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2010
Cálculo II
Stela Ribeiro & Vânia Brito UAB – UNEB – Licenciatura em Química
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Apresentação
O estudo do cálculo diferencial e integral possui uma sequência de conteúdos interligados sobre o comportamento e estudo de uma função. Tendo sido contemplado o estudo de limites e derivadas de funções, passamos a ter uma base para podermos aprofundar mais nessa seqüência de conteúdos. O estudo da diferencial de funções – cálculo diferencial – está relacionado ao estudo de taxas de variação de grandezas, derivadas de funções, aproximações e acúmulo de quantidades, que por sua vez tem grandes aplicações em diversas áreas como: Física, Economia, Química, etc. Tendo também conhecido o estudo de derivadas e algumas de suas aplicações, podemos pensar agora na inversa da derivada de uma função, sua antiderivada ou sua primitiva, que é a integral de uma função, chegamos então ao cálculo integral. A integral de uma função tem uma gama de aplicações em diversas ciências, tendo como um de seus resultados bastante conhecido – o teorema fundamental do cálculo – que além da interpretação geométrica para áreas e volumes, é também uma ferramenta poderosa para a resolução de outros problemas. Temos alguns nomes de alta relevância que permeiam a teoria do cálculo integral, dentre eles estão: Newton, Leibniz, Cauchy e Riemann, e como destaque dessa teoria está o resultado do teorema fundamental do cálculo, que se baseia em outros teoremas e resultados por eles estudados e concluídos.
Todo o estudo de cálculo tem como base a função, é preciso que o estudante conheça os conceitos envolvidos na teoria de funções. Começaremos estudando a diferencial de função de uma variável real, deslumbraremos a diferencial de funções de mais de uma variável real e poderemos ver as suas aplicações em problemas diversos. Em seguida, conheceremos a integral indefinida, com a qual aprenderemos diversas técnicas de resolução diante das possibilidades de ocorrência de expressões integráveis: funções racionais, irracionais, trigonométricas, entre outros, portanto será necessário dedicação e prática. Depois passaremos a observar e aprender o grande valor da integral definida e suas aplicações. Por fim, estudaremos as integrais impróprias.
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Assim, este material será a base para que vocês aprofundem seus conhecimentos sobre o Cálculo diferencial e integral, fazendo um estudo cuidadoso, resolvendo os exercícios propostos, e consultando as referências bibliográficas indicadas, assim, com certeza vocês conseguirão êxito nesse aprendizado. Esperamos que aproveitem ao máximo esse componente curricular, com dedicação, empenho, e bastante disciplina para vencerem as atividades propostas nessa modalidade de ensino.
Desejamos um ótimo curso!
Stela Maria Azevedo e Ribeiro Vânia Gonçalves de Brito dos Santos
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Sumário 1 Diferencial .......................................................................................................06 1.1 Funções de uma variável real ......................................................................06 1.2 Interpretação geométrica .............................................................................07 1.3 Aplicações ...................................................................................................08 1.4 Funções de duas ou mais variáveis reais ...................................................13 1.5 Derivada para funções de duas ou mais variáveis reais .............................14 1.6 Derivada de ordem superior ........................................................................15 1.7 Diferencial para funções de duas ou mais variáveis reais ..........................16 1.8 Aplicações ...................................................................................................17 2 Integral indefinida ...........................................................................................20 2.1 Propriedades ...............................................................................................23 2.2 Exemplos ...................................................................................................24 2.3 Integrais imediatas ......................................................................................25 2.4 Métodos de substituição ou de mudança de variável .................................27 2.5 Processos gerais de integração ..................................................................28 2.5.1 Integração por partes ...............................................................................28 2.5.2 Integração de funções contendo um trinômio do 2º grau ........................30 2.6 Integração de funções racionais ................................................................37 2.6.1 Integração de funções racionais pelo método de frações parciais .........39 2.7 Integração de funções irracionais ...............................................................47 2.8 Integração de funções trigonométricas .......................................................50 2.9 Integração de funções por substituição trigonométrica ...............................60 3 Integral definida ..............................................................................................66 3.1 Interpretação geométrica .............................................................................66 3.2 Teorema Fundamental do Cálculo ..............................................................69
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3.3 Propriedades da integral definida ..............................................................72 3.4 Aplicações ..................................................................................................73 3.4.1 Áreas compreendidas entre curvas ........................................................73 3.4.2 Aplicações diversas da integral definida .................................................77 3.4.3 Aplicações de cálculo de volume de sólidos de revolução .....................79 4 Integrais impróprias .......................................................................................84 4.1 Integral imprópria com intervalo infinito ......................................................85 4.2 Um resultado importante: Comparação de integrais impróprias ................91
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1. Diferencial
Neste capítulo estudaremos o conceito da diferencial de funções, iniciaremos com funções de uma variável real e depois abordaremos alguns exemplos de funções de mais de uma variável real. Aprenderemos que a diferencial dy nada
mais é que, uma aproximação melhor do seu crescimento ou decrescimento
y. Portanto, é bastante utilizada em problemas que envolvem aproximação.
1.1 Funções de uma variável real
É comum usarmos o símbolo
dy = f‘(x), para representarmos a derivada da dx
função y = f (x). É importante que entendamos essa fração de numerador dy e denominador dx como um todo, isto é, como o resultado do limite
y dy . x 0 x dx lim
Há problemas em que é importante dar sentido a dx e dy separadamente e há situações em que isto é muito útil, como veremos em algumas aplicações do cálculo integral.
Definição 1.1: Seja f (x) uma função e sejam x e y, variáveis relacionadas por y
= f (x). Então, a diferencial dx é um valor qualquer do domínio de f (x) para o qual a derivada
d ( f ( x)) existe, e a diferencial de dy é definida por dx df ( x) df dy dx dx . dx dx
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1.2 Interpretação geométrica
Vejamos a interpretação geométrica da diferencial de uma função f(x) na figura a seguir, dy é comparado à y , e toma-se a variação em x como x dx :
x x2 x1 y y 2 y1 y dy
df ( x) dx . dx
Podemos observar uma reta T (em vermelho) tangente à curva f(x) no ponto P0 = ( x0 , f ( x0 )) . Aplicando o conceito de limite quando x tende para zero, o acréscimo y tende para a diferencial dy e x tende para a diferencial dx.
Então, quanto menor for x , menor será a diferença entre o acréscimo y e a diferencial dy. Assim,
dy lim y lim f ( x x) f ( x) x0
x0
y dy lim y lim .x y ' dx x 0 x 0 x ou
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df ( x) dy dx f ' ( x)dx dx
1.3 Aplicações
Vamos agora ver alguns exemplos aplicativos ou problemas em que se aplica o conceito da diferencial de uma função. Exemplo 1: Se y f ( x) 3x 2 2 x 1 , obter a diferencial dy.
Solução: Primeiro devemos obter a derivada
dy , isto é, dx
dy d (3x 2 2 x 1) 6 x 2. dx dx O próximo passo é obter a diferencial dy, sabendo que esta é igual à derivada
dy multiplicada pela diferencial dx, ou seja, dx dy (6 x 2)dx. Em resumo:
dy df ( x) d (3x 2 2 x 1) 6 x 2 dy (6 x 2)dx. dx dx dx Exemplo 2: Encontrar o diferencial dy e o crescimento y da função y x 2 , quando x = 20 e x = 0,1, depois calcule o erro = y dy :
Solução:
y ( x x) 2 x 2 2 xx x , 2
y 2.20.0,1 (0,1) 2 4,01 , dy 2.20.0,1 4,00 , 4,01 4 0,01.
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Exemplo 3: Use diferenciais para estimar a 35 .
Solução: Inicialmente precisamos tomar uma raiz conhecida mais próxima como
referência,
nesse
caso
será
36 6 ,
e
faz-se
y 36 dx x 35 36 x 1 dx , então fazemos: 35 36 y 6 f ' ( x)dx , pois y dy f ' ( x)dx f ' ( x)x derivando obtemos:
dy 1 1 1 1 1 1 1 . y dy . (1) . 0,08333... dx 2 36 2 6 12 2 36
Assim, podemos encontrar 35 por aproximação:
35 36 y 6 0,08333... 5,91666... Exemplo 4: O raio de uma esfera de aço mede 1,5 cm e sabe-se que o erro cometido na medição é menor ou igual a 0,1 cm. Estime o erro possível no cálculo do volume da esfera.
Solução: Bem, precisamos lembrar de que o volume de uma esfera é calculado
4 3 r . Note-se que, nesse caso, o raio da esfera de aço 3 terá como medida r = ( 1,5 r ) cm, onde r ≤ 0,1cm, portanto, a partir do raio é V
4 4 4 4 3 3 3 3 V V 1,5 0,1 V (1,5) 3 V 1,5 0,1 V 1,5 0,1 1,5 , 3 3 3 3
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4 3 V 1,5 3.(1,5) 2 .(0,1) 3.(1,5).(0,1) 2 (0,1) 3 (1,5) 3 3 1 4 3.(1,5) 2 .(0,1) 3.(1,5).(0,1) 2 .(0,1) 3 3 4 0,225 0,015 0,0003
V1 3,01969...cm 3 4 0,015 0,2253 3 V2 2,6427...cm
Estimando-se
V por dV V ' (r )dr , temos que: V ' (r )
e como
dV d 4 3 r 4r 2 V 4r 2 dr dr dr 3
r dr dr 0,1 cm , tem-se:
V 4r 2 dr 4 1,5 . 0,1 4 .2,25 . 0,1 0,9 , 2
V 0,9. 2,827 V 0,9. 2,827 cm 3 que é o erro possível no cálculo do volume da esfera, ou seja,
2,827 cm 3 . Exemplo 5: Calcular um valor aproximado de sen(46°).
Solução: É importante atentar para que
sen46 sen(45 1) sen , 4 180 podemos
então considerar
que
se
pretende
aproximado da função
f ( x) senx
calcular
um
valor
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‘perto’ do ponto
4 . Fazendo x
180
e
f ' ( x) cos x.x podemos escrever
sen sen cos . 4 180 4 4 180
2 2 . 0,7194. 2 2 180
Exemplo 5: A densidade de um líquido é determinada pela medida de massa e volume de uma amostra e usando a equação:
m V
Em um experimento particular, um estudante encontra m = 6,00 g e V = 8,0
ml. Qual é o erro em (isto é, ), se:
a. V é exatamente 8,0 ml, mas m tem um erro de 0,010 g (isto é, m = 0,010 g) ? b. m é exatamente 6,00 g, mas V tem um erro de 0,10 ml (isto é,
V
= 0,10 ml) ? Solução: a.
d m , então se a variação ocorre em m podemos dm
tomar V como uma constante:
d 1 . dm V
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Portanto: b.
m 0,010 0,0013 g / ml . V 8,0
A situação agora muda, temos m como constante e uma
variação em V, então:
d m 6,00 V 2 V .0,10 0,0094 g / ml dV V 64,0
Podemos concluir o seguinte: quando a massa é maior em 0,01 g em relação a massa verdadeira, a densidade será 0,0013 g/ml maior que a densidade verdadeira. Se a medida do volume for maior em 0,10 ml que o volume verdadeiro, a densidade será 0,0094 g/ml menor que a densidade verdadeira. VOCÊ SABIA? O diferencial é um dispositivo mecânico que tem a função de dividir o torque entre dois semi-eixos, produzindo uma compensação entre estes quando um deles sofrer queda na rotação. Distribuindo o torque de forma que independentemente da circunstância em que se encontre as rodas, e a respectiva superfície do solo em cada uma delas, o valor do mesmo seja igual em cada ponto de tração. (Fonte – http://pt.wikipedia.org/wiki/Diferencial).
Sugestão de atividade Exercícios propostos
1. Seja y f ( x) 3x 2 2 x 4 , obtenha y, para x = 1 e x = 0,02. Resposta: 0,0812. 2. Use diferenciais para estimar a 3 28 .
Resposta: 3,037.
