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Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda Professora: Salete Souza de Oliveira Buffoni
Exercícios Resolvidos Assunto: Integral Dupla Comentários Iniciais: É com imenso prazer que trago alguns exercícios resolvidos sobre integrais duplas e suas aplicações. Espero que você tenha um conspícuo aprendizado do tema. Não esqueça de constantemente recorrer aos livros, pois eles são excelente fonte de aprendizado. Qualquer Dúvida me escreva. e-mail:
[email protected]
Reflexão " Doce é a Luz e ver o sol deleita os olhos. Se tu viveres por muitos anos, que os desfrute todos, sempre lembrando que os dias sombrios são numerosos e tudo o que acontece é vaidade. Estejas feliz na tua juventude e afasta a tristeza do teu coração. Anda segundo os desejos do teu coração, conforme o que teus olhos vêem. Mas fica sabendo que por tudo o que fizeres aqui, Deus te pedirá conta." Salomão 935 a. C
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1. Integral Dupla
∫∫ f (x, y )dxdy R
∫ f (x, y )dx
y = cte
Exercícios Resolvidos 1. x2
2
∫ ∫ ydydx
y =0 y =0 2
2
1 2x y | dx 2 ∫0 0 2
1 4 x dx 2 ∫0 1 1 52 ⋅ x | 2 5 0 1 (2)5 = 32 = 16 10 10 5 2. 1 2
∫ ∫ (x + 2 )dydx 0 0 1
2
∫ (x + 2 )y 0| 0
1
∫ (x + 2 )2dx 0 1
2 ∫ (x + 2 )dx 0
⎡ x2 ⎤1 2⎢ + 2 x⎥ | ⎣ 2 ⎦0 ⎛5⎞ 2⎜ ⎟ = 5 ⎝2⎠
Outra forma: 2 1
∫ ∫ (x + 2)dxdy 0 0 2
1 x2 + 2 x | dx ∫2 0 0
2
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5
∫ 2 dy 0
5 2 y| =5 2 0
Encontrou-se o mesmo resultado. 3. e y
1
∫ ∫ x 2 + y 2 dxdy 1 0 e
∫ 1 e
1 xy arctg | dy y y0
∫ y (arctg1 − arctg0 )dy 1
1 e
∫ 1
π 4
π 1π dy = y 4 4
e
∫ 1
e dy π = Lny | y 4 1
[ln e − ln 1] = π
4
2. Interpretação da Integral Dupla
∫∫ f (x, y )dxdy R
Seja z = f ( x, y ) contínua na região R
(
)
Vi = f xi , y j ∆x i ∆y j n
(
m
)
V ≅ ∑∑ f x i , y j ∆x i ∆y j i =1 j =1
n
m
(
)
V = Lim ∑∑ f x i , y j ∆xi ∆y j n →∞ m → ∞ i =1 j =1
V = ∫∫ f (x , y )dxdy R
V = A ⋅ b ⋅ h se h = 1 V = A⋅b fazendo
f (x , y ) = 1
∫∫ dxdy = AR R
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1. Cálcule a área retangular R z
2
6 y
2 R 4
x
AR = ∫∫ dxdy R
⎧2 ≤ x ≤ 4 R⎨ ⎩2 ≤ y ≤ 6 4
6
∫ ∫ dydx
AR =
x=2 y =2 4
∫
AR =
6
y | dx 2
x=2 4
∫ 6 − 2dx
AR =
x=2 4
AR =
∫ 4dx
x=2
4
AR = 4 x |
2
AR = 16 − 8 = 8
3. Cálculo de áreas por Integral Dupla A = ∫∫ dxdy R
4
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1. Determinar a área da região limitada pelas curvas y = x 3 e y = 4 x no 1º Quadrante.
