a solução em termos de sen x e cos x:
ò
sen x 1 dx = ln sen x + cos x 2
x 2 2x cos 2 x x sen2 sen 2 2 -2 x x cos2 cos 2 2
1+
sen2
æ ö çç sen x ÷÷ ç 2 ÷÷÷ + k + arc tg çç ÷ çç x ÷÷ ÷ cos ç -1 çè 2 ÷ø
- 31 -
x x cos2 +sen2 2 2 x cos2 2 x x 2x sen sen ⋅cos 2 2 2 -2 x x cos2 cos 2 2
æ ö çç sen x ÷÷ çç 1 2 ÷÷÷ + k arc tg = ln + ç ÷ x çç cos2 2 x ÷÷ 2 çç cos ÷÷ - 2x è 2ø cos 2 æ ö x x ç sen x cos x ÷÷ cos2 + sen2 ç ç 1 2 2 2⋅ 2 ÷÷÷ + k = ln + arc tg çç ÷ çç 2 x x x x x x÷ sen2 - 2 sen ⋅ cos - cos2 cos ÷÷÷ çç cos è 2 2 2 2 2 2ø (V. ident. III) ö æ ÷÷ çç çç x x ÷÷÷ çç sen cos ÷÷ 1 1 2 2 ÷÷ + k = ln + arc tg çç ç æ ö 2 çç cos2 x ÷÷÷ ÷÷ ÷ ççç 2 x ç x x x÷ 2 ÷÷÷ - ççcos - sen2 + 2 sen ⋅ cos ÷÷÷ ççç çç 2 2 2 2 ÷÷ è (V. ident. VI) ø÷ ÷ çè (V. ident. ø IV) (V. ident. III) æ sen x ö÷ çç ÷ ç 1 -1 ÷÷÷ + k 2 = ln + arc tg çç çç 1 + cos x ÷÷÷ 2 cos x + sen x ÷ çç è ø÷ 2 æ sen x ÷ö 1 -1 = ln + arc tg ççç ÷÷ + k 2 cos x + sen x è1 + cos x ø÷
o
Frações parciais
31. Exemplo a
16 3 çççè8x +163 ÷÷÷÷ø 8 (3x + 2) 8 x +5+ -5 3x + 2 1 1 3 ò 4x 2 + 5x + 1 dx = 8 ò 4x 2 + 5x + 1 dx = 8 ò 4x 2 + 5x + 1 dx = 8 ò 4x 2 + 53x + 1 dx 3 8x + 5 1 1 3 1 1 = ò 2 dx + ò 2 dx = ln 4x 2 + 5x + 1 + ò 2 dx 8 4x + 5x + 1 8 4x + 5x + 1 8 8 4x + 5x + 1 æ
ö
(
)
(
)(
)
A integral no fim da expressão acima terá seu denominador fatorado da seguinte maneira: x + 1 4x + 1 , e será resolvida com no exemplo b. 32. Exemplo b
3x
ò (x - 2)(x + 4) dx A B 3x = + (x - 2)(x + 4) x - 2 x + 4
3x = A (x + 4) + B (x - 2) 3x = x (A + B ) + (4A - 2B ) ì ï ïA + B = 3 í ï 4A - 2B = 0 ï î Resolvendo-se o sistema, obtém-se A = 1 e B = 2, \
3x
1
2
ò (x - 2)(x + 4) = ò x - 2 + x + 4 dx = ln x - 2 + 2 ln x + 4 + k - 32 -
33. Exemplo c
ò
2x + 1
(x - 5)
2
dx
u = x - 5, x = u + 5, du = dx
ò
2x + 1
dx = 2
(x - 5)
2 (u + 5) + 1
ò
u
2
du =
= 2 ln u + 11ò u -2 du = 2 ln u + 11
ò
2u + 11 1 1 du = 2 ò du + 11ò 2 du 2 u u u
u -1 11 + k = 2 ln x - 5 +k x -5 -1
34. Exemplo d
ò
3x + 2
(x - 1)(x + 8)
2
3x + 2
=
dx A B C + + x - 1 x + 8 (x + 8)2
(x - 1)(x + 8) 3x + 2 = A (x + 8) = (A + B ) x 2
