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CENTRO UNIVERSITÁRIO DE LAVRAS
CÁLCULO II
Profª. Ms Valéria Andrade Villela
[email protected]
LAVRAS – M. G.
SUMÁRIO
CAPÍTULO I
1 Noções básicas 2
2 Funções de várias variáveis 2
3 Espaço euclidiano n-dimensional 5
4 Gráfico de uma função 8
5 Superfícies do espaço e equações 10
6 Curvas de nível de uma superfície 11
7 Limites 15
8 Funções contínuas 16
9 Operações com funções 19
CAPÍTULO II
1 Diferenciação 20
2 Derivadas parciais 21
3 Interpretação geométrica 25
4 Funções diferenciáveis 26
5 Derivadas parciais de ordem superior 29
6 Aproximação por meio da diferencial 33
7 Derivação de funções compostas 36
8 Derivação de funções implícitas 43
9 Derivada direcional. Gradiente 50
10 Máximos e mínimos 58
11 Máximos e mínimos condicionados 65
CAPÍTULO III
1 Integração Múltipla 70
2 Noção de integral dupla 70
3 Integração sobre um retângulo 72
4 Integral dupla sobre uma região compacta do plano 74
5 Algumas aplicações 79
6 Integração dupla em coordenadas polares 84
7 Integral tripla 90
8 Coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas 95
9 Mudança de variáveis e integrais múltiplas 100
CAPÍTULO I
1 Noções básicas
Introdução
As funções que foram estudadas no programa de cálculo I são funções
reais de uma variável real.
Trataremos agora das funções reais de várias variáveis reais.
Consideremos, por exemplo, um retângulo de base x e altura y. A área S
desse retângulo é S = xy.
Costumamos dizer que a área S é função das duas variáveis x e y.
Tomemos agora um paralelepípedo retângulo (ou bloco retangular) de
comprimento x largura y e altura z. O volume V desse sólido é V = xyz.
A cada termo de valores atribuídos a x, y e z corresponde um valor do
volume. Dizemos que o volume V é função das três variáveis x, y, z.
Muitas funções podem ser definidas por meio de fórmulas. Por exemplo,
se escrevermos:
,
A cada par (x,y) de números reais que e corresponde um
número real z bem determinado. Nessas condições, z é função das duas
variáveis x e y.
2 Funções de várias variáveis
Recordemos que uma função f: x ( y, considerada da maneira mais geral,
é uma correspondência que a cada elemento x ( X associa um elemento y ( Y.
o conjunto X diz-se domínio da função, e o conjunto Y diz-se contradomínio.
O elemento y ( Y correspondente de do elemento x ( X chama-se imagem de x
pela função f, ou também, valor de f no ponto x, e costumamos escrever:
y= f (x)
Toda função real de uma variável é do tipo
f: , A .
Tais funções fazem parte do cálculo I.
No caso das funções reais de duas variáveis, consideremos uma função
real f de duas variáveis reais x e y. A cada par (x, y) de valores
admissíveis dessas variáveis, a função associa um número real z, que também
designaremos por f (x, y). Ora, o conjunto de todos os pares ordenados
(x,y) de números reais é o produto cartesiano RxR=R², o qual se identifica
com o plano real. Podemos, pois, admitir que a função f é definida em
certos pontos (x,y) do plano real em cada um dos quais assume um valor real
f (x,y)=z. Os pontos (x,y) R² nos quais a função f é definida
constituem o domínio de f. Concluímos que toda função real f de duas
variáveis reais é do tipo:
F : , A R²
A figura seguinte ilustra esse conceito.
Exemplos: DOMÍNIO
1) Seja f: R² R tal que f (x,y)= x² + y² + 1.
2) Seja (x, y)= x² - xy + 1.
3) Consideremos a função g assim definida: g(x, y)= .
4) Examinemos a função
h(x,y)= .
5) Seja agora a função F(x,y)= ln (6 – 2x – 3y),
6) Examinemos a função:
G (x,y)= +.
Consideremos, a seguir, uma função f de três variáveis x, y, z. A cada
conjunto de valores admissíveis dessas variáveis corresponde um valor real
w=f(x, y, z) da função. Ora, o conjunto de todos os termos ordenados (x, y,
z) de números reais é o espaço tridimensional real R³= RxRxR. Portanto,
toda função real de três variáveis reais é definida em um subconjunto do
espaço R³. Trata-se de uma função do tipo:
, A
Podemos ilustrar tais funções por meio da seguinte figura:
Exemplos:
1) assim definida: f (x, y, z)= 3x²+y²+5z-10.