3. Avalie por diferenciais o cos(44) . Resposta: 0,7194. 4. Use Diferenciais para encontrar o volume aproximado de uma casca cilíndrica circular Vc , com altura de 6 cm, cujo raio interno mede 2 cm e possui espessura de 0,1cm. Resposta: 7,5 cm3.
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1.4 Funções de duas ou mais variáveis reais
Até então consideramos funções de uma variável real. Mas o que dizer das funções de duas ou mais variáveis reais? Como podemos estudar o comportamento dessas funções e como proceder as derivadas ou a diferencial de uma função desse tipo? Vejamos um exemplo:
Consideremos a fórmula que nos dá a área de um triângulo:
A
b.h 2
Como podemos verificar a área de um triângulo depende de duas variáveis
base (b) e altura (h)
Podemos os caracterizar esta função como sendo
A : R2 R b.h , (b, h) 2 que é uma função de duas variáveis reais. Definição 1.2: Seja D R . Uma função real de n variáveis reais é uma n
correspondência tal que:
f : D Rn R ( x1 , x2 ,..., xn ) z f ( x1 , x2 ,..., xn ) em quê: variáveis independentes:
x1 , x2 ,..., xn
variável dependente:
z
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Observe a função variáveis ( x e
f ( x, y) 6 (2 x 2 y) , ela depende de duas
y) , D f R 2 e, por definição temos:
( x, y ) R
D f ( x, y ) R 2 : 6 ( 2 x 2 y ) 0 ( x, y ) R 2 : 2 y ) 2 x 6 2
: y) x 3 .
Agora que estamos diante de funções de duas ou mais variáveis, precisamos aprender o conceito da derivada parcial.
1.5 Derivada para funções de duas ou mais variáveis reais
Definição 1.3: Seja
f : D R n R . A derivada parcial de f em relação a xi é a
função:
f ( x1 , x2 ,..., xi h,..., xn ) f ( x1 , x2 ,..., xi ,..., xn ) f lim xi h0 h
Exemplo 1: Sendo a função ponto de coordenadas
f ( x, y) x 2 y 2 uma
( x, y) ,
função de duas variáveis, no
podemos determinar duas derivadas parciais.
Usando as regras de derivação, obtemos:
f f ( x, y) 2 x 0 2 x e ( x, y ) 0 2 y 2 y . y x Observe que quando calculamos a derivada parcial em relação a x, consideramos x variável, e a outra variável restante y consideramos como uma constante.
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Sugestão de atividade Exercícios propostos
1. Calcule as derivadas parciais da função
g ( x, y, z ) 2 xy z 2 y 2 z xyz.
2. Determine as derivadas parciais para a função
s( x, y, z ) x 2 y 2 z 2 .
5x3 y xz 2 3 y 2 z. 3. Encontre as derivadas parciais da função h( x, y, z ) 3 1.6
Sendo
Derivadas de ordem superior
z f ( x1 , x2 ,..., xn ) uma função que depende de n variáveis, x1 , x2 ,..., xn ,
também
z ( x1 , x2 ,..., xn ) são funções que dependem das n variáveis x1 , x2 ,..., xn . xi
Assim faz sentido falar em derivadas de ordem superior.
Vamos considerar o caso de uma função que depende de duas variáveis e calculemos todas as derivadas parciais desta função até à ordem 2.
Derivadas de 1ª ordem:
g g ( x1 , x2 ); ( x1 , x2 ) x1 x2 Derivadas de 2ª ordem:
2 g g ( x1 , x2 ) ( x1 , x2 ) , 2 x1 x1 x1
g ( x1 , x2 ) ,
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x2
g 2 g ( x1 , x2 ) ( x1 , x2 ) (1) , x x x 2 1 1
g 2g ( x1 , x2 ) ( x1 , x2 ) (1) e x1 x2 x x 1 2 x2
g 2 g ( x1 , x2 ) ( x1 , x2 ) , 2 x x 2 2
onde as equações (1) são designadas derivadas mistas.
De modo similar se definem as derivadas de ordem superior à 2ª.
1.7
Seja:
Diferencial para funções de duas ou mais variáveis reais
z f ( x1 , x2 ,..., xn ) . Consideremos
acréscimo
nas
variáveis
independentes
x (x1 , x2 ,..., xn ) como o
x1 , x2 ,..., xn .
Ao
acréscimo
x corresponde o acréscimo z na variável dependente z , sendo:
z f ( x x) f ( x). Definição 1.4: Seja
z f ( x1 , x2 ,..., xn ) uma função de n variáveis reais. O vetor de
diferenciais
dx (dx1 , dx2 ,..., dxn ) nas variáveis independentes x1 , x2 ,..., xn é
definido por
dx x , isto é,
dx1 x1 , dx2 x2 ,..., dxn xn com
x o vetor dos acréscimos nas variáveis independentes.
O diferencial
dz , também denominado diferencial total, é definido por:
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dz
f f f ( x)dx1 ( x)dx2 ... ( x)dxn . x1 x2 xn
Observando a definição e sabendo que
z dz quando x 0, concluímos que:
z f ( x x) f ( x) dz f ( x x) f ( x) dz. Veja o exemplo: O diferencial para a função w
f ( x, y, z, u) considerando que
dx x, dy y, dz z, du u é:
dw
w w w w ( x, y, z, u )dx ( x, y, z, u )dy ( x, y, z, u )dz ( x, y, z, u )du. x y z u
Você sabia? A Primeira Lei da Termodinâmica não é uma mera transposição para a Termodinâmica da abrangente e geral lei da conservação da energia em Física e em Química. A sua formulação matemática traduz que a variação da energia interna de um sistema, DU, é igual à soma do calor com o trabalho... Veja em: http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S010040422007000200043
1.8 Aplicações
Vamos observar dois exemplos de cálculo de diferenciais em funções com mais de uma variável:
Exemplo 1: Dada a função
z x 2 y 2 xy ,
determine uma boa aproximação
para o acréscimo da variável dependente quando
(1,001 ;1,02) .
( x, y) passa
de
(1,1) para
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Solução: Uma boa aproximação para o acréscimo ocorrido é dado pela variação de
z dz , então precisamos calcular essa variação: f f (1,1).[1,001 1] (1,1).[1,02 1] x y (2.1 1).0,001 (2.1 1).0,02 0,021.
dz
Exemplo 2: Encontre um valor aproximado para o acréscimo de
f ( x, y) x 2 2 xy 3 y quando ( x, y ) varia de (2,3) para (2,02; 3,01) .
Solução: Vejamos como podemos aplicar diferenciais para encontrar a melhor aproximação para tal acréscimo.
dx x 2,02 (2) 0,02; dy y 3,01 3 0,01 f f ( x, y ) 2 x 2 y (2,3) 4 6 10 x x f f ( x, y ) 2 x 3 (2,3) 4 3 7 y y então,
f f (2,3)dx (2,3)dy x y 10.(0,02) 7.0,01 0,2 0,07 0,27
f df
Exemplo 3: Um cilindro tem raio 2 m e altura igual a 10 m. Qual o erro cometido na avaliação do volume, se o raio foi medido com um erro provável de 1 cm e a altura com um erro de 20 cm?
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Solução: Precisamos usar então a fórmula de volume do cilindro, e calcular a variação em V (erro do volume) quando ocorrem os erros dados no raio e na altura. Perceba que o volume V é uma função
f ( R, h) :
V R 2 h
V ? dr 1 cm 0,01 m dh 20 cm 0,20 m
Considerando que
dV
V dV , temos que:
V V dR dh R h
V 2Rh R V R 2 h Substituindo pelos valores dados, obtemos:
dV 2 .2.10.0,01 .4.0,20 dV 0,4 0,8 dV 1,2
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2 Integral indefinida
Neste capítulo aprenderemos como obter uma função conhecendo apenas a sua derivada. Este problema é chamado de integração indefinida. A palavra indefinida é usada para indicar que a integral a princípio não tem o intervalo de integração definido ou explícito, mas está intrínseco que no intervalo pressuposto a função é contínua e, portanto, integrável. Contudo, o tratamento dado por critérios e métodos de resolução para integrais indefinidas são os mesmos para integrais definidas. Definição 2.1 – Uma função F (x) é chamada uma primitiva da função f (x) no intervalo I se para todo x I, tem-se:
F ' ( x) f ( x) Muitas vezes não faremos menção ao intervalo I, mas a primitiva de uma função sempre será definida sobre um intervalo.
Exemplos:
x4 f ( x) x , então F ( x) 1) Seja é uma primitiva de f em R, 4 x4 3 5 é também uma primitiva de f em R, pois F ' ( x) x f ( x) . F ( x) 4 x4 3 F ( x ) c , para todo c R é pois F ' ( x) x f ( x) . Na verdade, 4 3 primitiva de f pois F ' ( x) x f ( x) . 3
xn c é a primitiva de f ( x) x n1 , pois Podemos generalizar: F ( x) n
x n1 F ' ( x) n x n1 f ( x) . n
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2) Seja: f ( x) cos x , então F ( x) senx c , para todo c R é uma primitiva de f . De fato,
F ' ( x) cos x f ( x) . 3) Seja:
1, x [a, b] f ( x) 0 x [ a, b] Não existe função definida por uma única sentença em todo R cuja derivada seja igual a f (x) . Por outro lado, considere a seguinte função:
xa 0, F ( x ) x a, x [ a, b] b a xb
F (x) é uma função definida por sentenças que é contínua em todo R e F ' ( x) f ( x) se x (a, b). Logo, F (x) é uma primitiva de f em (a, b). Em geral, uma função f admite uma infinidade de primitivas sobre um intervalo. Veja abaixo um esboço gráfico exemplificando as primitivas da função f ( x) cos x :
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Teorema 2.1: Se F1 ( x) e F2 ( x) são duas primitivas de f (x) no intervalo [a,b], então a diferença entre elas é uma constante. Demonstração:
Seja G ( x) F1 ( x) F2 ( x). Por hipótese,temos que a, b : F1 ' ( x) f ( x) logo F1 ' ( x) F2 ' ( x) que implica em F1 ' ( x) F2 ' ( x) 0. F2 ' ( x) f ( x) Assim G ' ( x) 0, logo G ( x) constante.
Definição 2.2 – Seja: F ( x) uma primitiva da função f no intervalo I. A expressão
F ( x) c , c R é chamada a integral indefinida da função f e é denotada por:
f ( x)dx F ( x) c Note que
f ( x)dx F ( x) c F ( x) c' F ' ( x) f ( x) Em particular
f ' ( x)dx f ( x) c Assim como ocorreu no estudo de derivada de uma função, veremos agora as principais propriedades da integral indefinida.
Você sabia? O termo integral, como usamos em cálculo, foi cunhado por Johann Bernoulli (16671748) e publicado primeiramente por seu irmão mais velho Jakob Bernoulli (1654 1705). Principalmente como uma conseqüência do poder do Teorema Fundamental do Cálculo de Newton e Leibniz, integrais eram consideradas simplesmente como derivadas "inversas". A área era uma noção intuitiva, quadraturas que não podiam
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ser encontradas usando o Teorema Fundamental do Cálculo eram aproximadas. Embora Newton tenha desferido um golpe muito imperfeito sobre a idéia de limite, ninguém nos séculos XVIII e XIX teve a visão de combinar limites e áreas para definir a integral matematicamente. http://www.ufmt.br/icet/matematica/geraldo/histintegral.htm
2.1 Propriedades
Como toda operação envolve propriedades, a integral de funções também é regida por propriedades operatórias.
f ( x)dx F ( x) c
Se:
1
e
g ( x)dx G( x) c
2
,
então,
sendo
a, b R, a 0, temos que:
i.
f ( x) g ( x)dx F ( x) G( x) C F ( x) G( x)' F ' ( x) G' ( x) f ( x) g ( x), logo f ( x) g ( x)dx f ( x)dx g ( x)dx F ( x) G( x) C, C c1 c2 .
