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Capítulo 1
Noções de Cálculo Diferencial 1.1 Introdução Este trabalho é uma pequena introdução ao Cálculo Diferencial e Integral (também conhecido resumidamente por Cálculo ), poderosa e indispensável ferramenta matemática para o estudo da Física, da Engenharia e de outras ciências. Serão apresentadas aqui apenas algumas noções básicas, úteis para a compreensão dos conceitos físicos que serão vistos em breve, cando o seu estudo completo a cargo das disciplinas de Cálculo (I, II e III) que serão vistas oportunamente. Adotamos aqui uma abordagem mais livre, funcional e heurística em detrimento ao formalismo e rigor matemáticos. O Cálculo trabalha com taxas de variação ou velocidades. Ele nasceu, há quase 300 anos, em conseqüência do estudo da gravitação e mostrou-se, posteriormente, indispensável na formulação das leis físicas e na predição de seus efeitos. Seu sucesso foi tão esmagador que passou a ser um paradigma cientí co, adotado como linguagem de variados ramos da ciência e da engenharia, provendo meios pelos quais as leis físicas podem ser matematicamente formuladas e até mesmo descobertas ou compreendidas. O poder do Cálculo Diferencial e Integral se baseia no poder do in nitamente pequeno. Por meio dele, problemas complexos podem ser quebrados em partes menores, cuja resolução e posterior reintegração resultarão na solução buscada para o problema original. Dito de maneira simples, o Cálculo Diferencial quebra um problema complexo em partes in nitamente pequenas, cuja resolução é quase sempre direta, e em seguida reconstrói o todo através do Cálculo Integral. Se o Cálculo Diferencial é um martelo que quebra um problema em partes in nitamente pequenas, o Cálculo Integral é a cola que une todas essas in nitas partes, reconstrói o todo e dá a solução do problema original. Essas partes elementares matéria prima do Cálculo são chamadas de in nitésimos, daí o termo Cálculo In nitesimal, que também o designa. Abordaremos neste capítulo apenas o Cálculo Diferencial, cando o próximo capítulo responsável pelo Cálculo Integral. Serão vistas algumas aplicações bem interessantes, algumas relacionadas à Física, presentes na seção 1.6 deste trabalho.
1.2 Um pouco de história As idéias básicas do Cálculo remontam à Grécia antiga. No quarto século antes de Cristo, Eudóxio inventou o método da exaustão a m de obter provas para certos teoremas geométricos evitando argumentos complexos acerca do in nito. Mais ou menos um século depois, Arquimedes usou o mesmo método para obter a área de um círculo. O seu método consistia
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em inscrever e circunscrever polígonos idênticos, com n lados, ao círculo. Evidentemente, a sua área deveria ser maior que a do polígono inscrito e menor que a do circunscrito. Quando o número de lados aumenta muito, isto é, quando n → ∞, todas as áreas devem convergir para o mesmo valor, fornecendo a área do círculo. Porém, assim como Eudóxio, Arquimedes também se esquivava o máximo que podia do elusivo in nito. Tal método persistiu por quase 2000 anos até que Kepler, ao estudar as leis que regem o movimento dos planetas, percebeu que as áreas das elipses (as suas trajetórias) podiam ser calculadas como a soma de um grande número de triângulos muito estreitos, com um dos vértices colocado no Sol (foco da elipse). Trabalhos simultâneos de Fermat, dentre outros, sobre as seqüências in nitas culminariam na criação do Cálculo por Isaac Newton, em meados do século XVII. Na tentativa de compreender as causas dos movimentos dos planetas e a sua submissão ao Sol, Newton percebeu que a matemática disponível na época não era su ciente para atacar problemas dessa natureza, que interrelacionavam distâncias, direções e velocidades em um uxo temporal contínuo. Viu-se, portanto, obrigado a inventar um novo tipo de cálculo que operasse tais variações, daí surgindo o conceito de derivada por ele chamada de uxion , baseando-se na noção dos in nitesimais. Por meio deste método original, foi possível determinar comprimentos de curvas e suas tangentes além de resolver outros problemas que a geometria clássica sozinha não lograria êxito. Newton também inventou métodos para a avaliação da integral inde nida, embora não tenha explicitamente de nido a integral naquela época. Coube a Leibniz o conhecimento e a formulação da integral de nida como uma soma de in nitésimos, tal como conhecemos hoje, dentre outras contribuições importantes.
1.3 A Derivada Para tornar o nosso estudo mais simples, vamos imaginar uma máquina matemática que tem o poder de transformar uma função real qualquer f (x), colocada à sua entrada, em outra, representada por f 0 (x), que surgirá na sua saída ( gura 1).
Figura 1.1: A máquina, ou operador, derivada Essa máquina pode ser vista como uma caixa-preta que obedece a um conjunto especí co de regras e executa operações cuja nalidade é transformar uma função dada em outra, dela derivada. Por essa razão, essa nossa máquina matemática será chamada de operador derivada, ou simplesmente derivada. A regra que de ne o seu funcionamento é dada pela seguinte expressão:
f (x + ∆x) − f (x) ∆x→0 ∆x
f 0 (x) = lim
(1.1)
Para entender melhor como funciona a regra acima, acompanhe os exemplos seguintes.
Ex.: Calcular a derivada da função f (x) = x0 = 1.
