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Sumário
1. NÚMEROS REAIS 4
1.1. CONJUNTOS NUMÉRICOS 4
1.2. DESIGUALDADES 5
1.3. SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES E INTERVALOS 6
1.4. VALOR ABSOLUTO 10
2. FUNCÕES E SEUS GRÁFICOS 12
2.1. DEFINIÇÕES 12
2.2. GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO 14
3. TIPOS DE FUNÇÕES 19
3.1. FUNÇÕES PARES E ÍMPARES 19
3.2. FUNÇÃO DO 1º GRAU 20
3.3. FUNÇÃO QUADRÁTICA 21
3.4. FUNÇÃO POLINOMIAL 22
3.5. FUNÇÕES RACIONAIS 23
3.6. FUNÇÃO EXPONENCIAL 24
3.7. FUNÇÃO LOGARÍTMICA 25
3.8. FUNÇÃO MODULAR 27
3.9. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 28
3.9.1. Função Seno 29
3.9.2. Função Cosseno 30
3.9.3. Função Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante 30
3.10. EXERCÍCIOS DE REVISÃO I 31
3.11. ÁLGEBRA DE FUNÇÕES 33
3.12. COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES 34
3.14. FUNÇÕES INVERSAS 35
3.15. EXERCÍCIOS DE REVISÃO II 37
4. LIMITE E CONTINUIDADE 39
4.1. DEFINIÇÃO 39
4.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES DE FUNÇÕES 43
4.2.1. Exercícios propostos 44
4.3 CONTINUIDADE E LIMITES LATERAIS 45
4.3.1. Funções contínuas 45
4.3.2. Limites laterais 48
4.3.3. Exercícios propostos 49
4.4 LIMITES TRIGONOMÉTRICOS 49
4.4.1. Exercícios propostos 50
4.5 LIMITES ENVOLVENDO O INFINITO 51
4.6 LIMITES NO INFINITO 54
4.6.1. Exercícios propostos 57
5. A DERIVADA 61
5.1. TAXA DE VARIAÇÃO 61
5.2. COEFICIENTE ANGULAR DA RETA TANGENTE 63
5.3. A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO 66
5.4. REGRAS BÁSICAS DE DERIVAÇÃO 67
5.4.1. Exercícios propostos 69
5.5. A REGRA DA CADEIA 70
5.5.1. Exercícios propostos 72
5.6. DERIVADA DE FUNÇÕES ELEMENTARES 73
5.6.1. Derivada da função exponencial 73
5.6.2. Derivada da função inversa 74
5.6.3. Derivada da função logarítmica 75
5.6.4. Derivada das funções trigonométricas 76
5.7. DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR 78
5.7.1. Exercícios propostos 80
5.8. DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 81
5.8.1. Exercícios propostos 83
1. NÚMEROS REAIS
1.1. CONJUNTOS NUMÉRICOS
Os primeiros números conhecidos são os chamados inteiros positivos ou
naturais, representados por:
Os números -1, -2, -3, -4, ... são chamados inteiros negativos. A união dos
números naturais com os inteiros negativos e o zero (0) define o conjunto
dos números inteiros representados por:
Os números da forma são chamados de frações e formam o conjunto dos
números racionais.
Os números que não podem ser representados por , tais como ,
, formam o conjunto dos números irracionais, representados por
Q'.
Da união dos conjuntos dos números racionais com o conjunto dos números
irracionais, resulta o conjunto dos números reais representados por:
(= Q ( Q'
Se x e y são quaisquer números reais, então somente uma das alternativas
abaixo é verdadeira:
1. x < y
2. x > y
3. x = y
Se fixarmos y = 0 observamos que somente uma das condições abaixo é
verdadeira:
1. x < 0, neste caso x é um número real negativo.
2. x > 0, neste caso x é um número real positivo.
3. x = 0, neste caso x não é nem positivo nem negativo.
Numa escala numérica horizontal, os números positivos são coordenadas de
pontos situados à direita da origem, e os números negativos são coordenadas
de pontos situados à esquerda da origem.
1.2. DESIGUALDADES
Suponha que a, b, c e d sejam números reais.
1. Se a < b, então a + c < b + c
2. Se a < b e c < d, então a + c < b + d
3. Se a < b e c > 0, então e
4. Se a < b e c < 0, então e
5. Se a < b e b < c, então a < c
Exemplo:
a) Mostre que
Dividindo ambos os termos por 59.(9), temos
(regra 3)
Multiplicando ambos os membros pelo negativo -1, inverte-se a desigualdade
(regra 4)
b) Prove que se 0 < x < y, então x2 < y2.
x < y
Multiplicando ambos os termos por x e depois por y, temos:
x (x) < y (x) ( x2 < xy ( x2 (y)< xy (y) ( x2 y <
xy2
Como x > 0 e x < y, logo x2 < y2
1.3. SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES E INTERVALOS
Resolva a inequação
somando-se –x a ambos os lados
somando-se 1 a ambos os lados
dividindo ambos os lados por 4
0 1
1 não pertence ao conjunto solução
Portanto a solução é o conjunto de todos os números reais que são maiores
que 1. O conjunto solução consiste de um trecho da reta. Tais conjuntos,
denominados intervalos, sempre surgem como conjunto solução de inequações.
Os intervalos são classificados da seguinte forma:
Sejam a e b números reais com a < b
1. Intervalo aberto denota-se por .
2. Intervalo fechado denota-se por [a, b] .
3. Intervalo aberto à direita denota-se por [a, b) ou [a, b[.
4. Intervalo aberto à esquerda denota-se por (a, b] ou ]a, b].
5. Intervalo aberto de a até + ( denota-se por (a, +() ou ]a, +([.
6. Intervalo aberto de - ( até a denota-se por (- (, a) ou ]- (,
a[.
7. Intervalo fechado de a até + ( denota-se por [a, +() ou [a, +([.
8. Intervalo fechado de - ( até a denota-se por (- (, a] ou ]- (,
a].
Exemplos:
Determine todos os intervalos que satisfazem as desigualdades abaixo:
a)
ou (-6, +()
b)
ou
c) , x -7
Multiplicar ambos os membros por x + 7. Devemos considerar dois casos.
1º caso: x + 7 > 0 ou x > -7
2º caso: x + 7 < 0 ou x < -7
A solução final é S = (-7, +() ( ou
d)
A igualdade somente acontece quando x = -1 ou x = -2. A
desigualdade ocorre se e somente se (x + 1) e (x + 2) têm o
mesmo sinal algébrico.
