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Cálculo Integral
UCSAL
CÁLCULO II
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
FÓRMULAS BÁSICAS
1. 9.
2. , n ( 1 10.
3. , a ( 0 11.
4. 12.
5. 13.
6. 14.
7. 15.
8. 16.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
1) dx
Solução: I= dx = 2du =
u = =
du = dx
2) I = dx
Solução:
u = 1 + lnx
du = dx
3)
Solução: I =
u =
du = 2xdx
4)
Solução:
u = ex
du = ex dx
5)
Solução:
u = ex
du = ex dx
6)
Solução:
u = arc senx
du =
7)
Solução:
u = lnx
du =
8)
Solução:
u = 1 - cosx
du = senxdx
9)
Solução:
u = cosx
du = -senxdx
10)
Solução:
u = 1 + ex
du = exdx
11)
Solução:
u = arc senx
du =
12)
Solução:
u = 1 + tgx
du =
13)
Solução:
u = secx
du = secx tgx dx
14)
Solução:
u = 1 + lnx
du =
15)
Solução:
u = cosx
du = - senxdx
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
16) Resp:
17) Resp:
18) Resp:
19) Resp:
20) Resp:
21) Resp:
22) Resp:
23) Resp:
24) Resp:
25) Resp:
26) Resp:
27) Resp:
28) Resp:
29) Resp:
30) Resp:
31) Resp:
32) Resp:
33) Resp:
34) Resp:
35) Resp:
36) Resp: sem (ln x) + C
INTEGRAÇÃO POR PARTES
Fórmula Básica:
Exercícios Resolvidos
37) I =
Solução
u =
dv =
38) I =
Solução
39) I =
Solução
40) I =
Solução
41)
Solução
42)
Solução
43)
Solução
Substituindo I1 em I:
44)
Solução
Substituindo I1 em I:
45)
Solução
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
46) Resp:
47) Resp:
48) Resp:
-
49) Resp:
50) Resp:
51) Resp:
52) Resp:
53) Resp:
54) Resp:
55) Resp:
56) Resp:
57) Resp:
58) Resp:
59) Resp:
60) Resp:
61) =
62)
=
63)
ou
64)
65)
=
=
66)
=
67)
68)
70)
=
=
71)
=
72)
73)
74)
=
75)
=
=
76)
=
77)
=
78)
Fazendo t = cosx, então dt = -senxdx
Logo,
=
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
79)
80)
81)
82)
83)
84)
85)
86)
87)
88)
89)
90)
91)
92)
93)
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS
Integrais do tipo com grau de p(x) ( grau de g(x)
Essas integrais são calculadas decompondo-se,inicialmente,a fração
racional numa soma de frações racionais.
Decomposição de uma fração racional numa soma de frações racionais (com
grau de p(x) < grau de g(x)) – Alguns casos.
Caso 1: com x1,x2 ( R e x1 ( x2 (isto é,as raízes do
denominador q(x) são reais e distintas).
Vamos mostrar que existem constantes (números reais) A e B tais que
de
resulta
Daí o sistema
cuja solução única é
e
Exemplo: Decompor numa soma de frações.
Solução
e
Portanto,
Um modo prático para se obter os valores de A e B
Como 2x = A(x - 2) + B(x – 1) ,
fazendo x = 1 obtém-se: 2 = -A ( A = -2 ;idem x = 2,obtém-se B = 4
Vamos,agora,calcular a seguinte integral indefinida:
Solução:
Caso 2:
com grau de p(x) < grau de q(x) e sendo x1 e x2 números reais distintos e
A,B e C pertencentes a R (esse caso considera as raízes de q(x) reais e
pelo menos uma repetida – no caso acima, a raiz repetida é x2).
Caso 3: ( I )
com grau de p(x) < grau de q(x), x1(R , a(0 , b2 – 4ac < 0 e A,B e C
pertencentes a R.
Nesse caso, q(x) possui raízes complexas não repetidas).
Vamos provar a existência das constantes A,B e C.
Como o grau de p(x) deve ser estritamente menor do que o grau de q(x),vamos
considerar p(x) = mx2 + nx + p.Voltemos,então,à igualdade ( I ):
As incógnitas do sistema ( II ) são as constantes A,B e C e esse sistema
admite uma única solução,pois o determinante
= devido a hipótese de que < 0
(o determinante tem o mesmo sinal de a qualquer que seja x1( R)
Caso 4:
com grau de p(x) < grau de q(x) , x1(R , b2 – 4ac < 0 e A,B e C
pertencentes a R.
Nesse caso,q(x) possui raízes complexas repetidas.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
94)
Solução
x – 2 =A(x – 1)(x +1) + Bx(x + 1) + Cx(x – 1)
x = 0 ( - 2 = -A ( A = 2
x = 1 ( -1 = 2B ( B = -1/2
x = -1 ( -3 =2C ( C = - 3/2
95)
Solução
x2 + 1 = A(2x – 5)(x +1) + B(x +1) + C(2x –5)2
x2 + 1 = A( 2x2 – 3x – 5) + B(x + 1) + C(4x2 – 20x + 25)
x2 + 1 = (2A + 4C)x2 + ( - 3A + B – 20C)x – 5A + B + 25C
A =41/98 , B = 29/14 , C = 2/49
96)
Solução
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
97)
98)
99)
100)
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Universidade Católica
do Salvador