Prova:
ii.
k. f ( x)dx k.F ( x) c Prova: Sendo
k uma constante real, k.F ( x)' k.F ' ( x) k. f ( x),
logo
k. f ( x)dx k. f ( x)dx k.F ( x) c , c k.c 1
iii.
f ( x b)dx F ( x b) c
iv.
f ( x b)dx F ( x b) c
v.
f (b x)dx F (b x) c
1
1
1
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1
vi.
f (ax)dx a .F (ax) c
vii.
f (ax b)dx a .F (ax b) c
1
1
1
As duas primeiras propriedades foram deduzidas acima. Das cinco propriedades restantes, as quatro primeiras são conseqüências imediatas da última, então deduziremos esta última.
Prova da propriedade (vii): Por hipótese,
F ' ( x) f ( x).
Logo
F (ax b)' F ' (ax b).(ax b)' a. f (ax b), de onde 1 1 .F (ax b) ' .af (ax b) f (ax b). a a
Portanto,
2.2
f (ax b)dx
1 .F (ax b) c1 . a
Exemplos 1.
e dx e x
x
c. Logo,
a.
e
x 5
dx e x5 c
b.
e
2 x
dx e 2 x c
c.
1 3x 3x e dx .e c 3
2. Calcule
tg
2
xdx :
Nesse exemplo precisamos recordar a seguinte relação trigonométrica:
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sec 2 x tg 2 x 1 tg 2 x sec 2 x 1, assim podemos substituir na integral:
tg
2
xdx sec 2 x 1 dx sec 2 xdx dx tgx x c .
3. Calcule:
dx . x
Lembrando de que a derivada de
ln x
'
1 1 .ln e , então x x
dx ln x c , x
observe que foi inserido o módulo (valor absoluto) no logaritmando para garantir a existência do logaritmo, pois por definição da função logarítmica, só existe logaritmo para valores positivos ( x
0 ).
2.3 Integrais Imediatas
Segue abaixo uma lista com as principais integrais imediatas:
x n1 x n 1 n n )' x x dx para n -1 1) ( n 1 n 1 2) (ln x)'
1 dx ln x c x x
3) (e )' e e dx e c x
x
x
x
4) ( cos x)' ( sen x) sen xdx cos c
5) (sen x) ' cos cos xdx sen c
26
6) (tgx )' sec 2 dx sec 2 dx tgx c 7) ( cot gx) ' ( cos sec 2 x) cos sec 2 xdx cot gx c
8) (sec x)' sec xtgx sec xtgxdx sec x c 9) (arcsenx)'
10) (arctgx )'
1 1 x2
dx 1 x2
arcsenx c
1 dx arctgx c 2 1 x 1 x2
Veja a aplicação dessas integrais imediatas nos exemplos a seguir:
12 a) ( x sen x)dx x dx sen dx
2 32 x cos x c 3
1 dx 1 dx 1 dx dx sec 2 x dx ln x tgx c b) 2 2 x x cos x x cos x
dx x 2 1 3 c c c) 3 x dx 2 2x x d)
sen 2 x 2 sen x cos x dx dx 2 sen xdx 2 cos x c cos x cos
e)
cos x sec x 1 dx dx sec xdx dx sec 2 xdx x tgx c cos x cos x
A partir de agora, passaremos a estudar os métodos de resolução de uma integral, abordaremos critérios, artifícios algébricos, que têm por objetivo fazer a integral estudada se tornar uma integral fácil de resolver ou imediata. Será necessário observar os detalhes envolvidos nesses métodos ou critérios, as características dos tipos de integral relacionadas ao método de resolução, e muita prática.
27
2.4
Método da substituição ou da mudança de variável
Seja: F (x) a primitiva de f (x) e g (x) uma função tal que Im( g ( x)) DF . Assim, podemos definir Fog e
Fog ( x)' F ' ( g ( x)).g ' ( x)
f ( g ( x)) g ' ( x)
Então: F ( g ( x)) é uma primitiva de f ( g ( x)) g ' ( x) , assim:
f ( g ( x)) g ' ( x)dx F ( g ( x)) c Fazendo u g (x) então du g ' ( x)dx
Exemplos: a)
2x dx I 1 x2
2 Com a substituição: u 1 x du 2 xdx
I
du ln u k ln 1 x 2 k u
b) cos 2xdx I Com a substituição: 2 x t 2dx dt dx
I cos t
c)
dt . 2
dt 1 1 sen 2 x cos tdt sen t c c 2 2 2 2
dx I 3x 4
28
Com a substituição: 3x 4 t dx
dt 3
1 dx 1 dt 1 1 I ln t c ln 3x 4 c t 3 3 t 3 3 d)
xdx
1 x
4
xdx I 1 ( x 2 )2
2 Com a substituição: x t xdx
I e)
f)
dt 2
1 dt 1 dt 1 1 . arc tg t c arctg ( x 2 ) c 2 2 1 t 2 2 1 t 2 2
x
2
dx , a 0. Essa integral é imediata. a2
dx 16 x 2 . Nessa integral basta fazer uma substituição.
g)
2 sen
2.5
2
dx . Nessa integral, que processo você usaria? x 3 cos 2 x
Processos gerais de integração
Além da substituição ou mudança de variável, existem outros métodos de integração apropriados para situações que exigem um pouco mais de artifícios algébricos, a seguir aprenderemos sobre esses outros métodos que se adequam a tais situações.
2.5.1 Integração por partes
Sejam f ( x) e g ( x) duas funções deriváveis num mesmo intervalo I. Então
29
f ( x).g ( x) '
f ( x) g ' ( x) f ' ( x).g ( x)
f ( x) g ' ( x) f ( x) g ( x) ' f ' ( x) g ( x)
f ( x) g ' ( x)dx f ( x) g ( x) ' dx f ' ( x) g ( x)dx
f ( x) g ' ( x)dx f ( x) g ( x) f ' ( x) g ( x)dx u f ( x) du f '( x)dx
v g ( x) dv g '( x)dx
udv uv vdu Exemplos:
a) x sec2 x dx x tgx tgx dx x tgx ln sec x c u x du dx dv sec2 x dx v tgx 1 b) ln x dx x ln x x dx x ln x dx x ln x x c x (ln x 1) c x 1 u ln x du dx x dv dx v x
Agora tente resolver as integrais indefinidas a seguir: a) x ln x dx
2 b) x senxdx
c)
arc tg xdx
30
d) cos ln xdx
e) ln(1 x)dx
f) ( x 1) senxdx
g)
2
x sen 2 x dx
h) x (1 4e )dx
i)
x3
5
x arc tg ( x) 1 x2
dx
2.5.2 Integração de funções contendo um trinômio de 2º grau
Considere o seguinte tipo de integral: A
dx ax 2 bx c
O processo para calcular essa integral consiste em transformar o trinômio
ax 2 bx c numa soma ou diferença de quadrados. Observe os seguintes exemplos:
x 2 6 x 13 ( x 3) 2 4 ( x 3) 2 2 2 x 2 4 x 10 ( x 2) 2 14 ( x 2) 2 ( 14 ) 2
31
Vejamos dx 1 dx b c a b b2 c b2 2 a( x 2 x ) x x 2 2 a a a a 4a 4a 1 dx 1 dx 1 dx . 2 2 b 2 a a b 2 4ac b b 2 b 4ac a (x ) 2 (x ) (x ) a 4a a a 4a 2 4a 2
A
dx ax bx c
Assim
2
ax
2
dx 1 a bx c
dx b (x )2 2 a 4a
e fazendo t x
Integrais do tipo A são imediatas, ou seja, são tabeladas:
ax
2
dx 1 dt 2 bx c a t k 2
dx 1 x arc tg c. a2 x2 a a
dx 1 xa ln x 2 a 2 2a x a c
a
2
dx 1 xa ln c 2 2a x a x
b e k2 . a 4a 2
32
Exemplos:
a)
x
2
dx dx I 4x 2 ( x 2) 2 2
Fazendo x 2 t dx dt temos que:
I
b)
dt 1 t 2 1 x2 2 ln c c t 2 ( 2) 2 2 2 t 2 2 2 ln x 2 2
2x
2
dx 1 dt dx 1 dx I 2 2 2 8 x 20 2 t ( 6) 2( x 4 x 10) 2 ( x 2) 2 6
Fazendo x 2 t dx dt temos que: I
dt
t2
6
2
1 1 t 1 x2 arc tg c arc tg c 2 6 6 2 6 6
Existem também integrais do tipo: B
dx c bx ax
2
e C
dx ax bx c 2
Procedendo com o mesmo raciocínio anterior, chegamos a algumas destas integrais imediatas:
dx a2 x2
dx x a 2
2
arc sen
x c a
ln( x x 2 a 2 ) c
33
Exemplos:
a)
dx
x 2x 2 2
dx
x 1
2
1
I
Fazendo x 1 t dx dt , temos que : I
b)
ln t t 2 1 c ln x 1 t 1 dt 2
dx 15 2 x x
2
dx
x 2 2 x 15
x 1
2
1 c
dx 2 x 1 16
I
Fazendo x 1 t dx dt , temos que: I
c)
dx 16 x 1
2
dx x 2 3x 2
t x 1 arc sen c arc sen c 4 4 42 t 2 dx
dx x 3x 2 2
dx 17 2 x 3 2 4
I
Fazendo x 3 / 2 t dx dt , temos que: I
dx 2
17 2 t 2
arc sen
2 x 3 2 t c arc sen c 17 2 17
Vamos estudar agora integrais do tipo:
D
Ax B dx ax bx c 2
e
E
Ax B ax 2 bx c
.
34
O processo de resolução dessas integrais consiste em transformar o binômio
Ax B na derivada do trinômio ax 2 bx c. Observe o exemplo: x3 . Como (x 2 2 x 5 )' ( 2 x 2 )dx, queremos reescrever x 3 x 2x 5 de maneira que : 1 P( 2 x 2 ) Q x 3 2 Px- 2 P Q x 3 P e Q 4. 2 1 2 x 2 4 1 x3 2 Assim x 3 ( 2 x 2 ) 4 . Logo 2 2 . 2 x 2x 5 x 2x 5
Seja
2
Generalizando temos que:
A Ab 2 ax b B P 2ax b Q 2a Ax B 2a . C 2 ax bx c ax 2 bx c ax 2 bx c Pois, (ax 2 bx c) ' (2ax b) dx Ax B P (2ax b) Q A P 2a 2 Pax Pb Q Q B Ab 2a Portanto,
A Ab 2ax b B Ax B 2a dx D 2 dx 2a ax bx c ax 2 bx c A Ab B 2ax b 2a 2 dx 2 2a dx ax bx c ax bx c
A 2ax b Ab dx dx B 2 2 2a ax bx c 2a ax bx c
35
Veja um exemplo do tipo D: 1 2 x 2 4 2 x 2 dx 4 x3 1 dx a) 2 dx 2 2 dx 2 2 2 x 2x 5 x 2x 5 x 2x 5 x 2x 5 1 dt dx I 2 t ( x 1) 2 4 A 1 1 2a 2.1 2
e B
Ab 1(-2 ) 34; 2a 2
Fazendo as seguintes mudanças de variáveis:
u x 1 du dx e t x 2 2 x 5 dt (2 x 2)dx e completando o quadrado temos:
x 2 2 x 5 ( x 1) 2 4 , então temos: I
1 dt du 1 1 u 4 2 ln t 4 arc tg C 2 2 t u 2 2 2 2 1 1 x 1 ln x 2 2 x 5 4 arc tg C 2 2 2
Sugestão de atividade Calcule as seguintes integrais:
3x 1 dx x 4x 2 x 5 dx b) 2 2x 4x 3 a)
2
Usando o mesmo raciocínio anterior para integrais do tipo D, temos que:
E
Ax B ax 2 bx c
2ax b dx B Ab A dx 2a 2a ax 2 bx c ax 2 bx c
36
Vejamos o exemplo:
a)
6x 6
1 6 x 5 1
dx
1 6 x 5
dx
dx
3x 5 x 6 3x 5 x 6 3x 5 x 6 3x 5 x 6 A 6 Ab 6(5) 1 e B 6 1 2a 2.3 2a 2.3 1 dt dx dx I1 t 2 dt t 5 2 25 3x 2 5 x 6 3 (x ) 2 6 36 2
2
1 2
t dt
2
2
I1
dx I2 5 2 47 3 (x ) 6 36
Fazendo t 3x 2 5 x 6 dt (6 x 5)dx e completando o quadrado temos que : 5 47 5 3x 2 5 x 6 ( x )2 e fazendo u x du dx 6 36 6 1
t2 1 47 I2 t ln u u 2 C 2 1 36 3 7 2 (u ) 2 6 1 2 3x 2 5 x 6 ln 6 x 5 3 x 2 5 x 6 C 3
1 2
1 dt 3
dx
Agora tente fazer o mesmo nas integrais:
a)
b)
x 5dx 2x 2 4x 3
3x 5dx x2 x 1
Você sabia? Existem muitos programas que solucionam integrais, entre eles está o Mathematica, bastante utilizado no meio acadêmico. Que tal experimentar uma de suas versões: calcule uma integral usando o Mathematica (este software não é free): http://integrals.wolfram.com/index.jsp
37
2.6
Integração de funções racionais
Algumas funções apresentam-se sob a forma racional, isto é, razão entre duas funções, para essas também existem processos de integração adequados. Vejamos primeiro algumas definições importantes.