1º caso: x + 1 > 0 e x + 2 > 0
x + 1 > 0 ou x > -1
x + 2 > 0 ou x> -2
Solução
2º caso: x + 1 < 0 e x + 2 < 0
x + 1 < 0 ( x < -1
x + 2 < 0 ( x< -2
Solução
A solução final é S = [-1, +() ( ou
e)
A inequação é verdadeira somente se o numerador e o denominador
apresentarem sinais algébricos opostos.
1º caso: 3x + 5 > 0 e x - 5 < 0
Solução
2º caso: 3x + 5 < 0 e x - 5 > 0
Observe que não haverá valor de x que atenda ao mesmo tempo o
intervalo e . Portanto a solução do 2º caso é o conjunto
vazio.
A solução final portanto é o intervalo aberto
1.4. VALOR ABSOLUTO
Se x é um número real, então o valor absoluto de x, representado por " x ",
é definido por:
Geometricamente o valor absoluto de x, também chamado de módulo de x,
representa a distância entre x e 0. Escreve-se então .
Propriedades do valor absoluto
Suponha que x e y são números reais. Então:
1.
2.
3.
4. se y 0
5. se, e somente se,
6. se, e somente se, -y < x < y
7. se, e somente se, ou
Exemplos:
Determine o valor de x nas equações e inequações abaixo.
1.
Pela propriedade 5, a equação dada equivale ou .
2.
Pela propriedade 6, a desigualdade acima equivale a .
S = x (
2. FUNCÕES E SEUS GRÁFICOS
2.1. DEFINIÇÕES
A idéia geral de função é simples. Suponha que uma quantidade variável "y"
dependa de um modo bem definido de outra quantidade variável "x". Portanto
para cada valor particular de x existe um único valor correspondente de y.
Tal correspondência é denominada função e diz-se que a variável y é uma
função da variável x.
Exemplo:
x representa o raio de um círculo.
y representa a área deste círculo
Então, y depende de x de um modo bem definido, ou seja, A = ( r2 ou y = (
x2.
Por conseguinte, diz-se que a área de um círculo é uma função do seu
raio.
Se f é uma função, representa-se o valor de y que corresponde a x como
f(x), lê-se "f de x". Para o exemplo da área do círculo, tem-se que f(x) =
( x2.
Uma função f é uma regra ou correspondência que faz associar um e somente
um valor da variável y para cada valor da variável x. A variável x é
denominada variável independente e pode tomar qualquer valor num conjunto
de números denominado "domínio de f". Para cada valor de x no domínio de f,
o valor correspondente de y é denotado por f(x) tal que y = f(x). A
variável y é denominada variável dependente, visto que seu valor depende de
x. O conjunto de valores assumidos por y à medida que x varia no domínio é
denominado "imagem de f".
Exemplo:
c) Sejam
( i ) dada pelo diagrama abaixo é uma função de A em B
( ii )
é uma função de A em B
d) Sejam
não é uma função de A em B pois o elemento 3 ( A não tem
correspondente em B
Exemplos:
Determinar o domínio e a imagem das seguintes funções:
a)
Esta função só não é definida para . Logo .
b)
Para não está definida. Então .
c)
não está definida para . .
2.2. GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO
O gráfico de uma função f é o conjunto de todos os pontos (x, y) de um
plano coordenado tal que x pertence ao domínio de f e y à imagem de f.
Sendo .
Exemplo:
Esboce o gráfico de uma função f definida pela equação com a
restrição x > 0.
Observe que o ponto (0, 0) não pertence ao gráfico de f(x), dada a condição
de restrição x > 0.
Consideremos o gráfico seguinte:
A curva ao lado representa o gráfico de uma função?
Não. Porque se fx é uma função, um ponto do seu domínio pode ter somente
uma imagem.
Portanto o gráfico de uma função não pode passar acima ou abaixo de si
mesma. Assim, o domínio de uma função é o conjunto de todas as abscissas
dos pontos sobre o gráfico, enquanto que sua imagem é o conjunto de todas
as ordenadas dos pontos do seu gráfico.
Exemplo: Seja f uma função definida pela equação com a restrição
. Esboce o gráfico de f e determine o seu domínio e imagem.
Lembre-se que , ou seja, e que pela restrição , portanto
.
" " "
" " "
" " "
"0 "1 "
"1 "4 "
"-1 "-2 "
""0 "
2. y = " x "
A variável independente x pode assumir qualquer valor, portanto o domínio é
o conjunto de todos os números reais . Para , tem-se ,
enquanto que para tem-se . A variável dependente y não pode ser
negativa mas pode assumir qualquer valor não negativo. Assim a imagem de
.
3.
Pelo gráfico, temos
4.
A função é definida para todos os valores de , excetuando-se
(que anula o denominador da fração); portanto o domínio consiste em dois
intervalos. .
Portanto para
Concluímos então que a condição equivale a desde que .
Logo, o gráfico consiste em todos os pontos da reta exceto o ponto
, que é excluído, ou seja, com x 2, a função não existe para y = 4.
A imagem de são todos os números reais exceto o 4, ou seja, .
5. Considere a função g(x) = 4x + 7. Calcule para h 0 e simplifique
sua resposta.
Na notação para as funções não é essencial a escolha de x e y para
representar as variareis independentes e dependentes, respectivamente.
Assim, podemos denotá-las por y = f(t), s = f(t) ou mesmo x = f(y). Por
exemplo, o volume V de uma esfera é uma função do seu raio r, assim:
V = f(r) ou .
Exercícios:
1. Ache o domínio e a imagem da função definida pela equação dada e
esboce o seu gráfico.
a) y = -5x + 7
b) y = " -2 x "
c)
d)
2. Seja g a função definida por g(x) = x (x + 1) ( x + 2) (x + 3). Mostre
que para a -1 e a -5,
3. É necessário que um retângulo tenha a área de 25 cm2, mas suas dimensões
podem variar. Se um lado tem comprimento x, expresse o perímetro p como
função de x.
3. TIPOS DE FUNÇÕES
3.1. FUNÇÕES PARES E ÍMPARES
Considere as funções f e g, definidas pelas equações e .
Esboçando o gráfico de cada uma delas, temos:
Podemos observar que:
1. O gráfico de f é simétrico em relação ao eixo y, isto é, se o ponto
(x, y) pertence ao gráfico, o ponto (-x, y) também pertence. Logo f(-
x) = f(x).