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Sol.: A função dada é uma função constante, isto é, seu valor será sempre igual a 1, qualquer que seja o valor de x. Como f (x) = f (x + ∆x) = 1, vem f (x + ∆x) − f (x) = 0. Logo, f 0 (x) = 0. Ex.: Calcular a derivada da função f (x) = x. Sol.: Temos agora a função identidade. Se f (x) = x ⇒ f (x + ∆x) = x + ∆x. Logo, f (x + ∆x) − f (x) = x + (∆x) − x = ∆x. Assim,
f (x + ∆x) − f (x) ∆x = lim = 1, que é o mesmo que 1 · x0 ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x
f 0 (x) = lim
Ex.: Calcular a derivada da função f (x) = x2 . Sol.: f (x) = x2 ⇒ f (x + ∆x) = (x + ∆x)2 = x2 + 2x∆x + (∆x)2 ⇒ f (x + ∆x) − f (x) =
2x∆x + (∆x)2 . Assim,
2x∆x + (∆x)2 f (x + ∆x) − f (x) = lim = lim (2x + ∆x) = 2x = 2x1 ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x
f 0 (x) = lim
Ex.: Qual a derivada de f (x) = x3 ? Sol.: f (x + ∆x) = (x + ∆x)3 = x3 + 3x2 ∆x + 3x(∆x)2 + (∆x)3 . Conseqüentemente, 3x2 ∆x + 3x(∆x)2 + (∆x)3 = lim (3x2 + 3x∆x + (∆x)2 ) = 3x2 ∆x→0 ∆x→0 ∆x
f 0 (x) = lim
Os resultados obtidos acima estão resumidos na tabela 1.1.
função x0 x1 x2 x3
derivada 0 1 · x0 2 · x1 3 · x2
Tabela 1.1: Derivadas de xn para n = 0, 1, 2, 3 Uma observação cuidadosa da tabela acima leva-nos a deduzir uma regra interessante: se f (x) = xn , com n ∈ <, então f 0 (x) = nxn−1 .
√
Ex.: Quais as derivadas de (a) f (x) = x e (b) g(x) = 1/x5 ? Sol.: (a) √ 1/2 x.
√ 1 1 x = x 2 . Aplicando a fórmula acima, obtemos: f 0 (x) = 21 x 2 −1 = (b) Da mesma forma, g(x) = 1/x5 = x−5 ⇒ g 0 (x) = −5x−6 = −5/x6 .
1 − 12 2x
=
Utilizando a de nição da derivada (eq. 1.1), a tabela 1.2 pode ser construída para uso imediato (as deduções serão vistas ao longo do curso de Cálculo I). Nela podem ser vistas duas importantes funções: ln x e ex . O ln x é o logaritmo natural (ou neperiano ) de x,
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equivalente ao loge x, sendo e = 2, 71828182845904 . . . um número irracional conhecido como número de Euler. Ele está relacionado ao crescimento dos tumores e das populações, à desintegração radioativa, às leis que regem o acaso, à forma assumida por os e cabos nos postes e às ondas e oscilações em geral, só para citar alguns poucos exemplos.
f (x) k (const.) xn sin x cos x tan x ex ln x
f 0 (x) 0 nxn−1 cos x − sin x sec2 x ex 1/x
Tabela 1.2: Derivadas de algumas funções
1.3.1 Algumas propriedades Sejam duas funções bem comportadas 1 , f (x) e g(x) (representadas mais simplesmente por f e g ). Não é difícil mostrar, partindo-se da de nição (1.1), as seguintes propriedades:
I. Soma e subtração de funções: (f ± g)0 = f 0 ± g 0
(1.2)
Ex.: Se f (x) = x2 + x5 − x ⇒ f 0 (x) = 2x + 5x4 − 1. II. Produto de funções:
(f · g)0 = f 0 g + f g 0
(1.3)
Ex.: Se f (x) = x sin x ⇒ f 0 (x) = sin x + x cos x. III. Produto de uma função por um escalar: Este é um caso particular da propriedade
acima tomando-se, por exemplo, g(x) = k ⇒ g 0 (x) = 0, sendo k um escalar (número) qualquer. (k · f )0 = k · f 0 (1.4)
Ex.: Sendo f (x) = 2x11 e g(x) = 4 tan x, então f 0 (x) = 22x10 e g 0 (x) = 4 sec2 x. IV. Divisão de funções: Se g(x) 6= 0, µ ¶0 f 0g − f g0 f = g g2 1
contínuas e deriváveis
(1.5)
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Ex.: Se f (x) = tan x =
sin x cos x
⇒ f 0 (x) =
cos x·cos x−sin x·(− sin x) cos2 x
=
1 cos2 x
5
= sec2 x.
V. Função composta: Vamos imaginar que a aceleração de um corpo, a, dependa da sua velocidade, v , que depende, por sua vez, da posição em que ele se encontra, x, função do tempo t. Matematicamente, a = f (v(x(t))). Como uma grandeza depende da outra, qualquer variação em uma delas (por exemplo, t) terminará afetando as demais (como a). Funções que têm essa característica são chamadas de funções compostas, isto é, funções que dependem de outras funções. Como exemplo, se a(v) = v 2 , v(x) = sin x e x(t) = 3t + 1, então a(t) = sin2 (3t+1). Surge agora a pergunta: qual a derivada de uma função composta como essa? Antes de responder, vamos representar a derivada segundo a notação de Leibniz (que também foi um dos pais do Cálculo, lembra-se?). Segundo essa notação, a derivada da função f (x) (ou simplesmente f ) em relação à x será escrita como: f 0 (x) =
df dx
(1.6)
A igualdade acima mostra a equivalência entre as notações de Newton (f 0 (x)) e a de Leibniz (df /dx) para a derivada. Usando esta última e considerando o exemplo anterior, podemos escrever: da da dv dx = · · (1.7) dt dv dx dt pois a depende inicialmente de v (daí o termo da/dv ), este de x (dv/dx), que por sua vez depende de t (dx/dt). Observe também que, em última instância, a depende de t, o que pode ser visto cortando-se os termos semelhantes nos numeradores e denominadores. A eq.1.7, que será de suma importância no nosso estudo, é conhecida como a regra da cadeia.