2) Consideremos a função F(x, y, z)= .
Imaginemos, agora, uma função real de n variáveis x1, x2, x3,..., xn.
Designando por a função e por y o seu valor genérico, podemos
escrever: Y=( x1, x2, x3,..., xn).
A cada conjunto de valores admissíveis das variáveis x1, x2, x3,...,
xn, a função associa um número real y. Considerando que cada seqüência
ordenada (x1, x2, x3,..., xn) é um elemento (ou ponto) do espaço n-
dimensional real Rn=RxRx....xR (n fatores), concluímos que deve ser
uma função definida em um sub-conjunto de Rn, assumindo valores reais. Mais
simplesmente, toda função real de n variáveis reais é do tipo :,
ARn.
Exemplos:
1) A função definida por (x1,x2,x3,x4)= x31- 2x1 x3+x22-
3x4+6.
2) Consideremos a função g assim definida
g (x1,x2,x3,x4)= 7x1+.
3) Tomemos a função de cinco variáveis y=h(x1,x2,x3,x4,x5)=.
3 Espaço euclidiano n-dimensional
Recordemos que um ponto R² é um par ordenado (x,y) de números reais e
que um ponto R³ é um terno ordenado (x,y,z) de números reais. Da mesma
forma, diremos que um ponto do espaço n-dimensional Rn é uma seqüência
ordenada (x1, x2, x3, ...., xn) de n números reis. Podemos designar esse
ponto com uma letra M e escrever: M= (x1, x2, x3, ...., xn). Os números x1,
x2, x3, ...., xn dizem-se coordenadas do ponto M. O ponto que tem todas as
coordenadas nulas, O(0,0,...,0) diz-se origem.
Dados dois pontos A=( x1, x2) e B=( y1, y2) no plano R², sabemos que a
distância entre eles é: AB= .
Analogamente, a distância entre dois pontos A(x1,x2,x3) e B(y1,y2,y3)
do espaço R³ é: AB= .
Da mesma forma, podemos definir a distância AB entre dois pontos
A(x1,x2,...,xn) e B A(y1,y2,...,yn) do espaço Rn da seguinte maneira:
.
O conjunto dos pontos M=(x1,x2,...,xn) de Rn que estão à distância r
do ponto fixo C=() é a esfera de centro C e raio r. A equação dessa
esfera é evidente: (x1 - )² + (x2 - )² + .... + (xn - )² =
r².
Os pontos N= (x1, x2, ...., xn) Rn que verificam a desigualdade
(x1-)²+(x2-)²+....+(xn-)²r²
constituem a chamada bola fechada de centro C e raio r.
Os pontos P=(x1, x2, ...., xn) Rn que verificam a desigualdade
(x1-)²+(x2-)²+....+(xn-)²< r² formam a
bola aberta de centro C e raio r.
Observe-se que os pontos da esfera pertencem à bola fechada, mas não
pertencem à bola aberta de mesmo centro e mesmo raio.
A esfera de centro na origem e raio r tem por equação:
A bola aberta e a bola fechada de centro na origem e raio r
representam-se pelas desigualdades e .
Consideremos, a seguir, uma equação do 1° grau com duas variáveis
ax + by + c = 0, onde pelo menos um dos coeficientes a, b é
diferente de zero. No plano, ela representa uma reta s. Sabemos que as
desigualdades ax + by + c >
0 e ax + by + c < 0 representam os semi-planos abertos determinados no
plano pela reta s. Esta reta é a fronteira (ou contorno) de cada um desses
semi-planos. As desigualdades ax + by + c 0 e ax + by + c 0
representam os semi-planos fechados de R² tendo por fronteira a reta s.
Podemos tecer considerações análogas para o espaço R³. Toda equação de
1° grau com três variáveis ax + by + cz + d = 0 onde pelo menos um dos
coeficientes a,b,c não é nulo, representa um plano do espaço R³. Esse plano
determina dois semi-espaços em R³, de cada um dos quais é a fronteira (ou
contorno). As desigualdades ax + by + cz + d > 0 e ax +
by + cz + d < 0 representam semi-espaços abertos., ao passo que as
desigualdades ax + by + cz + d 0 e ax + by + cz + d 0 representam semi-
espaços fechados
Esses conceitos se estendem naturalmente ao espaço n-dimensional Rn.