2. O gráfico de g é simétrico em relação à origem, isto é, se o ponto (x,
y) pertence ao gráfico, o ponto (-x, -y) também pertence. Portanto, g(-
x) = - g(x).
De modo geral podemos definir estes tipos de funções como:
"Uma função f é par se, para todo x no domínio de f, -x pertence
também ao domínio de f e f(-x) = f(x)."
"Uma função f é ímpar se, para todo x no domínio de f, -x pertence
também ao domínio de f e f(-x) = - f(x)."
Função par ( gráfico simétrico em relação ao eixo y.
Função ímpar ( gráfico simétrico em relação à origem.
Exemplos:
1. Mostre que as funções abaixo são pares
a) g(x) = x4 b) f(t) = 2t2 + 3" t "
a) g(-x) = (-x)4 = x4 = g(x), portanto g é uma função par
b) f(-t) = 2(-t)2 + 3 " -t " = 2t2 + 3" t " = f(t), portanto f é uma função
par.
2. Mostre que as funções abaixo são ímpares:
a) g(x) = x5 + x3 b) f(x) = x " x "
a) g(-x) = (-x)5 + (-x)3 = -x5 – x3 = -( x5 + x3) = -g(x), portanto g é uma
função ímpar
b) f(-x) = -x " -x " = -x " x " = - f(t), portanto f é uma função ímpar.
Funções nem pares nem ímpares:
a) f(x) = 1 + x b) f(x) = x3 + 4
f(-x) = 1 – x f(-x) = - x3 + 4
3.2. FUNÇÃO DO 1º GRAU
Função do 1º grau é toda função que associa a cada número real x, o número
ax + b, com a 0. Os números reais a e b são chamados coeficientes angular
e linear, respectivamente.
a > 0 ( f(x) = ax + b é crescente [f(x) cresce com x]
a < 0 ( f(x) = ax + b é decrescente [f(x) decresce com x]
O gráfico da função f(x) = ax + b é uma reta não paralela aos eixos
coordenados.
e
Exemplos:
a) f(x) = 2x + 3
b) f(x) = -3x + 1
c) No MRU, o espaço percorrido s = so + vt [s = f(t)]
3.3. FUNÇÃO QUADRÁTICA
Função definida por f(x) = ax2 + bx + c, com a 0. O gráfico de uma função
quadrática é uma parábola com o eixo de simetria paralelo ao eixo y.
Se a > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima. Se a < 0, a
concavidade está voltada para baixo.
Exemplos:
a) f(x) = - x2 + 2x – 1 x1 = x2 = 1
b) f(x) = x2 – 2x + 4 ( = -12
c) f(x) = x2 -2x – 3 x1 = 3 e x2 = -1
Zeros ou raízes da função:
a) ( < 0 ( f(x) não tem zero real
b) ( = 0 ( f(x) tem zero real duplo
c) ( > 0 ( f(x) tem dois zeros reais desiguais
Gráfico da função:
a) ( < 0 ( gráfico não toca o eixo dos x
b) ( = 0 ( gráfico tangencia o eixo dos x
c) ( > 0 ( gráfico corta o eixo dos x
Coordenadas do vértice da parábola: e
Soma das raízes: Produto das raízes:
O domínio é igual a (, ou seja,
A depende do vértice em y e do sinal de a:
a) a > 0 (
b) a < 0 (
3.4. FUNÇÃO POLINOMIAL
Função definida por uma equação da forma , onde n é um inteiro não
negativo e os coeficientes são números reais constantes. Se an 0
diz-se que esta função polinomial é de grau n.
Exemplo:
a) f(x) = 7 + 5x - 3x2 – 8x3 (grau 3)
b) f(x) = a0 (função constante)
c) f(x) = x (função identidade)
d) f(x) = 5x5 – 6x +7 (grau 5)
Verifique se a função é uma função polinomial. Em caso afirmativo, indique
o grau e identifique os coeficientes.
a) f(x) = 6x2 – 3x - 8
Função polinomial de grau 2 – coeficientes a0 = -8, a1 = -3 e a2 = 6
b) f(x) = x -3 + 2x
Como n não pode ser negativo, logo, f(x) não é uma função polinomial.
c) g(x) = (x -3) (x-2) – x3
g(x) = (x -3) (x-2) – x3 = x2 – 2x – 3x + 6 – x3 = - x3 + x2 – 5x + 6,
logo, g(x) é uma função polinomial de grau 3 e seus coeficientes são
a0 = 6, a1 = -5, a2 = 1 e a3 = -1
d) f(x) = x4 – 5-1x3 + 20
f(x) = x4 – x3 + 20, logo, f(x) é uma função polinomial de
grau 4 e seus coeficientes são a0 = 20, a1 = 0, a2 = 0, a3 = e
a4 = .
3.5. FUNÇÕES RACIONAIS
A soma, diferença ou produto de duas funções polinomiais é ainda uma função
polinomial, mas o quociente de duas polinomiais não é, geralmente, uma
função polinomial.
Função racional é definida como o quociente de duas funções polinomiais, ou
seja, onde q(x) não é uma função constante nula.
O domínio consiste em todos os valores de x para os quais q(x) 0.
Exemplos:
a)
b)
3.6. FUNÇÃO EXPONENCIAL
Chamamos de função exponencial de base a, a função f de ( em ( que associa
a cada x real o número ax, sendo "a" um número real (com a 1 e a > 0).
e
Quanto ao seu gráfico, a função f(x) = ax apresenta as seguintes
particularidades:
a) A curva está toda acima do eixo das abscissas, pois > 0 para
todo x ( (.
b) Corta o eixo das ordenadas no ponto (0, 1).
c) f(x) é crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1.
Exemplo:
a)
b)
c)
3.7. FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Dado um número real a (0 < a 1), chama-se função logarítmica de base "a"
à função de (+* em ( que associa a cada x o número , ou seja, .
Condição de existência da função logarítmica:
e
A função logarítmica é a inversa da função exponencial. Com relação ao
gráfico da pode-se afirmar:
a) Está toda à direita do eixo y.
b) Corta o eixo das abscissas no ponto (1, 0).
c) é crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1.
d) É simétrico ao gráfico da função em relação à reta y = x.