Ex.: Qual a derivada de f (x) = sin2 (3t + 1)? Sol.: As substituições u = 3t + 1 e v = sin u fornecerão f = v 2 . Assim, du/dt = 3, dv/du = cos u e df /dv = 2v . Pela regra da cadeia,
df df dv du = = 2v · cos u · 3 = 6 cos(3t + 1) sin(3t + 1) dx dv du dx
Ex.: Calcular a derivada de f (x) = esin(ln x) . Sol.: Temos: u = ln x ⇒ du/dx = 1/x; v = sin u ⇒ dv/du = cos u e f = ev ⇒ df /dv = ev . Portanto,
df dv du 1 esin(ln x) cos(ln x) df = = ev · cos u · = dx dv du dx x x
1.3.2 O Signi cado Geométrico da Derivada Até o momento trabalhamos operacionalmente com a derivada, isto é, partimos de uma operação pré-de nida (eq. 1.1) e obtivemos algumas propriedades e resultados. Todavia, de onde surgiu aquela expressão? O que ela signi ca? Quais as suas conseqüências? O que mais pode ser dela extraído? Veremos, a seguir, as respostas para tais perguntas.
Noções de Cálculo Diferencial e Integral y
t B
6
s
f (x+Dx)
Df
A
f (x)
Dx
a O
x
x+Dx
x
Figura 1.2: Retas tangente e secante à curva y = f (x) Dada uma curva qualquer, f (x), tomamos dois pontos, A e B , e traçamos a reta secante s ( gura 1.2. Como já é sabido, o coe ciente angular (também chamado de inclinação) desta reta é dado pela expressão:
as =
∆f f (x + ∆x) − f (x) = ∆x ∆x
Façamos agora o ponto B se aproximar cada vez mais do ponto A, deslocando-o sobre a curva dada. Evidentemente, quanto mais próximo B estiver de A, menor será o valor de ∆x. Dito de outro modo, ∆x → 0 quando B → A. Quando os pontos estiverem in nitamente próximos, as retas secante e tangente (t) estarão tão próximas que terminarão confundindo-se. Nesta situação, a inclinação da reta tangente será:
f (x + ∆x) − f (x) ∆x→0 ∆x
at = lim as = lim B→A
que é precisamente a de nição matemática da derivada! Concluímos então que a derivada de uma função em um dado ponto representa, geometricamente, a inclinação da reta tangente à função naquele ponto. Do grá co mostrado, é possível observar ainda que f 0 (x) = tan α.
Ex.: Qual a equação da reta tangente à curva y = x2 − 1 no ponto x = 1? Sol.: Como y = x2 − 1 ⇒ y 0 = 2x. O valor da derivada no ponto x = 1 é y 0 (1) = 2 · 1 = 2.
Como a equação de uma reta tem a forma y = ax + b, sendo a e b seus coe cientes angular (inclinação) e linear, respectivamente, e como o ponto (1, 0) também pertence à reta tangente, fazemos: 0 = 2 · 1 + b ⇒ b = −2. Logo, a equação procurada é y = 2x − 2.
Ex.: Que ângulo a tangente à curva y = ln x fará com o eixo das abscissas no ponto x = 4? Sol.: Vimos que f 0 (x) = tan α. Como f 0 (x) = 1/x, teremos, para x = 4: tan α = 1/4, ou seja, α ≈ 14◦ .
1.4 Diferencial de uma função De acordo com a seção anterior, a derivada de uma função f (x) pode ser reescrita como:
lim∆f →0 ∆f ∆f = ∆x→0 ∆x lim∆x→0 ∆x
f 0 (x) = lim
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onde ∆f = f (x + ∆x) − f (x). Tal expressão representa o valor limite assumido pela razão ∆f /∆x para ∆x cada vez menor. Evidentemente, quando ∆x → 0 também ∆f → 0, daí a utilização dos limites no numerador e denominador da fração acima. Se chamarmos lim∆f →0 ∆f de df e lim∆x→0 ∆x de dx, a fórmula acima assume uma forma mais simples: df f 0 (x) = dx que é, justamente, a representação de Leibniz para a derivada (eq. 1.6). Considere, portanto, a partir de agora que df representa uma variação in nitesimal da grandeza f , isto é, df é o mesmo que ∆f → 0. O valor de df pode ser obtido a partir da eq. 1.6:
df = f 0 (x)dx
(1.8)
O termo in nitesimal df , de nido pela equação 1.8, é chamado de diferencial da função f (x). Como se vê, ele pode ser obtido multiplicando-se a derivada f 0 (x) pelo incremento in nitesimal da variável independente, dx. É através deste cálculo que uma função, ou grandeza, pode ser quebrada em partes in nitesimais, como havíamos a rmado na introdução deste trabalho. Daí o poder do Cálculo Diferencial em quebrar o todo em pequeninas partes. De forma aproximada podemos escrever:
∆f ≈ f 0 (x)∆x Obviamente, quanto menores os valores de ∆f e ∆x, mais a expressão acima se aproximará da igualdade 1.8.
