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Prof. Anderson Fonseca Júnior
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Derivada -Visão Geométrica Reta tangente a um círculo
P
O
L
A reta L será tangente ao círculo no ponto P se passar por P
perpendicularmente ao raio OP.
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Derivada -Visão Geométrica Reta tangente a uma curva Como a maioria das curvas não têm centro, o conceito utilizado para a reta tangente a um círculo não pode ser empregado neste
caso. Para definirmos tangência para curvas em geral, precisamos de um método dinâmico que leve em conta o comportamento das secantes que passam por P e pontos próximos Q, quando Q se move em direção a P ao longo da curva. Tangente Q’’ P
Q’
Q
Secante
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A Reta Tangente e a Derivada Considere o gráfico da função y=f(x) indicado na figura. Em que : • ∆x = incremento da variável x • ∆y = incremento da função • s é uma reta secante à curva
• t é uma reta tangente à curva no ponto A(x0,y0) • Tgβ= ∆y/∆x (considerando o triângulo ABC)
Note que, quando ∆x→0, o ponto B tenderá ao ponto A e a reta secante s tenderá à reta tangente t; com conseqüência, o ângulo β tenderá a α , e teremos:
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Derivada Denomina-se derivada da função f(x) no ponto de abscissa x0, o limite, se existir e for finito, da razão abaixo quando ∆x tende a zero.
Fazendo ∆x=x-x0
x=x0+∆x, podemos concluir que se ∆x tende a zero
equivale dizer que x tende a x0.
Substituindo, obtemos outra expressão equivalente.
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Derivada
Portanto, a derivada de f(x) significa a taxa
de variação instantânea de f(x) numa abcissa x, ou então a inclinação (crescente, estável ou decrescente) em x. A derivada f`(x) mede como a função varia em x: muito (positivo ou negativo), pouco (positivo ou negativo) ou nada.
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Derivada em x f ` (x1) = tg < 0
y
y
f `(x2) = tg = 0
tg x1 x2
x3
x1 x2
x4
x3
x4
f `(x4) = tg = 0
y
y
f `( x3) = tg > 0
tg
x1 x2
x3
x4
x1 x2
x3
x4
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Derivada
Portanto: -Para função f(x) crescente: f’(x)>0. -Para função f(x) mínima ou máxima: f’(x)=0. -Para função f(x) decrescente: f’(x)<0.
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Notação de Derivada Existem vários modos de representar a derivada de uma função y=f(x). Além de f’(x), as notações mais comuns são:
y' ;
dy ; dx
f ';
df ; dx
d f ( x) dx
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Exemplos: 1) Determinar, pela definição, a função derivada de f(x)= 2x+1.
f`
f (x lim x 0 [ 2( x
lim x 0
f ( x)
x x ) 1] [ 2 x 1] x
2. x lim x 0
x)
x
lim ( 2) x 0
Portanto: f `= 2, para qualquer valor de x
2
y
f(x)=2x+1
tg =2 ou f `=2
x
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Exemplos: 2) Dada a função f(x)= x2, determinar f (x) pela definição.