Exemplos:
a)
b)
Pela condição de existência da função logarítmica x2 – 1 > 0. Logo o
domínio da função é .
c)
3.8. FUNÇÃO MODULAR
A função definida por chama-se função modular. O seu domínio é ( e
sua imagem é . A função pode ser expressa por .
Exemplo:
Construir o gráfico das funções:
a)
b)
3.9. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Certas fórmulas fundamentais do cálculo tornam-se muito mais simples se os
ângulos são medidos em radianos e não em graus. Por definição, a medida de
um ângulo ( em radianos é o número de vezes que o raio como unidade de
comprimento está contido no arco s subentendido pelo ângulo ( num círculo
de raio r. Isto é
Visto que o comprimento da circunferência e o arco subentendido é
360º, tem-se radianos, isto é, radianos, ou .
3.9.1. Função Seno
Seja x um número real. Marcamos um ângulo com medida x radianos na
circunferência unitária com centro na origem. Seja P o ponto de interseção
do lado terminal do ângulo x, com essa circunferência.
Denominamos sen de x a ordenada do ponto P em relação ao sistema U 0
V.
Definimos a função seno como a função f de ( em que a cada x ( ( faz
corresponder o número real , isto é:
f : ( ( (
x ( .
O domínio da função seno é ( e o conjunto imagem é o intervalo . A
função é periódica e seu período é 2(, já que . Em alguns
intervalos sen x é crescente e em outros é decrescente. O gráfico da função
, denominado senóide, pode ser visto na figura abaixo.
3.9.2. Função Cosseno
Seja x um número real. Denominamos cosseno de x a abscissa do ponto P
em relação ao sistema U 0 V. Definimos a função cosseno como a função f de
( em que a cada x ( ( faz corresponder o número real , isto é,
f : ( ( (
x ( .
O domínio da função cosseno é ( e o conjunto imagem é o intervalo . A
função é periódica e seu período é 2(, já que . Em alguns
intervalos cos x é crescente e em outros é decrescente. O gráfico da função
, denominado cossenóide, pode ser visto na figura abaixo.
3.9.3. Função Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante
Estas funções são definidas em termos de seno e cosseno. As funções
tangente e secante são, respectivamente, denotadas pelos símbolos tg e sec
e definidas por:
;
para todos os números reais x tais que .
As funções cotangente e cossecante são, respectivamente, denotadas por cotg
e cosec e definidas por:
;
para todos os números reais x tais que sen x 0.
O domínio das funções tg x e sec x é o conjunto de todos os números reais x
para os quais cos x 0. Como cos x = 0 quando x for , isto é, quando
, , temos .
Analogamente, o domínio das funções cotangente e cossecante é o conjunto de
todos os números reais x para os quais sen x 0. Como sen x = 0 para
, , temos . Os gráficos dessas funções podem ser vistos nas
figuras abaixo. Podemos observar que as funções tangente e cotangente são
periódicas de período ( e que as funções secante e cossecante são
periódicas de período 2(.
3.10. EXERCÍCIOS DE REVISÃO I
1) De acordo com a sua definição, quais das seguintes relações não são
funções?
a) o conjunto de pares ordenados (x , y) com x y2 = 1
b) o conjunto de pares ordenados (x , y) com x = y
c) o conjunto de pares ordenados (x , y) com y = x2
d) o conjunto de pares ordenados (x , y) com x = y2
2) Ache o domínio e a imagem da função definida pela equação dada e esboce
o seu gráfico:
a) y = (2x - 3(
b)
c)
d) y = (x – 1) (x – 3)
3) Seja f uma função com domínio R.
a) Define-se uma função g pela equação . Prove que g é ímpar.
b) Define-se uma função h pela equação . Prove que h é par.
4) Verifique se a função dada é par, ímpar ou nem par nem ímpar
a)
b)
c)
d)
e)
5) Escreva as funções abaixo, sabendo-se que são funções do 1º grau.
Verifique se as mesmas são crescente ou decrescente.
a)
b)
6) A função f definida pela equação .é uma função constante?
7) Se , mostrar que .
8) Construir o gráfico das seguintes funções:
a) se a = 2 e a = ½
b)
c)
9) Exprima como função de x, a área total de uma caixa de volume dado V,
sabendo-se que a base é um quadrado de lado x.
3.11. ÁLGEBRA DE FUNÇÕES
Sejam f e g duas funções cujos domínios se sobreponham. Definem-se as f +
g, f – g, f.g e f/g pelas seguintes equações:
Em cada caso, o domínio da função definida consiste em todos os valores de
x comuns aos domínios de f e g, exceto que no quarto caso os valores para
os quais g(x) = 0 serão excluídos.
3.12. COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES
Sejam f e g duas funções que satisfaçam a condição de que pelo menos um
número da imagem de g pertence ao domínio de f. Então a composição de f e
g, simbolizada por , é a função definida pela equação
Exemplo:
Seja , e
a) Ache e
b) Calcule e
c) Ache
3.14. FUNÇÕES INVERSAS
Duas funções f e g são inversas, se as quatro condições seguintes são
satisfeitas:
a) a imagem de g está contida no domínio de f.
b) para todo número real x no domínio de g.
c) a imagem de f está contida no domínio de g.
d) para todo número real x no domínio de f.
Uma função f para a qual exista a tal função g é dita invertível.
Exemplo:
Verifique se as funções e são inversas.
a)
b)
c)
d)
Logo f e g são inversas
Supondo que f seja uma função invertível, define-se a inversa da função f,
simbolizada por , como a função cujo gráfico é simétrico do gráfico de
f em relação à reta . A função é denominada a inversa de f.
Exemplo: Determine a inversa da função dada
a)
1º Passo: faça
2º Passo: resolva a equação para x em função de y
3º Passo: troque x por y na equação parra obter
b)
c)
d) Mostre que as funções f e g definidas por e são inversas
uma da outra.
Como , logo f e g são funções inversas uma da outra.
3.15. EXERCÍCIOS DE REVISÃO II
1) Construa o gráfico das seguintes funções:
a)
b)
c)
d)
e)
2) Determine o domínio das funções abaixo:
a)
b)
c)
d)
e)
3) Seja f uma função definida por e g definida por . Determine
cada expressão abaixo:
a)
b)
c)
d)
e)
4) Sejam f, g e h definidas por , e . Expresse cada uma das
funções abaixo através das composições de funções escolhidas entre f, g
e h.
a)
b)
c)
d)
e)
5) Mostre que as funções e são inversas uma da outra.