2 2
+ B (x - 1)(x + 8) + C (x - 1)
+ (16A + 7B + C ) x + (64A - 8B - C )
Obtém-se o sistema:
ìïA + B = 0 ïï ïí16A + 7B + C = 3 ïï ïï64A - 8B - C = 2 î cuja solução é
A= \
ò
5 -5 22 ,B = ,C = 81 81 9 3x + 2
(x - 1)(x + 8)
2
dx = =
5 81
-5 81
ò x -1 + ò x + 8 + ò
22 9
(x + 8)
2
dx
5 5 22 1 dx ln x - 1 - ln x + 8 + ò 2 81 81 9 (x + 8)
Na última integral faz-se
u = x + 8, du = dx 22 1 22 1 -22 -22 dx = du = + k1 = + k1 ò ò 2 2 9 9 9 u u 9 x + 8 ( ) (x + 8) \
ò
3x + 2
(x - 1)(x + 8)
2
dx =
5 5 22 +k ln x - 1 - ln x + 8 81 81 9 (x + 8)
35. Exemplo e
x +3 dx - 2x + 4 2 x 2 - 2x + 4 = x 2 - 2x + 1 - 1 + 4 = (x - 1) + 3
òx
2
- 33 -
òx
2
x +3 dx = - 2x + 4
ò
x +3
(x - 1)
2
dx
+3
u = x - 1, u + 1 = x , du = dx 4 x +3 u +4 u dx = ò 2 du = ò 2 du + ò 2 du ò 2 3 3 3 u u u + + + 1 3 x + ( ) I
ò
I)
(
òu
II)
II
1 2u 1 1 u du = ò 2 du = ln u 2 + 3 + k1 = ln x 2 - x + 4 + k1 2 2 u +3 2 2 u +3
2
4 4 du = ò 3 +3
1
( u)
2
1
3
du = +1
)
(
4 3 u 4 3 x -1 ⋅ + k2 = + k2 arc tg arc tg 3 1 3 3 3
\
òx
2
x +3 1 4 3 x -1 +k dx = ln x 2 - x + 4 + arc tg 2 3 - 2x + 4 3
(
o
Funções irracionais
Integrais do tipo
)
ò
ax + b cx + d
dx
36. Exemplo
x -3
ò
2x + 4
dx =
ò
éæ ê 2x - x - 1 = 2 êçççx êè ë \ 2
x -3
ò
2x + 4
x-
ò
dx =
x -3⋅ x -3
dx = 2x + 4 ⋅ x - 3 2 ù 1 ö÷ 9ú - ÷÷ - ú 4 ø÷ 16 ú û
1
ò 2
x -3 æç 1 ÷ö2 9 ççx - ÷÷ çè 4 ÷ø 16
ò
x -3
dx 2x 2 - x - 1
dx
1 1 = u, x = u + , dx = du 4 4 1 x -3 u - 11 dx = du ò 9 u2 2x + 4 2 16
A integral na variável u se resolve pelo método de substituição trigonométrica.
Integrais com raízes de uma variável
37. Exemplo
ò
)
1 ì ï ï 2 = x x ï x o den.comum é 4 x = t 4 , dx = 4t 3dt dx = ïí 3 4 3 ï 4 3 x +1 ï x = x4 ï ï î
- 34 -
x
t2 t5 t2 3 2 t dt dt t dt 4 = 4 = 4 ò t3 + 1 ò t3 + 1 t3 + 1 4t 3 1 3t 3 4t 3 4 dt = = -4⋅ ò 3 - ln t 3 + 1 + k 3 3 t +1 3 3 44 3 4 4 3 x - ln x + 1 + k = 3 3
ò
4
Substituições de Euler
x3 +1
dx =ò
38. 1ª substituição de Euler - exemplo
1
ò
2
x +x +4
dx
x + t = x 2 + x + 4 x 2 + 2tx + t 2 = x 2 + x + 4 2tx + t 2 = x + 4
