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Instituto Federal de Educa¸ c˜ ao, Ciˆ encia e Tecnologia de Sergipe Diretoria de Ensino COLIMA C´ alculo II – Lista 1 Prof. Alisson de Oliveira Silva
II Semestre/2009 email:
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E. 1 . Calcule a ´area da regi˜ao sobreada
(a)
(b)
(c)
(d)
E. 2 . Em cada problema abaixo,(i) esboce a ´area R da regi˜ao limitada pelas curvas dadas e (ii) calcule a ´area dessa regi˜ao. a) x2 = y; y = −4.
h) y = 1 +
b) y 2 = −x; x = −2; x = −4.
π . 2 π j) y = senx; y = sen2x; x = 0; x = . 2 l) y = |x + 1| + |x|; y = 0; x = −2; x = 3. √ √ m) x + y = 1; x = 0; y = 0. i) y = cos x; y = sen2x; x = 0; x =
2
c) x + y + 4 = 0; y = −8.
d) x3 = 2y 2 ; x = 0; y = −2. e) y = senx, y = ex ; x = 0, x =
√ x+3 . x; y = 3
π . 2
f) y = x; y = x2 , y = x4 .
n) y 2 = 4 + x; y 2 + x = 2. √ o) y = x 4 − x2 ; y = 0.
1 1 g) y = ; y = 2 ; x = 2. x x
E. 3 . Ache a ´area da regi˜ao limitada pelas curvas x2 = 4py, y = x + 8p e y = −x + 8p para p > 0. E. 4 . Ache a ´area da regi˜ao limitada pelas curvas y 2 = 4px e x2 = 4py. E. 5 . A base de um s´olido ´e a regi˜ao circular do plano xy limitada pelo gr´afico de x2 + y 2 = a2 , a > 0. Determine o volume so s´olido, se toda se¸c˜ao transversa por um plano perpendicular ao eixo x ´e um quadrado. 1
E. 6 . Um s´olido tem como base a regi˜ao do plano xy limitada pelos gr´aficos de y = 4 e y = x2 . Determine o volume do s´olido, se toda se¸ca˜o transversa por um plano perpendicular ao eixo x ´e um triˆ angulo is´osceles com hipotenusa no plano xy. E. 7 . Um s´olido tem como base a regi˜ao no plano xy limitada pelos gr´aficos de y 2 = 4x e x = 4. Se toda se¸ca˜o por um plano perpendicular ao eixo y ´e um semic´ırculo, calcule o volume do s´olido. E. 8 . Um tetraedro tem trˆes faces mutuamente perpendiculares e trˆes arestas mutuamente perpendiculares de 2, 3 e 4 cm, respectivamente. Determine seu volume. E. 9 . Encontre o volume do s´olifo obtido pela rota¸c˜ao da regi˜ao limitada pelas curvas dadas en torno dos eixos especificados. Esboce a regi˜ao, o s´olido e um disco ou arruela. a) y = x2 ; x = 1; y = 0; ao redor do eixo x. 1 b) y = ; x = 1; x = 2; y = 0; ao redor do eixo x. x c) y = x2 ; 0 ≤ x ≤ 2; y = 2; x = 0; ao redor do eixo y.
d) y = x2 ; y 2 = x; ao redor do eixo x. e) y = x4 ; y = 1; ao redor de y = 2.
f) y = x2 ; x = y 2 ; ao redor de x = −1.
g) y = x; y = 0; x = 2; x = 4; ao redor de x = 1. h) y = x2 ; y = 4 − x2 ; em torno do eixo x. i) y 2 = x; 2y = x; em torno do eixo y.
E. 10 . Encontre o volume do s´olido S descrito, via integra¸c˜ao definida. a) Um cone circular reto de altura h e raio da base r. b) Um tronco de cone circular reto de altura h, raio da base inferior R e raio de base superior r.
r
h R
c) Uma calota de uma esfera de raio r e altura h.
h
r
d) A base de S ´e uma regi˜ao el´ıptica limitada pela curva 9x2 + 4y 2 = 36. As sec¸c˜oes transversais perpendiculares ao eixo x s˜ao triˆangulos is´osceles retos com hipotenusa na base. e) A base S ´e a regi˜ao parab´olica {(x, y)|x2 ≤ y ≤ 1}. As sec¸c˜oes transversais perpendiculares ao eixo y s˜ao quadrados. 2
f) A base de S ´e uma regi˜ao triangular com os v´ertices (0, 0), (3, 0) e (0, 2). As sec¸c˜oes transversais perpendiculares ao eixo y s˜ao triˆangulos is´osceles com altura igual `a base. E. 11 . Deduza a f´ormula, via integra¸ca˜o definida, para calcular o volume de um tronco de pirˆ amide de base quadrada de lado b,topo quadrado de lado a e altura h.
a
b E. 12 . Em cada um dos exerc´ıcios abaixo, esboce a regi˜ao R delimitada pelos gr´aficos das equa¸co˜es dadas e calcule o volume do s´olido gerado pela revolu¸c˜ao de R em torno do eixo indicado. a) b) c) d)
y = x2 ; y = 0; x = 1; x = 2; ao redor de x = 1. √ y = x − 1; y = 0; x = 5; ao redor de y = 3. y 3 = x + 1; x + 2y = 2; x = 1; em torno do eixo y x = y 3 − y 4 ; x = 0; em torno da reta y = −2 (veja a figura abaixo) 1
0.8
0.6 y 0.4
0.2
0
0.02
0.06
0.04
0.08
0.1
x
E. 13 . Obtenha o volume do s´olido gerado ao girar ao redor do eixo y a regi˜ao limitada pela curva y = senx2 , √ √ π pelo eixo x e pelas retas x = e x = π. 2 E. 14 . Utilize o m´etodo de cascas cil´ındricas para calcular o volume do toro com raios r e R.
E. 15 . Utilize o m´etodo das cascas cil´ındricas para determinar o volume do elips´oide obtido ao girar a regi˜ ao el´ıptica limitada pelo gr´afico da equa¸c˜ao y2 x2 + =1 a2 b2 em torno do eixo y.
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