6) Determine a inversa de cada uma das funções abaixo:
a)
b)
c)
d)
e)
4. LIMITE E CONTINUIDADE
4.1. DEFINIÇÃO
Considere a função f(x) = x2 definida para valores próximos de 2 mas não
necessariamente igual a 2. Note que f(x) fica cada vez mais próximo de 4
quando mais e mais x se aproxima de 2.
Atribuindo valores para x próximos de 2, tal que x < 2, temos:
"x "1,00 "
No cálculo, freqüentemente há interesse nos valores de quando x está
muito próximo de um número a, mas não necessariamente igual a esse número
a. Na verdade em muitos casos o número a não pertence ao domínio de f, isto
é, não está definida. De modo não rigoroso, pergunta-se: na medida em
que x se aproxima cada vez mais de a (mas x a), f(x) fica cada vez mais
próximo de algum número L? Se a resposta é sim, dizemos que o limite de
f(x) quando x tende para a é igual a L.
Generalizando, se f é uma função e a é um número, entende-se a notação
como "o limite de f(x) quando x tende a a é L", isto é, f(x) se aproxima do
número L quando x se aproxima de a.
Exemplo: Se , então calcule .
Temos que , logo não podemos substituir x = 2 na expressão acima.
Agora para x 2, . Portanto .
Voltando ao primeiro exemplo, chegamos ao seguinte:
Se 1,9 < x < 2,1 então 3,6 < f(x) < 4,4
Se 1,99 < x < 2,01 então 3,96 < f(x) < 4,04
Para denotar o quanto L está próximo de f(x) e quanto x está próximo de a,
utiliza-se os números reais representados pelas letras ( e (,
respectivamente.
Se 2 – δ < x < 2 + δ então 4 – ε < f(x) < 5 + ε
Por exemplo, a primeira expressão decorre da sentença acima fazendo δ = 0,1
e ε = 0,2 e assim por diante. Podemos ainda afirmar que se x está no
intervalo aberto (2 – δ, 2 + δ), então f(x) está no intervalo aberto (5 –
ε, 5 + ε).
Se f(x) está perto de L, implica que, " f(x) – L " é pequeno. Da mesma
forma, x está perto de a quando " x – a " é pequeno. Sendo assim, afirmar
que é afirmar que, para qualquer número positivo (, por menor que ele
seja, haverá sempre um número positivo ( suficientemente pequeno tal que "
f(x) – L " < ( sempre que 0 < " x – a " < (.
Geometricamente, significa que, para x a, podemos garantir que f(x)
se encontra em qualquer pequeno intervalo aberto em torno de L se
garantirmos que x está em um intervalo aberto escolhido em torno de a.
Dessa forma, podemos definir limite como:
"Seja f uma função definida em um intervalo aberto qualquer que contenha a,
excluindo o valor a. A afirmação significa que, para cada numero
positivo (, há um número positivo ( tal que " f(x) – L " < ( sempre que 0 <
" x – a " < (."
Exemplo:
1. Dado ( = 0,03, determine um ( positivo tal que "(3x + 7) – 1" < ( sempre
que 0 < " x – (-2) " < (.
Temos
"(3x + 7) – 1" = "3x + 6" = "3(x + 2)" = 3 "x+ 2" e " x – (-2) " = "x
+ 2",
Devemos determinar um ( positivo tal que 3 "x+ 2" < 0,03 seja válido
sempre que 0 < "x + 2" < (.
Podemos escrever 3 "x+ 2" < 0,03 como "x + 2" < 0,01. Logo podemos tomar
( = 0,01, como qualquer outro valor menor.
2. Usando a definição mostre que .
Devemos mostrar que para todo , existe tal que e
.
Assim:
tomando δ =
De fato, temos que:
4.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES DE FUNÇÕES
Se e existem, e c é um número real qualquer, então:
a)
b)
c) desde que
d)
e) , para qualquer inteiro positivo n.
f) se e n é um número inteiro positivo, ou se e n é um
inteiro ímpar.
g)
h) , se c é uma constante qualquer.
i)
j) , se .
k)
Exemplos:
1. Calcule
2. Seja a função definida por .Calcule .
Como no cálculo do limite de uma função quando x tende a a interessa o
comportamento da função quando x se aproxima de a e não o que ocorre com
a função quando x = a, temos:
3. Calcule
4.2.1. Exercícios propostos
1. Calcule os limites abaixo, utilizando as propriedades dos limites.
2.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
3. Seja a função definida em por . Calcule .
4. É dada a função definida em por . Calcule
Respostas:
1) a) 3 b) 8 c) 16 d) e) f)
g) 15 h) 12 i) 8 j) 6 k) 5 l)
m) 0 n) -1 o) p)
2) 3)
4.3 CONTINUIDADE E LIMITES LATERAIS
4.3.1. Funções contínuas
Diz-se que uma função f é contínua em um número a se e somente se as
seguintes condições forem válidas:
i. f(a) é definido
ii. existe
iii.
Exemplo:
1. Verificar se a função f(x) = x2 é contínua em 2.
i. f(2) é definido?
f(2) = 22 = 4, logo f(2) é definido
ii. existe?
, logo existe.
iii. ?
4 = 4
Portanto f(x) = x2 é contínua em 2.
Graficamente
2. Verificar se a função f definida por é contínua para o número -1.
i. f(-1) é definido?
f(-1) = 3, portanto definido
ii. existe?
f(x) = 2x + 1 para todo x -1
, logo existe.
iii. ?
-1 3
Conclui-se que f(x) é descontínua em -1.
iv. Gráfico de f(x)
OBSERVAÇÃO:
Dizemos que uma função é contínua em um intervalo fechado se e somente se
ela for contínua em todos os números do intervalo aberto.
Definição.: Seja f uma função definida em um intervalo fechado [a, b], f é
contínua em [a, b], se f é contínua em ]a, b[ e se, além disso e
.
Exemplo:
Verifique se é contínua em [1, 3]
Condição de existência: (1, 3)
é contínua em [1, 3]
4.3.2. Limites laterais
A função f definida por é contínua em 3?.
i. f(3) é definido?
f(3) = 5 – 3 = 2, portanto definido
ii. existe?
, logo não existe.
Portanto f(x) é descontínua em 3.
Observe que
, ou seja, f(x) tende a 7 quando x tende a 3 para valores menores
que 3 ou pela esquerda. Denota-se x( 3-.