4 - t2 -2t 2 + 2t - 8 , dx = 2 2t - 1 (2t - 1) æ ö 2 (2t - 1) t 2 - t + 4 1 çç-2 t - t + 4 ÷÷÷ 2 ç I =ò dt = - ò dt ÷÷dt = -2 ò ç 2 2 2 4-t ç 2 2 t 1 ÷ t+ ç 2 t 1 t t + 4 2 t 1 ÷ ( ) ø ( ) 2t -1 è 1 1 1 = -ò 1 dt = - ln t - + k = - ln x 2 + x + 4 - x - + k t2 2 2 \ x=
(
)
(
(
)
)
39. 2ª substituição de Euler - exemplo
ò
(
1- 1 + x + x2
x2 1 + x + x2
) dx 2
1 + x + x 2 = xt + 1 x + x 2 = x 2t 2 + 2xt
( (
)
2 t2 - t + 1 2t - 1 \ x= , dx = 2 1 - t2 1 - t2
I =
ò
é ê ê 2 t 2 -t +1 ê ê 2 2 ê é ù ççæ 2t -1÷ö÷ êt æçç 2t -1 +1÷ö÷ú êê æçç 2t -1÷ö÷ ÷ ÷ ççè 1-t 2 ÷ø êê èçç 1-t 2 ÷øúú ê èçç 1-t 2 ÷÷ø ë ûë ùïü ïìï éæç 2t -1ö÷ ÷t +1úïý í1-êêçç úï ïï êèç 1-t 2 ÷ø÷ ûúþïï îï ë
(
)
ù ú
2
t )úúú dt = (-2t +t ) (1-t ) (1-t )2(t -t +1) dt =2 dt ú ò ò ú 1-t ) (2t -1) (t -t +1)(1-t ) 1 - t2 ( ú ú 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
û
x + 1 + x + x2 -1 1+t 1 + x + x2 -1 = -2t + ln + k = -2 + ln +k x 1-t x - x - 1 + x + x2 + 1
- 35 -
40. 3ª substituição de Euler - exemplo
1
ò
2
x + 3x - 4
dx
x 2 + 3x - 4 = (x + 4)(x - 1)
(x + 4)(x - 1) = (x + 4)t x - 1 = (x + 4)t
(x + 4)(x - 1) = (x + 4) t 2 2
1 + 4t 2 10t dt , dx = 2 2 2 1-t 1-t
\ x=
10t
(1-t ) 2
ò
I =
( ) 10t (1 - t ) 2 dt = ò =ò 1-t (1 - t ) 5t 2
2
dt ö÷ ççæ1+4t 2 +4÷÷÷ ççç 1-t 2 è ø÷
2
1+t + k = ln 1-t
= ln
2
2
x + 4 + x -1 x + 4 - x -1
Integração do binômio diferencial
o
2
dt
+k
ò (
x m a + bx n
)
p
dx
41. Exemplo a
òx
2
(1 + 2 x ) dx = ò 2
2
1ö æ ÷ x ççç1 + 2x 2 ÷÷ dx , ÷ø çè 2
1
x 2 = z, x = z 2 \
(
)
2
x 2 1 + 2 x dx = 2 ò z 5 (1 + 2z ) dz = 2 ò z 5 + 4z 6 + 4z 7dz
ò
2
æ z 6 4z 7 x3 4z 8 ö÷ 8x 3 x ÷÷ + k = x 4 + = 2 ççç + + + +k çè 6 7 8 ø÷ 7 3 42. Exemplo b 1
òx
(1 + x )dx = ò
3
1 ö2 æ ÷ x 3 ççç1 + x 2 ÷÷ dx çè ø÷
x = z 2 , dx = 2z dz \
ò
(
1
)
1 + x dx = 2ò z 7 (1 + z )2 dz
x3 1 2
(1 + z )
= t, 1 + z = t 2 1 2
\ 2 ò z (1 + z ) dz = 2ò (t - 1) t 2t dt =4 ò t 2 (t - 1) dt, etc 7
7
7
43. Exemplo c 1
ò
x
(1 + x )dx = ò 3
1 ö2 æ ÷ x ççç1 + x 3 ÷÷ dx çè ø÷ 1 2
- 36 -
x = z 3 , dx = 3z 2dz 1
1
1 ö2 3 7 1 1 æ ç1 + x 3 ÷÷ dx = z 2 1 + z 2 3z 2dz = 3 z 2 1 + z 2 dz = 3 z 4 æç1 + z ö÷÷2 dz ç x ÷ ò èçç ò ( ) ò ( ) ò çèç z ø÷÷ ø÷ 1+z 1 -2dt , dz = = t2 z = 2 2 z t -1 t2 - 1 1 2