Definições: 1) Uma função polinomial de grau n é uma função da forma
f ( x) an x n an1 x n1 ..... a1 x a0 tal que an , an1 ,...., a1 , a0 e an 0. 2) Uma função racional é uma função da forma f ( x)
p ( x) onde p( x) e q( x) , q ( x)
são funções polinomiais e q( x) 0. Uma função racional f ( x)
p( x) pode ser: q( x)
i) Própria se grau de p( x) grau de q(x) . ii) Imprópria se grau de p( x) grau de q( x).
Exemplos:
a) f ( x)
x4 3 ; x 6 2x 5
b) f(x)
x5 2 ; x 5 4x 3 x
c) f ( x)
x 4 3x 2 8 x 5 x2 1
Toda função racional imprópria pode ser transformada em uma soma em que uma das parcelas é um polinômio e a outra uma função racional própria.
38
Exemplos:
x5 2 4x3 x 2 1 x5 4x3 x x5 4x3 x x 4 3x 2 8 x 5 8x 7 b)g ( x) x2 2 2 2 x 1 x 1 a) f ( x)
Portanto nos deteremos apenas ao estudo dos casos de integração das funções racionais próprias.
Casos particulares:
A dt dx A A ln t C A ln x a C xa t Fazendo t x a dt dx I )
A dt t n 1 ( x a ) n 1 dx A A C A C t n n 1 n 1 ( x a) n basta fazer t x a dt dx ; n 2 II )
III )
Ax B dx . x 2 px q
2dx dt ( x 5) 51 1 2 2 C C 5 5 5 1 ( x 5) t 2( x 5) 4 basta fazer t x 5 dt dx
Exemplo : a)
39
2.6.1 Integração de funções racionais pelo método de frações parciais
Esse método consiste em escrever uma função racional própria como soma de frações parciais que dependem, principalmente, da fatoração do denominador da função racional em .
Seja f ( x)
p ( x) onde p( x) e q( x) 0 são funções polinomiais cujo q ( x)
grau p( x) q( x).
1º CASO: Se todas as raízes de q(x) são reais e simples (isto é, distintas duas a duas). Neste caso, seja a1 , a2 ,....., an as raízes de q(x) . Então
q( x) N .( x a1 ).( x a 2 ).( x a3 )........( x a n 1 ).( x a n ) , grauq( x) n e f(x)
p( x) ( x a1 )( x a 2 )( x a3 ).....( x a n 1 )( x a n ) )
A3 An 1 An A1 A2 ..... x a1 x a 2 x a3 x a n 1 x a n
Exemplos:
3x 1 dx x 4x 3 3x 1 3x 1 A A 1 2 2 x 4 x 3 ( x 3)( x 1) x 1 x 3
a)
2
3x 1 A1 ( x 1) A2 ( x 3)
40
para x 1 2 A2 (1 3) A2 1 para x 3 8 A1 (3 1) A1 4
Assim,
x
2
b)
3x 1 4 1 e x 1 x 3 x 4x 3 2
3x 1 dx dx x3 dx 4 4 ln x 1 ln x 3 C 4 ln C 1 x 1 x3 4x 3 ( x 1) 4
7x 2 6x 1 7x 2 6x 1 B C A dx dx dx 3 2 x( x 1)( x 2) x 3x 2 x x x 1 x 2
Determinando A, B e C : 7 x 2 6 x 1 A( x 1)( x 2) Bx ( x 2) Cx ( x 1). 1 2 para x 1 2 B B 2 17 para x 2 17 2C C 2 para x 0 1 2 A A
7x 2 6x 1 1 dx dx 17 dx 1 17 x 3 3x 2 2 x dx 2 x 2 x 1 2 x 2 2 ln x 2 ln x 1 2 ln x 2 C ln
x 17 x2 C x 1 2
Sugestão de atividade Exercícios propostos:
a)
xdx ( x 1)( x 3)( x 5)
b)
(5 x 3 12)dx x 3 5x 2 4 x
41
2º CASO: Se todas as raízes de q(x) são reais. Neste caso, seja a1 , a2 ,......, an1 , an as raízes de q(x) com multiplicidade m1 , m2 ,....., mn1 , mn . Então
grauq( x) m1 m2 ...... mn1 mn . q( x) M ( x a1 ) m1 ( x a2 ) m2 .......( x an1 ) mn 1 ( x an ) mn onde o f ( x)
p ( x) , podemos então reescrever ( x a1 ) ( x a 2 ) ...( x a n 1 ) mn 1 ( x a n ) mn m1
m2
f (x) através das frações parciais:
A2 A1 Am1 B1 B m2 B2 f ( x) ... ... 2 ( x a1 ) 2 ( x a1 ) m1 ( x a 2 ) ( x a 2 ) m2 ( x a2 ) ( x a1 ) K mn K1 K2 ... ... 2 mn ( x an ) ( x an ) ( x an )
...
42
Exemplos: a)
( x 1)dx A B C dx dx I 2 2 x2 x3 x 7 x 16 x 12 ( x 2) 3
x 3 7 x 2 16 x 12 ( x 2) 2 ( x 3) x 1 A B C 2 2 x3 ( x 2) ( x 3) x 2 ( x 2) x 1 A( x 2)( x 3) B ( x 3) C ( x 2) 2 para x 2 B 3 para x 3 C 4 para x 0 A 4 Fazendo as mudanças de variável : x 2 t dx dt ; s x-3 ds dx I 4
dx dx dx dt dt ds 3 4 4 3 2 4 2 x2 x3 t s ( x 2) t
4 ln x 2 4 ln x 3 4 ln
b)
3s 1 C 1
x-3 3 C x-2 x-2
A ( x 8)dx ( x 8)dx ( x 8)dx B C 3 2 2 2 2 x 4x 4x x( x 4 x 4) x( x 2) x x 2 ( x 2)
Determinando A, B e C : x 8 A(x 2 ) 2 Bx(x 2 ) Cx para x 2 C 3 para x 0 A 2 para x 1 B 2 logo, I 2 ln
dx dx dx 3 2 3 2 ln x 2 ln x 2 C 2 x x2 x2 ( x 2)
( x 2) 2 3 C 2 x2 x
dx I
43
Sugestão de atividade Calcule as integrais:
a)
dx ( x 1) 2 ( x 2)
b)
( x 2 3x 7)dx 2 x 3 7 x 2 8x 3
3º CASO: Consideremos uma função racional cujo denominador contém fatores lineares e/ou de 2º grau irredutíveis, e estes últimos, sem repetições.
f ( x)
p( x) onde q ( x) ( x a1 ) k1 ( x a 2 ) k2 ...( x a n ) k n ( x 2 b1 x c1 )( x 2 b2 x c 2 ).... q) x) ...( x 2 bt x ct )
f ( x)
então
p( x) ( x a1 ) ( x a 2 ) ...( x a n ) ( x b1 x c1 )( x 2 b2 x c 2 )...( x 2 bt x ct ) k1
k2
kn
2
A1 k1 A21 A2 k 2 A11 A12 A22 ... ... 2 ( x a2 ) 2 ( x a1 ) k1 ( x a 2 ) ( x a 2 ) k2 ( x a1 ) ( x a1 ) Ankn An1 An 2 B x C1 B x C2 2 1 ... 2 2 .... 1 2 kn ( x an ) ( x a n ) ( x b1 x c1 ) ( x b2 x c 2 ) ( x an ) Bt x C t ( x 2 bt x ct )
...
44
Exemplo:
A xdx xdx Bx C dx I 2 2 2 x x x 1 ( x 1)( x 1) ( x 1) ( x 1) x A( x 2 1) ( Bx C )( x 1) 1 Para x 1 1 2 A A 2 1 x 0 0 AC C 2 1 x 1' 1 2 A 2 B 2C B 2 1 dx 1 ( x 1)dx 1 dx 1 xdx 1 dx I 2 2 2 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 1 1 1 ln x 1 ln x 2 1 arctgx C 2 4 2 a)
3
Sugestão de atividade Calcule as integrais:
a)
c)
3x 7 dx x x 2 4x 4 3
8 x 16 dx 16 x 4
45
4º CASO: Consideremos uma função racional cujo denominador contém fatores lineares e/ou de 2º grau irredutíveis, e estes últimos com repetições.
f ( x)
p( x) onde q( x) ( x a1 ) k1 ( x a 2 ) k 2 ...( x a n ) k n ( x 2 b1 x c1 ) s1 ( x 2 b2 x c 2 ) s2 .... q ) x) ...( x 2 bt x ct ) s2
então f ( x)
p( x) ( x a1 ) ( x a 2 ) ...( x a n ) ( x b1 x c1 )( x 2 b2 x c 2 )...( x 2 bt x ct ) k1
k2
kn
2
A1 k1 A11 A12 ....... 2 ( x a1 ) k1 ( x a1 ) ( x a1 )
A2 k 2 A21 A22 .... (x a ) ( x a2 ) 2 ( x a 2 ) k2 2
Ankn An1 An 2 ..... ( x a )1 ( x a ) 2 ( x a n ) kn n n
...
B1s1 x C1s1 B11 x C11 B12 x C12 2 .... 2 2 2 (x b x c ) (x b x c ) ( x b1 x c1 ) s1 1 1 1 1
...
B 2 s2 x C 2 s2 B21 x C 21 B22 x C 22 2 ( x b x c ) ( x 2 b x c ) 2 ... ( x 2 b x c ) s2 2 2 2 2 2 2
...
Btst x C tst Bt 1 x C t 1 Bt 2 x C t 2 2 ... (x b x c ) (x 2 b x c )2 ( x 2 bt x ct ) st t t t t
...
