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Profa Nazar´e Bezerra
Cap´ıtulo 1 Fun¸co ˜es 1
Defini¸c˜ ao e exemplos
Uma fun¸c˜ao pode ser vista como sendo um modelo abstrato de uma situa¸c˜ao concreta e serve para analisar, prever e tirar conclus˜oes nas mais diversas situa¸c˜oes. Exemplos: (1) Sabendo-se que um quilo de a¸cu ´car custa R$1, 30, determine o valor a pagar por: (a) 3 kg de a¸cu ´car (b) 5, 2 kg de a¸cu ´car (c) x kg de a¸cu ´car. (2) Sabendo-se que a bandeirada de t´axi em Bel´em custa R$ 4, 15 e cobra-se R$ 4, 20 por cada quilˆometro rodado, determine o valor a pagar por uma pessoa que fez uma corrida de t´axi de: (a) 3 km (b) 5, 2 km (c) x km. (3) Um provedor da internet cobra uma taxa mensal de R$ 49, 00, a qual d´a acesso ilimitado ao usu´ario. Determine o valor mensal a pagar por um usu´ario que utilizou a internet por: (a) 30 horas no mˆes (b) 200 horas no mˆes (c) x horas no mˆes. (4) Um campo petrol´ıfero tem 20 po¸cos e cada um deles tˆem uma produ¸c˜ao di´aria de 200 barris de petr´oleo. Para cada novo po¸co perfurado a produ¸c˜ao di´aria de cada po¸co decai 5 barris. Determine a produ¸c˜ao di´aria total do campo se forem perfurados: (a) 3 novos po¸cos; (b) 10 novos po¸cos; (c) x novos po¸cos. Ap´os modelarmos os problemas observamos que, em cada caso, h´a uma regra pela qual obtemos o valor desejado a partir da vari´avel x. Est´a regra ´e o que definimos por 2
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uma fun¸c˜ao. Defini¸ c˜ ao 1.1. Uma fun¸c˜ ao de um conjunto A em um conjunto B (ambos n˜ ao vazios) ´e uma regra que associa a todo elemento de A um u ´nico elemento em B. Indica-se uma fun¸c˜ao f de A em B por: f :A→B
(lˆe-se : f de A em B)
O conjunto A ´e chamado o dom´ınio da fun¸c˜ao f , que indicaremos aqui por Df , e B ´e chamado o contradom´ınio de f . Para cada x ∈ A o u ´nico elemento y ∈ B, associado a x pela regra f , ´e chamado a imagem de x pela fun¸c˜ao f e indicado por f (x). Assim, y = f (x) indica que y ´e a imagem de x pela fun¸c˜ao f . A vari´ avel de entrada x ´e chamada vari´avel independente e y ´e chamada vari´avel dependente. O conjunto {f (x) | x ∈ A} ´e chamado a imagem de f , denotado por Imf ou f (A). Exemplo: (1) A fun¸c˜ao que associa a todo n´ umero real o seu dobro ´e representada por f (x) = 2x. Escrevemos f (−3) = −6, para indicar que a fun¸c˜ao f associa o valor −6 ao n´ umero −3 e dizemos que −6 ´e a imagem de −3 pela fun¸c˜ao f . Chamando a vari´avel dependente de y, ent˜ao temos y = f (x) e como f (x) = 2x, pode-se simplesmente escrever y = 2x, para descrever a fun¸c˜ao f .
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Dom´ınio de existˆ encia
Se dom´ınio e contradom´ınio de uma fun¸c˜ao f s˜ao subconjuntos de R, dizemos que f ´e uma fun¸c˜ ao de uma vari´ avel real a valores reais. Quando n˜ao fornecemos o dom´ınio e o contradom´ınio de uma fun¸c˜ao de uma vari´avel real a valores reais, fica subentendido que o contradom´ınio da fun¸c˜ao ´e R e o dom´ınio ´e o maior subconjunto A de R para o qual f (x) ∈ R (ou seja, f (x) est´a definida) para todo x ∈ A, chamado o dom´ınio de existˆencia da fun¸c˜ ao. As raz˜oes matem´aticas mais comuns que restringem o dom´ınio de uma fun¸c˜ao real a valores reais s˜ao: n˜ao ser poss´ıvel dividir um n´ umero real por zero, n˜ao ser poss´ıvel extrair raiz quadrada ou calcular logaritmo de n´ umeros negativos. Observamos tamb´em que o dom´ın´ıo de uma fun¸c˜ao pode ser restringido em fun¸c˜ao da aplica¸c˜ao. Por exemplo, se C(x) ´e a fun¸c˜ao custo (custo total para produzir e comercializar x unidades de uma mercadoria), ´e claro que neste caso, x ´e um n´ umero inteiro n˜ao negativo, assim Df = Z+ . Obs: Usaremos as nota¸c˜oes abaixo para os seguintes subconjuntos de R: R∗ = R − {0}; R+ = {x ∈ R | x ≥ 0} R∗+ = {x ∈ R | x > 0}.
Gr´ afico de uma fun¸ c˜ ao Seja f : Df → R uma fun¸c˜ao de uma vari´avel real a valores reais. O gr´afico de f ´e o conjunto G dos pontos (x, y) do plano tais que x ∈ Df e y = f (x), isto ´e,
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G = {(x, f (x)) | x ∈ Df }. Se (x, f (x)) pertence ao gr´afico de f , segue da defini¸c˜ao de fun¸c˜ao que a segunda coordenada f (x) fica univocamente determinada pela primeira coordenada x. Assim a reta vertical que passa por cada valor do dom´ınio da fun¸c˜ao deve interceptar seu gr´afico exatamente em um ponto.
Igualdade de fun¸ co ˜es Duas fun¸c˜oes f e g s˜ao iguais se: (i) elas tˆem o mesmo dom´ınio e o mesmo contradom´ınio, isto ´e Df = Dg ; (ii) f (x) = g(x), para todo x ∈ Df = Dg .
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Opera¸co ˜es com fun¸ co ˜es
Sejam f : A → R e g : B → R fun¸c˜oes, onde A e B s˜ao subconjuntos de R, com A ∩ B 6= ∅ e seja c um n´ umero real fixo. O m´ ultiplo (escalar) cf , a soma f + g, a diferen¸ ca f − g, o produto f.g e o quociente fg s˜ao fun¸c˜oes com valores reais, cuja regra ´e dada pela f´ormula abaixo, para todo x ∈ A ∩ B (para os quais g(x) 6= 0, no caso do quociente): (cf )(x) = c.f (x) (f + g)(x) = f (x) + g(x) (f − g)(x) = f (x) − g(x) (f.g)(x) = f (x).g(x) f (x) f g (x) = g(x) Exemplos: Dadas a fun¸c˜oes f (x) = x3 − x2 + 2x e g(x) = x2 − 4, temos: (a) O m´ ultiplo da fun¸c˜ao f pelo escalar 4 ´e a fun¸c˜ao (4f ), cuja regra ´e dada por (4f )(x) = 4.f (x) = 4(x3 − x2 + 2x) = 4x3 − 4x2 + 8x, para todo x ∈ R. (b) A soma das fun¸c˜oes f e g ´e a fun¸c˜ao f + g, definida por (f + g)(x) = f (x) + g(x) = x3 + 2x − 4, para todo x ∈ R. (c) O produto de f e g ´e a fun¸c˜ao (f.g), cuja regra ´e dada por (f.g)(x) = f (x).g(x) = (x3 − x2 + 2x)(x2 − 4) = x5 − x4 − 2x3 + 4x2 − 8x, para todo x ∈ R; (d) O quociente de f por g ´e a fun¸c˜ao para todo x ∈ R − {−2, 2}.
f g,
definida por ( fg )(x) =
f (x) g(x)
=
x3 −x2 +2x , x2 −4
Composi¸ c˜ ao de fun¸ co ˜es Sejam f : A → B e g : C → D fun¸c˜oes, com Imf ⊂ C. Chama-se a composta de f e g, denotada por g ◦ f a fun¸c˜ao de A em D, definida por: (g ◦ f )(x) = g(f (x)).
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´ comum usar a nota¸c˜ao f 2 para f ◦ f , f 3 para f ◦ f ◦ f e assim, sucessivamente. E Exemplos: (1) Dadas as fun¸c˜oes f (x) = senx e g(x) = x2 + 3x, determine f ◦ g e g ◦ f . Solu¸c˜ ao: (a) f ◦ g ´e a fun¸c˜ao definida por: (f ◦ g)(x) = f (g(x)) - usando a defini¸c˜ao da composta = sen(g(x)) - usando a defini¸c˜ao da fun¸c˜ao f = sen(x2 + 3x) - usando a defini¸c˜ao da fun¸c˜ao g (b) g ◦ f ´e a fun¸c˜ao definida por: (g ◦ f )(x) = g(f (x)) - usando a defini¸c˜ao da composta = f (x)2 + 3f (x) - usando a defini¸c˜ao da fun¸c˜ao g = sen2 (x) + 3senx - usando a defini¸c˜ao da fun¸c˜ao f
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Algumas fun¸co ˜es especiais
Fun¸ co ˜es Polinomiais Defini¸ c˜ ao 1.2. Um fun¸c˜ ao real f cuja regra ´e dada por f (x) = an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + ... + a1 x + a0
(1.1)
onde n ´e um n´ umero inteiro n˜ ao negativo e an , an−1 , an−2 , ..., a1 , a0 s˜ ao n´ umeros reais conhecidos, ´e chamada fun¸c˜ ao polinomial. O inteiro n ´e chamado o grau da fun¸c˜ ao polinomial. Exemplos: (a) f (x) = 3x4 − 2x3 + 8x2 + 9x − 1 ´e uma fun¸c˜ao polinomial de grau 4; (b) g(x) = 6x2 + 2x5 ´e uma fun¸c˜ao polinomial de grau 5; (c) h(x) = 4x2 ´e uma fun¸c˜ao polinomial de grau 2 - neste caso o polinˆomio se reduz a um monˆomio (somente uma parcela). (d) f (x) = 7 ´e uma fun¸c˜ao polinomial de grau 0. Dependendo do grau da fun¸c˜ao (valor de n em (1.1)) tˆem-se algumas subclasses de fun¸c˜oes polinomiais: Quando n = 0, f (x) = a0 - chamada fun¸c˜ao constante Quando n = 1, f (x) = a1 x + a0 - chamada fun¸c˜ao afim Quando n = 2, f (x) = a2 x2 + a1 x + a0 - chamada fun¸c˜ao quadr´ atica; 3 2 Quando n = 3: f (x) = a2 x + a2 x + a1 x + a0 - chamada fun¸c˜ao c´ ubica.
Fun¸ co ˜es Racionais Um fun¸c˜ao do tipo f (x) = fun¸c˜ao racional. Exemplos:
P (x) Q(x) ,
onde P (x) e Q(x) s˜ao fun¸c˜oes polinomiais, ´e chamada
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(a) f (x) = (b) f (x) =
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x2 −2x+7 x−3 ; x2 −5 . x4 −3x2 +x
As fun¸c˜oes cuja regra ´e formada por um n´ umero finito de opera¸c˜oes alg´ebricas (soma, multiplica¸c˜ao, divis˜ao, extra¸c˜ao de raiz) envolvendo a fun¸c˜ ao identidade e
fun¸c˜oes constantes s˜ao chamadas de fun¸c˜oes alg´ebricas. Por exemplo f (x) = (x3 −1)2 √ ´e uma fun¸c˜ao alg´ebrica. x3 −2
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Fun¸co ˜es n˜ ao-alg´ ebricas ou transcendentes
Al´em das fun¸c˜oes alg´ebricas existem as fun¸c˜oes transcendentes, as quais podemos citar como exemplo as fun¸c˜oes trigonom´etricas, exponenciais e logaritmicas.
Fun¸ co ˜es trigonom´ etricas Considere θ um ˆangulo, cujo lado inicial seja o eixo x positivo, de forma que seu v´ertice coincida com a origem. Dizemos que θ ´e um ˆangulo orientado se especificamos uma dire¸c˜ao de rota¸c˜ao, de seu lado inicial para seu lado terminal. Diremos que θ ´e um ˆangulo positivo se sua rota¸c˜ao ´e no sentido antihor´ario, e negativo se sua rota¸c˜ao ´e hor´aria. Seja P (x, y) o ponto de interse¸c˜ao do lado terminal do ˆangulo orientado θ com o c´ırculo unit´ario x2 + y 2 = 1.
Define-se as fun¸c˜oes trigonom´etricas seno, cosseno, tangente, secante, cossecante e cotagente, respectivamente por: cosθ = x senθ = y tgθ = xy (x 6= 0) secθ = x1 (x 6= 0) cosecθ = y1 (y 6= 0) cotgθ = xy (y 6= 0).
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Vˆe-se da´ı, que as outras fun¸c˜oes trigonom´etricas s˜ao definidas em fun¸c˜ao se seno e cosseno por: tgθ =
senθ cosθ
cotgθ =
cosθ senθ
1 1 cosecθ = cosθ senθ 2 Fazendo x = cosθ e y = senθ na equa¸c˜ao x + y 2 = 1 do c´ırculo unit´ario obtemos a identidade trigonom´etrica fundamental: secθ =
cos2 θ + sen2 θ = 1
(1.2)
Dividindo a equa¸c˜ao (1.2) por cos2 θ obtemos a identidade: 1 + tg 2 θ = sec2 θ
(1.3)
De modo an´alogo, dividindo a equa¸c˜ao (1.2) por sen2 θ obtemos a identidade: cotg 2 θ + 1 = cosec2 θ
(1.4)
S˜ao v´alidas ainda as f´ormulas de adi¸c˜ao:
sen(α + β) = senαcosβ + cosαsenβ
(1.5)
cos(α + β) = cosαcosβ − senαsenβ
(1.6)
Fazendo α = β = θ na equa¸c˜ao (1.6) e usando (1.2) obtemos cos2θ = cos2 θ − sen2 θ = 2cos2 θ − 1 = 1 − 2sen2 θ. Resolvendo estas equa¸c˜oes obtemos as f´ormulas do arco-metade: 1 cos2 θ = (1 + cos2θ) 2
(1.7)
1 sen2 θ = (1 − cos2θ) 2
(1.8)
Fun¸ co ˜es exponencias e fun¸ co ˜es logar´ıtmicas Defini¸c˜ ao 1.3. Seja a um n´ umero real positivo e diferente de 1. A fun¸c˜ ao f : R → R∗+ , definida por f (x) = ax ´e chamada fun¸c˜ ao exponencial de base a. Exemplos: y = 2x , y = ( 12 )x e y = ex s˜ao exemplos de fun¸c˜oes exponenciais. Defini¸c˜ ao 1.4. Dados n´ umeros reais positivos a e b, com a 6= 1, o n´ umero real x que satisfaz a igualdade: ax = b ´e chamado o logar´ıtmo de b na base a, denotado por loga b.
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Assim, ax = b ⇔ x = loga b x - ´e chamado o logar´ıtmo b - ´e chamado o logaritmando a - ´e chamado a base Em loga x, quando a = 2 - o sistema de logaritmo ´e chamado de bin´ ario, quando a = 10 - o sistema ´e chamado de decimal e quando a base ´e o n´ umero irracional e = 2, 718281... o sistema ´e chamado de logaritmo natural (´e costume escrever ln x no lugar de loge x e log x em vez de log10 x). Defini¸c˜ ao 1.5. Seja a um n´ umero real positivo e diferente de 1. A fun¸c˜ ao ∗ f : R+ → R, definida por f (x) = loga x ´e chamada fun¸c˜ ao logaritmo na base a. Exemplos: y = log2 x, y = logx e y = lnx s˜ao exemplos de fun¸coes logar´ıtmicas.