(
1 2
\ 3ò
æ1 + z ö÷ 2 ÷÷ dz = - ò z çç çè z ø÷ 3
o
Integração numérica
4
)
4
æ 1 ö÷ çç ÷ çèt 2 - 1ø÷÷ t
t
(t
2
dt = 2
)
-1
2 t2 dt, etc 3 ò t2 - 1 6
(
)
Veremos uma integral que pode ser resolvida também por substituição trigonométrica. Os cálculos, muito trabalhosos, só são viáveis com uma calculadora ou com um software de matemática. Foi utilizado o Derive 6:
f (x ) = \
ò
3
x3 -1 2 + x2
x3 -1 2 + x2
2
dx =
5 11 3
-
(
)
ln 15 11 -20 6 -6 66 + 50 2
= 5,177312395
Neste caso temos a = 2, b = 3 , e faremos n = 10 \ h = 0,1 . Para intervalos maiores, n deverá ser maior. Quanto maior n, melhor a aproximação. 44. Aplicando o método retangular:
ò
3
2
x3 -1 2 + x2
dx » 0,1 ´ (f (2)+ f (2,1)+ f (2,2)+ f (2,3)+ f (2,4)+ f (2,5)+ f (2,6)+ f (2,7)+ f (2,8)+ f (2,9)) æ
ö
641 402 19 11167 1603 194 39 33 2072 219 18683 929 873 246 23389 1041 ÷÷ ÷ » 0,1 ´ ççççè 7 6 6 + 8261 + + + + + + + + 64100 475 2700 4850 44 5475 92900 2050 104100 ø÷
» 4,929948213 45. Aplicando o método dos trapézios:
ò
2
3
x3 -1 2+x
2
æ
ö
dx » 0,1 ´ çèççy0 +2 yn + f (2,1)+ f (2,2)+ f (2,3)+ f (2,4)+ f (2,5)+ f (2,6)+ f (2,7)+ f (2,8)+ f (2,9)÷÷÷÷ø » 0,1 ´
ö÷ çæç 7 6 26 11 ÷÷ + ççç 6 8261 641 402 19 11167 1603 194 39 33 2072 219 18683 929 873 246 23389 1041 ÷÷÷ 11 + + + + + + + + + ÷ ççç 2 64100 475 2700 4850 44 5475 92900 2050 104100 ÷÷÷ ÷ø ççè
» 5,179026059 Observa-se com esse método uma aproximação bem melhor, em que duas casas decimais correspondem. 46. Aplicando a fórmula de Simpson:
h
f x dx 3 y b
a
0
yn 2 y2 y 4 yn 2 4 y1 y 3 yn 1
- 37 -
x3 -1
3
ò
2
2+x
1 ´ (f (2)+ f (2,1)+ f (2,2)+ f (2,3)+ f (2,4)+ f (2,5)+ f (2,6)+ f (2,7)+ f (2,8)+ f (2,9)) 30 1 æççç 7 6 26 11 æç 402 19 1603 194 2072 219 873 246 ÷÷ö çæ 8261 641 11167 39 33 18683 929 23389 1041 ö÷÷ö÷÷÷ ÷+4´çç ÷÷÷ +2´çç + + + + + + + » ´ çç + çç 64100 çç 475 4850 5475 2050 ÷÷ø 2700 44 92900 104100 ø÷÷÷ø÷ è è 30 èç 6 11 » 5,177312462
dx »
2
Obtivemos uma aproximação ainda melhor com este método, com seis casas decimais correspondentes.