f (x
x) f ( x) f ` lim x x 0 [( x x) 2 ] [ x 2 ] lim x x 0 2.x. x ( x) 2 lim x x 0 lim (2 x x) 2 x x
0
Portanto: f `= 2x e depende
do valor de x
y
f(x)=x2
x1 tga=f ` Assim, Para x<0.........f `<0 Para x=0.........f `=0 Para x>0.........f `>0
x
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Exercícios: 1) Aplicando a definição, calcule a derivadas das funções:
a)y b)y c)y d)y e)y
2
9 x 2 x 4 2 2x 4x 2 x 6x 9 3 x 1
f) f(x) g) f(x) h) f(x) i) f(x) j) f(x)
3
1 x 2 3x 12 x 8 2 7 6x x 2 5x 4 x 3x 2
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Exercícios: 2) Calcule a derivadas das funções no ponto de abscissa x:
2
a)y x x, ( x 3) 2 b)y x 5 x 6, ( x 1) 3 c)y 2 x , ( x 2) d)y 3 x 1, ( x 2) 3 e)y x , ( x 1) 2 f)y x 2 x 5, ( x 1)
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Derivada de Funções Algébricas Teorema 1 Se c for uma constante e se f(x)=c para todo xi, então
f´(x) = 0. Ex: f(x)= 5 f (x)= 0
Teorema 2 Se n for um inteiro positivo e se f(x) = xn, xi então
f´(x) = nxn-1 Ex: f(x)= x5 f (x)= 5x4
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Derivada de Funções Algébricas Teorema 3 Se f for uma função, c uma constante e g a função
definida por g(x)=c.f(x) então, se f (x). existir, g (x)=c.f (x) Ex: f(x)= 3X8
f (x)= 3.8X7 = 24X7
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Derivada de Funções Algébricas Teorema 4 Se f e g forem funções e se h for a função definida por h(x)=f(x)+g(x) então, se f (x) e g (x) existirem,
h´(x) = f´(x) + g´(x). Ex: h(x)= 7x4-2x3+8x+5 h (x)= 28x3-6x2+8
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Derivada de Funções Algébricas Teorema 5
Se f e g forem funções e se h for a função definida por h(x)=f(x).g(x) então, se f (x) e g (x) existirem, h´(x)=f(x).g´(x) + g(x).f´(x) ou h´(x)=f´(x).g(x) + f(x).g´(x) Ex: h(x)= (2x3-4x2).(3x5+x2) h (x)= (2x3-4x2).(15x4+2x) + (3x5+x2).(6x2-8x)
h (x)=(30x7-60x6+4x4-8x3)+(18x7-24x6+6x4-8x3) h (x)=(48x7-84x6+10x4-16x3)
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Derivada de Funções Algébricas
Teorema 6 Se f e g forem funções e se h for a função definida por h(x)=f(x) /
g(x) onde g(x) ≠ 0 então se f (x) e g (x) existirem,
h´(x) = g(x).f´(x) – f(x).g´(x) ou h´(x) = f´(x).g(x) – f(x).g´(x) (g(x))2 (g(x))2 Ex: h(x)= (2x3+4)/(x2_4x + 1) h (x)=(x2_4x+1)(6x2)-(2x3+4)(2x-4)/(x2_4x+1)2 h (x)=(6x4-24x3+6x2)-(4x4-8x3+8x-16)/(x2_4x+1)2
h (x)= (2x4-16x3+6x2-8x+16)/ (x2_4x + 1)2
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Derivada de Funções Algébricas Teorema 7 Se f(x)=x-n, onde –n é um inteiro negativo e x≠0, então f (x)= -nx-n-1
Ex: f(x)= 3/x5 f (x)=3x-5 f (x)=3(-5)x-6 = -15. 1/x6 = -15/x6
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Exercícios: 3) Derive a função dada, aplicando os teoremas desta secção:
1 )f ( x )
7x
2 )f ( x )
x2 x 3 3x 2 5 x 1 8 x x4 8 1 4 1 2 t t 4 2 4 r3 3 1 2 x 3x x2 1 4x4 4x4
3 )f ( x ) 4 )f ( x ) 5 )f (t ) 6) f ( r ) 7) f ( x ) 8) f ( x )
1
5 2x
9 ) f(x) 8 3 x 10 ) f(x) 4 x 2 x 1 2 11 ) f(x) 1 5 x 2 3 x 4 12 ) f(x) x 7 2 x 5 5 x 3 7 x 1 3 13 ) f(x) x x 2 3 14) f(x) x10 7 x 5 x 3 1 15) f(x) (2 x 2 5).(4) 16) f ( x) ( x 3 2 x 1).(2 x 2 3 x) 17) f ( x) (4 x 2 3) 2
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Exercícios: 3) Continuação dos exercícios
18 )Dx d 19 ) dx 20 ) 21 )
d dt d dy
x x
1
x2 x2
2x 2x
5t 1 2t 2 3
y y3
8 8
2x 22 )Dx x 3 2y 1 23) Dy 3y 4
1 1
d 4 3x x 2 24) dx x 2 d x4 25) dx
2 x 2 5x 1 x4
2x 1 26 )Dx (3 x 1) x 5 y3 1 2 27) Dy 2 (y y 3
2y
1
1)
28) Dx[( x 2 3 x 2)(2 x 3 1)]
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Definição de Reta Normal T e N perpendiculares
mT .mN
1
Equação da Reta
y
y0
m.( x
x0 )
A reta normal a um gráfico em um dado ponto é a reta perpendicular à reta tangente naquele ponto. Exemplo: A inclinação da reta tangente em (2,6) é 9. ache a
equação reta normal?