46
Exemplos: a)
x
5
A Bx C Dx E dx 2 3 x 2x x x 1 x 2 12
dx Adx Bx C dx Dx E dx I x x2 1 ( x 2 1) 2
1 Ax 2 1 B x C xx 2 1 D x E x 2
1 A x 4 2 x 2 1 B x C x 3 x D x E x
1 A B x 4 C x 3 2 A B D x 2 C E x A2 A B 0 B 1 2 A B D 0 D 1 C E 0 E 0 A 1 e C0 I
dx 1 x dx x dx dx 1 dt 1 dt 1 1 2 2 2 ln x ln x 2 1 C 2 2 x 2 x 1 x 2 t 2 t 2 ( x 1) 2( x 1)
Fazendo x 2 1 t 2 x dx dt
b)
2 x
4
3x 2 2dx
x 1x 2 2
2
Dx E
x
2
2
2
A Bx C Dx E A Bx C 2 dx dx 2 dx ... 2 x 1 x 2 x 2 2 x 1 x 2
dx I
2 x 4 3 x 2 2 Ax 2 2 Bx C x 2 2 x 1 Dx E x 1 2
2 x 4 3 x 2 2 A B x 4 B C x 3 4 A 2 B C D x 2 ... 2 B 2C D E x 4 A _ 2C E A B 2 B 11/9 B C 0 C 11/9 4 A 2 B c D 3 D 4 / 3 2 B 2C D E C 12 / 9 4 A 2C E 2 A 7 / 9
47
I
7 dx 11 x 1 4 x 1 7 1 / 2( 2 x ) 1 4 1 / 2( 2 x ) 1 2 dx 2 dx dx 2 2 9 x 1 9 x 2 3 ( x 2) 9 3 ( x 2 2) 2 x 2
7 dx 11 2 x 11 dx 2 2x 4 dx 2 2 2 dx 2 (**) 2 9 x 1 18 x 2 9 x 2 3 ( x 2) 3 ( x 2) 2 7 11 11 1 x 2 1 4 x 4 1 x ln x 1 ln x 2 2 arc tg arc tg C 2 2 9 18 9 2 2 3 ( x 2) 3 3( x 2) 3 3 2 2 7 11 4x 6 5 x ln x 1 ln x 2 2 arc tg C 2 9 8 9( x 2) 3 2
1 7 ln x 1 x 2 2 9
x
dx 2
a2
2
-4 dx 3 x2 2
2/9
4x 6 5 x arc tg C 2 9( x 2) 3 2
1 n
x x2 a2 2n 3 dx 2 2 2a n 1 2a n 1 x 2 a 2
2
2.7
n 1
1 4 dx 4 x x2 2 2.2 3 dx 2 2 3 2 3 2.2.1 2.2.1 x 2 2 2 x 2 4 x 41 1 x x 1 x arc tg C arc tg C 2 2 3 4 x 2 3. 4 2 3 x 2 3 2 2 2
Exercícios : a)
x 1dx
x
2
9
2
b)
x
2 x 3dx 2
2 x 10
2
Integração de funções irracionais
Algumas funções apresentam-se sob a forma irracional, isto é, com radicais ou expoentes fracionários irredutíveis, para esses também existem processos de resolução adequados. Veremos os casos mais freqüentes.
48
1º CASO: ms ms m1 m2 m1 m2 ns n1 n2 n1 n2 Seja I R x, x , x ,....., x dx onde .R x, x , x ,....., x ns funções racionais e mi,ni são números inteiros.
indica apenas
O cálculo de integrais como esta consiste em uma mudança de variável do tipo x t k onde k mmc(n1,...., ns ), para transformar a integral dada em uma integral de função racional. Exemplo: 1
a)
x
3
dx x 1
x2
dx
1 3
t 3 6t 5 t8 1 dt 6 dt 6 t 6 t 4 t 2 1 2 dt C 2 2 t 1 t 1 t 1
x 1 mmc(3,2) 6 x t 6 dx 6t 5 dt
t7 t5 t3 1 t 1 C 6 t ln 5 3 2 t 1 7 6 6 x7 6 x5 6 x3 6 x 1 6 x 3ln C 6 7 5 3 x 1
b)
x4 x
dx
t
2
t 4t 3 t5 t4 4t 5 44 x 5 4 dt 4 dt 4 t dt C C 1 t 1 t 5 5
1 x mmc(2,4) 4 x t 4 dx 4t 3 dt 4
2º CASO: ms 1 m1 m2 ax b n1 ax b n2 ax b ns Seja I R x, , ,..., cx d cx d cx d
dx , onde
ms 1 m1 m2 ax b n1 ax b n2 ax b ns R x, , ,..., indica apenas funções racionais, cx d cx d cx d
números reais e mi , ni , são números inteiros.
a,b,c e d são
49
O cálculo de integrais como esta consiste em uma mudança de variável do tipo
ax b t k , onde k mmc (n1 , n2 ,..., ns ) , para transformar a integral dada numa integral cx d de função racional.
Você sabia? CUBO MÁGICO - Fridrich decifrou pela primeira vez as faces coloridas do cubo em 1981, quando era uma adolescente vivendo numa cidade tcheca mineradora de carvão. Fridrich, autodidata em cálculo diferencial e integral, esboçou a solução para o cubo mágico em um caderno surrado antes mesmo de possuir o brinquedo. Em conferências acadêmicas, Fridrich, 44, professora de engenharia elétrica, é freqüentemente desafiada a resolver o cubo na hora. Ela lida com e-mails de meninos de 13 anos do Japão e já inspirou inúmeros vídeos no YouTube de entusiastas do cubo que repetem seu método, propagado pela Internet no final dos anos 1990, quando o quebra-cabeça ressurgiu.
Exemplo: x 1 dx I x
a)
Fazendo x 1 t 2 dx 2t dt x 1 t I
t.2t dt t2 1 dt 2 dt 2 1 2 2t 2 arc tg t C dt 2 dt 2 2 2 2 t 1 t 1 t 1 t 1 2 x - 1 2 arc tg
b)
dx 3
2 x 32
2 x 3
x 1 C 3t 5 dt
t t 2 6 3
1 6 2
3t 5 dt t 5 dt t 2 dt 1 3 3 3 t 1 dt I 4 3 3 t 1 t 1 t t t t 1
t6 3 mmc(3,2) 6 t 2 x 3 x dx 3t 5 dt 2 6
1 1 dt 3t 2 32 x 3 3 I 3 t 1dt 3t 3 ln t 1 C 32 x 3 6 3 ln 2 x 3 6 1 C t 1 2 2 1
50
Sugestão de atividade Exercícios:
a) b)
2.8
x 3dx
x x2 x 3 1 x dx 1 x x2
Integração de funções trigonométricas
(I) (II) (III)
(I) - Seja
- Substituição universal - Funções envolvendo potências de seno e cosseno - Funções do tipo f (sen x). cos x ou f (cos x).sen x.
Rsen x, cos x dx
Exemplos :
dx sen x
;
onde R indica uma função racional. dx ; 1 senx cos x
dx sen x cos x
Integrais como estas são resolvidasmedianteuma substituição chamada x " substituição universal", que é tg t , que transforma a integral dada numa 2 integral racional. Observe que : tg x t 2
x arc tg t 2
É possível exprimir cos x
x 2 arc tg t dx
e senx em função de tg
2 dt 1 t2
x , e portanto de t. 2
51
A
B
sen 2 2 sen cos sen x 2 sen x / 2 . cos x / 2
cos2 cos 2 sen 2 cosx cos 2 x / 2 sen 2 x / 2
2 sen x / 2. cos x / 2 sen 2 x / 2 cos 2 x / 2
cos 2 x / 2 sen 2 x / 2 cos 2 x / 2 sen 2 x / 2
2 sen x / 2. cos x / 2 cos 2 x / 2 sen 2 x / 2 cos 2 x / 2 cos 2 x / 2
cos 2 x / 2 sen 2 x / 2 cos 2 x / 2 cos 2 x / 2 cos 2 x / 2 sen 2 x / 2 cos 2 x / 2 cos 2 x / 2
sen x / 2 / cos x / 2 sen 2 x / 2 1 cos 2 x / 2
1 - tg 2 x / 2 1 tg 2 x / 2
Concluímos então que:
sen x
2 tg x/ 2 1 tg 2 x/ 2
cos x
1-tg 2 x/ 2 1 tg 2 x/ 2
Portanto fazendo tg x/2 t temos que :
dx
2dt 2t ; senx 2 2 t 1 t 1
e
cos x
1 t 2 1 t 2
Exemplos : dx a) 1 -sen(x) cos (x)
2dt 2dt 2 dt t 1 t 2 1 2 ln 1 t C 2 2 2t 1 t t 1 2t 1 t 1 t 1 2 t 1 1 t 2 t 2 1
ln 1 tg x / 2 C
onde tg(x/ 2 ) t dx
2.dt 2.t 1- t2 e sen(x) , cos (x) t 2 1 t 2 1 1 t 2
52
2t sen( x) dx 2.dt t.dt t.dt b) t 1 . 2 4 2 I 2 2t t 1 1 sen( x) t 2t 1 t 1 t 12 . t 2 1 1 2 t 1 2
t tg ( x / 2) arctg (t ) x / 2 dx
2dt 1 t2
1 A B Ct D At 1. t 2 1 B t 2 1 Ct D t 1 t 12 . t 2 1 t 1 t 12 1 t 2 t 12 . t 2 1 A C 0, B 1, D 1 / 2
1 dt 1 dt I 4 2 2 2 t 1 2 t 1
(II) No caso em que tivermos
2 2 t 1 2.arctg (t ) C tg ( x / 2) 1 2.arctg ( x / 2) C
Rcos
n
x, sen m x com m e n inteiros, iremos
considerar três situações distintas:
(i) Para
m e n inteiros pares, com pelos menos um deles negativos. Nesse caso
faremos
uso
da 2
substituição
tg(x) t x arctg ( x) dx
2
dt 1 t 2
e
escreveremos sen (x) e cos (x) em função de t para transformar as integrais dadas em integrais de funções racionais.
53
sen 2 ( x) 1 cos 2 ( x) 1 tg 2 ( x) 1 2 2 2 cos ( x) cos ( x) cos ( x) cos 2 ( x) 1 1 1 tg 2 ( x) 1 cos 2 (x) 2 cos 2 (x) 2 2 cos ( x) tg (x) 1 t 1 sen 2 ( x) 1 cos 2 ( x)
sen 2 ( x) 1 cos 2 ( x) 1 -
1 t 2 11 t2 t2 1 t2 1 t2 1
sen 2 (x)
t2 t2 1
Exemplos : 1 3 cos ( x).dx t 1 . dt dt t C 1 C a) t 2 2 t 2 1 t 4 3 sen 4 ( x) tg 3 x 2 t 1 2
2
t2 sen 2 ( x).dx t2 At B Ct D t 2 1 . dt b) .dt 2 2 .dt I 2 2 2 2 2 1 cos ( x) t t 1 t 1 t 2 t 2 t 1 1 2 t 1 2 t At B Ct D At B t 2 2 Ct D t 2 1 2 2 A C 0, B 2 t2 1 t2 2 t 1 t 2 t2 1 t2 2
e D 1 I 2
t dt dt 2 2 arctg arctg t C 2 arctgx C t 1 t 2 2 2 2
Integrais do tipo substituições:
Rtg ( x).dx e Rcot g x.dx são também resolvidas mediante as
54
tg(x) t x arctg (t ) dx
dt dt e cotg(x) t x arc cot g ( x) dx t 1 1 t2 2
Exemplos : a)
t 1dt A Bt C .dt I 1 tg(x) 1 t dt .dx . 2 1 - tg(x) 1- t t 1 1- t t 2 1 1 t t 2 1
t 1 A Bt C t 1 At 2 1 Bt C 1- t A B 1, C 0 1- t t 2 1 1- t t 2 1 I
dt t.dt 1 1 ln 1 t ln 1 t 2 C ln 1 tg ( x) ln 1 tg 2 ( x) C 2 1 t 2 2 1 t
b) cot g 7 ( x).dx
-
t7 t .dt t 5 t 3 t 2 1 t 1 t2
t6 t 4 t 2 . dt ln 1 t 2 C 6 4 2
cotg 6 ( x) cot g 4 ( x) cot g 2 ( x) ln 1 cot g 2 (x) C 6 4 2
Sugestão de atividade Exercícios propostos:
a)
dx tg(x)-1
b)
dx sen ( x) tg 2 ( x) 2
Consulte também: http://www.dmat.ufba.br/mat042/aula7/aula7.htm
55
(ii)
Seja
cos
deles
é
m
( x). sen n ( x) dx onde m e n são inteiros e pelos menos um
ímpar, sem
perda
de
generalidade
suponhamos que
m 2 p 1. Nesse caso fazemos a seguinte substituição:
cos m ( x).sen n ( x) .dx cos (2 p 1) ( x).sen n ( x) .dx (cos 2 ( x)) p .cos( x).sen n ( x) .dx
(1 sen 2 ( x)) p .cos( x).sen n ( x) .dx (1 t 2 ) p .t n .dt I Fazendo sen( x) t cos( x).dx dt daí I é fácil de ser resolvida. Ou pode ocorrer a seguinte situação:
cos n ( x).sen m ( x) .dx cos n ( x).sen 2 p 1 ( x) .dx cos n ( x) .(cos 2 ( x)) p .sen( x) .dx
cos n ( x) p . 1 cos 2 ( x) .sen( x) .dx t n (1 t 2 ) p .dt I1 p
Fazendo cos( x) t sen( x).dx dt daí I1 também é uma integral fácil de ser resolvida. Exemplos:
a) cos2 ( x).sen5 ( x).dx cos 2 ( x) sen 2 ( x) sen( x)dx cos 2 ( x) 1 cos 2 ( x) sen( x) dx
- t2 1 t 2
2
2
dt t 2 4t 4 t 2
2
Fazendo cos( x) t sen( x).dx dt , obtemos: t3 t5 t7 4 C 3 5 7 3 cos x cos5 ( x) cos 7 ( x) 4 C 3 5 7
dt
2
56
b) cos3 ( x).sen3 ( x).dx cos2 ( x). cos( x).sen3 ( x).dx 1- sen2 (x) cos( x).sen3 ( x).dx Fazendo sen(x) t cos( x).dx.