, ou seja, a função f(x) tende a 2 quando x tende a 3 para
valores maiores que 3 ou pela direita. Denota-se x( 3+.
Os limites de f(x) pela esquerda e pela direita de um número são chamados
limites laterais. Quando os limites laterais de f(x) não são iguais, não é
possível haver o limite de f(x) quando x tende ao número "a".
se e somente se e .
4.3.3. Exercícios propostos
1. Determinar os limites laterais de f(x) no ponto proposto.
a) , a = 3
b) , a = 0
c) , a = 2
d) , a = -1
e)
4.4 LIMITES TRIGONOMÉTRICOS
Vamos considerar a função , definida em . Não chegaria a
constituir problema o cálculo de limite como:
Surge, entretanto, o problema do . Atribuindo a x sucessivamente os
valores 0,10; 0,09; 0,08; ...; 0,01 e calculando , construiremos a
tabela:
" " " " "
"0,10 "0,0998334"0,99833 "1,00166 "
"0,09 "0,0898785"0,99865 "1,00135 "
"0,08 "0,0799147"0,99893 "1,00106 "
" " " " "
"0,02 "0,0199987"0,99993 "1,000065 "
"0,01 "0,0099998"0,99998 "1,00002 "
" " " " "
Observe que surge uma tendência de para o valor 1. É isso mesmo que
ocorre, ou seja:
Exemplos:
a)
b)
c)
d)
4.4.1. Exercícios propostos
1. Dê os valores dos limites
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
j) k)
Respostas
a) 1 b) c) 3 d) e) 1 f)
2
g) 0 h) i) 0 j) 1 k)
4.5 LIMITES ENVOLVENDO O INFINITO
1. Estudar a função quando x se aproxima de zero.
""-1 "-0,5 "-0,25 "-0,1 "-0,01 "-0,001 "
""-10 "-100 "-1.000"-10.00"-100.000" "
" " " " "0 " " "
""2 "2,01 "2,001 "2,0001"2,00001 " "
""10 "100 "1.000 "10.000"100.000 " "
Quando se aproxima de 2 pela direita, aumenta sem limite.
Quando se aproxima de 2 pela esquerda, diminui sem limite.
Existem em geral quatro possibilidades para limites infinitos.
Para funções do tipo , se o denominador da fração tende a zero
enquanto o numerador tende a um número qualquer diferente de zero, a fração
tenderá a ter um enorme valor absoluto, ou seja,
e então .
Exemplo:
1. Seja , determinar , e quando a tende a 3.
Note que:
e , consequentemente
a) Quando x tende a 3 pela direita, tal que x > 3, o numerador
tende a 34.
x2 – x – 6 = (x - 3)(x + 2)
Se x > 3, então x – 3 > 0 e x + 2 > 0, logo x2 – x – 6 > 0
Conclui-se que
b) Quando x tende a 3 pela esquerda, ou seja, x < 3, o numerador
tende a 34.
Se x < 3, então x – 3 < 0 e x + 2 > 0, logo x2 – x – 6 < 0
Conclui-se que
c) Como e , segue-se que não existe.
2. Seja , determinar , e quando a tende a 5.
e , consequentemente
a)
b)
c) Como , conclui-u se que
4.6 LIMITES NO INFINITO
Considere a função . Cada vez que x cresce ilimitadamente, o valor da
função f(x) se aproxima de zero. Podemos escrever que .
Quando x decresce ilimitadamente, o valor da função tende a zero, ou seja
.
Naturalmente, a definição significa que f(x) pode se tornar bastante
grande se escolhermos x adequadamente grande. Analogamente, podemos aplicar
as expressões:
No cálculo de limites no infinito, é sempre bom lembrar que para qualquer
inteiro positivo p, e .
Ao se trabalhar com limites no infinito de funções racionais, é muito útil
dividir o numerador e o denominador pela variável independente elevada à
maior potência que apareça na fração.
Exemplos: Calcule o limite dado
1.
Quando x cresce, tanto o numerador como o denominador crescem, ficando
difícil prever o que acontece à fração.
Quando x tende a +(, tende a zero, logo também tende a zero.
2.
Na última fração, quando x tende a -(, o numerador tende a 1 enquanto que o
denominador tende a 0. Então o valor absoluto da fração tende a +(.
O fato da fração tender a +( ou -( depende do denominador ser
positivo ou negativo quando x é negativo e tem um valor absoluto grande, ou
seja, quando x ( -(.
3.
Indeterminação do tipo
4.
Indeterminação do tipo
5.
Indeterminação do tipo
6.
Indeterminação do tipo ( - (
7.
Indeterminação do tipo
8.
Indeterminação do tipo
4.6.1. Exercícios propostos
1. Se , dê o valor de:
a) b)
2. Para , dê o valor de:
a) b)
3. Dê o valor do limite em cada caso:
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
4. Considerando a função , definida para , dê o valor do limite
quando existir:
a) b)
c) d)
e) f)
5. Para a função , dê os "valores" de:
a) b)
c) d)
6. Dê os valores de:
a) b)
c) d)
e) f)
g)
7. Para ,. Calcule:
a) b)
c)
8. Sendo , calcule:
a) b)
9. Calcule:
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
i) j)
k) l)
m) n)
o)
Respostas:
1. a) b)
2. a) b)
3. a) b) c) d)
3
e) 0 f) g) 1 h)
4. a) b) -1 c) e
d) e) 2 f) 0
5. a) 0 b) 0 c) d)
6. a) 0 b) 0 c) 1 d) 1
e) f) g)
7. a) b) c) 2
8. a) b)
9. a) b) c) 1 d) e)
f) 0 g) 0 h) 0 i) 0 j) 0
k) 0 l) 1 m) -1 n) o)
5. A DERIVADA
5.1. TAXA DE VARIAÇÃO
Um automóvel circula através de uma estrada da cidade A para a cidade B,
com uma taxa variável de velocidade "v". A distância "d" do automóvel à
cidade A depende do tempo "t" gasto desde o início da jornada. Suponhamos
que as funções f e g nos dão a distância d e a velocidade v,
respectivamente, em termos de t, ou seja:
d = f(t)
v = g(t)
Considerando que a velocidade v é constante e igual a 80 km/h, temos:
Após um pequeno intervalo de tempo adicional h, o automóvel está a f(t + h)
distante da cidade A e sua velocidade é g(t + h).
O percurso percorrido pelo automóvel no intervalo de tempo h é f(t + h) –
f(t). Logo, sua velocidade média é .