Toda equação do 1° grau com variáveis a1x1 + a2x2 +....+ anxn + b=0, onde
pelos menos um dos coeficientes a1, a2,....,an é diferente de zero, define
um hiperplano do espaço Rn. Tal hiperplano determina em Rn dois semi-
espaços de cada um dos quais o hiperplano é a fronteira (ou contorno). Um
semi-espaço diz-se fechado se inclui todos os pontos de sua fronteira, e
diz-se aberto se não inclui nenhum ponto da fronteira. As desigualdades
a1x1 + a2x2+....+anxn + b > 0 e a1x1 + a2x2 +....+anxn + b < 0 representam
semi-espaços abertos de Rn, substituindo os sinais > e < respectivamente
por e , temos semi-espaços fechados de Rn.
Exemplos: 1) No espaço euclidiano R4, as equações x1=0, x2=0, x3=0,
x4=0 representam os hiperplanos coordenados. O hiperplano x3=0 é
constituído de todos os pontos (x1, x2,, 0, x4) R4. O sistema de
equações:
x1=0 x2=0
tem por soluções todos os pontos M=(0,0,p,q) onde p e q são números
reais arbitrários. Tais pontos constituem um plano (2 dimensões) em R4. O
sistema de equações
x1=0 x2=0 x3=0
tem por soluções os pontos N=(0,0,0,r), onde rR. Esses pontos
constituem uma reta em R4, precisamente o eixo x4.
2) Seja uma função real de quatro variáveis assim definidas:
y=f(x1,x2,x3,x4)=2x1+3x4-. Para que y seja real, devemos ter:
0.
Concluímos que o domínio de é o semi-espaço fechado de R4
definido por 0.
3) A função real de cinco variáveis reais
g(x1,x2,x3,x4,x5)=ln (x1-2x2+4x3-x4+8x5), onde ln indica o logaritmo
de R5 definido por x1-2x2+4x3-x4+8x5>0. Esse domínio é um semi-espaço
aberto de R5.
4) A função g (x1,x2,x3,x4)= 7x1+.
O domínio g é o conjunto D R4 formado pelos pontos x1,x2,x3,x4
tais que 4.
Tal domínio é a bola fechada de R4 de centro na origem e raio 2.
4 Gráfico de uma função
Dada uma função real de uma variável real f: AR, onde A R,
sabe-se que o gráfico de f é o conjunto {(x,y) R² " xA e y = f
(x)}.
Tal gráfico é um subconjunto do plano ao qual costumamos chamar curva
representativa da função. A figura abaixo ilustra o gráfico de uma função
definida em um intervalo A. O ponto M=(x, (x)) é o ponto genérico do
gráfico. As propriedades da função refletem-se no seu gráfico; por isso
este é um elemento de valor no estudo da função.
A noção de gráfico estende-se às funções de mais de uma variável real.
Seja F: AR, onde AR² uma função real qualquer de duas
variáveis. O gráfico de F é, por definição, o conjunto { (x,y,z) R³ "
(x,y) A e z = F(x,y)}.
Trata-se, como se vê, de um subconjunto do espaço tridimensional R³. A
esse gráfico costumamos chamar superfície representativa da função.
Na figura anterior está indicado o gráfico de uma função F de duas
variáveis. A cada ponto P=(x,y) do domínio A da função corresponde um valor
desta, a saber z=F(x,y). O gráfico é o conjunto S dos pontos M=(x,y,F(x,y))
do espaço R³. Observe-se que na vertical de cada ponto P(x,y) A existe
exatamente um ponto M do gráfico da função. A projeção (ortogonal) da
superfície S sobre o plano xy é precisamente o domínio A da função.
Exemplos: 1) Seja z=2x-3y+5. Esta função é definida no plano R². O
seu gráfico é o conjunto dos pontos M=(x,y,2x-3y+5) do espaço
tridimensional. Sabemos que tal conjunto é um plano do espaço. Observe-se
que a equação z=2x-3y+5 é equivalente à equação 2x - .3y – z + 5 = 0, a
qual, como ensina a Geometria Analítica, representa um plano no espaço.