t 3 t 5 dt
(iii)
sen( x) 4 sen( x) 6 C 4 6
m,n são pares não negativos. Nesse caso fazemos uso das
Quando
identidades trigonométricas:
cos ( 2 x) cos 2 (x) sen 2(x) cos 2 (x) cos ( 2 x) sen 2(x) cos ( 2 x) 1 cos 2 (x) 2 cos 2 (x) 1 cos ( 2 x) 1 cos ( 2 x) cos 2 (x) . 2
De maneira análoga temos que: sen 2(x)
1 cos ( 2 x) . 2
Assim, transformamos as integrais dadas em integrais de funções racionais.
Exemplo :
a) cos (x).dx 4
1 2 cos ( 2 x) cos 2 ( 2 x) 1 cos ( 2 x) .dx cos (x) .dx .dx 2 4
2
2
2
1 1 cos 2 (2 x) dx cos ( 2 x) .dx 4 .dx 4 2 dt du Fazendo 2 x t dx e 2t u dt 2 2
57
I
1 1 1 dx cos (t).dx cos 2 (t).dt 4 4 8 1 1 1 1 cos ( 2t) 1 1 1 dx cos (t).dt .dt dx cos (t).dt dt 4 4 8 2 4 4 16
1 1 1 1 1 cos ( 2t ).dt dx cos (t).dt dt cos (u ).du 16 4 4 16 32
3x sen( 2 x) sen( 4 x) C 8 4 32
. Agora, usando o raciocínio do exemplo anterior, tente resolver a seguinte 2 4 integral: ( cos (x)).(sen (x)).dx
(III) Sejam
sen(ax).cos (bx).dx , sen(ax).sen(bx).dx e cos (ax).sen(bx).dx , com a b.
Para resolvermos integrais desses tipos, vamos primeiro relembrar de algumas relações trigonométricas importantes:
(a) sen(ax bx) sen(ax). cos(bx) sen(bx) cos(ax) (b) sen(ax bx) sen(ax). cos(bx) sen(bx) cos(ax) (a) (b) sen(ax bx) sen(ax bx) 2 sen(ax). cos(bx)
sen(ax).co s(bx)
sen(ax bx) sen(ax bx) 2
58
(c) cos(ax bx) cos(ax). cos(bx) sen(ax) sen(bx) (d ) cos (ax bx) cos(ax). cos(bx) sen(ax) sen(bx) (c) (d ) cos(ax bx) cos(ax bx) 2 cos(ax). cos(bx)
cos(ax).co s(bx)
cos(ax bx) cos(ax bx) 2
(c) (d ) cos(ax bx) cos(ax bx) 2sen(ax).sen(b)
sen(ax).se n(bx)
cos(ax bx) cos(ax bx) 2
Usando as relações acima temos que:
sen(ax).cos (ax).dx 2 sen(a b)x sen(a b)x .dx 1
cos (ax).cos (bx).dx
1 cos (a b)x cos (a b)x .dx 2
sen(ax).sen(bx).dx 2 cos (a b)x cos (a b)x .dx 1
Exemplos:
59
a) cos(3 x). cos(8 x) .dx
1 1 1 1 cox (11x).dx cos(5 x).dx cos(t ).dt cos(u ).du 2 2 22 10
Fazendo 11x t dx
dt 11
, 5 x u dx
du , 5
sex(-x) -sen(x) e cos (-x) cos (x)
sen(11x) sen(5 x) sen(11x) sen(5 x) C C 22 10 22 10
b) sen(7 x).sen(4 x) .dx c) sen(3 x). cos(2 x).dx
sen(3 x) sen(11x) 1 1 cos(3 x)dx cos(11x).dx C 2 2 6 22
cos(5 x) cos( x) 1 1 sen(5 x)dx sen( x).dx C 2 2 10 2
Sugestão de atividade
Exercícios : a) sec ( 2 x).dx b) sen(5 x).sen(3 x) dx
Veja tabela de integrais trigonométricas: http://wapedia.mobi/pt/Lista_de_integrais_de_fun%C3%A7%C3%B5es_trigonom%C 3%A9tricas
60
2.9
Seja
Integração por substituição trigonométrica
R( x,
ax 2 bx c ).dx. , para resolver integrais desse tipo, seguiremos alguns
passos com o objetivo de transformá-las em integrais de uma função racional, de forma a relacioná-las com as funções trigonométricas sen(t), cos (t) ou tg( t); com os seguintes passos: 1) Transformamos o trinômio ax 2 bx c em uma soma ou diferença de quadrados, quando necessário; 2) Fazemos a substituição x
b t dx dt , para encontrarmos integrais 2a
do tipo:
a) R(t, a 2 t 2 ).dt b) R(t, t 2 a 2 ).dt c) R(t, t 2 a 2 ).dt a 2 t 2 é a, a, que é justamente o conjunto de
No caso a), o domínio da função
valores que a.cos (x) e a.sen(x) podem assumir. Fazendo a substituição ou mudança de variável
t a s e n (ou z )t a c o (s z , ) na integral, obteremos uma integral de
função racional em função de sen(z) e cos (z). Um triângulo retângulo, como segue nas figuras abaixo, facilita a visualização dessas relações trigonométricas envolvidas nos cálculos.
a t
z t
a2 t 2
61
Observe a aplicação do teorema de Pitágoras nesse triângulo retângulo:
sen( z )
t t a. sen( z ) dt a. cos( z ).dz a
a 2 t 2 a 2 a 2 sen( z ) a 2 (1 sen 2 ( z )) a cos 2 ( z ) a. cos( z ) Ou,
a a2 t 2
z t
t
cos( z )
t t a. cos( z ) dt a. sen( z ).dz a
a 2 t 2 a 2 a 2 cos( z ) a 2 (1 cos 2 ( z )) a sen 2 ( z ) a. sen( z )
62
Exemplo :
1 1 a) 1 - 4x 2 .dx 4( - x 2 ) .dx 2 ( ) 2 - x 2 4 2 Fazendo x
1 1 sen(t) dx cos (t).dt e 2 2
.dx I
1 1 x 2 cos(t ) 4 2
1 1 1 cos(2t ) 1 1 1 1 I 2 cos(t ) cos(t ) .dt cos 2 (t ).dt .dt dt cos(2t ).dt 2 2 2 4 4 2 2 1 1 du 1 1 arctg (2 x) 2 sen(t ). cos(t ) dt cos(u ) t sen(2t ) C C I1 4 4 2 4 8 4 8 Fazendo 2t u 2dt du ; 2 x sen(t) t arctg( 2 x) ; cot (t) 1-sen 2(t) 1 4 x 2 arctg (2 x) 4 x 1 4 x 2 I1 C 4 8 Exercício : a)
Na
integral
x 2 .dx 1 x2
dada
em
b)
R(t,
t 2 a 2 ).dt ,
o
domínio
da
função
t 2 a 2 é (-,-a] [a, ), que é justamente o conjunto de valores que a.sec (t)
a.cos sec (t) , podem assumir. Fazendo a substituição t a.sec (t) ou t a.cos sec (t) , na integral, obteremos uma integral de função racional em função de sen(t) e cos (t) . ou
Um triângulo retângulo, como na figura abaixo, facilita a visualização dessas relações trigonométricas envolvidas nos cálculos.
t t 2 a2
z z z z
z
a
63
Veja novamente a aplicação do teorema de Pitágoras:
cos( z )
a 1 t a. (t ) t a. sec 2 ( z ) dt a. sec( z ).tg ( z ).dz 2 t cos ( z )
t 2 a 2 a 2 sec 2 ( z ) a 2 a 2 (sec2 ( z ) 1) a tg 2 ( z ) a.tg ( z )
Exemplo:
a)
x2 x2 4
.dx
4. sec 2 (t ).tg (t ).dt I 2.tg (t )
Fazendo x 2 sec (t) dx 2.sec (t).tg(t). dt, assim sec (t)
x e como 2
sec 2 (t) 1 tg 2(t) temos que I 4 sec 3 (t ).dt 4
tg (t ). sec(t ) ln sec(t ) tg (t ) 2
2 Sabemos que: tg(t) sec (t) 1
x2 1 4
C
x2 4 . 2
Daí,
I 2tg(t). sec (t) 2 ln
sec (t) tg(t) C 2
x x2 4 x 2 ln 2 2
x2 4 x x . 2 ln 2 2 2
x2 4 C 2
x2 _ 4 x x2 4 C 2 ln x x 2 4 C 2 2
64
Sugestão de atividade
Exercícios :
a)
x 2 25 .dx x
b)
ln 3 x.dx x ln 2 x 4
Na integral dada em c)
R(t,
t 2 a 2 ).dt , o domínio da função
t 2 a 2 é R, que é
justamente o conjunto de valores que a.tg(t) ou a.cot g(t) , podem assumir. Fazendo a substituição t a.tg(t) ou t a.cos sec (t) , na integral, obteremos uma integral de função racional em função de sen(t) e
cos (t) .
Um triângulo retângulo, como na figura abaixo, facilita a visualização dessas relações trigonométricas envolvidas nos cálculos.
t 2 a2
t z z z z
a
Aqui também usamos a relação trigonométrica da tangente com a secante:
tg ( z )
t t a.tg (t ) dt a. sec 2 ( z ).dz a
t 2 a 2 a 2 tg 2 ( z ) a 2 a 2 (tg 2 ( z ) 1) a sec 2 ( z ) a. sec( z )
65
Exemplo : a)
dx x
2
x2 1
I
Fazendo tg (t ) e sen(t ) I
x x tg (t ) dx sec 2 (t ).dt ; cos(t ) 1
x2 1
x x2 1
sec 2 (t ).dt cos(t ).dt 1 x2 1 C C 1 sen(t ) x sen 2 (t ) 2 tg (t ) cos(t )
Exercícios : a)
1
x 3 .dx x2 4
b) x 2 2 x 2 .dx
x2 1
1 cos(t )
66
3
Integral definida
Antes de começarmos um estudo sobre a integral definida, vamos relembrar a ideia da soma de muitos termos. A soma, que geralmente é designada pela notação sigma, isto é,
, tem grande relação com o significado de uma integral definida. 6
Por exemplo, em vez de escrevermos 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6, podemos escrever
k . k 1
Tomando a convenção de que k assume valores de 1 até 6. Ou seja, 6
k 1 2 3 4 5 6 k 1
a soma dos seis primeiros números inteiros positivos.
Veja outro exemplo: 2
3k 2 (4) (1) 2 5 8
k 2
Em geral temos, n
F (k ) F (m) F (m 1) ... F (n) , onde m e n são inteiros, e m n .
k m
O número m é chamado o limite inferior da soma, e n é chamado o limite superior. O símbolo k (arbitrário) é denominado o índice da soma.