Integrais impróprias
o
47. Exemplo a
ò
1
2
-¥
(4 - x )
2
ò
dx = lim
a -¥
2
a
2
é 1 ù ê ú = 1 - 1 = 1 -0 = 1 dx = lim 2 ê a -¥ 4 - x ú 4 - 2 4 -a 2 2 ë ûa (4 - x ) 1
A integral converge. 48. Exemplo b ¥
ò
-¥
x dx = lim
a -¥
ò
a
0
x dx + lim
b +¥
ò
b
0
o
b
éx 2 ù éx 2 ù b2 -a 2 + lim x dx = lim êê úú + lim êê úú = lim a -¥ 2 b +¥ 2 a -¥ 2 b +¥ 2 ë ûa ë û0
Os limites não existem, logo a integral diverge. 49. Exemplo c
ò
1
2
dx = lim+ ò 2
(x - 1)
0
0
e0
1
1-e
dx + lim+ ò 2
(x - 1) 1-e
1+d
d 0
1
2
(x - 1)
2
dx =
2
é -1 ù é ù ú + lim ê 1 ú = lim 1 - 1 + lim 1 - 1 = lim+ ê + e0 ê x - 1 ú d 0+ ê x - 1 ú d 0+ d ë û0 ë û 1+d e0 e Os limites não existem, logo a integral diverge. 50. Exemplo d
ò
1
1
x ln x dx = lim+ ò e 0
1
e
1
éx 2 -1 e2 ln e e2 -1 xù + = x ln x dx = lim+ êê ln x - úú = lim+ e 0 4 û e e0 4 2 4 4 ë2
A integral converge. 51. Exemplo e
ò
+¥
-¥
0 b 1 1 1 = dx dx + dx lim lim ò ò 2 2 2 -¥ +¥ a b 0 a x + 6x + 12 x + 6x + 12 x + 6x + 12 0 b é 1 ù é 1 ù x + x + 3 3 ú + lim ê ú = lim êê arc tg arc tg ú ú a -¥ b +¥ ê 3 3 3 3 ë ûa ë û0 ù a +3 b+3 1 éê ú = + arc tg 3 arc tg arc tg arc tg 3 ê ú 3ë 3 3 û p a +3 b + 3 ùú 1 éê 1 éê æç -p ö÷ æç p ö÷ùú ÷÷ + ç ÷÷ = = + = arc t g arc tg ç ê ú ç ç ê ú 3 3ë 3 3 û 3 êë è 2 ø÷ è 2 ø÷úû
A integral converge.
- 38 -
o
Cálculo de uma área curva
52. Exemplo Achar a área sob a curva y = x 2 no intervalo [-1, 2]. Solução: Temos x k =
2 - (-1) n
=
3k 3 , e x será substituído por -1 + . n n
Logo: 2
æ 3k ö æ 3 ö A = lim å f (x k ) x k = lim å ççç-1 + ÷÷÷ ççç ÷÷÷ n ¥ n ¥ n ø÷ è n ø÷ k =1 k =1 è 2 öæ ö n æ 6k 9k ÷ ç 3 ÷ = lim å ççç1 + 2 ÷÷ ç ÷÷ n ¥ ç n n ø÷ çè n ÷ø k =1 è n
n
n n k k2 1 - 18 lim å 2 + 27 lim å 3 n ¥ n ¥ n ¥ k =1 n k =1 n k =1 n 1 1 = 3 ´ 1 - 18 ´ 27 ´ = 3 2 3 n
= 3 lim å
- 39 -
Apêndice A integral definida
o
ò
b
a
f (x )dx é o valor da integral de f no intervalo [a,b]
Se a > b
ò
b
a
b
f (x )dx = -ò f (x )dx a
Propriedades
Sejam f , g : [a ,b ] duas funções integráveis em [a,b]. Então: i) Se f (x ) ³ 0, x Î [a ,b ] , então
ò
ii) a f é integrável em [a,b], e iii) f+g é integrável em [a,b], e
o
ò
b
a b
a
ò
b
a
f (x )dx ³ 0 b
b
(a f )(x )dx = òa a f (x )dx = a òa f (x )dx b
b
b
( f + g )(x )dx = òa ( f (x ) + g (x ))dx =òa f (x )dx + òa g (x )dx
Cálculo de uma área curva
()
Dada uma curva y = f x , calcule-se a área sob essa curva, limitada pelas retas x 1 = a e x 2 = b e pelo eixo dos x .
()
Seja n o número de partições (ou divisões) do intervalo [a, b], no qual f x é contínua. A área é dada por: n
A = lim å f (x k ) x k n ¥
em que:
k =1
x k =
b -a n
k é o número índice de cada partição,
( )
e na função f x k substitui-se x por a + k x k e n
1 =1 n ¥ k =1 n n k 1 lim å 2 = n ¥ 2 k =1 n 2 n k 1 lim å 3 = n ¥ 3 k =1 n lim å
n
lim å
n ¥
k =1
k
(i -1)
ni
=
1 i
(v. ex. 52)
o
Teorema fundamental do Cálculo
Seja f uma função contínua no intevalo fechado [a, b]. Então F é derivável e F’(x)=f(x). - 40 -
O que o teorema nos diz é que se a derivada de F é igual a f(x), então F é a integral — ou anti-derivada — de f(x), isto é, que a integração e a derivação são operações inversas uma da outra.