√
Ex.: (a) Qual a diferencial da função f (x) = x? (b) Para uma variação ∆x = 0, 2 em √
torno de x = 4, qual a variação correspondente ∆f ? (c) Qual o valor de 4, 2? √ 1 1 Sol.: (a) Temos que f (x) = x = x 2 ⇒ f 0 (x) = 12 x− 2 . Como df = f 0 (x)dx, vem: √ √ 1 (b) Sendo ∆f ≈ f 0 (x)∆x, teremos: ∆f ≈ ∆x/2 x. Para df = 21 x 2 dx = dx/2 x. √ x = 4 ⇒ ∆f ≈ 0, 2/2 4 = 0, 05. Isto signi ca que um aumento em ∆x de 0,2 unidades em torno de x = 4 produzirá um aumento na função em torno de y = 2. √ de 0,05 unidades √ √ (c) Se f (x) = x, então ∆f = f (x+∆x)−f√(x) = x + ∆x− x. Para ∆f = 0, 05, x = 4 √ √ e ∆x = 0, 2, encontramos: 0, 05 = 4, 2 − 4 ⇒ 4, 2 = 2 + 0, 05 = 2, 05. Uma consulta à calculadora fornecerá o resultado 2,05. Isto não é coincidência! Quanto menor o valor de ∆x, mais a aproximação dada convergirá para a igualdade 1.8. Um procedimento análogo pode ser desenvolvido para se obter valores de logaritmos, de funções trigonométricas e de outras funções transcendentais.
1.5 Máximos e mínimos de funções Se a derivada representa geometricamente a inclinação da reta tangente a uma curva em um dado ponto, uma conseqüência imediata surgirá: nos pontos de máximos e mínimos locais a derivada se anula. De fato, de acordo com a gura 1.3, no ponto x0 a reta tangente à curva torna-se paralela ao eixo das abscissas, fornecendo α = 0 ⇒ f 0 (x0 ) = tan α = 0. Essa característica pode ser utilizada no rastreamento de máximos e mínimos locais de funções.
Noções de Cálculo Diferencial e Integral y
8
y
máximo
mínimo
O
x0
x
O
x
x0
Figura 1.3: Máximo e mínimo em um ponto x0 Entretanto, como poderemos diferençar um máximo de um mínimo já que ambos possuem derivada igual a zero2 no ponto em questão? Um estudo mais detalhado (que será feito na disciplina Cálculo I) mostra que a informação adicional é suprida pela derivada segunda 3 da função, representada por f 00 (x). Objetivamente, se x0 é a abscissa de um ponto pertencente à curva f (x):
• existirá um máximo local em x = x0 se f 0 (x0 ) = 0 e f 00 (x0 ) < 0; • existirá um mínimo local em x = x0 se f 0 (x0 ) = 0 e f 00 (x0 ) > 0; • existirá um ponto de in exão4 em x = x0 se f 0 (x0 ) = 0 e f 00 (x0 ) = 0.
Ex.: A função y = ax2 + bx + c apresenta algum ponto extremo? Sol.: y 0 = 2ax + b = 0 ⇒ x = −b/2a. A derivada segunda é y 00 = 2a. A ocorrência
de máximo ou mínimo dependerá do sinal de a: se a < 0, existirá um máximo em x = −b/2a, enquanto que a > 0 indicará um mínimo. O valor da função nesse ponto será y = a(−b/2a)2 + b(−b/2a) + c = −(b2 − 4ac)/4a = −∆/4a.
√
Ex.: Idem para as funções: (a) y = x3 − 12x + 1 e (b) y = x. Sol.: (a) y 0 = 3x2 − 12 e y 00 = 6x. Da primeira condição, 3x2 − 12 = 0 ⇒ x = ±2. Para
x1 = 2, y 0 (x1 ) = 12 > 0, correspondendo a um mínimo ; para x2 = −2, y 00 (x2 ) = −12 < 0, √ √ indicando um máximo nesse ponto. (b) y = x ⇒ y 0 = 1/2 x. É impossível encontrar um valor de x nito que torne y 0 = 0. Como a primeira condição não pode ser satisfeita, deduz-se que a função não apresenta mínimos ou máximos. Ambos os casos são mostrados na gura 1.4.
1.6 Algumas aplicações 1.6.1 Determinação de comprimento de curvas Vamos supor que desejássemos calcular o comprimento de uma curva qualquer, representada matematicamente por uma função f (x). Analiticamente, a depender da complexidade da curva, a solução poderia ser muito complexa e demorada (na verdade, não sabemos nem 2 Um ponto que anula a derivada primeira é chamado 3 Obtida derivando-se a função duas vezes seguidas. 4 0
de ponto crítico.
Ponto onde a derivada f (x) muda de sinal, não se relacionando a máximos ou mínimos.
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y
y
2
x
-2
x
√
Figura 1.4: Grá cos das funções y = x3 − 12x + 1 (esquerda) e y = x (direita). por onde começar. . . ). O caminho mais razoável seria dividirmos a curva em pedaços, mensurarmos a extensão de cada um deles e somarmos os valores encontrados. Evidentemente, quanto maior o número de divisões mais retilínea se tornará cada parte da curva. A gura 1.5 ilustra a visão ampliada de um segmento de comprimento in nitesimal ds.
y = f (x)
ds
df
dx Figura 1.5: Uma seção in nitesimal de uma curva se transforma em um segmento de reta. Chamando df de dy , teremos, pelo teorema depPitágoras: ds2 = dx2 + dy 2 , ou seja, p ds = dx2 + dy 2 . Isto se transforma em ds = dx 1 + (dy/dx)2 , caso dx2 seja colocado em evidência no interior da raiz. Assim sendo, o comprimento elementar da curva será:
s ds = dx 1 +
µ
dy dx
¶2
É claro que a soma de todos os segmentos, ds1 +ds2 +ds3 +· · · , fornecerá o comprimento s da curva original. A complexidade inicial do problema foi substituída pela simplicidade de cada uma das partes (reta). Só não sabemos ainda como somar tal quantidade in nitamente grande de termos tão pequenos. Como veremos depois, essa é a missão do Cálculo Integral.