0
2
⎧y = x3 ⎨ ⎩y = 4x ⎧0 ⎪ x − 4 x = 0 ⎨+ 2 ⎪− 2 ⎩ 3
⎧0 ≤ x ≤ 2 R =⎨ 3 ⎩x ≤ y ≤ 4 x 2
A=
4x
∫ ∫ dydx
x =0 y = x 3 2
A=
4x
∫ y x| dx 3
0
x ∫ (4 x − x )dx = 4 2 2
A=
2
3
0
−
x4 2 |=4 4 0
2. Determinar a área da região limitada pelas curvas y = 2 x e y = x no 1º Quadrante.
y = 2x y=x
0
2
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y 2 = 2x
e
y=x
⎧y = 2x ⎨ ⎩y = x 2
x 2 = 2x x 2 − 2x = 0 x( x − 2 ) = 0 ⎧x = 0 ⎨ ⎩x = 2 ⎧0 ≤ y ≤ 2 ⎧⎪0 ≤ x ≤ 2 ⎪ R⎨ ou R ⎨ y 2 ⎪⎩ x ≤ y ≤ 2 x ≤x≤ y ⎪ ⎩ 2 1
2
A=
2x 2
∫ ∫ dydx
x =0 y = x
1 ⎞ ⎛ 2 ⎜ A = ∫ 2 x − x ⎟dx ⎟ ⎜ 0⎝ ⎠ 2
3 2 x2 2 2 (2 ) 2 − | 3 2 0 3 2 A= 2 2 −2 3 8 8 −6 2 = A= −2 = 3 3 3 Outra forma
A=
( )
2
A=
y
∫ ∫ dxdy
y =0
x=
y2 2
⎛ y2 ⎞ ⎜ ⎟dy A= ∫⎜y− ⎟ 2 ⎠ 0⎝ 2
y2 y3 2 A= | − 2 6 0 4 6 −4 2 A= 2− = = 3 3 3
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4. Momento e Centro de Gravidade de Áreas Planas
( )
CG x; y
y x mx = A ⋅ y my = A ⋅ x
4.1. Coordenadas do Centro de Gravidade x=
my
A mx y= A
A = ∫∫ dydx R
m x = ∫∫ ydydx R
m y = ∫∫ xdydx R
1. Determinar as coordenadas do centro de gravidade da Região limitada no 1º Quadrante por y = x 3 e y = 4 x .
8
0
2
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⎧0 ≤ x ≤ 2 R=⎨ 3 ⎩x ≤ y ≤ 4 x 2
A=
4x
∫ ∫ dydx = 4
x =0 y = x 3 2
Mx =
4x
∫ ∫ ydydx
x =0 y = x 3 2
Mx =
4x 1 y | dx 2 x∫=0 x 3
Mx =
1 16 x 2 − x 6 dx 2 x∫=0
2
(
)
1 ⎡ 16 x 3 x 7 2 ⎤ − |⎥ ⎢ 2⎣ 3 7 0⎦ 1 ⎡ 16 ⋅ 8 128 ⎤ − Mx = ⎢ 2⎣ 3 7 ⎥⎦ 64 64 256 − = Mx = 3 7 21 Mx =
2
My =
4x
∫ ∫ xdydx
x =0 y = x 3 2
My =
∫
4x
xy | dx
x =0
∫ (4 x
x3
2
My =
2
)
− x 4 dx
x =0
4x3 x5 2 − | 3 5 0 4 ⋅ 8 32 32 32 64 − = − = My = 3 5 3 5 15 My 64 16 = = x= ( ) A 15 ⋅ 4 15 M 256 64 = y= x = A 21 ⋅ (4 ) 21 My =
⎛ 16 64 ⎞ C .G . = ⎜ ; ⎟ ⎝ 15 21 ⎠
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2. y 2 = x; x + y = 2 e y = 0
1º Quadrante ⎧0 ≤ y ≤ 1 R⎨ 2 ⎩y ≤ x ≤ 2 − y ⎧y2 = x ⎨ ⎩x + y = 2
2
⎧S = −2 y 2 + y − 2 = 0⎨ ⎩P = 1
1
1 2− y
A=∫
∫ dxdy
0 y2
0
2
1
2− y
0
y2
A = ∫ x | dy 1
(
)
A = ∫ 2 − y − y 2 dy 0
A = 2y − A=
y2 y3 1 − | 2 3 0
7 6 1 2− y
Mx =∫
∫ ydxdy
0 y2 1
2− y
0
y2
M x = ∫ yx | dy 1
(
)
M x = ∫ 2 y − y 2 − y 3 dy 0
M x = y2 − Mx =
y3 y4 1 − | 3 4 0
5 12 1 2− y
My =∫
∫ xdxdy
0 y2 1
My =∫ 0
x 2 2− y | dy 2 y2
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(
)
1 M y = ∫ 4 − 4 y + y 2 − y 4 dy 20 My =
y3 y5 1⎡ 2 y y − + − 4 2 ⎢ 2⎣ 3 5
⎤ |⎥ 0⎦
1
1 1⎤ 1⎡ 4−2+ − ⎥ ⎢ 3 5⎦ 2⎣ 16 My = 15 M y 32 x= = A 35 M 5 y= x = A 14 ⎛ 32 5 ⎞ C.G. = ⎜ ; ⎟ ⎝ 35 14 ⎠ My =
5. Momento de Inércia (Ix; Iy; I0)
yj
xi
I x = ∫∫ y 2 dxdy R
I y = ∫∫ x 2 dxdy R
I0 = I x + I y
ou
(
)
I 0 = ∫∫ x 2 + y 2 dxdy R
1. Determinar os momentos de inércia I x ; I y e I 0 da região limitada pelas curvas y 2 = 4 x; x = 4 e y = 0 no 1º Quadrante.