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Exerc´ıcio 1. (1) Sabendo-se que f ´e uma fun¸c˜ao de uma vari´acel real a valores, determine o dom´ınio de existˆencia de f , onde: (a) f (x) = 3x + 10 3 (b) f (x) = x−2 3 (c) f (x) = x2 −5x+6 √ (d) f (x) = √ x (e) f (x) = √ 3x + 10 (f) f (x) = x2 − 5x + 6 x2 , se x ≥ 0 (g) f (x) = −x, se x < 0 3 , se x 6= 2 x−2 (h) f (x) = 4, se x = 2 Obs: Nas quest˜oes de (2) a (9), ∆x ´e uma vari´avel n˜ao nula que representa uma varia¸c˜ao em x. (2) Dada a fun¸c˜ao f√(x) = 2, determine: (a) f (−3); f (1); f ( 2). (x) (b) f (x + ∆x); f (x + ∆x) − f (x); f (x+∆x)−f ∆x (3) Dada a fun¸c˜ao g(x) = 2x + 1, determine: (a) g(−5); g( 12 ); (b) g(x + ∆x); g(x + ∆x) − g(x); g(x+∆x)−g(x) ∆x (4) Dada a fun¸c˜ao h(x) = 2x2 + 1, determine: (a) h(3); h(0); (b) h(x + ∆x); h(x + ∆x) − h(x); h(x+∆x)−h(x) ∆x (5) Dada a fun¸c˜ao g(x) = x3 , determine: (a) g(−2); g(3); (b) g(x + ∆x); g(x + ∆x) − g(x); g(x+∆x)−g(x) ∆x (6) Dada a fun¸c˜ao f (t) = x+2 , determine: x−2 (a) f (4); f (0); (x) (b) f (x + ∆x); f (x + ∆x) − f (x); f (x+∆x)−f ∆x (7) Dada a fun¸c˜ao g(x) = senx, determine: (a) g(0); g( 3π ); 2 (b) g(x + ∆x); g(x + ∆x) − g(x); g(x+∆x)−g(x) ∆x (8) Dada a fun¸c˜ao g(x) = 2x , determine: (a) g(3); g(1); g( 21 ); f (−2). (b) g(x + ∆x); g(x + ∆x) − g(x); g(x+∆x)−g(x) ∆x
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(9) Dada a fun¸c˜ao h(x) = lnx, determine: (a) h(1); h(e); h(2). (b) h(x + ∆x); h(x + ∆x) − h(x); h(x+∆x)−h(x) ∆x (10) Considerando as fun¸c˜oes f (x) = x2 − 5x + 4 e g(x) = x − 4, determine: (a) (2f )(x) (b) (−3f + 2g)(x) (c) (f.g)(x) (d) fg (x). (11) Determine as compostas f ◦ g e g ◦ f , onde (a) f (x) = 1 − x2 e g(x) = 3x + 4 x−3 (b) f (x) = 2x + 3 e g(x) √= 2 2 (c) f (x) = x e g(x) = x, x ≥ 0; (d) f (x) = ex e g(x) = lnx (e) f (x) = 2x − 1 e g(x) = log2 (x + 1), x > −1. (f) f (x) = (x2 + 1) e g(x) = senx. (g) f (x) = senx e g(x) = ln(x + 1). (12) Expresse a ´area A de um quadrado em fun¸c˜ao de seu per´ımetro P . (13) Expresse o comprimento C de um c´ırculo em fun¸c˜ao de sua ´area A. (14) Considere um retˆangulo de base x cm e per´ımetro 100 cm. (a) Expresse a ´area A do retˆangulo em fun¸c˜ao de x; (b) Determine o valor de x para que a ´area A seja m´axima. (15) Um retˆangulo de base x cm est´a inscrito em um c´ırculo de raio 16 cm. (a) Expresse a ´area A do retˆangulo em fun¸c˜ao de x. (b) Determine o valor de x para que a ´area A seja m´axima. (16) Uma caixa retangular tem 324cm3 de volume e base quadrada de lado x cm. O material da base custa 2 centavos por cm2 e o material para a tampa e para os lados custa 1 centavo por cm2 . (a) Expresse o custo total C da caixa como fun¸c˜ao de x. (b) Determine o valor de x para que o custo seja m´ınimo. (17) Uma folha retangular de cartolina tem 8 cm de comprimento e 5 cm de largura. Quadrados idˆenticos de lado x cm s˜ao recortados de cada canto deste retˆangulo e a parte restante ´e dobrada de modo a se obter uma caixa sem tampa. (a) Determine o volume da caixa em fun¸c˜ao de x (b) Determine as dimens˜oes da caixa de maior volume. Qual ´e este volume m´aximo? (18) Considere P (x, y) um ponto na curva y = x2 , x > 0.
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(a) Expresse a distˆancia de P `a origem (0, 0) em fun¸c˜ao de x. (b) Determine P para que a distˆancia seja m´ınima.
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Cap´ıtulo 2 Reta tangente Fun¸ c˜ ao afim Defini¸c˜ ao 2.1. Uma fun¸c˜ao polinomial f de grau n ≤ 1 chama-se afim. Assim f ´e uma fun¸c˜ao afim, se existem n´ umeros reais a e b, tais que f (x) = ax + b, para todo x ∈ R. Observe que o dom´ınio de uma func˜ao afim ´e R, pois quaisquer que sejam os n´ umeros reais a e b, f (x) = ax + b ´e um n´ umero real, para todo x ∈ R. O gr´afico de uma fun¸c˜ao afim ´e um reta n˜ao vertical e toda reta n˜ao vertical ´e o gr´afico de alguma fun¸c˜ao afim.
A inclina¸ c˜ ao de uma reta Dada uma reta n˜ao vertical L (portanto, gr´afico de uma fun¸c˜ao afim) no plano coordenado, escolhamos dois pontos distintos P1 (x1 , y1 ) e P2 (x2 , y2 ) em L e consideremos os incrementos nas coordenadas x e y de P1 a P2 , os quais s˜ao definidos como: ∆x = x2 − x1
∆y = y2 − y1
∆x ´e tamb´em chamado o afastamento de P1 a P2 e ∆y, a eleva¸ c˜ ao de P1 a P2 . Defini¸c˜ ao 2.2. O coeficiente angular (inclina¸c˜ ao ou declividade) da reta n˜ aovertical L ´e definido como a razao entre a eleva¸c˜ ao e o afastamento: ∆y y2 − y1 = . ∆x x2 − x1 Se P3 (x3 , y3 ) e P4 (x4 , y4 ) s˜ao dois outros pontos quaisquer de L, da semelhan¸ca de triˆangulos segue que: 12
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y2 − y1 y4 − y3 = x2 − x1 x4 − x3 Portanto, o coeficiente angular ´e o mesmo, quaisquer que sejam os pontos P1 e P2 escolhidos. Seja y = ax + b uma fun¸c˜ao afim, cujo gr´afico ´e a reta L. Se P1 (x1 , y1 ) e P2 (x2 , y2 ) s˜ao dois pontos distintos em L, ent˜ao a inclina¸c˜ao da reta ´e dada por: ∆y y2 − y1 (ax2 + b) − (ax1 + b) = = =a ∆x x2 − x1 x2 − x1 Assim, na equa¸c˜ao y = ax + b, o n´ umero a ´e o coeficiente angular da reta. Olhando para os triˆangulos retˆangulos vemos que o coeficiente angular mede a tangente trigonom´etrica do ˆangulo que a reta L forma com o eixo x. ∆y Se L ´e uma reta horizontal, ∆y = 0 e portanto ∆x = 0. Se L ´e vertical, ∆y ∆x = 0 e a razao ∆x n˜ao faz sentido. Assim, retas horizontais tem coeficiente angular nulo e retas verticais n˜ao tem coeficiente angular definido.
Taxa m´ edia de varia¸ c˜ ao de uma fun¸ c˜ ao No geral, se y = f (x) ´e uma fun¸c˜ao, sempre que a vari´avel independente x passa de um valor inicial x1 para um valor final x2 ( sofre um incremento ∆x = x2 − x1 ), a vari´avel dependente y tamb´em sofre uma varia¸c˜ao correspondente ∆y = f (x2 ) − f (x1 ). Por uma regra de trˆes simples, podemos obter a varia¸c˜ao m´edia ocorrida em y, por unidade de varia¸c˜ao em x, no intervalo [x1 , x2 ] considerado: Varia¸ coes x ∆x
y →
∆y
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→
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?
∆y d´a a taxa m´edia de varia¸c˜ ao em y, por unidade de Assim, o quociente ∆x varia¸c˜ ao em x, quando x passa de x1 para x2
No caso da fun¸c˜ao afim y = ax + b, o coeficiente angular a mede portanto a taxa m´edia de varia¸c˜ao de y, quando x varia uma unidade. Exemplo: (1) Uma particula desloca-se sobre um eixo horizontal, com sua posi¸c˜ao x no instante t dada pela fun¸c˜ao posi¸c˜ao x = f (t), onde f (t) = 10 + 5t (x em cm e t em segundos). Determine a velocidade m´edia da part´ıcula entre os instantes t1 e t2 . (2) Uma particula desloca-se sobre um eixo horizontal, com sua posi¸c˜ao x no instante t dada pela fun¸c˜ao posi¸c˜ao x = f (t), onde f (t) = 10 + 5t2 (x em cm e t em segundos). Determine a velocidade m´edia da part´ıcula entre os instantes t1 e t2 .
A tangente a uma curva Dada uma fun¸c˜ao f e um ponto P (x, f (x)) no gr´afico de f , nosso objetivo agora ser´a determinar a reta tangente T `a curva neste ponto. Para responder a esta quest˜ao precisamos inicialmente dizer o que ´e reta tangente a uma curva. Se a curva ´e uma circunferˆencia, definimos a reta tangente como sendo aquela que intercepta a circunferencia em um u ´nico ponto. Mas, para curvas mais gerais esta defini¸c˜ao n˜ao ´e v´alida, pois a reta tangente `a curva em ´ necess´ario ent˜ao, uma um ponto pode tamb´em intercept´a-la em outros pontos. E defini¸c˜ao mais precisa de reta tangente. Intuitivamente, a reta tangente deve ser aquela que passa por P e tem a mesma dire¸c˜ao da curva neste ponto. Como a dire¸c˜ao de uma reta fica definida por sua inclina¸c˜ao, precisamos encontrar um modo de calcular adequadamente a inclina¸c˜ao da tangente. Sabemos como determinar o coeficiente angular de uma reta que passa por dois pontos. Por´em neste caso, s´o temos um ponto, aquele que tangencia a curva. Temos de encontrar uma maneira de calcul´a-lo de forma indireta. A estrat´egia encontrada por Leibniz (matem´atico alem˜ao) foi aproximar a tangente por outras retas cujo coeficiente angular possa ser calculado diretamente. Seja S a reta secante que passa pelos pontos P (x, f (x)) e Q(x+∆x, f (x+∆x)).
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O coeficiente angular da reta s ´e dado por: aS =
f (x + ∆x) − f (x) ∆x
Suponhamos P fixo e Q movendo-se ao longo da curva na dire¸c˜ao de P (Q aproxima-se de P ), ou seja, ∆x diminuindo. Quando isto ocorre, a reta secante gira em torno de P tendendo a coincidir com a tangente e quando menor for ∆x, mais pr´oxima a reta S estar´a da reta T . Assim dizemos que aT ´e o limite do quociente acima, quando ∆x tende para zero. Simbolicamente escrevemos: aT = lim
∆x→0
f (x + ∆x) − f (x) ∆x
(2.1)
Exemplo: (1) Dada a fun¸c˜ao f (x) = 10 + 5x2 , escreva a equa¸c˜ao da reta tangente ao gr´afico de f no ponto P (2, f (2)). Solu¸c˜ ao: A reta procurada ´e a reta que passa pelo ponto P (2, 30) e cujo coeficiente angular ´e aT , como definido acima. Para calcular aT , consideremos os pontos P (2, f (2)) e Q(2 + ∆x, f (2 + ∆x)) e calculamos o coeficiente angular aS da reta secante que passa por P e Q, o qual ´e dado por: as =
∆y f (2 + ∆x) − f (2) = = 20 + 5∆x ∆x 2 + ∆x − 2
(∆x 6= 0)
O coeficiente angular aT da tangente ´e o valor do quociente acima, quando ∆x se aproxima cada vez mais de zero, ou seja, aT = lim (20 + 5∆x) ∆x→0
Observando a tabela de valores abaixo:
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∆x 20 + 5∆x 0, 1 20, 5 0, 01 20, 05 0, 001 20, 005 0, 0001 20, 0005 .. .. vemos que `a medida que ∆x assume valores cada vez mais pr´oximos de zero, 20 + 5∆x aproxima de 20. Assim, dizemos que o coeficiente angular da tangente `a fun¸c˜ao em P (2, f (2)) ´e 20 e a equa¸c˜ao da tangente ´e portanto y−30 = 20(x−2). (2) Seja f (x) = x3 uma fun¸c˜ao c´ ubica. Determine a inclina¸c˜ao da reta tangente ao gr´afico de f , no ponto P (x, f (x)). A express˜ao em (2.1) est´a definida para todos os valores de x para os quais o limite existe e ´e uma fun¸c˜ao da vari´avel x. Esta fun¸c˜ao ´e denotata por f 0 (x) (le-se: f linha de x), assim: f (x + ∆x) − f (x) 0 f (x) = lim ∆x→0 ∆x Como f 0 deriva da fun¸c˜ao original f , f 0 ´e chamada a derivada de f . Para o estudo do c´alculo da derivada de fun¸c˜oes mais gerais, necessitamos antes introduzir o conceito de limite, o que faremos no pr´oximo cap´ıtulo.
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C´alculo I
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Exerc´ıcio 2. (1) Escreva a equa¸c˜ao da reta L, sabendo que (a) L passa pelos pontos (2, −3) e (5, 3) (b) L passa pelo ponto (−1, −4) e tem coeficiente angular 12 . (c) L passa por (4, 2) e tem ˆangulo de inclina¸c˜ao de 1350 . (d) L passa por (1, 5) e ´e paralela `a reta de equa¸c˜ao 2x + y = 10. (e) L passa por (−2, 4) e ´e perpendicular `a reta de equa¸c˜ao x + 2y = 17. (f) L ´e horizontal e passa por (3, −5). (g) L ´e vertical e intercepta o eixo x no ponto (7, 0). (2) Um balde contendo 10 gal de ´agua, acusa uma fenda no instante t = 0, e t 2 o volume no balde t segundos mais tarde ´e dado por V (t) = 10(1 − 100 ) at´e que o balde se esvazie no instante t = 100. Determine a taxa m´edia de vaz˜ao da ´agua no balde entre os instantes t = 20 e t = 50 s. (3) Uma popula¸c˜ao de insetos se transfere para uma nova regi˜ao no instante t = 0. A popula¸c˜ao, t meses ap´os a mudan¸ca, ´e dada pela fun¸c˜ao P (t) = 100[1 + (0, 3)t + (0, 04)t2 ]. Qual ´e a taxa m´edia de crescimento da popula¸c˜ao nos 10 primeiros meses ap´os a mudan¸ca? (4) Utilizando a defini¸c˜ao dada no texto, encontre o coeficiente angular da reta tangente ao gr´afico de f (x) no ponto indicado (a) f (x) = 4x − 5 em (1, −1) (b) f (x) = 100 − 16x2 em (−1, 84) (c) f (x) = 2x3 + 3x − 17 em (0, −17). 1 (d) f (x) = 2x+1 em (1, 13 ). (5) Em cada caso, encontre o ponto (ou pontos) da curva no qual a reta tangente seja horizontal. (a) f (x) = −5x2 + 17x + 300 (b) f (x) = x3 (c) f (x) = 2x+1 . x2
Cap´ıtulo 3 Limite de uma fun¸ c˜ ao 1
A reta real
Relembremos a representa¸c˜ao geom´etrica dos n´ umeros reais. Sejam 0 um ponto fixado (chamado origem) e A um ponto diferente de 0, colocado `a sua direita. A reta OA ser´a chamada de reta real ou eixo real. O segmento OA ser´a a unidade de medida deste sistema.
0
A
A semi-reta que cont´em A chama-se a semi-reta positiva e a que n˜ao cont´em A, negativa. Dado um ponto P qualquer da reta real, a abscissa de P ´e, por defini¸c˜ao: (i) a medida do segmento OP , se P estiver `a direita da origem; (ii) a medida do segmento OP , precedida do sinal menos, se P estiver `a esquerda da origem; (iii) zero, se P coincide com a origem. Da defini¸c˜ao acima, temos que a todo ponto P na reta real corresponde um n´ umero real, que ´e a sua abscissa. Reciprocamente, a todo n´ umero real x corresponde um u ´nico ponto P na reta real, cuja abscissa ´e x. Em vista disto, dizemos que existe uma correspondˆencia biun´ıvoca entre o conjunto R dos n´ umeros reais e a reta real. Em fun¸c˜ao desta correspondˆencia, diremos por vezes ”o ponto x”, no lugar de dizer ”o ponto de abscissa x”.
2
Desigualdades em R
Defini¸c˜ ao 3.1. Dados n´ umeros reais x e y dizemos que x ´e menor do que y e escrevemos x < y, se a diferen¸ca y − x ´e um n´ umero real positivo. Se x < y, dizemos tamb´em que y ´e maior do que x e escrevemos y > x. 18
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Usa-se tamb´em a nota¸c˜ao x ≤ y para indicar que x = y ou x < y.
3
Intervalos
Sejam a e b dois n´ umeros reais, com a < b. Dizemos que o n´ umero real x est´a entre a e b se a < x e x < b. a
x
b
Podemos dizer isto escrevendo a < x < b. Esta dupla desigualdade indica um intervalo aberto. Mais precisamente temos: Se a e b s˜ao n´ umeros reais, os subconjuntos de R, abaixo definidos s˜ao chamados de intervalos: [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}; (a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}; [a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}; (a, b) = {x ∈ R | a < x < b}; (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b}; (−∞, b) = {x ∈ R | x < b}; [a, +∞) = {x ∈ R | x ≥ a}; (a, +∞) = {x ∈ R | x > a}; (−∞, +∞) = R. Observa¸co ˜es: (1) Os primeiros quatro intervalos definidos s˜ao ditos limitados e a e b s˜ao chamados os extremos do intervalo. Os cinco u ´ltimos s˜ao ditos ilimitados. (2) +∞ e −∞ n˜ao s˜ao n´ umeros reais, mas apenas nota¸c˜oes para indicar intervalos ilimitados. (3) Na defini¸c˜ao de intervalo consideramos sempre a < b Quando a = b, o intervalo [a, a] = {a} chama-se um intervalo degenerado e (a, a) = ∅.