De modo geral, toda função do 1° grau nas variáveis x, y e z=ax+by+c
tem por gráfico um plano do espaço R³.
2) Consideremos a função z=(x,y)=, cujo domínio é um disco
fechado D={(x,y) R²"x²+y²1}, de centro na origem e raio 1. O
gráfico de f é o conjunto dos pontos M=(x,y, ) de R³ tais que (x,y)
D. É fácil mostrar que esse gráfico é o hemisfério de centro na origem
ao ponto genérico M do gráfico é: OM==1.
Passemos, a seguir, aos gráficos de funções de mais de duas variáveis.
Seja F: AR, onde AR³, uma função de três variáveis. O seu
gráfico é, por definição, o conjunto:
{( x1,x2,x3,x4) R4"( x1,x2,x3) A e x4=F(x1,x2,x3)}.
Tal gráfico é, como se vê um subconjunto do espaço de quatro
dimensões e, como tal, não temos possibilidade de representá-lo em desenho.
Dizemos que se trata de uma hipersuperfície de R4.
De modo geral, o gráfico de uma função f: AR, onde ARn é uma
hipersuperfície do espaço Rn+1.
5 Superfícies do espaço e equações
Admitiremos que uma superfície do espaço tridimensional é o conjunto
dos pontos (x,y,z) R³ nos quais se anula uma função real F de três
variáveis. Assim, a equação F(x,y,z)=0 caracteriza a superfície. Um ponto
M=(x,y,z) do espaço pertence à superfície se e somente se as suas
coordenadas satisfazem à equação, a qual se diz equação de superfície.
Por exemplo, a equação F(x,y,z)=x³-3xy²+4xz²+y-8z+1=0 representa uma
superfície R³. O ponto M=(1,-2,3) pertence a essa superfície, pois temos:
F(1,-2,3)=1-12+36-2-24+1=0. O ponto P=(0,1,2) não
pertence à mesma superfície, pois F(0,1,2)=0-0+0+1-16+10.
Uma superfície diz-se algébrica ou transcendente consoante seja
algébrica ou transcendente a sua equação F(x,y,z)=0.
Por exemplo, as equações:
x²+2xy+z²-4z+1=0, =1, representam superfícies algébricas, ao
passo que as equações x² + ey - 2sen(xz) = 0, cos (xy )- 2z = 0 representam
superfícies transcendentes.
Uma superfície algébrica de equação F(x,y,z)=0 diz-se de ordem n (ou
de grau n)quando F(x,y,z) é um polinômio do grau n nas três variáveis
x,y,z. Por exemplo, a equação x²-2y²+4yz-z²+2x-5z+1=0 representa uma
superfície de 2ª ordem.
Exemplos:
1) A equação do 1° grau 2x-y+5z-10=0 representa um plano perpendicular
ao vetor =(2,-1,5). Resolvendo a equação relativamente à variável z,
encontramos:
z =
Podemos, pois, afirmar que o plano acima mencionado é o gráfico da
função de duas variáveis
z=(x,y)=
2) A equação do 1° grau 3x-4y-12=0 representa, no espaço
tridimensional, um plano paralelo ao eixo z; com efeito, tal plano é
perpendicular ao vetor =(3,4,0), que está no plano xy.
Observe-se que a mesma equação 3x-4y-12=0 interpretada no plano
representa uma reta; é justamente a reta interseção do plano acima
mencionado com o plano xy.
3) A equação 2z-5=0, ou sua equivalente z= representa em R³ um
plano paralelo ao plano xy. Tal plano é o gráfico da função constante
z=g(x,y)= .
6 Curvas de nível de uma superfície
Chamam-se curvas de nível de uma superfície de espaço R³ as seções
dessa superfície por planos horizontais. O conhecimento das curvas de nível
de uma superfície pode dar-nos uma idéia muito clara da forma desta.
Costumamos cortar a superfície por planos horizontais igualmente espaçados;
em cada um dos quais obtemos uma curva de nível; a seguir, projetamos todas
essas curvas ortogonalmente sobre um único plano horizontal, obtendo assim,
um mapa das curvas de nível. Nesse mapa, é interessante indicar ao lado de
cada curva o valor da cota do plano correspondente.