3.1 Interpretação geométrica
Os fundamentais problemas do cálculo são probl ema s
q ue
en vol vem
encontrar a inclinação da tangente à uma curva e, a determinação da área de uma região limitada por curvas. A derivada está relacionada com a tangente e a integral definida com o cálculo de áreas de certas regiões do plano cartesiano, cálculo do volume de figuras limitadas por superfícies ou de sólidos de revolução, ou ainda é também aplicada na resolução de problemas que envolvem o cálculo de alguma grandeza que caracterizam-se por integrar uma função associada a um diferencial.
67
Sabemos que, a área de uma região limitada por retas é facilmente calculável empregando as fórmulas conhecidas. Por exemplo, a área de um retângulo é o produto do seu comprimento pela sua altura. A área de um triângulo é o produto de uma base pela metade da altura correspondente. A área de um polígono pode ser obtida decompondo-o em triângulos.
No cálculo de área de regiões delimitadas por gráficos de funções utilizamos a teoria de limite e métodos de cálculos algébricos. Para essa finalidade, consideramos uma região R em um plano coordenado, delimitada por duas retas verticais x a e
x b e pelo gráfico de uma função f contínua e não negativa no
intervalo fechado [a, b] , conforme a figura abaixo.
Como f ( x) 0 para todo x em [a, b], o gráfico de f não tem parte alguma abaixo do eixo
x . Por conveniência tomamos a região R sob o gráfico de f de a
até b.
E consideramos um número A como a área da região R.
Queremos definir a área A da região R. Para chegarmos a essa definição, dividimos a região R em muitos retângulos de igual largura tal que cada retângulo esteja completamente inscrito no gráfico de f e intercepte o gráfico em pelo menos um ponto, conforme ilustração abaixo.
68
Observe que quanto maior o número de retângulos inscritos (podemos fazer a largura desses retângulos tenderem a zero), melhor a aproximação da área limitada pelo gráfico de f de a até b. A fronteira formada pela totalidade desses retângulos é chamado de polígono retangular inscrito. Usaremos a notação Ai para representar a área desse polígono.
Pelo teorema do valor médio, se uma função f é contínua num intervalo fechado
[a, b] , então existe um ponto ci em cada subintervalo de [a, b] , para o qual f toma um valor mínimo absoluto.
Definição 3.1: Suponhamos que a função f seja contínua no intervalo fechado
[a, b] , com f ( x) 0 para todo x [a, b] e que R seja a região limitada pela curva y f (x) , o eixo
x
e as retas x a e
x b.
Dividindo o intervalo [a, b] em n
(b a) subintervalos, cada um com comprimento x
n e denotamos o i-ésimo
subintervalo por [ xi 1 , xi ] . Então, se f (ci ) for o valor mínimo absoluto da função no i-ésimo subintervalo, a medida da área da região R é dada por n
A lim Ai lim f (ci )x n
n
i 1
69
Seguindo o mesmo raciocínio anterior de divisão dos subintervalos, podemos dividir o intervalo [a, b] em n subintervalos escolhendo (n-1) pontos intermediários quaisquer entre a e b. Esses pontos não são necessariamente equidistantes, daí teremos os comprimentos desses subintervalos, de tal forma que o i-ésimo subintervalo seja dado por i x xi xi 1 , para cada subintervalo, isto é, partição do intervalo [a, b] . Escolhendo um ponto
i em
é uma
cada subintervalo,
passamos a obter a soma: n
f ( ) x i 1
i
i
Tal soma é chamada uma soma de Riemann. ‘Você sabia? Você sabia que Bernhard Riemann teve uma grande contribuição para o cálculo integral?’
Definição 3.2: O limite da soma de Riemann é representado pela integral b
f ( x)dx a
que é chamada de integral definida de
f (x) entre os limites a e b ( a é o limite
inferior e b é o limite superior).
3.2 Teorema Fundamental do Cálculo
O teorema fundamental do cálculo foi estabelecido independentemente por Newton e Leibniz, por isso ambos receberam o mérito por uma das descobertas mais importantes do cálculo.
70
Teorema 3.1: Seja f uma função contínua em [a, b] :
i.
Se F é definida por b
F ( x) f (t )dt , x [a, b] , então F é uma primitiva de f em [a, b] . a
Se F é uma primitiva de f em [a, b] , então:
ii.
b
f (t )dt F (b) F (a) a
Conhecida também como fórmula de Newton-Leibniz.
b
f ( x)dx a
Sugestão de leitura: Veja o vídeo sobre o teorema fundamental do cálculo pelo link: http://www.youtube.com/watch?v=0lVJrnYDRI4
2
x dx . 3
Exemplo 1: Ache o valor da integral definida
0
Solução: 2
x4 0 x dx 4
2
3
0
(2) 4 (0) 4 40 4 4 4
Exemplo 2: Ache o valor da integral definida
2
cos xdx . 0
Solução:
71
2 cos xdx senx sen sen(0) 1 0 1 0 0 2 2
Sugestão de atividade Exercícios Calcule as integrais abaixo:
3
x dx 2
1)
0
2
e dx x
2)
0
2
3)
(2 x 6)dx 0
2
4)
1
ln x dx x
Para o cálculo do limite na definição anterior para a integral definida podemos restringir nossas partições ao caso em que todos os subintervalos [ xi 1 , xi ] têm o mesmo comprimento x . Uma partição deste tipo é dito partição regular. Obs.: Na notação da integral definida pode-se usar outras letras que não seja
x.
Isto é, se f é integrável em [a, b], então b
b
b
b
a
a
a
a
f (t )dt f ( x)dx f (s)ds f (w)dw , etc. Por essa razão a letra x na definição da integral definida, é chamada de variável muda.
72
Indicação de leitura: Souza, Antônio A. Aplicações do Cálculo, Salvador: Centro Editorial e Didático da UFBA, 1990. Este livro é bem prático, de fácil leitura, com bastante exemplos e exercícios.
3.3
Propriedades da integral definida
Se f (x) e g (x) são funções contínuas no intervalo de integração [a, b] e c é uma constante qualquer, então:
P1.
b
b
a
a
cf ( x)dx c f ( x)dx b
b
b
a
a
a
P2. [ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx
P3.
P4.
b
c
b
a
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx b
a
a
b
para a < c < b
f ( x)dx f ( x)dx b
b
a
a
P5. Se f ( x) g ( x) , então f ( x)dx g ( x)dx .
Relembrando: Teorema do valor médio (Lagrange) – Seja F (x) uma função contínua em [a, b] , e derivável em a, b , então existe c a, b tal que:
F ' (c )
F (b) F (a) ba
73
P6. Usando o teorema do valor médio, se f (x) é contínua em [a, b] , então existe
c em a, b , tal que b
a
b
1 f ( x)dx f (c)(b a) f ( x)dx f (c) b a a
3.4 Aplicações 3.4.1 Áreas compreendidas entre curvas Exemplo 1: Achar a área limitada pela curva y x 3 3x 2 , pelo eixo x e pelas retas
x = 0 e x = 2.
Solução: 2
x4 04 24 3 3 2 03 12 u.a A = ( x 3x )dx x 4 0 4 4 0 2
3
2
Convém lembrar que para o cálculo de áreas sob curvas é necessário o conhecimento do comportamento gráfico das funções, pois existem como no exemplo 1, funções cujos gráficos situam-se abaixo e acima do eixo x . Assim, a área total absoluta entre uma curva, o eixo x em um intervalo [a, b] é: Área total =
(áreas positivas) (áreas negativas)
De um modo geral se f ( x) 0 em [a, c] e f ( x) 0 em [c, b] , a área total absoluta b
é dada por A =
a
c
b
a
c
f ( x)dx = f ( x)dx f ( x)dx = A 1 - A 2 . Veja a figura a seguir, a
área A2 terá um valor negativo, por isso que fazemos: A 1 - A 2 , dessa forma somaremos as áreas A 1 e A 2 .
74
A1 a
b
c
A2
Exemplo 2: Achar a área limitada pela curva y = senx , o eixo x em [0,2 ] . Solução: Tomando como base o gráfico da função:
0
2
Temos então que: A =
2
2
sen xdx = sen xdx sen xdx = cos x cos x 0
0
2
0
A = cos cos 0 cos 2 cos 2 2 4 u.a.
Sejam f (x) e g (x) duas funções contínuas no intervalo [a, b] , tais que
0 g ( x) f ( x) para todo x do intervalo, então a área A da região compreendida entre os gráficos de f (x) e g (x) de x a a x b é dada por: b
A = [ f ( x) g ( x)]dx a
75
2 Exemplo 1: Achar a área limitada pelas curvas: y x e y x .
Solução: Achando os pontos de interseção das curvas:
x2 x
x 2 x 0 x 0 ou x 1
1
1
x 2 x3 1 ( x x ) dx Então: A = = = u.a. 3 0 6 2 0 1
2
Sugestão de atividade Exercícios Calcule as áreas abaixo definidas graficamente, usando integral definida:
a)
76
b)
c)
Sugestão de Leitura: http://pt.wikibooks.org/wiki/C%C3%A1lculo_(Volume_1)/Aplica%C3%A7%C3%B5es_das_integrais
77
3.4.2 Aplicações diversas da integral definida
São muitas as aplicações da integral definida. Por exemplo, na física há conceitos que têm implicações geométricas como centros de massa, em que a integral é utilizada para generalizar ideias de sistemas discretos de partículas localizadas em um número finito de pontos de um plano a uma distribuição contínua de massas numa região R. Na economia, encontramos conceitos como produção, receita e lucro, em que a integral também pode ser utilizada. Na química encontramos também problemas relacionados a integral definida, como variações de temperatura, pressão, volume, trabalho realizado, etc. Vejamos agora alguns problemas de aplicação de integral definida.
Exemplo 1: Por várias semanas, o Departamento de Trânsito vem observando a velocidade de veículos num determinado viaduto. Os dados sugerem que, entre 13 e 18 horas de um dia de semana normal, a velocidade dos veículos neste viaduto é dado aproximadamente por V (t ) 2t 21t 60t 40 km/h, em que t é o número 3
2
de horas transcorridas após o meio-dia. Calcule a velocidade média do tráfego entre 13 e 18 horas. Solução: Observe que podemos usar a integral definida para calcular o total de velocidades registradas nesse período e aplicar o teorema do valor médio para encontrar a velocidade média:
6
Vmédia
1 2t 3 21t 2 60t 40 dt 6 1 1 6
11 t 4 7t 3 30t 2 40t 52 1 1 456 63,5 5 78,5 km/h
Exemplo 2: Certo poço de petróleo que fornece 300 barris de petróleo por mês secará em 3 anos. Estima-se que, daqui a t meses, a receita do petróleo será dado
78
por R(t ) 18 0,3 t milhões de reais por barril. Sendo o petróleo vendido tão logo é extraído do poço, qual será a receita total futura do poço? Solução: Sabemos que a receita total nesse período de produção do poço pode ser calculada pela integral definida, então:
36
Rtotal 300.P (t )dt 0 36
300. 18 0,3 t dt 0 36
3 300.18t 0,2t 2 0 207.360 milhõesde reais
Exemplo 3: O trabalho realizado por um gás quando ele se expande é dado pela
relação: W PdV (P pressãoe V volume). Calcule W quando o gás se expande de 1,0 litro para 10 litros se:
a) P 1 atm, 10
W dV 1
v1
10
10 1 9 litros.atm
24,6 , V 10 24,6 W dV V 1
b) P
24,6.ln v 1
10
24,6. ln 10 56,64 litros.atm
79
Mais uma vez vemos a utilização da integral definida, desta feita para determinar o valor que representa uma grandeza física (trabalho), visto que a ela foi dada por uma integral, tendo uma variação em volume, bastou apenas usar essa variação como intervalo de integração.
Você sabia? Para calcular a área de uma superfície esférica usamos o mesmo raciocínio do cálculo
da
área
da
superfície
de
um
anel.