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Valor absoluto
Defini¸c˜ ao 3.2. O Valor absoluto (ou m´ odulo) de um n´ umero real x, indicado por |x| ´e definido por: x, se x ≥ 0 |x| = −x, se x < 0
Interpreta¸ c˜ ao do M´ odulo Se x e y s˜ao respectivamente, as abscissas dos pontos P e Q da reta real, |x − y| representa a distˆancia do ponto P ao ponto Q. Em particular |x| = |x − 0| ´e a
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distˆancia do ponto P `a origem 0. Exemplos: (a) |3| = 3 Isto significa que a distˆancia do ponto de abscissa 3 `a origem mede 3 unidades; (b) | − 3| = 3 Isto significa que a distˆancia do ponto de abscissa -3 `a origem mede 3 unidades; (c) |x| = 3 Isto significa que a x ´e a abscissa de um ponto P cuja distˆancia `a origem mede 3 unidades. Assim, x = 3, se P estiver `a direita da origem, ou x = −3, se P estiver `a esquerda da origem. (d) |5 − 1| = 4 Considere P e Q os pontos de abscissas 5 e 1, respectivamente. Este igualdade diz que a distˆancia de P a Q mede 4 unidades; (e) |x − 1| = 4 Esta identidade diz que x ´e a abscissa de um ponto P que est´a a uma distˆancia de 4 unidades do ponto de abscissa 1, logo x = 5, se P estiver `a direita de 1, ou x = −3, se estiver `a esquerda do 1. (f) |x − 1| < 4 Esta desigualdade diz que x ´e a abscissa de um ponto cuja distˆancia ao ponto de abscissa 1 ´e menor do que 4 unidades, assim −3 < x < 5, ou ainda, −4 < x − 1 < 4. (g) |x − 1| > 4 Esta desigualdade diz que x ´e a abscissa de um ponto que cuja distˆancia a 1 ´e maior do que 4 unidades. Ent˜ao x < −3 ou x > 5, ou ainda, x − 1 < −4 ou x − 1 > 4; (h) Sejam a e n´ umeros reais, com > 0. A desigualdade |x − a| < , indica que a distˆancia de x ao ponto a ´e menor do que , ou seja, que x pertence ao intervalo (a − , a + ).
Propriedades do M´ odulo As propriedades descritas a seguir s˜ao v´alidas para quaisquer n´ umeros reais x e y. (M1) Seja a um n´ umero real fixo, ent˜ao |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a; (M2) Seja a um n´ umero real fixo, ent˜ao |x| ≥ a ⇔ x ≤ −a ou x ≥ a; (M3) |x + y| ≤ |x| + |y| (desigualdade triangular); (M4) |x|2 = x2 ; (M5) |x.y| = |x|.|y|. Dados um ponto P da reta real de abscissa a e um n´ umero real positivo , chamamos de vizinhan¸ca de a, de raio , denotado por V (a, ), ao intervalo
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V (a, ) = (a − , a + )
a−
a
a+
Diremos que a vizinha V (a, ) ´e uma vizinhan¸ca restrita de a, quando excluimos a da vizinhan¸ca, isto ´e, consideramos o intervalo (a − , a) ∪ (a, a + ). Usando a propriedade (M1) observamos que x ∈ V (a, ) ⇔ x ∈ (a−, a+) ⇔ a − < x < a + ⇔ − < x − a < ⇔ |x − a| < . Assim, dizer que x pertence a vizinha V (a, ) significa dizer que a distˆancia de x a a ´e menor do que .
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Exerc´ıcio 3. (1) Considere a fun¸c˜ao f (x) = x + 3. (a) Fa¸ca um esbo¸co de seu gr´afico; (b) Reescreva as frases abaixo, substituindo as desigualdades pelos intervalos que elas representam e explique o significado das mesmas. (b.1) Se |x − 2| < 1, ent˜ao |f (x) − 5| < 1; (b.2) Se |x − 2| < 0, 1, ent˜ao |f (x) − 5| < 0, 1; (b.3) Se |x − 2| < , ent˜ao |f (x) − 5| < , com um n´ umero real positivo. (2) Considere a fun¸c˜ao f (x) = 2x + 3. (a) Fa¸ca um esbo¸co de seu gr´afico; (b) Reescreva as frases abaixo, substituindo as desigualdades pelos intervalos que elas representam e explique o significado das mesmas. (b.1) Se |x − 3| < 1, ent˜ao |f (x) − 9| < 2; (b.2) Se |x − 3| < 0, 5, ent˜ao |f (x) − 9| < 1; (b.3) Se |x − 3| < 2 , ent˜ao |f (x) − 5| < , com um n´ umero real positivo.
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Limite de uma fun¸ c˜ ao 2
−5x−2 Considere a fun¸c˜ao racional f (x) = 3x x−2 , cujo dom´ınio ´e Df = R − {2}. Embora f n˜ao esteja definida para x = 2 podemos estudar o comportamento desta fun¸c˜ao em uma vizinhan¸ca restrita de 2, isto ´e, valores pr´oximos de 2, mais n˜ao iguais a 2. Para isto vamos preencher as tabelas abaixo.
x f (x) 1 1,5 1,8 1,9 1,99 1,999 1,9999
x f (x) 3 2,5 2,2 2,1 2,01 2,001 2,0001
Observando as tabelas, responda: (a) O que acontece com f (x) `a medida que x se aproxima de 2, por valores menores do que 2? E por valores maiores do que 2? (b) Em que intervalo podemos tomar x de modo que |f (x) − 7| < 0, 3? (c) Em que intervalo podemos tomar x de modo que |f (x) − 7| < 0, 03? (d) Dado um n´ umero real > 0. Em que intervalo podemos tomar x de modo que |f (x) − 7| < ? Represente esta situa¸c˜ao geometricamente e explique o seu significado. Dizemos que um n´ umero L ´e o limite de uma fun¸c˜ao f quando x tende para um n´ umero a, se pudermos tornar a imagem f (x) t˜ao pr´oxima de L quando quisermos, simplesmente escolhendo x suficientemente pr´oximo (embora n˜ao igual) do n´ umero a. Em linguagem formal damos a seguinte defini¸c˜ao. Defini¸c˜ ao 3.3. Sejam f uma fun¸c˜ ao e a um ponto no dom´ınio de f ou extremidade de um dos intervalos que comp˜ oem o dom´ınio de f . Dizemos que a fun¸c˜ ao f tem limite L em a (ou que o limite de f (x) quando x tende a a ´e L), e escrevemos lim f (x) = L x→a
se para todo > 0 existir um δ > 0, tal que se 0 < |x−a| < δ, ent˜ ao |f (x)−L| < . Exemplos: (1) Mostre que limx→1 (6x − 2) = 4;
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(2) Mostre que limx→2 π = π; (3) Mostre que limx→3 x2 = 9.
6
Propriedades operat´ orias do limite:
˜ IDENTIDADE: (1) LIMITE DA FUNC ¸ AO lim x = a
x→a
. (2) LIMITE DA CONSTANTE: Seja k uma constante, ent˜ao lim k = k
x→a
. ´ ˜ (3) LIMITE DO MULTIPLO ESCALAR DE UMA FUNC ¸ AO: Seja k uma constante. Se limx→a f (x) = L, ent˜ao lim (kf )(x) = k. lim f (x) = k.L
x→a
x→a
. (4) LIMITE DA SOMA/DIFERENC ¸ A:: Se limx→a f (x) = L e limx→a g(x) = M , ent˜ao lim [f (x) + g(x)] = L + M
x→a
. lim [f (x) − g(x)] = L − M
x→a
. (O limite de uma soma ´e a soma dos limites; O limite de uma diferen¸ca ´e a diferen¸ca dos limites); Obs: Esta propriedade ´e tamb´em v´alida para a soma/diferen¸ca de um n´ umero finito qualquer de parcelas, isto ´e, limx→a [f1 (x)±f2 (x)±...±fn (x)] = limx→a f1 (x)± limx→a f2 (x) ± ... ± limx→a fn (x). (5) LIMITE DO PRODUTO: Se limx→a f (x) = L e limx→a g(x) = M existem, ent˜ao lim [f (x).g(x)] = L.M
x→a
. (O limite do produto ´e igual ao produto do limite dos fatores).
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Esta propriedade ´e tamb´em v´alida para um n´ umero finito qualquer de fatores, isto ´e, limx→a [f1 (x).f2 (x)....fn (x)] = limx→a f1 (x). limx→a f2 (x)..... limx→a fn (x). (6) LIMITE DO QUOCIENTE: Se limx→a f (x) = L e limx→a g(x) = M e se M 6= 0, ent˜ao L f (x) = x→a g(x) M lim
. (7) LIMITE DA RAIZ: Se limx→a f (x) = L, n ≥ 2 ´e um inteiro e L > 0 para valores pares de n, ent˜ao: lim
p n
x→a
f (x) =
p n
limx→a f (x) =
√ n
L
Exemplos: (1) Usando as propriedades de limite calcule os limites abaixo: (a) limx→0 (3x2 + 7x − 12); (b) limx→−1 (2x − x5 ); (c) limx→−2 (x2 − 2)5 ; 2 (d) limt→2 t t+2t−5 3 −2t ; q y+8 (f) limy→−4 25−y 2; √ 3 (g) limx→2 3x3 + 4x − 5. 2 −2x+1 (h) limx→1 xx3 −2x 2 +3x . 2x, se x 6= 2 (i) limx→2 f (x), onde f (x) = 1, se x = 2 (2) Seja f (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 uma fun¸c˜ao polinomial, com an , an−1 , ..., a1 , a0 n´ umeros reais e an 6= 0. Mostre que limx→p f (x) = f (p). (3) Sejam a e b n´ umeros reais. Mostre que para todo inteiro n ≥ 2, (an − bn ) = (a − b)(an−1 + an−2 .b + an−3 b2 + ... + a.bn−2 + bn−1 ).
Limite do quociente Vejamos agora como proceder, quando n˜ao podemos usar o limite do quociente (propriedade (6)). (2) Calcule os limites abaixo: 2
(a) limx→1 x3x+x−2x+1 2 −x−1 . Solu¸c˜ ao: Fazendo f (x) = x2 − 2x + 1 e g(x) = x3 + x2 − x − 1, que s˜ao duas fun¸c˜oes polinomiais, temos que limx→1 f (x) = f (1) = 0 e limx→1 g(x) = g(1) = 0. Logo,
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n˜ao podemos usar a propriedade do quociente, pois esta s´o ´e v´alida se o limite no denominador ´e n˜ao nulo. Usando a forma fatorada dos polinˆomios temos f (x) = (x − 1)2 e g(x) = (x − 1)(x2 + 2x + 1). Para x 6= 1, x − 1 6= 0, assim (x) (x−1)2 (x) x−1 podemos simplificar a fun¸c˜ao fg(x) = (x−1)(x ı, limx→1 fg(x) = 2 +2x+1) = x2 +2x+1 . Da´ 0 x−1 limx→1 x2 +2x+1 = 4 = 0. √
√
x− 3 (b) limx→3 x−3 ; Solu¸c˜ ao: √ √ Fazendo f (x) = x− 3 e g(x) = x−3, segue que limx→3 f (x) = 0 e limx→3 g(x) = 0√ e assim n˜ ao podemos usar a regra do quociente. Por´em para x 6= 3, temos: √ √ √ √ √ ( x− 3)( x+ 3) x− 3 √ √ = (x−3)(√x+√3) = (x−3)(x−3 = √x+1 √3 . E portanto, x−3 x+ 3) √ x− 3 = x−3 3 −p3 limx→p xx−p √
1√ x+ 3 2
limx→3
limx→3
(c)
(Resp. 3p );
√
=
1 √ . 2 3
√ √ x− 7 √ 2); (Resp. x+7− 14 √ 5 x− √ 5p 1 ); limx→p x−p , (p 6= 0) (Resp. √ 5 5 p4 √ 3 x−1 4 limx→1 √ 4 x−1 (Resp. 3 ). √
(d) limx→7 (e) (f)
7
√
Teorema do Sanduiche para limites
Teorema 1. Sejam f , g e h fun¸c˜ oes e suponha que existe uma vizinhan¸ca de a, tal que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x 6= a nesta vizinhan¸ca. Nestas condi¸coes se limx→a f (x) = L = lim h(x) x→a
ent˜ ao lim g(x) = L
x→a
Exemplos: 2 −1 . (1) Sabendo que f ´e um fun¸c˜ao tal que para todo x 6= 1, −x2 + 3x ≤ f (x) ≤ xx−1 Calcule limx→1 f (x). Solu¸c˜ ao: 2 −1 Fazendo g(x) = −x2 + 3x e h(x) = xx−1 , ent˜ao temos que para todo x 6= 1, g(x) ≤ f (x) ≤ h(x). Al´em disso, limx→1 g(x) = 2 = limx→1 h(x), logo pelo teorema do sanduiche, limx→1 f (x) = 2. (2) Sejam f : A → R e g : A → R (A ⊂ R) fun¸coes. Sabendo-se que limx→a f (x) = 0 e g(x) ´e uma fun¸c˜ao limitada, isto ´e, existe um real M > 0, tal que |g(x)| ≤ M , entao limx→a f (x).g(x) = 0. Solu¸c˜ ao:
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Usando as propriedade (M5) e (M1) de m´odulo e o fato de que |g(x)| ≤ M , temos: |f (x).g(x)| = |f (x)|.|g(x)| ≤ |f (x)|.M ⇒ −M.|f (x)| ≤ f (x).g(x) ≤ M.|f (x)|, para todo x ∈ A. Agora como limx→a f (x) = 0, segue que limx→a M.|f (x)| = limx→p M.|f (x)| = 0, ent˜ao pelo teorema do confronto temos limx→a f (x).g(x) = 0. (3) Calcule limx→0 x.sen x1 . Solu¸c˜ ao: limx→0 x = 0 e limx→0 sen x1 n˜ao existe. Por´em seno ´e uma fun¸c˜ao limitada, uma vez que |senu| ≤ 1, para todo u. Assim, pela quest˜ao anterior, limx→0 x.sen x1 = 0.
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Limites Laterais
√ Considere a fun¸c˜ao f (x) = x − 2, cujo dom´ınio ´e Df = [2, +∞[. O limx→2 f (x) n˜ao existe, uma vez que para a existˆencia de tal limite, dado um > 0, deve existir um δ > 0, tal que para todo x no intervalo (2 − δ, 2 + δ) a fun¸c˜ao f esteja definida, o que n˜ao acontece. Ainda assim ´e poss´ıvel tornar f (x) t˜ao pr´oximo de zero quando se queira, bastando para isto tomarmos x em uma vizinha `a direita ´ o chamado limite lateral (ou unilateral). de 2, suficientemente pequena. E Defini¸c˜ ao 3.4. Seja f uma fun¸c˜ ao definida em todo ponto de um intervalo aberto (a, b). Dizemos que L ´e o limite ` a direita de f em a e escrevemos lim f (x) = L
x→a+
se para todo > 0, existir um δ > 0 de tal modo que se 0 < x − a < δ, ent˜ ao |f (x) − L| < . Defini¸c˜ ao 3.5. Seja f uma fun¸c˜ ao definida em todo ponto de um intervalo aberto (b, a). Dizemos que L ´e o limite ` a esquerda de f em a e escrevemos lim f (x) = L
x→a−
se para todo > 0, existir um δ > 0 de tal modo que se −δ < x − a < 0, ent˜ ao |f (x) − L| < . Teorema 2. limx→a f (x) = L ⇔ limx→a+ f (x) = limx→a− f (x) = L. Obs: (1) O limite (n˜ao lateral) ´e chamado de limite ordin´ario; (2) Se os limites laterais existem e s˜ao diferentes, ent˜ao o limite ordin´ario n˜ao existe. (3) Se um dos limites laterais n˜ao existe ent˜ao o limite ordin´ario tamb´em n˜ao existe.