Se o intervalo de tempo h é muito pequeno, a velocidade g(t + h) não será
muito diferente da velocidade g(t) no tempo t. E durante este pequeno
intervalo de tempo, a velocidade do automóvel deverá ser aproximadamente
igual à sua velocidade média .
Quando o intervalo h tende a zero, ou seja, vai diminuindo, a velocidade
neste instante é dada por:
Generalizando, temos:
Sejam x e y quantidades variáveis e suponha que y dependa de x, tal que y =
f(x). Vamos calcular a taxa de variação de y por unidade de variação de x,
quando este varia de x1 a x2. De forma que:
y1 = f(x1) e y2 = f(x2)
(x = x2 – x1
(y = y2 – y1 = f(x2) – f(x1)
A taxa de variação média de y por unidade de variação de x é dada por:
Se a taxa de variação média de y em relação a x tende a um valor limitado
quando (x tende a zero, podemos chamá-lo de taxa de variação instantânea e
defini-lo por:
Exemplo:
1. Um cubo de metal com aresta x é expandido uniformemente quando aquecido.
Calcule:
a) A taxa de variação média de seu volume em relação à aresta quando x
aumenta de 2 para 2,01 cm.
Volume do cubo = y ( y = x3
x = 2 ( y = 23 =8
x = 2,01 ( y = (2,01)3 =8,120601
b) A taxa de variação instantânea de seu volume em relação a aresta x no
instante em que x = 2 cm.
2. Uma partícula se move sobre uma linha reta de modo que, no final de t
segundos, sua distância s em metros do ponto de partida é dada por s =
3t2 + t. Calcule a velocidade da partícula no instante t = 2 segundos.
5.2. COEFICIENTE ANGULAR DA RETA TANGENTE
Seja P(x1, y1) um ponto no gráfico de um função f, tal que y1 = f(x1).
Queremos calcular a reta tangente ao gráfico de f em P.
Para determinarmos precisamente a posição da reta tangente basta
determinarmos o seu coeficiente angular e conhecermos um ponto pertencente
a ela. Seja Q(x1+(x, y1+ (y) um ponto pertencente à reta secante PQ.
(y = y2 – y1 = f(x1 + (x) – f(x1) ( y2 = f(x1 + (x)
O coeficiente angular ou inclinação da reta secante é dado por:
Se (x tender a zero, o ponto Q se moverá sobre a curva y = f(x) e tenderá
ao ponto P. Com isso, a reta secante gira em torno do ponto P e tenderá
para a reta tangente.
Dessa forma, se (x tende a zero, a inclinação da reta secante tende
para a inclinação m da reta tangente, ou seja, , que é o coeficiente
angular da reta tangente ao gráfico de f em P.
Exemplos
Calcule o coeficiente angular m da reta tangente ao gráfico de cada função
no ponto indicado e determine a equação da reta tangente:
1. f(x) = 2x – x2 em (1, 1)
A equação da reta tangente é dada por , logo, para m = 0 e o ponto
(1,1), temos:
2. , em (7, 2)
3. Encontre a equação da reta tangente à curva , que seja paralela à
reta 8x - 4y + 1= 0.
Retas paralelas: m(x1) = m
5.3. A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO
A derivada de uma função y = f(x) é a função conhecida por f'(x), lê-se "f
linha de x", tal que seu valor para todo é dado por , se este
limite existir.
Uma função é derivável se a derivada existir em todos os pontos de seu
domínio.
Notações de derivada:
( derivada de f(x) em relação a x
( derivada de y em relação a x
( derivada de y em relação a x
Exemplos:
1. Dada f(x) = 5x2 + 6x – 1, encontre f'(2).
2. Dada , encontre f'(x).
3. Dada , encontre f'(v).
5.4. REGRAS BÁSICAS DE DERIVAÇÃO
a) Regra da constante
Se "c" é uma constante e f(x) = c para todo x, então f'(x) = 0.
b) Regra da identidade
A derivada da função identidade é a função constante 1, ou seja, se f(x)
= x então f'(x) = 1.
c) Regra da potência
Se "n" é um número inteiro positivo e f(x) = xn, então f'(x) = n . xn-1.
Exemplo: f(x) = x5, então f'(x) = 5 . x5 - 1 = 5x4
f(x) = x, então f'(x) = 1 . x1 - 1 = 1
f(x) = x10, então f'(x) = 10 . x10 - 1 = 10x9
d) Regra da homogeneidade
A derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a
derivada da função.
Exemplo: f(x) = 5x4, então f'(x) = 5 . Dx x4 = 5 . 4 . x3 = 20x3
g(z) = -2z7, então g'(x) = -2 . Dz z7 = -2 . 7 . z6 = -14z6
h(x) = ¾x4, então f'(x) = ¾ . Dx x4 = ¾ . 4 . x3 = 3x3
e) Regra da soma
A derivada de uma soma é a soma das derivadas. Se h(x) = f(x) + g(x)
então h'(x) = f'(x) + g'(x).
i) Seja f(x) = 3x4 + 8x + 5. Determine f'(x).
f'(x) = 3.4.x3 + 8.1 + 0 = 12x3 + 8
ii) Seja . Determine y'.
f) Regra da multiplicação, regra do produto ou regra de Leibniz
Se f e g são funções diferenciáveis de x, então a derivada de f.g pode
ser definida por:
i)
ii)
g) Regra do quociente
Sejam f e g funções diferenciáveis em x e h a função definida por ,
com g(x) 0. Então a derivada de h(x) é:
i) Calcule .
ii) Encontrar f'(x) sendo .
iii) Se , encontre g'(x).
5.4.1. Exercícios propostos
Nos problemas abaixo, derive cada função aplicando as regras básicas para
derivação.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
Respostas:
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
j) k) l)
m) n) o) p)
5.5. A REGRA DA CADEIA
Se y é uma função diferenciável de u e se u é uma função diferenciável de
x, então y é uma função diferenciável de x, e
Exemplo: Dada as funções abaixo, determinar y' ou f'(x).
1.
Fazendo , temos
Do exemplo dado podemos tirar que se "u" é uma função diferenciável e "n"
um número inteiro não nulo, então:
2.
3.
4. Seja a função . Use a regra da cadeia para determinar y'.
Fazendo , temos . Neste caso é necessário fazer de forma
que e a partir daí aplicar a regra da cadeia.