y
y0
m.(x x0 )
9 y 54
x 2
1 y 6 ( x 2) 9 x 9 y 56 0
y 6
x 2 9
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Exercícios: 4) Ache uma equação da reta tangente à curva y= x3- 4 no ponto (2,4). 5) Ache uma equação da reta normal à curva y=4x2- 8x no ponto (1,-4). 6) Ache uma equação da reta normal à curva y= 10/(14 - x2) no ponto (4,-5). 7) Ache uma equação da reta tangente à curva y= 8/(x2 + 4) no
ponto (2,1). 8) Ache uma equação da reta tangente à curva y=3x2 - 4x e
paralela à reta 2x – y + 3=0.
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Exercícios: 9) Ache uma equação da reta tangente à curva dada, no ponto indicado. Faça um esboço da curva com a reta tangente e a reta normal.
a)y b)y c)y d)y
2
x 2 x 2 x 2x
4 x 5; x 2; 2 x 1; 3 x ;
( 2,7) (2,4) (1,4) ( 2,4)
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Exercícios: 10) Ache a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto (x1,y1). Faça uma tabela dos valores de x,y e m nos vários pontos do gráfico e inclua na tabela todos os ponto onde o
gráfico tem uma tangente horizontal. Faça um esboço do gráfico.
a)y b)y c)y d)y
2
9 x ; ( 3,3) 2 x 4; ( 2,2) 2 2x 4 x; ( 1,3) 3 x 1; ( 2,2)
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Derivada das Funções Trigonométricas Teorema 1
Teorema 2
Dx(sen x)= cos x
Dx(cos x)= -sen x
Exemplo:
Exemplo:
f(x)= x2.sen x f (x)= x2.Dx(sen x) + Dx(x2).sen x f (x)= x2.cos x + 2x.sen x
y= sen x / 1- 2cos x y =1 - 2cos x.Dx(sen x) – sen x Dx(1 - 2cos x) (1- 2cos x)2 y =(1 - 2cos x).cos x – (sen x).2sen x
(1- 2cos x)2 y = cos x - 2(cos2x + sen2x) = (1- 2cos x)2
cos x - 2 (1- 2cos x)2
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Derivada das Funções Trigonométricas Teorema 3
Teorema 4
Dx(tg x)= sec2 x
Dx(cotg x)= - cosec2 x
Exemplo:
Exemplo:
f(x)=
(x2
- 9x + 7).tg x
f (x)= Dx(x2-9x+7).tg x + x2-9x+7. Dx(tg x) f (x)=(2x- 9).tg x + (x2 - 9x + 7).sec2x
y= 5 .cotg.x x y= Dx( 5 ).cotg.x - 5 .Dx(cotg.x) x x y = -5x-2 .cotg.x + 5. –cosec2x x y = -5 . cotg x - 5 .cosec2 x x2 x
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Derivada das Funções Trigonométricas Teorema 5
Teorema 6
Dx(sec x)= sec x tg x
Dx(cosec x)= - cosec x cotg x
Exemplo:
Exemplo:
f(x)= 3(sec
y=5x3 – 7x cosec x
x).(7-x5)
f (x)= 3[Dx(sec
x).7-x5+sec
x.Dx(7-x5)]
f (x)= 3[(sec x tg x).(7-x5)+(sec x).(-5x4)] f (x)= 3.sec x tg x.(7-x5)+3.sec x.(-5x4) f (x)= 3.(7-x5).sec x tg x. -15 x4.sec x.