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Exerc´ıcio 4. (1) Calcule e justifique. (a) limx→10 5 (a) limx→−2 (4x + 1) (c) limx→3 x2 (d) limx→−1√(−x2 − 2x + 3) (e) limx→4 √ x 3 (f) limx→−3 x 2 −9 (g) limx→−1 xx−3 2 −9 (h) limx→3 xx−3 3 3 −a (j) limx→a xx−a n −an (j) limx→a xx−a (n > 0 natural) √ x−1 (k) limx→1 x−1 √ 3 x− √ 3a (l) limx→a (a 6= 0) x−a √ n x− √ na (k) limx→a x−a (2) Utilizando a pesquisa n;umerica, calcule limx→0
senx . x
(3) Uando o limite trigonom´etrico fundamental: lim
u→0
senu =1 u
calcule os limites abaixo: x2 (a) limx→0 senx 2x (b) limx→0 sen x2 (c) limx→0 1−cosx x (d) limx→0 1−cosx x2 (e) limx→0 tgx x (f) limx→0 sen5x x (g) limx→0 x1 sen x3 (4) Utilize a pesquisa num´erica para mostrar que limx→0 sen( x1 ) n˜ao existe. (5) Aplicando o teorema do sandu´ıche, calcule os limites abaixo: (a) limx→0 x2 .sen( x12 ) 1 (b) limx→0 x2 .cos √ 3x (6) Seja f (x) = |x − 5|. Determine: (a) limx→5+ f (x); (b) limx→5− f (x); (c) limx→5 f (x);
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x (7) Seja f (x) = x + |x| . Determine: (a) limx→0+ f (x); (b) limx→0− f (x); (c) limx→0 f (x); −1, se x < 0 0 se x = 0 (fun¸c˜ao sinal). Calcule: (8) Seja sgn(x) = 1 se x < 0 (a) limx→0+ sgn(x); (b) limx→0− sgn(x); (c) limx→ sgn(x);
(9) Seja [[ ]] a fun¸c˜ao maior inteiro, definida por [[x]] = max{n ∈ Z | n ≤ x} (tamb´em conhecida como fun¸c˜ao escada). Calcule: (a) limx→2+ [[x]]; (b) limx→2− [[x]]; (c) limx→2 [[x]]; (d) limx→n+ [[x]], limx→n− [[x]] e limx→n [[x]], onde n ´e um n´ umero inteiro; + − (e) limx→p [[x]], limx→p [[x]] e limx→p [[x]], onde p ∈ R − Z. (h) limx→n+ (x − [[x]]), limx→n− (x − [[x]]), limx→n (x − [[x]); onde n ´e um inteiro. 2 2 x + 3, se x ≤ 1 x , se x ≤ 1 (10) Considere as fun¸c˜oes f (x) = e g(x) = x + 1 se x > 1 2 se x > 1 Determine: (a) limx→1 f (x); (b) limx→1 g(x); (c) limx→1 (f (x).g(x)); (11) Atrav´es da pesquisa num´erica, determine o valor dos limites abaixo: 1 (a) limu→0 (1 + u) u (b) limx→0 (1 + 2x )x h (c) limh→0 e h−1 h (d) limh→0 a h−1
Cap´ıtulo 4 Derivada 1
Defini¸c˜ ao e nota¸ co ˜es
Defini¸c˜ ao 4.1. A derivada de uma fun¸c˜ ao f ´e a fun¸c˜ ao indicada por f 0 , cujo valor em um n´ umero x qualquer de seu dom´ınio ´e dada por:
0
f (x) = lim
∆x→0
f (x + ∆x) − f (x) ∆x
se este limite existir e for finito. A defini¸c˜ao dada acima para f 0 (x) nada mais ´e do que a regra da fun¸c˜ao f 0 . Assim uma vez determinado f 0 (x) para uma fun¸c˜ao f podemos calcular f 0 (a) para um a qualquer no dom´ınio da fun¸c˜ao derivada, bastando para isso subtituir a vari´avel x pelo valor particular, ou seja,
0
f (a) = lim
∆x→0
f (a + ∆x) − f (a) ∆x
Agora fazendo x = a + ∆x, observamos que quando ∆x → 0, x → a. Assim f 0 (a) pode ser reescrita como:
0
f (a) = lim
x→a
f (x) − f (a) x−a
Nota¸co ˜es: Algumas nota¸c˜oes usadas para representar a derivada de uma fun¸c˜ao y = f (x) (aqui x ´e a vari´avel independente e y ´e a vari´avel dependente) s˜ao: y 0 , dy f 0 , dx (nota¸c˜ao de Leibniz), Df (x) (nota¸c˜ao do operador). Exemplos: (1) Calcule f 0 (x), onde (a) f (x) = 5; (b) f (x) = 3x + 2; (c) f (x) = x2 + z. 30
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Diferencia¸c˜ ao
Uma fun¸c˜ao ´e dita deriv´avel ou diferenci´avel em um n´ umero x0 de seu dom´ınio 0 de f (x0 ) existe e ´e dita diferenci´avel se ela for diferenci´avel em todo ponto de seu dom´ınio. Diferencia¸c˜ao (ou deriva¸c˜ao) ´e a opera¸c˜ao utilizada para encontar a derivada de uma fun¸c˜ao, quando esta ´e deriv´avel. Existem alguns resultados que facilitam a opera¸c˜ao de diferencia¸c˜ao.
3
Regras de deriva¸ c˜ ao
Derivada de uma constante Se f (x) = k ´e uma fun¸c˜ao constante, ent˜ao f 0 (x) = 0, para todo x.
Regra da Potˆ encia Seja n um n´ umero inteiro positivo. (a) Se f (x) = xn , ent˜ao f 0 (x) = nxn−1 . (b) Se f (x) = x−n (x 6= 0), ent˜ao f 0 (x) = −nx−n−1
1
(c) Se f (x) = x n (com x > 0, quando n ´e par), ent˜ao f 0 (x) = Exemplos: (a) Se f (x) = 4, ent˜ao f 0 (x) = 0; (b) Se f (x) = x2 , ent˜ao f 0 (x) = 2x; 1 (c) Se f (x) = x√ ao f 0 (x) = − x23 ; 2 , ent˜ (d) Se f (x) = x, ent˜ao f 0 (x) = 2√1 x ; √ 1 (e) Se f (x) = 3 x, ent˜ao f 0 (x) = 3 √ 3 2; x
1 1 −1 xn n
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Derivada do m´ ultiplo escalar de uma fun¸ c˜ ao Sejam f um fun¸c˜ao deriv´avel e k um contante, ent˜ao (kf ) ´e tamb´em deriv´avel e (kf )0 (x) = k.f 0 (x)
Derivada da soma/diferen¸ ca Sejam f e g fun¸c˜oes deriv´aveis, ent˜ao (f + g) ´e tamb´em deriv´avel e (f + g)0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x), para todo x. Resultado an´alogo temos para a diferen¸ca, isto ´e, (f − g)0 (x) = f 0 (x) − g 0 (x).
Regra do Produto Sejam f e g fun¸c˜oes deriv´aveis, ent˜ao (f.g) ´e tamb´em deriv´avel e (f.g)0 (x) = f 0 (x).g(x) + f (x).g 0 (x), para todo x.
Regra do Quociente Sejam f e g fun¸c˜oes deriv´aveis, ent˜ao
f g
´e tamb´em deriv´avel e
f f 0 (x).g(x) − f (x).g 0 (x) ( )0 (x) = g (g(x))2 . Exemplos (1) Calcule f 0 (x), onde (a) f (x) = x3 + x√2 + 1 (b) f (x) = 3x + x; (c) f (x) = 5 + 3x−2 ; (d) f (x) = 3x + x1 . (e) f (x) = 5x4 + bx3 + cx2 + k, onde b, c e k s˜ao constantes; (f) f (x) = x2x+1 ; √
(g) f (x) =
x . x2 +2x
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Regra da cadeia dy (1) Considerando y = (2x2 + 1)2 , calcule dx . Solu¸c˜ ao: Podemos facilmente calcular a derivada desta fun¸c˜ao usando as regras de deriva¸c˜ao at´e ent˜ao estudadas. Basta desenvolvermos o binˆomio e calcular a derivada de cada uma das parcelas encontradas: dy y = (2x2 + 1)2 = 4x4 + 4x2 + 1 ⇒ dx = 16x3 + 8x = 2.(2x2 + 1).4x. dy (2) Considerando y = (2x2 + 1)3 , calcule dx . Solu¸c˜ ao: Como no caso anterior, temos y = (2x2 + 1)3 = 8x6 + 12x4 + 6x2 + 1 ⇒ 48x5 + 48x3 + 12x = 3.(2x2 + 1)2 .4x.
dy dx
=
dy . dx
(3) Considerando y = (2x2 + 1)100 , calcule
O processo usado nos dois primeiros casos torna-se invi´avel para este exemplo, pois o desenvolvimento do binˆomio tem 101 termos. Vejamos o uso da regra da cadeia, que ser´a extremamente u ´til no c´alculo desta derivada e de muitas outras fun¸c˜oes. REGRA DA CADEIA Se y = f (u) e e u = g(x) e
dy du
existe,
du dx
existe, ent˜ao
y = f (g(x)) ´e uma fun¸c˜ao de x e ´e dada por: dy dx
=
dy dx
existe e
dy du . du dx
A regra da cadeira diz que a derivada da composta ´e o produto das derivadas, por´em calculadas em pontos diferentes. Reescrevendo a regra acima com outra nota¸c˜ao para a derivada temos: (f ◦ g)0 (x) = f 0 (g(x)).g 0 (x) Assim, a derivada da fun¸c˜ao externa f ´e calculada em g(x), enquanto a derivada da fun¸c˜ao interna g ´e calculada em x. Usaremos agora a regra da cadeia para calcular a derivada dada na quest˜ao (3): Fazendo u = 2x2 + 1 ficamos com y = u100 . Ent˜ao y ´e agora uma fun¸c˜ao de u e u, por sua vez, ´e uma fun¸c˜ao de x. Pela regra da cadeia temos: dy du dy = du . dx = 100.u99 .(2x) = 100.(2x2 + 1)99 .2x. dx
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Exemplos: dy (1) Calcule dx , onde 3x+1 2 (a) y = ( 2x ) √ (b) y = 2x3 + x2 − 3. A regra da cadeia pode ser generalizada para o caso da composta de duas ou mais fun¸c˜oes. Por exemplo, Se y = f (z), z = g(u) e u = h(x), ent˜ao y = f (g(h(x))) ´e uma fun¸c˜ao de x e du dz du dy = . . . dx dz du dx Exemplos: p (1) y = 3 (x2 + 1)2 , calcule
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dy . dx
Derivadas das fun¸ co ˜es trigonom´ etricas
Lembremos o limite trigonom´etrico fundamental: limx→0
senx x
=1
A partir do limite acima podemos mostar que: 1 − cosx lim =0 x→0 x No c´alculo do limx→0 1−cosx n˜ao podemos aplicar a regra do quociente, pois x o limite no denominador ´e zero. Multiplicando numerador e o denominador por (1 + cosx) obtemos: 1−cos2 x sen2 x senx limx→0 (1−cosx)(1+cosx) = lim x→0 x(1+cosx) = limx→0 x.(1+cosx) = limx→0 x . limx→0 x.(1+cosx) 1. 02 = 0. Com o c´alculo destes dois limites podemos agora calcular as derivadas das fun¸c˜oes trigonom´etricas.
Derivada da fun¸ c˜ ao seno Se f (x) = senx, ent˜ao f 0 (x) = cosx.
Demonstra¸c˜ao: f 0 (x) = limh→0 sen(x+h)−senx h
senx 1+cosx
=
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= limh→0 senx.cosh+senh.cosx−senx h −senx(1−cosh)+senh.cosx = limh→0 h = limh→0 −senx.( 1−cosh ) + limh→0 cosx.( senh ) h h = −senx.0 + cosx.1 = cosx. Em geral, se y = senu e u = f (x), ent˜ao
dy dx
=
dy du . du dx
= cosu.u0 .
Exemplos: dy (1) Calcule dx , onde: (a) y = sen2x; (b) y = sen(x2 + 2x); (c) y = (senx)2 ; (d) y = √ 1 − (senx)2 (e) y = 1 − sen2 x.
Derivada da fun¸ c˜ ao cosseno Se f (x) = cosx, ent˜ao f 0 (x) = −senx. Demonstra¸c˜ao: f 0 (x) = limh→0 cos(x+h)−cosx h = limh→0 cosx.cosh−senx.senh−cosx h = limh→0 cosx(cosh−1)−senh.senx h = limh→0 cosx.( cosh−1 ) − limh→0 senx.( senh ) h h = cosx.0 − senx.1 = −senx. Em geral se y = cosu e u = f (x), ent˜ao Exemplos: dy (1) Calcule dx , onde: cosx (a) y = 2x ; (b) y = cosx.senx; (c) y = sen(2x) + cos3 (3x).
dy dx
=
dy du . du dx
= −senu.u0 .
Derivada da fun¸ c˜ ao tangente Se f (x) = tgx, ent˜ao f 0 (x) = −sec2 x. Demonstra¸c˜ao: Como tgx = senx , aplicando a regra do quociente temos: cosx 2 2 (senx)0 .cosx−senx.(cosx)0 0 (tgx) = = cos x+senx = cos12 x = −sec2 x. cos2 x cos2 Exemplos:
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(2) Calcule as derivadas: (a) y = 2x + 5cos3 x; (b) y = senx.cosx; √ 2 (c) y = sen√ x.( cosx + 1). (d) y = tg( cosx). Analogamente, aplicando a regra do quociente, calculamos as derivadas das fun¸coes secante, cossecante e cotangente.
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C´alculo I
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Exerc´ıcio 5. (1) Seja y = x5 + 2xz + w2 . Calcule dy (a) dx (b) dy dz dy (c) dw (2) Seja f (x) = x5 . calcule (a) f 0 (x) (b) f 0 (0) (c) f 0 (2) (3) Aplique as regras de deriva¸c˜ao para calcular a derivada das fun¸c˜oes abaixo: (a) f (x) = 3x2 − x + 5 (b) f (x) = (2x + 3)(3x − 2) (c) h(x) = (x + 1)3 (d) g(t) = (4t − 7)2 (e) f (x) = 4x2 − x12 1 1 (f) f (x) = x+1 − x−1 3 (g) f (x) = x2 +x+1 1 (h) u(x) = (x+2)3 x (i) f (x) = √1+x √ 4 (j) f (t) = 2t3 (k) g(z) = (3z 2 − 4)97 17 (l) h(y) = y+1 y−1 p √ (m) g(x) = x + x dy (4) Calcule dx : 2 (a) y = 3sen √ x (b) y = x.senx (c) y = (2 − cos2 x)3 (d) y = cos2x x (e) y = x.senx2 . (f) y = cosecx (g) y = secx (h) y = cotgx (i) y = (senx − cosx)2 . 5 (j) y = secx x p √ (k) y = cos x.
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Derivadas de ordem superior
Seja y = f (x) uma fun¸ca˜o, sua derivada f 0 - chamada derivada de 1a . ordem de f - ´e tamb´em uma fun¸c˜ao, logo podemos novamente deriv´a-la obtemos (f 0 )0 , d2 y chamada a derivada de 2a , tamb´em denotada por f 00 , f (2) ou dx 2. f 000 , que ´e a derivada de f 00 , ´e chamada a derivada de 3a . ordem de f , tamb´em d3 y denotada por f (3) ou dx 3. dk y No geral, dado um inteiro k ≥ 1, f (k) (x) = dx e chamada a k-´esima de f . k - ´
Cap´ıtulo 5 Aplica¸co ˜es da Derivada 1
Taxa de varia¸c˜ ao instantˆ anea
Se uma quantidade y ´e fun¸c˜ao de uma quantidade x, isto ´e, y = f (x), j´a vimos que taxa m´edia de varia¸c˜ao de y por unidade de varia¸c˜ao em x, quando x passa de x1 a x1 + ∆x ´e dada por: f (x1 + ∆x) − f (x1 ) ∆y = ∆x ∆x O limite deste quociente, quando ∆x → 0, ´e o que consideramos a taxa de varia¸c˜ao instantˆanea de y por unidade de varia¸c˜ao em x, no ponto x1 , conforme defini¸c˜ao dada a seguir. Defini¸c˜ ao 5.1. Seja y = f (x). A taxa de varia¸c˜ ao instantˆ anea de y por unidade de varia¸c˜ao de x em x1 ´e f 0 (x1 ), se f 0 (x1 ) existe. Exemplos (1) Um carro est´a viajando a velocidade de 80km/h quando repentinamente o motorista pisa no freio (x = 0, t = 0). A fun¸c˜ao posi¸c˜ao do carro em derrapagem ´e dada por x(t) = 2t − 120t2 . Por que distˆancia e durante quanto tempo o carro continua derrapando at´e parar? (2) Uma bola lan¸cada verticalmente para cima no instante t = 0s com velocidade inicial de 30m/s e com altura inicial 35m, tem sua fun¸c˜ao altura dada por y(t) = −5t2 + 30t + 35. Determine a altura m´axima atingida pela bola e quando e com que velocidade de impacto a bola atinge o solo. (3) Se a ´agua de uma piscina est´a sendo escoada e V (t) = 250(40 − t)2 litros ´e o volume de ´agua na piscina t minutos ap´os o escoamento ter come¸cado, encontre: (a) a taxa de varia¸c˜ao m´edia a que a ´agua escoa da piscina durante os primeiros 5 minutos; (b) a velocidade com que a ´agua flui da piscina 5 minutos ap´os o escoamento ter 39
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come¸cado. (4) Um foguete ´e lan¸cado verticalmente para cima e ´e rastreado por um esta¸c˜ao localizado no solo a 8 km da plataforma de lan¸camento. Suponha que o ˆangulo θ de eleva¸c˜ao da linha de vis˜ao at´e o foguete esteja aumentando de 30 por segundos quando θ = 60o . Determine a velocidade do foguete neste instante.
2
Estudo da varia¸ c˜ ao das fun¸ co ˜es
Vejamos agora a aplica¸c˜ao da derivada no estudo do comportamento de fun¸c˜oes.
Teorema do valor m´ edio para derivadas Considere uma fun¸c˜ao f e tomemos dois pontos distintos P = (a, f (a)) e Q = (b, f (b)) em seu gr´afico.
J´a vimos que a declividade da reta secante S que passa por P e Q ´e dado por: aS =
f (b) − f (a) b−a
A figura sugere que deve haver um ponto c ∈ [a, b] tal que a reta tangente ao gr´afico da fun¸c˜ao em (c, f (c)) seja paralela a reta secante S, logo f 0 (c) =
f (b) − f (a) b−a
e portanto f 0 (c)(b − a) = f (b) − f (a) Observamos que este valor c pode n˜ao ser u ´nico, como tamb´em pode n˜ao existir. Para que exista c ´e necess´ario que a fun¸c˜ao seja deriv´avel em todos os pontos do intervalo (a, b).