1.6.2 Cálculo de áreas O mesmo raciocínio pode ser empregado para áreas e volumes: dividimos a gura dada em um número in nitamente grande de partes menores e depois somamos todas elas para obter o todo. Como exemplo, considere o cálculo da área delimitada pela curva y = f (x) e as retas x = a, x = b e y = 0, mostrada na gura 1.6. Na tentativa de solucionar o problema, dividimos a região dada em n pequenos retângulos paralelos e verticais, de base ∆x e altura f (x). Para o retângulo destacado, ∆A = f (x)∆x. Como a área da gura é aproximadamente igual à soma das áreas dos n retângulos mostrados, quando n aumenta, menor se torna o erro e melhor a aproximação. Se n → ∞, então ∆x → 0 e a área retangular ∆A passa a ser: dA = f (x)dx. Novamente, caberá ao Cálculo Integral, assunto do próximo capítulo, somar todas as áreas in nitesimais e fornecer a área procurada.
Noções de Cálculo Diferencial e Integral y
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Dx
f (x)
O
a
x
x
b
Figura 1.6: A área de uma gura como a soma de várias áreas retangulares.
1.6.3 Um pouco de Cinemática Considere um corpo que se desloca em uma trajetória retilínea percorrendo uma distância ∆s no tempo ∆t ( gura 1.7). Suponha que no instante t ele ocupe a posição s(t) e que no instante posterior t + ∆t a posição seja s(t + ∆t). A sua velocidade média, v¯, será:
v¯ =
s(t + ∆t) − s(t) ∆s = ∆t ∆t
Ds t+Dt
t
s(t)
s (t+Dt)
Figura 1.7: O movimento do carro não é necessariamente constante no intervalo mostrado. Sendo uma média, v¯ não corresponde necessariamente à velocidade verdadeira da partícula em todos os instantes5 . A velocidade média apenas fornece uma indicação da velocidade constante que o corpo deveria possuir para cobrir uma dada distância em um dado tempo, não fornecendo nenhuma informação adicional sobre o movimento verdadeiro. No caso da gura 1.7, o carro poderia parar, acelerar ou retroagir em determinados instantes, o que não é revelado na ilustração. Se o interesse é saber qual a velocidade instantânea do corpo em um ponto ou instante qualquer do seu movimento, outro critério deve ser adotado. Observe que, não importando a complexidade do movimento, o corpo percorre a distância ∆s no tempo ∆t. O que aconteceria se ∆t → 0? Obviamente, a distância percorrida em um intervalo de tempo tão pequeno haveria de ser também ín ma, in nitesimal, ou seja, ∆s → 0. Em outras palavras, o segmento percorrido pelo corpo se transformaria em algo tão extraordinariamente pequeno que poderia ser tomado como um ponto, justamente o que desejamos! Em tais condições, a velocidade média se transformaria na própria velocidade instantânea (representada por v ):
s(t + ∆t) − s(t) ds = ∆t→0 ∆t dt
v = lim v¯ = lim ∆t→0
(1.9)
Traduzindo: a velocidade instantânea é a derivada temporal da função posição, s(t). 5
Só no caso do M.R.U.
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Raciocínio análogo fornecerá a expressão para a aceleração instantânea :
a = lim
∆t→0
v(t + ∆t) − v(t) dv = ∆t dt
(1.10)
Observe que a aceleração é a derivada segunda6 da posição, isto é, a = d2 s/dt2 . De modo geral, a Física tem interesse, no máximo, em derivadas segundas. A razão é simples: de acordo com a segunda lei de Newton, F = ma. Lembrando que a força é o elemento primordial da física clássica e das engenharias e que a aceleração é uma derivada de ordem dois, a explicação torna-se óbvia.
Ex.: A posição de um corpo é dada pela expressão s(t) = 2t3 − 3t2 + 8 (s em metros e
t em segundo). (a) Qual a velocidade e a aceleração do corpo nos instantes 0, 2 s e 4 s? (b) Em que instante a sua velocidade será máxima (ou mínima)? Qual será o seu valor? (c) Quando a aceleração se anulará?
Sol.: (a) Como v = ds/dt e a = dv/dt, obtemos: v(t) = 6t2 − 6t e a(t) = 12t − 6. Assim, v(0) = 0, v(2) = 12 m/s e v(4) = 72 m/s; a(0) = −6 m/s2 , a(2) = 18 m/s2 e a(4) = 42 m/s2 . (b) Os pontos críticos da função v(t) são obtidos fazendo-se v 0 (t) = 12t−6 = 0 ⇒ t = 0, 5 s. Como v 00 (t) = 12 > 0, a velocidade assumirá um valor mínimo no instante t = 0, 5 s e esse valor será igual a −1, 5 m/s. (c) a = 0 ⇒ t = 0, 5 s.
Ex.: Sendo v(t) = 5 + 4t, obter a(t) e s(t), sabendo-se que s(0) = 10 m. Sol.: A aceleração pode ser obtida derivando-se a velocidade: a(t) = dv/dt = 4 m/s2 .
Para encontramos s(t), deveremos buscar uma função cuja derivada seja ds/dt = 4t + 5. Obviamente, tal função será do tipo s(t) = αt2 + βt + γ , sendo α, β e γ constantes que devem ser determinadas. De fato, para tal função:
ds = 2αt + β , que deve ser identicamente igual a 4t + 5. dt Da comparação acima, obtemos: 2α = 4 ⇒ α = 2 e β = 5, o que nos leva ao resultado: s(t) = 2t2 +5t+γ . O problema também nos fornece a condição inicial : s(0) = 10 ⇒ γ = 10. Conseqüentemente, s(t) = 2t2 + 5t + 10. Como veri cação, observe que ds/dt = 4t + 5, que é a própria expressão de v(t) dada. Quando o Cálculo Integral for estudado, veremos que problemas dessa natureza serão resolvidos de uma forma muito mais natural, fácil e rápida.