Exemplos:
1) Consideremos a superfície de equação:
z=x²+y²
A sua seção pelo plano horizontal z=k é a curva que no espaço R³ tem
por equações:
z=x²+y²
z=k
Ou, após a eliminação de z:
x²+y²=k
z=k
A equação x²+y²=k só tem soluções reais se k 0 e, se k>o,
representa no R³ um cilindro de revolução de eixo OZ e raio , com
centro no eixo OZ, situado no plano horizontal z=k. Tal círculo é uma curva
de nível da superfície considerada. A projeção dessa curva sobre o plano xy
é o círculo que em R³ tem por equações:
x²+y²=k
z=0
e que, como curva de plano xy, em geometria plana, tem por equação
x²+y²=k
se projetarmos sobre o plano xy todas as curvas de nível da
superfície:
z=x²+y²,
obteremos uma família de círculos concêntricos. Na figura abaixo
aparecem alguns desses círculos. Está indicado o valor da cota k
correspondente. Por exemplo, o círculo o lado do qual se lê 4 é a projeção
sobre o plano xy da curva de nível obtida na superfície pelo plano z=4;
trata-se de um círculo de raio 2. recorde o leitor que a superfície a que
se refere este exemplo é um parabolóide de revolução de eixo OZ.
2) Examinemos as curvas de nível do parabolóide hiperbólico de
equação:
z=x²-y²
o plano horizontal genérico z=k corta essa superfície seguindo uma
curva cuja projeção sobre o plano xy tem, neste plano, a equação:
x²-y²=k.
Se k=o, resulta x²-y²=0, ou (x-y)(x-y)=0, equação que representa as
duas retas y-x e y=-x.
Portanto, o plano xy corta o parabolóide dado seguindo duas retas.
Se k>o, a curva de nível é a hipérbole cuja projeção sobre o plano
xy tem por equação:
x²-y²=k
Tal hipérbole tem o eixo real paralelo a OX e o eixo imaginário
paralelo a OY.
Se k<0, a curva de nível é a hipérbole:
x²-y²=k, ou ainda: y²-x²=-k.
Como –k>0 resulta que essa hipérbole tem o eixo real paralelo a OY e
o eixo imaginário paralelo a OX.
O mapa de linhas de nível do parabolóide hiperbólico tem o aspecto
mostrado na figura abaixo. A figura mostra as linhas de nivel k-0, k-1,
k=4, k=-1 e k=-4.
3)Tomemos a superfície de equação z=2x+5y-10,
que é um plano do espaço. As seções desse plano por planos horizontais são
obviamente retas paralelas, as quais se projetam sobre o plano xy, seguindo
retas paralelas. Assim, o mapa das linhas de nível da superfície consiste
na família de retas do plano xy cuja equação nesse plano é: 2x+5y-20=k. Na
figura aparecem as linhas correspondentes aos níveis k=0, k=10, k=20, k=-10
e k=-20.
Observação: Os mapas de curvas de nível são muito empregados na
Topografia para o estudo do relevo do terreno.
Na figura, vemos as linhas de nível
de um terreno formado por dois montes. Vêem-se também as projeções
ortogonais dessas curvas sobre um plano horizontal, o qual foi rebatido
sobre o plano do papel.
No nível 47 vemos um ponto de altitude máxima (local) e no nível 34
vemos outro ponto do mesmo tipo. Em torno desses pontos as curvas de nível
lembram círculos concêntricos deformados.
No nível 20 vemos um ponto de sela na sua vizinhança, as curvas de
nível lembram hipérboles deformadas (fig. abaixo).
7 Limites
O conceito de limite de uma função, já estudada no Cálculo I para
funções de uma variável, pode estender-se às funções de várias variáveis.
Consideremos uma função:
: AR, AR²,
de duas variáveis, e um ponto (a,b) do plano, tal que seja definida
em pontos (x,y) arbitrariamente próximos de (a,b). A função tem limite
L quando (x, y) se aproxima de (a,bse, dado qualquer número positivo (,
existe um número positivo ( tal que, para todo (x, y) no domínio de f, 0 <
Para exprimir essa situação, escreveremos:
lim (x,y)=L, ou lim (x,y)=L
(x,y) (a,b)
xa
yb
Propriedades:
As regras a seguir são verdadeiras se L, M e k são números reais e
e
P1) Regra da soma:
P2) Regra da diferença:
P3) Regra do produto:
P4) Regra da multiplicação por constante:
P5) Regra do quociente:
P6) Regra da potência: Se m e n forem inteiros, então
desde que seja um número real.