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C´alculo I
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Teorema 3. (Teorema do valor m´edio para derivadas) Seja f uma fun¸c˜ ao com as seguintes propriedades: (i) f ´e cont´ınua no intervalo [a, b] (ii) f ´e diferenci´avel no intervalo (a, b). Nestas condi¸coes, existe pelo menos um c ∈ (a, b) tal que f 0 (c) =
f (b) − f (a) b−a
Em particular observamos que se f (a) = f (b), ent˜ao f 0 (c) = 0, isto ´e, existe um ponto c ∈ (a, b) onde a reta tangente ao gr´afico de f ´e horizontal. Exemplos: (1) Determine um valor c no dom´ınio da fun¸c˜ao f (x) = x2 − 5x + 6, para o qual a reta tangente ao gr´afico no ponto P = (c, f (c)) ´e paralela `a reta secante que passa pelos pontos de abscissas −1 e 5.
Intervalos de crescimento e de decrescimento Uma das aplica¸c˜oes do teorema do valor m´edio para derivadas ´e a determina¸c˜ao dos intervalos de crescimento de decrescimento de uma fun¸c˜ao. Defini¸c˜ ao 5.2. Dizemos que uma fun¸c˜ ao f : A → R (A ⊂ R) ´e (i) crescente se para quaisquer x1 , x2 ∈ A, se x1 < x2 , ent˜ ao f (x1 ) < f (x2 ); (ii) decrescente, se para quaisquer x1 , x2 ∈ A, se x1 < x2 , ent˜ ao f (x1 ) > f (x2 ). Se f ´e uma fun¸c˜ao sempre crescente (ou sempre decrescente) diz-se que ´e uma fun¸c˜ao monˆotona. Teorema 4. Seja f uma fun¸c˜ao cont´ınua em um intervalo [a, b] e diferenci´ avel em (a, b), entao (i) Se f 0 (x) > 0, para todo x ∈ (a, b), f ´e cresente em [a, b]; (ii) se f 0 (x) < 0, para todo x ∈ (a, b), f ´e decrescente em [a, b]. Demonstra¸c˜ao: Sejam x1 , x2 pontos arbitr´arios no intervalo [a, b] e suponha x1 < x2 . Pelo teo(x1 ) rema do valor m´edio existe um c ∈ (x1 , x2 ), tal que f 0 (c) = f (xx22)−f . Como −x1 0 x2 − x1 > 0, segue que f (x2 ) − f (x1 ) tem o mesmo sinal de f (c). Assim: (i) se f 0 (c) < 0, f (x2 ) − f (x1 ) < 0 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) ⇒ f ´e decrescente; (ii) se f 0 (c) > 0, f (x2 ) − f (x1 ) > 0 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) ⇒ f ´e crescente. Exemplos: (1) Determine os intervalos onde a fun¸c˜ao f ´e crescente e os intervalos onde ela ´e decrescente.
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(a) f (x) = 2x + 5; (b) f (x) = −2x + 5; (c) f (x) = x2 − 5x + 6; (d) f (x) = |x|. 2 3 (e) f (x) = x3 − 5x2 + 5x + 7. (2) A capacidade de aprender de um√animal cobaia, t meses ap´os o seu nascimento, ´e dada pela fun¸c˜ao L(t) = 12 t − 5 (t ≥ 0). Em que intervalo de tempo a capacidade de aprendizagem do animal est´a crescendo e quando ela est´a diminuindo?
Extemos relativos de uma fun¸ c˜ ao Defini¸c˜ ao 5.3. Dizemos que uma fun¸c˜ ao f tem um m´aximo relativo (ou local) em c, se existe um intervalo aberto contendo c, onde f esteja definida, tal que f (c) ≥ f (x) para todo x neste intervalo. Defini¸c˜ ao 5.4. Dizemos que uma fun¸c˜ ao f tem um m´ınimo relativo (ou local) em c, se existe um intervalo aberto, contendo c, onde f esteja definida, tal que f (c) ≤ f (x) para todo x neste intervalo. Os pontos de m´aximos e m´ınimos relativos de uma fun¸c˜ao s˜ao chamados de extremos relativos da fun¸c˜ao. Suponha que c ´e um m´aximo relativo de uma fun¸c˜ao f . Ent˜ao existe um intervalo aberto contendo c, onde f ´e crescente `a esquerda de c (f 0 (x) > 0) e decrescente `a direita (f 0 (x) < 0). Portanto f 0 muda de sinal em c. De modo an´alogo, se c ´e um m´ınimo relativo de f , ent˜ao existe um intervalo aberto contendo c, no qual f ´e decrescente `a esquerda de c (f 0 (x) < 0) e crescente `a direita (f 0 (x) > 0). Portanto f 0 tamb´em muda de sinal em c. Mas para que a derivada f 0 mude de sinal em c, devemos ter f 0 (c) = 0, caso f 0 (c) exista, ou ent˜ao f 0 d´a um salto em c (´e descont´ınua). Teorema 5. Seja f uma fun¸c˜ao deriv´ avel em um intervalo aberto contendo c. Se c ´e um extremos relativo de f , ent˜ ao f 0 (c) = 0. Pelo teorema n˜ao temos como encontrar os extremos relativos de uma fun¸c˜ao, mas temos como excluir os elementos do dom´ınio que certamente n˜ao ser˜ao extremos relativos, que s˜ao os valores x para os quais f 0 (x) 6= 0. Os prov´aveis extremos relativos s˜ao chamados de pontos cr´ıticos. Defini¸c˜ ao 5.5. Um valor c ∈ Df ´e chamado um ponto cr´ıtico de f se f 0 (c) = 0 ou f 0 ´e descont´ınua em c.
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Exemplos: (1) Determine os pontos cr´ıticos das fun¸coes abaixo: (a) f (x) = x2 + 4x + 2; (b) f (x) = √ 2x + 1; √ 3 (c) f (x) = x4 + 4 3 x. Passos para determinar os extremos relativos de uma fun¸ c˜ ao: Dado y = f (x): (1) Calcule f 0 (x); (2) Determine os pontos cr´ıticos de f : valores onde f 0 (x) = 0 ou f 0 ´e descont´ınua; (3) Fa¸ca um estudo do sinal da derivada com rela¸c˜ao aos pontos cr´ıticos encontrados em (2). Exemplos: (1) Determine os extremos relativos das fun¸c˜oes: (a) f (x) = x2 + 4x + 2; (b) f (x) = −x2 + 5x − 6 (c) f (x) = x3 − 3x.
Teste da derivada segunda para extremos relativos Podemos substituir o passo (3) descrito acima, simplesmente analisando o sinal da derivada segunda da fun¸c˜ao, conforme teorema a seguir. Teorema 6. Seja f diferenci´avel em um intervalo aberto contendo c, com f 0 (c) = 0. Entao (i) se f 00 (c) < 0, c ´e m´aximo relativo de f ; (ii) se f 00 (c) > 0, c ´e m´ınimo relativo de f . Obs: Pelo teorema, se f 00 (c) = 0, nada se pode afirmar.
Exemplos: (1) Usando o teste da derivada segunda, determine os extremos relativos das fun¸c˜oes: (a) f (x) = x3 + x2 − 8x − 1; (b) f (x) = x3 + 7x2 − 5x; (c) f (x) = x3 .
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Extremos absolutos
Defini¸c˜ ao 5.6. Dizemos que c ´e um m´aximo absoluto (ou global) da fun¸c˜ ao f , se c ∈ Df e f (c) ≥ f (x) para todo x ∈ Df .
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Defini¸c˜ ao 5.7. Dizemos que c ´e um m´ınimo absoluto (ou global) da fun¸c˜ ao f , se c ∈ Df e f (c) ≤ f (x) para todo x ∈ Df . Os m´aximos e m´ınimos absoluto de uma fun¸c˜ao s˜ao chamados de extemos absolutos da fun¸c˜ao. Nem toda fun¸c˜ao possui extremos absolutos, existe por´em um teorema do c´alculo que garante que toda fun¸c˜ao cont´ınua definida em um intervalo fechado [a, b] tem extremos absolutos neste intervalo. Passos para determinar os extremos absolutos de uma fun¸ c˜ ao: Seja y = f (x) uma fun¸c˜ao cont´ınua, definida em um intervalo fechado [a, b]. (1) Calcule f 0 (x); (2) Determine os pontos cr´ıticos de f ; (3) Calcule a imagem de f em cada um dos pontos cr´ıticos e nos extemos do intervalo, isto ´e, calcule f (a) e f (b); (4) O maior e o menor dos valores encontrados no item (3), s˜ao respectivamente, o m´aximo e o m´ınimo absoluto de f . Exemplos: (1) Determine os extremos absolutos da fun¸c˜ao no intervalo dado: (a) Seja f (x) = x2 − 5x + 6 em I = [2, 5]. (b) f (x) = x3 +√x2 − 8x − 1 em I = [−1, 3]. 3 (c) f (x) = 3 + x2 em I = [−1, 8].
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Problemas de m´ aximos de m´ınimos
Vejamos agora alguns problemas cuja solu¸c˜ao consiste em determinar os extremos absolutos da fun¸c˜ao. (1) Um campo petrol´ıfero tem 20 po¸cos e cada um deles tˆem um produ¸c˜ao di´aria de 200 barris de petr´oleo. Para cada novo po¸co perfurado a produ¸c˜ao di´aria de cada po¸co decai 5 barris. Determine o n´ umero de novos po¸cos a ser perfurados de modo que a produ¸c˜ao di´aria do campo seja m´axima. (2) Jo˜ao tem uma f´abrica de sorvetes. Ele vende em m´edia 300 caixas de picol´es por R$20, 00 cada uma. Entretanto percebeu que, cada vez que diminu´ıa R$1, 00 no pre¸co da caixa, vendia 40 caixas a mais. Determine quanto ele dever´a cobrar pela caixa para que sua receita seja m´axima? (3) Uma folha retangular de cartolina tem 8 cm de comprimento e 5 cm de largura. Quadrados idˆenticos s˜ao recortados de cada canto deste retˆangulo e a parte restante ´e dobrada de modo a se obter uma caixa sem tampa. Determine
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as dimens˜oes da caixa de maior volume que pode ser constru´ıda com esta folha de cartolina. Qual ´e o volume m´aximo obtido?
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Exerc´ıcio 6. Nas quest˜oes de (01) a (60) calcule a derivada f 0 (x) da fun¸cao f dada: (01) f (x) = 2 (02) f (x) = 23 (03) f (x) = 3π 2 (04) f (x) = 204 (05) f (x) = 17 (06) f (x) = a √ (07) f (x) = 2a + b (08) f (x) = 3 a2 + 2a + 3 (09) f (x) = x 2 5 (10) f (x) = x (11) f (x) = x (12) f (x) = x183 1 16 (13) f (x) = a (14) f (x) = x (15) f (x) = x12 1 1 1 (16) f (x) = √ (17) f (x) = √ (18) f (x) = √ x5 x183 a16 7 (20) f (x) = 3 x (21) f (x) = √ x (19) f (x) = x 3 1 1 (22) f (x) = √x (23) f (x) = √ (24) f (x) = x2 4x √ √ 7 5 1 (26) f (x) = x3 (27) f (x) = a3 (25) f (x) = √ 5 3 x √ 4 (28) f (x) = x3 (29) f (x) = 3x2 (30) f (x) = −2x19 (31) f (x) = x23 (32) f (x) = 3x2√7 (33) f (x) = ax5 3 5a (34) f (x) = (2a + b)x7 (35) f (x) = 3 x2 (36) f (x) = b √ 4 3 x 2 (37) f (x) = x2 + x (38) f (x) = x3 + 2x2 + 5 (39) f (x) = −16x3 + √ 3 2 x √ 3 3 (40) f (x) = 2a2 x3 +√23 x5 + 2a2 (41) f (x) = (2x + 2x)(5x + 8) √ √ 3 7 (42) f (x) = (ax7 − x3 )(x3 − πx) (43) f (x) = x2 . x3 (44) f (x) = x+1 x2 2 2 +a (45) f (x) = xa2 +x (46) f (x) = −3x √+2x+1 (47) f (x) = senx x (48) f (x) = cosx (49) f (x) = tgx (50) f (x) = secx (51) f (x) = cosecx (52) f (x) = cotgx (53) f (x) = sen(2x) 2 (54) f (x) = sen( 2x+1 ) (55) f (x) = sen x (56) f (x) = sen5 (2x + 1) x √ (57) f (x) = cos4 x (58) f (x) = cos3 x senx (59) f (x) = (2 + senx)(3x − cosx) (60) f (x) = senx+cosx (61) Considerando g(x) = x3 + x1 , calcule: (a) g 0 (1) (b) g 0 (−2) (c) g 0 ( 12 ). 2 −5t+6 (62) Considerando h(t) = t 3t+1 , calcule 0 0 0 (a) h (0) (b) h (2) (c) h (a) (63) Escreva a equa¸c˜ao da reta tangente ao gr´afico da fun¸c˜ao f (x) = 2x + 3 no ponto de abscissa 2. Fa¸ca um esbo¸co do gr´afico de f e da tangente. (64) Escreva a equa¸c˜ao da reta tangente ao gr´afico da fun¸c˜ao f (x) = x2 − 5x + 6 no ponto de abscissa 2. Fa¸ca um esbo¸co do gr´afico de f e da tangente. (65) Escreva a equa¸c˜ao da reta tangente ao gr´afico da fun¸c˜ao f (x) = x1 no ponto de abscissa 2. Fa¸ca um esbo¸co do gr´afico de f e da tangente. (66) Escreva as equa¸c˜oes das retas que s˜ao tangentes ao gr´afico da fun¸c˜ao f (x) = x3 − 29x e paralelas `a reta 2x + y = 3. Nas quest˜oes de (67) a (69) escreva a derivada de todas as ordens de f . (67) f (x) = 2x3 + 2x + 1 (68) f (x) = x50 (69) f (x) = 2a100 (70) Uma part´ıcula desloca-se sobre o eixo 0x com fun¸c˜ao de posi¸c˜ao dada por x(t) = 3 + 2t − t2 , (x dado em cm e t ≥ 0 em segundos). Determine: (a) a velocidade da part´ıcula no instante t = 5? (b) a acelera¸c˜ao da part´ıcula no instante t = 5?
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(71) Uma part´ıcula desloca-se sobre o eixo 0x com fun¸c˜ao de posi¸cao dada por x(t) = −t3 + 3t2 (x em cm e t ≥ 0 em segundos). (a) Determine a velocidade da part´ıcula no instante t (b) Determine a acelera¸cao da part´ıcula no instante t. (72) O per´ıodo de oscila¸c˜ao P (em segundos) p de um pˆendulo simples de comprimento L (em metros) ´e dado por P = 2π L/g, onde g = 9, 8m/s2 . Ache a taxa de varia¸c˜ao de P em rela¸cao `a L quando P = 2. (73) Um balde contendo 10 gal de ´agua, acusa uma fenda no instante t = 0, e o t 2 volume no balde t segundos mais tarde ´e dado por V (t) = 10(1 − 100 ) at´e que o balde se esvazie no instante t = 100. (a) A que taxa a ´agua est´a vazendo do balde, exatamente 1 minuto ap´os o in´ıcio do vazamento? (b) Quanto ´e que a taxa de varia¸c˜ao instantˆanea de V ´e igual a taxa m´edia de varia¸c˜ao de V entre os instantes t = 0 e t = 100? (74) Uma popula¸c˜ao de insetos se transfere para uma nova regi˜ao no instante t = 0. A popula¸c˜ao, t meses ap´os a mudan¸ca, ´e dada pela fun¸c˜ao P (t) = 100[1 + (0, 3)t + (0, 04)t2 ]. (a) Qual ´e a taxa de crescimento da popula¸c˜ao 10 meses ap´os a mudan¸ca? (b) Quanto tempo levar´a at´e que a popula¸cao seja o dobro da popula¸cao inicial? (c) Qual ´e a taxa de crescimento da popula¸c˜ao quando P = 200? (75) Um bal˜ao esf´erico est´a sendo inflado. O raio r do bal˜ao est´a aumentando `a taxa de 0, 2cm/s quando r = 5cm. A que taxa o volume V do bal˜ao est´a aumentando naquele instante? (Lembre: volume da esfera de raio r ´e V = 43 πr3 ). (76) Na medida em que uma bola de neve de 12 cm de raio inicial derrete, seu raio decresce a uma taxa constante. A bola come¸ca a derreter quando t = 0 (h) e leva 12 horas para desaparecer. Qual ´e a taxa de varia¸cao do volume da bola quando t = 6? (77) Uma bola lan¸cada verticalmente para cima no instante t = 0 tem sua altura (em metros) no instante t (em segundos) dada pela fun¸cao altura y(t) = −4.9t2 + 29.4t + 36. Qual ´e a altura m´axima atingida pela bola? Nas quest˜oes de (78) a (86) determine os intervalos de crescimento e de decrescimento da fun¸cao dada: (78) f (x) = 2x + 1 (79) f (x) = −3x + 12 (80) f (x) = 2x2 − 12x + 16 (81) f (x) = −x2 + 10x − 25 (82) f (x) = x3 (83) f (x) = x3 − 3x2 + 1 1 5 3 (84) f (x) = x + x (85) f (x) = 3x − 5x (86) f (x) = 10 Nas quest˜oes de (87) a (92) determine os pontos cr´ıticos da fun¸c˜ao e use o sinal da derivada segunda para verificar se os pontos cr´ıticos encontrados s˜ao extremos relativos da fun¸c˜ao. (87) f (x) = x2 − 5x + 6 (88) f (x) = −x2 + 10x − 25 (89) f (x) = x3 − 3x2 + 1 (91) f (x) = x4 − 4x3 + 4x2 + 2 (92) f (x) = senx + cosx, x ∈ [0, π] (90) f (x) = x + x1 (93) Encontre dois n´ umeros reais positivos x e y tais que sua soma seja 50 e seu produto seja o maior poss´ıvel. (94) Ache a ´area m´axima poss´ıvel de um retˆangulo de 200 m de per´ımetro. (95) Um campo petrol´ıfero tem 20 po¸cos e cada um deles tˆem uma produ¸c˜ao
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di´aria de 200 barris de petr´oleo. Para cada novo po¸co perfurado a produ¸c˜ao di´aria de cada po¸co decai 5 barris. Determine o n´ umero de po¸cos que se deve perfurar de modo que a produ¸c˜ao do campo seja m´axima. (96) Um retˆangulo de base x cm est´a inscrito em um c´ırculo de raio 16 cm. Determine o valor de x para que a ´area A do retˆangulo seja m´axima. (97) Uma caixa retangular tem 324cm3 de volume e base quadrada de lado x cm. O material da base custa 2 centavos por cm2 e o material para a tampa e para os lados custa 1 centavo por cm2 . Determine o valor de x para que o custo seja m´ınimo. (98) Uma folha retangular de cartolina tem 8 cm de comprimento e 5 cm de largura. Quadrados idˆenticos de lado x cm s˜ao recortados de cada canto deste retˆangulo e a parte restante ´e dobrada de modo a se obter uma caixa sem tampa. Determine as dimens˜oes da caixa de maior volume e qual ´e este volume m´aximo? (99) Um avi˜ao de 100 lugares foi fretado para uma excurs˜ao. A companhia exigiu de cada passageiro R$ 800, 00 mais R$ 10, 00 para cada lugar vago. Determine o n´ umero de passageiros para que a receita da companhia seja m´axima. (100) De trˆes grandes pe¸cas quadradas de estanho, cada uma com 1 metro de lado, deve-se cortar quatro pequenos quadrados iguais de cada um de seus cantos. Os doze pequenos quadrados resultantes devem ser todos do mesmo tamanho. As trˆes pe¸cas grandes restantes s˜ao ent˜ao dobradas e soldadas de modo a formar caixas sem tampa, e os doze quadrados pequenos retirados ser˜ao utilizados para fazer dois pequenos cubos. Como se deve fazer isto para maximizar o volume total das cinco caixas? Qual ´e este volume m´aximo?