Seja f(x) contínua no intervalo [a,b]. Se a função G é derivável em [a,b], e G’ = f (x ) , então
ò
b
a
f (x )dx = G (b ) -G (a )
Observações: i) " a ,b Î , a < b , " n ³ 1 Î , então
ò
b
a
x ndx =
b n +1 a n +1 n +1 n +1
ii) " a ,b Î , a < b , então
ò
b
a
cos x dx = sen b - sen a (Obs.: não se trata aqui do cálculo da área)
iii) " a ,b Î , a < b , " n ³ 1 Î , e seja p um polinônio qualquer. Então n +1
ò
b
a
o
n
b
p’ (x )(p (x )) dx = ò f (x ) dx = G (b ) --G (a ) = a
(p (b ))
n +1
n +1
-
(p (a ))
n +1
Teorema de Weierstrass
Seja f uma função contínua no intevalo fechado [a, b]. Então existem dois pontos x1 e x2 em [a, b] tais que, para todo x em [a,b],
f (x 1 ) £ f (x ) £ f (x 2 ) .
O teorema afirma que x1 é o valor mínimo e x2 o valor máximo no intervalo fechado [a, b].
- 41 -
o
Teorema do anulamento (ou de Bolzano)
Seja f uma função contínua no intevalo fechado [a, b], sendo que f(a) e f(b) possuem sinais contrários. Então existe pelo
()
menos um c em [a, b] tal que f c = 0 .
o
Teorema do valor intermediário
Seja f uma função contínua no intevalo fechado [a, b] e um real contido entre f(a) e f(b). Então existe pelo menos um c em [a, b] tal que f(c) = .
Observe que o teorema do anulamento é um caso particular do teorema do valor intermediário. - 42 -
o
Teorema do valor médio (TVM)
Seja f uma função contínua no intevalo fechado [a, b] e derivável no intervalo aberto ]a, b[. Então existe pelo menos um c em [a, b] tal que
f (b ) - f (a ) b -a
o
= f ’ (c ) .
Teorema de Rolle
Seja f uma função contínua no intevalo fechado [a, b] e derivável no intervalo aberto ]a, b[ com f(a) = f(b). Então existe pelo menos um c em ]a, b[ tal que f’(c) = 0.
- 43 -
o
Teorema do valor médio de Cauchy
Seja f e g funções contínuas no intevalo fechado [a, b] e deriváveis no intervalo aberto ]a, b[ com f(a) = f(b). Então existe pelo menos um c em ]a, b[ tal que
f (b ) - f (a ) g (b ) - g (a )
()
( )
=
f ’ (c ) g’ (c )
.
Note que se g x = x , então g ¢ x ) = 1 , e temos a versão comum do TVM, que é um caso particular do Teorema do valor médio de Cauchy.
- 44 -
Bibliografia: [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]
Guidorizzi, Hamilton Luiz — Um curso de Cálculo (LTC Editora, 2007) Leithold, Louis — O Cálculo com Geometria Analítica (Ed. Harbra, 1986) Olivero da Silva, Mário; Cardim, Nacy — Cálculo II (Consórcio CEDERJ, 2007) Ortiz, Fausto Cervantes — Métodos operativos del Cálculo Integral (Universidad Autónoma de la Ciudad de México, 2008) Piskunov, N — Cálculo diferencial e integral (Editora Mir, Moscou, 1969) Pombo Jr., Dinamérico Pereira; C. Gusmão, Paulo Henrique — Cálculo I (Consórcio CEDERJ, 2004) Spiegel, Murray R. — Manual de fórmulas e tabelas matemáticas (Ed. MC Graw-Hill do Brasil LTDA, 1977)
Este trabalho foi digitado e formatado no MS Word 2003. Os gráficos de funções foram criados com o Advanced Grapher, da Alentun. As fórmulas e funções foram criadas no MathType 6.0. A capa foi desenvolvida no MS Word 2003 e ilustrada com gráficos criados pelo Advanced Grapher.
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