Veja
em:
http://obaricentrodamente.blogspot.com/search/label/Trigonometria
3.4.3 Aplicações de cálculo de volume em sólidos de revolução
Estudaremos agora alguns casos de sólidos de revolução gerados pela rotação de figuras planas sobre os eixos cartesianos. Mas, primeiro precisamos aprender como se determina um volume usando integral definida. Seja a função A(x), definida em [a, b] , contínua, então o volume do sólido é: b
V A( x)dx a
Observe que houve uma mudança no integrando, agora temos uma função que representa uma área. Como então fazer para obter essa função A(x)?
Quando rotacionamos uma região do plano xy em torno de uma reta (o eixo) realizando uma volta completa, o lugar geométrico descrito pelos pontos da região é o que chamamos um sólido de revolução.
Suponhamos que um sólido de revolução é obtido rotacionando-se, em torno do eixo Ox, uma região
R
delimitada pela curva y = f (x) , sendo f uma função contínua
num intervalo [a, b] , f (x) ≥ 0, e pelas retas verticais x a e x b , como mostra a figura abaixo
80
Para cada x [a, b] um plano perpendicular ao eixo Ox, cortando esse no ponto x, determina no sólido de revolução uma seção transversal que é um circulo centrado em x,0 e raio f (x) e portanto cuja área A( x) f ( x) . 2
Portanto, o volume do sólido de revolução é
b
b
V A( x)dx f ( x) dx. 2
a
a
Se um sólido de revolução S é obtido rotacionando-se em torno de eixo Oy, uma
R
região
delimitada pela curva x g ( y) , g contínua em [c, d ] , g ( y) 0 , e pelas
retas horizontais y c e y d , o volume V de S é dado por: b
V g ( y ) dy. 2
a
Se um sólido de revolução S é obtido rotacionando-se em torno de eixo Ox, uma região delimitada pelas curvas y f1 ( x) , y f 2 ( x) e pelas retas verticais x a e
x b , sendo f1 ( x) f 2 ( x) para a x b , o volume V de S é dado por b
V f1 ( x) f 2 ( x) dx. 2
2
a
Se um sólido de revolução S é obtido rotacionando-se em torno de eixo Oy, uma
81
região delimitada pelas curvas x g1 ( y) , x g 2 ( y) e pelas retas horizontais y c e y d , sendo g1 ( y) g 2 ( y) para c y d , o volume V de S é dado por: b
V g1 ( y ) g 2 ( y ) dy. 2
2
a
Vejamos alguns exemplos agora, que envolvem as situações de rotação em torno de Ox e em torno de Oy:
Exemplo 1: Considere a região do plano delimitada pelo eixo Ox, o gráfico de
y x , para 0 ≤ x ≤ 2, sendo girada primeiro ao redor do eixo x e depois ao redor do eixo y. Calcule o volume dos 2 sólidos gerados.
Solução: a) A partir da rotação em torno de Ox
A curva que limita a área da região que foi rotacionada é y
x , em x [0,2] ,
então temos que A( x) f ( x) A( x) x , aplicando a integral para calcular o 2
volume gerado:
82
2
b
x2 V A( x)dx xdx 2 0 a
2
2 u.v. 0
b) Com a rotação em torno de Oy
Para cada y [0, 2 ] , a seção transversal ao eixo y é um anel circular de raio externo igual 2 e raio interno igual x y e portanto tem área igual 2
A( y) 2 2 x 2 4 y 4 4 y 4
Logo o volume do sólido é igual a: 2
V
A( y)dy 0
16 2 4 y dy 5 2
4
u.v.
0
Exemplo 2: Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada 3 por y x e y
x no primeiro quadrante ao redor do eixo Ox. 4
Solução:
Primeiro precisamos encontrar os pontos de interseção:
83
x
1
3
x x 0, x 8 e y 0, y 2 . 4
Vamos analisar a rotação em torno de x:
Para cada x [0,2] , a seção transversal ao eixo x é um anel circular de raio
y2 3 x
externo
A( x)
3
e
raio
interno
y1
x , 4
e
portanto
tem
área
23 x 2 x x x . Logo o volume do sólido é: 16 4 2
2
2 x2 128 V x 3 dx u.v. 16 15 0 8
Sugestão de atividade Exercício proposto:
Que tal fazer o cálculo do volume do sólido obtido com a rotação dessa mesma região (exemplo 2) em torno de Oy?
84
4 Integrais Impróprias
No teorema fundamental do cálculo, os limites de integração da integral definida b
f ( x)dx,
a e b são números reais e f (x) é uma função contínua no intervalo
a
[a, b] . Pode acontecer que, ao aplicarmos esses conceitos, seja preciso ou conveniente considerar os casos em que a , b , ou
f (x) seja
descontínua em um ou mais pontos do intervalo. Nessas condições, é preciso ampliar o conceito de integral e as técnicas de integração, de modo a incluir esses casos adicionais. Essas integrais, em que
a ou b ou
f (x) é
descontínua em [a, b] , são chamadas integrais impróprias. Nem sempre uma integral desse tipo representa um número real, ou seja, nem sempre uma integral imprópria existe. Quando a integral imprópria existe, dizemos que ela converge, caso contrário dizemos que diverge. O valor da integral imprópria é calculado usando a generalização do conceito da integral definida.
Uma integral é dita imprópria quando o intervalo de integração não é finito ou quando a função não é limitada.
Observemos o exemplo: Exemplo 1: É possível calcular a área A da região entre y 1 e y
1 , para x 1? x2
Solução: Bem, se x 1, então se trata de um intervalo infinito pela direita, podemos então fazer um cálculo considerando o intervalo: 1 x b e passamos o limite com
b , veja como:
85
b
dx 1 1 A( x) lim 2 lim lim 1 1 b x b x 1 b b 1 b
Analise o gráfico abaixo que ilustra a área A:
4.1 Integral Imprópria com intervalo infinito
Definição 4.1: Seja y f (x) uma função contínua em [a, . Dizemos que a integral imprópria de f em [a, converge e é igual a:
f ( x)dx = a
t
lim
t
f ( x)dx a
caso esse limite exista (e seja finito), caso contrário dizemos que a integral imprópria de f em [a, diverge.
Se o resultado é um número real diz-se que a integral imprópria converge.
Se o limite não existe ou é infinito, diz-se que a integral imprópria diverge.
86
Exemplo 2: Estude a convergência da integral
dx
1 e
x
0
Temos que:
I
b
b
dx dx e x dx lim lim 0 1 e x b 0 1 e x b 0 1 e x e x
x
Veja que podemos usar o artifício algébrico de inserir e no numerador e denominador, sem alterar a fração, isto nos dá a possibilidade de fazer a mudança de variável:
t e x dt e x dx , devemos analisar os valores da nova variável t: x 0 t 1
x t eb
eb
b
dx e x dx tdt I lim lim x x x b b 1 t t 1 e 1 e e 0 0 1
Usando frações parciais eb
eb
eb tdt 1 1 I lim lim dt lim ln t 1 1 lim ln t b 1 t t b b b 1 t t 1 1
eb 1
eb ln 2 ln 1 ln 2. I lim ln e 1 ln 2 ln e ln 1 lim ln 2 ln b b b e 1
b
Logo a integral
b
dx
1 e
x
converge para ln 2 .
0
0
Exemplo 3: Estude a convergência da integral I
xe dx . x
Então temos:
87
0
I
xe
0
x
dx lim
b
xe
x
dx
b
Usando integração por partes para resolver a integral definida temos
u x du dx
dv e x dx v e x , lembrando que
udv uv vdu : I lim xe dx lim xe x b b b 0
x
e dx lim b.e e 0
0
x
b
b
b
b
x 0 b
Daí, encontramos:
I lim b.e b 1 e b 1 b
Sugestão de atividade Exercícios propostos: Determine os resultados das seguintes integrais impróprias:
1.
dx
x
3
1
2.
dx x 1
3.
dx
1
x
4.
cos( x)dx 0
5.
xe 1
x2
dx
lim b.e b 1 e b b
88
Definição 4.2: Seja y f (x) uma função contínua em . Tomemos a R um número qualquer. Dizemos que a integral imprópria de f (x) em
R converge e é
igual a: a
a
f ( x)dx f ( x)dx
I
se essas integrais forem ambas convergentes. Caso contrário (isto é, se pelo menos uma dessas integrais diverge) dizemos que a integral imprópria de
R diverge. Usamos a notação:
f ( x)dx
I
Obs.: A definição acima independe do número real a considerado. Exemplo 4: Estude a convergência da integral
I
xe
x
dx
Tomemos a = 0 e as integrais
I1
x xe dx e I 2 0
0
xe
x
dx
Como foi visto no exemplo 3, I2 converge. Vejamos I1,
I1
xe 0
b
x
dx lim
b
xe 0
x
dx
f (x) em
89
Usando integração por partes,
b
I 1 lim
b
xe 0
x
dx lim xe
x b
b
0
b e dx lim b.e e 1 lim e (b 1) 1 b
x
b
b
0
b
b
Como I1 diverge e I2 converge então I diverge.
Exemplo 5: Na figura a seguir a região sombreada é limitada pelo gráfico da função
f ( x)
1 e o eixo Ox. Verifique se existe um número real k que represente a x 1 2
área dessa região.
R e é uma função contínua, pois trata-se de uma função racional cujo denominador não se anula. Além disso, f (x) > 0 para todo x R . Se O domínio de f (x) é
existe k devemos ter que:9iu
dx dx x 2 1 converge e tomaremos k x 2 1 Sejam as integrais
0
dx dx I1 2 e I2 2 x 1 0 x 1 Temos,
90
dx dx b I1 2 lim 2 lim arctg ( x) 0 lim arctg (b) arctg (0) b b b 2 0 x 1 0 x 1 b
dx dx 0 lim arctg ( x) a lim arctg (0) arctg (a) 2 x 2 1 alim x 1 a a 2 a 0
I2
0
dx dx . Portanto a integral 2 converge, existe k e k 2 2 2 x 1 x 1
Sugestão de atividade Exercícios propostos: 1. Determine se a integral abaixo converge ou diverge. No caso de convergência, ache seu valor.
(a)
(b)
ln x dx (c) x e
dx 5 x 3
x2
e 0
x
3
dx
(d)
0
(e)
0
x 2 dx x3 1
(f)
dx
x 1
p
converge?
dx 3
x 1 xdx
(1 x 1
2. Para que valores de p a integral
2
)2
91
4.2 Um resultado importante: Comparação de integrais impróprias Se f e g são funções contínuas e 0 f (x) g (x) para todo x em [a, , então valem os seguintes testes de comparação para integrais impróprias:
(i)
Se
g ( x)dx converge então a
(ii)
Se
f ( x)dx a
f ( x)dx
também converge.
a
diverge então
g ( x)dx a
também diverge.
92
Referências
1. FLEMMING, Diva M., GONÇALVES, M. B. Cálculo B. São Paulo: Editora McGraw-Hill, 2004. 2. GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2001. Vol.1. 3. MORETTIN, Pedro A; BUSSAB, Wilton O.; HAZZAN, Samuel. Cálculo: funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Atual, 2003. 4. ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte. Porto Alegre: Bookman, 2004. Vol.1. 5. THOMAS, George B. Cálculo. São Paulo: Pearson, 2002. Vol.1. 6. SIMMONS, George F.; Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Makron Books. 1987. Vol.1. 7. PRATES, Eliana; MATOS, Ivana; YARTEY, Joseph e VELLOSO, Silvia. Aplicações
da
integral
simples.
Disponível
em:
www.twiki.ufba.br/twiki/pub/CalculoB/.../Aplicacao.pdf 8. CATTAI, Adriano P. Cálculo Diferencial e Integral II (Cálculo Aplicado). Disponível em: http://didisurf.googlepages.com/calculo2 9. VIEIRA SAMPAIO, João Carlos. Cálculo 1. Disponível em: www.dm.ufscar.br/~sampaio/calculo1.html