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Respostas: (01) (06) (11) (15)
f 0 (x) = 0 (02) f 0 (x) = 0 (03) f 0 (x) = 0 (04) f 0 (x) = 0 (05) f 0 (x) = 0 f 0 (x) = 0 (07) f 0 (x) = 0 (08) f 0 (x) = 0 (09) f 0 (x) = 1 (10) f 0 (x) = 2x f 0 (x) = 5x4 (12) f 0 (x) = 183x182 (13) f 0 (x) = 0 (14) f 0 (x) = −1 x2 0 (x) = −5 (17) f 0 (x) = −183 (18) f 0 (x) = 0 (19) f 0 (x) = f (x) = −2 (16) f 3 6 184 x x x
(20) f 0 (x) = (24) f 0 (x) = (28) f 0 (x) =
1 √ 3 2 x 2 √ 33x 3 √ 44x −14 3x8 2 √ 3x 3
(21) f 0 (x) = (25) f 0 (x) =
−1 √ 2x x 3 0 (26) f (x) = √ 7 7 x4 (30) f 0 (x) = −38x18
1 √ 7 7 x6 −3 √ 5 5x x3
(29) f 0 (x) = 6x
(22) f 0 (x) =
(23) f 0 (x) =
1 √ 2 x
−1 √ 4x 4 x
(27) f 0 (x) = 0 (31) f 0 (x) =
−6 x4
(33) f 0 (x) = 5ax4 (34) f 0 (x) = (14a + 7b)x6 √ (36) f 0 (x) = −15a (37) f 0 (x) = 2x + 1 (38) f 0 (x) = 3x2 + 4x 4 4b x7 √ 3 4 (40) f 0 (x) = 6a2 x2 + 10 x2 (39) f 0 (x) = −48x2 + 3 √ 3x 9
(32) f 0 (x) = (35) f 0 (x) =
(41) f 0 (x) = 40x3 + 48x2 + 20x + 16 √ 1 3 7 3 (42) f 0 (x) = (7ax6 − √ x)(3x2 − π) 3 2 )(x − πx) + (ax − (43) f 0 (x) = (46) (50) (53) (56) (58)
3√ x √ 7 3 2 +x2 −a 2 √x3 3 √ x2 + (44) f 0 (x) = −(x+2) (45) f 0 (x) = 2xa 7 4 x3 (a2 +x)2 33x 7 x −9x2 +2x−1 √ (47) f 0 (x) = cosx (48) f 0 (x) = −senx (49) f 0 (x) 2x x tgx.secx (51) f 0 (x) = −cotgx.cosecx. (52) f 0 (x) = −cosec2 x
f 0 (x) = f 0 (x) = 0 f 0 (x) = 2cos2x (54) f 0 (x) = −1 cos( 2x+1 x ) (55) f (x) = 2senx.cosx x2 4 (2x + 1).cos(2x + 1) (57) f 0 (x) = −4cos3 x.senx. f 0 (x) = 10sen 2 √x 3cos f 0 (x) = 2√x (59) f 0 (x) = 3xcosx + 5senx + sen2 x − cos2 + 6
= sec2 x
1 (60) f 0 (x) = 1+2senx.cosx (61.a) g 0 (1) = 2 (61.b) g 0 (−2) = 47 g 0 ( 12 ) = −13 4 4 2 +2a−23 (62.a) h0 (0) = −23 (62.b) h0 (2) = − 17 (61.c) h0 (a) = 3a(3a+1) 2 (63) y = 2x + 3 (64) 5x − 2y = 5 (65) x + 4y = 4 (66) 2x + y = 54 e 2x + y = −54. (67) f 0 (x) = 6x2 + 2; f 00 (x) = 12x; f 000 (x) = 12 e f (k) (x) = 0, para todo k ≥ 4. (68) f (k) (x) = 50.49...(50 − (k + 1))x50−k , para 1 ≤ k ≤ 49 e f (k) (x) = 0, para k ≥ 50 (69) f (k) (x) = 0, para todo k (70) v(5) = −8cm/s e a(5) = −2cm/s2 (71) v(t) = −3t2 + 6t e a(t) = −6t + 6 π2 (72) 9,8 ≈ 1, 007s/m (73.a) −0, 08gal/s /, (73.b) 50 segundos (74a.) crece a uma taxa de 110 insetos por mˆes / (74.b) 2.5 meses (73.c) cresce a uma taxa de 50 insetos por mˆes depois. 3 (75) dV dt ≈ 62, 83 cm/s (76) −144 cm /h (77) 80.1 m (78) f cresce em todo seu dom´ınio (79) f decresce em todo seu dom´ınio (80) f decresce no intervalo (−∞, 3] e cresce no intervalo [3, +∞) (81) f cresce no intervalo (−∞, 5] e decresce no intervalo [5, +∞) (82) f cresce em todo seu dom´ınio (83) f cresce em (−∞, 0] ∪ [2, +∞) e descreve em [0, 2] (84) f cresce em (−∞, −1] ∪ [1, +∞) e descreve em [−1, 0) ∪ (0, 1] (85) f cresce em (−∞, −1] ∪ [1, +∞) e descreve em [−1, 1] (86) f n˜ao cresce e nem decresce, ´e uma fun¸cao constante (87) Ponto cr´ıtico: 25 o qual ´e um m´ınimo local da fun¸cao (88) Ponto cr´ıtico: 5, o qual ´e um m´aximo local de da fun¸cao (89) Pontos cr´ıticos: 0 e 6, sendo 0 um m´aximo local e 6, um m´ınimo local. (90) Pontos cr´ıticos: {−1, 0, 1}, sendo −1, m´aximo local, 1, m´ınimo local e 0 n˜ao ´e nem extremo relativo.
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(91) Pontos cr´ıticos: {0, 1, 2}, sendo 0 e 2 m´ınimos locais e 1, m´aximo local (92) ponto cr´ıtico : π4 o qual ´e um ponto de m´aximo (93) x = y = 25 (94) ´area m´axima: 2.500 m2 (95) 10 po¸cos (96) x ≈ 11, 31 (97) x = 6cm (98) x = 1cm e o volume m´aximo ´e 18 cm3 (99) 90 passageiros (100) 0, 25m3 (todos s˜ao cubos, n˜ ao h´a caixa sem tampa).
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Cap´ıtulo 6 A Integral 1
Primitiva de uma fun¸ c˜ ao
J´a sabemos resolver problemas em que, dada uma fun¸c˜ao, queremos calcular a sua derivada, o que ´e feito pela opera¸c˜ao chamada deriva¸c˜ao (ou diferencia¸c˜ao). f (x)
−−−−−−→ derivacao
f 0 (x)
Por´em, existem muitos problemas em que a derivada da fun¸c˜ao ´e conhecida e o objetivo ´e encontrar a fun¸c˜ao primitiva. Por exemplo, conhece-se a taxa de crescimento da popula¸c˜ao e deseja-se usar esta informa¸c˜ao para prever valores futuros desta popula¸c˜ao, ou, conhece-se a velocidade de uma particula e deseja-se descobrir sua posi¸c˜ao em um instante t qualquer. O processo de obten¸c˜ao da fun¸c˜ ao atrav´es de sua derivada denomina-se integra¸c˜ ao ou antidiferencia¸c˜ ao ←−−−−−−− f (x) integracao f 0 (x) Defini¸ c˜ ao 6.1. Uma fun¸c˜ ao F ´e dita uma primitiva ou antiderivada da fun¸c˜ ao f em um intervalo I, se F 0 (x) = f (x), para todo x ∈ I. Exemplos: (1) Determine uma primitiva da fun¸c˜ao f , onde: (a) f (x) = 3 (b) f (x) = 2x (c) f (x) = 6x2 (d) f (x) = cosx (e) f (x) = 4x + 6. Considerando a letra (e), temos que F1 (x) = 2x2 + 6x ´e uma primitiva de f , por´em F2 (x) = 2x2 + 6x − 10 tamb´em ´e uma primitiva desta fun¸c˜ao. Mais geralmente, para toda constante c, a fun¸c˜ao F (x) = 2x2 + 6x + c ´e uma primitiva de f . No geral, se F (x) ´e uma primitiva de uma fun¸c˜ao f (x), ent˜ao F 0 (x) = f (x), para todo x. Logo para toda constante c, (F (x) + c)0 = F 0 (x) + c0 = F 0 (x) = f (x). Assim se uma fun¸c˜ao f (x) tem uma primitiva F (x), ent˜ao ela tem uma infinidade de primitivas do tipo F (x) + c, para toda constante c, e estas s˜ao as u ´nicas primitivas de f (x).
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A cole¸c˜ao de todas as primitivas da fun¸c˜ao Rf (x) ´e chamada de integral indefinida de f com rela¸c˜ao a x e ´e denota pelo s´ımbolo f (x)dx. Assim, f (x)dx = F (x) + c ⇔ F 0 (x) = f (x)
R
R R O s´ımbolo (lˆe-se integral) denota a opera¸c˜ao de integra¸c˜ao e escrevemos f (x)dx para indicar que f (x), chamado o integrando, ´e a fun¸c˜ao cuja fam´ılia de primitivas se quer calcular e dx para indicar que x ´e vari´avel de integra¸c˜ao. A constante c ´e chamada constante de integra¸c˜ ao. Exemplos: R (1) R x2 dx = 31 x3 + c - a vari´avel de integra¸c˜ao ´e x; (2) R t2 dt = 31 t3 + c - a vari´avel de integra¸c˜ao ´e t; (3) R x2 t2 dx = 31 x3 t2 + c - a vari´avel de integra¸c˜ao ´e x; (4) x2 t2 dt = 31 t3 x2 + c - a vari´avel de integra¸c˜ao ´e t;
2
Propriedades da integral indefinida
Como a antidiferencia¸c˜ao ´e a opera¸c˜ao inversa da deriva¸c˜ao, certas propriedades v´alidas na regra de deriva¸c˜ao s˜ao tamb´em v´alidas na antifiderencia¸c˜ao.
Integral do m´ ultiplo escalar de uma fun¸ c˜ ao Se k ´e uma constante, ent˜ao Z
Z k.f (x)dx = k.
f (x)dx
. Demonstra¸c˜ ao: R Suponha F (x) uma primitiva da fun¸c˜ao f (x), isto ´e, f (x)dx = F (x) ⇔ RF 0 (x) = f (x). Ent˜ao paraRtoda constante k, temos kf (x) = kF 0 (x) = [kF (x)]0 ⇒ k.f (x)dx = kF (x) = k. f (x)dx.
Integral da soma/diferen¸ ca Z (i)
Z (f (x) + g(x)dx =
Z (ii) Demonstra¸c˜ ao:
Z f (x)dx +
Z (f (x) − g(x)dx =
g(x)dx Z
f (x)dx −
g(x)dx
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R R Suponha f (x)dx = F (x) e g(x)dx = G(x) ⇔ e FR0 (x) = f (x) e G0 (x) = g(x). 0 = F 0 (x)±G0 (x) = f (x)±g(x) ⇒ (f (x)±g(x))dx = F (x)±G(x) = RDa´ı, [F (x)±G(x)] R f (x)dx ± g(x)dx
3
Primitivas imediatas
Como a integra¸c˜ao ´e a opera¸c˜ ao inversa da deriva¸c˜ao, podemos obter de modo imediato a primitiva de algumas fun¸c˜oes, simplesmente usando as regras de deriva¸c˜ao. (a)
R
kdx = kx + c (k uma constante)
(b)
R
xr dx =
(c)
R
cosxdx = senx + c
(d)
R
senxdx = −cosx + c
(e)
R
sec2 xdx = tgx + c
e)
R
xr+1 r+1
+ c (r 6= −1)
cosec2 xdx = −cotgx + c
(f)
R
secx.tgxdx = secx + c
(g)
R
cosecx.cotgxdx = −cosecx + c
Exemplos: (1) Calcule as integrais: R 2 (a) (6x + 5x + 6)dx; R 5 )dx (b) R ( 3x +2x−5 x3 2 (c) R (t + t + x)dt (d) R x12 dx (e) R (x + x13 )dx (f) R (3x2 + 2xy)dx (g) R (3x2 + 2xy)dy (h) 3senxdx
4
Integra¸c˜ ao por substitui¸ c˜ ao ou mudan¸ ca de vari´ avel
A integra¸c˜ao por substui¸c˜ao ´e uma t´ecnica de integra¸c˜ao que corresponde `a regra da cadeia na deriva¸c˜ao. Usa-se quando o integrando ´e um produto de dois fatores, sendo
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um deles a derivada (ou um m´ ultiplo escalar da derivada) do outro. Suponha F uma primitiva de uma fun¸c˜ao f , ent˜ao F 0 (u) = f (u),
∀u ∈ Df
⇔ Z f (u)du = F (u) + c. Al´em disso, suponha que u n˜ao ´e uma vari´avel e sim uma fun¸c˜ao de x, isto ´e, u = g(x). Ent˜ao du = g 0 (x).dx (pela defini¸c˜ao de diferencial). Fazendo uma mudan¸ca de vari´avel na integral acima temos: Z f (g(x)).g 0 (x).dx = F (g(x)) + c Exemplos: R (1) (x2 + 1)2xdx Solu¸c˜ ao: Neste caso o integrando ´e um produto de duas fun¸coes e um dos fatores ´e a derivada do outro. Fazendo u = x2 + 1 ⇒ du = 2xdx. Fazendo a mudan¸ca de vari´avel na integral temos: R 2 R 2 2 2 (x + 1)2xdx = udu = u2 + c = (x +1) + c. 2 (2)
R√
x2 + 12xdx
Solu¸c˜ ao: Fazendo u = x2 + 12 ⇒ du = 2xdx ⇒ xdx = 12 du. Fazendo a mudan¸ca de vari´avel na integral temos: R √ p R 1 R√ √ 2 x + 12xdx = 12 udu = 12 u 2 du = 13 u3 + c = 13 (x2 + 12)3 + c. (3)
R
senx.cosxdx
Solu¸c˜ ao: Fazendo a mudan¸ca de vari´avel na integral temos: RFazendo u = senxR ⇒ du =1cosxdx. senx.cosxdx = udu = 2 u2 + c = 12 sen2 x + c.
5
Equa¸co ˜es diferenciais
Grande parte dos modelos matem´aticos da vida real envolvem equa¸c˜oes que contˆem derivadas de fun¸c˜oes desconhecidas. Tais equa¸c˜oes s˜ao chamadas de equa¸c˜ oes diferenciais. As equa¸c˜oes diferenciais mais simples s˜ao as de primeira ordem. Uma equa¸c˜ao diferencial de primeira ordem ´e uma equa¸c˜ao que pode ser escrita na forma: dy = F (x, y) dx
(6.1)
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onde x denota a vari´avel independente e y ´e a fun¸c˜ao desconhecida. Uma solu¸c˜ao de dy (6.1) ´e uma fun¸c˜ao y = y(x) que satisfaz esta equa¸c˜ao, ou seja, dx = F (x, y(x)). Exemplos: √ (1) A fun¸c˜ao y = x2 + 1 ´e uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao diferencial √ x = xy . x2 +1 (2) A fun¸c˜ao y = x2 + 1 ´e uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao diferencial
dy dx
dy dx
=
x y,
pois
dy dx
=
= 2x.