Exemplos
8 Funções contínuas
Seja : AR, AR², uma função de duas variáveis, e seja
(a,b) A. Dizemos que é contínua no ponto (a,b) se e somente se
1. f for definida em (a, b)
2. existe
3. lim f (x,y) = f (a,b)
(x,y) (a,b)
Exemplos:
Os poucos exemplos acima dão ao leitor idéia da grande variedade dos
subconjuntos de R². Neste curso, estaremos interessados em subconjuntos de
R2 mais particulares. Em primeiro lugar, os conjuntos que nos interessarão
deverão possuir pontos interiores. Em segundo lugar, por uma questão de
simplicidade, desejaremos que sejam conjuntos constituídos, por assim
dizer, de um só pedaço; termos mais técnicos, escolheremos conjuntos
conexos do plano.
Um conjunto AR² diz-se conexo quando dois pontos quaisquer
p,qA podem ser ligados por um caminho (ou arco) contido em A. A figura
abaixo ilustra o conceito.
Nas figuras abaixo, mostramos outros exemplos de subconjuntos
conexos de R².
Em (a) temos dois triângulos cujos contornos são ligados por um
segmento de reta. Em (b) temos uma coroa circular com a sua fronteira (dois
círculos) e alguns arcos partindo do círculo maior.
As figuras abaixo ilustram conjuntos não conexos do plano.
Em (c) temos o conjunto união de dois triângulos, e em (d) temos o
conjunto formado por uma curva oval, um segmento de reta e dois pontos
isolados A e B.
Os subconjuntos do R² que mais aparecerão neste curso são os que
chamaremos regiões do plano. Uma região do plano é um subconjunto aberto e
conexo. Eis alguns exemplos de regiões do plano:
Vemos em (e) um disco aberto, em (f) um semi-plano aberto, em (h) o
interior de um ângulo, e em (g) a região limitada pelas curvas fechadas
simples C, C1 e C2.
Muitas vezes, teremos que considerar o subconjunto formado pela
reunião de uma região e de sua fronteira. Tais subconjuntos serão
denominados regiões fechadas. As figuras seguintes mostram regiões fechadas
obtidas a partir das regiões acima vistas.
Um subconjunto do plano pode ainda ser limitado ou não limitado. Um
conjunto AR² é limitado quando a distância da origem a qualquer de
seus pontos não pode exceder um valor fixo. Neste caso, existe um número
real K>0 tal que x²+y²
0 = (0,0), e também existem pontos, tais como (o,k), com
k0, nos quais o valor de é menor que na origem, (0,k) = 0²-
k² = -k²<0 = (0,0).
Um ponto crítico no qual não há máximo local, nem mínimo local, como
o ponto (0,0) para a função do presente exemplo, é o que se chama um
ponto de sela da função. O nome provém exatamente do aspecto apresentado
pelo gráfico da função acima considerada nas proximidades da origem, que
lembra uma sela de montaria. A superfície de equação z = x²-y² é, como já
vimos em outra parte deste curso, um parabolóide hiperbólico.
4)Seja g:R²R a função definida por g(x,y) = x²+y². Temos:
= 2x, = 2y
O único ponto crítico de g é obviamente (0,0) e, por mero exame da
função, concluímos que em tal ponto existe mínimo local de g.
5)Tomemos agora a função h:R²R tal que h(x,y)= - x²-y². Temos:
= -2x, = -2y
O ponto (0,0) é o único ponto crítico de h, e é óbvio que nesse
ponto a função h admite máximo local.
Em geral o exame de um ponto crítico não é tão simples como nos
exemplos acima apresentados. Se a função é de classe C² na região
considerada, podemos apelar para as derivadas de segunda ordem no exame de
cada ponto crítico.
Emprego das derivadas de 2ª ordem
Seja (x,y) uma função diferenciável de classe C² em uma região
AR² e seja p=(a,b)A um ponto crítico de . Como já sabemos,
tal ponto é solução do sistema de equações:
x=0, y=0.