y =Dx(5x3)– 7x Dx(cosec x) y =15x2 – [7. cosec x + 7x . (-cosec x cotg x)] y =15x2 – 7. cosec x + 7x.cosec x cotg x
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Fórmulas de Trigonometria
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Exercícios: 11) Ache a derivada da função dada.
a)f ( x )
3 sen x
b)g(x)
tg x
c)f(x)
2t. cos t
d)g(x)
x.sen x
e)f(x)
cot g x
cos x
4 sen x. cos x x 2 . cos x
f)g(x) g)h( x ) h)f(x)
y3
2 x. sen x
y 2 . cos y
3. sec x.tg x
i) y
x2
j) y
sen x. cos x
sen x
2. cos x
2 y. sen y
2. cos y
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Exercícios: 12) Calcule a derivada indicada. a)Dy(cot g y. cos ec y ) b)Dz
2 cos z z 1
c)
d dx
sen x 1 cos x
d)
d dy
1 1
e)
d dt
tg t cos t 4
f ) Dx[( x g)Dr
sen y sen y
sen x ).( x
2 cos ec t 1 cos ec t 2
cos x )
Derivada de uma Função composta e a regra da cadeia Se a função g for derivável em x e a função f for derivável em g(x), então a função composta f o g será derivável em x, e
(fog) (x) = f (g(x)).g (x) Exemplo:
Sejam f(x) = x10, g(x)= 2x3 – 5x2 + 4 então, a função composta f de g definida por (fog)(x) = f(g(x)) = (2x3 – 5x2 + 4)10 Calcule f (g(x))?
f (x)=10x9;
g (x)=6x2-10x;
f (g(x))=10(2x3 – 5x2 + 4)9.(6x2-10x)
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Derivada da Função potência para expoente racionais Se f e g forem função tais que f(x) =[g(x)]r, onde r é qualquer número racional e se g (x) existir, então f será derivável e
f (x) = r[(g(x)]r-1.g (x) Exemplo:
Calcule
Dx
2x 3
4x
5
Dx[(2x3-4x+5)1/2] = ½.(2x3-4x+5)-1/2.(6x2-4) =
(3x2-2)
2x 3 4x 5
.
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Exercícios: 13) Ache a derivada da função dada.
a)f ( x)
( 2 x 1) 3
b)g(x)
(x
2
4x
5)
c)f(t)
( 2t 4
7t 3
2t 1) 2
(x 2
4)
d)g(x) e) f ( x )
4
2
(10 5 x) 4
f ) g (r )
( 2r
g ) h( z )
(z 3
4
8r 3z 2
2
1) 1)
5
3
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Exercícios: 14) Calcule a derivada indicada.
d 2 a) [(4 x dx
7) .(2 x
b)Du [( 3u 2
5 ) 3 . ( 3u-1 ) 2 ]
2
c)D x [(x -4 x
2
2
2
) . (x
-1
2
3
4
1) ]
-1
1) ] -2
d)D x [( 2 x-5 ) . ( 4 x 3 ) ] e) Dr[(r 2 1) 3 (2r 2
5r 3) 2 ]
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Exercícios: 15) ache a derivada da função dada.
y y
a) f ( y)
2
7 2
2
b)f (t )
2t 3t 3
c)f ( x )
2x 1 3x 2 x 2
d)f ( x )
e) f ( z )
1 1
2
(x 2
3) 3
(5 x
8) 2
(z 2
5) 3
(z 2
4) 2
3
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Exercícios: 16) Ache a derivada da função dada.
a)f ( x)
4x
b)g(x) 3 x
1 2
2 3
5x 6x
c)g(x)
1 4x 2
d)g(s)
2
e) f ( x )
2 3s
(5 3 x)
1 3
1 2
f ) g ( x)
x
1 3
g ) h( y )
2 3
j ) g ( x)
x 2 ) .( x 3
(5 (y2
1 3
3) .( y 3
x2 x
h) f ( x )
i ) f ( x)
1 2
1
2x 3x
5 1
x
1
x
1
3
1) 1)
1 4 1 2
38