Diz-se que (6.1) ´e separ´ avel se o seu lado direito ´e o produto de uma fun¸c˜ao de x e uma fun¸c˜ao de y, ou seja, a equa¸c˜ao tem a forma: dy = g(x).h(y) dx Multiplicando (6.2) por
1 h(y)
(6.2)
obtemos: 1 dy . = g(x) h(y) dx
Integrando ambos os membros desta u ´ltima equa¸c˜ao em rela¸c˜ao a x: Z Z 1 dy ( . ).dx = g(x)dx h(y) dx Como y = y(x), pela defini¸c˜ao de diferencial dy = y 0 (x)dx = substitui¸c˜ao no integrando `a esquerda: Z Z 1 dy = g(x)dx + c h(y)
dy dx .dx.
Fazendo esta
Assim, para resolver (6.2) isolamos as vari´aveis em lados opostos da equa¸c˜ao (separandoas) e integramos cada membro em rela¸c˜ao `a sua vari´avel respectiva. Resolve-se agora cada uma das integrais. Se encontramos: Z Z 1 dy = F (y) e g(x)dx = G(x) h(y) ent˜ao F (y) = G(x) + c Por fim, se poss´ıvel, resolve-se algebricamente esta u ´ltima equa¸c˜ao para obter uma solu¸c˜ao explicita y = y(x) de (6.2). Exemplos: dy (1) Resolva a equa¸c˜ao diferencial dx = 3x − 1. Solu¸c˜ ao: dy Suponha y = y(x) a fun¸c˜ao procurada. ent˜ao y 0 (x) = dx = 3x − 1. Separando as vari´aveis obtemos dy = (3x − 1)dx. Integrando ambos os membros desta igualdade R R 3 2 obtemos: dy = (3x − 1)dx ⇒ y = 2 x − x + c, para toda constante c. (2) Determine uma fun¸c˜ao y = y(x), x ∈ R, tal que Solu¸c˜ ao:
dy dx
= 3x − 1 e y(0) = 2.
C´alculo I
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UFPA
Pela quest˜ao anterior vimos que toda fun¸c˜ao da forma y(x) = 23 x2 − x + c, com c constante, satisfaz a primeira condi¸c˜ao. Para satisfazer a segunda condi¸c˜ao devemos ter 2 = y(0) = c. Logo y(x) = x3 x2 − x + 2 ´e a fun¸c˜ao procurada. (3) Resolva a equa¸c˜ao diferencial Solu¸c˜ ao: Separando as vari´aveis obtemos
dy dx
√ = 2x y.
√1 dy y
= 2xdx ⇒
R
√1 dy y
=
R
√ 2xdx + c ⇒ 2 y =
2
x2 + c ⇒ y = ( x2 + c)2 . (4) A declividade da reta tangente a uma curva em um ponto (x, y) na curva ´e dado por 3x2 . Encontre a equa¸c˜ao da curva sabendo que ela pasa pelo ponto (2, 1). Solu¸c˜ ao: dy Seja y = F (x) a equa¸c˜ao da curva procurada. Ent˜ao F 0 (x) = dx d´a a inclina¸c˜ao da reta tangente ao gr´afico de F (x) noR ponto (x, F (x)). Dos dados do problema segue que dy F 0 (x) = dx = 3x2 . Da´ı, F (x) = 3x2 dx = x3 + c. Como a curva passa pelo ponto (2, 1), entao = 1 = F (2) = 8+c ⇒ c = −7. Portanto F (x) = x3 −7 ´e a curva procurada. (5) As marcas de frenagem deixadas por um autom´ovel indicam que o freio foi plenamento aplicado por uma distˆancia de 30m, at´e parar. Suponha que o carro tenha uma desacelera¸c˜ao constante de 5m/s2 sob as condi¸c˜oes de frenagem. Qual era a velocidade do carro quando o freio foi aplicado?
C´alculo I
UFPA
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Exerc´ıcio 7. Nas quest˜ oes de (01) a (21) calcule as integrais indefinidas: R R R (1) R 1.dx (2) R 3dx (3) R xdx (5) R (3x + 1)dx (6) R (x2 + x + 1)dx (4) R 2xdx √ 1 1 (7) x2 dx (8) (x + x3 )dx (9) 2 + 4 xdx R R R 5 3 +x dx (10) R (3x2 + x + x13 )dx (11) R (2x3 − x14 )dx (12) R x −6x x3 dx 6 7 √ (13) (x + 1) dx (14) (4 − 3x) dx (15) √ R R R 7x+5 (16) R sen(πx + 1)dx (17) R sec2θtg2θdθ (18) R x3 x4 + 1dx √ (19) x2 cos(2x3 )dx (20) cos3√x.senxdx (21) (cosx) xdx R R R √ 4 (22) sen2xcos3 2xdx (23) (1+√xx) dx (24) x x2 + 9dx R R R 2−x2 (26) sen2 xdx (27) sen3 xdx. (25) (x3 −6x+1) 5 dx Nas quest˜oes de (28) a (31) encontre uma fun¸c˜ao y = y(x) satisfazendo as condi¸c˜oes dadas: dy (28) dx = 2x + 1 e y(0) = 3 √
(29)
dy dx
=
(30)
dy dx
= 3x3 +
(31)
dy dx
=
x e y(4) = 0
1 x2 y
2 x2
e y(1) = 1
e y(1) = 2
(32) Joga-se uma bola diretamente para cima, a partir do solo, com velocidade inicial de 29.40 m/s. Qual altura a bola atinge, e quanto tempo permanece no ar? (considere a acelera¸c˜ao da gravidade g = 9, 8 m/s2 ). (4) Laura deixa cair uma bola em um po¸co; a pedra atinge o fundo 3s mais tarde. Qual ´e a profundidade do po¸co? (5) Miguel lan¸ca uma pedra diretamente para cima, com velocidade inicial de 14, 7 m/s, do topo de um edif´ıcio de 49 metros de altura. A bola logo cai de volta no solo, na base do edif´ıcio. Quanto tempo a bola permanece no ar, e qual sua velocidade ao atingir o solo? (6) Um motorista envolvido em um acidente alega que estava dirigindo com apenas 40 km/h. Quando a pol´ıcia testou seu carro, constatou que, quando o freio foi aplicado a 40km/h, o carro deslizou por apenas 13 m antes de parar. Por´em as marcas de frenagem acusaram 64 m. Admitindo a mesma desacelera¸c˜ao (constante), calcule a velocidade com que o motorista estava dirigindo antes do acidente. √ (7) A popula¸c˜ao P de uma cidade satisfaz a equa¸c˜ao diferencial dP dt = k P . Se P = 100.000 em 1970 e P = 121.000 em 1980, qual ser´a a popula¸c˜ao P no ano 2010?
Cap´ıtulo 7 Integral Definida 1
Defini¸c˜ ao
Considere o problema de medir a ar´ea A da figura delimitada pelo gr´afico de uma fun¸c˜ao positiva f , pelo eixo dos x e pelas retas x = a e x = b, com b > a.
Para resolver tal problema vamos adotar a seguinte estrat´egia: (1) Dividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos iguais de comprimento ∆x = b−a n .; Sejam x0 = a < x1 < x2 < ... < xb = b os pontos que dividem o intervalo. O conjunto P = {x0 , x1 , ..., xn } ´e chamado uma parti¸c˜ao de [a, b] e como os subintervalos s˜ao de mesmo comprimento, a parti¸c˜ao ´e dita regular. (2) Em cada um destes subintervalos escolhamos um ponto arbitr´ario: λ1 ∈ [x0 , x1 ], λ2 ∈ [x1 , x2 ], ..., λn ∈ [xn−1 , xn ]; (3) Formamos ent˜ao n retˆangulos com base ∆x e altura f (λi ), i = 1, 2, ..., n. (4) Calculamos a soma das ´areas destes retˆaP ngulos: Sn = f (λ1 ).∆x + f (λ2 ).∆x + ... + f (λn ).∆x = ni=1 f (λi ).∆x.
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C´alculo I
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Suponhamos que dobremos o valor de n, com isto teremos o dobro dos retˆangulos anteriores e a soma acima torna-se mais pr´oxima da ´area A da figura. Suponhamos ` que tenhamos calculado esta soma para n = 1, 2, 3, ..., obtendo S1 , S2 , ..., Sn , ..... A medida que n cresce acima de qualquer valor, Sn se aproxima de um valor limite, que ´e definido como a ´area da figura delimitada pelo gr´afico, isto ´e, area de A = lim Sn n→+∞
A ´area de uma figura, R b assim definida, ´e chamada integral definida de f no intervalo [a, b] e indicada por a f (x)dx. Assim, Z
b
f (x)dx = lim Sn = lim n→+∞
a
n→+∞
n X i=1
f (λi ).(
b−a ) n
Os n´ umeros a e b s˜aoPchamados os limites de integra¸c˜ao, sendo a o limite inferior e b, o superior. A soma ni f (λi ).∆x ´e chamada soma de Riemann e a integral, como definida acima, ´e chamada integral de Riemann. O limite acima, quando existe, independe da escolha dos λi . Mostra-se que dada uma parti¸c˜ao n˜ao regular de [a, b] e λi um valor qualquer no subintervalo [xi−1 , xi ], a soma obtida ´e a mesma. Se f (x) < 0 para todo x ∈ [a, b], ent˜ao cada f (λi ) < 0. Neste caso, define-se a ar´ea da regi˜ao limitada pelo gr´afico de y = f (x), o eixo x e as retas x = a, x = b, como sendo: Z b n X b−a lim −f (λi ).( )=− f (x)dx n→+∞ n a i=1
Como a defini¸c˜ao acima ´e dada a partir de um limite pode ser que este limite exista ou n˜ao. Quando o limite existe e ´e finito dizemos que a fun¸c˜ao ´e integr´ avel no intervalo [a, b]. O teorema a seguir nos garante a existˆencia do limite acima, e portanto da integral definida, quando a fun¸c˜ao ´e cont´ınua. Teorema 7. Toda fun¸c˜ ao cont´ınua em um intervalo fechado [a, b] ´e integravel neste intervalo. Observa¸ c˜ oes: (1) Na defini¸c˜ao (2)
Ra a
Rb a
f (x)dx consideramos b > a. Assim se a > b,
Rb a
f (x)dx = −
Ra b
f (x)dx;
f (x)dx = 0.
Teorema fundamental do c´ alculo Vejamos agora um resultado que relaciona a integral indefinida com a integral definida e portanto, o problema da reta tangente com o c´alculo de ´area. Teorema 8. Se f ´e uma fun¸c˜ ao integr´ avel no intervalo [a, b] e F ´e uma primitiva de f em [a, b], ent˜ ao Z b f (x)dx = F (b) − F (a) a
C´alculo I
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A diferen¸ca F (b) − F (a) ´e em geral abreviada por [F (x)]ba . Exemplos: (1) Calcule as integrais definidas: R1 (a) 0 (x + 3)dx. Solu¸c˜ ao: 2 Como F (x) = x2 + 3x ´e uma primitiva do integrando f (x) = x + 3, segue do teorema R1 fundamental do c´alculo, que 0 (x + 3)dx = F (1) − F (0) = 27 . Rπ (b) −2 π cos2xdx. 3 Solu¸c˜ ao: R π2 Como F (x) = sen2x ´ e uma primitiva do integrando f (x) = cos2x, segue que 2 − π cos2xdx = F ( π2 )
−
F ( −π 3 )
√
=
3
3 4 .
Propriedade da Uni˜ ao de Intervalos Seja f uma fun¸c˜ao integr´avel em [a, b]. Se c ´e um n´ umero real, tal que a < c < b, ent˜ao Z
b
Z f (x)dx =
a
c
Z f (x)dx +
a
b
f (x)dx c
Exemplos: R3 (1) Seja f (x) = |x| + 1. Calcule a integral definida −1 f (x)dx.
Solu¸c˜ ao:
x + 1, se x ≥ 0 . N˜ao ´e imediata uma primitiva desta fun¸c˜ao, −x + 1, se x ≤ 0 por´em a integral definida pode ser facilmente calculada usando-se a propriedade da uni˜ao de intervalos: f (x) = |x| + 1 =
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R3
C´alculo I
R0 R3 −1 f (x)f x = −1 f (x)dx + 0 f (x)dx 2 [ x2 + x]30 = 32 + 15 2 = 9.
2
=
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R0
R3 −1 (−x + 1)dx + 0 (x + 1)dx
2
= [− x2 + x]0−1 +
Aplica¸coes da Integral
C´ alculo de ´ areas de regi˜ oes planas Usando o teorema fundamental do c´alculo podemos facilmente calcular ´areas de figuras limitas por gr´aficos de fun¸coes, sem que seja necess´ario efetuar a soma de Riemann. Vejamos alguns exemplos. Exemplos: (1) Encontre a ´area da figura limitada pela curva y = −x2 + 5x − 6, o eixo x e as retas x = 2 e x = 3.
Solu¸c˜ ao: Seja A a ´area procurada e considere f (x) = −x2 + 5x − 6. Como f (x) ≥ 0 para todo h 3 i3 R3 x ∈ [2, 3], segue ent˜ao A = 2 (−x2 + 5x + 6) = − x3 + 52 x2 + 6x = 21 6 . 2
(2) Encontre a ´area da figura limitada pela curva y = senx, o eixo x e as retas x = 0 e x = 3π 2 .
C´alculo I
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Solu¸c˜ ao: ao senx ≥ 0 para todo x ∈ [0, π] e sen ≤ 0 para [π, 3π 2 ], ent˜ 3π Rπ R 3π π 2 A = 0 senxdx + (− π 2 senxdx) = [cosx]0 − [cosx]π = 3.
´ Area entre duas curvas Vejamos como calcular ´areas de regi˜oes mais gerais, delimitada por gr´aficos de duas ou mais fun¸c˜oes diferentes.
Defini¸ c˜ ao 7.1. Sejam f e g func˜ oes cont´ınuas com f (x) ≥ g(x) para todo x ∈ [a, b]. Ent˜ ao a ´ area A da regi˜ ao delimitada pelas curvas y = f (x) e y = g(x) e pelas retas verticais x = a e x = b ´e Z b A= [f (x) − g(x)]dx a
Exemplos: (1) Encontre a ´area da regi˜ao limitada pelas curvas y = x2 e y = −x2 + 4x.
Solu¸c˜ ao: y = x2 obtemos os pontos (0, 0) e (2, 4) que s˜ao y = −x2 + 4x os pontos de interse¸c˜ao das curvas. Como −x2 + 4x ≥ x2 , para todo x ∈ [0, 2], o 2 + 4x est´ gr´afico a acima do gr´afico de x2 . Assim a ´area procurada ´e dada por R 2 de −x A = 0 (−x2 + 4x − x2 )dx = 38 .
Resolvendo o sistema
(2) Encontre a ´area da regi˜ao limitada pelas curvas y = senx e y = cosx, sobre o intervalo [0, π2 ].
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Solu¸c˜ ao: √ y = senx obtemos o ponto ( π4 , 22 ), que ´e o u ´nico ponto y = cosx de interse¸c˜ao das curvas no intervalo considerado. Como cox ≥ senx, para todo x ∈ [0, π4 ] e senx ≥ cosx, para x ∈ [ π4 , π2 ], vamos dividir a regi˜ao em duas parte. √ Rπ Rπ Assim, A = 04 [cosx − senx]dx + π2 [senx − cosx] = 2 2 − 2.
Resolvendo o sistema
4
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C´alculo I
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Exerc´ıcio 8. Nas quest˜oes de (01) a (09) aplique o teorema fundamental do c´alculo para calcular o valorRdas integrais definidas: R3 R1 √ √ 1 (1) 0 (3x2 + 2 x + 3 3 x)dx (2) 1 x62 dx (3) 0 x3 (1 + x2 )dx R −1 R1 R2 (5) 0 (x4 − x5 )dx (6) 1 (x4 − x3 )dx (4) −2 x14 dx R4√ R0 R3 4 (9) 0 xdx (7) −1 (x + 1)3 dx (8) 1 x x+1 2 dx Nas quest˜oes de (10) a (13) calcule a ´area da regi˜ao delimitada pelo gr´afico da fun¸c˜ao y = f (x) e pelo eixo x, sobre o intervalo dado: (10) f (x) = x12 no intervalo [1, 3] (11) f (x) = 4 − x2 no intervalo [0, 2] (12) f (x) = x3 − x no intervalo [0, 1]. (13) f (x) = sen3 .cosx no intervalo [0, π2 ]. (14) Ache a ar´ea da regi˜ao R delimitada pelo gr´afico das fun¸coes y = x3 e y = x, sobre o intervalo [0, 1]. (15) Ache a ar´ea da regi˜ao R delimitada pelo gr´afico das fun¸coes y = x3 e y = x4 , sobre o intervalo [0, 1]. (16) Ache a ar´ea da regi˜ao R delimitada pelo gr´afico das fun¸coes y = eixo x, sobre o intervalo [0, 1].