Com as derivadas parciais de 2ª ordem formemos a função:
que se diz o hessiano da função (em homenagem ao matemático L. Otto
Hess). Desenvolvendo o determinante e recordando que yx=xy,
temos:
H(x,y) =xxyy - xy² (*)
Calculemos o valor do hessiano no ponto crítico p=(a,b). Temos três
alternativas:
1) H(a,b)>0. Neste caso, a expressão (*) acima mostrada que
xx(a,b) e yy(a,b) têm o mesmo sinal.
Se xx(a,b)>0, há mínimo local no ponto p.
Se xx (a,b)<0, há Maximo local no ponto p.
2)H(a,b)<0. Neste caso, o ponto crítico p=(a,b) é ponto de sela; não
há máximo, nem mínimo local em p.
3)H(a,b)=0. Neste caso, nada podemos afirmar sobre o ponto crítico
p.
Exemplos:
6)Procuremos os extremos locais da função : R²R assim
definida:
(x,y) = x²+xy+y²-2x-2y
Temos:
x=2x+y-2
y=x+2y-2
Igualando a zero essas derivadas temos o sistema:
2x+y-2=0
x+2y-2=0
Cuja solução (única) é x= e y=. Portanto, o único ponto
crítico da função é p=.
As derivadas parciais de 2ª ordem da função são:
xx =2, yy =2, yx=xy=1.
O hessiano de no ponto crítico p é:
Como H(p)>0, concluímos que existe mínimo local em p. O valor desse
mínimo local é:
7)Estudemos os máximos e mínimos locais da função g: R²R
definida assim: g(x,y)=2x4-x²+y²-2y
Extremos de funções de mais de duas variáveis – Os conceitos de
máximo e de mínimo de uma função de n variáveis y=( x1,x2,.....,xn) em
um domínio DRn podem ser definidos de modo análogo ao já apresentado
no caso de duas variáveis. Consideremos uma função de três
variáveis w=(x,y,z) de classe C² em uma região AR³. Se pA é
um ponto de máximo local ou de mínimo local de , devemos ter:
x (p) = 0, y(p) = 0 e z(p)=0.
Tais condições nos dizem que p deve ser um ponto crítico da função.
Elas não bastam para que exista máximo local ou mínimo local em p. Vamos
agora, descrever condições suficientes para tal fim. Com as derivadas de 2ª
ordem da função formemos a chamada matriz hessiana de , a saber:
Em vista da continuidade das derivadas de 2ª ordem, trata-se de uma
matriz quadrada simétrica. Seja H(p) a matriz hessiana calculada no ponto
crítico p. Tomemos, a seguir, as submatrizes principais de H(p):
,
E calculemos os seus determinantes. Podemos então afirmar:
1)se det H1>0, det H2>0 e det H3>0, existe mínimo local no ponto p.
2) se det H1<0, det H2>0 e det H3<0, existe máximo local no ponto p.
Exemplos:
8)Procuremos os extremos locais da função : R³R assim
definida:
(x,y,z) = x²+y²+z²-xy+3x-2z.
Temos: x=2x-y+3, y= 2y-x e z=2z-2. Igualando essas
derivadas a zero e resolvendo o sistema resultante, encontramos o único
ponto crítico p=(-2,-1,1). A matriz hessiana de é:
A matriz hessiana no ponto crítico p=(-2,-11) é, pois:
H(p)=
E os seus determinantes menos principais são:
"2"=2, ,
Como são todos positivos, podemos afirmar que em p existe um mínimo
local de . O valor desse mínimo é (-2,-1,1)=-4.
Extremos de funções implícitas – Para procurar os máximos e mínimos
locais de funções diferenciáveis definidas implicitamente por meio de
equações, aplicamos as mesmas regras estabelecidas acima.
Exemplos:
9)Procuremos os máximos e mínimos locais da função z=(x,y)
definida implicitamente pela equação F(x,y,z)= x³-y²-3x+4y+z2+ z – 8 = 0
As derivadas parciais da função z=(x,y) são:
zx = =, zy= =
Supondo-se que seja Fz=2z+10. Para encontrar os pontos críticos
de devemos resolver o sistema zx =0, zy=0. Obtemos: 3x²-3=0, -2y+4=0,
donde os pontos críticos: x=1, y=2 e x=-1, y=2.
Para calcular z=(1,2), devemos fazer x=1 e y=2 na equação dada:
F(1,2,z)=1³-2²-3.1+4.2+z²+z-8=0,
Donde: z²+z-6=0.