1.6.4 Equações diferenciais Uma equação diferencial é uma equação que envolve derivadas de funções. Um exemplo foi dado no último problema, quando tínhamos ds/dt = 4t + 5 e obtivemos a solução s(t) = 2t2 + 5t + 10. É através de equações diferenciais que modelos matemáticos de sistemas e processos são construídos e estudados. Quando Newton enunciou que a força de interação gravitacional entre duas partículas tinha a forma F = Gm1 m2 /r2 , necessitou do poder do Cálculo (por ele criado) para dela extrair os movimentos planetários, a periodicidade dos cometas e dos 6
De acordo comn a notação de Leibniz, a derivada de ordem n da função f em relação a variável x é representada por ddxnf , com n = 1, 2, . . .
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eclipses, a queda dos corpos, o ritmo das marés e, em conseqüência, destruir a milenar estrutura lógica que obscureceu a mente humana por milhares de anos. Tudo isso uiu da resolução da equação diferencial correspondente e da consideração de algumas condições importantes. De modo geral, se soubermos a expressão analítica da força que governa um fenômeno, saberemos tudo a seu respeito: basta que saibamos resolver a equação diferencial correspondente. Não é o nosso objetivo aqui mostrar como equações diferenciais podem ser resolvidas e detalhar as suas características, assuntos do Cálculo III. Desejamos apenas chamar a atenção para este importantíssimo tema, alicerce matemático da Física e das engenharias, que envolve o conceito de derivadas. O assunto é tão amplo e profundo que terminou dando origem a áreas especí cas da ciência, como a teoria do caos e o estudo dos sistemas dinâmicos complexos. É interessante lembrar que a descoberta das ondas eletromagnéticas da qual a luz e toda a Óptica são meras conseqüências foi feita teoricamente, através de um conjunto de equações diferenciais conhecidas como equações de Maxwell, e só depois tiveram a sua existência comprovada experimentalmente. O mesmo ocorreu com descoberta do planeta Netuno e com a anti-matéria, só para citar alguns exemplos. Resolver uma equação diferencial é encontrar uma função que a veri ca e se ajusta às condições impostas pelo problema. Em outros termos: é encontrar uma função que, derivada e substituída na equação, a transforma em uma identidade. Quando resolvemos uma equação diferencial, temos acesso ao presente, passado e futuro do sistema estudado. Informações sobre posições, velocidades, acelerações, trajetórias, energias e detalhes do sistema são obtidas, desde que ele permaneça inalterado. A questão é: como resolver tais equações? Algumas equações diferenciais são tão simples que podem ser resolvidas até de cabeça; outras são tão complexas que só podem ser resolvidas numericamente, isto é, de forma aproximada ou visual utilizando-se um computador, sem solução analítica. Algumas equações são bem comportadas e con áveis; outras são extremamente instáveis, imprevisíveis e esquivas, como aquelas que governam a previsão do tempo e o comportamento da bolsa. A riqueza provida pelas equações diferenciais é sedutora e in nda! Apresentaremos aqui apenas dois exemplos simples, já que ainda não dispomos do poderoso auxílio do Cálculo Integral nem de um embasamento teórico mais profundo sobre o assunto. Tampouco é nosso interesse fugir das noções que delineiam, desde o início, o presente trabalho.
Ex.: O decaimento radioativo é governado pela equação dN (t)/dt = −λN (t), sendo N (t)
o número de átomos da substância radioativa no instante t e λ a constante de decaimento da substância utilizada. (a) Supondo que no instante t = 0 existam N0 átomos da substância na amostra, calcular o seu número após um tempo t. (b) A meia-vida do radioisótopo é o tempo requerido para que metade dos seus átomos desapareçam, ou melhor, se transformem em um novo elemento. Obter uma expressão para a meia-vida de um radioisótopo qualquer. (c) Se a meia-vida do 238 U é 4, 5 × 109 anos, quanto tempo decorrerá para que apenas 1% dele esteja presente em uma amostra? Admitir que o sistema é fechado, isto é, não existem perdas.
Sol.: (a) Observe atentamente a equação que governa o fenômeno: dN = −λN dt
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Vemos que, a menos da constante −λ, a derivada da função é a própria função. Isso é característico da função et , de acordo com a tabela 1.2 (observe que a nossa variável independente agora é t e não x). Assim, a função N (t) deve ter uma relação com et . Podemos generalizar, dizendo que N (t) = A ekt sendo A e k constantes a se determinar. Como dN/dt = Ak ekt , vem:
Ak ekt = −λ(A ekt ) ⇒ k = −λ ou seja, N (t) = A e−λt . Como N (t = 0) = N0 ⇒ A = N0 , o que nos leva à solução do problema: N (t) = N0 e−λt (b) Seja T1/2 a meia-vida do radioisótopo. Por de nição, N (T1/2 ) = N0 /2. Assim,
N0 1 = N0 e−λT1/2 ⇒ e−λT1/2 = 2 2 A aplicação do logaritmo neperiano aos dois membros da última equação (lembrando que ln e = 1 e ln 1 = 0) fornecerá: −λT1/2 = − ln 2, ou seja:
T1/2 =
ln 2 0, 693 ≈ λ λ
(c) Se T1/2 = 4, 5 × 109 anos, então λ = ln 2/(4, 5 × 109 ) ≈ 1, 54 × 10−10 anos−1 . Como N (t) = 1% N0 = 0, 01N0 , vem:
0, 01 = e−λt ⇒ −λt = ln 0, 01 ou seja, t = −
ln 0, 01 ≈ 2, 99 × 1010 anos λ
que é um tempo maior do que a idade do universo!