1 (x+1)2
e pelo
Cap´ıtulo 8 Fun¸co ˜es exponenciais e logar´ıtmicas 1
Introdu¸c˜ ao
Considere os seguintes problemas: (1) Um pessoa tomou 32 mg de certa medica¸c˜ao. A bula do rem´edio informa que ap´os t horas de ingest˜ao, a quantidade da substˆancia presente no organismo varia a uma taxa (−2t + 4) mg/h. Determine: (a) A quantidade de substˆancia presente no organismo t horas ap´os sua ingest˜ao? (b) Ap´os quanto tem de sua ingest˜ao, n˜ao haver´a mais a presen¸ca da substancia no organismo. (2) Um pessoa tomou 32 mg de certa medica¸c˜ao. A bula do rem´edio informa que a meia-vida (tempo necess´ario para que uma grandeza atinja metade de seu valor inicial) da substˆancia presente no medicamento ´e de 3 horas. Determine: (a) A quantidade da substˆancia presente no organismo 8 horas ap´os sua ingest˜ao? E ap´os t horas? Seja y = F (t) a fun¸c˜ao que d´a quantidade da substˆancia presente no organismo t horas ap´os a sua ingest˜ao. Dos dados do problema temos que: F (0) = 32 = [ 12 ]0 .32 F (1.3) = [ 12 ]1 .32 F (2.3) = [ 12 ]2 .32 F (3.3) = [ 12 ]3 .32 ... F (n.3) = [ 12 ]n .32 t Fazendo t = 2n obtemos F (t) = 32.( 12 ) 3 . As fun¸c˜oes cuja regra ´e da forma f (x) = bakx s˜ ao chamadas do tipo exponencial. Estas fun¸c˜oes s˜ao usadas para modelar as chamadas leis de crescimento (quando k > 0) e decaimento ( quando k < 0), usadas em qu´ımica, f´ısica, biologia, economia, entre outras. Tal situa¸c˜ao se aplica quando a taxa de varia¸c˜ao de uma grandeza em rela¸c˜ao ao tempo for proporcional `a quantidade da grandeza presente em um dado instante. Em 65
C´alculo I
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linguagem matem´atica: se y = f (t) ´e a fun¸c˜ao que d´a a quantidade da grandeza no e proporcional a instante t, ent˜ao a taxa de varia¸c˜ao de y em rela¸c˜ao a t, dada por dy dt , ´ quantidade y presente no instante t, isto ´e: dy = k.y dt Para encontrar a fun¸c˜ao y = f (t) resolvemos a equa¸c˜ao diferencial Z Z Z dy 1 1 1 = k.y ⇒ dy = k.dt ⇒ dy = kdt ⇒ dy = kt + c dt y y y Resta determinar a primitiva da fun¸c˜ao y1 .
2
Potˆ encia
Defini¸ c˜ ao 8.1. Seja a um n´ umero real positivo. A potˆencia de base a e expoente natural, inteiro ou racional ´ e definido por: 0 a = 1 =a a1 an = an−1 .a n = 1, 2, 3, ... =√a1n = n = 1, 2, 3, ... a−n m an = n am
Propriedades da potˆ encia Sejam a e b n´ umero reais positivos, x e y quaisquer reais, ent˜ao s˜ao v´alidas as seguintes propriedades: (P1) ax .ay = ax+y (P2) (ax )y = axy x (P3) aay = ax−y . (P4) ax > 0, para todo x ∈ R (P4) (ab)x = ax .bx . (P4) Se a > 1 e x < y, ent˜ao ax < ay . (P4) Se 0 < a < 1 e x < y, ent˜ao ax > ay .
3
Fun¸c˜ ao exponencial
Defini¸ c˜ ao 8.2. Seja a um n´ umero real positivo e diferente de 1. A fun¸c˜ ao f : R → R∗+ , x definida por f (x) = a ´e chamada fun¸c˜ ao exponencial de base a. As propriedades da fun¸c˜ao exponencial s˜ao consequˆencias das propriedades de potˆencia.
Gr´ afico da fun¸ c˜ ao exponencial Seja f (x) = ax uma fun¸c˜ao exponencial. Vamos considerar dois casos: Caso 1: a > 1:
UFPA
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(i) Como f (0) = a0 = 1 e f (1) = a, ent˜ao (0, 1) e (1, a) s˜ao pontos no gr´afico de f ; (ii) Como ax > 0, para todo x, o gr´afico n˜ao corta o eixo dos x; (iii) se x < y, ent˜ao ax < ay , logo ax ´e uma fun¸c˜ao crescente; (iv) x → ∞, ax → ∞; (v) x → −∞, ax → 0. Esbo¸ co do gr´ afico:
Caso 2: 0 < a < 1: (i) Como f (0) = a0 = 1 e f (1) = a, ent˜ao (0, 1) e (1, a) s˜ao pontos no gr´afico de f; (ii) Como ax > 0, para todo x, o gr´afico n˜ao corta o eixo dos x; (iii) se x < y, ent˜ao ax > ay , logo ax ´e uma fun¸c˜ao decrescente; (iv) x → ∞, ax → 0; (v) x → −∞, ax → +∞. Esbo¸ co do gr´ afico:
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4
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Logaritmo
Defini¸ c˜ ao 8.3. Sejam a e b n´ umeros reais positivos com a 6= 1. O n´ umero real x que satisfaz a igualdade: ax = b ´e chamado o logar´ıtmo de b na base a, denotado por loga b. Assim, ax = b ⇔ x = loga b x - ´e chamado o logar´ıtmo b - ´e chamado o logaritmando a - ´e chamado a base Obs: Segue da defini¸c˜ao que aloga b = b. Exemplos: (a) Escreva 32 = 9, usando a nota¸c˜ao de logaritmo. (b) Escreva 10−2 = 0, 01, usando a nota¸c˜ao de logaritmo. (3) Calcule: (a) log2 8 (b) log4 64 (b) log10 10 (c) loga a (d) log10 1 (e) loga 1 ario e quando Em loga x, quando a = 2 - o sistema de logaritmo ´e chamado de bin´ ´ costume escrever log x no lugar de log10 x. a = 10 - o sistema ´e chamado de decimal. E
Propriedades do Logaritmo Sejam x, y, a ∈ R∗+ , com a 6= 1. S˜ ao v´alidas as seguintes propriedades. r (P1) loga x = r loga x Demonstra¸c˜ ao: Suponha y = loga x ⇒ x = ay - pela defini¸c˜ao de logaritmo ⇒ xr = (ay )r - elevando ambos os lados a r ⇒ xr = ary - propriedade de potˆencia ⇒ ry = loga xr - defini¸c˜ao de logaritmo ⇒ r. loga x = loga xr - pois y = loga x (P2) loga (xy) = loga x + loga y Demonstra¸c˜ ao: Suponha
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z = loga x
e
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w = loga y
⇒ x = az e y = aw - pela defini¸c˜ao de logaritmo ⇒ x.y = az .aw ⇒ x.y = az+w - propriedade de potˆencia ⇒ z + w = loga (xy) - defini¸c˜ao de logaritmo ⇒ loga x + loga y = loga (xy) - pois z = loga x e w = loga y
loga xy
(P3) = loga x − loga y Demonstra¸c˜ ao: loga ( xy ) = loga (x. y1 ) = loga x + loga y −1 - pela propriedade (P2) = loga x − loga y - pela propriedade (P1) (P4) Mudan¸ ca de Base Sejam a, b n´ umeros reais positivos e diferentes de 1 e x um n´ umero real positivo. Ent˜ao, loga x =
logb x loga b
Demonstra¸c˜ ao: Suponha y = loga x ⇒ x = ay - pela defini¸c˜ao de logaritmo ⇒ logb x = logb ay - usando a identidade anterior ⇒ logb x = y. logb a - pela propriedade (P1) bx ⇒ y = log log a - isolando y b
⇒ loga x =
logb x loga b
- pois y = loga x
Exemplos: (1) Com o uso de uma calculadora, calcule: (a) log3 8 (b) log5 10
Logaritmo Natural Um dos sistemas de logaritmos mais frequentementes usandos ´e aquele que tem por base o n´ umero irracional e. Calcule o valor da express˜ao 1 +
1 x x ,
x 1 10 102 103 104 105
usando a tabela abaixo:
(x + x1 )x
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Observamos que `a medida que x cresce este valor aproxima-se do n´ umero 2, 718281..., que ´e um n´ umero irracional representado pela letra e. Assim escrevemos:
limx→∞ (1 +
1 x ) =e x
O Sistema de logaritmo cuja base ´e e ´e chamado do logartimo natural. Usa-se a nota¸c˜ao lnx no lugar de loge x. Exerc´ıcio 9. (1) Usando uma sequencia de valores {xi } que assumem valores muito pequenos, moste que limx→−∞ (1 + x1 )x = e. (2) Seja k um n´ umero real n˜ao nulo. Mostre limx→∞ (1 + xk )x = ek . Solu¸c˜ ao: Fazendo u = xk , temos x → ±∞, u → ±∞. Assim, limx→±∞ (1 + x1 )x = limu→±∞ (1 + 1 ku = [limu→±∞ (1 + u1 )u ]k = ek . u) 1
(3) Mostre que limu→0 (1 + u) u = e. h (4) Mostre que limh→0 [ e h−1 ] = 1. Solu¸c˜ ao: Fazendo u = eh − 1 ⇒ eh = u + 1 ⇒ h = ln(u + 1) e quando h → 0, u → 0. Assim, o limite acima fica: u 1 1 1 limu→0 ln(u+1) = limu→0 1 .(ln(u+1)) = = lne = 1. 1 ln(limu→0 (1+u) u )
u
5
Fun¸co ˜es Logar´ıtmicas
Defini¸ c˜ ao 8.4. Seja a um n´ umero real positivo e diferente de 1. A fun¸c˜ ao f : R∗+ → R, definida por f (x) = loga x ´e chamada fun¸c˜ ao logaritmo na base a. Defini¸ c˜ ao 8.5. Dizemos que uma f : A → B ´e invers´ıvel se existe uma fun¸c˜ ao g : B → A, tal que g(f (a)) = a, para todo a ∈ A e f (g(b)) = b, para todo b ∈ B. A fun¸c˜ao g da defini¸c˜ao acima ´e chamada a inversa de f e denotada por f −1 . Assim, f −1
f
A
- B
-A
y = f (x) ⇔ x = f −1 (y)
C´alculo I
UFPA
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Sejam f (x) = ax e g(x) = loga x. Ent˜ao f (g(x)) = f (loga x) = aloga x = x e g(f (x)) = loga ax = x.loga a = x Segue que a fun¸c˜ao exponencial e logaritmo s˜ao inversas uma da outra.
O gr´ afico da fun¸ c˜ ao logaritmo Seja f uma fun¸ca˜o invers´ıvel com inversa f −1 . Se (x, y) pertencente ao gr´afico de f , ent˜ao y = f (x) ⇔ x = f −1 (y) ⇔ (y, x) pertence ao gr´afico de f −1 . Como (x, y) e (y, x) s˜ao sim´etricos em rela¸c˜ao `a reta y = x (bissetriz dos quadrantes ´ımpares), segue que os gr´aficos de f e da sua inversa f −1 s˜ao sim´etricos em rela¸c˜ao `a reta y = x. Como a fun¸c˜ao logaritmo ´e inversa da fun¸c˜ao exponencial, seu gr´afico ´e uma reflex˜ao do gr´afico da fun¸c˜ao exponencial em rela¸c˜ao `a reta y = x. Esbo¸ cos do gr´ aficos:
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Derivada da fun¸ c˜ ao exponencial Se f (x) = ex , entao f (x)0 = ex
Demonstra¸c˜ ao: Usando a defini¸c˜ao de derivada segue que: x+h x h (x) f 0 (x) = limh→0 f (x+h)−f = limh→0 [ e h−e ] = limh→0 ex .limh→0 ( e h−1 ) = ex .1 = ex . h Mais geralmente, se y = eu e u = f (x), ent˜ao Exemplos: dy (1) Calcule dx , onde: 2x (a) y = e (b) y = e2x+3 . 2 (c) y = ex +2x .
dy dx
= eu . du dx .
C´alculo I
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UFPA
Derivada da fun¸ c˜ ao inversa
Suponha f invers´ıvel e deriv´avel em um ponto x, com f 0 (x) 6= 0. J´a vimos que: y = f (x) ⇓ dy = f 0 (x) dx
⇔ e
x = f −1 (y) ⇓ dx −1 (y)]0 = [f dy
Da defini¸c˜ao de inversa, segue que para todo x ∈ Df temos: f −1 (f (x)) = x Derivando esta u ´ltima identidade em rela¸c˜ao a x (usando a derivada da fun¸c˜ao composta) obtemos: [f −1 (f (x))]0 .f 0 (x) = 1 ⇒ [f −1 (y)]0 =
1 f 0 (x)
ou ainda, dx 1 = dy dy
dx
pois [f −1 (y)]0 =
dx dy
e f 0 (x) =
dy dx .
Com isto mostramos a seguinte proposi¸c˜ao: Proposi¸ c˜ ao 1. Seja f uma fun¸c˜ ao invers´ıvel com inversa f −1 . Se f ´e deriv´ avel em 0 um ponto x e f (x) 6= 0, ent˜ ao sua inversa ´e tamb´em deriv´ avel em y = f (x). Al´em disso, (f −1 )0 (y) =
1 f 0 (x)
.
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Derivada da fun¸ c˜ ao logaritmo Se f (x) = lnx, entao f (x)0 =
1 x
Demonstra¸c˜ ao: Como y = lnx ⇔ x = ex , usando a derivada da fun¸c˜ao inversa temos dy 1 1 1 1 0 0 dx = dx ⇒ (lnx) = ey = x . Portanto, (lnx) = x . dy
Mais geralmente, se y = lnu e u = f (x), entao Exemplos: dy (1) Calcule dx , onde: (a) y = ln(2x) (b) y = ln(2x + 3). (c) y = ln(x2 + 2x).
dy dx
= u1 . du dx .
C´alculo I
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Derivada de y = ln|x| Seja y = ln|x|. Temos dois casos a considerar: Caso 1: x > 0 ⇒ |x| = x. y = ln|x| = lnx ⇒ y 0 = x1 . Caso 2: x < 0 ⇒ |x| = −x 1 y = ln|x| = ln(−x) ⇒ y 0 = −x .(−1) = x1 . Portanto, (ln|x|)0 =
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1 x
Integral da exponencial e do logaritmo
(1)
R
ex dx = ex + c.
(2)
R
1 x dx
10
= ln|x| + c.
Derivada de ax e logax
(1) Derivada de ax : Da mudan¸ca de base no logaritmo temos a correspondente mudan¸ca de base na exponencial. Suponha y = ax ⇒ x = loga y - pela defini¸c˜ao de logaritmo lny ⇒ x = lna - fazendo uma mudan¸ca de base ⇒ lny = x.lna ⇒ y = ex.lna - pela defini¸c˜ao de logaritmo ⇒ ax = ex.lna - pois y = ax . Portanto, temos: ax = ex.lna Derivando ambos os lados desta igualdade e aplicando a regra da cadeia temos: [ax ]0 = [exlna ]0 = ex.lna .(xlna)0 = exlna .lna = ax .lna. Assim, (ax )0 = ax .lna (2) Derivada de loga x loga x = Assim,
lnx lna
0 ⇒ [loga x]0 = [ lnx lna ] =
1 1 lna . x .
(loga x)0 =
1 x.lna
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Exemplos: (1) Calcule as derivadas das fun¸c˜ oes: 2 (a) y = xex x −x . (b) y = eex −e +e−x (c) y = loga (3x + 2) 2 (d) y = 2lnx+4x . (e) = xx . 2 (f) xx +2
C´alculo I
UFPA
UFPA
C´alculo I
Exerc´ıcio 10. Nas quest˜oes de (01) a (12) calcule a derivada da fun¸c˜ao f (x) dada: 1 x (01) f (x) = 10x (02) f (x) = 2 x2 (03) f (x) = 43x (04) f (x) = lncosx (05) f (x) = log10√cosx (06) f (x) = 7cosx 2 (07) f (x) = log2 x (08) f (x) = logx x + 4 (09) f (x) = π x + xπ + π π Nas quest˜oes de (10) a (18) calcule as integrais: √ R R R x 2 (10) 3x dx (11) x.10−x dx (12) 2√x dx R 1 R 4 R (14) R (x x+2x) dx (15) R e2x dx (13) R 10x2x dx 2 (16) (x + 3ex )dx (17) ( x2 + x32 )dx (18) tgxdx
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Bibliografia [1] Edwards & Penney. C´ alculo com Geometria Anal´ıtica, Editora Prentice-Hall do Brasil, Rio de Janeiro, 1997. [2] Guidorizzi, Hamilton Luiz. Um curso de C´ alculo, Vol. I, Livros T´ecnicos e Cient´ıficos Editora, Rio de Janeiro, 1987. [3] Leithold, Louis. O C´ alculo com Geometria Anal´ıtica,Vol. I, Editora Harper & Row do Brasil, S˜ao Paulo Janeiro, 1977. [4] Whipkey, Kenneth L. C´ alculo e suas m´ ultiplas aplica¸c˜ oes, Editora Campos, Rio de Janeiro, 1982.
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