Resolvendo essa equação do 2° grau, resulta: z=2 ou z=-3.
Portanto, na vizinhança do ponto p=(1,2) a equação dada F(x,y,z)=0
define duas funções. Nas superfícies que representam essas funções, os
pontos A=(1,2,2) e B=(1,2,-3) são críticos.
Analogamente, para calcular z=(-1,2), devemos fazer x=-1 e y=2
na equação dada; obtemos:
F(-1,2,z)=(-1)²-2²-3.(-1)+4.2+z²+z-8=0,
Ou seja: z²+z-2=0,
Equação cujas raízes são z=1 e z=-2.
Na vizinhança do ponto q=(-1,2) a equação dada F(x,y,z)=0 define
duas funções e nas superfícies que representam essas funções são críticos
os pontos C=(-1,2,1) e D=(-1,2,-2).
Temos, agora, que examinar os quatro pontos críticos acima
encontrados, a fim de verificar se há neles máximo ou mínimo local de z.
Para isso, calculemos as derivadas de 2ª ordem da função z:
Vamos calcular essas derivadas em cada um dos quatro pontos críticos
A, B, C, D. Lembremo-nos de que em todos eles as derivadas parciais de 1ª
ordem são nulas.
No ponto A=(1,2,2), temos:
zxx=, zxy=zyz=0, zyy=
O hessiano H(A) é:
O ponto crítico A é uma sela; não há máximo local, nem mínimo local.
No ponto B=(1,2,-3), encontramos:
zxx=, zxy=zyz=0, zyy=
O hessiano H(B) é:
Em B também temos ponto de sela.
No ponto C=(-1,2,1), achamos:
zxx=2, zxy=zyz=0, zyy=
O hessiano H(C) é:
Como zxx>0 e H(C)>0, existe mínimo local em C; o valor mínimo é z=0,
já antes calculado.
No ponto D=(-1,2,-2), temos:
zxx=-2, zxy=zyz=0, zyy= -
O hessiano H(D) é:
Como zxx<0 e H(D)>0, existe máximo local em D; o valor máximo é
z=0.
11 Máximos e mínimos condicionados
Existem problemas cuja solução consiste em maximizar ou minimizar o
valor de uma função de várias variáveis, as quais estão sujeitas a certas
restrições que se traduzem por meio de equações ou de desigualdades. O
problema geral é vasto e existem teorias inteiras para o estudo de alguns
de seus casos particulares. Citamos, para exemplificar, a teoria chama
Programação Linear que é exatamente o estudo do problema acima mencionado
no caso em que a função a maximizar ou minimizar é linear, e também são
lineares as igualdades e desigualdades que expressam as restrições.
Aqui apresentaremos apenas uma noção do assunto, em casos
extremamente simples.
Consideremos uma função de duas variáveis:
z=(x,y)
diferenciável em uma região A do plano. Suponhamos que as variáveis x e y
devam satisfazer a uma equação:
g(x,y)=0
onde g indica uma função também diferenciável. Queremos achar os extremos
locais da função . Em casos muito simples, podemos resolver a equação
g(x,y)=0 em relação a uma das variáveis; se encontrarmos, por exemplo,
y=(x), resultará z=(x, (x)). Teremos então um problema de
máximos e mínimos locais de função de uma variável x; para resolvê-lo,
poderemos usar a técnica já estudada no Cálculo I.
Pode, porém, ser difícil ou mesmo impossível resolver a equação
g(x,y)=0; se é esse o caso, poderemos examinar o problema sob outro ponto
de vista. Observemos que os pontos (x,y) da região A que verificam a
equação g(x,y)=0 constituem uma curva CA. Estamos interessados em
considerar os valores da função apenas nos pontos da curva C. Mais
particularmente, desejamos determinar os pontos da curva C nos quais a
função assume valores máximos locais e mínimos locais. Uma análise
geométrica do problema não só projetará mais luz sobre a questão, mas ainda
nos dará a pista para encontrar a solução.
Consideremos as curvas de nível da função na região A e
assinalemos em cada uma delas o nível correspondente. Assim a curva c4, por
exemplo, é o lugar dos pontos (x,y) A tais que (x,y)= c4. Para
fixar as idéias, suponhamos que seja c1