√
Ex.: Resolver a seguinte equação diferencial: y0 (x) = 4 x, com y(1) = −1/3. √
Sol.: Como x = x1/2 , vamos buscar uma solução geral do tipo y(x) = Axn + B (observe
que introduzimos a constante B na solução proposta pois a sua derivada é nula e não irá alterar a equação dada). Temos que y 0 (x) = An xn−1 deve ser idêntica a 4x1/2 . Assim, n − 1 = 21 ⇒ n = 32 e An = 4 ⇒ A = n4 = 83 . Conseqüentemente, y(x) = 38 x3/2 + B . Para determinarmos B , vamos utilizar a condição dada no ponto x = 1: y(1) = 83 + B . Como y(1) = − 31 , vem: B = −3. Logo, a solução do problema será: y(x) = 38 x3/2 − 3. Como exercício, derive esta solução e mostre que ela satisfaz tanto a equação quanto a condição dadas. Para terminar esta seção, vamos frisar aqui que existe um método muito mais simples e direto para a resolução de problemas semelhantes. Novamente, esse método envolve o Cálculo Integral. Já dá para observar por que razão a integral é tão importante!
1.6.5 Desenvolvimento de uma função em série de potências É possível desenvolver uma função f (x) em torno do ponto x = 0 como uma soma in nita de potências de x do tipo:
f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 · · ·
(1.11)
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Se cada coe ciente an da soma acima depender da derivada de ordem n (n = 0, 1, 2, 3, 4 . . .) de f (x), então teremos a representação em série de Mclaurin da função. Para tanto, é necessário que f (x) seja in nitamente derivável na vizinhança de x = 0. Veremos agora como os coe cientes podem ser obtidos e se relacionam com as derivadas de f (x). Derivando a eq. 1.11 sucessivamente, obtemos:
f 0 (x) = a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + 4a4 x3 + · · · f 00 (x) = 2a2 + 6a3 x + 12a4 x2 + · · · f 000 (x) = 6a3 + 24a4 x + · · · .. . Vamos calcular agora o valor de cada derivada acima no ponto x = 0:
f 0 (0) = a1 f 00 (0) = 2a2 ⇒ a2 = f 00 (0)/2 f 000 (0) = 6a3 ⇒ a3 = f 000 (0)/6 .. . Lembrando que 2! = 1 · 2 = 2, 3! = 1 · 2 · 3 = 6 etc. , podemos escrever:
a1 = f 0 (0) a2 = f 00 (0)/2! a3 = f 000 (0)/3! .. . an = f (n) (0)/n! Substituindo esses valores na equação 1.11 obteremos:
f (x) = f (0) + f 0 (0)x +
f (n) (0) n f 00 (0) 2 f 000 (0) 3 x + x + ··· + x + ··· 2! 3! n!
(1.12)
A soma in nita 1.12 é conhecida como o desenvolvimento da função f (x) em série de Mclaurin. Observe que este desenvolvimento ocorre sempre na vizinhança do ponto x = 0. Caso desejássemos desenvolver a função em torno de um ponto x = a, sendo a um número real qualquer, a fórmula 1.12 seria reescrita como ( ca como exercício provar isso!):
f (x) = f (a)+f 0 (a)(x−a)+
f 00 (a) f 000 (a) f (n) (a) (x−a)2 + (x−a)3 +· · ·+ (x−a)n +· · · (1.13) 2! 3! n!
que é o desenvolvimento em série de Taylor da função f (x).
Ex.: Desenvolver em série de Mclaurin as funções: (a) f (x) = sin x; (c) f (x) = ex .
(b) f (x) = cos x
Sol.: (a) Temos que: f (x) = sin x, f 0 (x) = cos x, f 00 (x) = − sin x, f 000 (x) = − cos x, e a
partir desse ponto o processo começa a se repetir. Assim, f (0) = 0, f 0 (0) = 1, f 00 (0) = 0, f 000 (0) = −1 etc., e a eq. 1.12 se transformará em:
sin x = x −
1 3 1 1 x + x5 − x7 + · · · 3! 5! 7!
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(b) Da mesma forma, f (x) = cos x, f 0 (x) = − sin x, f 00 (x) = − cos x, f 000 (x) = sin x, . . . Portanto, f (0) = 1, f 0 (0) = 0, f 00 (0) = −1, f 000 (0) = 0, . . . , resultando:
1 1 1 2 x + x4 − x6 + · · · 2! 4! 6! 0 00 (c) Como já sabemos, f (x) = f (x) = f (x) = · · · = ex , o que implica f (0) = f 0 (0) = f 00 (0) = · · · = 1. Logo, cos x = 1 −
ex = 1 + x +
1 1 1 2 x + x3 + x4 + · · · 2! 3! 4! √
Ex.: Provar que eix = cos x + i sin x, sendo i = −1. Sol.: A substituição de x por ix no desenvolvimento de ex feito acima fornecerá: eix = 1 + ix +
1 1 1 (ix)2 + (ix)3 + (ix)4 + · · · 2! 3! 4!