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y=2 x
0
4
⎧0 ≤ x ≤ 4 R⎨ ⎩0 ≤ y ≤ 2 x 1
4 2x2
Ix = ∫
∫y
2
dydx
0 0
1
4
1 3 2x2 I x = ∫ y | dx 30 0 3
4
Ix =
1 8 x 2 dx ∫ 30 5
8 24 Ix = x2 | 3 50 16 512 I x = ⋅ 32 = 15 15 1
4 2x2
Iy = ∫
∫x
2
dydx
0 0
1
4
2x2
I y = ∫ x 2 y | dx 0
0
5 2
4
I y = 2∫ x dx 0
7
4 4 Iy = x2 | 7 0 4 512 I y = ⋅ 128 = 7 7 512 512 I0 = I x + I y = + = 107,28 15 7
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2. y 2 = 4 x; x + y = 3; y = 0
3
1º Q.
y2 x= 4 x = 3− y
2
0 3
⎧0 ≤ y ≤ 2 ⎪ R⎨ y 2 ⎪ ≤ x ≤ 3− y ⎩4 ⎧ y 2 = 4x ⎨ ⎩x + y = 3 x = 3− y y 2 = 4(3 − y ) ⎧ ⎪S = −4 y + 4 y − 12 = 0⎨ ⎪ P = −12 ⎩ 2
⎧ y ' = −6 ⎨ ⎩ y" = 2
2 3− y
Ix = ∫
∫y
2
dxdy
2
dxdy
0 y2 4
Ix =
12 5 2 3− y
Iy = ∫
∫x 2
0 y 4
Iy =
46 7
I0 = I x + I y =
12 46 + = 8,97 5 7
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6. Volume por Integral Dupla z = f ( x, y )
z = f ( x, y )
(
)
Vi = f xi , y j ∆x∆y
∫∫ f (x , y )dxdy = V R
V = ∫∫ zdxdy R
⎧ z = f (x , y ) ⎪ F (x , y , z ) = 0 ⎨ y = f (x , y ) ⎪ x = f (x , y ) ⎩
x+ y+z =3 3
z = 3− x − y
D → plano xy
y = 3− x − z x = 3− y − z
D → plano xz D → plano yz
3 3
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1. Determinar o volume do Sólido limitado pelos planos coordenados pelo plano x + y + z = 3 no 1º octante.
3
3 3
⎧x = 0 ⎪ Planos Coord .⎨ y = 0 ⎪z = 0 ⎩
⎧0 ≤ x ≤ 3 R⎨ ⎩0 ≤ y ≤ 3 − x
3 3− x
V=
∫ ∫ (3 − x − y )dydx
x = 0 y =0 3
V = ∫ 3 y − xy − 0
y 2 3− x | dx 2 0
3 ⎛9 x2 ⎞ ⎟dx V = ∫ ⎜⎜ − 3 x + 2 2 ⎟⎠ 0⎝
9 3x 2 x 3 3 x− + | 2 2 6 0 27 27 27 V= − + 2 2 6 9 V = u .v. 2
V=
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2. Determinar o volume do sólido limitado por z = 4 − x 2 ; x = 0; y = 6; z = 0; y = 0 .
6
z = 4 − x2
4
2
6
R 2 2 6
V = ∫ ∫ 4 − x 2 dydx 0 0 2
6
V = ∫ 4 y − x 2 y | dx 0
0
2
V = ∫ 24 − 6 x 2 dx 0 6
V = 24 x − 2 x 3 |
0
V = 48 − 16 V = 32u.v.
3. Determinar o volume do sólido limitado no 1º octante pelos cilindros x2 + y2 = a2 e x2 + z2 = a2 .
z = a2 − x2
4
R 2
6
a
0
a
x2 + y2 = a2
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⎧⎪0 ≤ x ≤ a R=⎨ ⎪⎩0 ≤ y ≤ a 2 − x 2 a
V=
a2 − x2
∫ ∫
x =0
a 2 − x 2 dydx
y =0
a
V=
∫
a2 − x2
a2 − x2
|
dx
0
x =0 a
V=
∫
a 2 − x 2 ⋅ a 2 − x 2 dx
x =0 a
V=
∫a
2
− x 2 dx
x =0
x3 a V = a x− | 3 0 3 a V = a3 − 3 3 3a − a 3 2a 3 V= = u.v. 3 3 2
4. Determinar o volume do sólido limitado superiormente por z = 2 x + y + 4 e inferiormente por z = − x − y + 2 e lateralmente pela superfície definida pelo contorno x2 −2. da região D limitada pelas curvas y = x − 4 e y = 2 2
4º Quad.
⎧y = x2 − 4 ⎪ D⎨ x2 −2 ⎪y = 2 ⎩ ⎧0 ≤ x ≤ 2 ⎪ R⎨ 2 x2 x − ≤ y ≤ −2 4 ⎪ 2 ⎩ z1 = 2 x + y + 4 z2 = −x − y + 2
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Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda Professora: Salete Souza de Oliveira Buffoni x2 −2 2 2
∫ (z
V =∫
1
− z 2 )dydx
0 x2 −4
x2 −2 2 2
∫ (3x + 2 y + 2)dydx
V =∫
0 x2 −4
x2 −2 2 2
∫ (3x + 2 y + 2)dydx
V =∫
0 x2 −4 2
(
)
x2 −2 2
V = ∫ 3xy + y 2 + 2 y | dx 0
2
V = ∫− 0
x 2 −4
3x 4 3x 3 − + 5 x 2 + 6 x − 8dx 4 2
2 3x 5 3x 4 5 x 3 V =− − + + 3x 2 − 8 x | 5 8 3 0 96 40 V= −6+ + 12 − 16 5 3 338 V= u.v. 15
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