5. Dada a função , determinar f'(x).
Podemos escrever
5.5.1. Exercícios propostos
1. Calcule a derivada das funções abaixo:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
2. Um triângulo eqüilátero feito de uma folha de metal é expandido pois foi
aquecido. Sua área A é dada por centímetros quadrados, onde x é o
comprimento de um lado em centímetros. Calcule a taxa de variação
instantânea de A em relação a x no instante em que centímetros.
3. Calcule o coeficiente angular m da reta tangente ao gráfico da função
no ponto (0, 3), esboce o gráfico e mostre a reta tangente no
ponto.
4. Encontre a equação para a reta normal à curva no ponto (-2, 9).
5.6. DERIVADA DE FUNÇÕES ELEMENTARES
5.6.1. Derivada da função exponencial
Se , com 0 < a 1, temos
Exemplos:
1)
2)
3)
4)
Daí vem: se e , então, .
5.6.2. Derivada da função inversa
Seja uma função definida em um intervalo aberto (a, b). Supondo que
f(x) admita uma função inversa . Se f'(x) existe e é diferente de zero
para qualquer , então é derivável e vale
Exemplo:
1. Seja . A sua inversa é .
Se y = 8, temos
Para
Para
5.6.3. Derivada da função logarítmica
A inversa da função é a função . Derivando a inversa de y,
temos:
Como , vem:
Portanto, podemos concluir que a derivada da função logarítmica é
.
Exemplos:
1.
2.
3.
4.
5.6.4. Derivada das funções trigonométricas
Se
Se
Se
Se
Se
Se
Exemplos:
1.
2.
3. Calcule y' se
4.
5.
6.
7.
5.7. DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
A idéia de "segunda derivada" vem naturalmente em conexão com o movimento
de uma partícula P ao longo de uma reta orientada. Chama-se a reta de "eixo
s" e denota-se a coordenada variável de P por s, tal que , onde f é
uma função determinando a localização de P no tempo t. A equação é
chamada de "lei do movimento" ou a "equação do movimento" da partícula.
A "velocidade v" da partícula P é definida como a taxa de variação da
coordenada s de P em relação ao tempo. Assim,
.
Na física, a variação instantânea de velocidade em relação ao tempo é
denominada "aceleração" de P; logo,
.
Entretanto, a aceleração é a derivada da velocidade (ou, como dizemos, a
segunda derivada) da coordenada s em relação ao tempo.
Exemplo:
1. Se , para t > 0, com s em metros e t em segundos, ache as
expressões da velocidade e da aceleração.
A derivada de f'(x) é representada por f"(x) (leia-se f duas linhas de x).
Denominamos f"(x) de derivada de segunda ordem, ou simplesmente de derivada
segunda da função f(x). Sua derivada é representada por f"'(x), chamadas de
derivada terceira ou derivada de terceira ordem.
A derivada de ordem n ou n-ésima derivada de f, representada por f(n)(x), é
obtida derivando-se a derivada de ordem n-1 de f. Neste caso, os parênteses
ao redor de n são colocados para evitar que seja confundido com um
expoente. Daí:,
, ,
e assim por diante.
Exemplos:
1. Calcule f'' da função
2. Determine a derivada segunda das funções abaixo:
a)
b)
3. Encontre todas as derivadas de ordem superior da função :
5.7.1. Exercícios propostos
1. Uma partícula está se movendo ao longo de um eixo, de acordo com a lei
de movimento . Ache a velocidade e a aceleração da mesma em cada
caso:
a)
b)
c) , onde são constantes.
2. Determine a derivada segunda das funções abaixo:
a)
b)
c)
3. Mostre que a derivada de ordem n da função é dada por .
5.8. DERIVAÇÃO IMPLÍCITA
A equação pode ser resolvida em função de x obtendo-se , o que
acarreta . O mesmo resultado pode ser obtido diretamente da equação
original simplesmente pela derivaçao de ambos os lados termo a termo,
obtendo então e, em seguida, determinando . A última técnica é
denominada derivação implícita.
Processo para derivação implícita
Dada uma equação na qual se estabelece y implicitamente como uma função
diferenciável de x, calcula-se do seguinte modo:
a) Derive ambos os membros da equação em relação a x, isto é, aplique o
operador aos dois membros da equação termo a termo.
b) Isole
Exemplo:
1. Determine y' sabendo-se que é uma função implícita definida pela
equação .
Derivando ambos os membros da equação em relação a x, vem:
Isole
2. Ache y' se .
3. Calcule y' se .
4. Encontre y' se .
5. Determine y' se .
6. Determine y' se .
7. Determine y' se .
5.8.1. Exercícios propostos
1. Determine y' com o emprego da derivação implícita.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
2. Determine y" das seguintes funções implícitas.
a)
b)
c)
Respostas:
1. a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
j) k)
2. a) b) c)
-----------------------
1 .
2 .
3 .
4 .
. 2
. 3
. 4
. 5
A
B
A
. 2
. 3
. 4
. 5
1 .
2 .
3 .
4 .
B
A
. 1
. 2
3 .
4 .
5 .
.
B
P
Q
x1
x
y
fx
y
y
fx
x
y
Imagem de f(x)
Domínio de fx
Imagem de fx
f(x)
4
f(x)
x ( 2 ( x
Centro Universitário do Leste de Minas de Gerais
UNILESTEMG
Coronel Fabriciano - MG
CÁLCULO I
CÁLCULO DAS FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
PROFº REGINALDO PINTO BARBOSA
PROFª DAYSE MARA PEREIRA DA COSTA
Janeiro de 2009
2
1
x
y
feiro de 2009
2
1
x
y
f(x)
x
0
x
y
f
a - ( a a + (
f(a + ()
L
f(a - ()
y
1
-1
x
(-1, 3)
y
x
x (
x
f(x)
y
Posição do automóvel no tempo t
x
Cidade B
Cidade A
d
t + h
f(t + h)
t
B
A
f(t)
Q (x1+ (x, y1 + (y )
reta secante
y = f(x)
reta tangente
P(x1, y1)
x1
y1
x2 = x1 + (x
x
Q
y1 + (y = y2
(y
(x
y
2
x
y
(
a
b
(
s
s
O
P
)
b
a
[
]
b
a
[
)
b
a
(
]
a
(
a
)
a
[
a
]
-1
(
-2
(
-1
(
-1
)
-2
)
-2
)
(
5
)
5
)
(
5
)
(