lembrando que i2 = −1; i3 = i2 · i = −i; i4 = 1 etc, vem:
1 2 1 1 x − i x3 + x4 + · · · 2! 3! 4! que pode ser reescrita, agrupando-se os termos contendo o fator i: µ ¶ µ ¶ 1 2 1 4 1 3 1 5 ix e = 1 − x + x + · · · + i x − x + x − · · · = cos x + i sin x 2! 4! 3! 5! eix = 1 + ix −
de acordo com os desenvolvimentos do seno e do cosseno feitos no problema anterior.7
Ex.: Calcule o valor do seno de 10◦ . Sol.: Na Matemática e na Física é fundamental trabalhar com ângulos em radianos. Façamos então a conversão: 10◦ = π/18 rad ≈ 0, 1745 rad, valor que podemos considerar próximo de zero, permitindo-nos utilizar a série de Mclaurin do sin x: π sin 10◦ = sin ≈ 0, 1745 − (0, 1745)3 /3! ≈ 0, 1745 18 Note que o termo cúbico é muito menor que o primeiro termo, daí o desprezarmos. Um rápido exame na calculadora fornecerá sin 10◦ = 0, 1736, mostrando que o simples cálculo que executamos tem precisão centesimal. Segue-se, desse raciocínio e das fórmulas anteriores, que para ângulos em radiano muito pequenos, isto é, para x ¿ 1, valem as aproximações: sin x ≈ x cos x ≈ 1 tan x ≈ x O grá co a seguir mostra a função y = sin x e a curva gerada pelo polinômio de sétimo grau da série de Mclaurin correspondente. Observe como a concordância entre as curvas é excelente em torno da origem característica da série de Mclaurin. Quanto mais longe da origem, maior será o erro. 7
A identidade eix = cos x + i sin x é a famosa relação de Euler, de importância fundamental no estudo das ondas e das vibrações, nos circuitos elétricos e magnéticos, na mecânica quântica, na estatística e em inúmeras outras áreas da ciência e da tecnologia.
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Figura 1.8: Comparação entre as curvas y = sin x e f (x) = x − 3!1 x3 + 5!1 x5 − 7!1 x7
1.7 Exercícios gerais Probl.1 Obter, a partir da de nição (eq. 1.1), a derivada da função f (x) = x − x2 . √
Probl.2 √ Calcular, usando as propriedades, as derivadas de: (a) y = 7x6 − 5x2 + x + 12; √ 3
(b) y = x5 ; (c) y = x3 ln x; (d) y = 2x4 x; (e) y = 4x8 sin x; (f) y = xex ln x; (g) y = ex /x; (h) y = cotg x = cos x/ sin x; (i) y = cossec x; (j) y = xex / cos x.
Probl.3 Obter, usando a regra da √ da cadeia (eq. 1.7), as de: (a) y = 4e2 sin x ; pderivadas √ 2 5 8 2 sin x −2x+11 3 (b) y = 4e (f) y = (x + sin x2 )8 .
; (c) y =
2x − 1; (d) y =
1+
x; (e) y = (x + sin x) ;
Probl.4 Sendo x = t2 − 1 e y = t3 + 3, calcular: (a) dy/dt, (b) dx/dt, (c) dy/dx,
(d) dx/dy .
Probl.5 (a) Calcular os pontos de intersecção das curvas y1 = x3 e y2 = x3 + x2 − x.
(b) Quais as equações das retas tangentes às curvas acima nos pontos calculados em (a)? (c) Quais os ângulos formados por essas retas e o eixo das abscissas?
Probl.6pCalcular as diferenciais das funções seguintes: (a) y = sec t; (b) y = wew ;
(c) y =
5
2β 3 − 1.
Probl.7 Determinar, caso existam, os pontos críticos das funções seguintes, discriminando se correspondem a pontos de √ máximo, mínimo ou in exão: (a) f (x) = x3 − 6x2 + 9x + 10; (b) y = x ln x−x; (c) y = x 4 − x2 no intervalo [−1, 2]; (d) y = x−2 sin x, no intervalo [− π2 , π2 ].
Probl.8 (a) Determinar dois números cuja soma seja 100 e o produto seja o maior possível. (b) Determinar dois números cujo produto seja 100 e a soma seja a maior possível.
Probl.9 Determinar as dimensões do retângulo de maior área possível que pode ser inscrito na elipse de equação
x2 9
+
y2 4
= 1. Qual é a área desse retângulo?
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Probl.10 Determinar o raio e a altura do cilindro de maior volume possível que pode ser inscrito em uma esfera de raio R.
Probl.11 Uma escada, apoiada no chão, deve passar sobre uma cerca de 36 dm de altura
até uma parede situada 6 dm depois dessa cerca. Qual é o comprimento da menor escada que pode ser usada?
Probl.12 A posição (em metros) de um carro, em função do tempo (em segundos), é
dada pela expressão s(t) = t3 − 9t. Calcular: (a) o(s) instante(s) em que o carro passa pela origem; (b) a velocidade e a aceleração do carro em um instante t qualquer; (c) a velocidade do carro em t = 2 s e t = 4 s; (d) a velocidade média do carro entre 2 s e 4 s.
Probl.13 Os isótopos radioativos do einstenium têm uma meia-vida de 276 dias. Se 1 g
deste material está presente em um objeto agora, a massa m (em gramas) presente após ¡ ¢t/276 t dias é dada por: m(t) = 12 . Qual a velocidade de decaimento do isótopo em: (a) t = 0? (b) t = 500 dias?
Probl.14 O modelo de Ebbinghaus para a memória humana é p(t) = (100 − α)e−βt + α,
onde p e a percentagem da informação retida após t semanas e as constantes α e β (que variam de pessoa para pessoa) valem, respectivamente, 20 e 0,5. Com que velocidade a memória descarta as informações após: (a) uma semana? (b) cinco semanas?
Probl.15 Sabendo-se que a velocidade de uma partícula em um instante t qualquer é dada por v(t) = 3t3 e que a sua posição no instante t = 1 s é igual a 10 m, determinar: (a) a sua aceleração em um instante qualquer; (b) a sua posição em um instante qualquer; (c) a sua velocidade média entre 0 e 3 s. √
Probl.16 Desenvolver a função f (x) = x em série de Taylor em torno do ponto x = 1. Probl.17 Desenvolver f (x) = ln (1 + x) em série de Mclaurin. Probl.18 Idem para a função f (x) = tan x. Mostre, em seguida, que para pequenos valores de x em radianos (x ¿ 1) vale a aproximação: tan x ≈ x.
